AT 1

UDESC2016/1

MATEMÁTICA

01) Resposta: A

Comentário

A circunferência λ1 está na forma geral:

A circunferência λ2 está na forma reduzida:

Resolvendo o sistema entre as equações λ1 e λ2, encontramos os pontos de intersecção P1 e P2:

(eixo radical E.R.)

O eixo radical y = 2x é a reta que passa por P1 e P2.

Substituindo y = 2x em uma das circunferências, temos:

Temos, então, os pontos de intersecção: P1 (0, 0) e P2 85

165

,

.

Área do quadrilátero formado por P1, C1, P2, C2:

R1 . R2 = 4 . 2 = 8 → S = R1 . R2

2 3

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02) Resposta: D

Comentário

tg 60 = x

x = 20 3

cos 30 = y

= 20 3

o

o

20

32

30

⇒

⇒ ⇒ =x

yy

Área = 1

20 3 . 30 . sen 30o

2.

Área = 150 3

03) Resposta: D

Comentário

Para x ∈ [–1, 1], temos:x1 ≠ x2 → y1 ≠ y2 → injetoraeCD(f) = Im(f) → sobrejetora

Logo, bijetora.

04) Resposta: C

Comentário

|log3 3x)| ≤ 1 ⇒ –1 ≤ log3 3x ≤ 1

Portanto:C.E. (3x > 0 → x > 0)

log3 3x ≥ –1log3 3x ≥ log3 3

–1

313

19

x

x

≥

≥

log3 3x ≤ 1

log3 3x ≤ log3 3

3x ≤ 3

x ≤ 1

Conclusão:

S =

19

, 1

2 3

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05) Resposta: C

Comentário

• C + 41 + 40 = 141 → C = 60• 141 – 103 = A – 40 → A = 78• 78 + B + 70 = 217 → B = 69

Logo, (A, B, C) → (78, 69, 60) → PA decrescente

06) Resposta: D

Comentário

tg x – 2 . sen x (2x) = 0 em x ∈ [0, 2π]sen xcos x

. 2 . sen x . cos x = 0

sen x . cos x

. cos

−

−

2

14 x

1) sen x = 0

ou

2) cos x

. cos x = 0

=

−

0

14

1) sen x = 0

2) 1

414

12

cos x . cos x 4 cos x = 1 cos x =

cos x =

2 2 − → →

→ ±

Logo: M = 0 + + 2 + + 2

+ 4

+ 5

= 7

π ππ π π π

π

π

3 3 3 32

•

cosM

− =

−cos cos cos ( )22

2497M

ππ

π

= –1 – (–1)2 = –1 – 1 = –2

4 5

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07) Resposta: E

Comentário

1

77 0

7 7

3

3 2

42 1

4 1 2

x

xx

x x x

− ≥

≥

−−

− − +

x + 1

. (7 )

. 7

2

( ) ( ) .. (2 1x− )

–x . (x3 – 4) ≥ 1 + (x2 + 2) . (2x – 1)

Logo, organizando as operações:

x4 + 2x3 – x2 – 2x ≤ 0

Fatorando, temos:

x (x – 1)(x + 1)(x + 2) ≤ 0

Raízes: {0, 1, –1, 2}

Estudos dos sinais:

08) Resposta: A

Comentário

Lado do hexágono maior: L = 6 cmLado do hexágono menor: = 3 cm

Seja O o centro das circunferências.A medida OA é o raio do círculo menor n = 3 OB é a altura do triângulo equilátero de L = 6

H H= ⇒ ⇒ = 3

26 3

23 3 cm

No triângulo ABC temos:

x

x

x

x

x x

2 2 2

2

2

2

3 3 3 3

9 27 18 3 9

45 18 3

9 5 2 3

9 5 2 3 3

= + −

= + − +

= −

= −

= − → =

( )

( )

( ) (( )5 2 3−

Área lateral . (12 retângulos de altura 10 cm e base x)

A

A

= −

= −

12 . 10 . 3

360

5 2 3

5 2 3

4 5

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09) Resposta: A

Comentário

A

x

x

x x

x x=−

− − −1 2

2 1

1 2

2 23 2 det A = x

P(x) = x . (x3 – 2x2 + x – 2)x1 = 0 x3 – 2x2 + x – 2 = 0

x2 + 1 = 0x2 = –1x = ±iDuas raízes reais: x = 0 e x = 2Duas raízes imaginárias: x = i e x = –i

10) Resposta: B

Comentário

Seja x =

log x = log

log x = log (7 . 5)

log x =

35

35

18

8

8

18

. (log 7 + log 5)

log x = . (0,845 + 0,699)

log x = 0,1

18

993

Pela tabela: x = 1,56

11) Resposta: A

Comentário

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0

a = 1 x + x + x = Logo, b =

x . x . x =

1 2 3

1 2 3

−= −

−=

bad

a

1 1

1

.

55 15 Logo, d = − .

P(x) = x3 – x2 + cx – 15 = 0

Pelo teorema do resto: P x( ) x + 2

7

P(–2) = 7

(–2)3 – (–2)2 + c(–2) – 15 = 0

–8 – 4 – 2c – 15 = 7

–34 = 2c

c = –17

P(x) = x3 – x2 – 17x – 15. Dividindo-se por g(x) = x + 2.

Q(x) = x2 – 3x – 11

6 7

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12) Resposta: B

Comentário

• Por proporção (regra de três):

GRADO GRAUS

x

o400

3503

360

3

→

→

∴ 400 . x =

350 . 360 x = 1005o

• sen x = sen (105o) = sen (60 + 45 )

= sen 60 . cos 45 + sen 45 . cos 60

=

o o

o o o o

33 .

2 +

2 .

1 =

6 +

2

= 2 + 6

2 2 2 2 4 4

4

13) Resposta: D

Comentário

• Temos 6 vereadores de situação (SIT.)

7 vereadores de opossição (OP.)

• Formando comissões com 2 vereadores de situação e 3 de oposição:

SIT SIT OP OP OP

C C

. 62

77 = 525 maneiras ou comissões

• Comissões com 3 vereadores de situação e 2 de oposição:

OPSIT SIT SIT

C

. 63 CC7

2 = 420 comissões

OP

• Comissões com líderes, 1 vereador de situação e 2 de oposição:

LÍDER SIT LÍDER OP

1 .

SIT OP OP

1 . C . C = 75 comissões5 61 2

• Comissões com líderes, 2 vereadores de situação e 1 de oposição:

LÍDER SIT LÍDER OP

1 .

SIT SIT OP

1 . C . C = 60 comissões5 62 1

Logo, total: 525 + 420 – 75 – 60 = 810.

6 7

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14) Resposta: B

Comentário

Da leitura do texto, chega-se ao quadro:

SEXO FEM.60% de 500 = 300

OLHOS CLAROS30% de 500 = 150

LOIROS45% de 500 = 225

SEXO MASC.40% de 500 = 200

OLHOS ESCUROS70% de 500 = 350

MORENOS55% de 500 = 275

Das informações sobre as intersecções dos conjuntos, chega-se ao seguinte diagrama em árvore: