τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ...

20
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώ- νουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγ- γραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντι- στηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίη- ση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδό- σεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

Transcript of τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ...

Page 1: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώ-νουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγ-γραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντι-στηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίη-ση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδό-σεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών.

τα βιβλία των επιτυχιών

Page 2: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ

άλγεβραα΄ λυκείου

Page 3: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

Σειρά: Γενικό Λύκειό | A΄ Λυκείου Άλγεβρα Α΄ Λυκείου Νίκος Τάσος ISBN: 978-618-5325-33-6

Σχεδιασμός έκδοσης: Γεωργία ΛαμπροπούλουΣτοιχειοθεσία-σελιδοποίηση: Μαλβίνα ΚότοΣυμπληρωματική σελιδοποίηση: Γεωργία ΛαμπροπούλουΣχεδιασμός εξωφύλλου: Πωλίνα ΚοντογεώργηΥπεύθυνη έκδοσης: Μαλβίνα Κότο

Copyright 2019 © ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο

Κυκλοφορία έκδοσης: Ιούλιος 2019

Επικοινωνία με συγγραφέα: Νίκος Τάσος – [email protected] | 6944 34 34 15

Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων.Αριθμός έκδοσης: 1η | Αριθμός αντιτύπων: 1100

Λ. Βουλιαγμένης 46 & Αλεξιουπόλεως, ΤΚ 164 52 ΑργυρούποληΤ. 210 4112507 | www.ekdoseispoukamisas.gr | [email protected]

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέαΚάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Page 4: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

Περιεχόμενα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .............13Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ..................................16Ερωτήσεις κατανόησης ....................17

2. ΣΥΝΟΛΑΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων ...........18Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ............24Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης .................................. 26Ερωτήσεις κατανόησης ....................28

3. ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων ...........33Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ............38Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης .................................45Ερωτήσεις κατανόησης ...................48

4. ΔΥΝΑΜΕΙΣΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων ...........50Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...........51Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ..................................55Ερωτήσεις κατανόησης ....................57Κριτήριο αξιολόγησης .....................59

5. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ – ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων ...........61Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...........64Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ..................................70Ερωτήσεις κατανόησης ....................72Κριτήριο αξιολόγησης .....................74

6. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων ...........75Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...........75

Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης .................................81

Ερωτήσεις κατανόησης ...................83

7. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων ...........85Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...........91Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ...............................101Ερωτήσεις κατανόησης .................104Κριτήριο αξιολόγησης ...................106

8. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .......107Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .........112Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ...............................123Ερωτήσεις κατανόησης .................127Κριτήριο αξιολόγησης ...................129

9.ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .........130Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .........134Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ...............................155Ερωτήσεις κατανόησης .................162Κριτήριο αξιολόγησης ....................164

Page 5: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

3. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

17. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων ............ 261Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ........... 262Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................. 268Κριτήριο αξιολόγησης ..................... 270

18. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣΜεθοδολογίες – Εφαρμογές ........... 271Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................. 281Ερωτήσεις κατανόησης ................... 283Κριτήριο αξιολόγησης ..................... 284

19. ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .......... 286Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ........... 288Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................. 293Ερωτήσεις κατανόησης ................... 294

20. ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ − ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .......... 295Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ........... 297Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................. 313Ερωτήσεις αξιολόγησης ................. 317Φύλλο αξιολόγησης ........................ 319

10. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .........167Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .........169Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ...............................177Ερωτήσεις κατανόησης .................181Κριτήριο αξιολόγησης ...................182

11. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .........183Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .........184Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ...............................191

12. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑΜεθοδολογίες – Εφαρμογές ..........193Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ...............................201Ερωτήσεις κατανόησης .................203Κριτήριο αξιολόγησης ....................204

13. Η ΕΞΙΣΩΣΗ xν = αΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ............205Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .........206

Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ................................208

Ερωτήσεις κατανόησης .................208

14.Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx2 + βx + γ = 0Θεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .........209Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .........212Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ...............................224Ερωτήσεις κατανόησης .................228Κριτήριο αξιολόγησης ...................230

15. ΑΘΡΟΙΣΜΑ & ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .........232Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .........233Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ...............................241Ερωτήσεις κατανόησης .................246Κριτήριο αξιολόγησης ...................248

16. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥΜεθοδολογίες – Εφαρμογές .........250Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ..................................255

2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Page 6: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

5. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

4. ΠΡΟΟΔΟΙ

21. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .......... 323Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .......... 324Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................ 330Ερωτήσεις κατανόησης .................. 331

22. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .......... 332Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ........... 334Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................ 352

Ερωτήσεις κατανόησης .................. 359Κριτήριο αξιολόγησης 1 ................. 362Κριτήριο αξιολόγησης 2 ................. 364

23. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .......... 366Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .......... 368Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................. 391Ερωτήσεις κατανόησης ................... 397Κριτήριο αξιολόγησης 1 ................. 400Κριτήριο αξιολόγησης 2 ................. 402

24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .......... 407Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .......... 410Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................ 423Ερωτήσεις κατανόησης .................. 428Κριτήριο αξιολόγησης ..................... 430

25. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ − ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .......... 432Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .......... 436Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................ 442Ερωτήσεις κατανόησης .................. 444

26. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων ........ 445Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .......... 446Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................ 456Ερωτήσεις κατανόησης .................. 461Κριτήριο αξιολόγησης .................... 463

27. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + βΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .......... 465Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .......... 470Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................ 491Ερωτήσεις κατανόησης .................. 498Κριτήριο αξιολόγησης ..................... 500

28. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = α x 2 Θεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .......... 505Μεθοδολογίες – Εφαρμογές .......... 512Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................ 521Ερωτήσεις κατανόησης .................. 524

29. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣf(x) = α x 2 + βx + γΘεωρία σε μορφή

ερωτήσεων – απαντήσεων .......... 526Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ........... 531Εφαρμογές εμπέδωσης και

εμβάθυνσης ................................ 545Ερωτήσεις κατανόησης .................. 551Κριτήριο αξιολόγησης ..................... 553

6. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Page 7: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ................ 557 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ............ 571

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ..................... 583

ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

Απαντήσεις άλυτων ασκήσεων ...............................................................................631Απαντήσεις τελικής επανάληψης ...........................................................................693Απαντήσεις Τράπεζας Θεμάτων..............................................................................699Απαντήσεις ασκήσεων σχολικού βιβλίου................................................................770

Page 8: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟΚΕΦΑΛΑΙΟ

Page 9: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

13

1. Πώς ορίζεται η έννοια της πρότασης στη Μαθηματική Λογική;

ΑπάντησηΠρόταση είναι κάθε ισχυρισμός του οποίου το περιεχόμενο μπορούμε να χαρακτηρί-σουμε ως αληθές ή ψευδές.

Παραδείγματα

• Η φράση «Ο Ολυμπιακός έχει κατακτήσει τα περισσότερα πρωταθλήματα ποδο-σφαίρου στην Ελλάδα» είναι μία πρόταση, διότι είναι αληθής.

• Η φράση «Ο Ολυμπιακός θα κατακτήσει την επόμενη χρονιά το πρωτάθλημα ποδο-σφαίρου στην Ελλάδα» δεν είναι πρόταση, διότι δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής.

i. Προσοχή! Στα Μαθηματικά, για να ελέγξουμε αν ένας ισχυρισμός είναι πρόταση, δεν εξετάζουμε αν είναι γραμματικά και συντακτικά ορθώς.

ii. Τις προτάσεις τις συμβολίζουμε συνήθως με τα λατινικά γράμματα P, Q.iii. Μία πρόταση χαρακτηρίζεται απλή όταν κανένα τμήμα της δεν μπορεί να χρησι-

μοποιηθεί για να δημιουργήσει μία άλλη πρόταση.iv. Μία πρόταση χαρακτηρίζεται σύνθετη όταν μπορούμε να τη χωρίσουμε σε δύο ή

περισσότερες προτάσεις.

Σχόλια

2. Πώς ορίζεται η συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται;

ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q.Συμβολίζουμε:

P ⇒ Q

1ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων

Page 10: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

14

ΕΙΣαΓωΓΙΚΟ ΚΕφαΛαΙΟ

Παραδείγματα

i. Μια μητέρα, προκείμενου να πείσει το παιδί της να φάει όλο το φαγητό του, του λέει:Αν φας το φαγητό σου ⇒ θα σου πάρω παγωτό.

ii. Αν α = 4 ⇒ √α_ = 2.

i. Ο ισχυρισμός «P ⇒ Q» λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν Ρ, τότε Q» ή «ο Ρ συνεπάγεται τον Q».

ii. Ο Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής.iii. Η συνεπαγωγή είναι αληθής όταν: Ο Ρ είναι αληθής και ο Q είναι αληθής. π.x. √

_9 = 3 ⇒ ( √

_9)2 = 32

Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι αληθής. π.x. –1 = 1 ⇒ (–1)2 = 12

Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι ψευδής. π.x. –1 = 1 ⇒ 2 · (–1) = 2·1iv. Η συνεπαγωγή είναι ψευδής όταν: Ο Ρ είναι αληθής και ο Q είναι ψευδής. π.x. (–1)2 = 12 ⇒ –1 = 1v. Με βάση τα όσα αναπτύσσονται στο σχολικό βιβλίο, εμείς θα ασχοληθούμε κυρίως

με την περίπτωση όπου και οι δύο ισχυρισμοί P, Q είναι αληθείς.vi. Στο τέλος της ενότητας παραθέτουμε έναν πίνακα αλήθειας όπου είναι κλασικός

στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής.

Σχόλια

3. Πώς ορίζεται η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται;

ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, και όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο P, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q.Συμβολίζουμε:

P ⇔ Q

Παραδείγματα

i. «Η Στέλλα είναι η σύζυγος του Νίκου.» ⇔ «Ο Νίκος είναι ο σύζυγος της Στέλλας.»ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ ισχύει ότι:

α = β ⇔ α + γ = β + γiii. Για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι:

ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο ⇔ A = B = Γ

i. Ο ισχυρισμός «Ρ ⇔ Q» λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q» ή «Ρ τότε και μόνο τότε Q».

ii. Ισοδυναμίες έχουμε στους ορισμούς.

Σχόλια

4. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος ή;

ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ ή Q αληθεύει μόνο στην περί-πτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει.

Παραδείγματαi. Για να προσληφθεί κάποιος σε ένα εστιατόριο ως μάγειρας πρέπει να ξέρει να μα-

γειρεύει ελληνικά ή ιταλικά φαγητά. Αυτό σημαίνει ότι ο μάγειρας που θα προσλη-φθεί πρέπει να ξέρει να μαγειρεύει ή μόνο ελληνικά φαγητά ή μόνο ιταλικά φαγητά ή, προφανώς, και από τις δύο κουζίνες φαγητά.

ii. Όταν γράφουμε:α · β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0

εννοούμε ότι αληθεύει μία τουλάχιστον από τις προτάσεις «α = 0», «β = 0», δηλαδή:(α = 0 και β ≠ 0), (α ≠ 0 και β = 0), (α = 0 και β = 0)

i. Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q» λέγεται διάζευξη των Ρ και Q. ii. Η διάζευξη Ρ ή Q είναι ψευδής μόνο όταν και ο ισχυρισμός Ρ και ο ισχυρισμός Q

είναι ψευδείς.iii. Ο ισχυρισμός «ή Ρ ή Q» λέγεται αποκλειστική διάζευξη των Ρ και Q και είναι

αληθής, όταν η μία είναι αληθής και η άλλη ψευδής.

Σχόλια

5. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος και;

ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αληθεύει μόνο στην περί-πτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν.

Παραδείγματαi. Η Αθήνα είναι πόλη της Ελλάδας και της Ευρώπης. ii. Όταν γράφουμε:

α · β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 εννοούμε ότι αληθεύουν και οι δύο προτάσεις «α ≠ 0», «β ≠ 0».

Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q.Σχόλια

6. Πώς ορίζεται η άρνηση μίας πρότασης;

ΑπάντησηΑν Ρ είναι ένας ισχυρισμός, τότε ο ισχυρισμός «όχι Ρ» ονομάζεται άρνηση του Ρ, συμβολίζεται συνήθως με Ρ ή –Ρ και χαρακτηρίζεται ως:

Page 11: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

15

Παραδείγματα

i. Μια μητέρα, προκείμενου να πείσει το παιδί της να φάει όλο το φαγητό του, του λέει:Αν φας το φαγητό σου ⇒ θα σου πάρω παγωτό.

ii. Αν α = 4 ⇒ √α_ = 2.

i. Ο ισχυρισμός «P ⇒ Q» λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν Ρ, τότε Q» ή «ο Ρ συνεπάγεται τον Q».

ii. Ο Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής.iii. Η συνεπαγωγή είναι αληθής όταν: Ο Ρ είναι αληθής και ο Q είναι αληθής. π.x. √

_9 = 3 ⇒ ( √

_9)2 = 32

Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι αληθής. π.x. –1 = 1 ⇒ (–1)2 = 12

Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι ψευδής. π.x. –1 = 1 ⇒ 2 · (–1) = 2·1iv. Η συνεπαγωγή είναι ψευδής όταν: Ο Ρ είναι αληθής και ο Q είναι ψευδής. π.x. (–1)2 = 12 ⇒ –1 = 1v. Με βάση τα όσα αναπτύσσονται στο σχολικό βιβλίο, εμείς θα ασχοληθούμε κυρίως

με την περίπτωση όπου και οι δύο ισχυρισμοί P, Q είναι αληθείς.vi. Στο τέλος της ενότητας παραθέτουμε έναν πίνακα αλήθειας όπου είναι κλασικός

στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής.

Σχόλια

3. Πώς ορίζεται η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται;

ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, και όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο P, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q.Συμβολίζουμε:

P ⇔ Q

Παραδείγματα

i. «Η Στέλλα είναι η σύζυγος του Νίκου.» ⇔ «Ο Νίκος είναι ο σύζυγος της Στέλλας.»ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ ισχύει ότι:

α = β ⇔ α + γ = β + γiii. Για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι:

ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο ⇔ A = B = Γ

i. Ο ισχυρισμός «Ρ ⇔ Q» λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q» ή «Ρ τότε και μόνο τότε Q».

ii. Ισοδυναμίες έχουμε στους ορισμούς.

Σχόλια

4. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος ή;

ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ ή Q αληθεύει μόνο στην περί-πτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει.

Παραδείγματαi. Για να προσληφθεί κάποιος σε ένα εστιατόριο ως μάγειρας πρέπει να ξέρει να μα-

γειρεύει ελληνικά ή ιταλικά φαγητά. Αυτό σημαίνει ότι ο μάγειρας που θα προσλη-φθεί πρέπει να ξέρει να μαγειρεύει ή μόνο ελληνικά φαγητά ή μόνο ιταλικά φαγητά ή, προφανώς, και από τις δύο κουζίνες φαγητά.

ii. Όταν γράφουμε:α · β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0

εννοούμε ότι αληθεύει μία τουλάχιστον από τις προτάσεις «α = 0», «β = 0», δηλαδή:(α = 0 και β ≠ 0), (α ≠ 0 και β = 0), (α = 0 και β = 0)

i. Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q» λέγεται διάζευξη των Ρ και Q. ii. Η διάζευξη Ρ ή Q είναι ψευδής μόνο όταν και ο ισχυρισμός Ρ και ο ισχυρισμός Q

είναι ψευδείς.iii. Ο ισχυρισμός «ή Ρ ή Q» λέγεται αποκλειστική διάζευξη των Ρ και Q και είναι

αληθής, όταν η μία είναι αληθής και η άλλη ψευδής.

Σχόλια

5. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος και;

ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αληθεύει μόνο στην περί-πτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν.

Παραδείγματαi. Η Αθήνα είναι πόλη της Ελλάδας και της Ευρώπης. ii. Όταν γράφουμε:

α · β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 εννοούμε ότι αληθεύουν και οι δύο προτάσεις «α ≠ 0», «β ≠ 0».

Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q.Σχόλια

6. Πώς ορίζεται η άρνηση μίας πρότασης;

ΑπάντησηΑν Ρ είναι ένας ισχυρισμός, τότε ο ισχυρισμός «όχι Ρ» ονομάζεται άρνηση του Ρ, συμβολίζεται συνήθως με Ρ ή –Ρ και χαρακτηρίζεται ως:

Page 12: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

16

ΕΙΣαΓωΓΙΚΟ ΚΕφαΛαΙΟ

• αληθής, αν ο Ρ είναι ψευδής,• ψευδής, αν ο Ρ είναι αληθής.

Παραδείγματαi. Αν Ρ: «α = β», τότε η άρνηση της Ρ είναι Ρ: «α < β ή α > β».ii. Η άρνηση του και είναι το ή και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνηση της πρό-

τασης «θα φάμε κρέας και ρύζι» είναι η «θα φάμε κρέας ή ρύζι».iii. Η άρνηση του για κάθε είναι το υπάρχει και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνη-

ση της πρότασης «για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει α2 ≥ 0» είναι η «υπάρχει πραγματικός αριθμός, ώστε α2 < 0».

Αν η συνεπαγωγή «Ρ ⇒ Q» είναι αληθής, τότε και η συνεπαγωγή «Q ⇒ Ρ» είναι αληθής και αντίστροφα. Ισχύει δηλαδή ότι:

(Ρ ⇒ Q) ⇔ (Q ⇒ Ρ)που είναι γνωστός ως νόμος της αντιθετοαντιστροφής.

Σχόλια

ΠαράδειγμαΙσχύει ότι:

α · β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0Επομένως, ισχύει και η αντιθετοαντιστροφή:

α ≠ 0 και β ≠ 0 ⇔ α · β ≠ 0

7. Ποιος είναι ο πίνακας αλήθειας για τη Μαθηματική Λογική;

ΑπάντησηΟ πίνακας είναι ο εξής:

Ισχυρισμοί Συνεπαγωγή Ισοδυναμία Διάζευξη ΣύζευξηP Q P ⇒ Q P ⇔ Q P ή Q P και Q

Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής ΑληθήςΑληθής Ψευδής Ψευδής Ψευδής Αληθής ΨευδήςΨευδής Αληθής Αληθής Ψευδής Αληθής ΨευδήςΨευδής Ψευδής Αληθής Αληθής Ψευδής Ψευδής

ΛΟΓΙΚΕΣ ΠρΟΤαΣΕΙΣ

1.1 Να εξετάσετε ποιοι από τους ακόλου-θους ισχυρισμούς είναι προτάσεις και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς.

i. Ο αριθμός 5 είναι μεγαλύτερος του 10.ii. Ο αριθμός x είναι περιττός.iii. Η Άλγεβρα είναι το καλύτερο μάθημα.

Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης

Page 13: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

17

• αληθής, αν ο Ρ είναι ψευδής,• ψευδής, αν ο Ρ είναι αληθής.

Παραδείγματαi. Αν Ρ: «α = β», τότε η άρνηση της Ρ είναι Ρ: «α < β ή α > β».ii. Η άρνηση του και είναι το ή και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνηση της πρό-

τασης «θα φάμε κρέας και ρύζι» είναι η «θα φάμε κρέας ή ρύζι».iii. Η άρνηση του για κάθε είναι το υπάρχει και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνη-

ση της πρότασης «για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει α2 ≥ 0» είναι η «υπάρχει πραγματικός αριθμός, ώστε α2 < 0».

Αν η συνεπαγωγή «Ρ ⇒ Q» είναι αληθής, τότε και η συνεπαγωγή «Q ⇒ Ρ» είναι αληθής και αντίστροφα. Ισχύει δηλαδή ότι:

(Ρ ⇒ Q) ⇔ (Q ⇒ Ρ)που είναι γνωστός ως νόμος της αντιθετοαντιστροφής.

Σχόλια

ΠαράδειγμαΙσχύει ότι:

α · β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0Επομένως, ισχύει και η αντιθετοαντιστροφή:

α ≠ 0 και β ≠ 0 ⇔ α · β ≠ 0

7. Ποιος είναι ο πίνακας αλήθειας για τη Μαθηματική Λογική;

ΑπάντησηΟ πίνακας είναι ο εξής:

Ισχυρισμοί Συνεπαγωγή Ισοδυναμία Διάζευξη ΣύζευξηP Q P ⇒ Q P ⇔ Q P ή Q P και Q

Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής Αληθής ΑληθήςΑληθής Ψευδής Ψευδής Ψευδής Αληθής ΨευδήςΨευδής Αληθής Αληθής Ψευδής Αληθής ΨευδήςΨευδής Ψευδής Αληθής Αληθής Ψευδής Ψευδής

ΕρωΤΗΣΕΙΣ ΣωΣΤΟύ – ΛαΘΟύΣ

ΣύΝΕΠαΓωΓΗ – ΙΣΟΔύΝαΜΙα

1.2 Σε καθέναν από τους ισχυρισμούς Ρ, Q να εξετάσετε ποια από τις συνεπαγω-γές Ρ ⇒ Q ή Q ⇒ P ισχύει.i. Ρ: Ο Κώστας είναι μαθητής της Γ΄ Λυ-

κείου. Q: Ο Κώστας τελειώνει το σχολείο.

ii. Ρ: Σήμερα είναι 25 Δεκεμβρίου. Q: Σήμερα είναι Χριστούγεννα.iii. P: Στην Ελλάδα είναι χειμώνας. Q: Στην Ελλάδα βρέχει.iv. P: Ο Νίκος παίζει πιάνο. Q: Ο Νίκος αγαπάει τη μουσική.

1.3 Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις.i. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β ισχύει

ότι α2 = β2 ⇔ α = β.ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ

ισχύει ότι α = β ⇔ α + γ = β + γ.iii. Η σύζευξη «Ρ και Ρ» είναι πάντα

ψευδής. iv. Ο ισχυρισμός «1 + 1 = 3» είναι μία

πρόταση. v. Ο ισχυρισμός «Στην Ελλάδα θα εμφα-

νιστούν εξωγήινοι» είναι μία πρόταση. vi. Ο ισχυρισμός «2014 < 2013» είναι

μία πρόταση. vii. α2 ≠ 1 ⇔ α ≠ 1 ή α ≠ –1 viii. α = 0 και β ≠ 0 ⇒ α · β = 0

ix. x = 5 ⇔ x2 = 25 x. x = 5 ⇒ x2 = 25

1.4 Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις.i. x ≠ 5 ⇔ x2 ≠ 25ii. x ≠ 5 ⇒ x2 ≠ 25 iii. x ≠ 5 και x ≠ –5 ⇔ x2 ≠ 25 iv. x2 ≠ x ⇒ x ≠ 1 v. α · β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 ή β ≠ 0 vi. Αν β ≠ 0, ισχύει ότι: αβ > 0 ⇔ ⇔ α · β > 0vii. α < 3 και β < 4 ⇒ α · β < 12viii. α < 1 ⇒ α2 < 1 ix. α > 1 ⇒ α2 > 1 x. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, τότε A = B.

Ερωτήσεις κατανόησης

iv. 2 · 3 = 6v. 1 + 1 = 3

vi. Ο Παναθηναϊκός θα κερδίσει το πρω-τάθλημα ποδοσφαίρου την επόμενη χρονιά.

1.5 Να αντιστοιχίσετε καθέναν από τους ισχυρισμούς της στήλης Α με τον ισοδύναμό του ισχυρισμό στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Βi. 3α(α + 2) = 0 α. α = 1 ή α = –1 ii. α(α – 1) = 0 και α(α + 1) = 0 β. α = 0 ή α = –2 iii. α2 = 4, α > 0 γ. α ≠ 0 και α ≠ –2iv. α2 = 1 δ. α = 2v. 3α(α + 2) ≠ 0 ε. α = 0

ΕρωΤΗΣΕΙΣ αΝΤΙΣΤΟΙχΙΣΗΣ

Page 14: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

18

1. Ποια είναι η έννοια του συνόλου;

ΑπάντησηΣύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

ΠαράδειγμαΣύνολα είναι:• «τα ελληνικά νομίσματα του 20ού αιώνα»,• «οι πίνακες της Αναγέννησης στο μουσείο του Λούβρου»,• «τα αγγλικά γραμματόσημα που έχει ένας φιλοτελιστής»

i. Τα αντικείμενα ενός συνόλου ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου.ii. Όταν γράφουμε ότι ένα σύνολο είναι καλά ορισμένο, εννοούμε ότι τα στοιχεία του

μπορούν να αναγνωρίζονται με σιγουριά. Αν, δηλαδή, γνωρίζουμε μία χαρακτηρι-στική ιδιότητα του συνόλου, μπορούμε να ελέγχουμε αν ένα στοιχείο ανήκει ή όχι στο σύνολο.

iii. Όταν γράφουμε ότι σε ένα σύνολο τα στοιχεία πρέπει να διακρίνονται το ένα από το άλλο, εννοούμε ότι δεν πρέπει να υπάρχει δύο φορές το ίδιο στοιχείο στο σύνολο.

iv. Τα σύνολα τα συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου. Για παράδειγμα Α, Β, Γ, Q, R κ.λπ.

Σχόλια

Παραδείγματα• Δεν έχει νόημα να αναφερόμαστε στο σύνολο των μεγάλων αριθμών. Αυτό δεν είναι

σύνολο, διότι δεν υπάρχει κάποιος σαφής κανόνας που να καθορίζει αν ένας αριθμός είναι ή δεν είναι μεγάλος.

• Το σύνολο που αποτελείται από το γράμματα της λέξης «ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑ» είναι αυτό που έχει τα γράμματα: Κ, Α, Θ, Ρ, Ι, Ο, Τ, Η. Δεν μπορούμε να γράψουμε τρεις φορές το Α, ούτε δύο φορές το Τ.

2ΣύΝΟΛα

Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων

2. Ποια είναι τα βασικά σύνολα αριθμών;

Απάντηση• Το σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:

= {0, 1, 2, 3, …}• Το σύνολο των ακέραιων αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:

= {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}• Το σύνολο των ρητών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:

= { αβ , α, β ϵ με β ≠ 0}• Το σύνολο των άρρητων αριθμών, το οποίο δεν έχει κάποιον ιδιαίτερο συμβολισμό

και είναι όλοι εκείνοι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος.• Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με .

i. Με * συμβολίζουμε τους φυσικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}

Με * συμβολίζουμε τους ακέραιους που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}

Με * συμβολίζουμε τους ρητούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}

Με * συμβολίζουμε τους πραγματικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}

ii. Υπενθυμίζουμε ότι ο αριθμός της μορφής 5,2 = 5,222… ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και είναι ρητός, αφού μπορούμε να τον γράψουμε ως κλάσμα.

Σχόλια

3. Τι σημαίνουν τα σύμβολα ∈ και ∉;

Απάντηση• Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε:

x∈Α και διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο ∈ σημαίνει ανήκει.• Για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε:

x∉Α και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο ∉ σημαίνει δεν ανήκει.

Παράδειγμα

2∈, –2∉, –3∈, – 43 ∉, 3

2 ∈, √2_ ∉

4. Με ποιους τρόπους μπορούμε να παραστήσουμε ένα σύνολο;

ΑπάντησηΈνα σύνολο μπορεί να παρασταθεί με τρεις τρόπους:

Page 15: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

2. ΣύΝΟΛα

19

1. Ποια είναι η έννοια του συνόλου;

ΑπάντησηΣύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

ΠαράδειγμαΣύνολα είναι:• «τα ελληνικά νομίσματα του 20ού αιώνα»,• «οι πίνακες της Αναγέννησης στο μουσείο του Λούβρου»,• «τα αγγλικά γραμματόσημα που έχει ένας φιλοτελιστής»

i. Τα αντικείμενα ενός συνόλου ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου.ii. Όταν γράφουμε ότι ένα σύνολο είναι καλά ορισμένο, εννοούμε ότι τα στοιχεία του

μπορούν να αναγνωρίζονται με σιγουριά. Αν, δηλαδή, γνωρίζουμε μία χαρακτηρι-στική ιδιότητα του συνόλου, μπορούμε να ελέγχουμε αν ένα στοιχείο ανήκει ή όχι στο σύνολο.

iii. Όταν γράφουμε ότι σε ένα σύνολο τα στοιχεία πρέπει να διακρίνονται το ένα από το άλλο, εννοούμε ότι δεν πρέπει να υπάρχει δύο φορές το ίδιο στοιχείο στο σύνολο.

iv. Τα σύνολα τα συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου. Για παράδειγμα Α, Β, Γ, Q, R κ.λπ.

Σχόλια

Παραδείγματα• Δεν έχει νόημα να αναφερόμαστε στο σύνολο των μεγάλων αριθμών. Αυτό δεν είναι

σύνολο, διότι δεν υπάρχει κάποιος σαφής κανόνας που να καθορίζει αν ένας αριθμός είναι ή δεν είναι μεγάλος.

• Το σύνολο που αποτελείται από το γράμματα της λέξης «ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑ» είναι αυτό που έχει τα γράμματα: Κ, Α, Θ, Ρ, Ι, Ο, Τ, Η. Δεν μπορούμε να γράψουμε τρεις φορές το Α, ούτε δύο φορές το Τ.

2. Ποια είναι τα βασικά σύνολα αριθμών;

Απάντηση• Το σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:

= {0, 1, 2, 3, …}• Το σύνολο των ακέραιων αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:

= {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}• Το σύνολο των ρητών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:

= { αβ , α, β ϵ με β ≠ 0}• Το σύνολο των άρρητων αριθμών, το οποίο δεν έχει κάποιον ιδιαίτερο συμβολισμό

και είναι όλοι εκείνοι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος.• Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με .

i. Με * συμβολίζουμε τους φυσικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}

Με * συμβολίζουμε τους ακέραιους που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}

Με * συμβολίζουμε τους ρητούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}

Με * συμβολίζουμε τους πραγματικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}

ii. Υπενθυμίζουμε ότι ο αριθμός της μορφής 5,2 = 5,222… ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και είναι ρητός, αφού μπορούμε να τον γράψουμε ως κλάσμα.

Σχόλια

3. Τι σημαίνουν τα σύμβολα ∈ και ∉;

Απάντηση• Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε:

x∈Α και διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο ∈ σημαίνει ανήκει.• Για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε:

x∉Α και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο ∉ σημαίνει δεν ανήκει.

Παράδειγμα

2∈, –2∉, –3∈, – 43 ∉, 3

2 ∈, √2_ ∉

4. Με ποιους τρόπους μπορούμε να παραστήσουμε ένα σύνολο;

ΑπάντησηΈνα σύνολο μπορεί να παρασταθεί με τρεις τρόπους:

Page 16: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

20

ΕΙΣαΓωΓΙΚΟ ΚΕφαΛαΙΟ

• με αναγραφή, όταν δίνονται όλα του τα στοιχεία και είναι σχετικά λίγα σε πλήθος. Στην περίπτωση

αυτή βάζουμε τα στοιχεία από μία φορά το καθένα, χωρίζοντάς τα με ένα κόμμα, ανάμεσα σε δύο άγκιστρα.

• με περιγραφή, όταν τα στοιχεία του είναι πολλά, ανήκουν σε ένα σύνολο Ω και έχουν μία χαρα-

κτηριστική ιδιότητα. Αναλυτικότερα, επιλέγουμε από ένα σύνολο Ω τα στοιχεία εκείνα που ικανοποιούν μία ιδιότητα Ι, οπότε έχουμε το σύνολο:

{x∈Ω / x έχει την ιδιότητα Ι}• με διάγραμμα του Venn, το οποίο θα εξηγήσουμε σε επόμενη παράγραφο.

Παράδειγμα• Αναγραφή Το σύνολο που έχει ως στοιχεία του τους ακέραιους από το –1 έως το 4 είναι το:

Α = {–1, 0, 1, 2, 3}• Περιγραφή Το σύνολο των ακέραιων που είναι (με την ιδιότητα) από το –1 έως το 4 συμβολίζε-

ται με:Α = {x∈ / –1 ≤ x < 4}

5. Πότε δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα και πώς συμβολίζουμε την ισότητα;

ΑπάντησηΔύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Στην περί-πτωση αυτή, γράφουμε Α = Β.

ΠαράδειγμαΤα σύνολα:

Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {x∈ / 1 < x ≤ 7}είναι ίσα, διότι το σύνολο Β με αναγραφή είναι το Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, δηλαδή το Α.

Με άλλα λόγια:Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και, αντιστρόφως, κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α. Δηλαδή:

Α = Β όταν x∈A ⇔ x∈B

Σχόλια

6. Πότε ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β και πώς το συμβολί-ζουμε;

Απάντηση

Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή, γράφουμε Α ⊆ Β.

Παραδείγματαi. Αν θεωρήσουμε τα σύνολα

Α = {1, 3, 5, 7, 9} και Β = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β.

Άρα το Α είναι υποσύνολο του Β. ii. Τα υποσύνολα του συνόλου Ω = {1, 2, 3} είναι τα:

{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3} = Ω, ∅

Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι ακόλουθες σχέσεις μεταξύ συνόλων:i. Α ⊆ Α, για κάθε σύνολο Α.ii. Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Γ, τότε Α ⊆ Γ.iii. Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Α, τότε Α = Β.

Σχόλιο

7. Τι είναι το κενό σύνολο και πώς το συμβολίζουμε;

ΑπάντησηΤο σύνολο που δεν έχει στοιχεία ονομάζεται κενό. Συμβολίζεται με ∅ ή { }.

ΠαράδειγμαΑς θεωρήσουμε το σύνολο

Α = {x∈ / x + 7 = 0}Είναι φανερό ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που να ικανοποιούν την ισότητα x + 7 = 0, αφού ο μόνος αριθμός που την ικανοποιεί είναι ο –7, για τον οποίο όμως ισχύει ότι –7∉. Συνεπώς, το σύνολο αυτό δεν έχει κανένα στοιχείο, άρα είναι κενό.

Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.Σχόλιο

8. Τι είναι το βασικό σύνολο;

ΑπάντησηΚάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω.

9. Τι είναι τα διαγράμματα Venn;

ΑπάντησηΤα διαγράμματα Venn είναι κλειστές γραμμές με τις οποίες παριστάνουμε τα σύνολα.

i. Το βασικό σύνολο Ω παριστάνεται με το εσωτερικό ενός Ω

ορθογωνίου.

Σχόλιο

Page 17: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

2. ΣύΝΟΛα

21

• με αναγραφή, όταν δίνονται όλα του τα στοιχεία και είναι σχετικά λίγα σε πλήθος. Στην περίπτωση

αυτή βάζουμε τα στοιχεία από μία φορά το καθένα, χωρίζοντάς τα με ένα κόμμα, ανάμεσα σε δύο άγκιστρα.

• με περιγραφή, όταν τα στοιχεία του είναι πολλά, ανήκουν σε ένα σύνολο Ω και έχουν μία χαρα-

κτηριστική ιδιότητα. Αναλυτικότερα, επιλέγουμε από ένα σύνολο Ω τα στοιχεία εκείνα που ικανοποιούν μία ιδιότητα Ι, οπότε έχουμε το σύνολο:

{x∈Ω / x έχει την ιδιότητα Ι}• με διάγραμμα του Venn, το οποίο θα εξηγήσουμε σε επόμενη παράγραφο.

Παράδειγμα• Αναγραφή Το σύνολο που έχει ως στοιχεία του τους ακέραιους από το –1 έως το 4 είναι το:

Α = {–1, 0, 1, 2, 3}• Περιγραφή Το σύνολο των ακέραιων που είναι (με την ιδιότητα) από το –1 έως το 4 συμβολίζε-

ται με:Α = {x∈ / –1 ≤ x < 4}

5. Πότε δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα και πώς συμβολίζουμε την ισότητα;

ΑπάντησηΔύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Στην περί-πτωση αυτή, γράφουμε Α = Β.

ΠαράδειγμαΤα σύνολα:

Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {x∈ / 1 < x ≤ 7}είναι ίσα, διότι το σύνολο Β με αναγραφή είναι το Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, δηλαδή το Α.

Με άλλα λόγια:Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και, αντιστρόφως, κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α. Δηλαδή:

Α = Β όταν x∈A ⇔ x∈B

Σχόλια

6. Πότε ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β και πώς το συμβολί-ζουμε;

Απάντηση

Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή, γράφουμε Α ⊆ Β.

Παραδείγματαi. Αν θεωρήσουμε τα σύνολα

Α = {1, 3, 5, 7, 9} και Β = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β.

Άρα το Α είναι υποσύνολο του Β. ii. Τα υποσύνολα του συνόλου Ω = {1, 2, 3} είναι τα:

{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3} = Ω, ∅

Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι ακόλουθες σχέσεις μεταξύ συνόλων:i. Α ⊆ Α, για κάθε σύνολο Α.ii. Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Γ, τότε Α ⊆ Γ.iii. Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Α, τότε Α = Β.

Σχόλιο

7. Τι είναι το κενό σύνολο και πώς το συμβολίζουμε;

ΑπάντησηΤο σύνολο που δεν έχει στοιχεία ονομάζεται κενό. Συμβολίζεται με ∅ ή { }.

ΠαράδειγμαΑς θεωρήσουμε το σύνολο

Α = {x∈ / x + 7 = 0}Είναι φανερό ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που να ικανοποιούν την ισότητα x + 7 = 0, αφού ο μόνος αριθμός που την ικανοποιεί είναι ο –7, για τον οποίο όμως ισχύει ότι –7∉. Συνεπώς, το σύνολο αυτό δεν έχει κανένα στοιχείο, άρα είναι κενό.

Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.Σχόλιο

8. Τι είναι το βασικό σύνολο;

ΑπάντησηΚάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω.

9. Τι είναι τα διαγράμματα Venn;

ΑπάντησηΤα διαγράμματα Venn είναι κλειστές γραμμές με τις οποίες παριστάνουμε τα σύνολα.

i. Το βασικό σύνολο Ω παριστάνεται με το εσωτερικό ενός Ω

ορθογωνίου.

Σχόλιο

Page 18: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

22

ΕΙΣαΓωΓΙΚΟ ΚΕφαΛαΙΟ

ii. Κάθε σύνολο Α, με Α ⊆ Ω, παριστάνεται με το εσωτερικό μίας

A

κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό του ορθο- γωνίου που παριστάνει το Ω.

iii. Αν Α ⊆ Β, τότε το Α παριστάνεται με μία κλειστή καμπύλη

BA

που περιέχεται σε μία επίσης κλειστή καμπύλη που παριστά- νει το Β.

ΠαράδειγμαΓια τα σύνολα , , είναι υποσύνολα του βασικού

συνόλου . Ισχύει ότι ⊆ ⊆ ⊆ και με τη βοή-θεια ενός διαγράμματος Venn προκύπτει το εξής:

10. Πώς ορίζεται:• Η ένωση δύο συνόλων;• Η τομή δύο συνόλων;• Το συμπλήρωμα ενός συνόλου;• Η διαφορά δύο συνόλων;

Απάντηση

Ορισμός Διάγραμμα VennΈνωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνό-λου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχειών του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α ∪ Β. Ισχύει δηλαδή:

Α ∪ Β = {x∈Ω / x∈A ή x∈B}

Ω

A

B

ΠαράδειγμαΑν:

Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10}τότε:

Α ∪ Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Για την ένωση συνόλων ισχύουν τα εξής:• Α ∪ ∅ = Α • Α ∪ Α = Α• Α ⊆ Α ∪ Β • Β ⊆ Α ∪ Β• Α ∪ Β = Β ∪ Α • Αν Α ⊆ Β, τότε: Α ∪ Β = Β

Σχόλια

ΠαράδειγμαΑν:

Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10}τότε:

Α∩Β = {5, 6, 7}

Για την τομή συνόλων ισχύουν τα εξής:• Α ∩ ∅ = ∅ • Α ∩ Α = Α• Α ∩ Β ⊆ Α • Α ∩ Β ⊆ Β• Α ∩ Β = Β ∩ Α • Αν Α ⊆ Β, τότε: Α∩Β = Α• Α ∩ Β ⊆ Α ∪ Β

Σχόλιο

Ορισμός Διάγραμμα Venn

Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α΄. Ισχύει δηλαδή:

Α΄ = {x∈Ω / x∉A}

ΠαράδειγμαΑν:

Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Α = {3, 4, 5}τότε:

Α΄ = {2, 6, 7}

Για το συμπλήρωμα ισχύουν τα εξής:• Α ∩ Α΄= ∅ • Α ∪ Α΄ = Ω

Σχόλιο

Ορισμός Διάγραμμα Venn

Η διαφορά Α – Β είναι το σύνολο των στοι-χείων του συνόλου Α που δεν ανήκουν στο σύνολο Β. Ισχύει δηλαδή:

Α – Β = {x∈Ω / x∈Α και x∉Β}

ΠαράδειγμαΑν:

Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10}τότε:

Α – Β = {2, 3, 4} και:

Β – Α = {8, 9, 10}

Page 19: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

2. ΣύΝΟΛα

23

ii. Κάθε σύνολο Α, με Α ⊆ Ω, παριστάνεται με το εσωτερικό μίας

A

κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό του ορθο- γωνίου που παριστάνει το Ω.

iii. Αν Α ⊆ Β, τότε το Α παριστάνεται με μία κλειστή καμπύλη

BA

που περιέχεται σε μία επίσης κλειστή καμπύλη που παριστά- νει το Β.

ΠαράδειγμαΓια τα σύνολα , , είναι υποσύνολα του βασικού

συνόλου . Ισχύει ότι ⊆ ⊆ ⊆ και με τη βοή-θεια ενός διαγράμματος Venn προκύπτει το εξής:

10. Πώς ορίζεται:• Η ένωση δύο συνόλων;• Η τομή δύο συνόλων;• Το συμπλήρωμα ενός συνόλου;• Η διαφορά δύο συνόλων;

Απάντηση

Ορισμός Διάγραμμα VennΈνωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνό-λου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχειών του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α ∪ Β. Ισχύει δηλαδή:

Α ∪ Β = {x∈Ω / x∈A ή x∈B}

Ω

A

B

ΠαράδειγμαΑν:

Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10}τότε:

Α ∪ Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Για την ένωση συνόλων ισχύουν τα εξής:• Α ∪ ∅ = Α • Α ∪ Α = Α• Α ⊆ Α ∪ Β • Β ⊆ Α ∪ Β• Α ∪ Β = Β ∪ Α • Αν Α ⊆ Β, τότε: Α ∪ Β = Β

Σχόλια

ΠαράδειγμαΑν:

Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10}τότε:

Α∩Β = {5, 6, 7}

Για την τομή συνόλων ισχύουν τα εξής:• Α ∩ ∅ = ∅ • Α ∩ Α = Α• Α ∩ Β ⊆ Α • Α ∩ Β ⊆ Β• Α ∩ Β = Β ∩ Α • Αν Α ⊆ Β, τότε: Α∩Β = Α• Α ∩ Β ⊆ Α ∪ Β

Σχόλιο

Ορισμός Διάγραμμα Venn

Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α΄. Ισχύει δηλαδή:

Α΄ = {x∈Ω / x∉A}

ΠαράδειγμαΑν:

Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Α = {3, 4, 5}τότε:

Α΄ = {2, 6, 7}

Για το συμπλήρωμα ισχύουν τα εξής:• Α ∩ Α΄= ∅ • Α ∪ Α΄ = Ω

Σχόλιο

Ορισμός Διάγραμμα Venn

Η διαφορά Α – Β είναι το σύνολο των στοι-χείων του συνόλου Α που δεν ανήκουν στο σύνολο Β. Ισχύει δηλαδή:

Α – Β = {x∈Ω / x∈Α και x∉Β}

ΠαράδειγμαΑν:

Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {5, 6, 7, 8, 9, 10}τότε:

Α – Β = {2, 3, 4} και:

Β – Α = {8, 9, 10}

Page 20: τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ

24

ΕΙΣαΓωΓΙΚΟ ΚΕφαΛαΙΟ

Κατηγορία 1ασκήσεις στις οποίες δίνονται σύνολα με περιγραφή και ζητείται να τα γράψουμε με αναγραφή.

Μέθοδος

Ερμηνεύουμε την ιδιότητα που μας περιγράφει το σύνολο και την αναγράφουμε με αριθμούς. Οι πιο συνηθισμένες ιδιότητες είναι κάποιες ανισώσεις με αριθμούς, λύσεις εξισώσεων, ιδιότητες γινομένων κ.λπ. Χρειάζεται, επίσης, να θυμόμαστε από τη θεωρία την ερμηνεία των συνόλων , , , .

2.1 εφαρμογή

Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τα σύνολα:i. Α = {x∈ / –2 < x ≤ 1}ii. B = {x∈ / 9x2 – 3x = 0}

ΛύΣΗi. Το σύνολο των φυσικών αριθμών από το –2, χωρίς αυτό να συμπεριλαμβάνεται,

μέχρι και το 1 είναι το:Α = {0, 1}

ii. Η εξίσωση λύνεται ως εξής:

9x2 – 3x = 0 ⇔ 3x(3x – 1) = 0 ⇔ 3x = 0 ή 3x – 1 = 0 ⇔ x = 0 ή x = 13 Από τις λύσεις της εξίσωσης μόνο ο αριθμός 0 είναι ακέραιος. Συνεπώς:

Β = {0}

Κατηγορία 2

ασκήσεις στις οποίες ζητείται ο προσδιορισμός παραμέτρων, ώστε δύο σύνολα α, Β να είναι ίσα.

Μέθοδος

Δύο σύνολα είναι ίσα όταν τα στοιχεία τους είναι ίσα ένα προς ένα. Από αυτή την εξίσωση προσδιορίζουμε τις ζητούμενες παραμέτρους. α

2.2 εφαρμογή

Να προσδιορίσετε τα κ, λ, ώστε τα ακόλουθα σύνολα να είναι ίσα.Α = {(x, y) / x, y∈ και x · y = 4} και Β = {(1, κ), (2, 2), (4, λ)}

ΛύΣΗΓια x = 1 και y = 4 έχουμε: x · y = 4Για x = 2 και y = 2 έχουμε: x · y = 4

Μεθοδολογίες – ΕφαρμογέςΓια x = 4 και y = 1 έχουμε: x · y = 4Άρα το σύνολο Α αποτελείται από τα ζεύγη (1, 4), (2, 2) και (4, 1), δηλαδή:

Α = {(1, 4), (2, 2), (4, 1)}Για να είναι Α = Β πρέπει και αρκεί:

κ = 4 και λ = 1

Αν δίνονται δύο σύνολα και ζητείται να εξετάσουμε αν είναι ίσα, απλώς ελέγχουμε αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία. Σε τέτοιου είδους ασκήσεις μάς συμφέρει να έχουμε παραστήσει τα σύνολα με περιγραφή.

Μεθοδολογικό σχόλιο

2.3 εφαρμογή

Να ελέγξετε αν τα παρακάτω ζεύγη συνόλων είναι ίσα.Α = {x∈ / –3 < x ≤ 4} και Β = {2, 1, –2, –1, 4, 3}Γ = {x∈ / –3 < x ≤ 4} και Δ = {4, 0, 2, 1, 3}

ΛύΣΗi. Οι ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν την ανίσωση –3 < x ≤ 4 είναι οι –2, –1, 0, 1,

2, 3, 4, δηλαδή:Α = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}

Επειδή στο σύνολο Β δεν περιέχεται το 0, τα σύνολα δεν είναι ίσα.ii. Οι φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν την ανίσωση –3 < x ≤ 4 είναι οι 0, 1, 2, 3, 4,

δηλαδή:Γ = {0, 1, 2, 3, 4}

Άρα τα σύνολα Γ, Δ είναι ίσα, αφού έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.

ΣχόλιοΠαρατηρήστε ότι τα σύνολα Α, Γ δεν είναι ίσα. Αυτό συμβαίνει, διότι αλλάζουν τα βασικά σύνολα. Χρειάζεται, επομένως, να δίνουμε ιδιαίτερη σημασία στο βασικό σύνολο που μας δίνεται στις ασκήσεις.

Κατηγορία 3

ασκήσεις στις οποίες δίνονται σύνολα α, Β και ζητείται ο προσδιορισμός των συνό-λων α ∩ Β, α ∪ Β, α΄, α – Β, (α ∪ Β)΄, (α ∩ Β)΄ κ.λπ.

Μέθοδος

Χρειάζεται να χρησιμοποιούμε τις εξής βασικές έννοιες:Α ∪ Β = {x∈Ω / x∈A ή x∈B}

Α ∩ Β = {x∈Ω / x∈A και x∈B}Α΄ = {x∈Ω / x∉A}

Α – Β = {x∈Ω / x∈Α και x∉Β}Τα υπόλοιπα σύνολα προκύπτουν από τον συνδυασμό των πιο πάνω βασικών εννοιών.