Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU...

37
9.09.2013. ε = 10 -5 x - tg x =6. a) f (x)= |x| x = -2, -1, 0, 1, 2 b) [-2, 2]. ε = 10 -3 Z 1 0 sin x x 2 +1 dx. y 0 = x 2 + 1 4 y 2 , y(0) = -1, h =0.1 0.6 0.7 a) b)

Transcript of Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU...

Page 1: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 9.09.2013.

1. Metodom iteracije odrediti sa grexkom ε = 10−5 najma�i pozitivan korijenjednaqine x− tgx = 6.

2. a) Odrediti Lagran�ov interpolacioni polinom za funkciju f(x) = |x| akosu qvorovi interpolacije u taqkama qije su apscise x = −2, −1, 0, 1, 2.

b) Izraqunati maksimalnu grexku aproksimacije na segmentu [−2, 2].

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−3 integral∫ 1

0

sinx

x2 + 1dx.

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/2] Koxijevproblem

y′ = x2 +1

4y2, y(0) = −1,

uzimaju�i korak h = 0.1. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Dva strijelca, koji poga�aju metu redom sa vjerovatno�ama 0.6 i 0.7 ispaujuna metu po jedan metak.

a) Odrediti vjerovatno�u da �e meta biti pogo�ena.

b) Ako je meta pogo�ena taqno jedanput, kolika je vjerovatno�a da taj pogodakpripada prvom strijelcu?

DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 3, 4, 5PISMENI ISPIT: zadaci 1, 2, 3, 4, 5

Page 2: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 12.07.2013.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−5 pozitivan korijen jednaqinex4 − 6x2 − 8x− 1 = 0.

3. a) Odrediti Lagran�ov interpolacioni polinom za funkciju f(x) = signxako su qvorovi interpolacije u taqkama qije su apscise x = −2, −1, 0, 1, 2.

b) Izraqunati maksimalnu grexku aproksimacije na segmentu [−2, 2].

4. Odrediti argument x1 i koeficijente A i B tako da kvadraturna formula∫ 1

−1|x|f(x)dx = A(f(−x1) + f(x1)) +Bf(0) +R(f)

bude taqna za polinome xto ve�eg stepena.Primjenom dobijene formule izraqunati

∫ 1−1 |x|e

xdx i odrediti grexku.

5. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0; 0.5] Koxijevproblem

2y′ = x2 + y2 , y(0) = −0.5 ,

uzimaju�i korak h = 0.1. (Raqunati na qetiri decimale.)

6. Kutija A sadr�i 6 crnih i 4 bijele kuglice, a kutija B sadr�i 2 crne i 5bijelih kuglica. Biramo jednu kutiju i iz �e izvlaqimo dva puta po jednukuglicu bez vra�a�a.

a) Odrediti vjerovatno�u da su obje izvuqene kuglice crne.

b) Ako su obje izvuqene kuglice crne, na�i vjerovatno�u da su izvuqene izkutije A.

PRVI KOLOKVIJUM: zadaci 1, 2, 3DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 4, 5, 6PISMENI ISPIT: zadaci 2, 3, 4, 5, 6

Page 3: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 24.06.2013.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine x3 + 3x+5 = 0.

2. a) Odrediti Lagran�ov interpolacioni polinom za funkciju f(x) = |x| akosu qvorovi interpolacije u taqkama qije su apscise x = −2, −1, 0, 1, 2.

b) Izraqunati maksimalnu grexku aproksimacije na segmentu [−2, 2].

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0x2e−x

2/2 dx.

4. Na�i najbou sred�ekvadratnu aproksimaciju funkcije f(x) = |x| na segmentu[−1, 1] polinomom tre�eg stepena u Hilbertovom prostoru u kome ortogonalnisistem funkcija qine Le�androvi polinomi.

5. Kutija A sadr�i 6 crnih i 4 bijele kuglice, a kutija B sadr�i 2 crne i 5bijelih kuglica. Biramo jednu kutiju i iz �e izvlaqimo dva puta po jednukuglicu bez vra�a�a.

a) Odrediti vjerovatno�u da su obje izvuqene kuglice crne.

b) Ako su obje izvuqene kuglice crne, na�i vjerovatno�u da su izvuqene izkutije A.

DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 3, 4, 5PISMENI ISPIT: zadaci 1, 2, 3, 4, 5

Page 4: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 15.04.2013.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine

cosx = x2.

2. Koriste�i Gaus{Zajdelovu metodu odrediti tre�u aproksimaciju rjexe�a sis-tema

4x1 +2x2 +x3 = 4,2x1 +4x2 −x3 = 6,x1 +2x2 +4x3 = −6,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x(0)1 = 1 ; x

(0)2 = 1.5 ; x

(0)3 = −1.5.

(Raqunati na pet decimala.)

3. Na osnovu tabele vrijednosti funkcije f(x) = lnx

x 0.40 0.50 0.70 0.80

f(x) −0.9163 −0.6931 −0.3567 −0.2231

koriste�i Lagran�ov interpolacioni polinom odrediti pribli�nu vrijed-nost broja ln 0.6 i procijeniti grexku aproksimacije.

4. Odrediti argument x1 i koeficijente A i B tako da kvadraturna formula∫ 1

−1f(x)dx = Af(−x1) +Bf(0) +Af(x1) +R(f)

bude taqna za polinome xto je mogu�e ve�eg stepena.

Primjenom dobijene formule izraqunati

∫ 1

−1ln

2− x

2 + xdx i odrediti grexku.

5. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0; 0.5] Koxijevproblem

2y′ = x2 + y2 , y(0) = −0.5 ,uzimaju�i korak h = 0.1. (Raqunati na qetiri decimale.)

PRVI KOLOKVIJUM: zadaci 1, 2, 3PISMENI ISPIT: zadaci 1, 2, 3, 4, 5

Page 5: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 22.02.2013.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 pozitivan korijen jednaqine

x4 − 2x3 − 2 = 0.

2. Koriste�i Gaus{Zajdelovu metodu odrediti tre�u aproksimaciju rjexe�a sis-tema

6x1 −x2 −x3 = 2,−x1 +6x2 −x3 = 2.4,−x1 −x2 +6x3 = 5,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x(0)1 = 0.60 ; x

(0)2 = 0.65 ; x

(0)3 = 1.05.

(Raqunati na pet decimale.)

3. Funkciju f(x) = |x| aproksimirati Lagran�ovim interpolacionim polinomomuzimaju�i za qvorove interpolacije 5 qvorova sa apscisama −2, −1, 0, 1, 2.

Integracijom dobijenog polinoma izraqunati pribli�no integral

∫ 2

−2|x|dx

i procijeniti grexku.

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/2] Koxijevproblem

y′ =x2 + y2

2, y(0) = −1

2,

uzimaju�i korak h = 0.1. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Dva strijelca, koji poga�aju metu redom sa vjerovatno�ama 0.4 i 0.7, ispaujuna metu po jedan metak.

a) Odrediti vjerovatno�u da �e meta biti pogo�ena.

b) Ako je meta pogo�ena taqno jedanput, kolika je vjerovatno�a da taj pogodakpripada prvom strijelcu?

Page 6: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 7.02.2013.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 pozitivan korijen jednaqine

x4 − 2x3 − 1 = 0.

2. Koriste�i Gaus{Zajdelovu metodu odrediti tre�u aproksimaciju rjexe�a sis-tema

6x1 −x2 −x3 = 2.33,−x1 +6x2 −x3 = 2,−x1 −x2 +6x3 = 5,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x(0)1 = 0.67 ; x

(0)2 = 0.62 ; x

(0)3 = 1.05.

(Raqunati na pet decimale.)

3. Funkciju f(x) = |x| aproksimirati Lagran�ovim interpolacionim polinomomuzimaju�i za qvorove interpolacije 5 qvorova sa apscisama −2, −1, 0, 1, 2.

Integracijom dobijenog polinoma izraqunati pribli�no integral

∫ 2

−2|x|dx

i procijeniti grexku.

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/2] Koxijevproblem

y′ =x2 + y2

2, y(0) = −1

2,

uzimaju�i korak h = 0.1. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Dva strijelca, koji poga�aju metu redom sa vjerovatno�ama 0.6 i 0.7, ispaujuna metu po jedan metak.

a) Odrediti vjerovatno�u da �e meta biti pogo�ena.

b) Ako je meta pogo�ena taqno jedanput, kolika je vjerovatno�a da taj pogodakpripada prvom strijelcu?

Page 7: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 23.10.2012.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine

x3 + 3x2 + 6x+ 6 = 0.

2. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 0 10 1 21 2 3

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

3. Date su taqke A(−1, 3), B(0, 1), C(1,−1) i D(2, 3).

a) Odrediti Lagran�ov interpolacioni polinom koji prolazi datim taqkama.

b) Odrediti polinom drugog stepena koji u smislu metode najma�ih kvadratanajboe aproksimira funkciju koja prolazi datim taqkama.

4. Odrediti argument x1 i koeficijente A i B tako da kvadraturna formula∫ 1

−1f(x)dx = Af(−x1) +Bf(0) +Af(x1) +R(f)

bude taqna za polinome xto je mogu�e ve�eg stepena.

Primjenom dobijene formule izraqunati

∫ 1

−1ln

2 + x

2− xdx i odrediti grexku.

5. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1] Koxijev prob-lem

y′ = x2 + y2, y(0) = 0,

uzimaju�i korak h = 0, 25. (Raqunati na qetiri decimale.)

Page 8: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 9.10.2012.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine

x3 − 3x+ 11 = 0.

2. Metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

4 2 12 1 33 1 2

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0

sinx√x

dx .

4. Metodom najma�ih kvadrata odrediti polinom drugog stepena koji najboeaproksimira funkciju koja prolazi taqkama A(−2, 1), B(−1, 0), C(0, 0), D(1, 2)i E(2, 3).

5. Kutija A sadr�i 6 crnih i 4 bijele kuglice, a kutija B sadr�i 2 crne i 5bijelih kuglica. Biramo jednu kutiju i iz �e izvlaqimo dva puta po jednukuglicu bez vra�a�a.

a) Odrediti vjerovatno�u da su obje izvuqene kuglice crne.

b) Ako su obje izvuqene kuglice crne, na�i vjerovatno�u da su izvuqene izkutije A.

PISMENI ISPIT: zadaci 1, 2, 3, 4, 5DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 3, 4, 5

Page 9: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 27.09.2012.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine

x3 − x+ 1 = 0.

2. Metodom iteracije odrediti xestu aproksimaciju rjexe�a sistema

7.6x1 +0.5x2 +2.4x3 = 1.9,2.2x1 +9.1x2 +4.4x3 = 9.7,−1.3x1 +0.2x2 +5.8x3 = −1.4,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x(0)1 = 0.19 ; x

(0)2 = 0.97 ; x

(0)3 = −0.14.

(Raqunati na qetiri decimale.)

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0

shx√x

dx .

4. Metodom najma�ih kvadrata odrediti polinom najvixe drugog stepena kojinajboe aproksimira funkciju koja prolazi taqkama A(−1, 0), B(0, 1), C(1, 1),D(2, 3) i E(3, 3).

5. Meta se ga�a tri puta. Vjerovatno�e da �e ona biti pogo�ena pri prvom, drugomi tre�em ga�a�u su redom p1 = 0.4, p2 = 0.5 i p3 = 0.7.

a) Odrediti vjerovatno�u da �e meta biti pogo�ena bar jedanput,

b) Odrediti vjerovatno�u da �e meta biti pogo�ena taqno jedanput.

PISMENI ISPIT: zadaci 1, 2, 3, 4, 5DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 3, 4, 5

Page 10: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 10.09.2012.

1. Metodom iteracije odrediti sa grexkom ε = 10−5 najma�i pozitivan korijenjednaqine x = 9 + tgx.

2. Metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 1 20 1 21 2 3

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0ex

2/2 dx .

4. Odrediti polinom drugog stepena koji u smislu metode najma�ih kvadratanajboe aproksimira funkciju koja prolazi taqkama A(−1, 1), B(0, 0), C(1, 1)i D(2, 3).

5. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0; 0.2] Koxijevproblem

y′ =y

2+

2

3sh(x+

y

2

), y(0) = 0,

uzimaju�i korak h = 0.1 . (Raqunati na pet decimala.)

DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 3, 4, 5PISMENI ISPIT: zadaci 1, 2, 3, 4, 5

Page 11: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 13.07.2012.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 najma�i pozitivan korijenjednaqine tgx = x.

2. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom, a zatim i inverznu ma-tricu matrice

A =

1 2 21 2 32 3 1

.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0e−x

2/2 dx .

4. Na�i najbou sred�ekvadratnu aproksimaciju funkcije f(x) = |x| na inter-valu [−1, 1] polinomom qetvrtog stepena u Hilbertovom prostoru u kome ortog-onalni sistem funkcija qine Qebixevevi polinomi.

5. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/5] Koxijevproblem

y′ =y

2+

2

3sh(x+

y

2

), y(0) = 0,

uzimaju�i korak h = 0, 1. (Raqunati na pet decimala.)

DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 3, 4, 5PISMENI ISPIT: zadaci 1, 2, 3, 4, 5

Page 12: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 25.06.2012.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine x3 + 3x+7 = 0.

2. Odrediti polinom drugog stepena koji u smislu metode najma�ih kvadratanajboe aproksimira funkciju koja prolazi taqkama A(−1, 2), B(0, 1), C(1, 1)i D(2, 3).

3. Odrediti argument x1 i koeficijente A, B, C tako da kvadraturna formula∫ 1

−1f(x)dx = Af(−x1) +Bf(0) + Cf(x1) +R(f)

bude taqna za polinome xto ve�eg stepena.

Primjenom dobijene formule izraqunati

∫ 1

−1ln

2 + x

2− xdx i odrediti grexku.

4. Na�i najbou sred�ekvadratnu aproksimaciju funkcije f(x) = signx na seg-mentu [−1, 1] polinomom tre�eg stepena u Hilbertovom prostoru u kome ortog-onalni sistem funkcija qine Le�androvi polinomi.

5. Pri proizvod�i istog proizvoda, 2 maxine tipa A, 5 maxina tipa B i 3maxine tipa C proizvode redom 1%, 3% i 5% neispravnih proizvoda. Sluqajnoje izabran jedan proizvod.

a) Odrediti vjerovatno�u da je on neispravan.

b) Ako je izabrani proizvod neispravan, kolika je vjerovatno�a da je onproizveden na maxini tipa B?

Page 13: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika

PRVI KOLOKVIJUM, 23.04.2012.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−5 korijen jednaqine cosx = 2x.

2. Koriste�i Gaus-Zajdelovu metodu odrediti tre�u aproksimaciju rjexe�a sis-tema

6x1 −x2 −x3 = 11.33,−x1 +6x2 −x3 = 32,−x1 −x2 +6x3 = 42,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x(0)1 = 4.67 ; x

(0)2 = 7.62 ; x

(0)3 = 9.05.

(Raqunati na pet decimale.)

3. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 1 20 1 21 2 3

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

Page 14: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 2.02.2012.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine

x3 − 3x2 + 6x− 6 = 0.

2. Metodom iteracije odrediti tre�u aproksimaciju rjexe�a sistema

1.02x1 −0.05x2 −0.10x3 = 0.79,−0.11x1 +1.03x2 −0.05x3 = 0.84,−0.11x1 −0.12x2 +1.04x3 = 1.39,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x(0)1 = 0.80 ; x

(0)2 = 0.85 ; x

(0)3 = 1.40.

(Raqunati na tri decimale.)

3. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 0 10 1 21 2 3

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

4. Odrediti argumente x1 i x2 i koeficijente A i B tako da kvadraturna formula∫ 1

−1(1 + |x|)f(x)dx = Af(x1) +Bf(x2) +R(f)

bude taqna za polinome xto ve�eg stepena.

Primjenom dobijene formule izraqunati

∫ 1

−1(1 + |x|) ln 2 + x

2− xdx i odrediti

grexku.

5. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1] Koxijev prob-lem

y′ = x2 + y2, y(0) = 0,

uzimaju�i korak h = 0, 25. (Raqunati na qetiri decimale.)

Page 15: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 11.10.2011.

1. Metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 0 11 1 12 1 0

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

2. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine x3 + 3x+5 = 0.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0e−x

2/2 dx .

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/2] Koxijevproblem

y′ = x2 +1

4y2, y(0) = −1,

uzimaju�i korak h = 0.1. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Kutija A sadr�i 6 crvenih i 4 plave kuglice, a kutija B 2 crvene i 5 plavihkuglica. Biramo jednu kutiju i iz �e izvlaqimo dva puta po jednu kuglicu bezvra�a�a.

a) Izraqunati vjerovatno�u da su obje izvuqene kuglice crvene.

b) Ako su obje izvuqene kuglice crvene, na�i vjerovatno�u da su izvuqene izkutije B.

Page 16: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 27.09.2011.

1. Metodom Gaus{Zajdela odrediti qetvrtu aproksimaciju rjexe�a sistema

10x1 +x2 +x3 = 33,x1 +10x2 +2x3 = 25,

2x1 +2x2 +10x3 = 20,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x01 = 3, 3 ; x02 = 2, 5 ; x03 = 2, 0.

2. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 1 22 2 32 3 1

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

3. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 najma�i pozitivan korijenjednaqine x3 − 3x = 11.

4. Odrediti polinom drugog stepena koji u smislu metode najma�ih kvadratanajboe aproksimira funkciju koja prolazi taqkama A(−1, 3), B(0, 1), C(1,−1)i D(2, 3).

5. Odrediti argument x1 i koeficijente A i B tako da kvadraturna formula∫ 1

−1|x|f(x)dx = A(f(−x1) + f(x1)) +Bf(0) +R(f)

bude taqna za polinome xto ve�eg stepena.Primjenom dobijene formule izraqunati

∫ 1−1 |x|e

xdx i odrediti grexku.

6. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1] Koxijev prob-lem y′ = x2 + y2, y(0) = 0, uzimaju�i korak h = 0, 2.(Raqunati na qetiri decimale.)

PRVI KOLOKVIJUM: zadaci 1, 2, 3DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 4, 5, 6INTEGRALNI ISPIT: zadaci 2, 3, 4, 5, 6

Page 17: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 9.09.2011.

1. Metodom iteracije odrediti tre�u aproksimaciju rjexe�a sistema

0, 04x1 −0, 08x2 +4x3 = 20,0, 09x1 +3x2 −0, 15x3 = 9,

4x1 +0, 24x2 −0, 08x3 = 8,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x(0)1 = 2 ; x

(0)2 = 3 ; x

(0)3 = 5.

(Raqunati na qetiri decimale.)

2. Metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

2 1 01 1 11 0 2

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

3. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 najma�i pozitivan korijenjednaqine tgx = x.

4. Odrediti Lagran�ov interpolacioni polinom koji prolazi taqkama (100, 10),(121, 11), (144, 12). Pomo�u dobijenog polinoma odrediti pribli�no

√114 i

ocijeniti grexku.

5. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0e−x

2/2 dx .

6. Lampa mo�e pripadati trima raznim serijama S1, S2, S3 redom sa vjerovatno�ama0, 3, 0, 4 i 0, 3. Vjerovatno�a da �e lampa iz prve serije raditi n qasova iznosi0, 2; za drugu seriju je 0, 3, a za tre�u seriju 0, 4.

a) Na�i vjerovatno�u da �e sluqajno izabrana lampa radi n qasova.

b) Ako je poznato da je lampa radila n qasova, na�i vjerovatno�u da je onaiz druge serije.

PRVI KOLOKVIJUM: zadaci 1, 2, 3DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 4, 5, 6INTEGRALNI ISPIT: zadaci 2, 3, 4, 5, 6

Page 18: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 13.07.2011.

1. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 1 10 1 21 1 0

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

2. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−5 korijen jednaqine x3 − 3x−8 = 0.

3. Konstruisati Lagran�ov interpolacioni polinom za funkciju f(x) =√x ako

su qvorovi interpolacije x0 = 81, x1 = 100 i x2 = 121. Izraqunati vrijednostdobijenog polinoma u taqki x = 111 i ocijeniti grexku, koriste�i formuluza grexku interpolacije.

4. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0cos(x2) dx.

5. Na�i najbou sred�ekvadratnu aproksimaciju funkcije f(x) = signx na in-tervalu [−1, 1] polinomom qetvrtog stepena u Hilbertovom prostoru u komeortogonalni sistem funkcija qine Le�androvi polinomi.

6. Lampa mo�e pripadati trima raznim serijama S1, S2, S3 redom sa vjerovatno�ama0, 2, 0, 5 i 0, 3. Vjerovatno�a da �e lampa iz prve serije raditi n qasova iznosi0, 2; za drugu seriju je 0, 3, a za tre�u seriju 0, 4.

a) Na�i vjerovatno�u da �e sluqajno izabrana lampa raditi n qasova.

b) Ako je poznato da je lampa radila n qasova, na�i vjerovatno�u da je onaiz druge serije.

PRVI KOLOKVIJUM: zadaci 1, 2, 3DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 4, 5, 6PISMENI ISPIT: zadaci 2, 3, 4, 5, 6

Page 19: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 24.06.2011.

1. Metodom tangente odrediti sa grexkom ε = 10−5 korijen jednaqine x3+3x+3 =0.

2. Odrediti Lagran�ov interpolacioni polinom koji prolazi taqkama (100, 10),(121, 11), (144, 12). Pomo�u dobijenog polinoma odrediti pribli�no

√111 i

ocijeniti grexku.

3. Odrediti realne brojeve A i B i argumente x1 i x2 tako da kvadraturna for-mula ∫ 1

−1|x|f(x) dx = Af(x1) +Bf(x2) +R(f)

ima najve�u algebarsku taqnost.

Primjenom dobijene formule izraqunati pribli�no integral

∫ 1

−1|x| ln 2 + x

2− xdx

i procijeniti grexku.

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0, 1/5] Koxijevproblem

y′ = x2 + y2, y(0) = 0,

uzimaju�i korak h = 0, 1. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Dva strijelca, koji poga�aju metu redom sa vjerovatno�ama 0, 7 i 0, 8, ispaujuna metu po jedan metak.

a) Odrediti vjerovatno�u da �e meta biti pogo�ena.

b) Ako je meta pogo�ena taqno jedanput, kolika je vjerovatno�a da taj pogodakpripada prvom strijelcu?

DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 3, 4, 5PISMENI ISPIT: zadaci 1, 2, 3, 4, 5

Page 20: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 11.04.2011.

1. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine

x3 + 3x2 + 6x+ 6 = 0.

2. Metodom iteracije odrediti tre�u aproksimaciju rjexe�a sistema

1.02x1 −0.05x2 −0.10x3 = 0.795,−0.11x1 +1.03x2 −0.05x3 = 0.849,−0.11x1 −0.12x2 +1.04x3 = 1.398,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x(0)1 = 0.80 ; x

(0)2 = 0.85 ; x

(0)3 = 1.40.

(Raqunati na tri decimale.)

3. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 0 10 1 21 2 3

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

4. Odrediti argumente x1 i x2 i koeficijente A i B tako da kvadraturna formula∫ 1

−1(1 + |x|)f(x)dx = Af(x1) +Bf(x2) +R(f)

bude taqna za polinome xto ve�eg stepena.

Primjenom dobijene formule izraqunati

∫ 1

−1(1 + |x|) ln 2 + x

2− xdx i odrediti

grexku.

5. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1] Koxijev prob-lem

y′ = x2 + y2, y(0) = 0,

uzimaju�i korak h = 0, 25. (Raqunati na qetiri decimale.)

PRVI KOLOKVIJUM: zadaci 1, 2, 3PISMENI ISPIT: zadaci 1, 2, 3, 4, 5

Page 21: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 17.02.2011.

1. Metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 1 00 2 11 0 1

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

2. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−5 korijen jednaqine x3+3x+9 = 0.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 0.8

0ex

2/2 dx .

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/2] Koxijevproblem

y′ = x2 +y2

4, y(0) = −1,

uzimaju�i korak h = 0, 1. (Raqunati na pet decimala.)

5. Na avion se ispauju 3 hica. Vjerovatno�a da avion bude pogo�en prvimhicem iznosi 0,4, drugim 0,5 i tre�im 0,7. U sluqaju sva tri pogotka avion�e sigurno biti sruxen, dok �e u sluqaju jednog pogotka on biti sruxen savjerovatno�om 0,2 a u sluqaju dva pogotka bi�e sruxen sa vjerovatno�om 0,6.Odrediti vjerovatno�u da �e avion biti sruxen.

Page 22: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 2.02.2011.

1. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 2 00 1 11 1 2

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

2. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−5 korijen jednaqine x3+2x+5 = 0.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0x2e−x

2/2 dx .

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1] Koxijev prob-lem

y′ = x2 + y2, y(0) = 0,

uzimaju�i korak h = 0, 25. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Pri proizvod�i istog proizvoda, 2 maxine tipa A, 5 maxina tipa B i 3maxine tipa C proizvode redom 1%, 3% i 5% neispravnih proizvoda. Sluqajnoje izabran jedan proizvod.

a) Odrediti vjerovatno�u da je on neispravan.

b) Ako je izabrani proizvod neispravan, kolika je vjerovatno�a da je onproizveden na maxini tipa B?

Page 23: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 14.10.2010.

1. Metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

−1 2 11 −1 02 2 1

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

2. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−5 korijen jednaqine x3+2x+5 = 0.

3. Odrediti Lagran�ov interpolacioni polinom koji prolazi taqkama (64, 8),(81, 9) i (100, 10). Pomo�u dobijenog polinoma odrediti pribli�no

√73 i

ocijeniti grexku.

4. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 0.8

0e−x

2/2 dx .

5. Dva strijelca, koji poga�aju metu redom sa vjerovatno�ama 0, 7 i 0, 8 ispaujuna metu po jedan metak.

a) Odrediti vjerovatno�u da �e meta biti pogo�ena.

b) Ako je meta pogo�ena taqno jedanput, kolika je vjerovatno�a da taj pogodakpripada prvom strijelcu?

Page 24: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 7.10.2010.

1. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

−1 2 11 −1 02 2 3

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

2. Metodom iteracije odrediti sa grexkom ε = 10−5 najma�i pozitivan korijenjednaqine x+ tgx = 7.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0e−x

2/2 dx .

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1] Koxijev prob-lem

y′ = x2 + y2, y(0) = 0,

uzimaju�i korak h = 0, 25. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Pri proizvod�i istog proizvoda, 2 maxine tipa A, 5 maxina tipa B i 3maxine tipa C proizvode redom 1%, 3% i 5% neispravnih proizvoda. Sluqajnoje izabran jedan proizvod.

a) Odrediti vjerovatno�u da je on neispravan.

b) Ako je izabrani proizvod neispravan, kolika je vjerovatno�a da je onproizveden na maxini tipa B?

Page 25: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 27.09.2010.

1. Metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

−1 2 11 −1 02 2 3

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

2. Metodom iteracije odrediti sa grexkom ε = 10−5 najma�i pozitivan korijenjednaqine x+ tgx = 6.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0ex

2/2 dx .

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/2] Koxijevproblem

y′ = x2 +y2

4, y(0) = −1,

uzimaju�i korak h = 0, 1. (Raqunati na pet decimala.)

5. Pri proizvod�i istog proizvoda, 2 maxine tipa A, 5 maxina tipa B i 3maxine tipa C proizvode redom 1%, 3% i 5% neispravnih proizvoda. Sluqajnoje izabran jedan proizvod.

a) Odrediti vjerovatno�u da je on neispravan.

b) Ako je izabrani proizvod neispravan, kolika je vjerovatno�a da je onproizveden na maxini tipa B?

Page 26: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 13.09.2010.

1. Metodom iteracije odrediti tre�u aproksimaciju rjexe�a sistema

0, 04x1 −0, 08x2 +4x3 = 20,0, 09x1 +3x2 −0, 15x3 = 9,

4x1 +0, 24x2 −0, 08x3 = 8,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x(0)1 = 2 ; x

(0)2 = 3 ; x

(0)3 = 5.

(Raqunati na qetiri decimale.)

2. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 2 32 1 14 2 1

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

3. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine x3 +3x+5 = 0.

4. Odrediti Lagran�ov interpolacioni polinom koji prolazi taqkama (1, 1),(4, 2), (9, 3). Pomo�u dobijenog polinoma odrediti pribli�no

√5 i ocijen-

iti grexku.

5. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0e−x

2/2 dx .

6. Vjerovatno�a da �e student A rijexiti neki zadatak je 0, 7, a za studenta B onaiznosi 0, 9.

a) Odrediti vjerovatno�u da �e zadatak biti rijexen ako ga rjexavaju obastudenta.

b) Ako je zadatak rijexen, kolika je vjerovatno�a da ga je rijexio studentB?

PRVI KOLOKVIJUM: zadaci 1, 2, 3DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 4, 5, 6INTEGRALNI ISPIT: zadaci 2, 3, 4, 5, 6

Page 27: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 1.07.2010.

1. Metodom iteracije odrediti tre�u aproksimaciju rjexe�a sistema

0, 04x1 −0, 08x2 +4x3 = 20,0, 09x1 +3x2 −0, 15x3 = 9,

4x1 +0, 24x2 −0, 08x3 = 8,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x(0)1 = 2 ; x

(0)2 = 3 ; x

(0)3 = 5.

(Raqunati na qetiri decimale.)

2. Metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

2 2 31 −1 0−1 2 1

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

3. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−4 najma�i pozitivan korijenjednaqine tgx = x.

4. Odrediti Lagran�ov interpolacioni polinom koji prolazi taqkama (100, 10),(121, 11), (144, 12). Pomo�u dobijenog polinoma odrediti pribli�no

√115 i

ocijeniti grexku.

5. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0ex

2dx .

6. Lampa mo�e pripadati trima raznim serijama S1, S2, S3 redom sa vjerovatno�ama0, 3, 0, 4 i 0, 3. Vjerovatno�a da �e lampa iz prve serije raditi n qasova iznosi0, 2; za drugu seriju je 0, 3, a za tre�u seriju 0, 4.

a) Na�i vjerovatno�u da �e sluqajno izabrana lampa radi n qasova.

b) Ako je poznato da je lampa radila n qasova, na�i vjerovatno�u da je onaiz druge serije.

PRVI KOLOKVIJUM: zadaci 1, 2, 3DRUGI KOLOKVIJUM: zadaci 4, 5, 6INTEGRALNI ISPIT: zadaci 2, 3, 4, 5,6

Page 28: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika

DRUGI KOLOKVIJUM, 17.06.2010.

1. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 2

1e−x

2dx .

2. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/5] Koxijevproblem

y′ =√x2 + y2, y(0) = 1,

uzimaju�i korak h = 0, 1. (Raqunati na qetiri decimale.)

3. U jednoj kutiji xibica nalazi se 5 upotrebivih i 6 iskori7�enih palidrvaca,a u drugoj kutiji 2 upotrebiva i 9 iskori7�enih palidrvaca. Na sluqajannaqin se iz svake kutije bira po jedno palidrvce i stava u tre�u praznu ku-tiju. Zatim se iz tre�e kutije izvlaqi jedno palidrvce. Kolika je vjerovatno�ada �emo �ime mo�i da upalimo svije�u?

Page 29: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika

PRVI KOLOKVIJUM , 12.04.2010.

1. Metodom sjekante odrediti sa grexkom ε = 10−4 nulu funkcije f(x) = x2 −ex + 2.

2. Metodom Gaus{Zajdela odrediti tre�u aproksimaciju rjexe�a sistema

10x1 +3x2 −x3 = 12,−x1 +5x2 −x3 = 3,x1 +2x2 +10x3 = 13,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x(0)1 = 1, 2 ; x

(0)2 = 0, 6 ; x

(0)3 = 1, 3.

(Raqunati na qetiri decimale.)

3. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 1 11 2 32 0 1

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

Page 30: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 12.02.2010.

1. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 0 12 1 10 1 2

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

2. Metodom tangente odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine x3+3x+9 =0.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 2

1e−x

2/2 dx .

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/2] Koxijevproblem

y′ = x2 +1

4y2, y(0) = −1,

uzimaju�i korak h = 0.1. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Na avion se ispauju 3 hica. Vjerovatno�a da avion bude pogo�en prvim hicemiznosi 0.6, drugim 0.5 i tre�im 0.4. Avion �e sa 3 pogotka biti sigurno sruxen,dok �e u sluqaju jednog pogotka avion biti sruxen sa vjerovatno�om 0.3 a usluqaju dva pogotka �e biti sruxen sa vjerovatno�om 0.6. Na�i vjerovatno�uda �e avion biti sruxen.

Page 31: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 30.01.2010.

1. Metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom, a zatim i inverznu ma-tricu matrice

A =

0 2 11 1 11 0 1

.

2. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−5 pozitivan korijen jednaqine8 sinx = x.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 2

1

e−x

xdx.

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1] Koxijev prob-lem

y′ = x2 + y2, y(0) = 0,

uzimaju�i korak h = 0, 2. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Na avion se ispauju 3 hica. Vjerovatno�a da avion bude pogo�en prvim hicemiznosi 0.7, drugim 0.5 i tre�im 0.4. Avion �e sa 3 pogotka biti sigurno sruxen,dok �e u sluqaju jednog pogotka avion biti sruxen sa vjerovatno�om 0.3 a usluqaju dva pogotka �e biti sruxen sa vjerovatno�om 0.6. Na�i vjerovatno�uda �e avion biti sruxen.

Page 32: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 17.10.2009.

1. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 0 11 1 12 1 0

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

2. Metodom tangente odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine x3+3x+6 =0.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0e−x

2/2 dx .

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/2] Koxijevproblem

y′ = x2 +1

4y2, y(0) = −1,

uzimaju�i korak h = 0.1. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Lampa mo�e pripadati trima raznim serijama redom sa vjerovatno�ama 0, 2,0, 5 i 0, 3. Vjerovatno�a da �e lampa iz prve serije raditi n qasova iznosi 0, 2;za drugu seriju je 0, 3, a za tre�u seriju 0, 4.

a) Na�i vjerovatno�u da �e sluqajno izabrana lampa radi n qasova.

b) Ako je poznato da je lampa radila n qasova, na�i vjerovatno�u da je onaiz druge serije.

Page 33: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 30.09.2009.

1. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom matrice

A =

1 0 11 1 11 2 0

,

a zatim na osnovu karakteristiqnog polinoma odrediti �enu inverznu ma-tricu.

2. Metodom iteracije odrediti sa grexkom ε = 10−5 najma�i pozitivan korijenjednaqine x+ tg x = 7.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0cos(x2) dx.

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/2] Koxijevproblem

y′ = x2 +1

4y2, y(0) = −1,

uzimaju�i korak h = 0.1. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Dva strijelca, koji poga�aju metu redom sa vjerovatno�ama 0, 7 i 0, 5 ispaujuna metu po jedan metak.

a) Odrediti vjerovatno�u da �e meta biti pogo�ena.

b) Ako je meta pogo�ena taqno jedanput, kolika je vjerovatno�a da taj pogodakpripada prvom strijelcu?

Page 34: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 11.09.2009.

1. Metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom, a zatim i inverznu ma-tricu matrice

A =

1 1 10 1 21 1 0

.

2. �utnovom metodom odrediti sa grexkom ε = 10−5 korijen jednaqine x3 + 3x+9 = 0.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 0.8

0e−x

2/2 dx.

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1] Koxijev prob-lem

y′ = x2 + y2, y(0) = 0,

uzimaju�i korak h = 0, 2. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Lampa mo�e pripadati trima raznim serijama S1, S2, S3 redom sa vjerovatno�ama0.2, 0.5 i 0.3. Vjerovatno�a da �e lampa iz prve serije raditi n qasova iznosi0.3; za drugu seriju je 0.2, a za tre�u seriju 0.4.

a) Na�i vjerovatno�u da �e sluqajno izabrana lampa radi n qasova.

b) Ako je poznato da je lampa radila n qasova, na�i vjerovatno�u da je onaiz druge serije.

DRUGI KOLOKVIJUM : zadaci 3, 4, 5INTEGRALNI ISPIT : zadaci 1, 2, 3, 4, 5

Page 35: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 10.07.2009.

1. Metodom Krilova odrediti karakteristiqni polinom, a zatim i inverznu ma-tricu matrice

A =

2 1 01 1 11 0 2

.

2. Metodom tangente odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine x3+3x+6 =0.

3. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0sin(x2) dx.

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1/2] Koxijevproblem

y′ = x2 +1

4y2, y(0) = −1,

uzimaju�i korak h = 0.1. (Raqunati na pet decimala.)

5. Dva strijelca, koji poga�aju metu redom sa vjerovatno�ama 0, 8 i 0, 6 ispaujuna metu po jedan metak.

a) Odrediti vjerovatno�u da �e meta biti pogo�ena.

b) Ako je meta pogo�ena taqno jedanput, kolika je vjerovatno�a da taj pogodakpripada prvom strijelcu?

DRUGI KOLOKVIJUM : zadaci 3, 4, 5INTEGRALNI ISPIT : zadaci 1, 2, 3, 4, 5

Page 36: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 27.06.2009.

1. Metodom Krilova i metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom, azatim i inverznu matricu matrice

A =

1 1 −12 1 01 −1 1

.

2. Metodom iteracije odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine 2x−sinx =1.

3. Izraqunati integral

∫ 1

0cos(x2) dx koriste�i Simpsonovu formulu za n = 10,

i ocijeniti grexku.

4. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [1,2] Koxijev prob-lem

y′ =y

x− y2, y(1) = 1,

uzimaju�i korak h = 0, 2. (Raqunati na qetiri decimale.)

5. Lampa mo�e pripadati trima raznim serijama S1, S2, S3 redom sa vjerovatno�ama0, 25, 0, 5 i 0, 25. Vjerovatno�a da �e lampa iz prve serije raditi n qasova iznosi0, 1; za drugu seriju je 0, 2, a za tre�u seriju 0, 4.

a) Na�i vjerovatno�u da �e sluqajno izabrana lampa radi n qasova.

b) Ako je poznato da je lampa radila n qasova, na�i vjerovatno�u da je onaiz tre�e serije.

DRUGI KOLOKVIJUM : zadaci 3, 4, 5INTEGRALNI ISPIT : zadaci 1, 2, 3, 4, 5

Page 37: Numeriqka matematikapnata/Numerička matematika/Numericka mat... · UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVU ELEKTROTEHNIQKI FAKULTET Numeriqka matematika 24:06:2013: 1. utnovom metodom odrediti

UNIVERZITET U ISTOQNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIQKI FAKULTET

Numeriqka matematika 25.04.2009.

1. Metodom Krilova i metodom Leverjea odrediti karakteristiqni polinom, azatim i inverznu matricu matrice

A =

1 1 22 2 32 3 1

.

2. Metodom tangente odrediti sa grexkom ε = 10−4 korijen jednaqine x3−3x = 11.

3. Metodom Gaus{Zajdela odrediti qetvrtu aproksimaciju rjexe�a sistema

10x1 +x2 +x3 = 33,x1 +10x2 +2x3 = 25,

2x1 +2x2 +10x3 = 20,

uzimaju�i za poqetnu aproksimaciju x01 = 3, 3 ; x02 = 2, 5 ; x03 = 2, 0.

4. Koriste�i Simpsonovu formulu izraqunati sa grexkom ε = 10−4 integral∫ 1

0e−x

2dx .

5. Metodom Runge{Kuta qetvrtog reda rijexiti na intervalu [0,1] Koxijev prob-lem y′ = x2 + y2, y(0) = 0, uzimaju�i korak h = 0, 2.(Raqunati na qetiri decimale.)

PRVI KOLOKVIJUM : zadaci 1, 2, 3INTEGRALNI ISPIT : zadaci 1, 2, 3, 4, 5