Autovalores e Autovetores

() Autovalores e Autovetores 1 / 15

6.1 — Autovetor e Autovalor de um Operador Linear

Definicao

Seja T : V → V um operador linear. Um vetor v ∈ V , v 6= 0, e dito umautovetor de T se existe um numero real λ tal que

T (v) = λv .

O numero real λ acima e denominado autovalor de T associado aoautovetor v .

() Autovalores e Autovetores 2 / 15

6.1 — Autovetor e Autovalor de um Operador Linear

Exemplo 1

T : R2 → R2, T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y).T (5, 2) = (30, 12) = 6 · (5, 2).∴ 6 e um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T .

Exemplo 2

T : R3 → R3, T (x , y , z) = (x , y , 0).T (x , y , 0) = 1 · (x , y , 0).∴ qualquer vetor (x , y , 0) e um autovetor de T e seu autovalor associado e1.

() Autovalores e Autovetores 3 / 15

6.1 — Autovetor e Autovalor de um Operador Linear

Exemplo 1

T : R2 → R2, T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y).T (5, 2) = (30, 12) = 6 · (5, 2).∴ 6 e um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T .

Exemplo 2

T : R3 → R3, T (x , y , z) = (x , y , 0).T (x , y , 0) = 1 · (x , y , 0).∴ qualquer vetor (x , y , 0) e um autovetor de T e seu autovalor associado e1.

() Autovalores e Autovetores 3 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores

Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (ax + by , cx + dy).

Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x , y) 6= (0, 0) com

T (x , y) = λ · (x , y).

Isto e o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{ax + by = λxcx + dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d − λ)y = 0

.

O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nula se, e so se,

det

[(a− λ) b

c (d − λ)

]= 0.

Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, se existirem.

() Autovalores e Autovetores 4 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores

Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (ax + by , cx + dy).

Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x , y) 6= (0, 0) com

T (x , y) = λ · (x , y).

Isto e o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{ax + by = λxcx + dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d − λ)y = 0

.

O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nula se, e so se,

det

[(a− λ) b

c (d − λ)

]= 0.

Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, se existirem.

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6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores

Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (ax + by , cx + dy).

Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x , y) 6= (0, 0) com

T (x , y) = λ · (x , y).

Isto e o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{ax + by = λxcx + dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d − λ)y = 0

.

O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nula se, e so se,

det

[(a− λ) b

c (d − λ)

]= 0.

Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, se existirem.

() Autovalores e Autovetores 4 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores

Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (ax + by , cx + dy).

Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x , y) 6= (0, 0) com

T (x , y) = λ · (x , y).

Isto e o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{ax + by = λxcx + dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d − λ)y = 0

.

O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nula se, e so se,

det

[(a− λ) b

c (d − λ)

]= 0.

Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, se existirem.

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6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores

Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (ax + by , cx + dy).

Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x , y) 6= (0, 0) com

T (x , y) = λ · (x , y).

Isto e o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{ax + by = λxcx + dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d − λ)y = 0

.

O sistema linear homogeno acima possui solucao nao-nula se, e so se,

det

[(a− λ) b

c (d − λ)

]= 0.

Os autovalores de T sao as solucoes da equacao acima, se existirem.

() Autovalores e Autovetores 4 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovetores

Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a umdeterminado autovalor λ.

Isto e, queremos encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que T (x , y) = λ · (x , y).

Isto e o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{ax + by = λxcx + dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d − λ)y = 0

.

Os autovetores de T associados a λ sao as solucoes nao-nulas dosistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foi calculado paraque isto aconteca.

() Autovalores e Autovetores 5 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovetores

Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a umdeterminado autovalor λ.

Isto e, queremos encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que T (x , y) = λ · (x , y).

Isto e o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{ax + by = λxcx + dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d − λ)y = 0

.

Os autovetores de T associados a λ sao as solucoes nao-nulas dosistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foi calculado paraque isto aconteca.

() Autovalores e Autovetores 5 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovetores

Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a umdeterminado autovalor λ.

Isto e, queremos encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que T (x , y) = λ · (x , y).

Isto e o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{ax + by = λxcx + dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d − λ)y = 0

.

Os autovetores de T associados a λ sao as solucoes nao-nulas dosistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foi calculado paraque isto aconteca.

() Autovalores e Autovetores 5 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovetores

Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a umdeterminado autovalor λ.

Isto e, queremos encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que T (x , y) = λ · (x , y).

Isto e o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{ax + by = λxcx + dy = λy

⇔{

(a− λ)x + by = 0cx + (d − λ)y = 0

.

Os autovetores de T associados a λ sao as solucoes nao-nulas dosistema linear homogeneo acima.Obs.: Obrigatoriamente ha tais solucoes pois o λ foi calculado paraque isto aconteca.

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6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo1 Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].

2 Calcule a matriz A− λI , onde I e a matriz identidade n × n.

3 Calcule p(λ) = det(A− λI ).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .

4 Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacao caracterıstica deT .

5 Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI .

() Autovalores e Autovetores 6 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo1 Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].

2 Calcule a matriz A− λI , onde I e a matriz identidade n × n.

3 Calcule p(λ) = det(A− λI ).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .

4 Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacao caracterıstica deT .

5 Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI .

() Autovalores e Autovetores 6 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo1 Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].

2 Calcule a matriz A− λI , onde I e a matriz identidade n × n.

3 Calcule p(λ) = det(A− λI ).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .

4 Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacao caracterıstica deT .

5 Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI .

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6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo1 Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].

2 Calcule a matriz A− λI , onde I e a matriz identidade n × n.

3 Calcule p(λ) = det(A− λI ).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .

4 Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacao caracterıstica deT .

5 Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI .

() Autovalores e Autovetores 6 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Determinacao dos Autovalores e Autovetores — Resumo1 Dada T : Rn → Rn determine a matriz canonica A = [T ].

2 Calcule a matriz A− λI , onde I e a matriz identidade n × n.

3 Calcule p(λ) = det(A− λI ).Obs.: p(λ) e denominado polinomio caracterıstico de T .

4 Resolva a equacao p(λ) = 0. As raızes desta equacao sao osautovalores de T .Obs.: A equacao p(λ) = 0 e denominada equacao caracterıstica deT .

5 Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linearhomogeneo cuja matriz dos coeficientes e A− λI .

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6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Exemplo 1

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado porT (x , y) = (x + 2y ,−x + 4y).

Exemplo 2

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado porT (x , y) = (−y , x).

Exemplo 3

Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dado porT (x , y , z) = (4x + 2y ,−x + y , y + 2z).

() Autovalores e Autovetores 7 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Exemplo 1

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado porT (x , y) = (x + 2y ,−x + 4y).

Exemplo 2

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado porT (x , y) = (−y , x).

Exemplo 3

Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dado porT (x , y , z) = (4x + 2y ,−x + y , y + 2z).

() Autovalores e Autovetores 7 / 15

6.2 — Determinacao dos Autovalores e Autovetores

Exemplo 1

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado porT (x , y) = (x + 2y ,−x + 4y).

Exemplo 2

Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado porT (x , y) = (−y , x).

Exemplo 3

Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dado porT (x , y , z) = (4x + 2y ,−x + y , y + 2z).

() Autovalores e Autovetores 7 / 15

6.3 — Propriedades

Teorema

Seja λ um autovalor do operador T : V → V . O conjunto

Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}

(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) eum subespaco vetorial de V denominado autoespaco associado a λ.

Prova

T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.u, v ∈ Sλ ⇒ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo,u + v ∈ Sλ.

u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.

Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V .

() Autovalores e Autovetores 8 / 15

6.3 — Propriedades

Teorema

Seja λ um autovalor do operador T : V → V . O conjunto

Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}

(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) eum subespaco vetorial de V denominado autoespaco associado a λ.

Prova

T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.

u, v ∈ Sλ ⇒ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo,u + v ∈ Sλ.

u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.

Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V .

() Autovalores e Autovetores 8 / 15

6.3 — Propriedades

Teorema

Seja λ um autovalor do operador T : V → V . O conjunto

Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}

(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) eum subespaco vetorial de V denominado autoespaco associado a λ.

Prova

T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.u, v ∈ Sλ ⇒ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo,u + v ∈ Sλ.

u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.

Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V .

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6.3 — Propriedades

Teorema

Seja λ um autovalor do operador T : V → V . O conjunto

Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}

(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) eum subespaco vetorial de V denominado autoespaco associado a λ.

Prova

T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.u, v ∈ Sλ ⇒ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo,u + v ∈ Sλ.

u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.

Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V .

() Autovalores e Autovetores 8 / 15

6.3 — Propriedades

Teorema

Seja λ um autovalor do operador T : V → V . O conjunto

Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}

(Sλ e o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) eum subespaco vetorial de V denominado autoespaco associado a λ.

Prova

T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.u, v ∈ Sλ ⇒ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo,u + v ∈ Sλ.

u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,αu ∈ Sλ.

Pelo visto acima, Sλ e um subespaco vetorial de V .

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6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Teorema

Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linearT : V → V sao linearmente independentes.

Prova

Faremos a demonstracao para o caso de λ1, λ2 e λ3 distintos.

Suponha vi 6= 0 tal que T (vi ) = λivi , para i = 1, 2, 3.

Tomemos ai tais que

a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. (1)

Aplicando T em ambos os lados da equacao acima, obtemos, pelalinearidade de T , e pela definicao de autovetores

a1T (v1) + a2T (v2) + a3T (v3) = 0

a1λ1v1 + a2λ2v2 + a3λ3v3 = 0. (2)

() Autovalores e Autovetores 9 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Teorema

Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linearT : V → V sao linearmente independentes.

Prova

Faremos a demonstracao para o caso de λ1, λ2 e λ3 distintos.

Suponha vi 6= 0 tal que T (vi ) = λivi , para i = 1, 2, 3.

Tomemos ai tais que

a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. (1)

Aplicando T em ambos os lados da equacao acima, obtemos, pelalinearidade de T , e pela definicao de autovetores

a1T (v1) + a2T (v2) + a3T (v3) = 0

a1λ1v1 + a2λ2v2 + a3λ3v3 = 0. (2)

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6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Teorema

Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linearT : V → V sao linearmente independentes.

Prova

Faremos a demonstracao para o caso de λ1, λ2 e λ3 distintos.

Suponha vi 6= 0 tal que T (vi ) = λivi , para i = 1, 2, 3.

Tomemos ai tais que

a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. (1)

Aplicando T em ambos os lados da equacao acima, obtemos, pelalinearidade de T , e pela definicao de autovetores

a1T (v1) + a2T (v2) + a3T (v3) = 0

a1λ1v1 + a2λ2v2 + a3λ3v3 = 0. (2)

() Autovalores e Autovetores 9 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Teorema

Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linearT : V → V sao linearmente independentes.

Prova

Faremos a demonstracao para o caso de λ1, λ2 e λ3 distintos.

Suponha vi 6= 0 tal que T (vi ) = λivi , para i = 1, 2, 3.

Tomemos ai tais que

a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. (1)

Aplicando T em ambos os lados da equacao acima, obtemos, pelalinearidade de T , e pela definicao de autovetores

a1T (v1) + a2T (v2) + a3T (v3) = 0

a1λ1v1 + a2λ2v2 + a3λ3v3 = 0. (2)

() Autovalores e Autovetores 9 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Teorema

Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linearT : V → V sao linearmente independentes.

Prova

Faremos a demonstracao para o caso de λ1, λ2 e λ3 distintos.

Suponha vi 6= 0 tal que T (vi ) = λivi , para i = 1, 2, 3.

Tomemos ai tais que

a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. (1)

Aplicando T em ambos os lados da equacao acima, obtemos, pelalinearidade de T , e pela definicao de autovetores

a1T (v1) + a2T (v2) + a3T (v3) = 0

a1λ1v1 + a2λ2v2 + a3λ3v3 = 0. (2)

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6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Prova — continuacao

Multiplicando ambos os membros da equacao (1) por λ1, obtemos

a1λ1v1 + a2λ1v2 + a3λ1v3 = 0. (3)

Subtraindo (3) de (2):

a2(λ2 − λ1)v2 + a3(λ3 − λ1)v3 = 0. (4)

Aplicando T em (4), obtemos

a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ3(λ3 − λ1)v3 = 0. (5)

Multiplicando ambos os membros de (4) por λ2, vem:

a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ2(λ3 − λ1)v3 = 0. (6)

() Autovalores e Autovetores 10 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Prova — continuacao

Multiplicando ambos os membros da equacao (1) por λ1, obtemos

a1λ1v1 + a2λ1v2 + a3λ1v3 = 0. (3)

Subtraindo (3) de (2):

a2(λ2 − λ1)v2 + a3(λ3 − λ1)v3 = 0. (4)

Aplicando T em (4), obtemos

a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ3(λ3 − λ1)v3 = 0. (5)

Multiplicando ambos os membros de (4) por λ2, vem:

a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ2(λ3 − λ1)v3 = 0. (6)

() Autovalores e Autovetores 10 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Prova — continuacao

Multiplicando ambos os membros da equacao (1) por λ1, obtemos

a1λ1v1 + a2λ1v2 + a3λ1v3 = 0. (3)

Subtraindo (3) de (2):

a2(λ2 − λ1)v2 + a3(λ3 − λ1)v3 = 0. (4)

Aplicando T em (4), obtemos

a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ3(λ3 − λ1)v3 = 0. (5)

Multiplicando ambos os membros de (4) por λ2, vem:

a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ2(λ3 − λ1)v3 = 0. (6)

() Autovalores e Autovetores 10 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Prova — continuacao

Multiplicando ambos os membros da equacao (1) por λ1, obtemos

a1λ1v1 + a2λ1v2 + a3λ1v3 = 0. (3)

Subtraindo (3) de (2):

a2(λ2 − λ1)v2 + a3(λ3 − λ1)v3 = 0. (4)

Aplicando T em (4), obtemos

a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ3(λ3 − λ1)v3 = 0. (5)

Multiplicando ambos os membros de (4) por λ2, vem:

a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ2(λ3 − λ1)v3 = 0. (6)

() Autovalores e Autovetores 10 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Prova — continuacao

Subtraindo (6) de (5):

a3(λ3 − λ2)(λ3 − λ1)v3 = 0. (7)

Como λ3 − λ2 6= 0, λ3 − λ1 6= 0 e v3 6= 0, segue que

a3 = 0.

Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos

a2 = 0.

Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem

a1 = 0.

Logo, v1, v2, v3 sao LI.

() Autovalores e Autovetores 11 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Prova — continuacao

Subtraindo (6) de (5):

a3(λ3 − λ2)(λ3 − λ1)v3 = 0. (7)

Como λ3 − λ2 6= 0, λ3 − λ1 6= 0 e v3 6= 0, segue que

a3 = 0.

Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos

a2 = 0.

Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem

a1 = 0.

Logo, v1, v2, v3 sao LI.

() Autovalores e Autovetores 11 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Prova — continuacao

Subtraindo (6) de (5):

a3(λ3 − λ2)(λ3 − λ1)v3 = 0. (7)

Como λ3 − λ2 6= 0, λ3 − λ1 6= 0 e v3 6= 0, segue que

a3 = 0.

Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos

a2 = 0.

Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem

a1 = 0.

Logo, v1, v2, v3 sao LI.

() Autovalores e Autovetores 11 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Prova — continuacao

Subtraindo (6) de (5):

a3(λ3 − λ2)(λ3 − λ1)v3 = 0. (7)

Como λ3 − λ2 6= 0, λ3 − λ1 6= 0 e v3 6= 0, segue que

a3 = 0.

Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos

a2 = 0.

Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem

a1 = 0.

Logo, v1, v2, v3 sao LI.

() Autovalores e Autovetores 11 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Prova — continuacao

Subtraindo (6) de (5):

a3(λ3 − λ2)(λ3 − λ1)v3 = 0. (7)

Como λ3 − λ2 6= 0, λ3 − λ1 6= 0 e v3 6= 0, segue que

a3 = 0.

Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos

a2 = 0.

Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem

a1 = 0.

Logo, v1, v2, v3 sao LI.() Autovalores e Autovetores 11 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Corolario

Se λ1, λ2, . . . , λn sao autovalores distintos e vi ∈ Sλipara todo

i = 1, . . . , n, entao v1 + v2 + · · ·+ vn = 0 se, e so se, vi = 0 para todo i .

Prova

Se fosse possıvel ter v1 + . . .+ vn = 0 sem que todos fossem nulos, seriauma contradicao com o Teorema anterior.

() Autovalores e Autovetores 12 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Corolario

Se λ1, λ2, . . . , λn sao autovalores distintos e vi ∈ Sλipara todo

i = 1, . . . , n, entao v1 + v2 + · · ·+ vn = 0 se, e so se, vi = 0 para todo i .

Prova

Se fosse possıvel ter v1 + . . .+ vn = 0 sem que todos fossem nulos, seriauma contradicao com o Teorema anterior.

() Autovalores e Autovetores 12 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Corolario

Seja T : V → V um operador linear. Se B1,B2, . . . ,Bn sao bases dosautoespacos associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λn de T , entao,B = B1 ∪ . . . ∪ Bn e um conjunto LI.

Prova

Faremos a demonstracao para dois autovalores distintos λ1 e λ2 combases de seus respectivos autoespacos B1 = {v1, v2} e B2 = {w}.

Tomemos a1v1 + a2v2 + bw = 0.

Como cada Sλie um subespaco, a1v1 + a2v2 ∈ Sλ1 e bw ∈ Sλ2 .

Pelo Corolario anterior a1v1 + a2v2 = 0 e bw = 0.

Como cada Bi e LI segue, a1 = a2 = 0 e b = 0.

() Autovalores e Autovetores 13 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Corolario

Seja T : V → V um operador linear. Se B1,B2, . . . ,Bn sao bases dosautoespacos associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λn de T , entao,B = B1 ∪ . . . ∪ Bn e um conjunto LI.

Prova

Faremos a demonstracao para dois autovalores distintos λ1 e λ2 combases de seus respectivos autoespacos B1 = {v1, v2} e B2 = {w}.Tomemos a1v1 + a2v2 + bw = 0.

Como cada Sλie um subespaco, a1v1 + a2v2 ∈ Sλ1 e bw ∈ Sλ2 .

Pelo Corolario anterior a1v1 + a2v2 = 0 e bw = 0.

Como cada Bi e LI segue, a1 = a2 = 0 e b = 0.

() Autovalores e Autovetores 13 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Corolario

Seja T : V → V um operador linear. Se B1,B2, . . . ,Bn sao bases dosautoespacos associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λn de T , entao,B = B1 ∪ . . . ∪ Bn e um conjunto LI.

Prova

Faremos a demonstracao para dois autovalores distintos λ1 e λ2 combases de seus respectivos autoespacos B1 = {v1, v2} e B2 = {w}.Tomemos a1v1 + a2v2 + bw = 0.

Como cada Sλie um subespaco, a1v1 + a2v2 ∈ Sλ1 e bw ∈ Sλ2 .

Pelo Corolario anterior a1v1 + a2v2 = 0 e bw = 0.

Como cada Bi e LI segue, a1 = a2 = 0 e b = 0.

() Autovalores e Autovetores 13 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Corolario

Seja T : V → V um operador linear. Se B1,B2, . . . ,Bn sao bases dosautoespacos associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λn de T , entao,B = B1 ∪ . . . ∪ Bn e um conjunto LI.

Prova

Faremos a demonstracao para dois autovalores distintos λ1 e λ2 combases de seus respectivos autoespacos B1 = {v1, v2} e B2 = {w}.Tomemos a1v1 + a2v2 + bw = 0.

Como cada Sλie um subespaco, a1v1 + a2v2 ∈ Sλ1 e bw ∈ Sλ2 .

Pelo Corolario anterior a1v1 + a2v2 = 0 e bw = 0.

Como cada Bi e LI segue, a1 = a2 = 0 e b = 0.

() Autovalores e Autovetores 13 / 15

6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Corolario

Seja T : V → V um operador linear. Se B1,B2, . . . ,Bn sao bases dosautoespacos associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λn de T , entao,B = B1 ∪ . . . ∪ Bn e um conjunto LI.

Prova

Faremos a demonstracao para dois autovalores distintos λ1 e λ2 combases de seus respectivos autoespacos B1 = {v1, v2} e B2 = {w}.Tomemos a1v1 + a2v2 + bw = 0.

Como cada Sλie um subespaco, a1v1 + a2v2 ∈ Sλ1 e bw ∈ Sλ2 .

Pelo Corolario anterior a1v1 + a2v2 = 0 e bw = 0.

Como cada Bi e LI segue, a1 = a2 = 0 e b = 0.

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6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Teorema

Seja T : V → V um operador linear, com dim V = n. Se B1,B2, . . . ,Bnsao bases dos autoespacos associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λnde T , e B = B1 ∪ . . . ∪ Bn possui n vetores, entao B e uma base de V .

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6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Definicao

Se T : V → V possui uma base formada por autovetores de T , dizemosque T e um operador diagonalizavel.

Definicao

Sejam T : Rn → Rn um operador diagonalizavel e B uma base de Rn

formada por autovetores de T . Entao,(i) D = [T ]B e uma matriz diagonal.

(ii) A matriz P = [I ]BC de mudanca de base de B para a base canonica,satisfaz D = P−1[T ]P. Dizemos que a matrix P diagonaliza [T ].

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6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Definicao

Se T : V → V possui uma base formada por autovetores de T , dizemosque T e um operador diagonalizavel.

Definicao

Sejam T : Rn → Rn um operador diagonalizavel e B uma base de Rn

formada por autovetores de T . Entao,(i) D = [T ]B e uma matriz diagonal.

(ii) A matriz P = [I ]BC de mudanca de base de B para a base canonica,satisfaz D = P−1[T ]P. Dizemos que a matrix P diagonaliza [T ].

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6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Exemplo 1

Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (−5x + 2y , 2x − 2y).a) Determine os autovalores e os autoespacos de T .b) Determine se T e diagonalizavel. Em caso, afirmativo, determine umabase de R2 formada por autovetores de T e determine a matriz de T comrelacao a esta base.c) Se T for diagonalizavel determine a matriz diagonalizadora P de T .

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6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Exemplo 2

Seja T : R3 → R3 dada porT (x , y) = (−2x + 2y − 3z , 2x + y − 6z ,−x − 2y).a) Determine os autovalores e os autoespacos de T .b) Determine se T e diagonalizavel. Em caso, afirmativo, determine umabase de R3 formada por autovetores de T e determine a matriz de T comrelacao a esta base.c) Se T for diagonalizavel determine a matriz diagonalizadora P de T .

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6.4 — Diagonalizacao de Operadores

Exemplo 3

Seja T : R3 → R3 dada por T (x , y) = (4x + 2y ,−x + y , y + 2z).a) Determine os autovalores e os autoespacos de T .b) Determine se T e diagonalizavel. Em caso, afirmativo, determine umabase de R3 formada por autovetores de T e determine a matriz de T comrelacao a esta base.c) Se T for diagonalizavel determine a matriz diagonalizadora P de T .

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