2lyk-chaid.edu.gr2lyk-chaid.edu.gr/wp-content/uploads/2017/09/KEF6... · ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε. 158

1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στα μαθηματικά, είναι χωρίς αμφιβολία, η έννοια

της συνάρτησης.

Όταν μελετάμε φυσικά φαινόμενα όπως και στις καθημερινές δραστηριότητες μας

χρησιμοποιούμε διάφορα μεγέθη όπως το μήκος, το εμβαδόν, ο όγκος, η μάζα, η

θερμοκρασία, ο χρόνος και άλλα. Πολλά από τα μεγέθη αυτά παίρνουν διάφορες

τιμές και λέγονται μεταβλητά.

Τα Μαθηματικά χρησιμοποιούν τις συναρτήσεις για να μελετήσουν την σχέση

μεταξύ των μεταβλητών μεγεθών.

Δίνονται τα σύνολα Α 1,3,4,8,9 και

Β α,β, γ,δ,ε,ζ .

Με το διπλανό σχήμα ( βελοειδές διάγραμμα )

ορίζεται μια διαδικασία με την οποία σε κάθε

στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται ένα μόνο

στοιχείο του Β. Λέμε ότι η διαδικασία αυτή

ορίζει μία συνάρτηση από το σύνολο Α στο

σύνολο Β.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Α, Β δύο μη κενά σύνολα A . Συνάρτηση από το σύνολο A στο σύνολο Β

λέγεται μια διαδικασία, με την οποία, κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται

σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β .

Τις συναρτήσεις συμβολίζουμε με τα γράμματα f, g, h, φ, F, G, H,…..

Αν f είναι μια συνάρτηση από το Α στο Β, γράφουμε: f : A B .

Έστω η συνάρτηση f : A B τότε:

Το Α λέγεται πεδίο ορισμού ή σύνολο ορισμού της συνάρτησης f και

συμβολίζεται fA ή fD , ενώ το Β λέγεται σύνολο αφίξεως.

Τα στοιχεία του πεδίου ορισμού Α λέγονται αρχέτυπα ή πρότυπα και τα

παραστάνουμε με το γράμμα x που λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή.

Τα στοιχεία του συνόλου αφίξεως B τα παριστάνουμε με το γράμμα ψ που

λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή.

Αν το στοιχείο x A αντιστοιχίζεται στο ψ Β γράφουμε: ψ f x . To ψ ή

f x λέγεται εικόνα του x ή τιμή της συνάρτησης f στο x.

Παρατηρήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση f : A B , από τον ορισμό της συνάρτησης έχουμε ότι:

1. Ισχύει η συνεπαγωγή:

1 2 1 2x x f x f x , για κάθε 1 2x , x A .

2. Ισχύουν τα επόμενα:

1

3

4

8

9

α

β

ε

ζ

Α Β

γ

δ



Κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β.

Σε μερικά στοιχεία του Β μπορεί να μην αντιστοιχίζεται κανένα στοιχείο του Α

Δύο η περισσότερα στοιχεία του Α μπορεί να αντιστοιχίζονται στο ίδιο στοιχείο

του Β.

Για την καλύτερη κατανόηση ας δούμε τα παρακάτω σχήματα.

Είναι φανερό ότι με τα σχήματα 1 , 2 , 3 ορίζεται μια συνάρτηση από το

σύνολο Α στο Β, ενώ με τα σχήματα 4 , 5 δεν ορίζεται συνάρτηση από το

σύνολο Α στο Β

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Έστω η συνάρτηση f : A B τότε:

Αν Β η f λέγεται πραγματική συνάρτηση

Αν Α και Β η f λέγεται πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής

μεταβλητής.

Σχόλιο Στα επόμενα όταν θα λέμε ότι, μία συνάρτηση f είναι πραγματική θα εννοούμε ότι η

f είναι πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής.

Μπορούμε να ορίσουμε την πραγματική συνάρτηση ως εξής:

1

2

5

7

α

β

γ

Α Β

σχήμα 5

1

5

7

α

β γ

Α Β

σχήμα 2

δ ε

1

2

5

7

α

β

γ

Α Β

σχήμα 3

1

5

7

α

β

γ

Α Β

σχήμα

1

5

7

α

β

γ

Α Β

σχήμα 4



ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Α ένα υποσύνολο του . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο

ορισμού το Α, μια διαδικασία f , με την οποία, κάθε στοιχείο xΑ αντιστοιχίζεται σε

ένα μόνο πραγματικό αριθμό ψ . Το ψ λέγεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται

με f x .

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σύνολο τιμών της συνάρτησης f : A B λέγεται

το σύνολο f A που περιέχει όλα τα στοιχεία

του B τα οποία είναι εικόνες των στοιχείων του A

δηλαδή

f A ψ Β / ψ f x με x A Β .

ΠΩΣ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Μια συνάρτηση f είναι ορίζεται όταν δίνονται:

το πεδίο ορισμού της.

το σύνολο αφίξεως.

Η διαδικασία (κανόνας) της αντιστοιχίας.

Αν η συνάρτηση f είναι πραγματική δεν χρειάζεται να δίνεται το σύνολο αφίξεως

( έχει σύνολο αφίξεως το ).

Στις πραγματικές συναρτήσεις συνήθως, η διαδικασία της αντιστοιχίας δίνεται με

έναν τύπο όπου η εξαρτημένη μεταβλητή ψ εκφράζεται με μία παράσταση της

ανεξάρτητης μεταβλητής x. Αυτός λέγεται τύπος της συνάρτησης.

Για παράδειγμα μια συνάρτηση f μπορεί να έχει τύπο:

f x 2x 3 ή ψ 2x 3 2x x 5

f x4x 3

ή

2x x 5ψ

4x 3

f x 3x 5 ή ψ 3x 5 .

Πολλές φορές δεν δίνεται το πεδίο ορισμού μιας πραγματικής συνάρτησης f , αλλά

δίνεται μόνο ο τύπος της. Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το

«ευρύτερο» υποσύνολο του με τα στοιχεία του οποίου αν αντικαταστήσουμε την

ανεξάρτητη μεταβλητή x στον τύπο της συνάρτησης και κάνουμε πράξεις θα βρούμε

έναν πραγματικό αριθμό, δηλαδή

fA x / f x .

Είναι δυνατόν μία συνάρτηση να μην έχει τον ίδιο τύπο σε όλο το πεδίο ορισμού της,

αλλά να έχει διαφορετικούς τύπους σε δύο ή περισσότερα υποσύνολα του πεδίου

ορισμού της.

Για παράδειγμα η συνάρτηση: 2x , x 0

f x2x 3 , x 0

, έχει πεδίο ορισμού το και

έχει τύπο 2f x x όταν x 0, και f x 2x 3 όταν x ,0 .

f(A)

x f(x)

B A

f



ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

1. Στα επόμενα θα ασχοληθούμε με πραγματικές συναρτήσεις που έχουν πεδίο

ορισμού ένα διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

2. Η συνάρτηση με τύπο f x c , c λέγεται σταθερή συνάρτηση και η

συνάρτηση με τύπο f x x λέγεται ταυτοτική συνάρτηση. Η σταθερή και η

ταυτοτική συνάρτηση έχουν πεδίο ορισμού το A .

ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

I. Το πεδίο ορισμού μιας πραγματικής συνάρτησης εξαρτάται από τον τύπο της.

Γνωρίζουμε ότι:

η παράσταση α

β ορίζεται όταν β 0 .

η παράσταση α ορίζεται όταν α 0 .

Επομένως

Αν μία συνάρτηση έχει τύπο

A xf x

B x , έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των

πραγματικών αριθμών από το οποίο εξαιρούνται οι ρίζες της εξίσωσης B x 0 ,

δηλαδή

A x / B x 0 .

Αν η συνάρτηση έχει τύπο f x A x , έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των

λύσεων της ανίσωσης A x 0 , δηλαδή

A x / A x 0 .

Το πεδίο ορισμού πολλαπλού τύπου συνάρτησης, προκύπτει από την ένωση των

επιμέρους πεδίων ορισμών του κάθε κλάδου.

II. Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f βρίσκεται ως εξής:

Λύνουμε τον τύπο ψ f x ως προς x και γνωρίζοντας ότι η μεταβλητή x παίρνει

τιμές στο πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης, βρίσκουμε το σύνολο που παίρνει τιμές η

μεταβλητή ψ .



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ

I. Πεδίο ορισμού συνάρτησης

1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) 2

3x 2f x

2x 5x 3

(ii)

3 xf x 2

x 1

(iii)

x 2f x

x 1 5

II. Παράμετροι

Είναι χρήσιμο να θυμηθούμε από το τριώνυμο ότι:

Ισχύει: 2αx βx γ 0 για κάθε x όταν α 0 και 2Δ β 4αγ 0 .




2. Να βρεθεί ο α , ώστε η συνάρτηση 2

2

x 4f x

x αx α 8

να έχει πεδίο

ορισμού το

3. Για ποιες τιμές του α , οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το

(i) 2f x α 2 x 2 α 2 x 2 (ii) 2

1f x

αx (α 1)x 2α 1

.

III. Σύνολο τιμών συνάρτησης

4. Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων:

(i) 2f x x 3x 2 (ii)

1f x 5

x 1

(iii)

2

2

x x 1f x

x 1

5. Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 4cm. Να εκφράσετε το

εμβαδόν του τριγώνου σαν συνάρτηση του μήκους μιας κάθετης πλευράς. Ποιο

είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης;



ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α ΟΜΑΔΑ ΓΙΑ ΟΛΟΥΣ

Ορισμός συνάρτησης

1. Να βρείτε τα f 2 , f 2α , f α β , f 2α 5 , f α f β

α β

,

f x h f x

h

όταν: (i) 2f x x x 3 (ii) 3f x x 1 .

2. Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης: 2

2

1 xf x

1 x

, όταν:

(i) 3

x5

(ii) x 1 2 (iii) x 1 α (iv) x f α .

3. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες:

(i) f x 3 , όταν 3 2f x x 8x x 5

(ii) f x 2 , όταν 2f x 3x 10 x 5

(iii) f x 0 , όταν 2

2 2f x x 2x 7 x 2x 6 .

4. Δίνεται η συνάρτηση: x

x

4f x

4 2

. Να αποδείξετε ότι: f x f 1 x 1 .

Πεδίο ορισμού συνάρτησης

8. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

(i) 3 2

5xf x

x x 2x

(ii)

2x 5f x

x x

(iii) f x 1 5 2x .


(i) 2

1f x

12x x 6

(ii)

x 5f x

x 2

(iii) 2f x 6 x x .


(i) f x x 1 3 x (ii) 2f x 2x x (iii) 2 2f x 9 x 4x x .


(i) x 3

f x| x | x

(ii)

2

7f x

x 2x 9

(ii)

2 xf x

2 x


(i) 2

3

x 25f x

x 2

(ii)

x 1f x

4 x 7

(vi) f x 5 2x 1 x 2 .

9. Δίνεται η συνάρτηση 3 2

2

x x 9x 9f x

x 1

.

(i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f .

(ii) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .

(ii) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f , δηλαδή να βρείτε τα διαστήματα στα

οποία η f παίρνει θετικές τιμές και τα διαστήματα στα οποία η f παίρνει αρνητικές

τιμές.



Παράμετροι

10. Για ποιες τιμές του α οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το :

(i) 2

1f x

x αx 4

(ii) 2

2f x

(α 1)x αx α

.

11. Για ποιες τιμές του α οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το .

(i) 2

2x 3f x

α 1 x α 1 x α 1

(ii) 2f x αx 2(α 2)x 1

Σύνολο τιμών συνάρτησης

12. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων:

(i) 1

f xx 1

(ii) 2f x x 2 (iii) 2f x x x

13. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων:

(i) x 4x

f xx x 4

(ii) 2f x x 4x 6 (iii)

2

2

x 2f x

x 1

.

14. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων.

(i) x 3

f xx 2

(ii) f x 9 4 x (iii)

2

2

x x 1f x

x x 1

15. Για ποιες τιμές του α η συνάρτηση 2

αxf x

x 1

έχει σύνολο τιμών το 3,3 .



2. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ

Ορθογώνιο ή καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ονομάζουμε δύο κάθετους άξονες xx και

ψψ με κοινή αρχή ένα σημείο Ο .

Το επίπεδο στο οποίο έχουμε ορίσει ένα καρτεσιανό

σύστημα συντεταγμένων λέγεται καρτεσιανό επίπεδο.

Ο άξονας xx λέγεται άξονας των τετμημένων.

Ο άξονας ψψ λέγεται άξονας των τεταγμένων.

Όταν σε ένα επίπεδο έχουμε ορίσει ένα καρτεσιανό

σύστημα συντεταγμένων, τότε:

Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχίζεται ένα

διατεταγμένο ζεύγος α,β πραγματικών αριθμών και

αντίστροφα, σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος α,β

πραγματικών αριθμών αντιστοιχίζεται ένα σημείο Μ

του επιπέδου.

O αριθμός α λέγεται τετμημένη του σημείου Μ

O αριθμός β λέγεται τεταγμένη του σημείου Μ.

Οι αριθμοί α , β λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ και γράφουμε Μ α,β .

Όταν οι μονάδες μήκους των αξόνων είναι ίσες τότε το σύστημα συντεταγμένων

λέγεται ορθοκανονικό. Στο εξής όταν αναφέρεται καρτεσιανό σύστημα

συντεταγμένων θα εννοείται ότι αυτό είναι ορθοκανονικό.


1. Ένα σημείο Μ βρίσκεται πάνω στον άξονα xx αν και μόνο αν έχει τεταγμένη

μηδέν, δηλαδή

M xx M x,0 , x .

2. Ένα σημείο Μ βρίσκεται πάνω στον άξονα ψψ αν και μόνο αν έχει τετμημένη

μηδέν, δηλαδή

M ψψ M 0,ψ , ψ .

3. Στο διπλανό σχήμα δίνονται τα πρόσημα

των συντεταγμένων των σημείων ενός

καρτεσιανού επιπέδου όταν αυτά βρίσκονται

στο ο1 , ο2 , ο3 , ο4 τεταρτημόριο.

x x

ψ

ψ

Α

Β

Ο

x x

ψ

ψ

Ο α

β Μ α,β

x 0, ψ 0

x x

ψ

ψ

Ο

x 0, ψ 0

x 0, ψ 0 x 0, ψ 0



ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

1. Δύο σημεία Α , Β ενός καρτεσιανού επιπέδου

Είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα xx αν

και μόνο αν έχουν ίδια τετμημένη και αντίθετες

τεταγμένες.

2. Δύο σημεία Α , Β ενός καρτεσιανού

επιπέδου είναι συμμετρικά ως προς

τον άξονα ψψ αν και μόνο αν έχουν

ίδια τεταγμένη και αντίθετες τετμημένες.


επιπέδου είναι συμμετρικά ως προς

την αρχή Ο των αξόνων αν και μόνο

αν έχουν αντίθετες τετμημένες και

αντίθετες τεταγμένες


επιπέδου είναι συμμετρικά ως προς την

διχοτόμο των γωνιών του πρώτου και

του τρίτου τεταρτημόριου αν και μόνο

αν η τετμημένη του ενός είναι τεταγμένη

του άλλου.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Δύο σημεία Μ, Ν έχουν την ίδια τετμημένη α αν και μόνο αν βρίσκονται πάνω σε

μία ευθεία παράλληλη στον άξονα ψψ , η οποία τέμνει τον άξονα xx στο σημείο

A α,0 .

Δύο σημεία Μ, Ν έχουν την ίδια τεταγμένη β αν και μόνο αν βρίσκονται πάνω σε

μία ευθεία παράλληλη στον άξονα xx , η οποία τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο

Β 0,β .

x x

ψ

ψ

Ο

Α α,β

Β α, β

x x

ψ

ψ

Ο

Α α,β Β α,β

x x

ψ

ψ

Ο

Α α,β

Β α, β

x x

ψ

ψ

Ο

Α α,β

Β β,α



ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ

Υπενθυμίζουμε ότι αν στα σημεία Α, Β ενός

άξονα xx αντιστοιχίζονται οι πραγματικοί

αριθμοί α , β αντίστοιχα τότε:

ΑΒ α β

Σχετικά με την απόσταση δύο σημείων στο καρτεσιανό επίπεδο ισχύει το επόμενο

ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν 1 1Α x ,ψ , 2 2

B x ,ψ είναι δύο σημεία ενός καρτεσιανού επιπέδου, τότε:

2 2

2 1 2 1AB x x ψ ψ .

Απόδειξη Διακρίνουμε περιπτώσεις:

(i) Έστω ότι η ευθεία ΑΒ δεν είναι

παράλληλη στους άξονες xx , ψψ , οπότε

1 2x x και 1 2ψ ψ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΑΒ έχουμε:

2 2 2

ΑΒ ΚΑ ΚΒ

2 2

2 1 2 1x x ψ ψ

2 2

2 1 2 1x x ψ ψ .

Άρα

2 2

2 1 2 1AB x x ψ ψ

(ii) ) Έστω ότι η ευθεία ΑΒ είναι παράλληλη

στον άξονα xx , οπότε 1 2ψ ψ , τότε:

2

2 1 2 1ΑΒ x x x x

2 2

2 1 2 1x x ψ ψ

αφού 2

2 1ψ ψ 0 .

(iii) Έστω ότι η ευθεία ΑΒ είναι παράλληλη

στον άξονα ψψ , οπότε 1 2x x , τότε:

2

2 1 2 1ΑΒ ψ ψ ψ ψ

2 2

2 1 2 1x x ψ ψ

αφού 2

2 1x x 0 .

Ο

ψ

1 1Α x ,ψ 2 2Β x ,ψ 1 2ψ ψ

x 1x 2x

Ο

ψ

1 1Α x ,ψ

2 2Β x ,ψ

1ψ

2ψ

x 1 2x x

x x

α β

Α Β

x x

α β

Α Β

Ο

ψ

1 1Α x ,ψ

2 2Β x ,ψ

2 1Κ x ,ψ 1ψ

2ψ

x 1x 2x



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Η απόσταση των σημείων A 5, 2 και B 3, 8 είναι:

2 2 2 2 2 2ΑΒ 5 3 2 8 5 3 2 8 8 6 100 10 .

ΠΟΡΙΣΜΑ

Η απόσταση ενός σημείου M x,ψ του καρτεσιανού

επιπέδου από την αρχή O των αξόνων δίνεται από τον

τύπο:

2 2ΟΜ x ψ .

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ( ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ )

Δίνεται ο κύκλος C με κέντρο την αρχή O των αξόνων και ακτίνα ρ . Ένα

σημείο M x,ψ ανήκει στον κύκλο C αν και μόνο αν ισχύει: 2 2 2x ψ ρ .

Απόδειξη Αν Μ x,ψ τυχαίο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου

τότε 2 2ΟΜ x ψ .

2 2 2 2 2M C ΟΜ ρ x ψ ρ x ψ ρ

Επομένως τα σημεία του κύκλου C και μόνο αυτά

έχουν συντεταγμένες που επαληθεύουν την εξίσωση: 2 2 2x ψ ρ .

Η εξίσωση 2 2 2x ψ ρ λέγεται εξίσωση του κύκλου C με κέντρο την αρχή O

των αξόνων και ακτίνα ρ .


Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι ο κύκλος C με κέντρο ένα τυχαίο σημείο

o οK x ,ψ του καρτεσιανού επιπέδου και ακτίνα ρ έχει εξίσωση:

2 2 2

o οC: x x ψ ψ ρ .

ρ

x x

Μ x,ψ

ψ

ψ

Ο

x x

Μ α,β

ψ

ψ

Ο



ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ

Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A και με τιμές στο .

Γραφική παράσταση της f λέγεται το σύνολο των σημείων Μ x, ψ του

καρτεσιανού επιπέδου E για τα οποία ισχύει ψ f x , δηλαδή το σύνολο των

σημείων M x, f x , x A και συμβολίζεται fC .

Επομένως

fC M x,ψ Ε / x A και ψ f x ή f

C M x, f x Ε / x A .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο

A 3, 2, 1,0,2,4 και τύπο f x 3 x 5 .

Λύση Βρίσκοντας τις τιμές τις συνάρτησης f για τις διάφορες τιμές του x A

κατασκευάζουμε τον πίνακα:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f αποτελείται

από τα σημεία Α 3,4 , Β 2,1 , Γ 1, 2 ,

Δ 0, 5 , Ε 2,1 , Ζ 4,7 όπως φαίνεται στο

διπλανό σχήμα.

2. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f x 2x 3 .

Λύση

Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού A .

Επειδή το πεδίο ορισμού της συνάρτησης περιέχει άπειρα στοιχεία και η γραφική της

παράσταση αποτελείται από άπειρα σημεία, τα οποία προφανώς δεν μπορούμε να

σχεδιάσουμε ένα προς ένα. Θα σχεδιάσουμε λοιπόν μερικά από αυτά και θα

«συμπεράνουμε» που βρίσκονται τα υπόλοιπα. Για το σκοπό αυτό βρίσκουμε μερικές

τιμές της συνάρτησης f και σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα:

x

f x

3 2 1 0 2 4

4 1 2 5 1 7

x

f x

3 2 1 0 1 2

9 7 5 3 1 1

3 4

3 5

3

2

5

3 4

x

4

7

x

ψ

ψ

Α

Β

Γ

Δ

Ε

Ζ



Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων

κατασκευάζουμε τα σημεία 3,9 , 2,7 , 1,5 ,

0,3 , 1,1 , 2, 1 , 3, 3 , 4, 5 .

Παρατηρούμε ότι όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται πάνω

σε μία ευθεία ε . Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η

γραφική παράσταση της συνάρτησης f αποτελείται από

όλα τα σημεία της ευθείας ε .

Σχόλιο

Με την βοήθεια των ιδιοτήτων των συναρτήσεων που θα μάθουμε στα επόμενα, θα

μπορούμε σχετικά εύκολα να κατασκευάζουμε την γραφική παράσταση απλών

συναρτήσεων. Στην Γ Λυκείου θα μάθουμε με την βοήθεια των παραγώγων να

κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση σύνθετων συναρτήσεων εύκολα, γρήγορα

και με αρκετή ακρίβεια.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η εξίσωση ψ f x η οποία επαληθεύεται μόνο από τα ζεύγη x,ψ που είναι οι

συντεταγμένες όλων των σημείων της fC , λέγεται εξίσωση της γραφικής

παράστασης της f.

Το σημείο Μ α,β του καρτεσιανού επιπέδου, ανήκει στη γραφική παράσταση της

συνάρτησης f , αν και μόνο αν ισχύει β f α , δηλαδή αν και μόνο αν οι

συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν τον τύπο της συνάρτησης.

Παραδείγματα

1. Να βρεθεί ποια από τα παρακάτω σημεία 3

A 3,5

, B 2, 1 , Γ 1, 2 ,

Δ 3, 3 και 2

Ε 7,25

ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης

2

x 3f x

x 1

.

2. Αν τα σημεία A α, 8 , B 5,β ανήκουν στην γραφική παράσταση της

συνάρτησης 2

x x 4f x

x 1

, να βρεθούν οι α, β .

3. Αν το σημείο A 2,0 ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης

2 2f x α 1 x 5αx 2 , να βρεθεί ο α .

O

x

ε

x

ψ

ψ

4

8

5

3

4

4




Όταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο

Α τότε:

(i) Για να βρούμε την τιμή της f όταν x α φέρνουμε

μία ευθεία κάθετη στον άξονα xx

στο σημείο που αντιστοιχεί ο αριθμός α , η

οποία τέμνει την γραφική παράσταση στο

σημείο Μ .

Η τεταγμένη του Μ είναι ίση με f α .

(ii) Για να βρούμε τα x A για τα οποία η f

παίρνει την τιμή β φέρνουμε μία ευθεία κάθετη

στον άξονα ψψ στο σημείο που αντιστοιχεί ο

αριθμός β , η οποία τέμνει την γραφική παράσταση

στα σημεία Κ , Λ , Μ … με τετμημένες 1α , 2α ,

3α …. Τότε 1 2 3f α f α f α β .

(iii) Από την γραφική παράσταση

μπορούμε να βρούμε το πεδίο ορισμού

και το σύνολο τιμών f A μιας

συνάρτησης f : A .

Το πεδίο ορισμού A είναι το σύνολο

των τετμημένων των προβολών όλων

των σημείων της γραφικής παράστασης

στον άξονα xx .

Το σύνολο τιμών f A είναι το σύνολο

των τεταγμένων των προβολών όλων των σημείων της γραφικής παράστασης στον

άξονα ψψ .

ΘΕΣΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ

ΑΞΟΝΕΣ

Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση

μιας συνάρτησης f : . Εύκολα

συμπεραίνουμε ότι:

1 2 3f α f α f α 0 , δηλαδή οι τετμημένες

των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f τέμνει τον άξονα xx είναι οι

λύσεις της εξίσωσης f x 0 .

f 0 β , δηλαδή η τεταγμένη του σημείου στο

1α

fC

ψ΄

ψ

x΄

x

O

3α2α

β

x

ψ

O

A

f A

fC

ψ

x΄

x

3α

ΜΚ

2α

β Λ

1α

fC ψ΄

ψ

x΄

x O α

Μ f α



οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα ψψ είναι f 0 .

Είναι φανερό ότι η γραφική παράσταση οποιασδήποτε συνάρτησης f τέμνει τον

άξονα ψψ το πολύ σε ένα σημείο.

Όταν 1 2 3x α ,α α , η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα xx και ισχύει f x 0 .

Όταν 1 2 3x ,α α ,α η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται

κάτω από τον άξονα xx και ισχύει f x 0 .

Επομένως

Α. Οι τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f

τέμνει τον άξονα xx΄ είναι οι ρίζες της εξίσωσης f x 0 . Οι τεταγμένες των

σημείων αυτών είναι μηδέν.

Β. Η τεταγμένη του σημείου στο οποίο η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f

τέμνει τον άξονα ψψ είναι f 0 . Η τετμημένη του σημείου αυτού είναι προφανώς

μηδέν.

Γ. Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx΄, λύνουμε την ανίσωση f(x) 0 , ενώ για να

βρούμε τα διαστήματα στα οποία η fC βρίσκεται κάτω από τον άξονα xx΄, λύνουμε

την ανίσωση f x 0 .


Δίνεται η συνάρτηση 2x 3x 10

f x 2x 1

(i) Να βρεθούν τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f

τέμνει τους άξονες.

(ii) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας

συνάρτησης f βρίσκεται πάνω (αντίστοιχα κάτω) από τον άξονα xx .

ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές

παραστάσεις δύο συναρτήσεων f , g :

οι οποίες τέμνονται στα σημεία Α α, κ και

Β β,λ . Εύκολα παρατηρούμε τα εξής:

f α g α κ και f β g β λ ,

δηλαδή οι τετμημένες των κοινών

σημείων των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f , g είναι οι λύσεις της

εξίσωσής:

f x g x .

α β

κ

λ

ψ

ψ

x x

gC

fC

B

A



Στα διαστήματα ,α , β, η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από την γραφική παράσταση της g και ισχύει f x g x .

Στο διάστημα α,β η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την

γραφική παράσταση της g και ισχύει f x g x .

Επομένως

Α. Οι τετμημένες των σημείων στα οποία τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο

συναρτήσεων f , g είναι οι λύσεις της εξίσωσής:

f x g x .

Β. Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης

f βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g , λύνουμε την

ανίσωση f(x) g x , ενώ για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η γραφική

παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της

συνάρτησης g , λύνουμε την ανίσωση f x g x .


Δίνονται οι συναρτήσεις 3 2f x x 3x , 2

g x x 3x

(i) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

f , g .

(ii) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας

συνάρτησης f βρίσκεται πάνω (αντίστοιχα κάτω) από την γραφική παράσταση

της συνάρτησης g .

ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ: f ΚΑΙ f

Θεωρούμε την συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο A .

1. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A και ισχύει:

f x f x για κάθε x A .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

αποτελείται από τα σημεία M x, f x τα οποία

είναι συμμετρικά των σημείων M x,f x της

γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ως προς

τον άξονα xx .

Επομένως η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f είναι συμμετρική της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f ως προς τον

άξονα xx .

2. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A και ισχύει:

x x

ψ

ψ

Ο

fC

fC



f x αν f x 0f x f x

f x αν f x 0

.

Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

αποτελείται από τα τμήματα της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα

xx και από τα συμμετρικά ως προς τον άξονα xx , των

τμημάτων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

f που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν, μαζί με τα

σημεία τομής της f

C με τον xx .


Γνωρίζουμε ότι ο κύκλος C με κέντρο την αρχή O 0,0

των αξόνων και ακτίνα ρ με ρ 0 έχει εξίσωση: 2 2 2x ψ ρ .

Είναι φανερό ότι ο κύκλος C δεν μπορεί να είναι γραφική

παράσταση μιας συνάρτησης αφού υπάρχουν ευθείες

παράλληλες στον άξονα ψψ που τον τέμνουν σε δύο

σημεία.

Έχουμε 2 2 2 2 2 2 2 2x ψ ρ ψ ρ x ψ ρ x , x ρ,ρ .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2 2f x ρ x ,

x ρ,ρ είναι το ημικύκλιο του κύκλου C που βρίσκεται

πάνω από τον άξονα xx , ενώ η γραφική παράσταση της

συνάρτησης 2 2g x ρ x , x ρ,ρ είναι το

ημικύκλιο του κύκλου C που βρίσκεται κάτω από τον

άξονα xx .

Άρα η γραφική παράσταση του κύκλου C είναι η ένωση

των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g .

fC

x x

ψ

ψfC

ψ

ρ

x

ψ

ρ

x Ο

C

ψ

ρ

x

ψ

ρ

x

Ο

fC

ψ

ρ x

ψ

ρ x Ο

gC




I. Απόσταση σημείων

1. Η απόσταση των σημείων Α 1,1 και Β 2,λ είναι 5 μονάδες. Να βρεθεί ο

λ .

2. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α 1, 4 , Β 2, 1 και

Γ 2,3 είναι ορθογώνιο.

3. Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του ευθύγραμμου τμήματος με

άκρα τα σημεία Α 2, 1 και Β 4,3 .

4. Δίνεται η συνάρτηση 2

x 1f x

x x 12

(i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

(ii) Να βρεθούν τα σημεία στα οποία η fC τέμνει τους άξονες.

(iii) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η fC βρίσκεται πάνω (αντίστοιχα

κάτω) από τον άξονα xx΄.

III. Σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων. Γραφική

παράσταση συνάρτησης πάνω ή κάτω από άλλη γραφική παράσταση.

5. Δίνονται οι συναρτήσεις:

2

x x 4f x

x 1

και g x 2x

(i) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των fC και gC .

(ii) Nα βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η gC βρίσκεται πάνω, ( αντίστοιχα

κάτω) από την fC .

IV. Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων και παράμετροι.

6. Να βρεθεί ο α , ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

2f x x x 1 και g x αx+7 να έχουν ένα κοινό σημείο πάνω στην ευθεία

x 2 . Κατόπιν να βρεθούν όλα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων

των f , g .

7. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : 3 , για τις οποίες ισχύει:

2x x 2

f x g xx 3

για κάθε x 3 1 .

(i) Να βρείτε τις τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων

των συναρτήσεων f και g .

(ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από την γραφική παράσταση της

συνάρτησης g .




1. Να βρείτε τα συμμετρικά των παρακάτω σημείων :

A 2,3 , B 3,4 , Γ 5, 3 , Δ 5, 4 , Ε 2,2 , Ζ 3, 3 και Η κ,λ .

ως προς τον άξονα xx , τον άξονα ψψ , την αρχή των αξόνων και ως προς την

διχοτόμο των γωνιών του ου1 και του ου3 τεταρτημορίου.

2. Αν τα σημεία Α 2,α 4 και Β α 3, 5 βρίσκονται στο ο4 τεταρτημόριο, να

βρείτε το διάστημα στο οποίο παίρνει τιμές το α . α 3,4

3. Ποια από τα παρακάτω σχήματα παριστάνουν την γραφική παράσταση μιας

συνάρτησης f ;

Απόσταση δύο σημείων

4. Να βρείτε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ όταν:

(i) Α 0, 2 , Β 3,4 (ii) Α 3, 1 , Β 8,3

5. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α 1, 4 , Β 2, 1 και

Γ 2,3 είναι ορθογώνιο και να βρείτε το εμβαδό του.

6. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α 1,2 , Β 5,4 και Γ 4,1

είναι ισοσκελές και ορθογώνιο.

7. Αν Α 1, 4 , Β 2, 1 και Γ 2,3 , να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου

ΑΒΓ .

8. Να βρείτε σημείο πάνω στον άξονα xx , το οποίο ισαπέχει από τα σημεία

Α 5,3 και Β 2,4 .

9. Να βρείτε σημείο Μ πάνω στον άξονα xx , το οποίο απέχει από το σημείο

Ν 2, 3 απόσταση ίση με 5 μονάδες.

11. Να βρείτε την εξίσωση που ικανοποιούν οι συντεταγμένες των σημείων M x,ψ

του καρτεσιανού επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από τα σημεία Α 1, 5 και Β 2,2 .

Να κάνετε ένα σχήμα.

12. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ 2,5 και ακτίνα ρ 10 έχει

εξίσωση: 2 2x ψ 4x 10ψ 71 0 .

x

ψ

x

ψΕΔ

x

ψΖ

x x x

ψ ψ ψ

B ΓA



13. Να βρείτε την εξίσωση που ικανοποιούν οι συντεταγμένες των σημείων M x,ψ

του καρτεσιανού επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από τον άξονα ψψ και από το σημείο

Ε 4,0 .

Παράμετροι

16. Αν το σημείο Μ λ,1 ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

2f x x 2x 2 να βρείτε το λ .

17. Αν το σημείο Μ 4,α ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

3

f x 1x 1

, να βρείτε το α .

18. Αν 2f 3x 4 μx 3x 1 και η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

διέρχεται από το σημείο Μ 1,5 , να βρείτε το μ . 1

19. Να βρείτε τον α αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

2 2 2f x 5x α α x α 5α 4 διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

20. Να βρείτε τους α, β αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

2x 4

f xx

διέρχεται από τα σημεία

15A α,

2

και Β 4, β 5 .

21. Να βρείτε τους α, β αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f x α x 2 β x 1 διέρχεται από τα σημεία A 2,3 και Β 1,3 .

Σημεία τομής της γραφικής παράστασης συνάρτησης με τους άξονες. Γραφική

παράσταση συνάρτησης πάνω – κάτω από τον άξονα xx΄.

22. Να βρεθούν τα σημεία που οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω

συναρτήσεων τέμνουν τους άξονες.

(i) 22x x 3

f xx 5

(ii)

2x x 6f x

x 2

(iii) 3 2f x 2x x 8x 4 .

23. Δίνεται η συνάρτηση

2f x α 1 x 2 α 1 x α 5 , α 1 .

Να βρείτε τον α ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης:

(i) Να τέμνει τον άξονα xx΄ σε δύο σημεία.

(ii) Να έχει με τον άξονα xx΄ ένα μόνο κοινό σημείο.

(iii) Να βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx΄.

24. Δίνεται η συνάρτηση 3f x α 1 x 12x . Να βρείτε τον α , ώστε η

γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο M 1,9 . Για την τιμή του α

που βρήκατε :

(i) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

xx και ψψ .



(ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω,

αντίστοιχα κάτω από τον άξονα xx .

Σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων. Γραφική

παράσταση συνάρτησης πάνω – κάτω από άλλη.

25. Δίνονται οι συναρτήσεις 2f x x x 3 και g x 2x 5 .

(i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f , g .

(ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g .

26. Δίνονται οι συναρτήσεις f x 3x 2 και 8

g xx

.

(i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g .



27. Δίνονται οι συναρτήσεις x 1

f xx 2

και

3 1g x

x 2 2

.

(i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g .



28. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : , για τις οποίες ισχύει:

2f x g x x 3x 4 για κάθε x .

(i) Να βρείτε τις τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g .



Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων και παράμετροι.

29. Αν 2f x 2x αx β και 2 2 2g x (α 2)x 3x α 6 , να βρεθούν οι

α, β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f, g να έχουν κοινά σημεία πάνω στον

άξονα ψψ και στην ευθεία x 2 .

30. Να βρεθούν οι α, β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

2f x x α 2 x α 2β 1 και 8β

g xx 1

να τέμνονται πάνω στον άξονα

ψψ και η γραφική παράσταση της f να εφάπτεται του άξονα xx΄.

31. Δίνονται οι συναρτήσεις β

f x α 2 xx

και 2α

g x 4x

, α, β .

(i) Να βρείτε τους α, β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f, g να τέμνονται πάνω

στις ευθείες x 1 και x 3 .

(ii) Για τις τιμές των α, β που βρήκατε στο ερώτημα (i): α. Να βρείτε τα κοινά σημεία των fC και gC .

β. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η fC βρίσκεται πάνω, αντίστοιχα κάτω,

από την gC .



3. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) αx β

ΓΩΝΙΑ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ xx

Έστω ε μία ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο η οποία τέμνει τον άξονα xx στο

σημείο A .

Γωνία της ευθείας ε με τον άξονα xx λέγεται η γωνία ω που διαγράφει η

ημιευθεία Αx , αν στραφεί γύρω από το A κατά την θετική φορά ( αντίθετη από την

φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού ) μέχρι να συμπέσει με την ευθεία ε .

Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη στον άξονα xx ή συμπίπτει με αυτόν, τότε

ορίζουμε ως γωνία της ευθείας ε με τον άξονα xx να είναι η μηδενική γωνία

δηλαδή οω 0 .

Αν ω είναι η γωνία μιας ευθείας ε με τον άξονα xx , τότε: ο0 ω 180 .

ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Έστω ε μία ευθεία η οποία δεν είναι παράλληλη στον άξονα ψψ και σχηματίζει

γωνία ω με τον άξονα xx . Κλίση ή συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε

ορίζεται να είναι η εφαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζεται με λ ή με ελ , δηλαδή

λ εφω .

Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη στον άξονα ψψ , τότε δεν ορίζεται η κλίση αυτής.

Έστω λ είναι η κλίση μιας ευθείας ε , που σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα xx :

Αν οω 0 ε xx ή ε xx , τότε λ 0

Αν ο0 ω 90 , τότε λ 0

Αν οω 90 , τότε δεν ορίζεται η κλίση της ευθείας ε

Αν ο ο90 ω 180 , τότε λ 0 .

Σχόλια

1. Στα επόμενα όταν θα λέμε ότι μία ευθεία ε έχει κλίση λ , θα εννοούμε ότι η

ευθεία ε δεν είναι παράλληλη στον άξονα ψψ .

2. Πρέπει να θυμόμαστε ότι:

x x

ψ

ψ

Ο Α

ε

ω x x

ψ

ψ

Ο Α

ε

ω



οεφ0 0 , ο 3εφ30

3 , οεφ45 1 , οεφ60 3 και ότι η οεφ90 δεν ορίζεται.

3. Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν αντίθετες εφαπτόμενες, οπότε:

ο οεφ120 εφ60 3 , ο οεφ145 εφ45 1 , ο ο 3εφ150 εφ30

3 .

H ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) αx β

Θεώρημα

Κάθε ευθεία ε στο καρτεσιανό επίπεδο που δεν είναι παράλληλη στον άξονα

ψψ έχει εξίσωση της μορφής ψ αx β και αντίστροφα κάθε εξίσωση της

μορφής ψ αx β είναι εξίσωση μιας ευθείας ε .

Απόδειξη

Θεωρούμε μια ευθεία ε στο καρτεσιανό επίπεδο

που τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο Β 0,β και

σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα xx . Αν Μ x,ψ

Μ Β είναι ένα τυχαίο σημείο της ε , από το

ορθογώνιο τρίγωνο NBM στο διπλανό σχήμα

έχουμε:

ΜΝ ψ βεφω

ΝΒ x

ψ βα

x

ψ β αx ψ αx β , όπου α εφω

Αν το σημείο βρίσκεται στην αντίθετη ημιευθεία της ε με κορυφή το σημείο Β

έχουμε:

ΜΝ β ψ ψ βεφω

ΝΒ x x

ψ βα

x

ψ β αx ψ αx β , όπου

α εφω .

Είναι προφανές ότι και οι συντεταγμένες του Β επαληθεύουν την εξίσωση

ψ αx β , δηλαδή όλα τα σημεία της ευθείας ε έχουν συντεταγμένες που

επαληθεύουν την εξίσωση ψ αx β .

Τα προηγούμενα ισχύουν και στην περίπτωση που η ευθεία ε σχηματίζει αμβλεία

γωνία με τον άξονα xx .

Υποθέτουμε τώρα ότι υπάρχει σημείο 1Ν x,ψ εκτός

της ευθείας ε για το οποίο ισχύει 1ψ αx β 1 .

Η ευθεία που διέρχεται από το N και είναι κάθετη

στον άξονα xx τέμνει την ευθεία ε στο σημείο

Μ x,ψ και θα ισχύει ψ αx β 2 . Από τις 1

και 2 παίρνουμε 1ψ ψ που είναι άτοπο.

ε

Ο

ω

ω

Β 0,β

Μ x,ψ

N x,β

x

ψ

ψ

x

ω

ε

Ο

Β 0,β

Μ x,ψ

1N x,ψ

x

ψ

ψ

x

1ψ



Αντίστροφα θεωρούμε την εξίσωση ψ αx β . Γνωρίζουμε ότι υπάρχει μία γωνία

ω , τέτοια ώστε εφω α . Η ευθεία ε που τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο

Β 0,β και σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα xx σύμφωνα με τα προηγούμενα θα

έχει εξίσωση ψ αx β

Από το προηγούμενο θεώρημα συμπεραίνουμε ότι:

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f (x) αx β είναι μία ευθεία ε η οποία τέμνει

τον άξονα ψψ στο σημείο Β 0,β και σχηματίζει

γωνία ω με τον άξονα xx για την οποία ισχύει

εφω α . Δηλαδή η ευθεία ε έχει κλίση ίση με α

ελ α .

2. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f (x) αx είναι μία ευθεία ε η οποία τέμνει τον

άξονα ψψ στο σημείο Β 0,0 δηλαδή διέρχεται

από την αρχή Ο των αξόνων και σχηματίζει γωνία

ω με τον άξονα xx για την οποία ισχύει εφω α .

3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x

( Ταυτοτική συνάρτηση ) είναι η διχοτόμος των

γωνιών του ου1 και ου3 τεταρτημορίου, αφού

διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει

με τον άξονα xx γωνία ω με εφω 1 οπότε οω 45 .

Όμοια η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f (x) x είναι η διχοτόμος των γωνιών του ου2

και ου4 τεταρτημορίου.

4. Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) αx β είναι μία ευθεία

ε η οποία σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα xx . Είναι φανερό ότι:

αν α 0 , τότε ο0 ω 90

αν α 0 , τότε ο ο90 ω 180

αν α 0 , τότε οω 0

Όταν α 0 , η συνάρτηση έχει μορφή f (x) β και λέγεται σταθερή συνάρτηση. Η

γραφική της παράσταση είναι μία ευθεία ε η οποία είναι παράλληλη στον άξονα

ψψ και τον τέμνει στο σημείο Β 0,β .

ω

ε

Ο

Β 0,β x

ψ

x

ψ

ω

ε

Ο

x

ψ

x

ψ

45

1δ

x

ψ

x

ψ

2δ

135



Παρατηρήσεις 1. Κάθε ευθεία ε του καρτεσιανού επιπέδου που δεν είναι παράλληλη στον άξονα

ψψ είναι γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής f x αx β , α,β .

Αν μία ευθεία ε του καρτεσιανού επιπέδου είναι παράλληλη στον άξονα ψψ και

διέρχεται από το σημείο o οM x ,ψ , τότε η ευθεία ε έχει εξίσωση ox x και δεν

είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

2. Αποδεικνύεται ότι, κάθε ευθεία ε του καρτεσιανού επιπέδου, έχει εξίσωση της

μορφής αx βψ γ 0 με α 0 ή β 0 1 και αντίστροφα κάθε εξίσωση της

μορφής 1 είναι εξίσωση μιας ευθείας ε του καρτεσιανού επιπέδου.

3. Όταν δίνεται η εξίσωση μιας ευθείας ε στη μορφή αx βψ γ 0 και η ευθεία

δεν είναι παράλληλη στον άξονα ψψ , τότε β 0 . Για να βρούμε την κλίση της

ευθείας ε και τις συντεταγμένες του σημείου που τέμνει τον άξονα ψψ λύνουμε

την εξίσωση αυτή ως προς ψ .

Ειδικότερα έχουμε α γ

αx βψ γ 0 βψ αx γ ψ xβ β

, οπότε η ευθεία

ε έχει κλίση α

λβ

και τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο γ

Β 0,β

.

Σχόλιο

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x αx β ή f x αx είναι μία ευθεία

ε . Για να κατασκευάσουμε την ευθεία ε είναι αρκετό να βρούμε δύο σημεία

της. Ένα σημείο είναι το Β 0,β ή η αρχή Ο των αξόνων. Για να βρούμε το δεύτερο

σημείο δίνουμε μια τιμή στο x β ή x 0 και βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή της

συνάρτησης.


1. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x 2x 3 .

2. Να γίνει η γραφική παράσταση των εξισώσεων : ψ 3 και x 2 .

3. Να βρεθεί η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία ε

του διπλανού σχήματος. Επίσης να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε

με τον άξονα xx .

4. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 3x 3ψ 2 3 0 παριστάνει μια ευθεία ε .

Να βρεθεί την γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα και να

σχεδιαστεί.



ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ

Έστω ε μία ευθεία η οποία διέρχεται από τα

σημεία 1 1Α x ,ψ , 2 2B x ,ψ και είναι γραφική

παράσταση της συνάρτησης ψ αx β . Η ευθεία

ε δεν είναι παράλληλη στον άξονα ψψ , οπότε

1 2x x . Τότε έχουμε:

1 1ψ α x β 1 και 2 2ψ α x β 2

Αφαιρώντας από την 2 την 1 παίρνουμε:

2 12 1 2 1 2 1 2 1

2 1

ψ ψψ ψ α x α x α x x ψ ψ α

x x

.

Επειδή η κλίση λ της ευθείας ε είναι ίση με α , συμπεραίνουμε ότι 2 1

2 1

ψ ψλ

x x

.

Άρα

Ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία

1 1Α x ,ψ και 2 2

B x ,ψ δίνεται από τον τύπο

2 1

2 1

ψ ψλ

x x

Παράδειγμα

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία A 2,3 και

B 1, 9 .

ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Θεώρημα Θεωρούμε τις ευθείες 1

ε και 2ε με εξισώσεις

1 1ψ α x β και

2 2ψ α x β

αντίστοιχα. Ισχύουν τα επόμενα:

(i) H ευθεία 1ε είναι παράλληλη στην 2

ε αν και μόνο αν 1 2

α α

(ii) H ευθεία 1ε είναι κάθετη στην 2

ε αν και μόνο αν 1 2

α α 1 .

Απόδειξη

Έστω 1ω , 2ω είναι οι γωνίες που σχηματίζουν οι

ευθείες 1ε , 2ε αντίστοιχα με τον άξονα xx ,

τότε 1 1εφω α και 2 2εφω α . Τότε

(i) 1 2 1 2 1 2 1 2ε ε ω ω εφω εφω α α

ε

Ο

2 2Β x ,ψ

1 1Α x ,ψ

ψ

x

x

ψ

x

ψ

1ε

2ε

2ω 1

ω



(ii) Στα επόμενα θα μάθουμε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύουν τα εξής:

πεφ ω σφω

2

και

1σφω

εφω . Επομένως

1 2 2 1 2 1

πε ε ω ω εφω σφω

2

2 1 2 1 2

1

1εφω εφω εφω 1 α α 1

εφω

Παρατηρήσεις Θεωρούμε τις ευθείες 1ε και 2ε με εξισώσεις 1 1ψ α x β και 1 1ψ α x β

αντίστοιχα. Από το προηγούμενο θεώρημα έχουμε ότι:

1. Αν 1 2α α και 1 2β β , τότε οι ευθείες 1ε και 2ε είναι παράλληλες.

2. Αν 1 2α α και 1 2β β , τότε οι ευθείες 1ε και 2ε ταυτίζονται.

3. Αν 1 2α α , τότε οι ευθείες 1ε και 2ε τέμνονται.

Εύκολα συμπεραίνουμε και τα εξής:

Όλες οι ευθείες που έχουν εξίσωση της μορφής ψ αx β , όπου α σταθερό και

το β μεταβλητό, είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Όλες οι ευθείες που έχουν εξίσωση της μορφής ψ αx β , όπου α μεταβλητό και

το β σταθερό, διέρχονται από το σημείο Β 0,β του άξονα ψψ .

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Για να κατασκευάσουμε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης πολλαπλού τύπου

κατασκευάζουμε ξεχωριστά κάθε κλάδο της συνάρτησης.


1. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x x .

2. Να κατασκευαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης:

2 x

f xx

.


2f x x 4x 4 .


f x x 1 x 2 .

x

ψ

x

ψ

1ε

2ε

2ω

1ω




1. Να βρεθεί η γωνία ω που σχηματίζουν με τον άξονα xx καθώς και τα

σημεία στα οποία τέμνουν τον άξονα ψψ οι παρακάτω ευθείες:

(i) 3ψ 3x 12 (ii) 3x ψ 5 (iii) 3x 3ψ 5 0 (iv) x ψ

223

.

2. Να εξετασθεί αν η ευθεία ε που διέρχεται από τα σημεία Α 2,5 και

Β 4,8 είναι παράλληλη στην ευθεία ζ που διέρχεται από τα σημεία

Γ 1, 3 και Δ 1,0 .

3. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε η οποία:

(i) Έχει κλίση 2

λ3

και τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο Β 0, 5 .

(ii) Έχει κλίση λ 5 και τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Α 2,0 .

(iii) Σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία ο

ω 150 και Μ 3,4

(iv) Διέρχεται από τα σημεία Α 1, 1 και Β 4,8 .

4. Για ποιες τιμές του μ οι ευθείες ε , ζ με εξισώσεις μx 3ψ 1 0 και

2 2μ x μ 2 ψ 2 0 αντίστοιχα, είναι παράλληλες.

5. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f x x 2 x 1 1 .

6. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης : f x x x x .


1. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα xx η ευθεία :

(i) ψ 3 x 6 (ii) ψ 3x 1 0 (iii) ψ x 4 (iv) x 3ψ 6 3 .

2. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα xx η ευθεία :

(i) ψ 5 (ii) x 7 (iii) x ψ 2 (iv) 3ψ 3x 3 3 .

3. Να βρείτε την κλίση λ και το σημείο που τέμνουν τον άξονα xxοι παρακάτω

ευθείες :

(i) ψ 3x 2 (ii) x 3ψ 2 (iii) 3x 2ψ 1 0 (iv) 2x 3ψ 1

(v) x ψ

12 3 (vi)

x ψ 1

2 3 6 (vii) ψ 4 (viii) x 3

Ποιες από τις ευθείες αυτές σχηματίζουν οξεία γωνία και ποιες σχηματίζουν αμβλεία

γωνία με τον άξονα xx ;

4. Να βρείτε την κλίση των ευθειών που διέρχονται από τα σημεία:



(i) A 4,5 και B 5,5 (ii) A 1, 6 και B 1,8 (iii) A 2,3 και B 2, 3

(iv) A 2, 6 και B 2,6 .

Ποιες από τις ευθείες αυτές σχηματίζουν οξεία γωνία και ποιες σχηματίζουν αμβλεία

γωνία με τον άξονα xx ;

5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία έχει κλίση λ και τέμνει τον άξονα

ψψ στο σημείο Β , όταν:

(i) λ 3 και Β 0,2 (ii) λ 1 και Α 0, 4 (iii) 2

λ3

και Β 0, 3

(iv) 3

λ2

και Β 0, 5 (v) 5

λ2

και Β 0,0 .

6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο A και έχει

κλίση λ , όταν:

(i) λ 1 και Α 2,3 (ii) λ 2 και Α 3, 5 (iii) λ 0 και Α 2,7

(iv) 3

λ4

και 2

Α 3,7

(v) 1

λ2

και Α 0,0 .

7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία A και Β ,

όταν:

(i) Α 1,2 και Β 3,4 (ii) Α 1, 5 και Β 2, 5 (iii) Α 0,0 και Β 3, 4

(iv) 3

Α 2,2

και 4

Β 3,5

(v) Α 0,1 και Β 2,0 .

9. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο A και είναι

παράλληλη στην ευθεία που δίνεται, όταν:

(i) Α 3,2 και ψ 2x 5 (ii) Α 1,2 και ψ 3x 2

(iii) Α 1,1 και 2x 3ψ 6 0 (iv) Α 2,3 και 3x 2ψ 8 0 .

10. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και

είναι κάθετη στην ευθεία που ορίζουν τα σημεία Α 5,1 και Β 2,4 .

11. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο M 1,4 και

είναι κάθετη στην ευθεία που τέμνει τον άξονα xx στο 3 και τον άξονα ψψ στο 2 .

12. Να βρείτε το σύνολο των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από τα

σημεία Α 2, 1 , Β 4,3 και να το σχεδιάσετε.

13. Να βρείτε την κλίση της ευθείας ε στο διπλανό σχήμα.

ο30

ε

ψ

ψ

x x O



14. Η ευθεία με εξίσωση 3

ψ x 64

τέμνει τους άξονες xx και ψψ στα σημεία

Α και Β αντίστοιχα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ .

15. Οι ευθείες με εξισώσεις μ 1 x μ 2 ψ 2 0 και 2 μ x μψ 5 0

τέμνονται πάνω στον άξονα xx . Να βρείτε το μ .

16. Το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ στο διπλανό

σχήμα είναι 39 και τα σημεία A , B έχουν

συντεταγμένες 2,0 , 5,0 αντίστοιχα. Να βρείτε

το β . 6

17. Το διπλανό σχήμα δείχνει πως μειώνεται το ύψος

ενός κεριού που καίγεται. Να βρείτε πόσες ώρες θα

κάνει για να τελειώσει το κερί. 6

18. Το διπλανό σχήμα δείχνει την απόσταση

ενός οχήματος που κινείται, από το σημείο

τερματισμού. Να βρείτε σε πόσες ώρες από την

εκκίνηση το όχημα θα απέχει από τη σημείο

τερματισμού 120 Km . 12

19. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ε είναι γραφική

παράσταση της συνάρτησης ψ 3x 3 3 3 .

Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου ΟΑΒΓ .

20. Το τρίγωνο ΑΟΒ στο διπλανό σχήμα είναι

ορθογώνιο οΑ 90 . Να βρεθεί το εμβαδόν του.

O

ψ΄

ψ

x

A 4,6

Β

O

ψ

x

Δ

Γ

ψ 2x β

Β Α

20

1 O

ψ

x

24

(Ύψος σε cm)

(Χρόνος σε ώρες)

x΄

ε

O

ψ

x

Γ

Β Α

300

1 O

ψ

x

1200

(Απόσταση σε Κm)

(Χρόνος σε ώρες)



21. Η ευθεία ε του διπλανού σχήματος διέρχεται από το

σημείο Α 1,3 και σχηματίζει γωνία ο60 με τον άξονα

xx . Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία ε τέμνει

τους άξονες.

22. Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης:

f x x 3 x 2 .

23. Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης: f x x 3 2 x και

κατόπιν να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.

24. Για ποιες τιμές του α η ευθεία ε με εξίσωση :

2 2ψ α α 2 x α 3α 4

(i) Είναι παράλληλη στον άξονα xx .

(ii) Διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

(iii) Σχηματίζει με τον άξονα xx οξεία γωνία.

(iv) Σχηματίζει με τον άξονα xx αμβλεία γωνία.

25. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική

παράσταση μιας συνάρτησης f : .

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f .

26. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική

παράσταση μιας συνάρτησης 4

f x xx

.

(i) Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης

να βρείτε το πλήθος των λύσεων της

εξίσωσης: 2x αx 4 0 ,

για τις διάφορες τιμές του α .

(ii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις

απαντήσεις του προηγούμενου ερωτήματος.

27. Να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου Μ πάνω στην ευθεία

ε : x 2ψ 4 0 , το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A 3,2 και B 1, 4 .

3

ο60

1

x΄

ε

O

ψ

x

Α

fC

Ο 2

x x

ψ

ψ

3

3

1

4

2

fC

x

ψ

x

ψ

4

6 2



4.4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ – ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

Α. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

I. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ

Θεωρούμε τη συνάρτηση φ x με πεδίο ορισμού το σύνολο A και την συνάρτηση

f x φ x c , c 0 , η οποία έχει επίσης πεδίο ορισμού το σύνολο A . Είναι

φανερό ότι για κάθε x A οι τιμές της f είναι κατά c μονάδες μεγαλύτερες από τις

τιμές της φ . Επομένως τα σημεία που ανήκουν στην γραφική παράσταση της

συνάρτησης f προκύπτουν από μια κατακόρυφη μετατόπιση προς τα πάνω κατά c

μονάδες των σημείων γραφικής παράστασης της φ .

Επομένως

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f , με:

f x φ x c , όπου c 0

προκύπτει από μία κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ

κατά c μονάδες προς τα πάνω.


Θεωρούμε την συνάρτηση 2

φ x x3

, x της

οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία ε

του διπλανού σχήματος, η οποία διέρχεται από την

αρχή Ο των αξόνων. Η γραφική παράσταση της


f x x 43

ή f x φ x 4 είναι η

ευθεία ζ η οποία προκύπτει από την ευθεία ε με

κατακόρυφη μετατόπιση κατά τέσσερις μονάδες προς

τα πάνω.

O

fC

f(x) φ(x) c , c 0

ψ΄

ψ

x΄

x

c

c

c

c

c

c

φC

x x

ψ

ψ

ε

ζ

4 4

4

4

Ο



II. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩ


f x φ x c , c 0 , η οποία έχει επίσης πεδίο ορισμού το σύνολο A . Είναι

φανερό ότι για κάθε x A οι τιμές της f είναι κατά c μονάδες μικρότερες από τις

τιμές της φ . Επομένως τα σημεία που ανήκουν στην γραφική παράσταση της

συνάρτησης f προκύπτουν από μια κατακόρυφη μετατόπιση προς τα κάτω κατά c

μονάδες των σημείων γραφικής παράστασης της φ .

Επομένως



προκύπτει από μία κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ

κατά c μονάδες προς τα κάτω.



φ x x3

, x της





f x x 43

ή f x φ x 4 είναι η

ευθεία ζ η οποία προκύπτει από την ευθεία ε με

κατακόρυφη μετατόπιση κατά τέσσερις μονάδες προς

τα κάτω.

O

fC

f(x) φ(x) c , c 0

ψ΄

ψ

x΄

x

c

c

c

c

c

c

φC

x x

ψ

ψ ε

ζ

4

4

4

4

O



Β. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

I. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ


f x φ x c , c 0 , η οποία έχει επίσης πεδίο ορισμού το σύνολο A .

Παρατηρούμε ότι f x c φ x c c φ x για κάθε x A . Δηλαδή για κάθε

x A οι τιμές της φ στη θέση x είναι ίσες με τις τιμές της f στη θέση x c .

Επομένως τα σημεία που ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f

προκύπτουν από μια οριζόντια μετατόπιση προς δεξιά κατά c μονάδες των σημείων

γραφικής παράστασης της φ .

Επομένως



προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά

c μονάδες προς τα δεξιά.



φ x x2

, x της





f x x 22

ή f x φ x 2 είναι

η ευθεία ζ η οποία προκύπτει από την ευθεία ε με

οριζόντια μετατόπιση κατά δύο μονάδες προς τα δεξιά.

O

fC

f(x) φ x c , c 0

ψ΄

ψ

x΄

x

φC

c

c

c

c

c

c

x

ψ

ψ ε ζ

O

2 2

2

2



II. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ


f x φ x c , c 0 , η οποία έχει επίσης πεδίο ορισμού το σύνολο A .

Παρατηρούμε ότι f x c φ x c c φ x για κάθε x A . Δηλαδή για κάθε

x A οι τιμές της φ στη θέση x είναι ίσες με τις τιμές της f στη θέση x c .

Επομένως τα σημεία που ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f

προκύπτουν από μια οριζόντια μετατόπιση προς αριστερά κατά c μονάδες των

σημείων γραφικής παράστασης της φ .

Επομένως




c μονάδες προς τα αριστερά.



φ x x2

, x της





f x x 22

ή f x φ x 2

είναι η ευθεία ζ η οποία προκύπτει από την ευθεία

ε με οριζόντια μετατόπιση κατά δύο μονάδες προς

τα αριστερά.

O

fC

f(x) φ x c , c 0

ψ΄

ψ

x΄

x

φC

c

c

c

c

c

c

x x

ψ

ψ ε ζ

O

2

2

2

2



Παρατήρηση Από τα προηγούμενα εύκολα συμπεραίνουμε ότι:


f x φ x c d , όπου c 0 και d 0


c μονάδες προς τα αριστερά ή δεξιά και από μία κατακόρυφη μετατόπιση κατά

d μονάδες προς τα πάνω ή κάτω.

Παράδειγμα Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση

της συνάρτησης 1

φ xx

, *x . Να γίνει η

γραφική παράσταση της συνάρτησης

1

f x 2x 5

.

Λύση

Είναι f x φ x 5 2 , οπότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτει

από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά 5 μονάδες

προς τα δεξιά και από μία κατακόρυφη μετατόπιση κατά 2 μονάδες προς τα

κάτω.

x x

ψ

O

φC

x x

ψ

O

φC

ψ

2

5

fC




1. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις:

(i) φ(x) x (ii) g(x) x 1 (iii) f(x) x 1 3 .

2. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση


φ xx

, *x . Να παρασταθεί

γραφικά η συνάρτηση 2x 7

f xx 3

.

3. Δίνεται η συνάρτηση 2

4 x αν 2 x 2φ x

x 2 αν x 2

.

A. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης φ και να γίνει η γραφική της

παράσταση.

B. Σε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων να γίνουν οι γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων:

(i) f x φ x 3 (ii) f x φ x 4 (iii) f x φ x 2

(iv) f x φ x 2 3 (v) f x φ x 3 2 .


της συνάρτησης 2φ x 2x , *x . Να παρασταθεί

γραφικά η συνάρτηση 2f x 2x 12x 14 .

x x

ψ

ψ

O

φC

x x

ψ

ψ O




1. Ποιες μετατοπίσεις πρέπει να κάνουμε στην γραφική παράσταση της συνάρτησης

ψ f x για να πάρουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

(i) ψ f x 3 (ii) ψ f x 5 (iii) ψ f x 4 (iv) ψ f x 2

(v) ψ f x 2 3 (v) ψ f x 3 4 (v) ψ f x 5 1 (v) ψ f x 3 2

2. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της

συνάρτησης 2f x x και στα σχήματα που ακολουθούν

δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g , ή οποία

προκύπτει από την γραφική παράσταση της f με κατάλληλη

μετατόπιση.

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g σε κάθε περίπτωση.

3. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων f x x και g x x 2 3 . Σε ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων

να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης h x x 2 3 .

(i) Να λύσετε γραφικά την εξίσωση x 2 3 0 .

(ii) Να λύσετε γραφικά τις ανισώσεις x 2 3 0 και x 2 3 0

(iii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα αποτελέσματα

(iv) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης x 2 3 α , για τις διάφορες

τιμές του α

4. Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης x

f x xx

και κατόπιν να

βρείτε το σύνολο τιμών της.

5. Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f x x 2 5 και κατόπιν

να βρείτε το σύνολο τιμών της.

x

ψ

x

ψ

2

(i)

x

ψ

3

(ii)

x

ψ

1

(iii)

x

ψ

1

4

x

ψ

4

3

(v)

x

ψ

3

(iv) (vi)



6. Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης:

29 x αν 3 x 3

f xx 3 αν x 3

.

Κατόπιν να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων σε

διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων :

(i) ψ f x 2 (ii) ψ f x 4 (iii) ψ f x 2 3 (iv) ψ f x 2 3 .


συνάρτησης ψ x . Σε διαφορετικά συστήματα

συντεταγμένων να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων:

(i) ψ x 3 (ii) ψ x 1

(iii) ψ x 4 2 (iv) ψ x 2 2 .



ψx

. Αφού πρώτα κάνετε την

γραφική παράσταση της συνάρτησης 4

ψx

, στην

συνέχεια να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των

παρακάτω συναρτήσεων σε διαφορετικά συστήματα

συντεταγμένων :

(i) 4

ψ 2x

(ii) 4

ψ 3x

(iii) 4

ψx 2

(iv) 4

ψ 2x 1

.



ψx

. Nα κάνετε τις γραφικές

παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων σε

διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων :

(i) 4

ψ 3x 2

(ii) 3x 1

ψx 1


συνάρτησης 2f x 2x . Nα κάνετε τις γραφικές παραστάσεις

των παρακάτω συναρτήσεων σε διαφορετικά συστήματα

συντεταγμένων :

(i) 2ψ 2x 8 (ii) 2

ψ 2 x 3

(iii) 2

ψ 2 x 3 2 (iv) 2ψ 2x 8x .

x x

ψ

ψ

2

4

x x

ψ

ψ

4

4

4

4 1

1

x x

ψ

ψ

4

4

4

4 1

1

Ο 2

8

x

ψ

x

ψ




συνάρτησης 2f x x .

(i) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης :

2g x x 2x 3

(ii) Να λύσετε γραφικά την εξίσωση 2x 2x 3 0 και

τις ανισώσεις : 2x 2x 3 0 , 2x 2x 3 0 .

(iii) Να επαληθεύσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα.


της συνάρτησης ψ f x .

Σε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων να κάνετε

τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

(i) ψ f x (ii) ψ f x

(iii) ψ f x (iv) ψ f x 3 4 .

13. Δίνεται η συνάρτηση 3 2φ x x 2x . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της

οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από την μετατόπιση της γραφικής

παράστασης της φ κατά:

(i) κατά 10 μονάδες προς τα κάτω.

(ii) κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά.

(iii) κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά και 5 μονάδες προς τα πάνω.

(iv) κατά 4 μονάδες προς τα δεξιά και 8 μονάδες προς τα κάτω.


συνάρτησης 2f x 2x και στα σχήματα που ακολουθούν

δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g , ή οποία

προκύπτει από την γραφική παράσταση της f με κατάλληλη

μετατόπιση.

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g σε κάθε περίπτωση.

x

ψ

x

ψ (i) (ii) 8

x

ψ (iii) 8

x

ψ

(iv) x

ψ

3 x

ψ

1

(v)

4 x

ψ

4

3

(vi)

Ο 2

4

x

ψ

x

ψ

2

3

x

ψ

x

1 5



MONOTONIA – ΑΚΡΟΤΑΤΑ – ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

I. MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική

παράσταση μιας συνάρτησης f στο

διάστημα Δ α,β . Παρατηρούμε ότι

καθώς αυξάνουν οι τιμές του x στο

διάστημα Δ , αυξάνουν και οι αντίστοιχες

τιμές της συνάρτησης.

Για οποιαδήποτε 1 2x , x Δ με ,

ισχύει: 1 2f x f x . Στην περίπτωση αυτή

λέμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ .

Γενικά έχουμε τον επόμενο ορισμό:

Ορισμός Μία συνάρτηση f λέγεται: γνησίως αύξουσα, σε ένα διάστημα Δ του πεδίου

ορισμού της, όταν για κάθε 1 2x ,x Δ με 1 2x x , ισχύει:

1 2f x f x .

Συμβολικά γράφουμε:

Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική

παράσταση μιας συνάρτησης f στο

διάστημα Δ α,β . Παρατηρούμε ότι

καθώς αυξάνουν οι τιμές του x στο

διάστημα Δ , οι αντίστοιχες τιμές της

συνάρτησης ελλατώνονται.

Για οποιαδήποτε 1 2x , x Δ με ,

ισχύει: 1 2f x f x . Στην περίπτωση αυτή

λέμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ .


Ορισμός Μία συνάρτηση f λέγεται: γνησίως φθίνουσα, σε ένα διάστημα Δ του πεδίου

ορισμού της, όταν για κάθε 1 2x ,x Δ με 1 2x x , ισχύει:

1 2f x f x .

Συμβολικά γράφουμε:

Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίου

ορισμού της, τότε λέμε απλώς ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ

του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ .

21 xx

21 xx

f f

β α 1x

2x

2f x

1f x

x

ψ

Ο

β α 1x 2x

2f x

1f x

x

ψ

Ο

Δ . f

Δ . f



Εφαρμογή Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης

f x αx β , α 0 .

Λύση Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού Α .

Έστω 1 2x , x με 1 2x x , τότε:

Αν α 0 έχουμε

1 2 1 2x x αx αx 1 2αx β αx β

1 2f x f x .

Άρα αν α 0 η συνάρτηση f x αx β είναι γνησίως

αύξουσα.

Αν α 0 έχουμε

1 2 1 2x x αx αx 1 2αx β αx β

1 2f x f x

Άρα αν α 0 η συνάρτηση f x αx β είναι γνησίως φθίνουσα.

Επομένως οι συναρτήσεις f x 2x 3 , g x 5x 12 , h x 28x 15 είναι

γνησίως αύξουσες και οι συναρτήσεις f x 3x 2 , g x 7x 18 ,

h x 75x 47 είναι γνησίως φθίνουσες.


Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση 5

f xx

.

Λύση

Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού Α 0 .

Έστω 1 2x , x ,0 με 1 2x x , τότε

1 2

1 2 1 2

1 1 5 5x x 0

x x x x 1 2f x f x

δηλαδή η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

στο διάστημα ,0 .

Έστω 1 2x , x 0, με 1 2x x , τότε

1 2

1 2 1 2

1 1 5 50 x x

x x x x 1 2f x f x

δηλαδή η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ,0 .

Έστω 1x 0, και 2x 0, με 1 2x x , τότε

1 2

1 2 1 2

1 1 5 5x x

x x x x 1 2f x f x

f(x) αx β, α 0

x x

ψ

ψ

Ο

f(x) αx β, α 0

x x

ψ

ψ

Ο

Ο x

ψ

ψ

x



δηλαδή η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο ,0 0, .

Παρατήρηση Από το προηγούμενο παράδειγμα συμπεραίνουμε ότι:

Είναι δυνατόν μια συνάρτηση f, να είναι γνησίως μονότονη σε δύο υποδιαστήματα

1 2Δ , Δ , του πεδίου ορισμού της με το ίδιο είδος μονοτονίας και να μην είναι γνησίως

μονότονη στην ένωση 1 2Δ Δ αυτών.

Λόγος Μεταβολής

Έστω μια συνάρτηση f : A και 1 2x , x A με 1 2x x .O λόγος

1 2

1 2

f x f xλ

x x

λέγεται λόγος μεταβολής ή πηλίκο διαφορών της f στα 1x και 2x .

Αποδεικνύεται η επόμενη

Πρόταση Δίνεται η συνάρτηση f : A και Δ Α . Θεωρούμε τον λόγο μεταβολής:

1 2

1 2

f x f xλ

x x

με 1 2x ,x Δ και 1 2x x .

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ αν και μόνο αν, λ 0 για κάθε 1 2x ,x Δ .

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ αν και μόνο αν, λ 0 για κάθε 1 2x ,x Δ .

Παράδειγμα Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση 2

f x x 6x 5 .

Λύση

Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού Α .

Έστω 1 2x , x A με 1 2x x , τότε

2 2

2 2 1 12 1

2 1 2 1

x 6x 5 x 6x 5f x f xλ

x x x x

2 2

2 2 1 1

2 1

x 6x 5 x 6x 5

x x

2 2

2 2 1 1

2 1

x 6x x 6x

x x

2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

x x 6 x x x x x x 6 x x

x x x x

2 1 2 1

1 2

2 1

x x x x 6x x 6

x x

.

Αν 1 2x , x ,3 έχουμε: 1

1 2 1 2

2

x 3x x 6 x x 6 0 λ 0

x 3

, δηλαδή

η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ,3 .

Ο

x

ψ

ψ

3

4



Αν 1 2x , x 3, έχουμε: 1

1 2 1 2

2

x 3x x 6 x x 6 0 λ 0

x 3

, δηλαδή

η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 3, .

Πως μελετούμε την μονοτονία μιας συνάρτησης

Τη μονοτονία μιας συνάρτησης f μελετούμε με τους εξής τρόπους:

(i) Με τον ορισμό.

(ii) Με το λόγο μεταβολής.

Όταν το πεδίο ορισμού Α μιας συνάρτησης f είναι ένωση διαστημάτων συνήθως

μελετούμε την μονοτονία της f πρώτα σε κάθε ένα από αυτά και κατόπιν στην ένωση

τους.

Σχόλιο Στην Γ Λυκείου θα μάθουμε να μελετάμε πιο εύκολα την μονοτονία μιας συνάρτησης

f με την βοήθεια των παραγώγων.


Να μελετηθεί με δύο τρόπους η μονοτονία της συνάρτησης 2x 3

f xx 1

.

Λύση

Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού A 1 .

Α ΤΡΟΠΟΣ

Κάνοντας την διαίρεση 3x 5 : x 2 παίρνουμε 5

f x 2x 1

.

Έστω 1 2x , x ,1 με 1 2x x , τότε

1 2 1 2x x 1 x 1 x 1 0

1 2

1 1

x 1 x 1

1 2

5 5

x 1 x 1

1 2

5 52 2

x 1 x 1

1 2f x f x

δηλαδή η συνάρτηση f είναι γνησίως

φθίνουσα

στο διάστημα ,1 .

Έστω 1 2x , x 1, με 1 2x x , τότε

1 2 1 2

1 2

1 11 x x 0 x 1 x 1

x 1 x 1

1 2 1 2

5 5 5 52 2

x 1 x 1 x 1 x 1

1 2f x f x

δηλαδή η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και

στο διάστημα 1, .

1

2

x

ψ

ψ

x



Β ΤΡΟΠΟΣ

Έστω 1 2x , x A με 1 2x x , τότε:

2 1

2 1 1 2 2 12 1

2 1 2 1 2 1 1

2x 3 2x 3

f x f x x 1 2x 3 x 1 2x 3x 1 x 1λ

x x x x x x x 1

1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2

2x x 3x 2x 3 2x x 2x 3x 3

x x x 1 x 1

1 2

2 1 1 2

5x 5x

x x x 1 x 1

1 2

2 1 1 2 1 2

5 x x 5

x x x 1 x 1 x 1 x 1

.

Αν 1 2x , x ,1 , τότε έχουμε:

1 1

1 2

2 2 1 2

x 1 x 1 0 1x 1 x 1 0 0

x 1 x 1 0 x 1 x 1

1 2

50 λ 0

x 1 x 1


Αν 1 2x , x 1, , τότε έχουμε:

1 1

1 2

2 2 1 2

x 1 x 1 0 1x 1 x 1 0 0

x 1 x 1 0 x 1 x 1

1 2

50 λ 0

x 1 x 1


Σχόλιο Όπως σε προηγούμενο παράδειγμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι η προηγούμενη

συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη στο ,1 1, .



II. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ


μιας συνάρτησης f : . Παρατηρούμε ότι στο

σημείο ox η συνάρτηση f παίρνει την

μικρότερη τιμή, δηλαδή of x f x για κάθε

x .

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f

παρουσιάζει στο σημείο ox ολικό ελάχιστο ή απλώς

ελάχιστο το of x .


Ορισμός Μια συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού το σύνολο A λέμε ότι παρουσιάζει στο

ox A ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο όταν:

of x f x , για κάθε x A .

Το ox A λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το of x λέγεται ολικό ελάχιστο ή απλώς

ελάχιστο της συνάρτησης f και συμβολίζεται με minf x .


μιας συνάρτησης f : . Παρατηρούμε ότι στο

σημείο ox η συνάρτηση f παίρνει την

μεγαλύτερη τιμή, δηλαδή of x f x για κάθε

x .

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f

παρουσιάζει στο σημείο ox ολικό μέγιστο ή απλώς

μέγιστο το of x .


Ορισμός Μια συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού το σύνολο A λέμε ότι παρουσιάζει στο

ox A ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο όταν:

of x f x , για κάθε x A .

Το ox A λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το of x λέγεται ολικό μέγιστο ή απλώς

μέγιστο της συνάρτησης f και συμβολίζεται με maxf x .

Το ( ολικό ) μέγιστο και το ( ολικό ) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται ( ολικά )

ακρότατα της f .

O ox

ψ΄

ψ

x΄ x

of x

fC

O

ox

ψ΄

ψ

x΄ x

of x

fC



Πως βρίσκουμε τα ακρότατα μιας συνάρτησης

Τα (ολικά ) ακρότατα μίας συνάρτησης f τα βρίσκουμε με τους παρακάτω τρόπους:

Με τη βοήθεια καθολικών ανισοτήτων.

Από το σύνολο τιμών της συνάρτησης.

Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Σχόλιο Στην Γ Λυκείου θα μάθουμε να βρίσκουμε εύκολα τα ακρότατα μιας συνάρτησης f

με την βοήθεια των παραγώγων.

Παραδείγματα 1. Να μελετηθούν ως προς τα ακρότατα οι συναρτήσεις:

(i) 4f x 3x 4 (ii) f x 3 x 2 5 (iii) 2

f x x 6x 2

Λύση Όλες οι συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού A .

(i) Για κάθε x είναι: 4 43x 0 3x 4 4 f x f 0 , αφού f 0 4 .

Επομένως η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο x 0 και

min f x 4

(ii) Για κάθε x είναι: 3 x 2 0 3 x 2 5 5 f x f 2 , αφού

f 2 5 . Επομένως η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο x 2 και

min f x 5

(iii) Έχουμε 22 2f x x 6x 2 x 6x 9 7 x 3 7 .

Για κάθε x είναι: 2 2

x 3 0 x 3 7 7 f x 7 f x f 3 ,

αφού f 3 7 .


min f x 7

2. Να μελετηθούν ως προς τα ακρότατα οι συναρτήσεις:

(i) 6f x 5x 8 (ii) f x 7 x 3 1 (iii) 2

f x x 4x 10

Λύση Όλες οι συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού A .

(i) Για κάθε x είναι: 6 65x 0 5x 8 8 f x f 0 , αφού f 0 8 .

Επομένως η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο x 0 και max f x 8 .

(ii) Για κάθε x είναι: 7 x 3 0 7 x 3 1 1 f x f 3 , αφού

f 3 1 . Επομένως η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο x 3 και

max f x 1



(iii) Έχουμε

22 2 2f x x 4x 10 x 4x 4 14 x 4x 4 14 x 2 14 .

Για κάθε x είναι: 2 2

x 2 0 x 2 14 14 f x f 2 , αφού

f 3 7 .


max f x 14 .

III. ΑΡΤΙΕΣ – ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ)

ΆΡΤΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Η συνάρτηση 2f x x έχει πεδίο ορισμού A .

Για κάθε x A και το x A και έχουμε

2 2f x x x f x . Το σημείο M x,f x

ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f ,

αλλά και το σημείο N x,f x ή N x,f x

ανήκει επίσης στην γραφική παράσταση της f . Τα

σημεία M και N έχουν αντίθετες τετμημένες και

ίσες τεταγμένες οπότε είναι συμμετρικά ως προς

τον άξονα ψψ .

Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει άξονα συμμετρίας τον

άξονα ψψ . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια.


Ορισμός Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο A , λέγεται άρτια όταν για κάθε

x A ισχύουν:

x A και f x f x .

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης

έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα ψψ αλλά

και αντίστροφα αν η γραφική παράσταση μιας

συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα

ψψ τότε είναι άρτια.

x

ψ

x

x x

M

N

x΄

ψ΄

ψ

x

Ο



ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Η συνάρτηση 3f x x έχει πεδίο ορισμού A .

Για κάθε x A και το x A και έχουμε

3 3f x x x f x . Το σημείο M x,f x

ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f ,

αλλά και το σημείο N x,f x ή N x, f x

ανήκει επίσης στην γραφική παράσταση της f . Τα

σημεία M και N έχουν αντίθετες συντεταγμένες οπότε

είναι συμμετρικά ως προς την αρχή O των αξόνων.

Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή

O των αξόνων. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή.


Ορισμός Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο A , λέγεται περιττή όταν για κάθε

x A ισχύουν:

x A και f x f x .

Η γραφική παράσταση μιας περιττής

συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας

την αρχή O των αξόνων αλλά και αντίστροφα

αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχει

κέντρο συμμετρίας την αρχή O των αξόνων τότε

είναι περιττή.

.

Σχόλιο Αν μία συνάρτηση f είναι περιττή και το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε

f 0 0 .

Πως βρίσκουμε αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή

Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση f : A είναι άρτια ή περιττή , εργαζόμαστε ως

εξής :

Ελέγχουμε αν για κάθε x A και το x A , δηλαδή αν το πεδίο ορισμού της

συνάρτησης Α, είναι ¨συμμετρικό¨ σύνολο ως προς το μηδέν.

Βρίσκουμε το f x και το συγκρίνουμε με το f x .

Σημείωση: Από την γραφική παράσταση της συνάρτησης έχουμε γνωστά, το Πεδίο

Ορισμού, το Σύνολο Τιμών, τα Ακρότατα και την Μονοτονία.


O

ψ

x

ψ

x

x

x

M

N

x΄

x

O

ψ΄

ψ



1. Να εξετασθεί αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις:

(i) 2 4f x 2x 5x (ii) 3 5

f x x 3x (iii) 3

x 2f x

x

(iv)

2

3

5xf x

x 8

.

Λύση

(i) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού A . Για κάθε x A , τότε x A και

έχουμε:

2 4 2 4f x 2 x 5 x 2x 5x f x .

Άρα η συνάρτηση 2 4f x 2x 5x είναι άρτια.

(ii) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού A . Για κάθε x A , τότε x A και

έχουμε:

3 5 3 5 3 5f x x 3 x x 3x x 3x f x .

Άρα η συνάρτηση 3 5f x x 3x είναι περιττή.

(iii) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού A 0 . Για κάθε x A , τότε x A και

έχουμε:

3 3 3

x 2 x 2 x 2f x f x , f x

x xx

.

Άρα η συνάρτηση 3

x 2f x

x

δεν είναι άρτια ούτε περιττή.

(iv) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού A 2 . Αφού το πεδίο ορισμού δεν είναι

συμμετρικό ως προς το μηδέν η συνάρτηση 2

3

5xf x

x 8

δεν είναι άρτια ούτε

περιττή.

Παρατήρηση Μερικές φορές, για την μελέτη μιας συνάρτησης της μορφής:

(i) 2f x αx βx γ , α 0 είναι χρήσιμο να την μετατρέψουμε στη μορφή

2

f x α x κ λ , με την μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου.

(ii) αx β

f xγx δ

είναι χρήσιμο να την μετατρέψουμε στη μορφή

υf x π

γx δ

,

διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρανομαστή.




Μονοτονία

1. Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία οι συναρτήσεις:

(i) 3 1f x x

x (ii) 2

1f x

x (iii) 2f x 9 x .

2. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : Α με g x 0 για κάθε x Α . Αν η

συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g είναι γνησίως

φθίνουσα, να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης 1

h x f xg x

, x A .

Ακρότατα

5. Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων:

(i) 2f x 2x 3 (ii) f x 8 3 x 2 (iii) 2

10f x

x 2

.

6. Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων:

(i) 2f x x 8x 9 (ii) 2

f x x 6x 3 (iii) 2f x 15 4 x .

7. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 2

6xf x

x 9

παρουσιάζει ελάχιστο για

x 3 και μέγιστο για x 3 .

8. (i) Από όλους τους θετικούς αριθμούς με σταθερό άθροισμα 2α , α , να

βρείτε εκείνους που έχουν το μέγιστο γινόμενο το οποίο και να υπολογίσετε.

(ii) Από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο, να βρείτε εκείνο που έχει το

μέγιστο εμβαδόν.

Άρτιες – Περιττές συναρτήσεις

9. Να εξετασθεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες

είναι περιττές:

(i) 3 5f x x 5x (ii) f x 2x 1 2x 1 (iii)

2

2

5xf x

x 5x 6

.

10. Να εξετασθεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες

είναι περιττές:

(i) f x x 3 3 x (ii) 2

2

1x

xf x1

xx

(iii) 3 2f x x x x 2 .

11. Ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές παραστάσεις άρτιας και

ποιες περιττής συνάρτησης;

x x

ψ

ψ

Ο

(i)

x x

ψ

ψ

Ο

(ii)

x x

ψ

ψ

Ο

(iii)

α α




ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

1. Να μελετήσετε την μονοτονία των συναρτήσεων:

(i) f x 3x 2 (ii) 3f x 4 x (iii) 5 3f x x 3x 2 (iv) 2f x 1 x


(i) 2f x x 4 (ii) 3

f x x 2 7 (iii) f x x x (iv) 3

1f x 1

x


(i) 2

f xx 3

(ii) x 3

f xx3

(iii) 7

f x5 2x

(iv) x 1

f xx 1


(i) 4

f xx 1

(ii) 5

f xx 2

(iii) 2

f x1

9x

(iv) 2f x 2x 3x 4

5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 3

f x2 x 1

είναι γνησίως φθίνουσα σε

καθένα από τα διαστήματα 1,5 και 5, .

6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2

f x 3xx

είναι γνησίως αύξουσα στα

διαστήματα ,0 και 0, .


(i) 4

f x xx

(ii) x

f x1 x

.

8. Δίνεται η συνάρτηση 5 x x 1

f x2 x

, x 0 .

(i) Να γράψετε τον τύπο της f χωρίς απόλυτα.

(ii) Να μελετήσετε την μονοτονία της f .

9. Να αποδείξετε ότι:

(i) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση f

είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

(ii) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ και f x 0 για κάθε

x Δ , τότε η συνάρτηση 1

f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

10. Να αποδείξετε ότι: αν οι συναρτήσεις f , g είναι γνησίως αύξουσες ή γνησίως

φθίνουσες τότε και η συνάρτηση h x f x g x είναι γνησίως αύξουσα ή

γνησίως φθίνουσα.



11. Να αποδείξετε ότι: αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g

γνησίως φθίνουσα, τότε η συνάρτηση h x f x g x είναι γνησίως αύξουσα.

12. Δίνεται η συνάρτηση f : και η συνάρτηση 1

g x f xx

, *x . Αν

η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, να μελετήσετε την μονοτονία της g .

13. Δίνεται η συνάρτηση f : και η συνάρτηση 2

1g x f

x

, *x . Αν η

συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, να μελετήσετε την μονοτονία της g .

ΑΚΡΟΤΑΤΑ

14. Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης

(i) 2

f x 9 2x 3 (ii) 2f x 25 x (iii) f x x 2 x 1

15. Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης

(i) 2f x 6x x (ii) 2f x 3 4x x (iii) 2

12f x

x 2x 3

16. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων:

(i) 2

f x 3x 4 5 (ii) 2f x x 6x (iii) 2f x x 2x 11

17. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων :

(i) f : 1,2 με 3x 2

f xx 5

(ii) 21

f x x 2x2

18. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων και τις τιμές του x για τις οποίες

παρουσιάζουν ακρότατα:

(i) f x 3 x 1 (ii) f x 8 x 3 (iii) 2f x x 6x 5 .

19. Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης 2

5f x

2x 4x 3

.

20. Δίνεται η συνάρτηση 2f x 2x αx 2 .

(i) Να βρείτε τον α ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται

από το σημείο Μ 1,5 .

(ii) Για την τιμή του α που βρήκατε να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την

μονοτονία και τα ακρότατα .

21. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g :A . Αν η f παρουσιάζει μέγιστο στο ox A

και η g παρουσιάζει ελάχιστο στο ox A , να αποδείξετε ότι η f g παρουσιάζει

μέγιστο στο ox A .

22. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g :A με f x 0 και g x 0 για κάθε x A .

Αν η f παρουσιάζει μέγιστο και η g παρουσιάζει ελάχιστο στο ox A , να αποδείξετε

ότι η f

g παρουσιάζει μέγιστο στο ox A .



23. Από όλους τους αριθμούς με άθροισμα 18 , να βρείτε αυτούς που έχουν μέγιστο

γινόμενο.

24. Να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 16m , το τετράγωνο έχει

το μεγαλύτερο εμβαδό.

25. (i) Να αποδείξετε την ταυτότητα: 2 2(x ψ) (x ψ)

x ψ4 4

.

(ii) Αν οι πραγματικοί αριθμοί x και ψ έχουν σταθερό άθροισμα c, να αποδείξετε ότι

το γινόμενο Γ x ψ γίνεται μέγιστο όταν c

x ψ2

.

(iii) Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης 2

x 1f x

x

, x 0 .

26. (i) Να αποδείξετε την ταυτότητα: 2 2

x ψ 4xψ x ψ .

(ii) Aν οι θετικοί αριθμοί x και ψ έχουν σταθερό γινόμενο 2c , το άθροισμα A x ψ

γίνεται ελάχιστο όταν x ψ c .

(iii) Να βρείτε την μικρότερη τιμή της συνάρτησης 4

f x xx

, x 0 .

ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ

27. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων f

, g , φ αντίστοιχα. Να μελετήσετε τις συναρτήσεις αυτές ως προς την μονοτονία και

τα ακρότατα. Επίσης να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές.

28. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω γραμμές ώστε να παριστάνουν γραφικές

παραστάσεις

Α. Άρτιας συνάρτησης και Β. Περιττής συνάρτησης

29. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις:

(i) x

f xx

(ii) 2f x x x (iii) 5xf x 15x

3 .

2

3

ψ

ψ

x x

fC

1

1 2

2

x x

ψ

ψ

gC

3 3

5

x x

ψ

ψ

φC (i) (ii) (iii)

x x

ψ

ψ

Ο

(i)

2

4

x x

ψ

ψ

Ο

(ii)

3

x x

ψ

ψ (iii)

2




(i) 3f x x 2x (ii) 6 3f x 5x x 1 (iii) x 1 x 1

f xx 1 x 1

.


(i) 2 2

3 3f x x 1 x 1 (ii) 2

2

x xf x

1 x

(iii) 2 2f x 1 x x 1 x x .


(i) 3 5f x 3x x (ii) 4 2f x 2x 3x 5 (iii) 3 1f x x x .


(i) 2x 5

f x 2 x

(ii) 2

2f x x x (iii) 3

3

xf x

x x

.

35. Αν η συνάρτηση είναι περιττή και παίρνει ελάχιστη τιμή, να δείξετε

ότι η f παίρνει και μέγιστη τιμή.

36. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : . Να αποδείξετε τις παρακάτω προτάσεις:

(i) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι άρτιες τότε και η συνάρτηση h x f x g x

είναι άρτια .

(ii) Αν η συνάρτηση f άρτια και η συνάρτηση g είναι περιττή, τότε η συνάρτηση

φ x f x g x είναι περιττή.

37. Αν η συνάρτηση

2

2

4x α 4 x 1f x

α 2 x 7

είναι άρτια, να βρείτε το α . 4

38. H συνάρτηση f είναι άρτια, η συνάρτηση g είναι περιττή και ισχύει:

3g 2 2f 5 f 5 3g 2 6 .

Να βρείτε το f 5 .

39. Η συνάρτηση f είναι άρτια και για κάθε x ισχύει f x 4x f 2x . Αν η

γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(1, 3) να βρείτε το f 2 .

40. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : με f 6 2 και g 4 5 . Αν η

συνάρτηση f είναι άρτια , η g είναι περιττή και x x

h x 6f 4g g x 122 3

,

να βρείτε το h 12 .

60. Η γραφική παράσταση της f : είναι συμμετρική ως προς τον άξονα ψψ

και για κάθε x ισχύει 4 2f x 8x 6x f x 4 , να βρείτε το f 1

61. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f : είναι συμμετρική ως προς την

αρχή Ο 0,0 των αξόνων και για κάθε x ισχύει 33f x 6x 4x f x .

Να βρείτε το f 1 .

f :

2lyk-chaid.edu.gr2lyk-chaid.edu.gr/wp-content/uploads/2017/09/KEF6... · ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6...

Documents

Transcript of 2lyk-chaid.edu.gr2lyk-chaid.edu.gr/wp-content/uploads/2017/09/KEF6... · ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6...