Auto Valores

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6.1 Autovetor e Autovalor de um Operador Linear

Deni c aoSeja T : V V um operador linear. Um vetor v V , v = 0, e dito um autovetor de T se existe um n umero real tal que T (v ) = v . O n umero real acima e denominado autovalor de T associado ao autovetor v .

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6.1 Autovetor e Autovalor de um Operador LinearExemplo 1T : R2 R2 , T (x , y ) = (4x + 5y , 2x + y ). T (5, 2) = (30, 12) = 6 (5, 2). 6 e um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T .

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6.1 Autovetor e Autovalor de um Operador LinearExemplo 1T : R2 R2 , T (x , y ) = (4x + 5y , 2x + y ). T (5, 2) = (30, 12) = 6 (5, 2). 6 e um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T .

Exemplo 2T : R3 R3 , T (x , y , z ) = (x , y , 0). T (x , y , 0) = 1 (x , y , 0). qualquer vetor (x , y , 0) e um autovetor de T e seu autovalor associado e 1.

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e AutovetoresDetermina c ao dos AutovaloresSeja T : R2 R2 dada por T (x , y ) = (ax + by , cx + dy ).

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e AutovetoresDetermina c ao dos AutovaloresSeja T : R2 R2 dada por T (x , y ) = (ax + by , cx + dy ). Queremos encontrar R tal que exista (x , y ) = (0, 0) com T (x , y ) = (x , y ).

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e AutovetoresDetermina c ao dos AutovaloresSeja T : R2 R2 dada por T (x , y ) = (ax + by , cx + dy ). Queremos encontrar R tal que exista (x , y ) = (0, 0) com T (x , y ) = (x , y ). Isto e o mesmo que encontrar (x , y ) = (0, 0) tal que ax + by cx + dy = x = y (a )x cx + by + (d )y = 0 . = 0

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e AutovetoresDetermina c ao dos AutovaloresSeja T : R2 R2 dada por T (x , y ) = (ax + by , cx + dy ). Queremos encontrar R tal que exista (x , y ) = (0, 0) com T (x , y ) = (x , y ). Isto e o mesmo que encontrar (x , y ) = (0, 0) tal que ax + by cx + dy = x = y (a )x cx + by + (d )y = 0 . = 0

O sistema linear homog eno acima possui solu c ao n ao-nula se, e s o se, det (a ) b c (d ) = 0.

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e AutovetoresDetermina c ao dos AutovaloresSeja T : R2 R2 dada por T (x , y ) = (ax + by , cx + dy ). Queremos encontrar R tal que exista (x , y ) = (0, 0) com T (x , y ) = (x , y ). Isto e o mesmo que encontrar (x , y ) = (0, 0) tal que ax + by cx + dy = x = y (a )x cx + by + (d )y = 0 . = 0

O sistema linear homog eno acima possui solu c ao n ao-nula se, e s o se, det (a ) b c (d ) = 0.

Os autovalores de T s ao as solu c oes da equa c ao acima, se existirem.() Autovalores e Autovetores 4 / 15

6.2 Determina c ao dos Autovalores e AutovetoresDetermina c ao dos AutovetoresQueremos agora encontrar os autovetores de T associados a um determinado autovalor .

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e AutovetoresDetermina c ao dos AutovetoresQueremos agora encontrar os autovetores de T associados a um determinado autovalor . Isto e, queremos encontrar (x , y ) = (0, 0) tal que T (x , y ) = (x , y ).

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e AutovetoresDetermina c ao dos AutovetoresQueremos agora encontrar os autovetores de T associados a um determinado autovalor . Isto e, queremos encontrar (x , y ) = (0, 0) tal que T (x , y ) = (x , y ). Isto e o mesmo que encontrar (x , y ) = (0, 0) tal que ax + by cx + dy = x = y (a )x cx + by + (d )y = 0 . = 0

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e AutovetoresDetermina c ao dos AutovetoresQueremos agora encontrar os autovetores de T associados a um determinado autovalor . Isto e, queremos encontrar (x , y ) = (0, 0) tal que T (x , y ) = (x , y ). Isto e o mesmo que encontrar (x , y ) = (0, 0) tal que ax + by cx + dy = x = y (a )x cx + by + (d )y = 0 . = 0

Os autovetores de T associados a s ao as solu co es n ao-nulas do sistema linear homog eneo acima. Obs.: Obrigatoriamente h a tais solu c oes pois o foi calculado para que isto aconte ca.

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e Autovetores

Determina c ao dos Autovalores e Autovetores Resumo1

Dada T : Rn Rn determine a matriz can onica A = [T ].

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e Autovetores

Determina c ao dos Autovalores e Autovetores Resumo1 2

Dada T : Rn Rn determine a matriz can onica A = [T ]. Calcule a matriz A I , onde I e a matriz identidade n n.

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e Autovetores

Determina c ao dos Autovalores e Autovetores Resumo1 2 3

Dada T : Rn Rn determine a matriz can onica A = [T ]. Calcule a matriz A I , onde I e a matriz identidade n n. Calcule p () = det(A I ). Obs.: p () e denominado polin omio caracter stico de T .

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e Autovetores

Determina c ao dos Autovalores e Autovetores Resumo1 2 3

Dada T : Rn Rn determine a matriz can onica A = [T ]. Calcule a matriz A I , onde I e a matriz identidade n n. Calcule p () = det(A I ). Obs.: p () e denominado polin omio caracter stico de T . Resolva a equa c ao p () = 0. As ra zes desta equa c ao s ao os autovalores de T . Obs.: A equa c ao p () = 0 e denominada equa c ao caracter stica de T.

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e Autovetores

Determina c ao dos Autovalores e Autovetores Resumo1 2 3

Dada T : Rn Rn determine a matriz can onica A = [T ]. Calcule a matriz A I , onde I e a matriz identidade n n. Calcule p () = det(A I ). Obs.: p () e denominado polin omio caracter stico de T . Resolva a equa c ao p () = 0. As ra zes desta equa c ao s ao os autovalores de T . Obs.: A equa c ao p () = 0 e denominada equa c ao caracter stica de T. Para cada autovalor encontrado, resolva o sistema linear homog eneo cuja matriz dos coecientes e A I .

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e Autovetores

Exemplo 1Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 R2 dado por T (x , y ) = (x + 2y , x + 4y ).

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e Autovetores

Exemplo 1Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 R2 dado por T (x , y ) = (x + 2y , x + 4y ).

Exemplo 2Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 R2 dado por T (x , y ) = (y , x ).

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6.2 Determina c ao dos Autovalores e Autovetores

Exemplo 1Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 R2 dado por T (x , y ) = (x + 2y , x + 4y ).

Exemplo 2Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 R2 dado por T (x , y ) = (y , x ).

Exemplo 3Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 R3 dado por T (x , y , z ) = (4x + 2y , x + y , y + 2z ).

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6.3 PropriedadesTeoremaSeja um autovalor do operador T : V V . O conjunto S = {v V ; T (v ) = v } (S e o conjunto dos autovetores de T associados a e o vetor nulo) e um subespa co vetorial de V denominado autoespa co associado a .

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6.3 PropriedadesTeoremaSeja um autovalor do operador T : V V . O conjunto S = {v V ; T (v ) = v } (S e o conjunto dos autovetores de T associados a e o vetor nulo) e um subespa co vetorial de V denominado autoespa co associado a .

ProvaT (0) = 0 = 0. Logo, 0 S e S = .

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6.3 PropriedadesTeoremaSeja um autovalor do operador T : V V . O conjunto S = {v V ; T (v ) = v } (S e o conjunto dos autovetores de T associados a e o vetor nulo) e um subespa co vetorial de V denominado autoespa co associado a .

ProvaT (0) = 0 = 0. Logo, 0 S e S = . u , v S T (u + v ) = T (u ) + T (v ) = u + v = (u + v ). Logo, u + v S .

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6.3 PropriedadesTeoremaSeja um autovalor do operador T : V V . O conjunto S = {v V ; T (v ) = v } (S e o conjunto dos autovetores de T associados a e o vetor nulo) e um subespa co vetorial de V denominado autoespa co associado a .

ProvaT (0) = 0 = 0. Logo, 0 S e S = . u , v S T (u + v ) = T (u ) + T (v ) = u + v = (u + v ). Logo, u + v S . u S , R T (u ) = (T (u )) = (u ) = (u ). Logo, u S .

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6.3 PropriedadesTeoremaSeja um autovalor do operador T : V V . O conjunto S = {v V ; T (v ) = v } (S e o conjunto dos autovetores de T associados a e o vetor nulo) e um subespa co vetorial de V denominado autoespa co associado a .

ProvaT (0) = 0 = 0. Logo, 0 S e S = . u , v S T (u + v ) = T (u ) + T (v ) = u + v = (u + v ). Logo, u + v S . u S , R T (u ) = (T (u )) = (u ) = (u ). Logo, u S . Pelo visto acima, S e um subespa co vetorial de V .() Autovalores e Autovetores 8 / 15

6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresTeoremaAutovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T : V V s ao linearmente independentes.

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresTeoremaAutovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T : V V s ao linearmente independentes.

ProvaFaremos a demonstra c ao para o caso de 1 , 2 e 3 distintos.

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresTeoremaAutovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T : V V s ao linearmente independentes.

ProvaFaremos a demonstra c ao para o caso de 1 , 2 e 3 distintos. Suponha vi = 0 tal que T (vi ) = i vi , para i = 1, 2, 3.

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresTeoremaAutovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T : V V s ao linearmente independentes.

ProvaFaremos a demonstra c ao para o caso de 1 , 2 e 3 distintos. Suponha vi = 0 tal que T (vi ) = i vi , para i = 1, 2, 3. Tomemos ai tais que a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 = 0. (1)

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresTeoremaAutovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T : V V s ao linearmente independentes.

ProvaFaremos a demonstra c ao para o caso de 1 , 2 e 3 distintos. Suponha vi = 0 tal que T (vi ) = i vi , para i = 1, 2, 3. Tomemos ai tais que a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 = 0. Aplicando T em ambos os lados da equa c ao acima, obtemos, pela linearidade de T , e pela deni c ao de autovetores a1 T (v1 ) + a2 T (v2 ) + a3 T (v3 ) = 0 a1 1 v1 + a2 2 v2 + a3 3 v3 = 0.() Autovalores e Autovetores

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresProva continua c aoMultiplicando ambos os membros da equa c ao (1) por 1 , obtemos a1 1 v1 + a2 1 v2 + a3 1 v3 = 0. (3)

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresProva continua c aoMultiplicando ambos os membros da equa c ao (1) por 1 , obtemos a1 1 v1 + a2 1 v2 + a3 1 v3 = 0. Subtraindo (3) de (2): a2 (2 1 )v2 + a3 (3 1 )v3 = 0. (4) (3)

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresProva continua c aoMultiplicando ambos os membros da equa c ao (1) por 1 , obtemos a1 1 v1 + a2 1 v2 + a3 1 v3 = 0. Subtraindo (3) de (2): a2 (2 1 )v2 + a3 (3 1 )v3 = 0. Aplicando T em (4), obtemos a2 2 (2 1 )v2 + a3 3 (3 1 )v3 = 0. (5) (4) (3)

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresProva continua c aoMultiplicando ambos os membros da equa c ao (1) por 1 , obtemos a1 1 v1 + a2 1 v2 + a3 1 v3 = 0. Subtraindo (3) de (2): a2 (2 1 )v2 + a3 (3 1 )v3 = 0. Aplicando T em (4), obtemos a2 2 (2 1 )v2 + a3 3 (3 1 )v3 = 0. Multiplicando ambos os membros de (4) por 2 , vem: a2 2 (2 1 )v2 + a3 2 (3 1 )v3 = 0.() Autovalores e Autovetores

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresProva continua c aoSubtraindo (6) de (5): a3 (3 2 )(3 1 )v3 = 0. (7)

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresProva continua c aoSubtraindo (6) de (5): a3 (3 2 )(3 1 )v3 = 0. Como 3 2 = 0, 3 1 = 0 e v3 = 0, segue que a3 = 0. (7)

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresProva continua c aoSubtraindo (6) de (5): a3 (3 2 )(3 1 )v3 = 0. Como 3 2 = 0, 3 1 = 0 e v3 = 0, segue que a3 = 0. Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos a2 = 0. (7)

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresProva continua c aoSubtraindo (6) de (5): a3 (3 2 )(3 1 )v3 = 0. Como 3 2 = 0, 3 1 = 0 e v3 = 0, segue que a3 = 0. Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos a2 = 0. Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem a1 = 0.() Autovalores e Autovetores 11 / 15

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresProva continua c aoSubtraindo (6) de (5): a3 (3 2 )(3 1 )v3 = 0. Como 3 2 = 0, 3 1 = 0 e v3 = 0, segue que a3 = 0. Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos a2 = 0. Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem a1 = 0. Logo, v1 , v2 , v3 s ao LI.() Autovalores e Autovetores 11 / 15

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6.4 Diagonaliza c ao de Operadores

Corol arioSe 1 , 2 , . . . , n s ao autovalores distintos e vi Si para todo i = 1, . . . , n, ent ao v1 + v2 + + vn = 0 se, e s o se, vi = 0 para todo i .

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6.4 Diagonaliza c ao de Operadores

Corol arioSe 1 , 2 , . . . , n s ao autovalores distintos e vi Si para todo i = 1, . . . , n, ent ao v1 + v2 + + vn = 0 se, e s o se, vi = 0 para todo i .

ProvaSe fosse poss vel ter v1 + . . . + vn = 0 sem que todos fossem nulos, seria uma contradi c ao com o Teorema anterior.

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresCorol arioSeja T : V V um operador linear. Se B1 , B2 , . . . , Bn s ao bases dos autoespa cos associados ao autovalores distintos 1 , . . . , n de T , ent ao, B = B1 . . . B n e um conjunto LI.

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresCorol arioSeja T : V V um operador linear. Se B1 , B2 , . . . , Bn s ao bases dos autoespa cos associados ao autovalores distintos 1 , . . . , n de T , ent ao, B = B1 . . . B n e um conjunto LI.

ProvaFaremos a demonstra c ao para dois autovalores distintos 1 e 2 com bases de seus respectivos autoespa cos B1 = {v1 , v2 } e B2 = {w }. Tomemos a1 v1 + a2 v2 + bw = 0.

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresCorol arioSeja T : V V um operador linear. Se B1 , B2 , . . . , Bn s ao bases dos autoespa cos associados ao autovalores distintos 1 , . . . , n de T , ent ao, B = B1 . . . B n e um conjunto LI.

ProvaFaremos a demonstra c ao para dois autovalores distintos 1 e 2 com bases de seus respectivos autoespa cos B1 = {v1 , v2 } e B2 = {w }. Tomemos a1 v1 + a2 v2 + bw = 0. Como cada Si e um subespa co, a1 v1 + a2 v2 S1 e bw S2 .

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresCorol arioSeja T : V V um operador linear. Se B1 , B2 , . . . , Bn s ao bases dos autoespa cos associados ao autovalores distintos 1 , . . . , n de T , ent ao, B = B1 . . . B n e um conjunto LI.

ProvaFaremos a demonstra c ao para dois autovalores distintos 1 e 2 com bases de seus respectivos autoespa cos B1 = {v1 , v2 } e B2 = {w }. Tomemos a1 v1 + a2 v2 + bw = 0. Como cada Si e um subespa co, a1 v1 + a2 v2 S1 e bw S2 . Pelo Corol ario anterior a1 v1 + a2 v2 = 0 e bw = 0.

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6.4 Diagonaliza c ao de OperadoresCorol arioSeja T : V V um operador linear. Se B1 , B2 , . . . , Bn s ao bases dos autoespa cos associados ao autovalores distintos 1 , . . . , n de T , ent ao, B = B1 . . . B n e um conjunto LI.

ProvaFaremos a demonstra c ao para dois autovalores distintos 1 e 2 com bases de seus respectivos autoespa cos B1 = {v1 , v2 } e B2 = {w }. Tomemos a1 v1 + a2 v2 + bw = 0. Como cada Si e um subespa co, a1 v1 + a2 v2 S1 e bw S2 . Pelo Corol ario anterior a1 v1 + a2 v2 = 0 e bw = 0. Como cada Bi e LI segue, a1 = a2 = 0 e b = 0.

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6.4 Diagonaliza c ao de Operadores

TeoremaSeja T : V V um operador linear, com dim V = n. Se B1 , B2 , . . . , Bn s ao bases dos autoespa cos associados ao autovalores distintos 1 , . . . , n de T , e B = B1 . . . Bn possui n vetores, ent ao B e uma base de V .

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6.4 Diagonaliza c ao de Operadores

Deni c aoSe T : V V possui uma base formada por autovetores de T , dizemos que T e um operador diagonaliz avel.

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6.4 Diagonaliza c ao de Operadores

Deni c aoSe T : V V possui uma base formada por autovetores de T , dizemos que T e um operador diagonaliz avel.

Deni c aoSejam T : Rn Rn um operador diagonaliz avel e B uma base de Rn formada por autovetores de T . Ent ao, (i) D = [T ]B e uma matriz diagonal. (ii) A matriz P = [I ]B ca de base de B para a base can onica, C de mudan satisfaz D = P 1 [T ]P . Dizemos que a matrix P diagonaliza [T ].

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6.4 Diagonaliza c ao de Operadores

Exemplo 1Seja T : R2 R 2 dada por T (x , y ) = (5x + 2y , 2x 2y ). a) Determine os autovalores e os autoespa cos de T . b) Determine se T e diagonaliz avel. Em caso, armativo, determine uma base de R2 formada por autovetores de T e determine a matriz de T com rela c ao a esta base. c) Se T for diagonaliz avel determine a matriz diagonalizadora P de T .

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6.4 Diagonaliza c ao de Operadores

Exemplo 2Seja T : R3 R 3 dada por T (x , y ) = (2x + 2y 3z , 2x + y 6z , x 2y ). a) Determine os autovalores e os autoespa cos de T . b) Determine se T e diagonaliz avel. Em caso, armativo, determine uma base de R3 formada por autovetores de T e determine a matriz de T com rela c ao a esta base. c) Se T for diagonaliz avel determine a matriz diagonalizadora P de T .

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6.4 Diagonaliza c ao de Operadores

Exemplo 3Seja T : R3 R 3 dada por T (x , y ) = (4x + 2y , x + y , y + 2z ). a) Determine os autovalores e os autoespa cos de T . b) Determine se T e diagonaliz avel. Em caso, armativo, determine uma base de R3 formada por autovetores de T e determine a matriz de T com rela c ao a esta base. c) Se T for diagonaliz avel determine a matriz diagonalizadora P de T .

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