Exemplos de aplicação das leis de Newton e Conservação da ... ·...

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  • Exemplos de aplicao das leis de Newton e

    Conservao da Energia

  • O Plano inclinado Vimos que a fora resultante sobre o bloco dada por .

    Portanto, a acelerao experimentada pelo bloco dada por (em mdulo):

    = mg sin

    m

    P

    N

    F = mg sin =

    =

    Podemos calcular a velocidade, usando a equao do Movimento Retilneo Uniformemente Variado:

    2 2

    0 2

    2 sen

    v v ad

    v g d

  • O plano inclinado Contudo, podemos expressar o seno do ngulo em funo do comprimento do plano inclinado e de sua altura:

    senh

    d

    Logo:

    2 sen 2

    2

    hv g d g d

    d

    v gh

  • Energia potencial gravitacional Considere uma partcula que elevada do solo at uma altura h perto da superfcie da Terra:

    Terra

    h

    P

    Para que ele suba, um agente externo tem que agir sobre ele. A essa ao do agente externo chamamos de Trabalho. Considerando que o corpo sobe com velocidade constante:

    F

    mg F P j

    O trabalho, W, neste caso, simplesmente o produto do mdulo da fora pela distncia percorrida sob a ao desta fora:

    W mgh

    Este trabalho fica armazenado na forma de energia potencial do sistema partcula Terra:

    pgW E mgh

  • Energia Total

    A Energia Total do sistema a soma das formas cinticas mais potenciais. No caso de uma partcula sobre a qual atua apenas a fora gravitacional:

    21

    2E mv mgh

    Parte cintica Parte potencial

  • Teorema da Conservao da Energia

    A energia total de um sistema fechado conservada.

  • O plano inclinado usando a conservao da energia Vamos agora usar a conservao da energia para calcular a velocidade do objeto quando este chega na base do plano inclinado, partindo do repouso.

    Etapa 1 Energia no topo do plano inclinado

    Neste ponto, o objeto somente tem energia potencial:

    i c p pE E E E mgh

    Etapa 2 Energia na base do plano inclinado

    Na base do plano inclinado, o objeto possui apenas energia cintica, j que a energia potencial nula neste ponto (h=0):

    21

    2f c p pE E E E mv

  • O plano inclinado Como no temos atrito, a energia conservada: a energia no topo do plano inclinado deve ser igual energia na base do plano inclinado:

    21 22

    f iE E mv mgh v gh

  • Mquina de Atwood

    28,0 kg

    15,0 kg

    Qual o valor da acelerao do sistema e das tenses?

    R. Sobre a massa de 15 kg temos duas foras agindo: a fora peso, para baixo e a tenso na corda, para cima:

    T1

    P1

    1 1 1 1 1 1 (I)rF T P T m g m a

    Sobre a massa de 28,0 kg tambm temos duas foras agindo:

    T2

    P2

    2 2 2 2 2 2 (II)rF P T m g T m a

    Observe que as duas tenses formam um par de ao e reao: |T1|= |T2|

  • Mquina de Atwood Logo, podemos escrever:

    1 1

    2 1 1 2

    2 2

    22 1

    2 1

    2

    28,0kg 15,0kg9,81m/s

    28,0kg 15,0kg

    2,97m/s

    T m g m am g m g m a m a

    m g T m a

    m ma g a

    m m

    a

    A tenso na corda ser dada por:

    1 1

    2 11 1

    2 1

    2 1 2 1 2 11 1

    2 1 2 1

    21 2

    2 1

    1

    15kg 28kg2 2 9,81m/s

    15kg 28kg

    191,64N

    T m g m a

    m mT m g m g

    m m

    m m m m m mT m g m g

    m m m m

    m mT g T

    m m

    T

  • Diagrama de energia potencial Ep

    x x1 x2 x3 x4 x5

    E1

    E2

    Pontos de equilbrio estvel

    Pontos de equilbrio instvel

    E3

  • Diagrama de Energia

    x x1 x2 x3 x4 x5

    00

    E1

    E2

    E1 E2

  • Altura mxima de um projtil

    Queremos determinar a altura mxima que um projtil pode alcanar em funo do ngulo de lanamento.

    v0 h

    Vamos usar a conservao da energia, supondo que no exista atrito com o ar. Dois pontos devem ser observados;

    1) No ponto mais alto da trajetria a velocidade na direo vertical nula;

    2) A velocidade na direo horizontal constante.

    v

  • Altura mxima de um projtil Este um problema que envolve as duas dimenses, x e y.

    Inicialmente o objeto possui somente energia cintica (definimos o zero de potencial nesta posio). Logo, a energia total ser dada por:

    2 2 20 0 0 01 1

    2 2x yE mv m v v

    No ponto mais alto da trajetria, temos que a energia total ser dada por:

    2 2 21 1

    2 2x yE mv m v v mgh

    Como no temos atrito, estas duas quantidades devem ser iguais:

    2 2 2 20 0 01 1

    2 2x y x yE E m v v m v v mgh

  • Altura mxima de um projtil Usaremos agora as duas condies anunciadas antes:

    0

    0

    x x

    y

    v v

    v

    Logo:

    2 2 2 2 2 2 2

    0 0 0

    2 2 202 0

    0

    2 2

    sen2

    2 2

    x y x y x y x

    y

    y

    v v v v gh v v v gh

    v vv gh h h

    g g

  • Energia potencial elstica

    F F

    F kx

    Posio de mxima compresso

    Posio de mxima elongao

    Posio de equilbrio

    X=0 X

    A energia potencial elstica dada por:

    21

    2pE kx

    Constante elstica da mola

    A distncia em relao posio de equilbrio de chamada de elongao.

  • F

    Um exemplo de energia potencial elstica Uma fora de 800 N estica certa mola at uma distncia de 0,2 m. Qual a energia potencial da mola quando ela est esticada 0,2 m? Qual a energia potencial da mola quando ela est comprimida de 5,0 cm?

    X=0

    0,2 m

    a)

    Para que possamos calcular a energia potencial, precisamos saber qual a constante k da mola. Para isso, vamos usar que a fora aplicada igual fora restauradora no equilbrio:

    800N4000N/m

    0,2m

    FF kx k

    x

    Logo: 2 2 21 1 N4000 (0,2) m

    2 2 m

    80 J

    p

    p

    E kx

    E

  • Um exemplo de energia potencial elstica

    F

    X=0

    0,05 m

    b) Podemos calcular diretamente a energia potencial:

    2 21 1 N4000 ( 0,05)2 2 m

    5 J

    p

    p

    E kx

    E