Cap. 30: Inducción e Inductancia

Ley de Faraday, ley de Lenz

,B B

dB dA

dtφ

= − φ = ⋅∫E

I

aF

magF IL B= ×aF

I

Voltaje inducido

B BA BLxΦ = =

Bddtdx

BLdt

BLv

Φ= −

= −

= −

EmagF I L B= ×

Voltaje inducido

BLv= −ECorriente inducida

BLvI

R R= =E

La razón a la cual la mano hace trabajo (potencia mecánica) es:

mec aP F v=

magF IL B= ×

Como v es constante,

sin 90a magF F ILB ILB= = =

( )

( )2mec a

mec

BLvP F v ILB v BLv

R

BLvP

R

⎛ ⎞⎟⎜= = = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

=

Por lo tanto,

La potencia eléctrica asociada con el voltaje inducido es:

( )

( )2

BLvP I BLv

R

BLvP

R

⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

=

E

E

E

Cuando la corriente pasa por la resistencia R se disipa energía (en forma de calor) a una razón PR dada por:

( )222

R

BLvBLvP I R R

R R⎛ ⎞⎟⎜= = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Vemos que la dirección asumida para la corriente es compatible con la conservación de energía:

mec RP P P= =E

Campo Eléctrico Inducido

En general, el trabajo hecho para mover una carga q0 alrededor del círculo es:

0W F ds q E ds= ⋅ = ⋅∫ ∫También podemos expresar el trabajo en términos del voltaje inducido:

0W q= EPor lo tanto, tenemos

E ds⋅ =∫ E

En términos de flujo magnético tenemos:

Bd dE ds B dA

dt dtΦ

⋅ = − = − ⋅∫ ∫

De aquí vemos que un campo magnético que cambie con el tiempo puede inducir un campo eléctrico.

Ejemplo 31-4:En la figura 31-13 b, usa R = 8.5 cm y dB/dt = 0.13 T/s. Consigue una ecuación para el campo eléctrico E inducido en la región r < R. Calcula el valor de E para r = 5.2 cm.

Usamos

BdE dsdtΦ

⋅ = −∫( )2E ds Eds E ds E r⋅ = = = π∫ ∫ ∫

Como B no depende de la posición y es perpendicular a la superficie (y antiparalelo al vector A), el flujo magnético es

( )2cos180B BA B rΦ = = − πTenemos ahora

( ) ( )2 22d dB

E r B r rdt dt

π = π = π

Resolviendo por E tenemos

2r dB

Edt

=

25.2 100.13 0.0034 3.4

2m T V mV

Es m m

− ⎛ ⎞× ⎟⎜= = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Circuitos LR

Inductancia

IBperoNBAm ∝= ,φ

ILLI m

mφφ == ,

)(:2

henryHA

WbAmTunidades ==⋅

La auto-inductancia de un solenoide depende de la geometría:

2

0 0 2

22

0 02 ,

m

m

N NNBA N I A IA

N NL A n A donde n

I

⎛ ⎞⎟⎜φ = = µ = µ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

φ= = µ = µ =

En general, el voltaje inducido en el solenoide está dado por:

md dIL

dt dtφ

= − = −E

Para calcular la corriente del circuito en función del tiempo, usamos la ley de Kirchoff para voltajes. Esto nos lleva a

( ) 0dI

IR Ldt

⎛ ⎞⎟⎜+ − + − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠E

La solución de esta ecuación diferencial es:

( ) ( )1 1Rt L t

I e eR R

− − τ= − = −E E

( )1Rt L

RV IR e−

= = −E

Rt L

L

dIV L e

dt−= = E

Los voltajes en el inductor L y la resistencia R son

El circuito de la figura (a) contiene tres resistencias idénticas de 9 omios cada una, dos inductores idénticos con inductancia igual a 2 mH y una batería de 18 voltios. Calcula la corriente que sale de la batería en el momento que cerramos el circuito y después de un tiempo bien largo. El circuito equivalente para t = 0 está en (b).Para tiempo bien largo está en (c y d).

TRUCO

( ) 0dIL IRdt

− + − =

0

Rt L tI e I eR

− − τ= =E

Rt L

LV e−

= E

Ver ejemplo 30.6, problema 30.51.

Energía almacenada en el inductor

2 dII I R LI

dt= +E

dIIR L

dt= +E

2 dII I R LI

dt= +E emfI P=E

2RI R P=

LL

dI dULI Pdt dt

= =

dILIdUL =

2

21 LIU L = Ver ejemplo 30.7.