Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ...

Click here to load reader

  • date post

    18-Jul-2020
  • Category

    Documents

  • view

    1
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ...

  • Κεφάλαιο 2 - Συναρτήσεις

    13

    Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    I. Πεδίο ορισµού συνάρτησης

    1. ∆ίνονται οι συναρτήσεις: (i) ( ) 2f x x x 3= − + , (ii) ( ) 3f x x= .

    Να βρεθούν τα ( )f 0 , ( )f 2− , ( )f 3 , ( )f 2α , ( )f α β+ , ( )f 2α 5+ , ( ) ( ) f α f β

    α β

    , ( ) ( )f x h f x

    h

    + − .

    2. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:

    (i) ( ) 3 2 5x

    f x x x 2x

    = − −

    (ii) ( )f x x 1 3 x= + + −

    (iv) ( ) 2 xf x 2 x

    − =

    + (v) ( )

    2

    2

    x 7x 12 f x

    x 2x 3

    − + =

    − −

    3. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:

    (i) ( ) 5f x 3 x 2

    = − −

    (ii) ( )f x 5 x 1= − +

    (iii) ( )f x 2x 1 7= + − (iv) ( ) 2f x 3 x 2 x= − − .

    4. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:

    (i) ( ) ( ) x 5

    f x log 9 x

    + =

    − (ii) ( ) x 2f x ln

    x 4

    + =

    − (iii) ( ) 3 xf x log

    x

    − =

    (iv) ( ) 25x x

    f x ln 4

    − = (v) ( ) ( )2f x ln ln x 1 = −  .

    6. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:

    (i) ( ) 2

    1 f x

    2x 7x 15 =

    − − (ii) ( ) 2f x 2x x= − (iii) ( ) x 3f x

    5 x

    − =

    (iv) ( ) x 3f x x 2

    − =

    + (v) ( )

    2

    2

    x x 6 f x

    x 6x

    − − =

    + (vi) ( )

    2

    2

    x x 6 f x

    x 6x

    − − =

    +

    7. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:

    (i) ( )f x 1 5 2x= − − (ii) ( ) x 3f x | x | x

    − =

    (iii) ( ) 2f x x 7 | x | 12= − + (iv) ( ) 2f x 6 | x 5x |= − −

    8. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:

  • Κεφάλαιο 2 - Συναρτήσεις

    14

    (i) ( ) ( )2xf x log 4 x= − (ii) ( ) ( ) 3 29 x

    2f x x 3x 2 −

    = − +

    (iv) ( ) ( )2f x 4x x ln x 2= − − − (v) ( ) 3 xf x ln x

    − =

    9. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:

    (i) ( ) 2 x

    f x log x 1

    = −

    (ii) ( ) ( )xf x ln 1 e= − (iii) ( ) ( )f x ln 1 lnx= −

    10. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το [ ]A 0,8= . Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) ( )2g x f x 1= − .

    11. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το [ ]A 1,4= − . Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) ( )g x f 5x 2= + .

    II. Παράµετροι

    12. Για ποιες τιµές του α∈� οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισµού το � :

    (i) 2f (x) x 3αx 3α 1= − − − (ii) ( ) ( )2f(x) α 2 x 2 α 2 x+2= − + −

    (iii) 2

    1 f(x)

    x αx 4 =

    + + (iv) ( ) ( ) ( )2f(x) log α 1 x α 1 x α 1 = − − + + +  .

    13. Για ποιες τιµές του α ∈� οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισµού το � .

    (i) x

    2 α f (x)

    2α 1

    − =  −  (ii)

    2

    1 f (x)

    (α 2)x 2αx 3α =

    + − +

    (iii) 2f (x) og[(α 1)x αx α]= + + +� (iv) 2

    1 f (x)

    n(x 2αx 4) =

    + +� .

    14. Για τις διάφορες τιµές του λ �∈ να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:

    (i) 2f (x) x 2x λ= − + + (ii) 2f (x) λx 2(λ 2)x 1= + − +

    III. Σύνολο τιµών συνάρτησης

    15. Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων:

    (i) x 4x

    f(x) x x 4

    − = +

    − (ii)

    x 3 f (x)

    x 2

    + =

    − (iii) 2f(x) x 4x 6= + − (iv)

    2

    2

    x 2 f (x)

    x 1

    + =

    + .

    16. Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων.

    (i) 2f(x) x x= − (ii) f (x) x 4 x= − −

  • Κεφάλαιο 2 - Συναρτήσεις

    15

    (iii) 2

    2

    x x 1 f (x)

    x x 1

    − + =

    + + (iv) f (x) 2 n(1 x 2)= + + −�

    17. Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων.

    (i) f (x) 9 4 x= − − (ii) f (x) 2 n(1 x 2)= + + −�

    18. Για ποιες τιµές των α,β∈� η συνάρτηση 2

    2αx β f (x)

    x 1

    + =

    +

    έχει σύνολο τιµών το [ ]2,8− .

    19. Για ποιες τιµές του α∈� η συνάρτηση 2

    αx f (x)

    x 1 =

    +

    έχει σύνολο τιµών το [ ]3,3− .

    IV. Συναρτησιακές σχέσεις

    20. ∆ίνετε η συνάρτηση f : →� � για την οποία ισχύει:

    ( ) ( ) ( ) ( )2 2f x ψ f x ψ 4 x ψ 2 3x 5+ + − = + − − για κάθε x,ψ∈� . Να βρείτε το ( )f 0 και κατόπιν τον τύπο της συνάρτησης f .

    21. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f :� �→ όταν ισχύει.

    (i) 2f (x 1) x 2x 5− = − + για κάθε x ∈�

    (ii) 2 2 4f (x) 10x f (x) 25x≤ − για κάθε x ∈�

    (iii) 2f (x) x 2x f (x 1) 3x 1+ ≤ ≤ + − − για κάθε x ∈�

    (iv) 4 3f (x) xf ( x) 2x 2x x 1− − = + − + για κάθε x ∈� .

    (v) f (x 2) f (x ψ) 4(xψ 1)+ + − = − για κάθε x,ψ∈� .

    22. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης *f : →� � για την οποία ισχύει:

    (i) 2 1

    3f (x) 2f 5x x

     − =   

    για κάθε x ∗∈� .

    (ii) 1

    f (x) 3f 8x x

     + =   

    για κάθε x ∗∈� .

    (iii) 2f(x) 3f (1 x) 4x 3− − = + για κάθε x ∈�

    23. ∆ίνεται η συνάρτηση *f : →� � για την οποία ισχύει: 1

    2xf (x) 5xψf (x)f (ψ) 5

    − ≥ για κάθε x,ψ ∗∈� .

    Να δείξετε ότι 1

    f (x) 5x

    = .

  • Κεφάλαιο 2 - Συναρτήσεις

    16

    24. Έστω f:(0, )+ ∞ →� συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε x,ψ (0, )∈ + ∞ ισχύει: f(x) f(ψ) f(xψ)+ = . Να αποδειχθεί ότι:

    (i) f(1) 0= (ii) 1

    f f(x) x

      = −   

    (iii) x

    f f(x) f(ψ) ψ

      = − 

      (iv) ( )νf x νf(x)= ,

    ν ∗∈�

    (v) ( )ν 1f x f(x) ν

    = , ν∈� µε ν 2≥ .

    V. Γενικές

    25. Να δειχθεί ότι, δεν υπάρχει συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το � , για την οποία

    ισχύει: 2f (x) f (5 x) x 3− − = + για κάθε x ∈� .

    26. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το � και για κάθε x ∈� ισχύει: 2

    2

    x 6x x f(x) f( x)

    6 x 1

    − + − =

    + .

    (i) Να βρείτε τον τύπο της f . (ii) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f .

    27. ∆ίνεται η συνάρτηση 1 x

    f (x) log 1 x

    − =

    + .

    (i) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της.

    (ii) Να δειχθεί ότι : f ( x) f (x)− = − για κάθε fx A∈

    (iii) Να δειχθεί ότι , για κάθε 1 2 fx , x A∈ ισχύει: 1 2

    1 2

    1 2

    x x f (x ) f (x ) f

    1 x .x

     + + =  + 

    .

    28. Να βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων f , g όταν για κάθε x ∈� ισχύουν:

    ( ) ( ) 23f x 1 g x 3 9x 23x 17+ + + = + + και ( ) ( ) 22f x 1 4g x 1 6x 2x 28− + + = − + .

    ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    I. Γραφική παράσταση συνάρτησης

    Πρέπει να γνωρίζουµε πολύ καλά τις γραφικές παραστάσεις των βασικών

    συναρτήσεων.

    29. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των