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H. Scaletti - Métodos Numéricos: Valores y Vectores Característicos 3 - 1 3. Valores y Vectores Característicos 3.1. Introducción El producto de una matriz cuadrada, A, por un vector (matriz columna), x, es otro vector, cuyas componentes son habitualmente no proporcionales a x. Sin embargo, puede existir un vector φ no nulo tal que: A φ φ φ φ = λ φ φ φ φ (3.1a) Se dice entonces que φ es un vector característico (también llamado vector propio, eigenvector o modo) de la matriz A. El correspondiente escalar λ es un valor característico (también llamado valor propio, autovalor o eigenvalor). Nótese que si un vector satisface las ecuaciones (3.1a) también un múltiplo arbitrario (un vector "paralelo") es solución. Sin embargo, se trata esencialmente de la misma solución; los vectores característicos sólo se califican como distintos si sus componentes no son proporcionales. Por ejemplo, = - - 1 1 1 1 1 2 1 1 2 - = - - - 1 1 3 1 1 2 1 1 2 en este caso = 1 1 1 φ y - = 1 1 2 φ son vectores característicos, a los que corresponden los valores propios 1 y 3, respectivamente. Otros vectores, no paralelos a los dos antes mencionados, no cumplen la condición (3.1a): = - - 3 0 2 1 2 1 1 2 El vector 3 0 no puede expresarse como un múltiplo de 2 1 . El problema clásico de valores y vectores característicos consiste en la determinación de los vectores φ y los correspondientes escalares λ para los que se cumple (3.1a). Con frecuencia se presenta el problema general: A φ φ φ φ = λ B φ (3.1b) En muchas aplicaciones las matrices A y B son simétricas y definidas positivas. En algunos casos se hacen hipótesis simplificadoras que resultan en B diagonal. El problema clásico, definido en (3.1a), corresponde al caso particular B = I. 3.1.1 Conversión del Problema General a la Forma Clásica Un problema de la forma general (3.1b) puede convertirse a otro equivalente de la forma clásica (3.1a). Así por ejemplo, si B es no singular puede determinarse: B -1 A φ φ φ φ = λ φ φ φ φ (3.2)
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  • H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos 3 - 1

    3. Valores y Vectores Caractersticos

    3.1. Introduccin

    El producto de una matriz cuadrada, A, por un vector (matriz columna), x, es otro vector, cuyas componentes son habitualmente no proporcionales a x. Sin embargo, puede existir un vector no nulo tal que:

    A = (3.1a)

    Se dice entonces que es un vector caracterstico (tambin llamado vector propio, eigenvector o modo) de la matriz A. El correspondiente escalar es un valor caracterstico (tambin llamado valor propio, autovalor o eigenvalor). Ntese que si un

    vector satisface las ecuaciones (3.1a) tambin un mltiplo arbitrario (un vector "paralelo")

    es solucin. Sin embargo, se trata esencialmente de la misma solucin; los vectores

    caractersticos slo se califican como distintos si sus componentes no son

    proporcionales.

    Por ejemplo,

    =

    1

    11

    1

    1

    21

    12

    =

    1

    13

    1

    1

    21

    12

    en este caso

    =1

    11 y

    =

    1

    12 son vectores caractersticos, a los que corresponden

    los valores propios 1 y 3, respectivamente. Otros vectores, no paralelos a los dos antes

    mencionados, no cumplen la condicin (3.1a):

    =

    3

    0

    2

    1

    21

    12

    El vector

    3

    0 no puede expresarse como un mltiplo de

    2

    1.

    El problema clsico de valores y vectores caractersticos consiste en la determinacin de

    los vectores y los correspondientes escalares para los que se cumple (3.1a). Con frecuencia se presenta el problema general:

    A = B (3.1b)

    En muchas aplicaciones las matrices A y B son simtricas y definidas positivas. En algunos casos se hacen hiptesis simplificadoras que resultan en B diagonal. El problema clsico, definido en (3.1a), corresponde al caso particular B = I.

    3.1.1 Conversin del Problema General a la Forma Clsica

    Un problema de la forma general (3.1b) puede convertirse a otro equivalente de la forma

    clsica (3.1a). As por ejemplo, si B es no singular puede determinarse:

    B-1 A = (3.2)

  • H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos 3 - 2

    Sin embargo, si A y B son simtricas (como es, por ejemplo, el caso en problemas de vibracin, en los que esas matrices son respectivamente rigideces y masas) conviene

    ms hacer la descomposicin (Cholesky):

    B = RT R (3.3a)

    y efectuar entonces el cambio de variables

    = R-1 z (3.3b)

    con lo que se obtiene:

    (R-1)T A R-1 z = z (3.3c)

    Esto es particularmente fcil si B es diagonal.

    B = B B

    = B- z (3.4)

    B- A B- z = H z = z

    Donde ji

    ijij

    bb

    ah = .

    Ntese que los valores caractersticos son los mismos que los del problema original; los

    correspondientes vectores caractersticos se relacionan mediante (3.4b).

    3.1.2 Polinomio Caracterstico y Valores Propios

    Las ecuaciones A = B pueden tambin rescribirse como:

    (A - B) = 0 (3.5a)

    que tiene soluciones no triviales slo si la matriz (A - B) es singular, es decir, si:

    ( ) ( ) 0det == BAp (3.5b) ( )p se denomina polinomio caracterstico. Siendo A y B matrices cuadradas de orden

    n, ( )p es un polinomio de grado n, cuyas races son 1, 2, n. En lo que sigue se supone, sin perder generalidad, que: n 321

    3.1.3 Independencia Lineal de los Vectores Caractersticos

    Asociado a cada uno de los n valores caractersticos i se tiene un vector i. Si i es una raz de multiplicidad m, el correspondiente vector i puede obtenerse resolviendo el sistema de ecuaciones homogneas: (A - i B) i = 0 suponiendo m componentes arbitrarias en i.

    Los vectores caractersticos correspondientes a valores caractersticos distintos son

    linealmente independientes. Supngase que ste no fuera el caso, pudindose obtener

    uno de los vectores como combinacin lineal de otros que s son linealmente

    independientes:

    =

    =j

    i

    iis c1

    (3.6a)

    Y entonces:

  • H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos 3 - 3

    ==

    ==j

    i

    ii

    j

    i

    iis cc11

    (3.6b)

    Por otro lado, por la definicin del problema, (3.1b):

    =

    ==j

    i

    isisss c1

    (3.6c)

    Restando (3.6b) de (3.6c) se obtiene: ( ) 0==

    j

    i

    iisi c1

    Si is debera entonces tenerse ci = 0 para todo i, lo que se opone a la hiptesis.

    Excepcionalmente pueden presentarse valores caractersticos repetidos. An en este

    caso es factible obtener vectores caractersticos linealmente independientes. Sin

    embargo, el conjunto de vectores asociados a los valores caractersticos repetidos define

    un subespacio, tal que cualquier vector del subespacio (es decir una combinacin lineal

    de aquellos tomados como base) es tambin un vector caracterstico:

    A i = i B i

    A i = i B i (3.7)

    A ( c1 1 + c2 2 + c3 3 + ) = i B ( c1 1 + c2 2 + c3 3 + )

    Tenindose n vectores caractersticos linealmente independientes de dimensin n, estos constituyen una base completa. Cualquier otro vector de tal dimensin puede

    expresarse como combinacin lineal de los vectores caractersticos:

    v = 1 1 + 2 2 + 3 3 + + n n (3.8)

    Por ejemplo, con los vectores caractersticos antes obtenidos:

    =

    1

    1

    1

    1

    2

    121

    23

    3.1.4 Ortogonalidad de los Vectores Caractersticos

    Si las matrices A y B son Hermitianas (o simplemente simtricas) y definidas positivas, los valores caractersticos de A = B son todos reales y positivos. Para probar esto basta considerar:

    rsrrs B ** = (3.9a)

    srssr B ** = (3.9b)

    El superndice * denota aqu conjugada traspuesta. La conjugada transpuesta de la

    segunda de estas expresiones es (recurdese que s es un escalar):

    rssrs B*** = (3.9c)

    y al ser A y B Hermitianas (es decir A* = A y B* = B), restando (3.9c) de (3.9a) se obtiene:

    ( ) 0** = rssr B (3.9d) Si r=s, al ser B una matriz definida positiva se tendra 0>rr B* . Por lo tanto, siendo

    sr = , se tendra 0=*rr lo que implica que todos los son nmeros reales. Si

  • H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos 3 - 4

    adems A es definida positiva, es decir 0>rr A* , se concluye que los valores caractersticos son todos positivos.

    Por otro lado, si sr se tiene que 0*sr y en consecuencia (3.9d) implica que:

    rsrrs b = B* (es decir, cero si sr ) (3.10a)

    y adems, observando las expresiones precedentes:

    rsrrs a = A* (3.10b)

    Las propiedades de ortogonalidad expresadas en (3.10) son la base para la

    descomposicin modal utilizada al resolver sistemas de ecuaciones diferenciales en

    aplicaciones tales como el anlisis ssmico lineal.

    Refirindose nuevamente al ejemplo inicial:

    ( ) 21

    1

    21

    1211 =

    ( ) 61

    1

    21

    1211 =

    ( ) 01

    1

    21

    1211 =

    3.1.5 Normalizacin de los Vectores Caractersticos

    Como se mencion anteriormente los vectores caractersticos se definen por la

    proporcin de sus elementos, pudindose escalar o "normalizar" en forma arbitraria. Es

    frecuente escalarlos de modo que:

    rsrs = B* (3.11a)

    Se dice entonces que los vectores estn normalizados respecto a la matriz B. En tal caso se tiene tambin:

    rsrrs = A* (3.11b)

    3.1.6 Cociente de Rayleigh

    Si se conoce un vector caracterstico i, el correspondiente valor i puede determinarse con el cociente de Rayleigh:

    ( )i

    Ti

    iTi

    i

    B

    = (3.12)

    Esta expresin puede aplicarse tambin con aproximaciones a los vectores propios. Si x es una aproximacin a un vector caracterstico con un error de orden , el cociente de Rayleigh, (x), aproxima el correspondiente valor caracterstico con un error de orden 2.

    3.1.7 Teorema de Gershgorin

    Supngase que i es un valor caracterstico de la matriz A y que i es el correspondiente vector, con componentes L321 vvv :

  • H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos 3 - 5

    iii =A (3.13a)

    La componente de mayor valor absoluto en i es sv . Dividiendo la ecuacin s en (3.13a) entre sv e intercambiando ambos miembros:

    ++++

    +

    =

    s

    nsnss

    ss

    ssi v

    vaa

    v

    va

    v

    va LL22

    11 (3.13b)

    y por lo tanto:

    snssssi aaaa +++++= LL 021 (3.13c)

    En consecuencia, cada valor caracterstico i est dentro de por lo menos uno de los crculos con centro en ssa y radio igual a la suma de los valores absolutos de la correspondiente fila s.

    Por ejemplo, considerando la matriz:

    =41

    12A

    que es definida positiva, puede asegurarse que sus valores caractersticos (que son

    nmeros reales) estn dentro de los intervalos (1,3) y (3,5). Efectivamente, en este caso

    23 = .

    3.1.8 Formas polinmicas

    Supngase que se conocen los valores y vectores caractersticos de una matriz, A:

    A = (3.14a)

    Cules son los valores caractersticos de la matriz A2 = A A?

    (AA) = A (A ) = A ( ) = (A )= 2

    Este resultado puede extenderse para la matriz Ak (siendo k un exponente). Los vectores caractersticos son los mismos que los de la matriz A, mientras que los correspondientes valores caractersticos son k:

    Ak = k (3.14b)

    Esto es incluso vlido para exponentes negativos. Por ejemplo, multiplicando ambos