Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - sch.grusers.sch.gr/imavros/C1/sg.pdf ·...

Κεφάλαιο 2 - Συναρτήσεις

13

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

I. Πεδίο ορισµού συνάρτησης

1. ∆ίνονται οι συναρτήσεις: (i) ( ) 2f x x x 3= − + , (ii) ( ) 3f x x= .

Να βρεθούν τα ( )f 0 , ( )f 2− , ( )f 3 , ( )f 2α , ( )f α β+ , ( )f 2α 5+ ,( ) ( )f α f β

α β

−

−

,( ) ( )f x h f x

h

+ −.

2. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:

(i) ( ) 3 2

5xf x

x x 2x=

− − (ii) ( )f x x 1 3 x= + + −

(iv) ( ) 2 xf x

2 x

−=

+ (v) ( )

2

2

x 7x 12f x

x 2x 3

− +=

− −


(i) ( ) 5f x

3 x 2=

− − (ii) ( )f x 5 x 1= − +

(iii) ( )f x 2x 1 7= + − (iv) ( ) 2f x 3 x 2 x= − − .


(i) ( )( )x 5

f xlog 9 x

+=

− (ii) ( ) x 2

f x lnx 4

+=

− (iii) ( ) 3 x

f x logx

−=

(iv) ( )25x x

f x ln4

−= (v) ( ) ( )2f x ln ln x 1 = − .


(i) ( )2

1f x

2x 7x 15=

− − (ii) ( ) 2f x 2x x= − (iii) ( ) x 3

f x5 x

−=

−

(iv) ( ) x 3f x

x 2

−=

+ (v) ( )

2

2

x x 6f x

x 6x

− −=

+ (vi) ( )

2

2

x x 6f x

x 6x

− −=

+


(i) ( )f x 1 5 2x= − − (ii) ( ) x 3f x

| x | x

−=

−

(iii) ( ) 2f x x 7 | x | 12= − + (iv) ( ) 2f x 6 | x 5x |= − −



14

(i) ( ) ( )2

xf x log 4 x= − (ii) ( ) ( )3 29 x

2f x x 3x 2−

= − +

(iv) ( ) ( )2f x 4x x ln x 2= − − − (v) ( ) 3 xf x ln

x

−=


(i) ( ) 2

xf x log

x 1=

− (ii) ( ) ( )xf x ln 1 e= − (iii) ( ) ( )f x ln 1 lnx= −

10. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το [ ]A 0,8= .

Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) ( )2g x f x 1= − .

11. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το [ ]A 1,4= − .

Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) ( )g x f 5x 2= + .

II. Παράµετροι

12. Για ποιες τιµές του α∈ οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισµού το :

(i) 2f (x) x 3αx 3α 1= − − − (ii) ( ) ( )2f(x) α 2 x 2 α 2 x+2= − + −

(iii) 2

1f(x)

x αx 4=

+ + (iv) ( ) ( ) ( )2f(x) log α 1 x α 1 x α 1 = − − + + + .

13. Για ποιες τιµές του α ∈ οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισµού το .

(i) x

2 αf (x)

2α 1

− = − (ii)

2

1f (x)

(α 2)x 2αx 3α=

+ − +

(iii) 2f (x) og[(α 1)x αx α]= + + + (iv) 2

1f (x)

n(x 2αx 4)=

+ +.

14. Για τις διάφορες τιµές του λ ∈ να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων:

(i) 2f (x) x 2x λ= − + + (ii) 2f (x) λx 2(λ 2)x 1= + − +

III. Σύνολο τιµών συνάρτησης

15. Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων:

(i) x 4x

f(x)x x 4

−= +

− (ii)

x 3f (x)

x 2

+=

− (iii) 2f(x) x 4x 6= + − (iv)

2

2

x 2f (x)

x 1

+=

+.

16. Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων.

(i) 2f(x) x x= − (ii) f (x) x 4 x= − −


15

(iii) 2

2

x x 1f (x)

x x 1

− +=

+ + (iv) f (x) 2 n(1 x 2)= + + −

17. Να βρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων.

(i) f (x) 9 4 x= − − (ii) f (x) 2 n(1 x 2)= + + −

18. Για ποιες τιµές των α,β∈ η συνάρτηση 2

2αx βf (x)

x 1

+=

+

έχει σύνολο τιµών το [ ]2,8− .

19. Για ποιες τιµές του α∈ η συνάρτηση 2

αxf (x)

x 1=

+

έχει σύνολο τιµών το [ ]3,3− .

IV. Συναρτησιακές σχέσεις

20. ∆ίνετε η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )2 2f x ψ f x ψ 4 x ψ 2 3x 5+ + − = + − − για κάθε x,ψ∈ .

Να βρείτε το ( )f 0 και κατόπιν τον τύπο της συνάρτησης f .

21. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f : → όταν ισχύει.

(i) 2f (x 1) x 2x 5− = − + για κάθε x ∈

(ii) 2 2 4f (x) 10x f (x) 25x≤ − για κάθε x ∈

(iii) 2f (x) x 2x f (x 1) 3x 1+ ≤ ≤ + − − για κάθε x ∈

(iv) 4 3f (x) xf ( x) 2x 2x x 1− − = + − + για κάθε x ∈ .

(v) f (x 2) f (x ψ) 4(xψ 1)+ + − = − για κάθε x,ψ∈ .

22. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης *f : → για την οποία ισχύει:

(i) 213f (x) 2f 5x

x

− =

για κάθε x ∗∈ .

(ii) 1

f (x) 3f 8xx

+ =

για κάθε x ∗∈ .

(iii) 2f(x) 3f (1 x) 4x 3− − = + για κάθε x ∈

23. ∆ίνεται η συνάρτηση *f : → για την οποία ισχύει:

12xf (x) 5xψf (x)f (ψ)

5− ≥ για κάθε x,ψ ∗∈ .

Να δείξετε ότι 1

f (x)5x

= .


16

24. Έστω f:(0, )+ ∞ → συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε x,ψ (0, )∈ + ∞ ισχύει:

f(x) f(ψ) f(xψ)+ = . Να αποδειχθεί ότι:

(i) f(1) 0= (ii) 1

f f(x)x

= −

(iii) x

f f(x) f(ψ)ψ

= −

(iv) ( )νf x νf(x)= ,

ν ∗∈

(v) ( )ν 1f x f(x)

ν= , ν∈ µε ν 2≥ .

V. Γενικές

25. Να δειχθεί ότι, δεν υπάρχει συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το , για την οποία

ισχύει: 2f (x) f (5 x) x 3− − = + για κάθε x ∈ .

26. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το και για κάθε x ∈ ισχύει: 2

2

x 6x xf(x) f( x)

6 x 1

−+ − =

+.

(i) Να βρείτε τον τύπο της f . (ii) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f .

27. ∆ίνεται η συνάρτηση 1 x

f (x) log1 x

−=

+.

(i) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της.

(ii) Να δειχθεί ότι : f ( x) f (x)− = − για κάθε fx A∈

(iii) Να δειχθεί ότι , για κάθε 1 2 fx , x A∈ ισχύει: 1 21 2

1 2

x xf (x ) f (x ) f

1 x .x

++ = +

.

28. Να βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων f , g όταν για κάθε x ∈ ισχύουν:

( ) ( ) 23f x 1 g x 3 9x 23x 17+ + + = + + και ( ) ( ) 22f x 1 4g x 1 6x 2x 28− + + = − + .

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

I. Γραφική παράσταση συνάρτησης

Πρέπει να γνωρίζουµε πολύ καλά τις γραφικές παραστάσεις των βασικών

συναρτήσεων.

29. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

(i) 2

3 x , x 1

f(x) 2x 1 , 1 x 1

2, x 1

x

− ≥

= + − ≤ < < −

(ii) 3

lnx , x 1

f(x) x , 1 x 1

x , x 1

>

= − ≤ ≤− < −


17

(iii) f(x) lnx= (iv) xf(x) 2 2= − (v) f(x) x 2 x= − + .

30. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων και από αυτές

να βρείτε το σύνολο τιµών τους.

(i)

2x ,x 2

f (x) 4, x 2

x

<

= ≥

(ii) 2

x 1 ,x 1

f (x) x , 1 x 1

x+2 ,x 1

− ≥= − ≤ < − < −

(iii) f (x) x x 1= + −

(iv) 2f(x) x x= − (v) f(x) ηµx ηµx= − (vi) x

f(x) e=

(vii) f(x) ln x= (viii) f (x) lnx= (ix) 2f(x) lnx=

(x) f (x) x= .

II. Σηµεία τοµής της γραφικής µε τους άξονες.

Η γραφική πάνω, κάτω από τον άξονα xx′′′′ .

30. Να βρείτε τα σηµεία που οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων

τέµνουν τους άξονες. Επίσης να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία οι γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από τον άξονα xx΄.

(i) 3 2f (x) 2x x 8x 4= + − − (ii) 3 2f(x) x 2x 5x 6= − − +

(iii) 2x x 6

f (x)x 2

+ −=

− (iv)

22x x 3f (x)

2x 1

+ −=

−

(v) f(x) 3 x 4= − + (vi) 2f (x) log(x 3) logx log4= + − − .

31. Να βρείτε τα σηµεία που οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων

τέµνουν τους άξονες. Επίσης να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία οι γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από τον άξονα xx΄.

(i) 2x x 2f (x) e 1− −= − (ii)

2x 2x x 2f(x) 2 8− −= −

(iv) ( )f(x) logx logx 3 log100= − + (v)

2

2

x 4x 3 , x 0f (x)

ln x 5x 5 , x 0

+ + ≤=

+ + >

III. Σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων. Γραφική

παράσταση συνάρτησης πάνω – κάτω από άλλη.

32. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω

συναρτήσεων

(i) 2f(x) x 3x= − και 3 2g(x) x 3x= − (ii) 2f(x) x 1= − και g(x) 3 x 1= −

(iii) 2f(x) x 2x 5= + − και 6

g(x)x

= (iv) x 2

f (x)x 1

+=

− και

8g(x)

x=

(v) 2x 5f(x) 3 += και x 2g(x) 3 2+= +


18

33. Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από την γραφική παράσταση της g .

(i) x 1

f(x)x 2

+=

− και

3 1g(x)

x 2 2= −

−

(ii) x xf(x) 5 25 2= + ⋅ και xg(x) 10 25= +

(iii) 3

f(x) lnx 1

=−

και ( )g(x) ln 5 x= − .

34. Για ποιες τιµές του x ∈ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται

κάτω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g όταν:

(i) 3 2f (x) x x , g(x) 3x 2= + = − (ii) f (x) 10 x , g(x) 5= ηµ = , [ ]x 0, 2π∈

(iii) 22x 6x 8f (x) 5 , g(x) 5 += = (iv) 2f (x) n x , g(x) nx 2= = + .

35. ∆ίνονται οι συναρτήσεις x x 1f(x) 4 2 += − και x 2g(x) 2 8+= − .

(i) Να βρεθούν τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g.

(ii) Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

κάτω από την γραφική παράσταση της g.

IV. Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων και παράµετροι.

36. Να αποδειχθεί ότι οι κορυφές της παραβολής 2ψ x 4βx 1= − + βρίσκονται πάνω

σε µία παραβολή.

37. Να βρεθούν οι α, β∈ ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

( )2f(x) x α 2 x α 2β 1= + + + + + και 8β

g(x)x 1

=+

να τέµνονται πάνω στον άξονα ψψ′

και η γραφική παράσταση της f να εφάπτεται του άξονα xx΄.

38. ∆ίνεται η συνάρτηση

( ) ( ) ( )2f x λ 1 x 2 λ 1 x λ 5= − + + + + , λ 1∈ − .

(i) Να βρεθεί ο λ ∈ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

α. Να τέµνει τον άξονα xx΄ σε δύο σηµεία.

β. Να έχει µε τον άξονα xx΄ ένα µόνο κοινό σηµείο.

γ. Να βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx΄.

(ii) Να δείξετε ότι καθώς το λ διατρέχει το 1− η fC διέρχεται από ένα σταθερό

σηµείο.

39. Αν ( ) 2f x 2x αx β= + + και ( ) 2 2 2g x (α 2)x 3x α 6= + − + − , να βρεθούν οι

α, β∈ ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f, g να έχουν κοινά σηµεία πάνω στον

άξονα ψψ′ και στην ευθεία x 2= .


19

40. ∆ίνονται οι συναρτήσεις

( ) ( ) ( )2

2 2αx 4x 3f x , x 3 και g x x α β x β 2

x 3

− += ≠ = + + − −

−.

(i) Να βρείτε τον α∈ ώστε η fC να διέρχεται από το σηµείο ( )M 1,α 1− .

(ii) Για την τιµή του α που βρήκατε να δείξετε ότι οι fC και gC έχουν δύο κοινά

σηµεία. Αν β 3= , να βρείτε τα κοινά σηµεία των fC και gC .

41. Αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( )4 2f(x) x α 1 x βx 3= − + + + και

( ) ( )2g(x) α 2 x 2 β x 1= + + − − τέµνονται πάνω στις ευθείες x 1= και x 1= − να

βρεθούν:

(i) Τα α, β∈ και

(ii) Τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g.

42. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

( ) ( ) ( )3 2 2 2 2f x λx λ 3λ 1 x 2λ λ 2 x 3λ 3λ 2= + + + + − + − − −

καθώς το λ διατρέχει το διέρχεται από δύο σταθερά σηµεία .

43. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( )2f x x 2 3 5 x 3 25= + µ + + µ + , µ ∈ και έστω µC η

γραφική της παράσταση ( παραβολή ).

(i) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των κορυφών της παραβολής όταν το µ διατρέχει

το .

(ii) Για ποια τιµή του µ η ευθεία ε :ψ x 11= − + διέρχεται από την κορυφή της µC .

V. Γενικές

44. Έστω f: → συνάρτηση τέτοια ώστε

( ) ( ) 22f x f 1 x x 2x 1− − = + − για κάθε x ∈ .

(i) Να βρεθεί ο τύπος της f.

(ii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x f x 3, h x f x 2 , φ x f x 3 2= − = + = − + .

45. ∆ίνεται η συνάρτηση f : ∗ → τέτοια ώστε για κάθε x ∗∈ ισχύει:

( ) 212x f x x f x 3x 4

x

⋅ − ⋅ = − −

.

(i) Να βρείτε τον τύπο της f .

(ii) Να βρείτε τα σηµεία στα οποία η fC τέµνει τους άξονες.

(iii) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η fC βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από

τον άξονα xx΄.

46. Έστω f : → περιττή συνάρτηση τέτοια ώστε

( )2 5x f x x≤ για κάθε x ∈ .


20

(i) Να δείξετε ότι ( )f 0 0=

(ii) Να βρείτε τον τύπο της f .

(iii) Να κάνετε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων:

( ) ( )g x f x= − , ( ) ( )h x f x= , ( ) ( )φ x f x 2= − .

47. ∆ίνεται η συνάρτηση f : → τέτοια ώστε:

( ) ( ) 23f x 1 2f 2 x x 14x 5+ − − = + − , για κάθε x ∈ .

(i) Να βρεθεί ο τύπος της f.

(ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης: ( ) ( )g x f x 2 1= − + .

ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ– ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

I. Ίσες συναρτήσεις

48. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις f, g είναι ίσες:

(i) x 1

f(x)x 1

−=

− και

2

2

x 9g(x)

x 9

−=

−,

(ii) 2x x

f(x)x 1

−=

− και

3

2

x xg(x)

x 1

−=

−

(iii) 1

f(x)x 1

=−

και x 2

g(x)x x 2

−=

+ −

(iv) 2x 9

f(x) lnx 3

−=

− και 2g(x) ln(x 2) ln(x 3)= − − − .

49. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισµού το σύνολο Α και για κάθε

x A∈ ισχύει: ( ) ( ) ( )f g (x) f g (x) 2 2 f g (x) 1+ + − = ⋅ − .

Να δειχθεί ότι, f g= .

50. Να δειχθεί ότι, οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες.

( )f x x 2 x 1 x 2 x 1= + − + − − και ( )2, αν 1 x 2

g x2 x 1, αν x 2

≤ ≤=

− >.

51. Έστω f, g συναρτήσεις µε κοινό πεδίο ορισµού το A = για τις οποίες ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22f x f 1 ψ g x g ψ 3 x 1 6ψ+ − + − = + − για κάθε x, ψ∈ και ( )g 0 0=

να δείξετε ότι f g= .


21

II. Πρόσθεση – Αφαίρεση – πολλαπλασιασµός – διαίρεση συναρτήσεων

52. ∆ίνονται οι συναρτήσεις:

4f(x) x 1= − και 3g(x) x x= − . Να βρεθούν οι συναρτήσεις f g+ , f g⋅ , 1

g και

f

g.

53. Να βρεθούν οι συναρτήσεις f g+ , f g⋅ και f

g όταν:

(i) 1

f(x)x 1

=+

και 2

xg(x)

x 1=

−

(ii) 3x

f(x)x 3

=−

και 2x 2x

g(x)3 x

+=

−

(iii) x 2 , x 1

f(x)x , x 1

+ ≤=

− > και g(x) x 2= + .


5x ,x 0f(x)

2x 3 ,x 0

≤=

+ > και

1 x ,x 3g(x)

3x 2 ,x 3

− ≤=

+ >. Να βρεθεί η συνάρτηση f g+ .

55. ∆ίνονται οι συναρτήσεις: 2x 1 ,x 1

f(x)2x 1 ,x 1

+ ≤ −=

− > − και

2

2

x ,x 2g(x)

x 3 ,x 2

<=

+ ≥.Να βρεθεί η συνάρτηση f g+ .

III. Σύνθεση συναρτήσεων

56. Να βρεθούν οι συναρτήσεις f g και g f όταν:

(i) 2f(x) 9 x= − και g(x) 2x 1= −

(ii) f(x) συνx= και 2g(x) 1 4x= −

(iii) f(x) logx= και 2g(x) x 1= − .

57. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f , g : → µε ( ) ( )g f 2 2= και

( ) ( ) 2f g x x 3x 4= − + για κάθε x ∈ .

Να δείξετε ότι οι fC και gC έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο.

58. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : → τέτοια ώστε για κάθε x ∈ ισχύει:

( )( ) 2f f f x x 3x 4= − + .

Να δείξετε ότι f(2) 2= .

59. Αν ( ) ( ) 2f f x x x= + , να βρείτε το ( )f 0 .


22

IV. Παράµετροι

60. Να βρεθεί ο α∈ ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι ίσες:

f (x) αx 3= + και 3 2

2

αx 4αx 4x 3g(x)

x αx 1

+ + +=

+ +.


(2α 1)x (3α 4)f(x)

x 2α 1

+ + −=

+ −, και

2 2(α 1)x (α 4α 2)g(x)

x 2α 7

+ − − +=

− +.

Να βρεθεί ο α∈ ώστε f g= .

62. Να βρεθούν οι α, β∈ ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι ίσες.

2x βf(x)

x β

+=

+και

(α 1)x 2g(x)

x 2β 6

− +=

− +

63. ∆ίνονται οι συναρτήσεις 2f(x) x αx 4= + + και g(x) x 1= + .

(i) Να βρεθεί ο α∈ ώστε η f gC

να διέρχεται από το σηµείο ( )Μ α,α− .

(ii) Να βρεθεί ο α∈ ώστε η γραφική παράσταση της f g να βρίσκεται πάνω από

τον άξονα xx΄, για κάθε x ∈ .

64. ∆ίνεται η συνάρτηση 3 αx

f(x)2 x

−=

−. Να βρεθεί ο α∈ ώστε για κάθε

x 2∈ − να ισχύει: (f f )(x) x= .

V. Γενικές

65. ∆ίνονται οι συναρτήσεις αx β

f(x)2x α

+=

− µε 2α 2β 0+ ≠ και g(x) x= . Να δειχθεί

ότι, οι συναρτήσεις f f και g είναι ίσες στο σύνολο α

2

−

.

66. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( )2f x n x x 1= + + . Να δειχθεί ότι,

(i) Η f έχει πεδίο ορισµού το .

(ii) Αν ( )g x x= − τότε f g f= − .

.

67. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το [ ]A 1,4= − . Να βρεθεί το πεδίο ορισµού

της συνάρτησης ( ) ( )2g x f x 5= − .

68. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το . Αν για κάθε σταθερή συνάρτηση

g ισχύει g f f g= , να δειχθεί ότι ( )f x x= για κάθε x ∈ .


23

69. Αν ( ) 3x 2f x

x 1

−=

+, να βρείτε µία συνάρτηση g τέτοια ώστε να ισχύει:

( ) ( )f g x x= για κάθε x 3∈ − .

70. Αν ( ) 2f x x 2x 4= − + , να βρείτε δύο συναρτήσεις g για τις οποίες ισχύει:

( ) ( ) 2f g x x 4x 7= − + .

71. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f, g : → , µε ( )g x 3x 1= + και

( ) ( ) 2f g x x x 5= + − . Να βρεθεί ο τύπος της f .

72. Έστω οι συναρτήσεις f, g : → τέτοιες ώστε, για κάθε x ∈ ισχύει

( ) ( ) ( )g x f f x= .

Αν υπάρχει µοναδικός α∈ ώστε ( )g α α= να δείξετε ότι ( )f α α= .

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΡΤΙΕΣ – ΠΕΡΙΤΤΕΣ - ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ

I. Άρτιες – Περιττές συναρτήσεις

73. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές:

(i) f(x) x x= (ii) f(x) x 1 x 1= + + − (iii) 2f(x) 5συν2x 3x= −

(iv) 2f(x) ln(x x 1)= + + (v) 1 x

f(x) ln1 x

−=

+ (vi)

2

2

x 1 xf(x) log

x 1 x

+ −=

+ +.

74. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f , g : → . Να αποδείξετε τις παρακάτω προτάσεις:

(i) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι άρτιες τότε και η συνάρτηση λf µg+ ,

λ, µ∈ είναι άρτια .

(ii) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι περιττές τότε και η συνάρτηση λf µg+ ,

λ , µ∈ είναι περιττή.

(iii) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι άρτιες ή f, g είναι περιττές τότε η συνάρτηση f g⋅

είναι άρτια .

(iv) Αν η συνάρτηση f άρτια και η συνάρτηση g είναι περιττή, τότε η συνάρτηση f g⋅

είναι περιττή.

(v) Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και η συνάρτηση g είναι άρτια, τότε η

συνάρτηση f g είναι άρτια.

(vi) Αν η συνάρτηση f είναι άρτια και η συνάρτηση g είναι περιττή, τότε η

συνάρτηση f g είναι άρτια .

75. ∆ίνεται η συνάρτηση f : → τέτοια ώστε ( ) ( )3f x 4f x 5ηµxσυνx+ − = για

κάθε x ∈ . Να δείξετε ότι η f είναι περιττή συνάρτηση.


24

76. ∆ίνεται η συνάρτηση f : → τέτοια ώστε ( ) ( ) ( )f x ψ f x f ψ+ = + , για κάθε

x, ψ∈ . Να δείξετε ότι: (i) ( )f 0 0= και (ii) Η f είναι περιττή συνάρτηση.

77. ∆ίνεται η συνάρτηση f : → τέτοια ώστε: ( ) ( ) ( ) ( )f x ψ f x ψ 2f x f ψ+ + − =

για κάθε x, ψ∈ . Να δείξετε ότι: (i) f (0) 1= ή f (0) 0= και (ii) Η f είναι άρτια

συνάρτηση.

78. Να δείξετε ότι κάθε συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού ένα «συµµετρικό» (ως προς

το µηδέν) σύνολο Α γράφεται κατά µοναδικό τρόπο σαν άθροισµα µας άρτιας και

µιας περιττής συνάρτησης.

Εφαρµογή: f: 2,2− − → µε ( ) x 3f x

x 2

−=

+.

II. Περιοδικές συναρτήσεις

79. Αν Τ, 1T , 2T περίοδοι της συνάρτηση f : → .

Να δείξετε ότι και οι ( )1 2T , T T , λT λ ∗− + ∈ είναι επίσης περίοδοι της f.

80. Αν η συνάρτηση f είναι περιοδική µε περίοδο Τ να δείξετε ότι η συνάρτηση

( )f αx β+ , α 0> είναι περιοδική µε περίοδοΤ

α.

81. ∆ίνεται η συνάρτηση f : → τέτοια ώστε:

( ) ( ) ( ) ( )f x f x 1 f x 2 f x 2013 0+ + + + + ⋅⋅⋅+ + = για κάθε x ∈ .

Να δείξετε ότι είναι περιοδική και να βρείτε την περίοδο της f .

82. ∆ίνεται η συνάρτηση f : 3→ − ώστε:

( ) ( )( )

f x 5f x α

f x 3

−+ =

−, για κάθε x ∈ , ( )α∈ .

Να δείξετε ότι η f είναι περιοδική µε περίοδο Τ 4α= .

83. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : → µε 0, αν x ρητος

f (x)1, αν x αρρητος

=

, (Dirichlet).

Να δείξετε ότι η f είναι περιοδική µε περίοδο κάθε ρητό αριθµό. Έχει ελάχιστη θετική

περίοδο;

84. Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση f : → µε ( )f x συνx ηµλx= + , λ 0≠ είναι

περιοδική, τότε ο αριθµός λ είναι ρητός.

85. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f : → µε ( )f x συνx ηµαx= + όπου α άρρητος

αριθµός δεν είναι περιοδική.


25

III. Γενικές

86. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτηση f είναι συµµετρική ως προς

το σηµείο Μ(α,β) αν και µόνο αν για κάθε x ∈ ισχύει:

f(x) f (2α x) 2β+ − = .

Τι συµπεραίνετε αν το Μ είναι η αρχή Ο των αξόνων ;

87. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f : → είναι

συµµετρική ως προς την ευθεία x α= αν και µόνο αν για κάθε x ∈ ισχύει:

f(x) f (2α x) 0− − = .

Τι συµπεραίνετε όταν α 0= ;

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

I. Μελέτη συνάρτησης ως προς την µονοτονία

88. Να µελετήσετε την µονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων.

(i) 3f (x) 4 x= − (ii) 3 2f (x) 5x

x= − (iii)

2xf (x)

x 1=−

(iv) 2x 1

f (x)3 x

+=−

(v) x 3

f (x)x3

= − (vi) x

f (x)1 x=+

.

89. Να µελετήσετε την µονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων.

(i) f(x) lnx x= + (ii) f(x) 4 logx= − (iii) 3f(x) ln x lnx x 3= + + +

(iv) xf(x) e x= + (v) x 5xf(x) 5 x e e= − − − (vi) 5x 3f(x) e ln x 3x 2= + + − .

90. ∆ίνεται η συνάρτηση

x2 α

f(x)α 1

− = + , α∈ .

(i) Για ποιες τιµές του α η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το .

(ii) Για ποιες από τις παραπάνω τιµές του α η f είναι:

α. Γνησίως αύξουσα β. Γνησίως φθίνουσα.

91. Να βρεθεί ο α∈ ώστε η συνάρτηση:

( ) ( )f x 1 α x α x 1= − + −

να είναι γνησίως αύξουσα στο .

92. Έστω f : → συνάρτηση τέτοια ώστε:

( ) ( )f x f x h< + για κάθε x ∈ και για κάθε h 0> .

Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.


26

II. Μονοτονία συναρτήσεων και λύση εξισώσεων – ανισώσεων

93. (i) Να δείξετε ότι κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση f : → έχει το πολύ µία

πραγµατική ρίζα .

(ii) Να λύσετε την εξίσωση 2003 32002x 5x 2x 2009+ + = .

94. Η συνάρτηση f : → είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g : →

είναι γνησίως φθίνουσα.

(i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι γνησίως φθίνουσα.

(ii) Να λύσετε την ανίσωση : ( ) ( )2f g (x 2x) f g (x 4)− ≥ + .

95. ∆ίνεται η συνάρτηση xf(x) α (α 1)x 2α 1= + − − + µε α 0> και α 1≠ .

(i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως µονότονη.

(ii) Να λύσετε την εξίσωση xα (α 1)x 2α 1+ − = − .

(όµοια όταν x 2 2f(x) α (α α)x α= + − − ).

96. Έστω f : → συνάρτηση γνησίως φθίνουσα.

(i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) f(x) x= − είναι γνησίως φθίνουσα.

(ii) Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία τη συνάρτηση xh(x) α x= − , 0 α 1< < και να λύσετε την εξίσωση:

2x 4x 5x 20 2α α x 9x 20− −− = − + .

97. (i) Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία τις συναρτήσεις: 3f(x) 2lnx 3x 5x 8= + + − και 3 5 xg(x) 1 6x x 7x e= − − − − .

(ii) Να λύσετε τις ανισώσεις: f(x 2) 0− > και g( x 3) 0− ≥ .

98. (i) Να µελετήσετε την µονοτονία της συνάρτησης: f(x) 1 x logx= − − (1)

(ii) Να λύσετε την ανίσωση: ( )logx log logx 1+ ≤ (2).

99. Να λύσετε τις ανισώσεις:

(i) 7 5 32x 3x 4x 5x 14+ + + ≤ (ii) x x x x3 4 5 6+ + <

(iii) x x x

x x5 3 4

x

3 4n e e

5

++< − (iv)

23x x 2 6 2x2 x 2 5x 6− −− > − + .

III. Μονοτονία και πρόσηµο συνάρτησης

100. Η συνάρτηση f : → είναι γνησίως φθίνουσα µε ( )f 2 0= . Αν

( ) ( )g x f x 2= − , να βρείτε τα πρόσηµα των συναρτήσεων f και g .


27

101. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )13 17f x 2x 1 5x 1= − + + .

(i) Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία .

(ii) Να βρείτε το ( )f 0

(iii) Να βρείτε το πρόσηµο της f .

102. Η συνάρτηση f : → είναι γνησίως αύξουσα µε ( )f 1 0= .

(i) Να βρείτε το πρόσηµο της f .

(ii) Να λύσετε τις ανισότητες: ( )2f 5 λ 0− > και ( ) ( )2f µ 5 f 7µ 5+ < + .

(iii) ∆είξτε ότι: αν α, β∈ µε π

0 β α2

< < < τότε ( ) ( )f συνα f συνβ< .

(iv) Να βρείτε το πρόσηµο της συνάρτησης f(x)

g(x)x 1

=−

.

III. Μονοτονία συναρτήσεων και απόδειξη ανισοτήτων

103. Αν ( )α,β 1,∈ + ∞ και α β< να δείξετε ότι: 1 1

α βα β

+ < + .

104. Έστω f, g : → δύο συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως φθίνουσα και για

κάθε x ∈ ισχύει f(x) g(x)< να δείξετε ότι ( ) ( )f g(x) g f(x)< για κάθε x ∈ .

105. Έστω f, g, h : → γνησίως αύξουσες συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε

x ∈ ισχύει: ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ .

Να δείξετε ότι: ( )( ) ( )( ) ( )( )f f x g g x h h x≤ ≤ , για κάθε x ∈ .

IV. Γενικές

106. Να δείξετε ότι:

(i) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες, τότε και οι συναρτήσεις f g+ ,

f g είναι γνησίως αύξουσες.

(ii) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως φθίνουσες, τότε η συνάρτηση f g+ είναι

γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση f g είναι γνησίως αύξουσα .

(iii) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g είναι γνησίως

φθίνουσα, τότε η συνάρτηση f g− είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση

f g είναι γνησίως φθίνουσα .

107. (i) Αν η συνάρτηση f : → είναι περιττή και γνησίως αύξουσα στο

διάστηµα ( ),0−∞ , τότε είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστηµα ( )0, +∞ .

(ii) Αν η συνάρτηση f : → είναι άρτια και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα

( ),0−∞ , τότε είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα ( )0, +∞ .


28

108. (i) Αν οι συναρτήσεις f, g :A → είναι γνησίως φθίνουσες , να αποδείξετε ότι

και η συνάρτηση f g α+ + , α∈ είναι γνησίως φθίνουσα .

(ii) Να µελετήσετε την µονοτονία των συναρτήσεων: x xf(x) α β 1= + − και x x xg(x) α β γ 1= + + − , όπου ( )α, β, γ 0,1∈

(iii) Να λύσετε τις εξισώσεις: x x x6 8 10+ = και x x x x3 4 5 12+ + =

(iv) Να λύσετε τις ανισώσεις: 3 3 3x 10 x 10 x 106 8 10+ + ++ ≤ και

2 2 2 2x x x x3 4 5 12+ + > .

109. (i) Αν οι συναρτήσεις f, g :A → είναι γνησίως αύξουσες , να αποδείξετε ότι

και η συνάρτηση f g α+ + , α∈ είναι γνησίως αύξουσα .

(ii) Να µελετήσετε την µονοτονία της συνάρτησης 2f(x) x logx 1= + − .

(iii) Να λύσετε την εξίσωση: ( )2 2 2ln x log lnx 1+ = .

(iv) Να λύσετε την ανίσωση: ( )2 2ln x log 2lnx 1+ ≤ .

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

I. Υπολογισµός ακρότατων τιµών συνάρτησης

110. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων.

(i) 2f(x) 4x 3= + (ii) 2f(x) 3x 2= − + (iii) x 1

f(x)x 2

−=

+

(iv) f (x) 3 2xηµ= (v) f(x)=2συνx+3 .

111. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων.

(i) 2

2

x 2f(x)

x 1

+=

+ (ii)

2

2

x x 1f(x)

x x 1

− +=

+ + .

112. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων

(i) x

x

1 ef(x)

1 e

−=

+ (iι) 4 4f(x) ηµ x συν x= + .

113. Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή της συνάρτησης 2

5f (x)

2x 4x 3=

− +.

114. Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή της συνάρτησης:

( )2

2 3f (x) , α 0,π

x 2xσυνα 1= ∈

− +.

Για ποια τιµή του ( )α 0,π∈ η µεγαλύτερη τιµή της f είναι 4;


29

II. Υπολογισµός παραµέτρων

115. ∆ίνεται η συνάρτηση 2f(x) 2x αx 2= − + .

(i) Να βρείτε τον α∈ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται

από το σηµείο Μ(1,5) .

(ii) Για την τιµή του α που βρήκατε να µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την

µονοτονία και τα ακρότατα .

116. Να βρεθούν οι α, β∈ ( α 0≠ ), ώστε η συνάρτηση: 2

3αx βf(x)

x 1

+=

+

(i) Να έχει ελάχιστο το 9− και µέγιστο το 4.

(ii) Να έχει ελάχιστη τιµή αντίθετη της µέγιστης.

(iii) Να ισχύει max minf f 3β 4+ = − .

III. Θεωρητικές

117. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f, g :A → . Αν η f παρουσιάζει µέγιστο στο ox A∈

και η g παρουσιάζει ελάχιστο στο ox A∈ , να αποδείξετε ότι η f g− παρουσιάζει

µέγιστο στο ox A∈ .

118. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f, g :A → µε f(x) 0> και g(x) 0> για κάθε x A∈ .

Αν η f παρουσιάζει µέγιστο και η g παρουσιάζει ελάχιστο στο ox A∈ , να αποδείξετε

ότι η f

g παρουσιάζει µέγιστο στο ox A∈ .

119. Αν η συνάρτηση f : → είναι περιττή και παίρνει ελάχιστη τιµή, να δείξετε

ότι η f παίρνει και µέγιστη τιµή.

IV. Γενικές

120. ∆ίνεται η συνάρτηση 2f(x) x 2x= − . Να κάνετε την γραφική παράσταση της f ,

να τη µελετήσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και κατόπιν να βρείτε το

σύνολο τιµών της .

121. (i) Από όλους τους θετικούς αριθµούς µε σταθερό άθροισµα 2α , α∈ να

βρείτε εκείνους που έχουν το µέγιστο γινόµενο το οποίο και να υπολογίσετε.

(ii) Από όλα τα ορθογώνια µε σταθερή περίµετρο, να βρείτε εκείνο που έχει το

µέγιστο εµβαδόν.

122. (i) Από όλους τους θετικούς αριθµούς µε σταθερό γινόµενο 2c , c∈ να βρείτε

εκείνους που έχουν το ελάχιστο άθροισµα το οποίο και να υπολογίσετε.

(ii) Από όλα τα ορθογώνια µε σταθερό εµβαδόν, να βρείτε εκείνο που έχει την

µικρότερη περίµετρο.


30

123. (i) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) ( )2 2x ψ x ψ

x ψ4 4

+ −⋅ = − .

(ii) Αν οι πραγµατικοί αριθµοί x και ψ έχουν σταθερό άθροισµα c, να αποδείξετε ότι

το γινόµενο Γ xψ= γίνεται µέγιστο όταν c

x ψ2

= = .

(iii) Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή της συνάρτησης ( ) 2

x 1f x

x

−= , x 0≠ .

124. (i) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) ( )2 2x ψ 4xψ x ψ+ = + − .

(ii) Aν οι θετικοί αριθµοί x και ψ έχουν σταθερό γινόµενο 2c , το άθροισµα A x ψ= +

γίνεται ελάχιστο όταν x ψ c= = .

(iii) Να βρείτε την µικρότερη τιµή της συνάρτησης ( ) 4f x x

x= + , x 0> .

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

I. Μελέτη αν µια συνάρτηση είναι 1 1−−−−

125. Να εξετάσετε αν είναι «1 1− » οι παρακάτω συναρτήσεις:

(i) f(x) 3x 2= + (ii) 5 3x 2x 5x 4= + + − (iii) 2

f(x)x 5

=−

(iv) 2x 3

f(x)x 8

+=

+ (v)

1f(x) x

x= + (vi) 2f(x) x x 1= + + .

126. Να εξετάσετε αν είναι 1 1− οι παρακάτω συναρτήσεις:

(i) 2x 3f(x) e 3x 5x 4= + + + (ii) 3f(x) 8 4x 2logx= − −

(iii) f(x) 2 3x 4= + − (iv) 2x 1f(x) 3 e += − (v) x

x

e 1f(x)=

e 1

−+

.

127. (i) Αν οι συναρτήσεις f, g : → είναι «1 1− » να δείξετε ότι και η συνάρτηση

g f είναι «1 1− ».

(ii) Αν η συνάρτηση f : → είναι «1 1− » να δείξετε ότι και η συνάρτηση

( ) ( ) ( )3h x 2f x f x 1= + + είναι επίσης «1 1− ».

128. ∆ίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει: ( )( ) 2f f x x 3x 4= − +

για κάθε x ∈ . Να δείξετε ότι:

(i) ( )f 2 2= (ii) Η συνάρτηση ( ) ( )2g x x xf x 4= − + δεν είναι «1 1− ».

II. Συνάρτηση 1 1−−−− και λύση εξισώσεων

129. Α. Να δείξετε ότι κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση f : → έχει το πολύ

µια πραγµατική ρίζα.

Β. Να λύσετε τις εξισώσεις:


31

(i) 3nx x x 2 0+ + − = (ii) x 1e nx x 2− + + =

(iii) 2003 32002x x 5x 2008+ + = (iv) x x x x3 4 5 6+ + = .

Γ. Αν α, β, γ είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, ( Α = 90ο

),

να δείξετε ότι η εξίσωση x x xβ γ α+ = έχει ακριβώς µια πραγµατική ρίζα.

130. Η συνάρτηση f : → ικανοποιεί τη σχέση ( )( ) ( )3f f x f x 2x 3+ = + για κάθε

x ∈ .

(i) Να δείξετε ότι η f είναι «1 1− ».

(ii) Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )3f 2x x f 4 x+ = − .

131. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f , g : → και η συνάρτηση g f για την οποία

ξέρουµε ότι είναι «1 1− ».

(i) Αν η συνάρτηση f είναι «1 1− » και έχει σύνολο τιµών το να δείξετε ότι η

συνάρτηση g είναι «1 1− ».

(ii) Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )2x x x 1 x 1f 3 9 f 11 4 4− ++ = ⋅ + .

132. ∆ίνεται η συνάρτηση ( )f x x συνx= − , [ ]x 0,π∈ .

(i) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία.

(ii) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f.

(iii) Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( )3 3συν x 1 x συν x 1 x+ + = + + , ( )x 1,1∈ − .

133. Να λύσετε τις εξισώσεις:

(i) ( ) ( )5 3x 1 x 1 x 1e x 3 e x 3 e x 0− − −+ − + + − + + =

(ii) ( ) ( )2 23 3x 2 x 2 x+2 x2 x 1 2 x 2 x 3 4 2 x 2+ + + + = + + + ⋅ + + .

III. Γενικές

134. (i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση xf (x) e x= + είναι «1 1− ».

(ii) Να λύσετε την εξίσωση 2x 4 3x 2e e 3x x 4− − = − + .

(iii) Να λύσετε την ανίσωση 2x x 1 x 2e e x 1 0+ − − + − < .

135. (i) Να µελετήσετε την συνάρτηση xf (x) e x 1= + + ως προς την µονοτονία .

(ii) Να λύσετε την εξίσωση 2x 2x 3 2e e 3 2x x+− = + − .

(iii) Να λύσετε την ανίσωση 2x 2x 3 2e e 3 2x x+− ≥ + − .

136. Αν η συνάρτηση f : → είναι γνησίως µονότονη και ισχύει

f(x f(ψ)) f(x ψ) 2+ = + + , για κάθε x, ψ∈ να δείξετε ότι: f (x) x 2= + .

137. ∆ίνεται η συνάρτηση * *f : → τέτοια ώστε για κάθε x, ψ∈ ισχύει:

( ) ( ) ( )f x ψ f x f ψ⋅ = ⋅ .


32

Αν η εξίσωση f (x) 1= έχει µοναδική ρίζα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι

1 1− .

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

I. Ύπαρξη και εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

138. Να βρείτε την αντίστροφη (αν υπάρχει ) των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) 3x

f(x)5 x

=−

(ii) f(x) 2 x 1= − − (iii) x 5f(x) 3e 7−= −

(iv) ( )xf(x) 4 ln 1 e= − + (v) x

x

1 ef(x)

1 e

−=

+.

139. Να βρείτε την αντίστροφη (αν υπάρχει ) των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) x

x

10f(x)

1 10=

+ (ii) 3xf(x) ln e 2= +

(iii) 1 x

f(x) ln1 x

+= −

(iv) x

f(x)1 x

=+

.

140. ∆ίνεται η συνάρτηση 32x 1

f(x)5

−= .

(i) Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία.

(ii) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της.

(iii) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1f − .

141. Όµοια όταν:

(i) f(x) x x= και (ii) 2x 4x 3 αν x 2

f(x)x 3 αν x 2

− + ≥=

− <.

142. Να βρείτε, αν υπάρχει, την αντίστροφη των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) x xe e

f(x)2

−−= (ii)

x

x

α 1f(x)

α

−= , α 1> .

143. ∆ίνεται η συνάρτηση f :A → τέτοια ώστε

( ) ( )33f x 5f x 2x 0+ − = , για κάθε x ∈ .

Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1f − .

II. Υπολογισµός παραµέτρων

144. ∆ίνεται η συνάρτηση ( )f x αx β= + , α, β∈ .

Να βρεθούν οι α, β στις παρακάτω περιπτώσεις:


33

(i) 1f f −= (ii) 1f f −= − και (iii) 1f f c−= + όπου c∈ .

145. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) (α 2)x β= − + , α, β∈ . Να βρεθούν οι α, β ώστε η f

να αντιστρέφεται και 1f f −= .

III. Αντίστροφη συνάρτηση και λύση εξισώσεων - ανισώσεων

146. ∆ίνεται η συνάρτηση 5f(x) x x 1= + + .

(i) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

(ii) Να λύσετε την εξίσωση 1f(x) f (x)−= .

(iii) Να υπολογίσετε το 1f (1)− .

(iv) Να λύσετε την εξίσωση 1 1f (3x 1) f (8)− −− = .

(v) Να λύσετε την ανίσωση 1 2 1f (2x ) f (3x 5)− −≤ + .

147. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f, g : → και η συνάρτηση g f για την οποία

ξέρουµε ότι είναι «1 1− ».

(i) Να δείξετε ότι και η συνάρτηση f είναι «1 1− ».

(ii) Να λύσετε την εξίσωση 2 2f(2x 1) f(x 3x 1)+ = + − .

(iii) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα να λύσετε την ανίσωση: 1 2 1f (x 1) f (x 1)− −− < + .

148. Η συνάρτηση f : → είναι γνησίως µονότονη και η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σηµεία A(3,2) και B(5,9) .

(i) Να λύσετε την εξίσωση : ( )1 2f 2 f (x x) 9−+ + = .

(ii) να λύσετε την ανίσωση: 1 2f f (x 8x) 2 2− − − ≤ .

149. H συνάρτηση f: → είναι γνησίως µονότονη και η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σηµεία Α(1,5) και Β(3,8).

(i) Να λύσετε την εξίσωση: 1 2f 3 f(x 3x 3) 3− + − − =

(ii) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x 10f f 2 8

x 1

− + + ≤ + .

IV. Γενικές

150. Οι συναρτήσεις f, g : → έχουν την ιδιότητα

( ) 3g f (x) x 3f(x) 3= + + για κάθε x ∈ .

Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

151. Για τη συνάρτηση f γνωρίζουµε ότι ( )f f (x) 3x 2= + για κάθε x ∈ .

(i) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1f − .

(ii) Να δείξετε ότι f(3x 2) 3f(x) 2+ = +


34

(iii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) x= .

152. Η συνάρτηση f : → έχει την ιδιότητα:

( )( ) ( )f f x x f x= + , για κάθε x ∈ .

Να αποδείξετε ότι

(i) Η f είναι αντιστρέψιµη.

(ii) ( )f 0 0= .

(iii) Αν η f έχει σύνολο τιµών το τότε για κάθε x ∈ ισχύει: ( )( )f f x x x− = .

(iv) ( ) ( )1f x x f x−= + .

153. ∆ίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει:

( ) ( ) 5 32f x f x x x x+ − = + + , για κάθε x ∈ .

(i) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.

(ii) Να µελετήσετε την µονοτονία της f.

(iii) Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )1f x f x−= .

154. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f, g : → µε ( )( ) 2f f x x 5x 9= − + και

( ) ( )2g x x x f x 3= − ⋅ + , για κάθε x ∈ .

Να δείξετε ότι:

(i) ( )f 3 3=

(ii) Η g δεν αντιστρέφεται.

155. Αν η συνάρτηση f :A → είναι αντιστρέψιµη και για κάθε 1 2x , x ∈ ισχύει

( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x⋅ = + να δείξετε ότι:

( ) ( ) ( )1 1 1

1 2 1 2f ψ ψ f ψ f ψ− − −+ = ⋅ , για κάθε ( )1 2ψ , ψ f A∈ .

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - sch.grusers.sch.gr/imavros/C1/sg.pdf ·...

Documents

Transcript of Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - sch.grusers.sch.gr/imavros/C1/sg.pdf ·...