Univerzitet u Beogradu-Elektrotehnicki fakultetJanuarski ispitni rok iz Fizike 1, 14.1.2015. godinePredmetni nastavnici: Jovan Cvetic (P1), Predrag Marinkovic (P2) i Milan Tadic (P3)Trajanje ispita je 3 h

v0

α

0

y

x

h

A

B

M

D max

0

Slika 1: Uz zadatak 1.

1. (a) [50] Izvesti izraze za projekcije vektora brzine nakoordinatne ose polarnog koordinatnog sistema.

(b) [30] Pod kojim uglom αmax (prema horizontu)treba baciti kamen sa strme obale (litice) sa visine h0 =20 m prema morskoj povrsini pa da on padne najdaljemoguce od obale. Pocetna brzina kamena je v0 = 14 m/s,a ubrzanje Zemljine teze je g = 9, 81 m/s2. Koliki je tadamaksimalni domet (Dmax)?

(c) [20] Pod uslovom iz (b), odrediti minimalnipoluprecnik krivine trajektorije.

2. [100] Drveni blok je pokrenut iz podnozja uz strmuravan nekom pocetnom brzinom. Blok se zaustavi poslevremena t1 i potom klizi nanize i dopre do podnozja strme ravni za vreme t2. Ako je kolicnikvremena penjanja i spustanja t1/t2 = µ = 1/3, gde je µ koeficijent trenja izmed-u bloka i strmeravni, izracunati nagibni ugao strme ravni prema horizontali (u oznaci θ).

—————————————————————————————————

3. (a) [40] Formulisati i dokazati teoremu o promeni kolicine kretanja sistema materijalnih tacaka.

Cestica mase m1 (projektil) elasticno se sudara sa cesticom mase m2 (meta) koja miruje presudara. Ugao rasejanja projektila je θ = 90◦, a pri sudaru projektil izgubi 40% svoje kinetickeenergije.(b) [40] Odrediti odnos mase mete i mase projektila m2/m1.(c) [20] Odrediti ugao uzmaka mete ψ.

a

Ψ

z

y

x

O

m

Slika 2: Uz zadatak 4.

4. [100] Sistem kao na slici sastoji seod krute osovine bez mase za koju jezavarena u tacki O kruta sipka duzinea, takod-e bez mase, pod uglom ψ premaosovini. Na drugom kraju sipke je kuglamase m, koja se moze smatrati materi-jalnom tackom. Ako sistem rotira kon-stantnom ugaonom brzinom ω, odreditimoment kolicine kretanja ~LO u odnosuna tacku O nepokretnog Dekartovog ko-ordinatnog sistema Oxyz. Koliki je in-tenzitet toga vektora? Sistem rotirasuprotno kretanju kazaljke na casovniku, a u t = 0 kugla se nalazi u ravni Oxz.

Nastavak teksta je na drugoj strani papira!

Slika 3: Uz zadatak 5.

5. [100] Tanki homogeni stap, mase 2mi duzine 2l, savijen je na sredini takoda kraci med-usobno zaklapaju ugao od60◦. Stap moze da rotira bez trenja okonepokretne horizontalne osovine koja jenormalna na stap (videti sliku). Za kra-jeve stapa zakacene su dve horizonta-lno postavljene opruge krutosti k zane-marljive mase. Drugi krajevi opruga suzakaceni za nepokretne zidove i oprugesu nenapregnute u polozaju stabilne ravnoteze prikazanog sistema.Odrediti period malih oscilacija ovog sistema u Zemljinom gravitacionom polju. Poznato jeubrzanje Zemljine teze g.

6. (a) [50] Izvesti jednacinu prostiranja longitudinalnih talasa po zici (ukljucujuci izraz za brzinuprostiranja tih talasa). Poznati su gustina materijala ρ i Youngov moduo Ey za zicu.

(b) [50] Homogena zica duzine L i ukupne mase m svojim gornjim krajem je ucvrscena zaplafon, tako da slobodno visi u homogenom gravitacionom polju Zemlje ubrzanja g. U trenutkuvremena t = 0 na mestu gde je zica vezana za plafon izazove se transverzalni talasni poremecaj(impuls). U kom trenutku vremena t ce se talasni poremecaj nalaziti na rastojanju x od donjegkraja zice?

Napomene

1) Na vrhu naslovne strane vezbanke napisati oznaku grupe i ime predmetnog nastavnika kod kogaste zvanicno odred-eni da slusate predavanja: J. Cvetic (P1), P. Marinkovic (P2) i M. Tadic(P3).

2) Studenti koji su zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu u tekucoj skolskojgodini rade ZADATKE 3-6 za vreme 3h. Na naslovnoj strani vezbanke, u poljurednih brojeva 1 i 2, treba da upisu oznaku K1 da bi poeni ostvareni na kolokvi-jumu bili priznati.

3) Studenti koji nisu zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu ili nisu radilikolokvijum u tekucoj skolskoj godini rade SVE ZADATKE (1-6) za vreme 3h.

4) Zadatak koji nije rad-en ili cije resenje ne treba bodovati jasno oznaciti na koricama sveske (uodgovarajucoj rubrici) oznakom X.

5) Na koricama vezbanke (u gornjem desnom uglu) treba napisati broj poena saprijemnog ispita iz fizike (ako je rad-en 2014.godine), u formi PR-ISP = ... poena.Ako nije rad-en, PR-ISP = NE.

6) Dozvoljena je upotreba neprogramabilnih kalkulatora i grafitne olovke.

7) List sa tekstom zadataka poneti sa sobom, ne ostavljati list u vezbanci.

Resenja

1. (a) Videti skripta i predavanja;(b) Iz parametarskih jednacina kretanja

x(t) = (v0 cos α)t , (1)

y(t) = h0 + (v0 sin α)t− gt2/2 , (2)

na osnovu uslova y(τ) = 0, gde je τ vreme leta, sledi

τ =v0 sin α

g+

√v2

0 sin2 α + 2gh0

g. (3)

Zamenom 3 u 1, dolazi se do izraza za domet kosog hitca u obliku

D =v2

0 sin 2α

2g

(1 +

√1 +

2gh0

v20 sin2 α

)

=v2

0

gcos α

[sin α +

√sin2 α +

2gh0

v20

].

(4)

Optimalna vrednost elevacionog ugla, kada ce domet biti maksimalan, nalazi se iz uslova∂D/∂α = 0, odnosno

∂D

∂α=−v2

0

gsin α

[sin α+

√sin2 α +

2gh0

v20

]

+v2

0

gcos α

[cos α+

sin α cos α√sin2 α+

2gh0

v20

]=0.

(5)

Moze se pokazati da je resenje prethodne jednacine (uslov maksimuma)

tan αmax =v0√

v20 + 2gh0

. (6)

Odatle je αmax = 29, 9916◦ ' 30◦. Maksimalni domet je Dmax ' 34, 6175 m.(c) Minimalni poluprecnik krivine trajektorije je u njenom maksimumu (tacka M) i iznosi

Rmin,M =v2

o cos2 αmax

g' 14, 9873 m . (7)

2. Ubrzanje tela pri kretanju uz strmu ravan je

|a1| = g(sin θ + µ cos θ) .

Ubrzanje tela pri kretanju niz strmu ravan je

|a2| = g(sin θ − µ cos θ .)

Blok pri kretanju uz strmu ravan stane nakon sto pred-e put

s = v1t1 − |a1|t21/2,

gde je v1 pocetna brzina tela. Kako je v1 = |a1|t1, sledi s = (1/2)|a1|t21.Pred-eni put pri kretanju niz strmu ravan za vreme t2 je

s = (1/2)|a2|t22 .

Sledi(1/2)|a1|t21 = (1/2)|a2|t22 ,

pa jet21t22

= µ2 =tan θ − µ

tan θ + µ.

Odatle je

tan θ = µ1 + µ2

1− µ2=

5

12.

3. (a) Videti predavanja i skripta.(b) Intenzitet brzine projektila posle sudara je dat izrazom:

v′1 =cos θ ±

√ξ2 − sin2 θ

1 + ξv1, (8)

gde je ξ = m2/m1. Za uslove u tekstu zadatka je:

v′1 =

√ξ2 − 1

1 + ξv1. (9)

Relativni gubitak kineticke energije projektila je:

∆Ek

Ek

= 1− v′21v2

1

=2

ξ + 1=

2

5. (10)

Odavde sledi:m2

m1

= 4. (11)

(c) Na osnovu trougla koji formiraju vektori kolicina kretanja ucesnika sudara sledi:

tgψ =v′1v1

=

√3

5. (12)

Odavde sledi:ψ = 0, 66 rad = 37, 8◦. (13)

4. Koordinate kugle sux = a sin ψ cos ωt , (14)

y = a sin ψ sin ωt , (15)

z = a cos ψ . (16)

Projekcije brzine suvx = x = −aω sin ψ sin ωt , (17)

vy = y = aω sin ψ cos ωt , (18)

vz = z = 0 . (19)

Moment kolicine kretanja je

~LO = ~r ×m~v =

∣∣∣∣∣∣

~ex ~ey ~ez

x y zmx my mz

∣∣∣∣∣∣,

Nije tesko pokazati da vazi

~LO = −(ma2ω sin ψ cos ψ cos ωt)~ex − (ma2ω sin ψ cos ψ sin ωt)~ey + (ma2ω sin2 ψ)~ez .

Intenzitet vektora ~LO jeLO = ma2ω sin ψ .

5. Moment inercije stapa u odnosu na tacku vesanja je:

I =2

3ml2. (20)

Centar mase se nalazi vertikalno na visini yCM =√

3l/4 ispod tacke vesanja. Jednacina kretanja(momentna jednacina) je

2

3ml2θ = −2klθ · l sin

(π

3− θ

)− 2mg

√3

4l sin θ, (21)

gde je θ ugao rotacije stapa. Za malo θ, momentna jednacina postaje:

θ +3√

3

4

(2

k

m+

g

l

)θ = 0. (22)

Period malih oscilacija sistema je:

T = 4π/

√3√

3

(2

k

m+

g

l

). (23)

6. (a) Videti skripta;(b) Videti zadatak 423 u Zbirci.