HIDRAULIKA 2 ve�be

8. zadatak Dinamiqki talas

Na uzvodnom kraju kanala pravougaonog popreqnog preseka, xirine B = 6 m,du�ine L = 1800 m, nagiba dna kanala ID = 0.0005, nalazi se hidroelektrana.Na nizvodnom kraju je jezero sa konstantnim nivoom ZD + 1.5hkr0. Poqetni proti-caj u kanalu iznosi 1.2α + 0.8βm3/s. Usled promene re�ima rada hidroelektranemenja se proticaj na uzvodnom kraju kanala po slede�em re�imu:

Q [m3/s]

t0

2.2α+ 1.8β

1.2α+ 0.8β

2∆t5∆t2∆t

t

Izraqunati promene dubina i proticaja koje nastaju kao posledica poreme�ajana uzvodnom kraju kanala. Proraqun izvrxiti pomo�u matematiqkog modela di-namiqkog talasa, baziranog na slede�im jednaqinama:

∂h

∂t+

1

B

∂Q

∂x= 0

∂Q

∂t+ 2

Q

A

∂Q

∂x− Q2

A2

∂A

∂x+ gA

(∂h

∂x− ID

)+ gn2 Q|Q|

AR4/3= 0

Numeriqki model formirati diskretizacijom jednaqina na smaknutoj mre�i, saeksplicitnim raqunanjem promene dubine u jednaqini kontinuiteta. (n = 0.015m−1/3s)

3

1

n + 1

Q hQ

2

1

3

k + 2k − 1k − 2 k + 1

n− 1

2

k

n

n +1

2

h

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

Teorijske osnove

Za proračun linijskog, neustaljenog tečenja u otvorenim tokovima koriste se Sen-Venanove jednačine koje

predstavljaju sistem sastavljen od jednačine kontinuiteta – zakona održanja mase (jednačina 1) i dinamičke

jednačine – zakon održanja količine kretanja (jednačina 2). Sen-Venanove jednačine mogu se zapisivati u

različitom obliku (pogledati skriptu Otvoreni tokovi prof. Ivetića) ali najčešće se koristi sledeći oblik:

𝜕ℎ

𝜕𝑡+

1

𝐵

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 0

(1)

𝜕𝑄

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥(𝑄2

𝐴) + 𝑔 · 𝐴 · (

𝜕ℎ

𝜕𝑥− 𝐼𝐷) + 𝑔 · 𝑛2 ·

𝑄|𝑄|

𝐴𝑅4

3⁄= 0

(2)

gde je:

h – dubina vode

B – širina vodenog ogledala

Q – protok

t – vreme

x – prostorna kooordinata

A – površina poprečnog preseka

ID – podužni nagib dna kanala (u decimalnom obliku)

g – gravitaciono ubrzanje

n – Maningova hrapavost

R – hidraulički radijus

Članovi u dinamičkoj jednačini (2) pokazuju sledeće:

𝜕𝑄

𝜕𝑡

- uticaj lokalnog ubrzanje (ubrzanje po vremenu), deo promene količine kretanja

(pokazatelj inercije)

𝜕

𝜕𝑥(𝑄2

𝐴)

- uticaj konvektivno ubrzanje (ubrzanje po prostoru), deo promene količine kretanja

(pokazatelj inercije)

𝑔 · 𝐴 · (𝜕ℎ

𝜕𝑥− 𝐼𝐷) - član koji pokazuje uticaj sila pritiska 𝑔𝐴

𝜕ℎ

𝜕𝑥 , i komponente sile težine u pravcu

toka 𝑔𝐴𝐼𝐷

𝑔 · 𝑛2 ·𝑄|𝑄|

𝐴𝑅4

3⁄ - uticaj sile trenja

Zavisno od konkretnog problema, pojedini članovi u jednačini (2) mogu se zanemareni. Tako dolazimo do

različitih matematičkih modela tečenja (Slika 1), od matematičkog modela kinematičkog talasa, preko

matematičkog modela difuzionog talasa, pa do matematičkog modela dinamičkog talasa koji podrazumeva

rešavanje kompletnih Sen-Venanovih jednačina.

Slika 1. Dinamička jednačina: Različiti matematički modeli neustaljenog tečenja

8. zadatak Dinamički talas

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

Kroz izradu Vežbe #7 moglo se videti da kinematički talas, kao najjednostavniji model tečenja u otvorenim

tokovima, ima značajna ograničenja. Može se koristiti kod kanala sa relativno velikim padom kod kojih su

promene dubine i brzine male, u uslovima bez uspora. Primena numeričkih modela za rešavanje jednačina

kinematičkog talasa dovodi do svojevrsnog paradoksa: što je numeričko rešenje bliže tačnom rešenju polaznih

jednačina, to je manje realistično za većinu realnih uslova tečenja.

Uključivanjem člana koji se odnosi na silu pritiska u dinamičkoj jednačini (član koji sadrži 𝜕ℎ𝜕𝑥⁄ ), moguće je

donekle uključiti uticaj uspora (koga nameće nizvodni granični uslov). Takodje, ovaj član doprinosi „difuziji“

talasa, pa se govori o matematičkom modelu difuzionog talasa. Izostavljanjem prva dva člana u dinamičkoj

jednačini (2) i deljenjem sa gA, dobija se (poglavlje 3.5 skripti):

𝜕ℎ

𝜕𝑥− 𝐼𝑑 +

𝐶𝜏

2𝑔

𝑄2

𝐴2𝑅= 0 (3)

Odnosno,

𝑄 =1

𝑛𝐴𝑅

23⁄ √(𝐼𝑑 −

𝜕ℎ

𝜕𝑥) (4)

gde je iskorišćena relacija između Šezijevog i Maningovog koeficijenta hrapavosti:

√2𝑔

𝐶𝜏=

1

𝑛𝑅

16⁄

Slično kao kod kinematičkog talasa, na osnovu jednačine (4) moguće je izraziti član koji figuriše u jednačini

kontinuiteta:

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 𝑄 (

1

𝐴

𝑑𝐴

𝑑ℎ+

2

3𝑅

𝑑𝑅

𝑑ℎ)

𝜕ℎ

𝜕𝑥−

𝑄

2(𝐼𝑑−𝜕ℎ

𝜕𝑥)

𝜕2ℎ

𝜕𝑥2 (5)

što nakon zamene u jednačinu kontinuiteta (2) daje jednačinu difuzionong talasa u obliku:

𝜕ℎ

𝜕𝑡+ 𝑐

𝜕ℎ

𝜕𝑥− 𝐷

𝜕2ℎ

𝜕𝑥2 = 0 (6)

gde je c brzina propagacije talasa:

𝑐 =𝑄

𝐵(

1

𝐴

𝑑𝐴

𝑑ℎ+

2

3𝑅

𝑑𝑅

𝑑ℎ) (7)

a D koeficijent difuzije:

𝐷 =𝑄

2𝐵(𝐼𝑑−𝜕ℎ

𝜕𝑥) (8)

U fizičkom smislu jednačina matematičkog modela difuzionog talasa predstavlja linijsku jednačinu transporta

veličine „h“ advekcijom i difuzijom. U odnosu na kinematički talas, koji predstavlja transport „čistom“

advekcijom, ovde imamo novi član, odgovoran za difuziju, a koji se ogleda u prigušenju vrha talasa i njegovoj

disperziji duž toka. Ipak, difuzioni talas takođe ima ograničenja. To su prvenstveno uslovi kada se inercijalne sile

ne mogu zanemariti, kao što je slučaj kod relativno brzih promena dubine i brzine, kao i u slučajevima kada može

da dođe do promene pravca tečenja (npr. u sistemima kišne kanalizacije). U tim uslovima potrebno je rešavati

kompletnu dinamičku jednačinu (matematički model dinamičkog talasa), što je predmet Vežbe #8.

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

Matematički model Dinamičkog talasa

Postoje različite numeričke metode za rešavanje jednačina dinamičkog talasa, koje se generalno mogu podeliti na

eksplicitne i implicitne. Ukratko će se objasniti osnovne karakteristike jednih i drugih. Osnovna karakteristika

eksplicitnih metoda je njihova uslovna stabilnost. Uslov stabilnosti se u većini slučajeva svodi na uslov da

Kurantov broj bude manji ili jednak jedinici duž čitave numeričke mreže. Ovde je problem što brzina propagacije

(koja figuriše u izrazu za Kurantov broj) nije unapred poznata, pa je neophodno unapred “obezbediti” dovoljno

malu vrednost vremenskog priraštaja t. Međutim, kao što smo videli kod kinematičkog talasa, udaljenje

Kurantovog broja od jedinice nosi sa sobom veštačku, odnosno, numeričku “difuziju” koja može znatno da utiče

na tačnost rešenja. Sa druge strane, primena eksplicitnih šema je “pravolinijska”, kako kod mirnog, tako i u slučaju

burnog toka i/ili mešovitog režima tečenja, bez posebnih teškoća u smislu smera proračuna i/ili režima tečenja.

Implicitne metode su bezuslovno stabilne, time i znatno robusnije, iako tačnost rezultata može da zahteva da

Kurantov broj bude približno jedan. Treba primetiti da eksplicitne metode predstavljaju rešavanje početnog

(Košijevog) problema, dok implicitne metode predstavljau rešavanje početnog i graničnog problema. Zbog toga,

implicitne metode zahtevaju posebne algoritme za miran i buran režim, koji takođe zavisi i od smera toka. Poseban,

ali ne i nerešiv, izazov predstavljaju prelazni režimi (iz burnog u mirno i obrnuto).

Za potrebe ove vežbe koristiće se eksplicitni pristup, metoda razdvajanja operatora. Da bi se koristila ova

metoda, u dinamičkoj jednačini (2) potrebno je malo modifikovati član koji pokazuje uticaj konvektivnog

ubrzanja. Budući da se i Q i A menjaju sa x, treba izvršiti diferenciranje složene funkcije:

𝜕

𝜕𝑥(𝑄2

𝐴) =

1

𝐴

𝜕(𝑄2)

𝜕𝑥+ 𝑄2

𝜕

𝜕𝑥(1

𝐴) = 2 ·

𝑄

𝐴

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝑄2

𝐴2

𝜕𝐴

𝜕𝑥

Nakon toga dobija se novi oblik dinamičke jednačine:

𝜕𝑄

𝜕𝑡+ 2

𝑄

𝐴

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝑄2

𝐴2

𝜕𝐴

𝜕𝑥+ 𝑔 · 𝐴 · (

𝜕ℎ

𝜕𝑥− 𝐼𝐷) + 𝑔 · 𝑛2 ·

𝑄|𝑄|

𝐴𝑅4

3⁄= 0

Ovako razvijenu dinamičku jednačinu moguće je razdvojiti na deo koji utiče na ublaženje talasa i na deo koji utiče

na translaciju talasa (Slika 2). Ideja metode razdvajanja operatora je da se vremenski korak u proračunu ∆t podeli

na dva dela, pri čemu se u prvoj polovini vremenskog koraka radi samo ublaženje talasa (jednačina 2) a u drugoj

polovini vremenskog koraka se radi translacija talasa (jednačina 3). Na osnovu svega navedenog formira se

matematički model dinamičkog talasa po metodi razdvajanja operatora (jednačina kontinuiteta (1) je ostala

ista):

𝜕ℎ

𝜕𝑡+

1

𝐵

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 0 (1)

𝜕𝑄

𝜕𝑡−

𝑄2

𝐴2

𝜕𝐴

𝜕𝑥+ 𝑔 · 𝐴 · (

𝜕ℎ

𝜕𝑥− 𝐼𝐷) + 𝑔 · 𝑛2 ·

𝑄|𝑄|

𝐴𝑅4

3⁄= 0 (2)

𝜕𝑄

𝜕𝑡+ 2

𝑄

𝐴

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 0

(3)

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

Slika 2. Ublaženje i translacija talasa

Numerički model

Za rešavanje jednačina matematičkog modela potrebno je formirati odgovarajući numerički model. U ovom

slučaju, za formiranje numeričkog modela dinamičkog talasa će se koristiti smaknuta numerička shema (slika 3).

Smaknuta numerička shema znači da se dubina h i protok Q ne računaju u istim presecima, već naizmenično.

Numerička shema je smaknuta i po vremenu, što znači da se h i Q ne računaju u istim vremenskim trenucima. h

se računa na polovini vremenskog koraka, a konačan protok (onaj koji u sebi sadrži i mehanizam ublaženja i

translacije) Q se računa na kraju vremenskog koraka.

Slika 3. Smaknuta numerička shema za model dinamičkog talasa

Translacija talasa Ublaženje talasa

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

Slika 4. Raspored preseka duž kanala

Potrebno je obratiti pažnju da diskretizacija po vremenu ne ide na ceo vremenski korak ∆t, već na polovinu

vremenskog koraka ∆t/2 jer je to suština cele metode razdvajanja operatora. Oznaka 1 na prethodnoj slici znači da

se taj deo numeričke sheme koristi za diskretizaciju jednačine (1), tj. jednačine kontinuiteta. Oznaka 2 znači da se

po tom delu numeričke sheme diskretizuje deo dinamičke jednačine koji se odnosi na ublaženje talasa (jednačina

2), dok oznaka 3 znači da se po tom delu numeričke sheme diskretizuje deo dinamičke jednačine koji se odnosi

na translaciju talasa (jednačina 3). Takođe, na Slici 3. potrebno je uočiti da su crnim tačkama na pojedinim

delovima numeričke sheme označeni preseci (po vremenu i prostoru) u kojima se računaju protoci Q i dubine h.

Npr. u delu numeričke sheme označenim sa 1, protoci su poznati iz vremenskog trenutka n, ali iz različitih preseka

k-2 i k, odnosno k i k+2 (što u stvari prikazuje promenu po prostoru, tj. izvod neke veličine po x). Dubine h se

uzimaju iz istog preseka k-1 ili k+1, ali iz različitih vremenskih trenutaka (n-1/2 i n+1/2). Po istom principu se

koriste i delovi sheme 2 i 3.

U nastavku će biti objašnjen postupak diskretizacije jednačina matematičkog modela (formiranje numeričkog

modela).

Prvo se na prvoj polovini vremenskog koraka diskretizuje jednačina kontinuiteta (1), koristeći deo sheme označen

sa 1. Prvi član koji je potrebno diskretizovati je promena dubine po vremenu. Ovaj član se diskretizuje na sledeći

način:

𝜕ℎ

𝜕𝑡≈

ℎ𝑘−1

𝑛+12⁄ − ℎ𝑘−1

𝑛−12⁄

2 ·𝛥𝑡2

=ℎ𝑘−1

𝑛+12⁄ − ℎ𝑘−1

𝑛−12⁄

𝛥𝑡

Drugi član u jednačini kontinuiteta se diskretizuje po prostoru, pa će prema shemi 1 na slici 3, protoci imati isti

vremenski trenutak, ali iz različitih poprečnih preseka:

1

𝐵

𝜕𝑄

𝜕𝑥≈

1

𝐵

𝑄𝑘𝑛 − 𝑄𝑘−2

𝑛

2 · 𝛥𝑥

Ovde je širina B konstantna jer će se raditi na kanalu pravougaonog poprečnog preseka. Ovim su diskretizovani

svi članovi jednačine kontinuiteta. Sada se prelazi na diskretizaciju članova dinamičke jednačine, i to prvo na one

članove koji dovode do ublaženja talasa (hidrograma), tj. oni koji su delu dinamičke jednačine (2). Za njihovu

diskretizaciju se koristi deo numeričke sheme sa Slike 3, koji je označen brojem 2. Prvi član koji se diskretizuje

je član koji pokazuje uticaj lokalnog ubrzanja u jednačini (2):

𝜕𝑄

𝜕𝑡≈

𝑄𝑘

𝑛+12⁄ − 𝑄𝑘

𝑛

𝛥𝑡2⁄

Sledeći član koji je potrebno diskretizovati je deo konvektivnog ubrzanja koji je ostao u jednačini (2):

𝑄2

𝐴2

𝜕𝐴

𝜕𝑥≈

𝑄𝑘𝑛2

𝐴𝑘

𝑛+12⁄

2

𝐴𝑘+1

𝑛+12⁄ − 𝐴𝑘−1

𝑛+12⁄

2𝛥𝑥

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

gde je:

𝐴𝑘

𝑛+12⁄

=

1

2(𝐴𝑘+1

𝑛+12⁄ + 𝐴𝑘−1

𝑛+12⁄ )

Uzima se srednja vrednost površine poprečnog preseka iz dva susedna preseka, jer dubina h, a samim tim i

površina pošrečnog preseka nisu definisani u preseku k, prema numeričkoj shemi koja se koristi.

Kao što se može videti, promenljive koje nisu pod izvodom uzimaju se iz poslednjeg poznatog trenutka (Q ispred

izvoda) ukoliko ta vrednost postoji ili kao srednja vrednost iz susednih preseka (srednja vrednost površina

poprečnih preseka).

Sledeći član iz jednačine (2) koji se diskretizuje je član koji pokazuje uticaj sile pritiska:

𝑔𝐴𝜕ℎ

𝜕𝑥≈ 𝑔 · 𝐴𝑘

𝑛+12⁄

·ℎ𝑘+1

𝑛+12⁄ − ℎ𝑘−1

𝑛+12⁄

2 · 𝛥𝑥

Član koji predstavlja uticaj sile težine u pravcu toka se diskretizuje na sledeći način:

𝑔𝐴𝐼𝐷 ≈ 𝑔 · 𝐴𝑘

𝑛+12⁄

· 𝐼𝐷

Član koji pokazuje uticaj sile trenja u jednačini (2) diskretizuje se na sledeći način:

𝑔𝑛2𝑄|𝑄|

𝐴𝑅4

3⁄≈ 𝑔 · 𝑛2 ·

𝑄𝑘𝑛|𝑄𝑘

𝑛|

𝐴𝑘

𝑛+12⁄

∙ (𝑅𝑘

𝑛+12⁄

)

43⁄

gde je:

𝑅𝑘

𝑛+12⁄

= (

𝑅𝑘+1

𝑛+12⁄ +𝑅

𝑘−1

𝑛+12⁄

2) , srednja vrednost hidrauličkog radijusa za dva susedna preseka u kojima je definisana

dubina. Hidraulički radijus računati sa celim okvašenim obimom.

Sad je potrebno diskretizovati i članove dela dinamičke jednačine (3) koji utiču na translaciju talasa. Prvi član je

promena protoka po vremenu, koji se razlikuje od promene protoka po vremenu u jednačini (2).

𝜕𝑄

𝜕𝑡≈

𝑄𝑘𝑛+1 − 𝑄𝑘

𝑛+12⁄

𝛥𝑡2⁄

Drugi element, koji je deo konvektivnog ubrzanja, se diskretizuje na sledeći način:

2𝑄

𝐴

𝜕𝑄

𝜕𝑥≈ 2 ·

𝑄𝑘−1

𝑛+12⁄

𝐴𝑘−1

𝑛+12⁄

·𝑄𝑘

𝑛+12⁄ − 𝑄𝑘−2

𝑛+12⁄

2 · 𝛥𝑥

Gde je:

𝑄𝑘−1

𝑛+12⁄ =

𝑄𝑘

𝑛+12⁄ + 𝑄𝑘−2

𝑛+12⁄

2

Kada su svi članovi diskretizovani, dolazi se do konačnih jednačina numeričkog modela:

ℎ𝑘−1

𝑛+12⁄ = ℎ𝑘−1

𝑛−12⁄ −

𝛥𝑡

𝐵

𝑄𝑘𝑛 − 𝑄𝑘−2

𝑛

2 · 𝛥𝑥 (1n)

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

𝑄𝑘

𝑛+12⁄ = 𝑄𝑘

𝑛 +𝛥𝑡

2

[

𝑄𝑘𝑛2

(𝐴𝑘

𝑛+12⁄ )

2 ·𝐴𝑘+1

𝑛+12⁄ − 𝐴𝑘−1

𝑛+12⁄

2𝛥𝑥− 𝑔 · 𝐴𝑘

𝑛+12⁄ ·

ℎ𝑘+1

𝑛+12⁄ − ℎ𝑘−1

𝑛+12⁄

2 · 𝛥𝑥+ 𝑔 · 𝐴𝑘

𝑛+12⁄ · 𝐼𝐷

− 𝑔 · 𝑛2 ·𝑄𝑘

𝑛|𝑄𝑘𝑛|

𝐴𝑘

𝑛+12⁄ · (𝑅𝑘

𝑛+12⁄ )

43⁄

]

(2n)

𝑄𝑘𝑛+1 = 𝑄𝑘

𝑛+12⁄ − 𝛥𝑡 ·

𝑄𝑘−1

𝑛+12⁄

𝐴𝑘−1

𝑛+12⁄

·𝑄𝑘

𝑛+12⁄ − 𝑄𝑘−2

𝑛+12⁄

2 · 𝛥𝑥 (3n)

Oznaka n uz broj jednačine označava da se radi o jednačini numeričkog modela. Jednačine numeričkog modela

se rešavaju tako da se na prvoj polovini vremenskog koraka prvo rešava jednačina kontinuiteta (1n). Iz nje se

dobija dubina ℎ𝑘−1

𝑛+12⁄ . Nakon toga, isto na prvoj polovini vremenskog koraka, rešava se dinamička jednačina (2n),

odnosno deo dinamičke jednačine kojim se dobija ublažavanje talasa. Odatle se dobija protok 𝑄𝑘

𝑛+12⁄ . kada su

poznate vrednosti dubine i protoka na prvoj polovini vremenskog koraka, pomoću jednačine (3n) dobijaju se

protoci na kraju vremenskog koraka. I na osnovu ovoga vidi se da je numerička shema smaknuta i po vremenu i

prostoru. Protoci se gledaju na kraju svakog vremenskog koraka, a dubine na polovinama vremenskog koraka.

Pored toga, protoci i dubine ne računaju se u istim presecima, već naizmeničnim.

Uslov stabilnosti

Kao i za model kinematičkog talasa i za ovaj model potrebno je ispoštovati uslov numeričke stabilnosti, koji se

ogleda u tome da je vremenski korak ∆t ograničen. I ovde će se koristiti CFL uslov stabilnosti koji je dat sledećom

jednačinom:

𝛥𝑡 ≤𝛥𝑥

|𝑄𝐴 + √𝑔

𝐴𝐵|

𝑚𝑎𝑥

Indeks max u imeniocu označava da je potrebno proceniti maksimalnu brzinu prostiranja poremećaja u imeniocu

jer će ta vrednost dati maksimalnu dozvoljenu vrednost vremenskog koraka. Zbog toga, da bi proračun bio na

strani sigurnosti, najbolje je proceniti najveću, računski moguću, brzinu prostiranja poremećaja u imeniocu (koja

se u realnosti verovatno neće javiti). Ta vrednost se dobija kada se za Q uzme maksimalna vrednost sa ulaznog

hidrograma (koji je zadat kao uzvodni granični uslov) Q=Qmax. Za razliku od protoka, za koji se uzima maksimalna

vrednost, površina poprečnog preseka A se određuje drugačije. Kada se nalazi u imeniocu Q/A onda površinu A

treba sračunati za minimalnu dubinu u kanala, koja se ostvaruje za početni protok. Kada se A računa pod korenom,

onda treba uzeti maksimalnu dubinu (teorijski maksimalnu) vode hmax koja će se javiti za maksimalni protok

(normalna dubina za Qmax). Vremenski korak usvojiti na neku okruglu vrednost (1, 2, 5, 10, 12, 15, 20, 30, 60 s).

Početni uslovi

U najvećem broju slučajeva u realnosti je teško očekivati da će se kao početno stanje pri neustaljenom tečenju

javiti jednoliko tečenje, odnosno svuda normalna dubina. Ovo je posebno retko u slučajevima kada postoji uspor

toka, tj. značajan uticaj nizvodnog graničnog uslova kao što je u primeru koji se obrađuje u ovom zadatku. Početni

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

uslov po protocima (početna vrednost protoka u svim presecima u kojima se računa protok) je lako odrediti. To je

početni protok sa ulaznog hidrograma Q0. Početne vrednosti dubina u presecima u kojima se ona računa određuje

se proračunom linije nivoa. Određivanje tipa linije nivoa i način proračuna sprovodi se prema postupku koji je

detaljno objašnjen na predavanjima i vežbama iz Hidraulike 1. U tom postupku se koriste fiksirane vrednosti

priraštaja dubine ∆h a računaju se promene prostorne koordinate ∆x. Pošto se u oviru vežbe Dinamičkog talasa

traži početna vrednost dubina na fiksiranim presecima, te vrednosti je moguće dobiti interpolacijom iz sračunate

linije nivoa.

Primena jednačina numeričkog modela na konkretan primer

Da bi se započeo proračun potrebno je prvo sagledati šta je zadato kao granični uslovi. Na uzvodnom kraju zadat

je ulazni hidrogram, a na nizvodnom kraju konstantna dubina. Pošto za numerički model dinamičkog talasa

koristimo smaknutu numeričku shemu (Q i h se računaju u naizmeničnim presecima) a sa zadatim graničnim

uslovima potreban nam je paran broj preseka Np. U ovom slučaju usvajamo da imamo Np=6 preseka. Na osnovu

toga i poznate dužine deonice L dobijamo vrednost prostornog koraka ∆x=L/(Np-1). Na osnovu toga deonica se

deli kao na sledećoj slici:

Protoci se računaju u presecima 1, 3 i 5, a dubine u presecima 2, 4 i 6.

Presek 1

U preseku 1 protok je poznat jer je zadat ulaznim hidrogramom.

Presek 2

U preseku 2 se računa dubina h na kraju prve polovine vremenskog koraka n+1/2 (I)

ℎ2

𝑛+12⁄ = ℎ2

𝑛−12⁄ −

𝛥𝑡

𝐵

𝑄3𝑛 − 𝑄1

𝑛

2 · 𝛥𝑥

Presek 3

U preseku 3 se prvo računa protok na kraju prve polovine vremenskog koraka n+1/2 (II)

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

𝑄3

𝑛+12⁄ = 𝑄3

𝑛 +𝛥𝑡

2

[

(𝑄3

𝑛

12(𝐴4

𝑛+12⁄ + 𝐴2

𝑛+12⁄ )

)

2

·𝐴4

𝑛+12⁄ − 𝐴2

𝑛+12⁄

2𝛥𝑥− 𝑔 ·

𝐴4

𝑛+12⁄ + 𝐴2

𝑛+12⁄

2·ℎ4

𝑛+12⁄ − ℎ2

𝑛+12⁄

2 · 𝛥𝑥

+ 𝑔 ·𝐴4

𝑛+12⁄ + 𝐴2

𝑛+12⁄

2· 𝐼𝐷 − 𝑔 · 𝑛2 ·

𝑄3𝑛|𝑄3

𝑛|

(𝐴4

𝑛+12⁄ + 𝐴2

𝑛+12⁄

2)(

𝑅4

𝑛+12⁄ + 𝑅2

𝑛+12⁄

2)

43⁄

]

Pošto ovo nije „prava“ vrednost protoka, već samo ona koja se dobija kao posledica ublažavanja talasa, u preseku

3 se konačna vrednost protoka dobija nakon celog vremenskog koraka, u trenutku n+1, kada se doda i uticaj

translacije (III):

𝑄3𝑛+1 = 𝑄3

𝑛+12⁄ −

𝛥𝑡

2·𝑄3

𝑛+12⁄ + 𝑄1

𝑛+12⁄

𝐴2

𝑛+12⁄

·𝑄3

𝑛+12⁄ − 𝑄1

𝑛+12⁄

2 · 𝛥𝑥

Presek 4

Po istom principu kao i za presek 2 (IV)

ℎ4

𝑛+12⁄ = ℎ4

𝑛−12⁄ −

𝛥𝑡

𝐵

𝑄5𝑛 − 𝑄3

𝑛

2 · 𝛥𝑥

Presek 5

U preseku 5 se prvo računa protok na kraju prve polovine vremenskog koraka n+1/2 (V)

𝑄5

𝑛+12⁄ = 𝑄5

𝑛 +𝛥𝑡

2

[

(𝑄5

𝑛

12(𝐴6

𝑛+12⁄ + 𝐴4

𝑛+12⁄ )

)

2

·𝐴6

𝑛+12⁄ − 𝐴4

𝑛+12⁄

2𝛥𝑥− 𝑔 ·

𝐴6

𝑛+12⁄ + 𝐴4

𝑛+12⁄

2·ℎ6

𝑛+12⁄ − ℎ4

𝑛+12⁄

2 · 𝛥𝑥

+ 𝑔 ·𝐴6

𝑛+12⁄ + 𝐴4

𝑛+12⁄

2· 𝐼𝐷 − 𝑔 · 𝑛2 ·

𝑄5𝑛|𝑄5

𝑛|

(𝐴6

𝑛+12⁄ + 𝐴4

𝑛+12⁄

2 )(𝑅6

𝑛+12⁄ + 𝑅4

𝑛+12⁄

2 )

43⁄

]

Pošto ovo nije „prava“ vrednost protoka, već samo ona koja se dobija kao posledica ublažavanja talasa, u preseku

5 se konačna vrednost protoka dobija nakon celog vremenskog koraka, u trenutku n+1, kada se doda i uticaj

translacije (VI):

𝑄5𝑛+1 = 𝑄5

𝑛+12⁄ −

𝛥𝑡

2·𝑄5

𝑛+12⁄ + 𝑄3

𝑛+12⁄

𝐴4

𝑛+12⁄

·𝑄5

𝑛+12⁄ − 𝑄3

𝑛+12⁄

2 · 𝛥𝑥

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

Presek 6

U preseku 6 se računa dubina koja je zadata graničnim uslovom.

Primer organizacije tabele za proračune

Tabela X. Proračun prostiranja popralvnog talasa dinamičkim talasom - metodom razdvajanja operatora

n t [s] Q1 h2 A2 R2 Q3 h4 A4 R4 Q5 h6 A6 R6

(m3/s) (m) (m2) (m) (m3/s) (m) (m2) (m) (m3/s) (m) (m2) (m)

-0.5 0-∆t/2 Q0 h2,0 A2,0 R2,0 Q0 h4,0 A4,0 R4,0 Q0 h6,0 A6,0 R6,0

0 0 Q0 h2,0 A2,0 R2,0 Q0 h4,0 A4,0 R4,0 Q0 h6,0 A6,0 R6,0

0.5 0+∆t/2 UGU (I) (II) (IV) (V) NGU

1 0+∆t UGU (III) (VI) NGU

1.5 UGU (I) (II) (IV) (V) NGU

2 UGU (III) (VI) NGU

2.5 UGU (I) (II) (IV) (V) NGU

3 UGU (III) (VI) NGU

Legenda za prethodnu tabelu

(I) – zelenom bojom su označene jednačine koje se koriste na polovini vremenskog koraka uz

odgovarajući broj jednačine (u zavisnosti od preseka)

(III) – plavom bojom su označene jednačine koje se koriste na kraju celog vremenskog koraka uz

odgovarajući broj jednačine (u zavisnosti od preseka)

UGU – uzvodni granični uslov (ulazni hidrogram)

NGU – nizvodni granični uslov (zadata dubina)

– ćelije u kojima se ne računaju dubine, već se mogu dobiti linearnom interpolacijom

*Napomena: Protoci koji su sračunati korišćenjem samo onog dela dinamičke jednačine koji se odnosi na

ublaženje talasa nisu merodavni, već su konačna rešenja ona koja su dobijena i rešavanjem dela dinamičke

jednačine koji se odnosi i na translaciju. Zato je potrebno da se pri štampanju hidrograma u presecima 3 i 5, koriste

samo oni protoci koji su računati na kraju celog vremenskog koraka (jer oni u sebi sadrže oba mehanizma

propagacije talasa)!!!

Vrednosti dobijene kao

početni uslov

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

Primer

Tabela 1. Proračun prostiranja popralvnog talasa dinamičkim talasom - metodom razdvajanja operatora

n t [s] Q1 h2 A2 R2 Q3 h4 A4 R4 Q5 h6 A6 R6

(m3/s) (m) (m2) (m) (m3/s) (m) (m2) (m) (m3/s) (m) (m2) (m)

0-∆t/2 -20 1.734 10.406 1.099 1.691 10.148 1.0815 1.59 9.54 1.03922

0 0 18.28 1.73 10.41 1.10 18.28 1.69 10.15 1.08 18.28 1.59 9.54 1.04

0.5 20 22.93 1.73 10.41 1.10 18.28 1.69 10.15 1.08 18.28 1.59 9.54 1.04

1 40 27.58 1.78 10.66 1.12 18.79 1.69 10.15 1.08 18.28 1.59 9.54 1.04

1.5 60 32.23 1.86 11.15 1.15 19.85 1.70 10.18 1.08 18.33 1.59 9.54 1.04

2 80 36.88 1.97 11.84 1.19 21.46 1.71 10.26 1.09 18.49 1.59 9.54 1.04

2.5 100 36.88 2.12 12.70 1.24 23.57 1.74 10.43 1.10 18.81 1.59 9.54 1.04

3 120 36.88 2.24 13.44 1.28 25.33 1.78 10.69 1.12 19.35 1.59 9.54 1.04

3.5 140 36.88 2.35 14.08 1.32 26.82 1.84 11.02 1.14 20.04 1.59 9.54 1.04

4 160 36.88 2.44 14.64 1.35 28.08 1.90 11.40 1.16 20.84 1.59 9.54 1.04

4.5 180 36.88 2.52 15.13 1.37 29.17 1.97 11.80 1.19 21.71 1.59 9.54 1.04

5 200 36.88 2.59 15.55 1.39 30.10 2.04 12.21 1.21 22.60 1.59 9.54 1.04

5.5 220 36.88 2.66 15.93 1.41 30.91 2.11 12.63 1.24 23.50 1.59 9.54 1.04

6 240 36.88 2.71 16.26 1.42 31.62 2.17 13.04 1.26 24.39 1.59 9.54 1.04

6.5 260 36.88 2.76 16.55 1.44 32.23 2.24 13.45 1.28 25.25 1.59 9.54 1.04

7 280 36.88 2.80 16.81 1.45 32.77 2.31 13.83 1.30 26.08 1.59 9.54 1.04

7.5 300 32.23 2.84 17.04 1.46 33.24 2.37 14.21 1.32 26.87 1.59 9.54 1.04

8 320 27.58 2.83 16.99 1.46 33.14 2.43 14.56 1.34 27.62 1.59 9.54 1.04

8.5 340 22.93 2.78 16.68 1.44 32.58 2.48 14.87 1.36 28.26 1.59 9.54 1.04

9 360 18.28 2.69 16.14 1.42 31.69 2.52 15.11 1.37 28.75 1.59 9.54 1.04

9.5 380 18.28 2.57 15.39 1.38 30.54 2.54 15.27 1.38 29.08 1.59 9.54 1.04

10 400 18.28 2.45 14.71 1.35 29.46 2.56 15.35 1.38 29.23 1.59 9.54 1.04

10.5 420 18.28 2.35 14.09 1.32 28.45 2.56 15.36 1.38 29.26 1.59 9.54 1.04

11 440 18.28 2.25 13.53 1.29 27.51 2.55 15.32 1.38 29.17 1.59 9.54 1.04

11.5 460 18.28 2.17 13.01 1.26 26.65 2.54 15.23 1.37 29.00 1.59 9.54 1.04

12 480 18.28 2.09 12.55 1.23 25.84 2.52 15.10 1.37 28.76 1.59 9.54 1.04

12.5 500 18.28 2.02 12.13 1.21 25.11 2.49 14.93 1.36 28.47 1.59 9.54 1.04

13 520 18.28 1.96 11.75 1.18 24.43 2.46 14.75 1.35 28.14 1.59 9.54 1.04

13.5 540 18.28 1.90 11.41 1.16 23.81 2.42 14.54 1.34 27.77 1.59 9.54 1.04

14 560 18.28 1.85 11.10 1.14 23.24 2.39 14.32 1.33 27.38 1.59 9.54 1.04

14.5 580 18.28 1.80 10.83 1.13 22.72 2.35 14.09 1.32 26.97 1.59 9.54 1.04

15 600 18.28 1.76 10.58 1.11 22.26 2.31 13.85 1.30 26.56 1.59 9.54 1.04

17.5 700 18.28 1.61 9.69 1.05 20.52 2.11 12.68 1.24 24.48 1.59 9.54 1.04

18 720 18.28 1.59 9.56 1.04 20.27 2.08 12.46 1.23 24.09 1.59 9.54 1.04

18.5 740 18.28 1.58 9.45 1.03 20.05 2.04 12.25 1.21 23.71 1.59 9.54 1.04

19 760 18.28 1.56 9.35 1.03 19.85 2.01 12.04 1.20 23.35 1.59 9.54 1.04

19.5 780 18.28 1.54 9.27 1.02 19.67 1.97 11.85 1.19 23.00 1.59 9.54 1.04

20 800 18.28 1.53 9.19 1.01 19.51 1.94 11.66 1.18 22.67 1.59 9.54 1.04

20.5 820 18.28 1.52 9.12 1.01 19.37 1.91 11.49 1.17 22.35 1.59 9.54 1.04

21 840 18.28 1.51 9.06 1.00 19.25 1.89 11.32 1.16 22.05 1.59 9.54 1.04

21.5 860 18.28 1.50 9.01 1.00 19.14 1.86 11.17 1.15 21.77 1.59 9.54 1.04

22 880 18.28 1.49 8.96 1.00 19.04 1.84 11.02 1.14 21.50 1.59 9.54 1.04

22.5 900 18.28 1.49 8.92 0.99 18.95 1.81 10.88 1.13 21.25 1.59 9.54 1.04

23 920 18.28 1.48 8.88 0.99 18.87 1.79 10.76 1.12 21.01 1.59 9.54 1.04

23.5 940 18.28 1.47 8.85 0.99 18.80 1.77 10.64 1.11 20.79 1.59 9.54 1.04

24 960 18.28 1.47 8.82 0.99 18.74 1.75 10.53 1.11 20.59 1.59 9.54 1.04

24.5 980 18.28 1.47 8.79 0.98 18.69 1.74 10.42 1.10 20.39 1.59 9.54 1.04

25 1000 18.28 1.46 8.77 0.98 18.64 1.72 10.33 1.09 20.22 1.59 9.54 1.04

25.5 1020 18.28 1.46 8.75 0.98 18.60 1.71 10.24 1.09 20.05 1.59 9.54 1.04

26 1040 18.28 1.46 8.73 0.98 18.56 1.69 10.16 1.08 19.90 1.59 9.54 1.04

26.5 1060 18.28 1.45 8.72 0.98 18.53 1.68 10.09 1.08 19.76 1.59 9.54 1.04

27 1080 18.28 1.45 8.70 0.98 18.50 1.67 10.02 1.07 19.63 1.59 9.54 1.04

27.5 1100 18.28 1.45 8.69 0.98 18.47 1.66 9.96 1.07 19.51 1.59 9.54 1.04

28 1120 18.28 1.45 8.68 0.98 18.45 1.65 9.90 1.06 19.40 1.59 9.54 1.04

28.5 1140 18.28 1.45 8.67 0.98 18.43 1.64 9.85 1.06 19.30 1.59 9.54 1.04

29 1160 18.28 1.44 8.66 0.97 18.41 1.63 9.80 1.06 19.21 1.59 9.54 1.04

29.5 1180 18.28 1.44 8.66 0.97 18.40 1.63 9.75 1.05 19.12 1.59 9.54 1.04

30 1200 18.28 1.44 8.65 0.97 18.38 1.62 9.71 1.05 19.04 1.59 9.54 1.04

Hidraulika 2 vežbe

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

Slika X. Hidrogrami u presecima dobijeni primenom modela dinamičkog talasa – metoda razdvajanja operatora

Slika Y. Nivogrami u presecima dobijeni primenom modela dinamičkog talasa – metoda razdvajanja operatora