Exemplos de aplicao das leis de Newton e

Conservao da Energia

O Plano inclinado Vimos que a fora resultante sobre o bloco dada por .

Portanto, a acelerao experimentada pelo bloco dada por (em mdulo):

= mg sin

m

P

N

F = mg sin =

=

Podemos calcular a velocidade, usando a equao do Movimento Retilneo Uniformemente Variado:

2 2

0 2

2 sen

v v ad

v g d

O plano inclinado Contudo, podemos expressar o seno do ngulo em funo do comprimento do plano inclinado e de sua altura:

senh

d

Logo:

2 sen 2

2

hv g d g d

d

v gh

Energia potencial gravitacional Considere uma partcula que elevada do solo at uma altura h perto da superfcie da Terra:

Terra

h

P

Para que ele suba, um agente externo tem que agir sobre ele. A essa ao do agente externo chamamos de Trabalho. Considerando que o corpo sobe com velocidade constante:

F

mg F P j

O trabalho, W, neste caso, simplesmente o produto do mdulo da fora pela distncia percorrida sob a ao desta fora:

W mgh

Este trabalho fica armazenado na forma de energia potencial do sistema partcula Terra:

pgW E mgh

Energia Total

A Energia Total do sistema a soma das formas cinticas mais potenciais. No caso de uma partcula sobre a qual atua apenas a fora gravitacional:

21

2E mv mgh

Parte cintica Parte potencial

Teorema da Conservao da Energia

A energia total de um sistema fechado conservada.

O plano inclinado usando a conservao da energia Vamos agora usar a conservao da energia para calcular a velocidade do objeto quando este chega na base do plano inclinado, partindo do repouso.

Etapa 1 Energia no topo do plano inclinado

Neste ponto, o objeto somente tem energia potencial:

i c p pE E E E mgh

Etapa 2 Energia na base do plano inclinado

Na base do plano inclinado, o objeto possui apenas energia cintica, j que a energia potencial nula neste ponto (h=0):

21

2f c p pE E E E mv

O plano inclinado Como no temos atrito, a energia conservada: a energia no topo do plano inclinado deve ser igual energia na base do plano inclinado:

21 22

f iE E mv mgh v gh

Mquina de Atwood

28,0 kg

15,0 kg

Qual o valor da acelerao do sistema e das tenses?

R. Sobre a massa de 15 kg temos duas foras agindo: a fora peso, para baixo e a tenso na corda, para cima:

T1

P1

1 1 1 1 1 1 (I)rF T P T m g m a

Sobre a massa de 28,0 kg tambm temos duas foras agindo:

T2

P2

2 2 2 2 2 2 (II)rF P T m g T m a

Observe que as duas tenses formam um par de ao e reao: |T1|= |T2|

Mquina de Atwood Logo, podemos escrever:

1 1

2 1 1 2

2 2

22 1

2 1

2

28,0kg 15,0kg9,81m/s

28,0kg 15,0kg

2,97m/s

T m g m am g m g m a m a

m g T m a

m ma g a

m m

a

A tenso na corda ser dada por:

1 1

2 11 1

2 1

2 1 2 1 2 11 1

2 1 2 1

21 2

2 1

1

15kg 28kg2 2 9,81m/s

15kg 28kg

191,64N

T m g m a

m mT m g m g

m m

m m m m m mT m g m g

m m m m

m mT g T

m m

T

Diagrama de energia potencial Ep

x x1 x2 x3 x4 x5

E1

E2

Pontos de equilbrio estvel

Pontos de equilbrio instvel

E3

Diagrama de Energia

x x1 x2 x3 x4 x5

00

E1

E2

E1 E2

Altura mxima de um projtil

Queremos determinar a altura mxima que um projtil pode alcanar em funo do ngulo de lanamento.

v0 h

Vamos usar a conservao da energia, supondo que no exista atrito com o ar. Dois pontos devem ser observados;

1) No ponto mais alto da trajetria a velocidade na direo vertical nula;

2) A velocidade na direo horizontal constante.

v

Altura mxima de um projtil Este um problema que envolve as duas dimenses, x e y.

Inicialmente o objeto possui somente energia cintica (definimos o zero de potencial nesta posio). Logo, a energia total ser dada por:

2 2 20 0 0 01 1

2 2x yE mv m v v

No ponto mais alto da trajetria, temos que a energia total ser dada por:

2 2 21 1

2 2x yE mv m v v mgh

Como no temos atrito, estas duas quantidades devem ser iguais:

2 2 2 20 0 01 1

2 2x y x yE E m v v m v v mgh

Altura mxima de um projtil Usaremos agora as duas condies anunciadas antes:

0

0

x x

y

v v

v

Logo:

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2 202 0

0

2 2

sen2

2 2

x y x y x y x

y

y

v v v v gh v v v gh

v vv gh h h

g g

Energia potencial elstica

F F

F kx

Posio de mxima compresso

Posio de mxima elongao

Posio de equilbrio

X=0 X

A energia potencial elstica dada por:

21

2pE kx

Constante elstica da mola

A distncia em relao posio de equilbrio de chamada de elongao.

F

Um exemplo de energia potencial elstica Uma fora de 800 N estica certa mola at uma distncia de 0,2 m. Qual a energia potencial da mola quando ela est esticada 0,2 m? Qual a energia potencial da mola quando ela est comprimida de 5,0 cm?

X=0

0,2 m

a)

Para que possamos calcular a energia potencial, precisamos saber qual a constante k da mola. Para isso, vamos usar que a fora aplicada igual fora restauradora no equilbrio:

800N4000N/m

0,2m

FF kx k

x

Logo: 2 2 21 1 N4000 (0,2) m

2 2 m

80 J

p

p

E kx

E

Um exemplo de energia potencial elstica

F

X=0

0,05 m

b) Podemos calcular diretamente a energia potencial:

2 21 1 N4000 ( 0,05)2 2 m

5 J

p

p

E kx

E