Torque expresado como un producto vectorialVimos que la magnitud del torque es

El producto vectorial de dos vectores A y B es:

φτ sinrF=

nABBA ˆsinφ=×Usando esta definición, escribimos el torque en forma vectorial:

Fr ×=τ

Regla de la mano derecha

Momentum angular de una partícula

r p= ×

( ) ( )sin

sin sinp r

rpr p r p

r p r p

La magnitud está dada por:

φφ φ

⊥ ⊥

⊥ ⊥

=

= =

= =

Ejemplo: Calcula el momentum angular de una partícula de masa m moviéndose en un círculo de radio r con velocidad v.

( )2

ˆsin 90ˆ ˆ

ˆI

r p r mv

rmv k

rmv k rm r k

mr k

Iω

ω

ω

ω

= × = ×

=

= =

=

=

Ejemplo: Calcula el momento angular, relativo al origen, de una partícula de masa m moviéndose con velocidad constante en una línea recta a una distancia b del origen.

krmv

vmrprLˆsinφ−=

×=×=

m

φ vrb L

z

y

xkmvbL ˆ−=

Relación del momento angular de una partícula con el torque neto

Si hay varias fuerzas actuando en la partícula, el torque resultante o neto relativo al punto O está relacionado con el momento angular:

netoddt

τ =

Demostración:

( )

0

v

neta

neto

r p r mv

d dr dvm v mrdt dt dt

d mv v mr adtd r ma r Fdt

ddt

τ

= × = ×

= × + ×

= × + ×

= × = ×

=

Torque y momento angular de un sistema de partículas

El momento angular de un sistema de partículas es la suma de los momentos angulares de las partículas individuales.

iL =∑

( )ii i

d d dLdt dt dt

τ = = =∑ ∑ ∑

Sea τi el torque resultante sobre la partícula i. El torque resultante actuando en el sistema es:

Torque y momento angular de un sistema de partículas

Probaremos ahora que si las fuerzas internas actúan a lo largo de la línea que une las partículas, la suma de los torques internos es cero. En ese caso,

∑ =dtLd

extτ

Torque y momento angular de un sistema de partículas

Considera la siguiente figura mostrando las fuerzas internas entre dos partículas:

( )( )

1 2 1 2,1 2 1,2

1 2,1 2 2,1

1 2 2,1 0

r F r F

r F r F

r r F

τ τ+ = × + ×

= × + × −

= − × =

Si un cuerpo rígido está rotando con respecto a un eje de simetría que pasa por el centro de masa, tenemos que

ωIL =En ese caso,

( )∑ = ωτ Idtd

ext

En el caso de un cuerpo rígido, el momento de inercia es constante. Por lo tanto, la ecuación anterior se reduce a:

( ) αωωτ IdtdII

dtd

ext ===∑

Momento angular de un cuerpo rígido rotando con respecto a un eje fijo

( )sin 90i i i i i ir p r m v= = ∆

( )( )sin siniz i i i i

iz i i i

r m vr m v

θ θ

⊥

= = ∆

= ∆

( )

1 1

1

2

1

N N

z iz i i ii iN

z i i ii

N

z i ii

L m v r

L m r r

L m r

ω

ω

⊥= =

⊥ ⊥=

⊥=

= = ∆

= ∆

= ∆

∑ ∑

∑

∑ ωIL =∴

Conservación de momento angularSi el torque resultante que actúa sobre el sistema es cero, entonces

dtLd

=0

Esto quiere decir que el momento angular no depende del tiempo.

constante=L

Ejemplo:y

x

z

Un bloque de masa m = 1.2 kg es atado a un extremo de una cuerda de masa despreciable, la cual es enrollada alrededor de una polea de masa M = 2.5 kg y radio R = 20 cm. Asumiendo que no existe fricción en el eje de rotación de la polea y que la cuerda no resbala sobre la polea, determina la aceleración del bloque y la aceleración angular de la polea. Usa Στext=dL/dt.

Problema 12.33 (H&R, 6th Edición):

El momentum angular de una polea se reduce de 3.00 a 0.800 kg·m2/s en 1.5 segundos. El momento de inercia con respecto a un eje central es 0.140 kg·m2. Calcula (a) la magnitud del torque promedio con respecto al eje central en este tiempo, (b) el ángulo por el cual rota la polea, asumiendo que la aceleración angular es constate, (c) el trabajo hecho sobre la polea y (d) la potencia promedio de la polea.

2 20.800 3.001.5

1.47

f iprom

prom

prom

dLdt

L LLt t

kg m s kg m ss

N m

τ

τ

τ

τ

=

−∆= =∆ ∆

⋅ − ⋅=

= − ⋅

(b) Como α es constante, podemos usar

( )( ) ( )( )

2

22

2

2

22

121.47, 10.5

0.1403.00, 21.40.140

121.4 1.5 10.5 1.52

20.3

f i i

ii i i

t t

N mI rad sI kg m

L kg m sL I rad sI kg m

rad s s rad s s

rad

θ θ θ ω α

ττ α α

ω ω

θ

θ

− = ∆ = +

− ⋅= = = = −

⋅

⋅= = = =

⋅

∆ = + −

∆ =

(c)

( )( )1.47 20.330

ext

ext

ext

WW N m radW J

τθ=

= − ⋅

≈ −

(d)

( )3020

1.5

polea extprom

prom

W WPt t

JP W

s

−= =

∆ ∆− −

= = +

Ejemplo:Un disco con momento de inercia I1 está girando con velocidad angular inicial ωi alrededor de su eje de simetría sin rozamiento. El disco cae sobre otro de momento de inercia I2 = I1 inicialmente en reposo. Debido al rozamiento entre los dos discos, finalmente adquieren una velocidad común ωf. Calcula ωf.