SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO

SUMA VECTORIAL

POSICION VECTORIAL

PRODUCTO ESCALAR

PRODUCTO VECTORIAL

DR. VICTOR HUGO CAIZA R.FISICA

RESTA VECTORIAL

VECTORES EN EL ESPACIO

x

y

SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO

RECTANGULARES POLARES GEOGRAFICAS

X

θ

r

N

S

EO

MENU PRINCIPAL

Ay)(Ax;A

)(A;A

Rumbo) (A;A

ϴ

DEFINICION FISICA.- vector es una magnitud vectorial que tiene

modulo dirección y sentido y se representa con una letra

mayúscula y en la parte superior una flechita.

DEFINICION GEOMETRICA.-

y

ϴ

x

DEFINICION MATEMATICA.-

)j Ay i (AxA

ϴ

CosA Ax

SenA Ay

222 AyAxA

Ax

Ay Tg

Ax

Ay

x

y

A

AxCos

A

AyCos

α

β

A

Componentes del vector

Modulo del vector

Angulo del vector

Cosenos Directores

A

EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y ÁNGULO (POLARES)

EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS RECTANGULARES

EN FUNCIÓN DE SUS VECTORES BASE

EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS GEOGRAFICAS

EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y UNITARIO

θ),(A A

Ay), (AxA

)j Ay i (AxA

Rumbo),(A A

AuA.A

1)Expresar el vector . En:

a) Coordenadas polares. b) Función de su vector base. c)

Coordenadas geográficas. d) Función de su módulo y

unitario.

)º01,122;43,9(

º99,575

8

43,9)8()5(

);()

1

22

cmA

tg

cmA

AAa

)85() jiAb

)º01,32;43,9() ONcmAc

jicm

cmjiu

A

Au

jicmAd

A

A

85,053,043,9

)85(

)85,053,0(43,9)

cm)8;5(A

DATOS

Ax=-5cm

Ay= 8cm

57,99º

Expresar el vector en: a) Coordenadas

geográficas. b) Coordenadas Rectangulares. c) Función de su

vector base. d) Función de su módulo y unitario.

)º30;12(

);()

ENcmA

RumboAAa

cmA

cmSencmAy

cmCoscmAx

AyAxAb

)39,10;6(

39,10º60.12

6º60.12

);()

cmjiA

jAyiAxAc

)39,106(

)()

)º60;12( cmA

DATOS

A=12cm

θ=60º

60º

N

S

EO

jicm

cmjiu

A

Au

jicmAd

A

A

865,05,012

)39,106(

)865,05,0(12)

Expresar el vector En: a) Coordenadas

polares. b) Coordenadas Rectangulares c)Función de su

vector base. d) Función de su módulo y unitario.

)º295;10(

);()

mA

AAa

)06,9;23,4(

);()

A

AyAxAb

)º25;10( ESmB

Expresar el vector En: a) Coordenadas polares.

b) Función de su vector base. c) Coordenadas geográficas.

d) Función de su módulo y unitario.

)º87,216;5(

);()

cmC

CCa

cmjiCb )34()

)º13,53;5() OScmCc

º87,216

º13,53

.)3;4( cmC

N

S

O

jicm

cmjiu

C

Cu

jicmCd

A

C

6,08,05

)34(

)6,08,0(5)

SUMA VECTORIAL

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

y

x

)(5cm;330ºB

E)N40º(4cm;A

MÉTODO DEL POLIGONO

y

x

)cmj0,56i(6,90R

)cmj2,50i(4,33B

)cmj3,06i(2,57A

MÉTODO ANALITICO

BAR

)64º(6,92cm;4,R

R

RA

A B

B

),33º(6,92cm;85R

EJEMPLO 1

METODO PARALELOGRAMO METODO POLIGONO

METODO ANALITICO

)(4cm;120ºD

4)cm (3;C

)cmj7,46 i (R

)cmj3,46 i(-2D

)cmj4 i3 (C

)82,37º 7,53cm; (R

C

D

R

EJEMPLO 2

METODO PARALELOGRAMO METODO POLIGONO

METODO ANALITICO

MENU PRINCIPAL

E) 50º N (6m;C

1)m- (-5;B

)120º (8m;A

)mj9,79 i4,4- (R

)mj3,86i(4,60C

)mj- i5- (B

)mj6,93 i4- (A

)m114,20º (10,73m;R

A

B

C

R

R

BA

AB

C

CBA:REALIZAR

2)cm- (6;C

O)N15º(5cm;B

)20º (4cm;A

METODO PARALELOGRAMO

METODO ANALITICO

)cmj4,19 i8,47 (R

)cmj2 - i6 (C

)cmj4,82 i1,29- (B

)cmj1,37 i3,76 (A

)26,32º (9,45cm;R

A

B

C

R

Determinar la resultante de las tres fuerzas que actúan sobre el perno de la figura. Solución: ( N.

F2=72N

F1=45N

25º

30º

MENU PRINCIPAL

) 55º (72N;F

)25º (45N;F

2

1

) j 78 i(82,08 R

) j58,98i(41,30F

)j19,02 i(40,78F

2

1

) 43,54º (113,23N; R

35º

F2=80N

RESTA VECTORIAL

METODO PARALELOGRAMO

EJEMPLO

METODO POLIGONO

METODO ANALITICO

MENU PRINCIPAL

)Kmj2,06i(10,5D

)Kmj6,06i(3,5B

)Kmj4 i7 (A

)120º (7Km;B

4)Km 7; (A

)B(-AB-A

)349º (10,70Km;D

A

B

D

B- D

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

jkAyikAxAk

)jAyik(AxAk

x

A

Dado el vector y el vector

Hallar: a) b)

)(18kgf;71ºA

)kgfj6i(-14B

B2A3

B5A2

)kgf j63,06 i10,42- (B2A3

)kgf j12 i28- ( )j6 i2(-14B2

)kgfj51,06i(17,58)j17,02i3(5,86A3

)kgfj4,02i(81,72B5A2

x

A

EJEMPLO 1

PRODUCTO ESCALAR

MENU PRINCIPAL

x

y

BBB

BB

μμAA

μA.Cosθ.AA.B

B.ACosθ

Ay.ByAx.BxB.AAB.CosθB.A

B.A de proyeccion c)La .By A por formado angulo b)El .B.A producto a)El

Calcular E);N20º(18Km;B (12;9)Km;A

: vectoressiguientes los Dado

EJEMPLO

2226.11KmB.A

(9)(16,91) 12)(6,16)B.A

1)Km(6,16;16,9B )(18km;70ºB

12;9)Km (Aa)

(

33,13ºθ

0.837415Km.18Km

226.11kmCosθ

A.B

B.Ab)Cosθ

2

)kmj11,80i(4.30A

)18

j16,91i6,16(,13º15km.Cos33A

uA.Cosθ.Ac)

B

B

BB

A

B

PRODUCTO VECTORIAL

MENU PRINCIPAL

y

x

z

ϴ

CBA

AB

C

kAy.Bx)Ax.BykByBx

AyAxBA

(

k A.B.SenθBA

MENU PRINCIPAL

EJEMPLO

vectores. dos los por ocomprendid angulo c)El

vectores dos los por formada area b)El

;BAa)

:Hallar )Km; j24 i(-18BO); 32º S (40Km;A :vectores los Dado

x

y

2

)92,33)(18()24)(20,21(2418

92,3320,21

(

kmk1119,36-BA

kkBA

kAy.Bx)Ax.BykByBx

AyAxBAa)

2

2

1119,36kmArea

k1119,36-Area

BA amoParalelogr b)Area

km

68,88º

(0,9328)Senθ 1

3040

1119,36-Sen

A.B

BAc)Sen

A

B

68,88º

MENU PRINCIPAL

Para definir la posición A que ocupa una partícula en movimiento en un tiempo t,elegimos un sistema de referencia fijo Oxy, trazamos el vector , que une el origendel sistema de referencia con el punto A.

TRAYECTORIA

jrirr yxA

Ar

MENU PRINCIPAL

Para definir la posición A que ocupa.

TRAYECTORIA

jrirr

jrirr

yxB

yxA

22

11

Ar

Br

A(x1,y

1)

B(x2,y

2)

BAA/B rrr

A(4, -5)

B(-8, 3)

x

y

MENU PRINCIPAL

j3i8r

j5i4r

B

A

ji

812A/B

B

A

BAA/B

r

j3i8r-

j5i4r

rrr

42,14

)8(12 22

A/B

A/B

r

r

Sea A(4, -5) y B(-8,3)Determinar:a)La posicion de A con respecto a Bb) La distancia entre A y B.

Ar

Br

A/Br

Una Persona camina 550 m. hacia el este de un centro médico y luego250m. Al S 30° E. Determinar: a) La posición final de la persona, b) Ladistancia de la persona al centro médico c) La dirección de la posición final.

) (250m;300ºr

)0º (550m;r

2

1

)mj216,51i(675r

m) j216,51-i(125r

)mj0 i(550r

f

2

1

m87,708fb)r

E 72,22º c)S

N

S

EO1r

2r

fr

) ES30º(250m;r

E) (550m;r

2

1

N

S

EO

La Pieza dental Nº 21 esta a 35mm ; N27ºO. De la pieza nº 27 y la piezadental Nº 14 esta a 26mm ; S48ºO. de la pieza dental Nº21. DeterminarLa posición vectorial de la pieza dental Nº 14 con respecto a la Nº 27

Nº 21 A(35mm ; N27ºO) de la nº 27Nº 14 B(26mm ; S48ºO) de la nº21.Determinar la posición vectorial de la Nº 14 con respecto a la Nº 27

N

S

EO27

21

14

jir

81,1320,352114

Un Turista sale del Hotel donde se hospeda, camina 100 m. hacia el este y75m. N20ºE. Seguidamente sale el guía 50m. Al N 60ºO y 200m N 50° E.Determinar la distancia del Guía al Turista.

)48,7070,25( ji

) EN20º(75m;r

)j0i(100E) (100m;r

T2

T1N

S

E

O

T 1r

T 2r

G1r

G2r

) EN50º(200m;r

O)N60º (50m;r

G2

G1

G2G1G rrr

Sol. 84,57m

ji

48,7070,125T

T2T1T

r

rrr

G2G1G rrr GTT /G rrr

Dados los puntos A (1, 4); B (-5, 2) y C (-4, -3), determinar: a) Los

vectores posición de cada punto, b) El perímetro del triángulo ABC,

c) El área del triangulo. d)Los ángulos del triángulo ABC.

A

B

C

j2i5r

j4ir

B

A

Ar

Br

A/Br

ji

26A/B

B

A

BAA/B

r

j2i5r-

j4ir

rrr

33,6

26 22

A/B

A/B

r

r

1.- Determinar la resultante de las dos fuerzas que

actúan sobre el perno A

F1=55 N

F2=40 N

35º

30º ) 35º (40N;F

)65º (55N;F

2

1

Un avión recorre 2500km. hacia el Oeste de su base y luego 1500km.

al N 30° O. Determinar: a) La posición final del avión, b) La distancia

del avión a la base c) La dirección de la posición final.

O1r

2r

fr

O)N68,21º(3500km;r

)8,21º(3500km;15r

9,04)km(-3250;129r

f

f

f

base la de Oc)N68,21º

b)3500km