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Un lanzamiento de proyectiles es un movimiento en dos dimensiones (en un plano). Deduccion de la metrica del lanzamiento de proyectiles. Velocidad Y variable Punto B

�

�

V Y = 0 m/s V = V X

�

Vo

�

P Ymáx �

α P X velocidad constant constante

De al figura se tiene:

�

Vo �

V0Y α

�

V0X

�

�

�

V0 = V0X + V0Y

� ̂ ^

V0 = V0X i + V0Y j

Pero V0X = V0 cos α

V0Y = V0 sen α

�

^ ^ V0 = V0 cos α i + V0 sen α j

Punto A

2

Para la velocidad en un punto determinado:

����

V �

VY

�

VX

�

| V0| = (V X)2 + (V Y)2

VX = V0 cos α

VY = V0 sen α - gt

Para calcular la altura en función del tiempo:

Y = V0 sen αt - 1 gt2 2

Para el punto A Y = 0 m

0 = V0 sen αt - 1 gt2

2

V0 sen α t 1 gt21 gt2 2

tVuelo 2V0 sen α

g

En el punto B se tiene que: tY máx 2V0 sen α

g

Cálculo del alcance horizontal máximo:

X = V0 cosα tVuelo

X máx = V0 cosα 2V0 sen α g

X máx 2V 20 cos α sen α

g

=

=

=

=

3

Ecuación de la trayectoria.

t X V0 cos α

Y = V0 sen α t - 1 gt2 2

Reemplazando el tiempo en la expresión anterior, se tiene:

Y = V0 sen α X 1 g X 2 V0 cos α 2 V0 cos α

Y = X tgα gX 2 2V0

2 cos2 α

=

( )

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EJERCICIOS DE APLICACIO DEL LANZAMIENTO DE PROYECTI LES 1.- Un proyectil es disparado con una velocidad de magnitud 600 m/s formando un ángulo

de 60º con la horizontal. Calcular: a) El alcance horizontal (R 30960 m) b) La altura máxima (R 13312.8 m) c) La velocidad y la altura después de 30 s. (R 369.67 m/s, 11178.45 m) d) La velocidad y el tiempo cuando el proyectil se encuentra a 10 Km de altura. (R

395.03 m/s, 77.3 s, 25.9 s). 2.- Un proyectil es disparado formando un ángulo de 35º, llega a una distancia horizontal de

4 Km. Calcular:

a) Velocidad inicial (R 208.13 m/s) b) Tiempo de vuelo (R 23.7 s) c) Máxima altura. (R 703.7 m) d) La velocidad en la máxima altura. (R 168.58 m/s)

3.- Se dispara un proyectil con una elevación de 60º y una velocidad de 400 m/s.

a) ¿Llegará a 5 Km de altura? (R 5916.6 m, sí) b) ¿Varía el alcance si se dispara con una inclinación de 30º? (R no) c) ¿Qué velocidad lleva a 500 m de altura? (R 385.19 m/s)

4.- Con una elevación de 60º y una velocidad de 250 m/s se dispara un proyectil.

a) ¿Qué altura lleva el proyectil a 1 Km del lugar del disparo? (R 1400 m) b) ¿Cuántos segundos demora en llegar a esta posición? (R 8 s) c) ¿Cuál es su altura máxima? (R 2311.25 m)

5.- Un cañón dispara sobre el mar un proyectil, horizontalmente, con una velocidad inicial de 400 m/s, desde un punto a una altura de 100 m sobre el nivel del mar. Calcular. a) El tiempo que tardará el proyectil en llegar al mar. (R 4.47 s) b) El alcance horizontal del proyectil. (R 1788 m) c) La magnitud de la velocidad del proyectil al llegar al agua. (R 402.48 m) d) El ángulo que forma el proyectil con la horizontal al llegar al agua. (R 6.37)

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6.- Una pelota rueda por una mesa horizontal y sale disparada por el borde a una altura de

1.22 m sobre el piso. Si llega al piso a una distancia de 1.52 m del borde de la mesa medidos horizontalmente. ¿Cuál era su velocidad en el momento en que salió disparada horizontalmente? (R 3.10 m/s)

7.- Una pelota rueda por el relleno de una escalera con una velocidad horizontal de 1.52m/s.

Los escalones son de 0.2 m de alto y 0.2 m de ancho. ¿En cuál escalón pegará la pelota por primera vez? (R 3 escalón)

8.- Un avión bombardero en picada forma un ángulo de 53º con la vertical, deja caer una bomba a una altura de 730 m. La bomba choca con la tierra 5 s después.

a) ¿Cuál era la rapidez del bombardero? (R 201.66 m/s) b) ¿Cuál fue la distancia horizontal recorrida por la bomba durante el vuelo? (R

796.55 m) c) ¿Cuáles eran las magnitudes de las componentes horizontales y verticales de su

velocidad justo antes de chocar con la tierra? (R 159.31 m/s, 170.96m/s) 9.- Se dispara un proyectil con un ángulo de 37º por encima de la horizontal: El disparo se

hace desde un punto ubicado a 192 m del borde de un precipicio, el cual tiene una profundidad de 160 m, el proyectil pasa justamente dicho borde.

a) Calcular la V0 con que fue lanzado el proyectil. (R 45 m/s) b) Hallar la distancia que separa el impacto del pie del precipicio. (R 126.55 m)

10.- Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 50º y una velocidad

inicial de 400 m/s sobre un terreno horizontal. Sabiendo que a una distancia de 1000 m existe una pared vertical. Calcular la altura del punto de la pared sobre el cual incide el proyectil. (R 1109.55 m)

11.- Un avión que vuela horizontalmente a una altura de 1200 m sobre el suelo con una

velocidad de 200 Km/h, deja caer una bomba sobre un blanco situado en tierra. Determinar el ángulo agudo formado por la vertical y la línea que una el avión con el blanco en el instante en que abandona la bomba. (R 35.37)

12.- Un avión vuela a 900 Km/h horizontalmente a 4 ½ Km de altura. ¿A qué distancia horizontal del objetivo debe lanzar la bomba para que pegue en el blanco?. ¿Bajo que ángulo?. (R 7500 m, 30.9)

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13.- Una pelota de fútbol americano es pateada con una velocidad inicial de 19.6 m/s con

un ángulo de proyección de 45º. Un jugador en línea de meta, colocado a 54.7 m de distancia en al dirección por donde llega la pelota, corre en ese mismo instante hacia la pelota. ¿Cuál debe ser su velocidad para que pueda alcanzar la pelota antes de que ésta caiga al suelo? (R 6.24 m/s)

14.- Demostrar que la máxima altura que alcanza un proyectil es YMàx (Vo senα)2

2g 15.- Demostrar que el alcance horizontal de un proyectil que tiene una velocidad Vo y que

se dispara con un ángulo α con respecto a la horizontal es X Vo2 sen 2α

g (nota sen 2α = 2 sen α cosα)

16.- Encontrar el ángulo de disparo para el cual el alcance horizontal es igual a la máxima

altura de un proyectil. (R 75.9) 17.- Un cuerpo con rapidez inicial de 40m/s se dispara hacia arriba desde el nivel del piso,

con un ángulo de 50º con la horizontal .Calcule: 17.1.- El tiempo que transcurre antes de que el cuerpo choque contra el piso. 17.2.- La distancia desde el punto de partida donde el cuerpo golpeara el piso. 17.3.- El ángulo medido respecto de la horizontal con que el cuerpo choca contra el piso. 6.3s , 161 m , 50º

=

=