ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ...

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/

1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ



2

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ορισμός Συνάρτησης

Το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης, είναι υποσύνολο του συνόλου R των

πραγματικών αριθμών, ενώ το Β συμπίπτει με το R. Οι συναρτήσεις αυτές λέγονται πραγματικές

συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής και τις οποίες στο εξής θα τις λέμε απλώς συναρτήσεις.

Μια συνάρτηση f παριστάνεται με :

:f Α→Β η )(xfy =

Στον συμβολισμό )(xfy =

Το γράμμα x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή.

Το γράμμα y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.

To f(x) λέγεται τιμή της f στο χ.

Η συνάρτηση συμβολίζεται συνήθως με ένα από τα μικρά

γράμματα f, g, h, φ, σ κτλ. του λατινικού ή του ελληνικού αλφαβήτου.

Για παράδειγμα οι παρακάτω διαδικασίες δεν είναι και οι δυο συναρτήσεις.

Παρατήρηση : Θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με συναρτήσεις οπού Α⊆ ℝ και Β = ℝ .

Η αντιστοίχηση κάθε στοιχείου του Α σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β μπορεί να γίνει με δια-

φόρους τρόπους . Ο πιο συνηθισμένος είναι κάποιος τύπος που μας δίνει το ( )f x για κάθε

x∈Α για παράδειγμα 2( ) 1f x χ= + .

Συχνά αντί να λεμέ « η συνάρτηση f με (τύπο ) 2( ) 3f x χ χ= + » λεμέ απλά « η συνάρτηση 2( ) 3f x χ χ= + » η ακόμη «η συνάρτηση 2 3χ χ+ ».

Συνάρτηση (function) είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται

σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β.

Είναι συνάρτηση κάθε στοιχείο του συνόλου Α

σε ένα μονό στοιχείο του συνόλου Β

Δεν είναι συνάρτηση η παραπάνω διαδικασία



3

Παράδειγμα (1)

Αν :f Α→ ℝ , όπου 2Α = −ℝ με 2

5 10( )

5 6f x

χχ χ− +

=− +

, να βρεθούν :

i) οι τιμές (1)f και ( 2)f − .

ii ) τα σημεία χ που έχουν εικόνα το 1.

Λύση

i) Για να βρούμε τις τιμές (1)f και ( 2)f − βάζουμε στο τύπο της f όπου χ το 1 και το 2 αντί-

στοιχα .Δηλ:

2

5 1 10 5(1)

1 5 1 6 2f

− ⋅ += =

− ⋅ +

2

5 ( 2) 10 20( 2)

1 5 ( 2) 6 17f

− ⋅ − +− = =

− ⋅ − +.

ii) Όταν θέλουμε να βρούμε ποιο χ έχει εικόνα κάποιο yo , λύνουμε την εξίσωση

( )oy f x=

Έτσι έχουμε :

2

5 10( ) 1 1 5

5 6f x

χχ

χ χ− +

= ⇔ = ⇔ −− +

210 5χ χ+ = − 26 4 2χ χ+ ⇔ = ⇔ = η 2χ = −

Άρα για 1 2x = και 2 2x = − η συνάρτηση παίρνει την τιμή 1.

ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

Αν έχουμε μια συνάρτηση :f Α→ℝ .Επειδή κάθε x∈Α πρέπει να έχει μέσω της f μια μόνο τιμή

στο ℝ , το πεδίο ορισμού της f είναι ότι είναι το ευρύτερο υποσύνολο του ℝ στο οποίο το δο-

θέν ( )f x έχει νόημα πραγματικού αριθμού .

Για να μπορέσουμε λοιπόν να βρούμε το πεδίο ορισμού συνάρτησης όταν γνωρίζουμε τον τύπο μιας συ-

νάρτησης ,θέτουμε τους εξής περιορισμούς :

Οι παρανομαστές , αν υπάρχουν , πρέπει να είναι διαφορετικοί από το μηδέν .

Οι υποριζες ποσότητες , αν υπάρχουν , πρέπει να είναι μεγαλύτερες η ίσες από το μηδέν.

Αν η συνάρτηση περιέχει παράσταση της μορφής log ( )a f x η ln ( )a f x απαιτούμε ( ) 0f x >

Αν η συνάρτηση περιέχει παράσταση της μορφής εφf(χ),απαιτούμε ( )2

f xπ

κπ≠ + ,κ ∈ℤ



4

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f συμβολίζεται και f

D .


Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων

i) 2( ) 2 3f x χ χ= − + ii) ( ) 2 10g x χ= − iii) 2

3 2( )

2 5 3f x

χχ χ

−=

− +

iv) 3

( ) 4 ln3

f x xχ

χχ

= + − +−

Λύση

i) Η συνάρτηση 2( ) 2 3f x χ χ= − + έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = ℝ , διότι για κάθε x∈Α το

)(xfy = έχει νόημα πραγματικού αριθμού .

ii)Για να έχει το ( ) 2 10g x χ= − νόημα πραγματικού αριθμού θα πρέπει να ισχύει:

2 10 0 5χ χ− ≥ ⇔ ≥

Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι [ )5,Α = +∞ .

iii) Ο τύπος της f έχει κλασματική μορφή άρα θα πρέπει:

22 5 3 0 1xχ χ− + ≠ ⇔ ≠ και 3

2x ≠ .Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι 3

1,2

Α = −

ℝ .

iv) 3

( ) 4 ln3

f x xχ

χχ

= + − +−

Αν έχουμε πιο σύνθετο τύπο συνάρτησης τότε ακολουθούμε τα εξής βήματα :

1. Γράφουμε τους περιορισμούς που προκύπτουν από τον τύπο.

2. Εμφανίζουμε τη γραφική λύση κάθε ανίσωσης σε κοινό άξονα.

3. Κάνουμε συναλήθευση (τομή)

και γράφουμε σαν πεδίο ορισμού το κοινό διάστημα λύσεων.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση :

3 0 3χ χ− ≠ ⇔ ≠ (1)

4 0 4χ χ− ≥ ⇔ ≥ (2)

0x > (3)

Συναληθευουμε τις (1),(2) και (3) και έχουμε [ )4,Α = +∞ .

Σχόλιο :Οι πολυωνιμικες συναρτησεις

( ) −−= + + + + ∈Ν

∈

ν ν 1

ν ν 1 1 0

0 1 ν

f x α x α x ... α x α ν

α ,α ,...,α R

Έχουν πεδίο ορισμού το Α = ℝ



5

Συνοπτικά οι περιορισμοί για την εύρεση του πεδίου ορισμού δίνονται στον παρακάτω

πίνακα:

Τύπος Περιορισμοί

( ) −−= + + + + ∈Ν

∈

ν ν 1

ν ν 1 1 0

0 1 ν

f x α x α x ... α x α ν

α ,α ,...,α R

Κανένας

( ) = +βα

f xφ(χ) θ(χ)

≠φ(χ) 0 και ≠θ(χ) 0

( ) =f x θ(χ) ≥θ(χ) 0

( ) =f x lnθ(χ) >θ(χ) 0

( ) = + +β

f x ω(χ) lnθ(χ)φ(χ)

≠φ(χ) 0 και >θ(χ) 0 και ≥ω(χ) 0

Όταν δίνεται μονό ένας τρόπος (συνήθως τύπος ) για τον υπολογισμό των τιμών της f στα διά-

φορα x∈Α και δεν δίνεται το πεδίο ορισμού Α της f , θα θεωρούμε συμβατικά ότι είναι το ευρύ-

τερο υποσύνολο του ℝ στο οποίο το δοθέν ( )f x έχει νόημα ( δηλαδή το σύνολο όλων των x∈ℝ

για τα οποία έχει νόημα το ( )f x ).

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Αν δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σε ένα σύνολο Α, τότε ορίζονται και οι συναρτή-

σεις:

Το άθροισμα gfS += , με , ( ) ( ) ( )S x f x g x= + Ax∈

Η διαφορά D f g= − , με , ( ) ( ) ( )D x f x g x= − Ax∈

Το γινόμενο P f g= ⋅ , με ( ) ( ) ( )P x f x g x= ⋅ , Ax∈ και

Το πηλίκο g

fR = , με ,

( )( )

( )

f xR x

g x= όπου Ax∈ και 0)( ≠xg .

Για παράδειγμα, αν 2( ) 3 2f x x= − και 1)( += xxg , τότε

2 2( ) 3 2 1 2 1S x x x x= − + + = −

2 2( ) 3 2 1 2 3D x x x x= − − − = −

2 3 2( ) (3 2)( 1) 3 3 2 2P x x x x x χ= − + = + − −

2( ) 3 2

( )( ) 1

f x xR x

g x x

−= =

+, όπου 1−≠x .



6


Αν δίνονται οι συναρτήσεις 5 2

( )3

f xx

χ −=

+ και

2( )

3g x

x

χ −=

+ να ορίσετε τις συναρτήσεις

,f

f gg

⋅ .

Λύση

Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 3Α = − −ℝ , αφού πρέπει 3 0x + ≠ .Το ίδιο πεδίο

ορισμού έχει και η συνάρτηση g .Άρα η f g⋅ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 3Α = − −ℝ και

τύπο :

2

5 2 2 (5 2)( 2)( )( )

3 3 ( 3)f g x

x x x

χ χ χ χ− − − −⋅ = ⋅ =

+ + +

Για να ορίσουμε την συνάρτηση f

g, πρέπει πρώτα να εξετάσουμε αν η εξίσωση ( ) 0g x = η

20 2 0 2

3x

χχ χ

−= ⇔ − = ⇔ =

+.

Κατά συνεπεία η f

g έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 3,2B = − −ℝ και τύπο :

5 25 23( )( )

2 23

f xxg

x

χχ

χ χ

−−+= =

− −+

.

Συνοπτικά οι πράξεις με συναρτήσεις σε ότι αφορά το πεδίο ορισμού και τον τύπο τους δίνονται

στον παρακάτω πίνακα:

Συνάρτηση Πεδίο ορισμού Τύπος

f A ( )f x

g B ( )g x

f g+ A B∩ ( ) ( )f x g x+

f g− A B∩ ( ) ( )f x g x−

f g⋅ A B∩ ( ) ( )f x g x⋅

f

g ( ) / ( ) 0A B x g x∩ − ∈ =ℝ

( )

( )

f x

g x



7

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1)Να βρεθούν τα πεδία ορισμού Α της f , όταν :

i) 2 3( ) 9 2f x x x x= − − + ii) 1

( )3

xf x

x

+=

− iii) 2( ) log( 4)f x x= + iv) 2( ) log(9 )f x x= −

Λύση

i) έχουμε : 2( 9 0)x x− ≥ και ( 2 0) ( 2 0)x x+ ≥ ⇔ − ≤ ≤ η ( 9)x ≥

Άρα [ ] [ )2,0 9,A = − ∪ +∞

ii) Θα πρέπει 3x ≠ .έχουμε:

1

0 ( 1)( 3) 0 ( 1)3

xx x x

x

+≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≤ −

−η ( 3)x ≥

Άρα ( ] ( ), 3 4,A = −∞ − ∪ +∞ .

iii) 2( ) log( 4)f x x= + παρατηρούμε ότι ισχύει 2 4 0x + > για κάθε x∈ℝ . Άρα η f έχει πεδίο ορι-

σμού όλο το ℝ .

iv) Η παράσταση 29 x− είναι θετική μονό όταν 3 3x− < < . Άρα η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

( 3,3)A = − .

2)Δίνεται η συνάρτηση 2

2 5, 3( )

,3 10

x xf x

x x

− ≤=

< ≤

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f .

ii) Να βρείτε τις τιμές ( 1), (3)f f− και (5)f .

iii) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 16f x = .

Λύση

i) Οι δυο κλάδοι της συνάρτησης ορίζονται για ( ],3x∈ −∞ και ( ]3,10x∈ αντίστοιχα.

x - + + +

2 9x x− + + - -

( 1)( 3)x x+ − + - +

−∞ -2 0 9 +∞ χ

−∞ -3 4 +∞ +∞

χ



8

Επομένως η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ( ] ( ],3 3,10A = −∞ ∪ = ( ],10−∞ .

ii) Εξετάζουμε πρώτα ποια από τις σχέσεις 3,ox ≤ 3 10ox< ≤ ισχύει για το συγκεκριμένο ox

που έχουμε κάθε φορά .

Για 1ox = − είναι 3,ox ≤ άρα 0 0( ) 2 5 2( 1) 5 7f x x= − = − − = −

Για 3ox = είναι 3 3,≤ άρα (3) 2 3 5 1f = ⋅ − =

Για 5ox = είναι3 5 10< ≤ άρα 2(5) 5 25f = =

iii) Για να λύσουμε την εξίσωση αυτή διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : 3x ≤ και 3 10x< ≤ .

Για 3x ≤ η εξίσωση ( ) 16f x = γράφεται :

212 5 16

2x x− = ⇔ = .Η τιμή αυτή του χ απορρίπτεται , αφού θα πρέπει 3x ≤ .

Για 3 10x< ≤ η εξίσωση ( ) 16f x = γράφεται :

2 16 4x x= ⇔ = ± , μονό η 4x = γίνεται δεκτή αφού πρέπει 3 10x< ≤ .



9

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. γραφική παράσταση ή καμπύλη

της f σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy λέγεται το σύνολο των σημείων

))((,( xfxM για όλα τα Ax∈ . Επομένως, ένα σημείο ),( yxM του επιπέδου των αξόνων ανήκει

στην καμπύλη της f, μόνο όταν )(xfy = . Η εξίσωση λοιπόν )(xfy = επαληθεύεται μόνο από τα

ζεύγη ),( yx που είναι συντεταγμένες σημείων της γραφικής παράστασης της f και λέγεται ε-

ξίσωση της γραφικής παράστασης της f.

Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις ορισμένων συναρτήσεων που

γνωρίσαμε σε προηγούμενες τάξεις.

O

y

x

y=x

-2 -1 O 1 x

y

2

1

2

3

y=x2

(α) Η καμπύλη της συνάρτησης

xxf =)( είναι η διχοτόμος

της 1ης και 3ης γωνίας των

αξόνων.

(β) Η καμπύλη της συνάρτησης

2)( xxf = είναι μια παραβολή.

-2 -1

O 1

y

x=

1 y

x2

-2

-1

1

2

-2 O-1 x1

1

2

3

y

y=ex

(γ) Η καμπύλη της συνάρτησης

x

xf1

)( = είναι μια υπερβολή.

(δ) Η καμπύλη της εκθετικής συνάρτησης

xexf =)( είναι “πάνω” από τον άξονα

xx′ , αφού 0>xe για κάθε R∈x .

O-1

y

1

1 x

y=lnx

2π y=ηµx

π O x

y

2π

y=συνx

π O x

y

(ε) Η καμπύλη της λογαριθμικής

συνάρτησης xxf ln)( = είναι

“δεξιά” του άξονα yy ′ , αφού ο

λογάριθμος ορίζεται μόνο για 0>x .

(στ) Οι συναρτήσεις xxf ηµ)( = και

xxg συν)( = είναι περιοδικές με

περίοδο 2π.

2



10

Παρατηρούμε ότι στη γραφική παράσταση της x

xf1

)( = υπάρχει μια διακοπή στο

σημείο 0=x . Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το πεδίο ορισμού της f δεν περιέχει το μηδέν.


Με την βοήθεια του παρακάτω σχήματος να βρεθεί το f(0) ,να λυθεί η εξίσωση ( ) =f x 0

Λύση

Από την γραφική παράσταση της f προκύπτει f(0)=2.5.

Για να λύσουμε την εξίσωση f(x)=0 , αρκεί να βρούμε τα σημεία στα οποία η γραφική παρά-

σταση της f τέμνει τον άξονα χ’χ. Κατά συνέπεια από το σχήμα έχουμε ( ) 0 ( 3f x x= ⇔ = − η

9)x =

ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Κάθε συνάρτηση έχει μόνο μια γραφική παράσταση .

Η προβολή όλων των σημείων της γραφικής παράστασης πάνω στον άξονα χχ’ δίνει το πεδίο

ορισμού της συνάρτησης .

Για να είναι μια γραμμή του επιπέδου γραφική παράσταση συνάρτησης πρέπει κάθε ευθεία

που είναι παράλληλη στον άξονα yy’ να τέμνει το πολύ σε ένα σημείο.

Υπάρχουν περιπτώσεις που δεν μπορούμε να χαράξουμε την γραφική παράσταση μιας συνάρ-

τησης .

Μπορούμε χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f να λύσουμε την εξί-

σωση f(x)=0 , αρκεί να βρούμε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα

χ’χ.



11


i)Έστω η συνάρτηση 1

( ) 2f xx

= + .Να εξετάσετε αν η γραφική της παράσταση διέρχεται

από τα σημεία Α(1,3 ) , Β ( 2,0).

ii)Να βρεθεί η τιμή του λ έτσι , ώστε η γραφική παράσταση της ( ) 4f xx

λ= + να διέρχεται

από το σημείο Α(5 ,6 ) .

Λύση

i) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της f από το σημείο Μ 0( , )yοχ θα πρέπει να ισχύει

0 0( )y f x= δηλ οι συντεταγμένες του Α να επαληθεύουν τον τύπο της συνάρτησης .

Για το Α(1,3):

1(1) 2 3 3

1f = + ⇔ = που ισχύει άρα η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημείο Α(1,3 ) .

Για το Α(1,3):

1 5(2) 2 0

2 2f = + ⇔ = που δεν ισχύει άρα η γραφική της παράσταση δεν διέρχεται από τα ση-

μείο Β(2,0 ) .

ii) Η γραφική παράσταση της ( ) 4f xx

λ= + να διέρχεται από το σημείο Α(5 ,6 ) ο-

ταν (5) 4 6 4 30 20 105 5

fλ λ

λ λ= + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ =


Να βρεθούν τα σημεία τομής των αξόνων με την καμπύλη = − − +3 2y x 2x 5x 6

Λύση

Για να βρω τα σημεία τομής με τον χχ΄, λυνω την εξισωση y=0 .

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΜΕ ΑΞΟΝΕΣ

1. Εύρεση σημείων τομής της fC με x’x.

α. Θέτω y 0= .

β. Λύνω την εξίσωση ( )f x 0= , αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της τότε τα σημεία ( )( )1 2ρ ,0 ρ ,0 είναι οι

τομές με τον x’x. (Τα σημεία μπορεί να είναι από 0 έως άπειρα).

2. Εύρεση σημείων τομής της fC με y’y.

α. Αν f0 D∈ τότε θέτω x 0= και βρίσκω το ( )f 0 . Το σημείο τομής είναι ( )( )0,f 0 .

β. Αν f0 D∉ η fC δεν τέμνει τον y’y. (Τα σημεία τομής είναι το πολύ ένα, αν υπάρχει εί-

ναι μοναδικό).



12

= ⇔ − − + = ⇔ − − + − + =

⇔ − − − − − = ⇔

− − − = ⇔ = = = −

3 2 3 2 2

2

2

y 0 x 2x 5x 6 0 x x x x 6x 6 0

x (x 1) x(x 1) 6(x 1) 0

(x 1)(x x 6) 0 x 1,x 3,x 2

Άρα τα σημεία τομής με τον χχ’ είναι: Α(1,0) , Β(3,0) , Γ(-2,0)

Για να βρω το σημείο τομής με τον yy ΄, θέτω x 0= και βρίσκω το ( )f 0 .

= − ⋅ − ⋅ + =3 2f(0) 0 2 0 5 0 6 6

Άρα σημεία το σημείο τομής με τον yy ΄ είναι: Δ(0,6)


Να βρεθούν τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 2( ) 2 6f x χ= + και 2( ) 5g x xχ= + .

Λύση

Για να βρούμε τα σημεία τομής δυο συναρτήσεων f , g απλά λύνουμε την εξίσωση ( ) ( )f x g x= .

Άρα 2 2 2( ) ( ) 2 6 5 5 6 0f x g x x x xχ χ= ⇔ + = + ⇔ − + = . 2χ = η 3χ =

Για χ=2 , 2(2) 2 2 6 14f = ⋅ + =

Για χ=3 , 2(3) 2 3 6 24f = ⋅ + =

Άρα έχουμε δυο σημεία τομής Α(2,14), Β(3,24).

Για να βρω τα κοινά σημεία των f gC ,C λύνω την εξισωση f(x) g(x)= . Γενικότερα θα

μπορούσα να φέρω όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και να θέσω καινούρια συνάρτη-

ση h(x) f(x) g(x)= − και να λύσω την εξίσωση h(x) 0= . Αυτή την τεχνική θα τη χρησιμο-

ποιήσουμε πολύ στις συναρτήσεις όταν θέλουμε να λύσουμε εξισώσεις ή ανισώσεις .

Για να βρω το διάστημα στο οποίο η fC βρίσκεται πάνω από τον x’x (αντίστροφα κάτω

από τον x’x) λύνω την ανίσωση ( )f x 0> (αντίστροφα ( )f x 0< ).



13

Παράδειγμα(4)

Βρες το διάστημα στο οποίο η ( ) 2f x x 5x 6= − + βρίσκεται πάνω από τον x’x.

Λυση

Λύνω την ανισωση ( ) >f x 0

− + > ⇔ <2x 5x 6 0 x 2 και >x 3 .


Βρες τη σχετική θέση των ( ) ( )2f x x 4x, g x x 6= − = − .

Λύση

Υπολογίζω την διαφορά Δ

( ) ( )∆ = − = − − − = − − + = − +2 2 2f x g x (x 4x) (x 6) x 4x x 6 x 5x 6

∆ = ⇔ − + =20 x 5x 6 0

= =1 2

x 3,x 2

−∞ +∞

− +2x 5x 6 + - +

Στα διαστήματα ( ) ( )−∞ ∪ +∞,2 3, η διαφορά ( ) ( ) ( ) ( )∆ > ⇔ − > ⇔ >0 f x g x 0 f x g x η γρα-

φικη παράσταση της f είναι ‘’πάνω’’ από την γραφική παράσταση της g.

Στo διάστημα ( )2 , 3 η διαφορά ( ) ( ) ( ) ( )∆ < ⇔ − < ⇔ <0 f x g x 0 f x g x η γραφική παρά-

σταση της f είναι ‘’κάτω ’’ από την γραφική παράσταση της g.

Για να βρω τη σχετική θέση δύο καμπυλών βρίσκω το πρόσημο της διαφοράς

( ) ( )f x g x∆ = − .

α. Σχηματίζω το Δ (Δεν είναι διακρίνουσα).

β. Μηδενίζω το Δ και τις τιμές που βρίσκω τις βάζω σε πίνακα προσήμων.

γ. Αν 0∆ > τότε fC πάνω από gC .

Αν 0∆ < τότε fC κάτω από gC .

Αν 0∆ = τότε fC , gC τέμνονται.

3 2



14

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορισμός

Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της

όταν για οποιαδήποτε 1 2 1 2x ,x με x x∈∆ < ισχύει ( ) ( )1 2f x f x< (f γν. αύξουσα στο Δ)

Ορισμός

Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της

όταν για οποιαδήποτε 1 2 1 2x ,x με x x∈∆ < ισχύει ( ) ( )1 2f x f x> (f γν. φθίνουσα στο

Δ).

Προσοχή το Δ είναι διάστημα και όχι ένωση διαστημάτων.

1χ 2χ

1( )f χ

2( )f χ

fC

1 2 1 2( ) ( )f fχ χ χ χ< ⇔ <

1( )f χ

2χ 1χ

2( )f χ fC

< ⇔ >1 2 1 2

x x f(x ) f(x )



15

ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα η γνησίως φθίνουσα , τότε λέγεται γνησίως μονότονη

Σε μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση η γραφική παράσταση διαρκώς ανέρχε-

ται(ανεβαίνει) καθώς το χ αυξάνει .Αντίθετα , στην γνησίως φθίνουσα συνάρτηση η γρα-

φική παράσταση διαρκώς κατέρχεται ( κατεβαίνει) καθώς το χ αυξάνει.


i) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ( ) = + −3f x x 3x 2 είναι γνησίως αύξουσα.

ii) Να αποδειχθεί ( ) = −g x 7 4 lnx είναι γνησίως φθίνουσα.

Λύση

i) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το ℝ .Έστω ∈ <ℝ1 2 1 2

x ,x με x x

Τότε έχουμε : < ⇔ <3 3

1 2 1 2x x x x και < ⇔ <

1 2 1 2x x 3x 3x άρα

+ − < + − ⇔ <3 3

1 1 2 2 1 2x 3x 2 x 3x 2 f(x ) f(x ) .

ii) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το ( )= +∞A 0, .Έστω ∈ <ℝ1 2 1 2

x ,x με x x

Τότε έχουμε : <2

0 x και <1

0 x

< ⇔ − > − ⇔ − > − ⇔ >1 2 1 2 1 2 1 2

x x lnx lnx 4 lnx 4 lnx f(x ) f(x ) .

ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ

• Βρίσκω fD (πεδίο ορισμού).

• Θεωρώ 1 2 fx ,x D∈ (η γενικότερα σε κατάλληλο διάστημα Δ) με 1 2x x< .

• Με τη βοήθεια του 1 2x x< κατασκευάζω με επιτρεπτές πράξεις στο πρώτο μέλος

το ( )1f x και έτσι κατασκευάζεται στο δεύτερο μέλος το ( )2f x (επιτρεπτές πράξεις:

πολλαπλασιάζω με κατάλληλους αριθμούς, προσθέτω, κ.λπ. υψώνω σε δύναμη).

• Έτσι αν ( ) ( )1 2 ff x f x f γν.αυξ στο D< ⇒ (ή στο Δ).

αν ( ) ( )1 2 ff x f x f γν.φθιν στο D> ⇒ (ή στο Δ).



16

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1). Ευθεία ( )f x αx β= +

αν ( )α 0 f x> ⇒ γν. αύξουσα στο R.

αν ( )α 0 f x< ⇒ γν. φθίνουσα στο R.

αν ( )α 0 f x= ⇒ σταθερή.

2). Τριώνυμο ( ) 2f x αx βx γ, α 0= + + ≠ . Βρίσκω το 0

βx

2α= − . (εκατέρωθεν του 0x θα αλλάξει η μο-

νοτονία).

αν α 0> τότε

βf γν.φθιν. ,

2α

βf γν.αυξ. ,

2α

−∞ −

− +∞

αν α 0< τότε

βf γναυξ. ,

2α

βf γν.φθιν. ,

2α

−∞ −

− +∞

3). Υπερβολή ( ) f

αf x D R * α 0

x= = ≠

αν α 0> τότε f γν. φθιν. στο ( ),0−∞ , f γν. φθιν. στο ( )0,+∞ .

αν α 0< τότε f γν. αυξ. στο ( ),0−∞ , f γν. αυξ. στο ( )0,+∞ .

.4). Εκθετική ( ) xff x α D R α 0,α 1= = > ≠

αν ( )α 1 f x> ⇒ γν.αυξ. στο R ειδικά η ( ) xf x e= γν. αυξ. στο R.

αν ( )0 α 1 f x< < ⇒ γν.φθιν. στο R ειδικά η ( ) xf x e−= γν. φθιν. στο R.

5). Λογαριθμική ( ) ( )α ff x log x D 0, α 0,α 1= = +∞ > ≠ .

αν ( )α 1 f x> ⇒ γν.αυξ. στο ( )0,+∞ R ειδικά η ( )f x ln x= γν. αυξ. στο ( )0,+∞ .

αν ( )0 α 1 f x< < ⇒ γν.φθιν. στο ( )0,+∞ .

6). ( ) ff x ημx D R= = περιοδική 2πΤ =

f γν. αυξ. στοπ

0,2

, f γν. φθιν. στοπ

,π2

, f γν. φθιν. στο3π

π,2

, f γν. αυξ. στο3π

,2π2

όμοια

στα άλλα διαστήματα πλάτους 2π.

7). ( ) ff x συνx D R= = περιοδική 2πΤ =

f γν. φθιν. στοπ

0,2


,π2


π,2


,2π2

όμοια

στα άλλα διαστήματα πλάτους 2π.

8). ( ) f

πf x εφx D R κπ κ

2= = − + ∈Ζ περιοδική πΤ =

f γν. αυξ. στο π

,02

− , f γν. αυξ. στο

π0,

2

, όμοια στα άλλα διαστήματα πλάτους π.

9). ( ) ff x σφx D R κπ κ= = − ∈Ζ περιοδική πΤ =

f γν. φθιν. στο π

0,2


,π2

, όμοια στα άλλα διαστήματα πλάτους π.



17

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορισμός

Η f λεμέ ότι παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο ∈Α0

χ αν και μονό αν ισχύει :

≥0

f(χ ) f(χ) για κάθε ∈Αχ .

Ορισμός

Η f λεμέ ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ∈Α0

χ αν και μονό αν ισχύει :

≤0

f(χ ) f(χ) για κάθε ∈Αχ .

0χ

0( )f χ

fC

( ) ( ),of x f x x A≤ ∈

0χ

fC

0χ

0( )f χ

fC

0( ) ( ),f f Aχ χ χ≤ ∈



18


Να βρεθεί το ολικό μέγιστο της συνάρτησης 2( ) 2f χ χ= − +

Λύση

Η συνάρτηση 2( ) 2f χ χ= − + έχει πεδίο ορισμού το ℝ και η γραφική της παράσταση έχει την

μορφή του διπλανού σχήματος .

Επειδή για κάθε χ ∈ℝ είναι :

2 2

2

0 0

2 2 ( ) (0)f x f

χ χ

χ

≥ ⇔ − ≤ ⇔

− + ≤ ⇔ ≤

Η 2( ) 2f χ χ= − + παρουσιάζει

ολικό μέγιστο στην θέση 0 0χ =

το (0) 2f =

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ

Στο σχήμα (3) παρατηρούμε ότι έχουμε ένα «όρος» με κορυφή το Α και μια «κοιλάδα» στο Β. Το

Α είναι, στην περιοχή του, το υψηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης,

ενώ το Β το χαμηλότερο.

Λέμε ότι:

Στο χ1=-4 η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό

μέγιστο. Η τιμή του τοπικού μεγίστου είναι h(-

4)=-2

Στο χ2=3 η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ε-

λάχιστο. Η τιμή του τοπικού ελαχίστου είναι

h(3)=-2

Το τοπικό μέγιστο και το τοπικό ελάχιστο μιας

συνάρτησης, όταν υπάρχουν τέτοια, λέγονται

τοπικά ακρότατα της συνάρτησης.

Παρατηρήσεις

Υπάρχουν συναρτήσεις που έχουν ολικό μέγιστο η ελάχιστο και άλλες που δεν έχουν .Για

παράδειγμα η 3( )f χ χ= δεν έχει ούτε ολικό μέγιστο ούτε ελάχιστο.

το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο μιας συνάρτησης αν υπάρχουν λέγονται ολικά

ακρότατα.

f(x)=-x^2+2

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

2( ) 2f χ χ= − +

fC



19

Ορισμοί

Η f: A→R παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο χ0, το f(x0), αν και μόνο αν f(x0)≤ f(x) για

κάθε x που ανήκει σε μια περιοχή του Α, γύρω από το χ0.

Η f: A→R παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χ0, το f(x0), αν και μόνο αν f(x0)≥ f(x) για κάθε

x που ανήκει σε μια περιοχή του Α, γύρω από το χ0.

Η f: A→R παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο χ0, το f(x0), αν και μόνο αν παρουσιάζει το-

πικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο.

Παρατηρήσεις 1. Μια συνάρτηση f είναι δυνατόν να παρουσιάζει ακρότατο σε περισσότερα από ένα σημείο ( πχ. Η

συνάρτηση ημιτόνου και συνημίτονου)

2. Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f, μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστό της

3. Αν η συνάρτηση f:[ α, β]→R είναι μονότονη, τότε έχει ακρότατα τα f(α) και f(β). Πράγματι, αν α<

χ <β και f αύξουσα, τότε f(α)<f(χ)<f(β), δηλαδή η f παρουσιάζει ελάχιστο στο α, το f(α), και μέγι-

στο στο β, το f(β).



20

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ (ΑΝΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ)

( ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ)

1)Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2x

f(x)=(x-1)(x-2)

;

2)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

( ) ( ) ( ) ( )x 2 x

2 2 2 2

ημx συνx e x +3 lnx e xi. f x = + ii. f x = + iii. f x = + iv.f x = x-5+

x -1 9+x x-1 x -x-12 x-2 x -4x+3 x-7

3)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: ( ) ( )5- x

i. f x = 1- 9-x ii.f x =lnx

.

4)Για ποιες τιμές του x είναι αρνητική η συνάρτηση f(x)=(x-3)(x-7) ; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού

της συνάρτησης σ(x)= (x-3)(x-7) ;

5)Δίνεται η συνάρτηση ( )1-x

f x =ln1+x

. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι η

γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

6)Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων

α. ( ) 23 5 2f x x x= − + − β. ( )1

2xf x

e=

− γ. ( ) ( )3 1f x ln x= −

7)Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 1f x x x= − + −

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f.

β. Να λυθεί η ανίσωση ( ) 0f x < .

γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ( ) ( )g x f x= − .

(ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΗ ΘΕΣΗ X0:f(X0))

8)Αν 3f(x)=x -3x , να υπολογίσετε τις τιμές f(1) , f(2) , f(-1) .

9)Αν 2φ(t)=t -5t+6 , να υπολογίσετε τις τιμές φ(0) και φ(1) . Για ποιες τιμές του t είναι φ(t)=0 ;

10)Αν 21f(x)= lnx

2, να υπολογίσετε τις τιμές f(1) και f(e) .

11)Αν h(θ)=συνθ-ημθ , να υπολογίσετε τις τιμές h(0) και π

h2

. Για ποιες τιμές της γωνίας

θ [0,2π]∈ είναι h(θ)=0 ;

12)Δίνεται η συνάρτηση ( )24-x , x 1

f x =6-3x, x>1

≤

.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β. Να βρείτε τις τιμές ( ) ( ) ( ) ( )f 0 ,f -1 ,f 1 ,f 2

γ. Να λύσετε της εξίσωση ( )f x =0

δ. Να λύσετε την ανίσωση ( )f x 0≥ .



21

13)Δίνεται η συνάρτηση ( )2

2

4-xf x =

x -1.


β. Να βρείτε τις τιμές ( ) ( )f 0 ,f 2

γ. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες είναι ( )5

f x = -8

δ. Να λύσετε την ανίσωση ( )f x 0≥

ε. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x =0

στ. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.

14)Αν 1

x

1f(x)=

1+e

, να δείξετε ότι f(x)+f(-x)=1 .

15)Για την πραγματική συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι 2x 2f =x f +x +1

2 x

⋅

, για κάθε *x∈ℝ . Να βρεί-

τε την τιμή ( )f 2 .

16)Για την πραγματική συνάρτηση f ισχύει: x+2 x-1

f =x-1 x-2

. Να βρείτε το ( )f 2 .

17)Αν για την πραγματική συνάρτηση f ισχύουν: ( ) ( ) ( )f x+1 =x f x και f 2 =5⋅ . Να βρείτε την ( )f 4 .

18)Μια συνάρτηση f έχει την ιδιότητα ( ) ( )2f x +f -x =x , για κάθε x∈ℝ . Να βρείτε τον τύπο της.

19)Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση f: →ℝ ℝ με την ιδιότητα ( ) ( )f x f 3-x =5-x− , για κάθε

x∈ℝ .

20)Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ℝ που να έχει την ιδιότητα

( ) ( ) 2f x f 2-x =x 2− + , για κάθε x∈ℝ .

21)Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις f,g: →ℝ ℝ με την ιδιότητα:

α. ( ) ( )2 2 xf x +f 2 +1=0 για κάθε x∈ℝ

β. ( ) ( )2 3 xg x -g 3 +1=0 για κάθε x∈ℝ .

22)Δίνεται η συνάρτηση ( )3 1

113 12

x, x

f x xα , x

+ ≠= − − =


β. Να υπολογίσετε το α ώστε ( ) ( )1 1f f− =

(ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ)

23)Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( )2

2

x x -4f x = και g x =

x -1 x-3.

α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των δύο συναρτήσεων

β. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f+g ;

γ. Να ορίσετε τις συναρτήσεις gf

και g f

δ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f

g παίρνει θετικές τιμές.

24)Αν 2f(x)=3x -2x-1 και g(x)=2x-1 , να βρείτε τις συναρτήσεις f(x)+g(x) , f(x) g(x)⋅ , f(x)

g(x).



22

Αν ( ) ( )f x =4x+6, g x =x+1 τότε να βρείτε τις συναρτήσεις:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

f x g xf x +g x ,f x -g x ,f x g x , ,

g x f x⋅ .

25)Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( ) [ ]f x =ημ2x και g x =συνx με x 0,π∈ . Να λύσετε την εξίσωση

( ) ( )f x =g x και στη συνέχεια να ορίσετε τις συναρτήσεις:

α. τις συναρτήσεις f+g , f-g και f g⋅

β. τη συνάρτηση f

g και να απλοποιήσετε τον τύπο της

γ. τη συνάρτηση g

f.

(ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΜΕ ΑΞΟΝΕΣ)

26)Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = x-2-x+2 . Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και τα ση-

μεία στα οποία η fC τέμνει τον άξονα x’x.

27)Δίνεται η συνάρτηση ( )x-1 - x+1

f x =1- x

. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και τα ση-

μεία στα οποία η fC τέμνει τον άξονα x’x. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή. Τι

είδους συμμετρία παρουσιάζει η γραφική της παράσταση;


2

2

1

xf x

x=

+

α. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

β. Να βρείτε τα σημεία της καμπύλης της f που έχουν τεταγμένη 1.

29)Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( )2

2 x +x-2f x =x -x και g x =

x. Να βρείτε:

α. τα πεδία ορισμού των f και g

β. τα κοινά σημεία των fC και gC

γ. τα διαστήματα στα οποία η fC βρίσκεται πάνω από τη gC .

30)Έστω οι συναρτήσεις ( ) ( )3 2

2x -2x -1f x = , g x =x

x-2.

α. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )1

f x -g x = -x-2

για κάθε x 2≠

β. Να εξετάσετε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων.

(ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ)

31)Δίνεται η συνάρτηση ( )2 2

4αxf x = ,α

α x +1∈ℝ . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και στη

συνέχεια να βρείτε τις τιμές του α έτσι ώστε η τιμή της f στο 1 να είναι ίση με 2.

32)Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 2f x =x +αx+β+ 4-x .

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της



23

β. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(-2,-2) και Β(2,2), να

βρείτε το σημείο στο οποίο η fC τέμνει τον άξονα y’y.

33)Δίνεται η παραβολή με εξίσωση 2y=αx +βx+γ , η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0,1), Β(1,0)

και Γ(2,1).

α. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ.

β. Να σχεδιάσετε την παραβολή.

γ. Αν f είναι η συνάρτηση με γραφική παράσταση την παραπάνω παραβολή, να βρείτε τη συ-

νάρτηση g που έχει γραφική παράσταση την ευθεία ΑΒ.

(ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ) 34)Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2f x =x ,g x =x +1,h x = x-2 ,k x = x-2 +1 .

35)Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων:

( ) ( ) ( )4x+2, x<0

2x-1, x 0f x = g x =3 x-1 +1, h x = 2-2x, 0 x<2

1-x, x<0-2, x 2

≥

≤ ≥

.

36)Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων ( ) ( )x+1 2x-3

f x = και g x =x-1 x+2

.

37)Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )3 2

2

x -12x +48x-64f x =

x -8x+16.

38)Αν ( ) ( )2x-1, x 1 3x, x 0

f x = και g x =-x, x<1 -4x-3, x<0

≥ ≥

, να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρ-

τησης f-g και μετά να βρείτε το σύνολο τιμών της.

(ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ Η’ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Κ.ΛΠ.))

39)Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 100m, μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις

πλευρές της. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Αν το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί

είναι x, να εκφράσετε το εμβαδόν της περιοχής ως συνάρτηση του x.

40)Ένα κυλινδρικό φλιτζάνι, ανοικτό από πάνω, κατασκευάζεται έτσι ώστε το ύψος του και το

μήκος της βάσης του να έχουν άθροισμα 20cm. Αν το φλιτζάνι έχει ύψος h cm, να εκφράσετε

τον όγκο του ως συνάρτηση του h. Αν η ακτίνα της βάσης του είναι r, να εκφράσετε το εμβαδόν

της επιφάνειάς του ως συνάρτηση του r.

41)Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=ΑΓ=10 . Αν =θ∧

ΑΒΓ , να εκφράσετε το ύψος υ του τριγώνου από

την κορυφή Β, καθώς και το εμβαδόν του ως συνάρτηση του θ.

42)Να εκφράσετε το μήκος λ της χορδής ενός κύκλου ακτίνας 10εκατοστών ως συνάρτηση της

απόστασής της από το κέντρο του κύκλου. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής;

43)Στο Τσεκουριστάν ο φόρος στα εισοδήματα υπολογίζεται ως εξής. Σε κάθε εισόδημα το πρώ-

το 1500000 δεν φορολογείται ενώ το υπόλοιπο ποσό φορολογείται με 20%.

α. Πόσο φόρο πρέπει να πληρώσει κάποιος που έχει εισόδημα 4000000;

β. Αν x είναι το εισόδημα ( x>1500000 ) και y είναι ο φόρος τότε να βρείτε τη συνάρτηση ( )y=f x .

Στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση.



24

44)Να εκφράσετε το μήκος του τμήματος ΜΝ του παρακάτω σχήματος ως συνάρτηση του x, και

να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α της ευθείας και της καμπύλης.

45)Κόβουμε ένα σύρμα μήκους 10cm και φτιάχνουμε έναν κύκλο και ένα τετράγωνο πλευράς x.

Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων και να βρείτε

το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής

(ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ)

46)Δίνεται η συνάρτηση ( )f x =2x-6 .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

β. Να χαράξετε τη γραφική της παράσταση

γ. Να εξετάσετε αν η f έχει ακρότατα

47)Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις ( ) ( )3

f x = x-2 , h x = -x

.

48)Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:A → ℝ .

α. Αν οι f,g είναι γνησίως αύξουσες (αντ. γν. φθίνουσες) να αποδείξετε ότι και h (f+g) είναι γνη-

σίως αύξουσες (αντ. γν. φθίνουσες)

β. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι η –f είναι γνησίως φθίνουσα

γ. Αν οι f και g είναι γνησίως αύξουσες με θετικές τιμές, τότε και η fg είναι γνησίως αύξουσα.


f x =x-2

. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

( ) ( ),2 και στο 2,+−∞ ∞ . Είναι η f γνησίως μονότονη;

50)Δίνεται η συνάρτηση ( ) [ ]f x = x-1+x-2,x 1,5∈ .

α. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία

β. Να αποδείξετε ότι ( ) [ ]f x 1,5∈ − , για κάθε [ ]x 1,5∈ .

51)Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ και

1 2 100 1 2 100x ,x ,...x με x x ... x< < < . Αν ( ) ( ) ( )1 2 100 1f x f x ... f x+ + + = , να αποδείξετε ότι ( )1 0 01f x ,> .

52)Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f στο Δ και 1 2 5 1 2 5x ,x ,...x Δ με x x ... x∈ < < < . Αν

( ) ( ) ( )1 2 5 1f x f x ... f x+ + + = , να δείξετε ότι ( )1 0 2f x ,≤



25

(ΑΚΡΟΤΑΤΑ)

53)Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = 4- x-5 .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη

γ. Να βρείτε το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης.

54)Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = 4- x-3 .


β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

γ. Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της f.

(ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ – ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ)

55)Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2-xf x =e -x+2 .


β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία

γ. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x =1

δ. Να εξετάσετε αν η f έχει ακρότατα.

56)Δίνεται η συνάρτηση ( )f x = x-2+x-4 .


β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη

γ. Να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό ελάχιστο

δ. Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(3,0) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

ε. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x =0 .

57)Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )f x =x+ln x-3 -4 .


β. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία

γ. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x =0 .

58)Δίνεται η συνάρτηση ( ) xf x =α -x με 0<α<1 .

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

β. Να λύσετε την ανίσωση ( )2x x+2 2α -α >x - x+2

59)Δίνεται μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ η οποία είναι γνησίως φθίνουσα. Να λύσετε την ανίσωση

( ) ( )2f x +x >f 3-x .

60)Δίνεται η συνάρτηση ( ) xf x =α +x, 1α > .

α. Να βρείτε τη μονοτονία της f

β. Να λύσετε την ανίσωση lnx -xα -α > -lnx-x .



26

ΟΡΙΑ –ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Θεωρούμε τη συνάρτηση 3

9)(

2

−−

=x

xxf .

Το πεδίο ορισμού της είναι R- 3, γιατί για χ = 3 ο παρονομαστής γίνεται 3 – 3 =0.

Φτιάχνουμε έναν πίνακα τιμών στον οποίο θέτουμε ως χ, αριθμούς συνεχώς πιο κοντά στο 3.

x 2.9 2.99 3.001 3.01 3.1

f(x) 5.9 5.99 6.001 6.01 6.1

Παρατηρούμε ότι, όταν το χ πλησιάζει («τείνει») προς το 3, αλλά από μικρότερες τιμές, τότε οι

τιμές της f(x) πλησιάζουν στην τιμή 6. Ενώ όταν το χ πλησιάζει προς το 3, αλλά από μεγαλύ-

τερες τιμές, πάλι οι τιμές της f(x) πλησιάζουν προς το 6.

Για την ακρίβεια: μπορούμε να βρούμε τιμή της f(x) όσο κοντά στο 6 θέλουμε, αρκεί να πάρουμε

ως χ έναν αριθμό πολύ κοντά στο 3.

Συμβολίζουμε: όταν 3→x , τότε 6)( →xf ή 3

lim ( ) 6x

f x→

=

Ορισμός

Έστω η συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (a, x0) U (x0, b). Αν οι τιμές της

f(x) βρίσκονται οσοδήποτε κοντά στον πραγματικό αριθμό l, καθώς οι τιμές του χ πλησιά-

ζουν αρκετά κοντά στο χ0 (αλλά δεν γίνεται απαραίτητα ίσο με το χ0), τότε λέμε ότι η συ-

νάρτηση έχει όριο τον πραγματικό αριθμό l όταν το χ τείνει στο χ0. Συμβολίζουμε

0

lim ( )x x

f x l→

=

Τονίζουμε ότι αν ορίζεται το όριο της f(x) στο x0, τότε αυτό είναι μοναδικό.

Το όριο μέσα από γραφική παράσταση

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράστα-

ση μιας συνάρτησης f. Δεν γνωρίζουμε τον τύπο της,

ωστόσο παρατηρούμε ότι δεν ορίζεται για χ = χ0, αφού

υπάρχει κενό εκεί που περιμέναμε το αντίστοιχο ση-

μείο της γραφικής της παράστασης. Μπορούμε όμως

να θεωρήσουμε μεταβλητό αριθμό χ, τον οποίο θα

μεταφέρουμε πολύ κοντά στο χ0 και θα μελετήσουμε

την αντίστοιχη κίνηση των f(x). Από το σχήμα είναι

φανερό ότι: καθώς το χ προσεγγίζει το χο, οι τιμές f(x)

προσεγγίζουν τον αριθμό l.



27


Αν είναι 2

lim ( ) 3x

f x→

= και 2

lim ( ) 1x

g x→

= − , τότε είναι

2lim[ ( ) ( )] 3 ( 1) 2x

f x g x→

+ = + − =

2lim[ ( ) ( )] 3 ( 1) 4x

f x g x→

− = − − =

2lim[ ( ) ( )] 3 ( 1) 3x

f x g x→

⋅ = ⋅ − = −

2

( ) 3lim 3

( ) 1x

f x

g x→= = −−


Αν είναι 4 3( ) 3 2 1f x x x= − + , τότε

4 3 4 3 4 3

2 2 2lim ( ) lim 3 2 1 lim(3 2 1 3 2 2 2 1 33x x x

f x x x x x→ → →

= − + = − + = ⋅ − ⋅ + = .

Αν είναι ( ) 2 3f x x= + , και 2

lim(2 3) 7x

x→

+ = τότε ( )2 2

2lim 2 3 7 49x

x→

+ = =

Αν είναι 2( ) 3f x x x= − + , τότε

2 2 2

2 2 2lim ( ) lim 3 lim( 3) 2 2 3 5x x x

f x x x x x→ → →

= − + = − + = − + =

Παρατήρηση

Οι παραπάνω ιδιότητες δεν ισχύουν πάντοτε αντίστροφα.

Δηλαδή, μπορεί να είναι: 0

lim[ ( ) ( )] 7x x

f x g x→

+ = χωρίς να είναι απαραίτητα 0

lim ( ) 3x x

f x→

= και

0

lim ( ) 4x x

g x→

=

Αντίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στην περίπτωση των ορίων 0

limx x→

[ ( ) ( )]f x g x⋅ και

0

limx x→

[ ( ) ( )]f x g x÷

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αν υπάρχουν τα 0

lim ( )x x

f x→

και 0

lim ( )x x

g x→

και είναι πραγματικοί αριθμοί l1, l2 αντίστοιχα,

τότε:

• 0

limx x→

[f(x)+g(x)] = l1 +l2

• 0

limx x→

[f(x)-g(x)] = l1 -l2

• 0

limx x→

21)]()([ llxgxf ⋅=⋅

• 0

limx x→ 21)]()([ llxgxf ÷=÷ , εφ’ όσον l2 ≠0

• 0

limx x→

1)( lxf =

• 0

limx x→

vv lxf 1)]([ =

• 0

limx x→

kk lxf 1)( = , k є N, k ≥ 2

όπου η φ είναι θετική σε μια περιοχή του χ0.



28

Στην περίπτωση που είναι 0

lim ( )x x

f x a→

= , τότε δεν είναι απαραίτητα 0

lim ( )x x

f x a→

= .

Μπορεί να είναι και 0

lim ( )x x

f x a→

= − .

Πλευρικά όρια συνάρτησης

Από τις ιδιότητες των ορίων, είναι φανερό ότι μπορούμε να υπολογίσουμε άμεσα όρια πο-

λυωνυμικών ή ρητών συναρτήσεων, και γενικά συναρτήσεων που διατηρούν σταθερό τύπο. Τι

συμβαίνει όμως, όταν η συνάρτηση που μελετούμε περιέχει περισσότερους από έναν τύπους

γνωστών συναρτήσεων, δηλ. είναι κλαδωτή;

Δίνεται το ακόλουθο σχήμα:

Παρατηρούμε ότι όταν το χ πλησιάζει στο 1 από με-

γαλύτερες τιμές ( +→1x ), οι τιμές της f(x) πλησιάζουν

στο 2, ενώ όταν το χ πλησιάζει στο 1 από μικρότερες

τιμές ( −→1x ), τότε τα f(x) προσεγγίζουν το 4.

Έτσι έχουμε:

Όταν +→1x , τότε 2)( →xf και γράφουμε

1lim ( ) 2x

f x+→

= ενώ

Όταν −→1x , τότε 4)( →xf και γράφουμε

1lim ( ) 2x

f x−→

=

Οι αριθμοί 1

lim ( )x

f x+→

και 1

lim ( )x

f x−→

λέγονται πλευρικά όρια της f(x) στο 1. Το πρώτο λέγεται δεξί

όριο, και το δεύτερο αριστερό όριο.

Ορισμός

Το όριο μιας συνάρτησης υπάρχει, αν και μόνο αν υπάρχουν τα πλευρικά της όρια και

είναι ίσα, δηλαδή 0

lim ( )x x

f x l→

= αν και μόνο αν 0

lim ( )x x

f x−→

=0

lim ( )x x

f x l+→

= .

Αν τα δυο πλευρικά όρια της συνάρτησης είναι διαφορετικά, τότε θα λέμε ότι δεν υπάρχει

το όριο της f όταν 0xx → .


Να βρεθεί το 0

limx x→

f(x), όταν είναι

2 1,.... 1( )

3 2,...... 1

x x xf x

x x

− + ≤=

− > και 0 1x =

• Για χ<1 είναι 2( ) 1f x x x= − + και επομένως

2 2

1 1lim ( ) lim( 1) 1 1 1 1x x

f x x x− −→ →

= − + = − + =

• Για χ>1 είναι ( ) 3 2f x x= − και 1 1

lim ( ) lim( 3 2) 3 1 2 1x x

f x x+ +→ →

= − = ⋅ − =

Άρα έχουμε 1

limx→

f(x)=1



29

Οι πράξεις που δεν ορίζονται λέγονται απροσδιόριστες μορφές.

Μεθοδολογία ασκήσεων

1. Όταν γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης (και δεν είναι πολλαπλός), τότε για να υ-

πολογίσουμε το όριό της στο χ0, αντικαθιστούμε το χ0 στη θέση του χ (εφ’ όσον αυτό

επιτρέπεται) και εκτελούμε τις πράξεις. Το αποτέλεσμα είναι το ζητούμενο όριο


2 2

5lim( 5) 5 5 25 5 20x

x→

− = − = − =

Ο κανόνας εφαρμόζεται ό,τι και να περιέχει ο τύπος της συνάρτησης (ρίζα, απόλυτη τιμή,

κλάσματα...).

2. Όταν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου, τότε χρησιμοποιούμε πλευρικά όρια για

να υπολογίσουμε το όριο, καθώς το χ πλησιάζει το σημείο χ0 (δηλαδή τον αριθμό) όπου

αλλάζει ο τύπος.


Έστω η συνάρτηση f(x) = 2 1, 5

2 7, 5

x x

x x

− <

+ ≥

Τότε 2 2

5 5lim ( ) lim( 1) 5 1 24x x

f x x− −→ →

= − = − = και 5 5

lim ( ) lim(2 7) 17x x

f x x+ +→ →

= + = .

Αφού τα πλευρικά όρια δεν είναι τα ίδια, η συνάρτηση δεν έχει όριο όταν το χ τείνει στο 5.

3. Όταν η αντικατάσταση οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή

0

0, τότε απλοποιούμε τον

τύπο χρησιμοποιώντας κατάλληλες αλγεβρικές πράξεις, ταυτότητες, παραγοντοποίη-

ση κλπ, και στη συνέχεια εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων.



• Για την ύπαρξη ή όχι του ορίου 0

lim ( )x x

f x→

, δε μας ενδιαφέρει να ορίζεται η συνάρτηση f στο

x0. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να ορίζεται η συνάρτηση σε μια περιοχή πολύ κοντά στο

x0, ώστε να μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της.

Αν όμως η συνάρτηση ορίζεται μόνο από τη μια πλευρά, τότε το πλευρικό όριο που υπάρχει

είναι και το όριο της συνάρτησης.

• Η περίπτωση διαφορετικών πλευρικών ορίων μας αφορά , μόνο όταν έχουμε συνάρτηση

πολλαπλού τύπου.



30

2

3

9lim

3x

x

x→

−=

− 3

( 3) ( 3)lim

3x

x x

x→

− ⋅ +=

− 3lim( 3) 6x

x→

+ =

4. Αν το κλάσμα περιέχει το χ σε ρίζα, τότε πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον πα-

ρονομαστή με τη συζυγή παράσταση και απαλείφονται οι ρίζες.


9

9lim

3x

x

x→

−=

−

9

( 9) ( 3)lim

( 3) ( 3)x

x x

x x→

− ⋅ +=

− ⋅ +

9

( 9) ( 3)lim

( 9)x

x x

x→

− ⋅ +=

−

9lim( 3) 9 3 3 3 6x

x→

+ = + = + = .

5. Αν η παράσταση περιέχει απόλυτη τιμή, τότε πρέπει να διώξουμε το απόλυτο με βάση

τον ορισμό του: ,..... 0

,... 0

a aa

a a

≥=

− <


Να υπολογιστεί το όριο 2

2lim

2x

x

x→

−

−

Το πρόσημο του απολύτου δίνεται από τον παρακάτω πίνακα:

χ −∞ 2 +∞

χ-1 - +

Αν χ<2, τότε χ-2<0 άρα 2 ( 2)x x− = − − και η παράσταση γίνεται

2

2 ( 2)lim 2

2 2x

x x

x x−→

− − −= = −

− −

Αν χ≥ 2, τότε χ-2≥ 0 άρα 2 2x x− = − και η παράσταση γίνεται

2

2 2lim 2

2 2x

x x

x x+→

− −= =

− −

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να υπολογιστούν τα όρια

i) 3 2

2lim( 2 1)x

x x x→−

− + − ii)2

1 1lim

1 1x

x x

x x→−

+ − −

+ + −

iii)3

21

1lim

2 3 5x

x

x x→

−+ −

iv)3

3lim

1 1x

x

x x→

−

+ − +

v)

2

23

3 3lim

9x

x x x

x−→

− + −

−

Λύση

i. Η συνάρτηση 3 2( ) 2 1f x x x x= − + − έχει πεδίο ορισμού το ( , 1] [1, )A = −∞ − ∪ +∞ , οπότε εί-

ναι ορισμένη σε σύνολο της μορφής ( , 2) ( 2, )a b− ∪ − . Έχουμε:



31

3 2 3 2

2lim( 2 1) ( 2) 2( 2) ( 2) 1x

x x x→−

− + − = − − − + − − 8 4 4 1 4 3= − + + − = − + .

ii. Είναι: 2

1 1 2 1 2 1 1 3 1 3 2 1lim

1 1 2 1 2 1 1 3 1 3 4 2x

x x

x x→−

+ − − − + − − − − − − − −= = = = = −

+ + − − + + − − − + − +

iii.Η συνάρτηση 3

2

1( )

2 3 5

xf x

x x

−=

+ − έχει πεδίο ορισμού το 51, 2A = − −ℝ γιατί αυτές οι τιμές

μηδενίζουν τον παρονομαστή του κλάσματος.

Είναι 3 2 2 2

2

1 ( 1) ( 1) 1 1( )

5 52 3 5 2 52 ( 1) ( ) 2 ( )2 2

x x x x x x x xf x

x x xx x x

− − ⋅ + + + + + += = = =

+ − +⋅ − ⋅ + ⋅ +

και επομένως

1lim ( )x

f x→

=3 2 2

21 1

1 1 1 1 1 3lim lim

2 3 5 2 5 2 1 5 7x x

x x x

x x x→ →

− + + + += = =

+ − + ⋅ +

iv. Η συνάρτηση 3

( )1 1

xf x

x x

−=

+ − + έχει πεδίο ορισμού το [ 1,3) (3, ).A = − ∪ +∞

Παρατηρούμε ότι το χ0=3 οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0

0

. Έτσι έχουμε:

3( )

1 1

xf x

x x

−=

+ − +

( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

( 3) [ 1 1 ] 3 [ 1 1

[ 1 1 ] [ 1 ( 1)] 1 1

x x x x x x

x x x x x x

− ⋅ + + − − ⋅ + + −= =

+ − − ⋅ + + − + − −=

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 22

3 1 1 3 1 1 3 1 1

1 2 1 31 2 1

x x x x x x x x x

x x x x xx x x

− ⋅ + + − − ⋅ + + − − ⋅ + + −= =

+ − + − −+ − − +

( ) ( )( )

3 1 1

3

x x x

x x

− ⋅ + + −=

− ⋅ −1 1x x

x

+ + −= − .

Άρα 3

3 1 3 1 4 2 2 2 4lim ( ) .

3 3 3 3xf x

→

+ + − + += − = = =

v. Το πρόσημο του πολυωνύμου 23 (3 )x x x x− = − δίνεται στον παρακάτω πίνακα

χ −∞ 0 3 +∞

χ(3-χ) - + -

Για (0,3)x∈ είναι 23 0,x x− > οπότε έχουμε:

( )( )( ) ( )

2 2

9 2

3 13 3 4 3 1( )

9 9 3 3 3

xx x x x x xf x

x x x x

− −− + − − + − −= = = − =

− − − + +

και 3 3

1 1 3 2 1lim ( ) lim

3 3 1 6 3x x

xf x

x− −→ →

− − −= = = = −

+ +

2)Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2

2

2 3 3 3, 3

3 2

5 6, 3

3

xx

x

x xx

x x

+ − −≤ < −

− + > −

…

…

. Να υπολογισθεί, αν υπάρχει το

3lim ( )x

f x→

.



32

Λύση

Για χ<3 είναι

( )( )( ) ( ) ( )( )

2 22 3 3 2 3 32 3 3 2 3 3( )

3 3 2 3 3 3 2 3 3

x xx xf x

x x x x x

+ − + ++ − + −= = =

− − + + − + +=( ) ( )

2 3 9

3 2 3 3

x

x x

+ −

− + +

( ) ( )( )

( )( )2 32 6 2

2 3 33 2 3 3 3 2 3 3

xx

xx x x x

−−= = =

+ +− + + − + +.

Άρα 3 3

2 2 2 2 2 1lim ( ) lim

3 3 6 32 3 3 2 3 3 3 9 3x xf x

x− −→ →= = = = = =

++ + ⋅ + + +

Για χ>3 είναι

( )( )( )

2

2

3 25 6 2( )

3 3

x xx x xf x

x x x x x

− −− + −= = =

− −

Άρα 3 3

2 3 2 1lim ( ) lim

3 3x x

xf x

x+ +→ →

− −= = =

Εφ’ όσον 3 3

1lim ( ) lim ( )

3x xf x f x

− +→ →= = , έχουμε ότι υπάρχει το

3lim ( )x

f x→

και είναι ίσο με 1

3

3)Αν 2

lim ( ) 3x

f x→

= και ( ) 3xg x = τότε να βρεθεί το 2

lim(4 ( ) ( ))x

L f x g x→

= − .

Λύση

Αφού ( ) 3xg x = έχουμε ότι 2

2 2lim ( ) lim x

x xg x e e

→ →= = , και από τις ιδιότητες των ορίων ισχύει

2lim(4 ( ) ( ))x

f x g x→

− = 2 2

2 2 2 2lim 4 ( ) lim ( ) 4 lim ( ) lim ( ) 4 3 12x x x x

f x g x f x g x e e→ → → →

− = − = ⋅ − = −

4)Αν 2

3 ( ) 4lim 3,

2x

f x

x→

−=

− να βρεθεί το

2lim ( )x

f x→

.

Λύση

Θέτουμε 3 ( ) 4

( )2,

f xg x

x

−=

− οπότε έχουμε:

13 ( ) 4 ( 2) ( ) 3 ( ) 4 ( 2) ( ) ( ) [4 ( 2) ( )].

3f x x g x f x x g x f x x g x− = − ⇔ = + − ⇔ = + − Επειδή

2lim ( ) 3x

g x→

= και 2

lim( 2) 0,x

x→

− = είναι 2

lim( 2) ( ) 0x

x g x→

− = και επομένως

2

1 4lim ( ) (4 0)

3 3xf x

→= + = . Άρα, έχουμε ( ) ( )

222

2 2 2

4 16lim ( ) lim ( ) lim ( )

3 9x x xf x f x f x

→ → →

= = = =

5)Να βρεθεί ο λ∈ℝ ώστε η συνάρτηση 23 ,.. 1

( )1,...... 1

f xλχ χ

χ χ

− >=

+ ≤ να έχει όριο στο χ0=1

Λύση

Είναι 2 2

1 1lim ( ) lim(3 ) 3 1 3x x

f x λχ λ λ+ +→ →

= − = − ⋅ = − και 1 1

lim ( ) lim( 1) 1 1 2x x

f x x− −→ →

= + = + =

Για να υπάρχει το 1

lim ( )x

f x→

πρέπει να είναι

ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ

Εύρεση ορίου της ( )f x .

• Θέτω ( )h x την παράσταση του γνω-

στού ορίου.

• Λύνω ως προς ( )f x την ισότητα.

• Βρίσκω το όριο της ( )f x



33

1 1

lim ( ) lim ( ) 3 2 1.x x

f x f x λ λ− +→ →

= ⇔ − = ⇔ =

6)Να βρείτε τα ,α β ∈ℝ ώστε η συνάρτηση

2

2

,... [0,2]

( ) 1,........... (2,3]

2 3 ,..... (3,4]

x ax

f x

β χ

χ χαχ β χ

+ + ∈

= + ∈ − ∈

να έχει όριο στα

σημεία χ1=2 και χ2=3

Λύση

Είναι 2 2

2 2lim ( ) lim( ) 2 2 4 2x x

f x x ax β α β α β− −→ →

= + + = + ⋅ + = + +

και 2 2

2 2lim ( ) lim( 1) 2 1 4 1 5x x

f x x+ +→ →

= + = + = + =


lim ( )x

f x→

πρέπει να είναι

2 2lim ( ) lim ( ) 4 2 5x x

f x f x a β− +→ →

= ⇔ + + = (1)

Επιπλέον, είναι 2 2

3 3lim ( ) lim( 1) 3 1 9 1 10x x

f x x− −→ →

= + = + = + =

και 3 3

lim ( ) lim(2 3 ) 2 3 3 6 3x x

f x ax β α β α β+ +→ →

= − = ⋅ − = − .


lim ( )x

f x→

πρέπει να είναι 3 3

lim ( ) lim ( ) 6 3 10x x

f x f x a β− +→ →

= ⇔ − = (2)

Λύνοντας το σύστημα των (1), (2) με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών, έχουμε:

2 4 5 2 5 4 2 1 6 3 3

6 3 10 6 3 10 6 3 10 6 3 10

α β α β α β α βα β α β α β α β+ + = + = − + = + =

⇔ ⇔ ⇔ − = − = − = − =

.

Με πρόσθεση κατά μέλη, προκύπτει ότι 13

12 1312

a a= ⇒ =

και με αντικατάσταση στη σχέση (1), έχουμε

13 13 13 6 13 72 1 1 1

12 6 6 6 6 6β β β β β⋅ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −



34

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η συνέχεια σε ένα σημείο χ0 είναι μια ιδιότητα της συνάρτησης, η οποία εκφράζει αν η συ-

μπεριφορά των γειτονικών σημείων της f στο χ0 είναι η αναμενόμενη, δηλαδή δεν υπάρχουν

κενά ή διακοπές στη γραφική παράσταση της f.

Ορισμοί

• Μια συνάρτηση f : A→ R, RA ⊆ είναι συνεχής στο σημείο χ = χ0 του πεδίου ορισμού

της, αν και μόνο αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο χ0 και είναι ίσο με την τι-

μή της συνάρτησης στο σημείο αυτό. Δηλαδή, όταν: 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= .

• Μια συνάρτηση f : A→ R, RA ⊆ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Α (ή απλά συ-

νεχής), αν και μόνο αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο χ του πεδίου ορισμού της Α.

Δηλαδή, όταν: 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= για κάθε Ax ∈0 .


• Η συνάρτηση 2( ) 2 3f x x= − είναι συνεχής στο 0 1x = γιατί έχουμε

2

1lim ( ) (1) 2 1 3 1x

f x f→

= = ⋅ − = −

• Η συνάρτηση 2 1,.... 1

( )3,........... 1

x xg x

x

+ ≠=

= είναι συνεχής στο 0 1x = γιατί

1 1

lim ( ) lim(2 1) 2 1 1 3x x

g x x→ →

= + = ⋅ + = και (1) 3g =


1. Μελετάμε τη συνέχεια, μόνο για εκείνα τα χ0

που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f με τύπο f(x) =

x

1 , 0−=∈ RAx είναι συνεχής. Αξίζει να ση-

μειωθεί ότι η γραφική της παράσταση δεν είναι

συνεχής γραμμή.

2. Κάθε συνάρτηση που η γραφική της παράσταση

είναι μια συνεχής γραμμή είναι και συνεχής συνάρ-

τηση. Το αντίστροφο, όμως, δεν ισχύει.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f με τύπο

f(x) = 2,.... [0,3]

2,..... 4

x x

x

∈

= είναι συνεχής για κάθε χ που

ανήκει στο πεδίο ορισμού της (και για χ = 4), αν και η



35

γραφική της παράσταση δεν είναι συνεχής γραμμή.

3. Μια συνάρτηση f είναι ασυνεχής (δηλ δεν είναι συνεχής) στο σημείο χ0 του πεδίου ορι-

σμού της, όταν:

• Δεν υπάρχει το όριο της f(x), όταν το χ τείνει στο χ0,

δηλαδή το 0

lim ( )x x

f x→

. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f

με τύπο

f(x) =

0,........1

0,....1

=

≠

x

xx

• Υπάρχει το όριο της f(x) όταν το χ τείνει στο χ0, αλλά

είναι αριθμός διαφορετικός από την τιμή της συνάρ-

τησης στο χ0. Δηλαδή 0

0lim ( ) ( )x x

f x l f x→

= ≠ .


f(x) =2,... 2

1,..... 2

x x

x

≠

=

• Όταν κάποιο από τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικό

από την τιμή της συνάρτησης στο χ0, δηλαδή

00lim ( ) ( )

x xf x l f x

−→= ≠ ή

00lim ( ) ( )

x xf x m f x

+→= ≠ .


f(x) = 2

3 1,........... 1

4 3,... 1

x x

x x x

+ ≤

− + > .

Είναι 2

1 1lim ( ) lim( 4 3) 1 4 1 3 0x x

f x x x+ +→ →

= − + = − ⋅ + = και

4113)1( =+⋅=f

• Όταν υπάρχουν τα πλευρικά όρια αλλά έχουν δια-

φορετική τιμή, δηλαδή 0 0

0lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x+ −→ →

≠


f(x) = ,....0 1

2,..... 1

x x

x

≤ ≤

>

Είναι 1 1

lim ( ) lim 2 2x x

f x+ +→ →

= = και 1 1

lim ( ) lim 1x x

f x x− −→ →

= =



36

• Όταν δεν υπάρχει πλευρικό όριο της συνάρτησης f, δηλαδή δεν υπάρχει το 0

lim ( )x x

f x+→

ή

δεν υπάρχει το 0

0lim ( )x x

f x−→

.

(Όταν λέμε ότι δεν υπάρχει το όριο, συμπεριλαμ-

βάνεται και η περίπτωση που το όριο είναι μη-

πεπερασμένο, δηλαδή 0

lim ( )x x

f x→

= +∞ ή

0

lim ( )x x

f x→

= −∞ .

Για παράδειγμα η συνάρτηση f με τύπο

f(x) =

1,....0 2

23 ,..... 2

xxx x

≤ <−

− ≥

όπου 2 2

1lim ( ) lim

2x xf x

x− −→ →= = +∞

−

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Οι βασικές συναρτήσεις είναι συνεχείς, δηλαδή:

I. Η σταθερή συνάρτηση :f →ℝ ℝ με ( )f x c= είναι συνεχής στο ℝ , γιατί για κάθε

0x ∈ℝ ισχύει 0 0

0lim ( ) lim ( ) ( )x x x x

f x f x c f x− +→ →

= = =

II. Η ταυτοτική συνάρτηση :f →ℝ ℝ με ( )f x x= είναι συνεχής στο ℝ , γιατί για κάθε


0 0lim ( ) lim ( ) ( )x x x x

f x f x x f x− +→ →

= = =

III. Η συνάρτηση :f →ℝ ℝ με ( ) ,f x xν ν ∗= ∈ℕ είναι συνεχής στο ℝ , γιατί για κάθε


0 0lim ( ) lim ( ) ( )v

x x x xf x f x x f x

− +→ →= = =

IV. Η συνάρτηση :f ∗ →ℝ ℝ με 1

( ) ,f xxν

ν ∗= ∈ℕ είναι συνεχής στο ∗ℝ , γιατί για κάθε

0x ∗∈ℝ ισχύει 0 0

00

1lim ( ) lim ( ) ( )

vx x x xf x f x f x

x− +→ →= = =

V. Η πολυωνυμική συνάρτηση :f →ℝ ℝ με 1

1 1 0( ) ..... ,f x a xν νν να χ α χ α−

−= + + + + με ,0ia i v∈ ≤ ≤ℝ είναι συνεχής στο ℝ , γιατί για

κάθε 0x ∈ℝ ισχύει

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x− +→ →

= 10 1 0 1 0 0 0..... ( )a x f xν ν

ν να χ α χ α−−= + + + + =

VI. Η ρητή συνάρτηση : 'f →ℝ ℝ με ( )( ) , ' , ( ) 0

( )

P xf x x Q x

Q x= = ∈ ≠ℝ ℝ είναι συνεχής στο

'ℝ , γιατί για κάθε 0 'x ∈ℝ ισχύει



37

0 0

00

0

( )lim ( ) lim ( ) ( )

( )x x x x

P xf x f x f x

Q x− +→ →= = =

VII. Η συνάρτηση :[0, )f +∞ →ℝ , με ( ) , 0af x x a= > είναι συνεχής στο [0, )+∞ , γιατί για

κάθε 0 0x ≥ ισχύει 0 0

0 0lim ( ) lim ( ) ( )a


− +→ →= = =

VIII. Η συνάρτηση : (0, )f +∞ →ℝ , με 1

( ) , 0a

f x ax

= > είναι συνεχής στο (0, )+∞ , γιατί για

κάθε 0 0x > ισχύει 0 0

00

1lim ( ) lim ( ) ( )

ax x x xf x f x f x

x− +→ →= = =

IX. Η εκθετική συνάρτηση :f →ℝ ℝ με ( ) xf x a= είναι συνεχής στο ℝ , γιατί για κάθε

0x ∈ℝ ισχύει 0

0 00lim ( ) lim ( ) ( )x

x x x xf x f x a f x

− +→ →= = =

X. Η λογαριθμική συνάρτηση : (0, ) ,f +∞ →ℝ με ( ) log ,0 1af x x a= < ≠ είναι συνεχής στο

(0, )+∞ ,γιατί για κάθε 0 0x > ισχύει

0 00 0lim ( ) lim ( ) log ( )a


− +→ →= = =

XI. Η συνάρτηση : [ 1,1]f → −ℝ με ( )f x ηµχ= είναι συνεχής στο ℝ , γιατί για κάθε 0x ∈ℝ

ισχύει 0 0

0 0lim ( ) lim ( ) ( )x x x x

f x f x x f xηµ− +→ →

= = =

XII. Η συνάρτηση : [ 1,1]f → −ℝ με ( )f x συνχ= είναι συνεχής στο ℝ , γιατί για κάθε


0 0lim ( ) lim ( ) ( )x x x x

f x f x x f xσυν− +→ →

= = =

XIII. Η συνάρτηση : ,2f πκπ κ− + ∈ →ℝ ℤ ℝ με ( )f x εφχ= είναι συνεχής στο πεδίο ορι-

σμού της, γιατί για κάθε 0x ∈ℝ ,2πκπ κ− + ∈ℤ ισχύει

0 00 0lim ( ) lim ( ) ( )

x x x xf x f x x f xεφ

− +→ →= = =

XIV. Η συνάρτηση : ,f κπ κ− ∈ →ℝ ℤ ℝ με ( )f x σφχ= είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού

της, γιατί για κάθε 0x ∈ℝ ,κπ κ− ∈ℤ ισχύει 0 0

0 0lim ( ) lim ( ) ( )x x x x

f x f x x f xσφ− +→ →

= = =


Η συνάρτηση 2( ) 2 5 1f x x x= − + είναι συνεχής ως πολυωνυμική.

Η συνάρτηση 2

2 1( ) ,

4

xg x

x

−=

−είναι συνεχής στο 2,2A = − −ℝ ως ρητή.

Η συνάρτηση 2( ) logh x x= είναι συνεχής στο (0, )+∞ ως λογαριθμική

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν οι συναρτήσεις f , g: A→ R είναι συνεχείς στο σημείο χ0 ∈Α, τότε:

Η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= ± είναι συνεχής στο χ0.

Η συνάρτηση ( ) ( )h x k f x= ⋅ είναι συνεχής στο χ0.

Η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x f x g x= ⋅ είναι συνεχής στο χ0.

Αν ( ) 0,g x ≠ η συνάρτηση ( )

( )( )

f xh x

g x= είναι συνεχής στο χ0.

Η συνάρτηση ( ) ( )h x f x= είναι συνεχής στο χ0.

Η συνάρτηση ( ) ( )kh x f x= με ( ) 0f x ≥ , είναι συνεχής στο χ0.

Αν :f A→ ℝ και : ,g B → ℝ με ( ) ,f A B⊆ η f είναι συνεχής στο χ0 A∈ και η g είναι συνεχής

στο 0( ) ,f x B∈ τότε και η σύνθεσή τους 0 :g f A→ ℝ είναι συνεχής στο χ0.



38


• Η συνάρτηση 2( ) xf x x e= − είναι συνεχής στο ℝ ως διαφορά των συνεχών συναρτήσεων χ2

(πολυωνυμική) και xe (εκθετική).

• Η συνάρτηση 2( )f x x ηµχ συν χ= ⋅ − είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων (πολυ-

ωνυμικής και τριγωνομετρικών).

• Η συνάρτηση ( ) (2 1)f x συν χ= + είναι συνεχής στο ℝ ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσε-

ων g και h με ( ) 2 1g x x= + και ( )h x συνχ= .

• Η συνάρτηση ( )f x = 2 1x ηµ

χ⋅ είναι συνεχής στο *ℝ ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων

g και h με 2( )g x x= και 1

( ) .h x ηµχ

= Η h είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτή-

σεων h1 και h2 με 1

1( )h x

x= και 2( )h x ηµχ= .

• Η συνάρτηση ( ) xf x x= έχει πεδίο ορισμού το (0, )A = +∞ και είναι ln ln( )xx x x xf x x e e ⋅= = = . Εί-

ναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ( ) lng x x x= ⋅ και ( ) .xh x e=

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια στο χ0 η συνάρτηση

22 8, 2

( ) ... 23 65,.. 2

o

xx

f x xxx

και −

≠ −= = −+ = −

Λύση

Για 2x ≠ − έχουμε 2 2

2 2 2

2 8 2( 4)lim ( ) lim lim

3 6 3( 2)x x x

x xf x

x x→− →− →−

− −= = =

+ + 2

2( 2)( 2) 2( 2 2) 2( 4) 8lim

3( 2) 3 3 3x

x x

x−→−

− + − − −= = = −

+

και ( 2) 5f − = . Αφού είναι 2

lim ( ) ( 2)x

f x f→−

≠ − , η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 0 2x = −

2)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2

1,..... 1( )

3 ,... 1

x xf x

x x

+ >=

− ≤ είναι συνεχής στο ℝ .

Λύση

Στο διάστημα ( ,1)−∞ είναι 2( ) 3f x x= − , που είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Ομοίως, στο

διάστημα (1, )+∞ είναι ( ) 1,f x x= + η οποία είναι συνεχής ως πολυωνυμική.

Εξετάζουμε τη συνέχεια στο σημείο 0 1x = . Είναι:

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

• Η f στο 0R x− είναι συνεχής (πράξεις συνεχών

συναρτήσεων).

• Βρίσκω την τιμή ( )0f x από τον κλάδο που έχει

«ίσον».

• Βρίσκω τα πλευρικά όρια ( ) ( )0 0x x x x

lim f x , lim f x− +→ →

.

• Αν ( ) ( ) ( )0 0

0x x x xlim f x lim f x f x

+ −→ →= = , τότε η f είναι

συνεχής στο 0x , συνεπώς σε όλο το R.



39

2 2

1 1lim ( ) lim(3 ) 3 1 3 1 2x x

f x x− −→ →

= − = − = − =

1 1lim ( ) lim( 1) 1 1 2x x

f x x+ +→ →

= + = + =

και 2(1) 3 1 2.f = − =

Άρα, η f είναι συνεχής στο χ0=1 και επομένως, είναι συνεχής σε όλο το .ℝ

3)Να μελετήσετε, ως προς τη συνέχεια, τη συνάρτηση f(x) =

2

,... 0

1,............... 0

x xx

x

x

+≠

=

Λύση

Έχουμε ότι 2x x= , και:

Αν χ<0 τότε x x= − , ενώ αν χ>0 τότε x x= . Έτσι, η συνάρτηση γίνεται

,.... 0( )

1,............. 0

x xx

f x x

x

+≠

= ⇔ =

22,.... 0

( ) 1,.......................... 0

0,............. 0

x x xx

x xf x x

x xx

x

+ = = >

= = − = <−

Για 0x ≠ η συνάρτηση είναι συνεχής ως σταθερή. Παρατηρούμε, όμως, ότι

0 0lim ( ) 2, lim ( ) 0, (0) 1x x

f x f x f+ −→ →

= = = , δηλαδή 0 0

lim ( ) lim ( ) (0)x x

f x f x f− +→ →

≠ ≠ . Επομένως, η f δεν εί-

ναι συνεχης χ0=0

4)Να αποδείξετε ότι είναι συνεχείς οι συναρτήσεις:

( ) ln(ln )f x x= 1

( ) 3x

xf x eηµ

χ⋅

= − 1

( ) (2 1)xf x x= −

Λύση

i.Για να ορίζεται η f πρέπει ln 0x > και 0x > , δηλαδή χ>1 όπως φαίνεται από τον πίνακα:

x 0 1 +∞

lnx - +

H f είναι συνεχής στο (1, )+∞ ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης ( ) lng x x= με τον εαυτό

της.

ii.H f έχει πεδίο ορισμού το (0, )+∞ και είναι f=g-h, όπου

1

( ) 3x

g xηµ

χ⋅

= και ( ) xh x e= . Η g είναι

συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων 1

1( )g x x ηµ

χ= ⋅ και 2( ) xg x e= . Η 1( )g x εί-

ναι συνεχής ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων με τύπους χ και 1

ηµχ

( η 1

ηµχ

είναι

συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων 1

x και ημχ).

Η h είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων με τύπους x και xe .

Επομένως, η f είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.



40

iii.Η f έχει πεδίο ορισμού το 1

,2

A = +∞

. Είναι

11 1ln(2 1)ln(2 1)( ) (2 1) .

x xxx xf x x e e⋅ −−= − = =

Η συνάρτηση είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων 1

( ) ln(2 1)g x xx

= ⋅ − και

( ) xh x e= . Η g είναι γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων με τύπους 1

x και ln(2 1)x − . Η

ln(2 1)x − είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων (2χ-1) και ln .x

5)Να μελετήσετε τη συνάρτηση 1

ln(1 ln ),.... 1( )

1 ,......... 1x

x xf x

e x−

+ ≥=

+ < ως προς τη συνέχεια

Λύση

Η f είναι συνεχής στα διαστήματα ( ,1)−∞ και (1, )+∞ .

Εξετάζουμε τη συνέχεια στο χ0=1:

1 1 1lim ( ) lim[ln(1 ln )] ln[1 lim(ln )] ln(1 0) ln1 0x x x

f x x x+ + +→ → →

= + = + = + = = και

1 0

1 1lim ( ) lim(1 ) 1 2x

x xf x e e

− −

−

→ →= + = + = .

Αφού, λοιπόν, 1 1

lim ( ) lim ( )x x

f x f x− +→ →

≠ συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο

χ0=1

6)Να βρεθεί ο a∈ℝ ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση

2

,.....0 1( ) 1

,................ 1

x xx

f x xa x

−≤ ≠

= − =

Λύση

Η f είναι συνεχής στο σύνολο [0,1) (1, )∪ +∞ ως πηλίκο των συνεχών συναρτήσεων 2( )g x x x= − και ( ) 1.h x x= − Οι συναρτήσεις g και h είναι συνεχείς ως αθροίσματα συ-

νεχών συναρτήσεων. Για να είναι η f συνεχής στο πεδίο ορισμού της, πρέπει να είναι συνε-

χής και στο σημείο χ0=1, δηλαδή να ισχύει 1

lim ( ) (1) .x

f x f a→

= =

Για κάθε χ με 0 1x≤ ≠ έχουμε:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

42

3 2

( )1 1

1 1 11

1 1

x xx xf x

x x

x x x x x xx x x

x x

−−= = =

− −

⋅ − ⋅ − ⋅ + + = = = ⋅ + +− −

και ( ) ( )1 1

lim ( ) lim 1 1 1 1 1 3x x

f x x x x→ →

= ⋅ + + = ⋅ + + =

Άρα λοιπόν, πρέπει να είναι α=3.

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΕΧΗΣ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗ ΘΕΣΗ ox Βρίσκω το όριο, βρίσκω την αριθµητική τιµή ΑΠΑΙΤΩ να είναι ίσα



41

7)Να βρείτε τα α,β ώστε να είναι συνεχής στο ℝ η συνάρτηση:

2 ,........2

( ) ,..2 2

,.........2

f x

πηµχ χ

π παηµχ β χ

πσυνχ χ

− ≤ −

= + − < <

≥

Λύση

Αφού οι συναρτήσεις ημχ και συνχ είναι συνεχείς, προκύπτει ότι η f είναι συνεχής στα δια-

στήματα , , , , .2 2 2 2

π π π πκαι −∞ − +∞

Για να είναι συνεχής στο ,ℝ πρέπει να είναι συνε-

χής στα σημεία 1 2x

π= − και 2 2

xπ

= , δηλαδή να ισχύει

2

lim ( )2x

f x fπ

π→−

= −

και

2

lim ( )2x

f x fπ

π→

=

. Έχουμε:

•

2 2

lim ( ) lim ( 2 ) 2 22x x

f xπ π

πηµχ ηµ

− −

→− →−

= − = − − =

• 22

fπ − =

•

2 2

lim ( ) lim ( )2x x

f xπ π

παηµχ β αηµ β α β

+ +

→− →−

= + = − + = − +

Άρα πρέπει -α+β=2 (1)

Επίσης, έχουμε:

•

2 2

lim ( ) lim ( )2x x

f xπ π

παηµχ β αηµ β α β

− −

→ →

= + = + = +

•

2 2

lim ( ) lim ( ) 02x x

f xπ π

πσυνχ συν

+ +

→ →

= = =

• 02 2

fπ π

συν = =

Άρα πρέπει α+β=0 (2)

Από το σύστημα των (1) και (2), με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

22 2 1

0

α ββ β

α β− + =

⇔ = ⇔ =+ =

και α=-β=-1.



42

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ( ΑΝΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ) (ΟΡΙΑ)

1)Να υπολογίσετε τα όρια:

i) 2

x 0lim(x -3x+4)→

ii) x -2lim[(2x-1)(x+4)]→

iii) x 4

1lim x+

x→

iv) x 0lim(2ημx+3συνx)→

v) π

x4

lim(3ημx+συνx)→

.

2)Να βρείτε τα όρια:

i) 4 3

x 1lim(x -2x +3x+1)→

ii) 3 2

x 2lim(x -2x +2x-3)→

iii) ( ) ( )5

x -2lim x+3 x+4→

⋅

iv) 2x 3

6-xlim

x -3x+3→ v) 2

x 1lim x -2x+6→−

vi) ( ) ( )2

x 2lim x -2x+1 συνπx→

⋅

vii) 2

x -2

x -4lim

3(x-2)→ viii)

2

2x -1

5xlim

x +1→ ix)

x 0lim[(x+1)συνx]→

3)Αν ( )x 1lim f x 1→

= , να υπολογίσετε τα όρια:

i. ( ) ( )( )2

x 1lim f x -2f x +3→

ii. ( )( )x 1

f x +3lim

f x +1→ iii. ( ) ( )2

x 1lim f x +f x +2→

iv. ( )( )( ) ( )

4

2x 1

f x -2 +2lim

f x +f x +1→.

(ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ 0

0: ΡΗΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ)

4)Να υπολογίσετε τα όρια: i) 2

x 4

x -16lim

x-4→ ii)

2

x -5

x -25lim

x+5→ iii)

2

x 2

2x -3x-2lim

x-2→.


i)2

x 2

x -4lim

x-2→ ii)

2

x 3

x +6x+9lim

x+3→− iii)

2

x 3

x -2x+3lim

x-3→ iv)

3

2x 2

x -8lim

x -5x+6→.

6)Να βρείτε τα όρια: i. 3

2x 1

x +1lim

x -1→− ii.

4 2

2x 2

x +x -5x-10lim

x -3x+2→.


i)4

3x 2

x -16lim

x -8→ ii)

2

2x 1

2x -3x+1lim

x -1→ iii)

x 1

2

11-

xlim1

1-x

→ iv)

( )3

2x 1

x+3 -27lim

x +x→.

8)Να βρείτε τα όρια: i. 4 2

3 2x 1

x -2x +3x-2lim

x -4x +2x+1→ ii.

3 2

3 2x 2

x -2x -3x+6lim

x +x +x-14→ .



43


2

x -αx+3f x =

x -1. Να βρείτε:

α. το πεδίο ορισμού της f

β. τις τιμές του α, ώστε ( )x 1lim f x→

∈ℝ

γ. το ( )x 1lim f x→

, αν γνωρίζουμε ότι το όριο είναι πραγματικός αριθμός.

10)Να υπολογίσετε τα όρια

31 2

2 8

5 3 7 6

3 3

2x x

2x x xα. lim β. lim

2x x x x→ →

− −

− + − +

(ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ 0

0: ΣΥΖΗΓΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ )


i)x 9

3- xlim

9-x→ ii)

2

2x 0

1-x 1lim

x→

− iii)

2x 2

x+2 2lim

x 5 3→

−

+ − iv)

2x 4

x-2lim

x -5x+4→.

12)Να δείξετε ότι i) x 5

x- 5lim

x-5→

1=

2 5 ii)

h 0

1+h-1lim

h→

1=

2.


i) x 4

x 2lim

x-4→

− ii)

x 3

x+1 2lim

x-3→

− iii)

x 9

9-xlim

3- x→ iv)

x 1

1-xlim

10-x-3→.


i)x 3

x 3lim

x-3→

− ii)

2x 4

x 2lim

x 16→

−−

iii)x 1

x-1lim

x-1→ iv)

2x 7

7- xlim

x -49→.

15)Να υπολογίσετε τα όρια 2

2132

4 3 2 3

6 1x x

x-3 x xα.lim β. lim

x x1- x-2→ →

+ + −

− −

(ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ)

16)Αν ισχύει ( )( )2

x 2lim f x -x -2x+5 =10→

, να βρείτε το ( )x 2lim f x→

.

17)Αν ( ) ( )3 2

x 2lim 3x -2x +x-1 g x 34→

⋅ = και υπάρχει το ( )x 2limg x→

, να υπολογίσετε την τιμή του.

18)Αν είναι ( )

x 3

2f x -1lim =4

x-3→, να βρεθεί το ( )

x 3lim f x→

.

19)Αν ( )( )2

x 2lim f x -2x +3x+5 =10→

τότε να βρείτε το ( )x 2lim f x→

και το ( )( )

2

x 2

f x -4lim

f x -2→.

20)Να βρεθεί η πραγματική τιμή του λ ώστε να είναι ( )10 5

x 1

λx + 2-λ x -2lim =20

x-1→.

(ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΠΛΟΥ – ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ )

21)Να εξετάσετε αν είναι συνεχής η συνάρτηση ( )

2x -4x-5, x -1

f x = x+1-6, x=-1

≠

.



44

22)Αν δίνεται η συνάρτηση ( )2x 7-4

, x 3f x = x-3

α, x=3

+ ≠

, να βρείτε το ( )x 3lim f x→

και τις τιμές

του α έτσι, ώστε η f να είναι συνεχής.

23)Δίνεται η συνάρτηση ( )

2

2

3x -5x-2, x 2

f x = x-2α -α+5, x=2

≠

. Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση να είναι συνε-

χής στο 2.

24)Δίνεται η συνάρτηση ( )3-x- 3

, x 0f x = x

3α 3, x=0

≠

. Αν η f είναι συνεχής στο 0 να υπολογίσετε την

τιμή του α.

25)Δίνεται η συνάρτηση ( )

2 22

2 4

22

2

x x, x

xf xα

, x

− −≠ −=

+ α =

α. Να βρείτε το ( )2x

lim f x→

β. Να βρείτε το α ώστε η f να είναι συνεχής στο 2.

26)Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 3 και ισχύει ( ) ( )x+1-2 f x =x-3⋅ , για κάθε x 3∈ −ℝ , να

βρείτε το ( )f 3 .

27)Μια συνάρτηση f: →ℝ ℝ είναι συνεχής και ( ) ( )x-2 f x = x+2-2⋅ . Να βρείτε το ( )f 2 .

28)Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 και η καμπύλη της f διέρχεται από το σημείο Α(1,2) να

βρείτε το ( ) ( )3

21 3 2x

x f x f xlim

x x→

−

− −

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ...

Documents

Transcript of ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ...