Trigonometri - file · Web viewMampuh menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana....

Matematika Sekolah“Trigonometri”

Dosen Pembina :Dr. Tatag Y E Siswono, M. Pd

Oleh:SILMI AL KHOIRONI ( 147785011 )

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAPROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA2014

Matematika Sekolah“Trigonometri”

Disusun untuk memenuhi tugas Matematika Sekolah

Oleh:SILMI AL KHOIRONI ( 147785011 )

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAPROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA2014

By: Silmi Al Khoironi Matematika Sekolah 2

2014Trigonometri

Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, atas limpahan rahmadNya

sehingga penulis telah dapat menyelesaikan penulisan makalah ini sesuai dengan waktunya.

Makalah ini sengaja ditulis dalam rangka untuk memenuhi persyaratan didalam

memenuhi Mata Kuliah Matematika Sekolah bagi mahasiswa Pasca Sarjana Universitas Negeri

Surabaya.

Dalam kesempatan ini pula, penulis tidak lupa mengucapkan banyak terima kasih

kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan penulisan makalah ini.

Dalam hal ini Kami menyadari bahwa makalah ini jauh dari sempurna mengingat

keterbatasan pengetahuan yang dimiliki penulis. Oleh karena itu penulis sangat mengharap

kritik dan saran yang sifatnya membangun, dari semua pihak.

Akhirnya atas segala bimbingan serta bantuan yang telah diberikan, penulis

mengucapkan banyak-banyak terima kasih dan penulis berharap makalah ini bermanfaat.

Surabaya, Oktober 2014

Penulis


2014Trigonometri

BAB 10TRIGONOMETRI

Tujuan Pembelajaran BAB ini adalah:

1. Mengetahui bentuk dari grafik pada sinus, cosinus dan

tangen pada semua sudut.

2. Mengetahui dan mampuh menemukan nila dari sinus,

cosinus dan tangen pada segitiga istimewah.

3. Mampuh menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana.

4. Mengetahui dan mampu menggunakan identitas yang melibatkan sinθ0 , cosθ0, tan θ0 .


2014Trigonometri

TRIGONOMETRI

A. Grafik pada cos θ0, sin θ0, tan θ0

Gambar 1 menujukkan bahwa terdapat sebuah lingkaran yang berpusat di O

dengan jari-jari 1 satuan; lingkaran bertemu sumbu-x di titik A, dimana garis OP

terbentuk dengan sudut θ pada sumbu-x. Dan terdapat sebuah garis tegak lurus dari

P yang bertemu garis OA pada N.

Panjang ON adalah x satuan, panjang NP adalah y satuan. Jadi itu artinya

koordinat di P adalah (x, y).

Dan untuk selanjutnya ini digunakan untuk mendefinisikan

cosθ0=ONO P

sin θ0=NPOP

tanθ0= NPON

Berdasarkan gambar maka:

cosθ0= x1=x

sin θ0= y1= y

tanθ0= yx= sinθ0

cosθ0

Contoh soal 1:

Tentkan nilai dari cosθ0ketika

a) θ = 180 b) θ = 270


2014Trigonometri

Gambar 1

A

1

θ0

y

P(x,y)

Nx

O

Jawab:

a) Ketika θ = 180, P adalah titik (-1, 0). Koordinat-x pada titik P adalah -1. Jadi

cos1800= -1.

b) Ketika θ = 270, P adalah titik (0, -1). Jadi cos2700= 0

Jika θ>0 , maka diukur tidak berdasarkan arah perputaran jarum jam. Dan

sudut selalu dihitung mulai dari sumbu X positif. Sedangkan untuk θ<0, maka

diukur searah dengan jarum jam.

Sepanjang θmengalami peningkatan, maka titik P akan mengelilingi lingkaran.

Ketika θ = 360, P terletak pada A, dan ketika θlebih besar dari 360, maka titik P

akan mengelilingi lingkaran. Itu artinya bahwa cos (θ ± 360)0=cosθ0dan sin

(θ ± 360)0=sin θ0, dan nilai daricosθ0dan sin θ0akan berulang setiap kali θ

mengalami peningkatan atau penurunan per 360. Hal ini jika digambarkan dalam

grafik maka akan terlihat seperti pada gambar 2.


2014Trigonometri

Gambar 2

Catatan:

Untuk nilai cosin fungsi −1≤cos θ0≤ 1. Nilai maksimum dari 1 diambil pada saat θ

= 0, ± 360 ,± 720 ,…,dan Nilai minimum dari -1 diambil pada saat θ =

± 180 ,± 540 ,…

Untuk nilai sinus fungsi −1 ≤sin θ0≤ 1. Nilai maksimum dari 1 diambil pada saat θ =

± 90 , ± 450 , …,dan Nilai minimum dari -1 diambil pada saat θ = ± 270 ,± 630 , …

Jadi grafik dari fungsi cosin dan sinus adalah selau berulang. Fungsi dari sifat

ini disebut periodik. Sehingga hal ini dapat dinyatakan dalam cos (θ ± 360)0=cosθ0

dan sin (θ ± 360)0=sin θ0yang disebut dengan sifat periodik. Banyak peristiwa alam

yang menggunakan sifat periodik ini.

Contoh Soal 2:

Tinggi yang dinyatkan dalam meter pada air yang ada di suatu pelabuhan dapat

dinyatakan dalam rumus d = 6 + 3 cos 30t 0, dimana t adalah waktu yang dinyatakan

dalam jam pada sore hari. Tentukan:

a) Ketinggian air pada saat 9.45 p.m dan

b) Level air tertinggi dan terendah, dan pada saat kapan hal itu terjadi.

Jawab:

a) Pada pukul 9.45 p.m, t = 9,75. Jadi d = 6 + 3 cos (30.9,75 ¿¿0= 6 + 3 cos292,50=

7,148. Jadi tinggi air adalah 7,15 meter.

b) Nilai maksimum pada d terjadi ketika nilai pada fungsi cosine adalah 1 dan itu

adalah 6+3x1=9, dengan cara yang sama nilai minimum adalah 6+3(-1) = 3.

Tingkat ketinggian air tertinggi dan terendah adalah 9 m dan 3 m. Untuk


2014Trigonometri

pertama kalinya mereka terjadi yaitu pada saat sore hari yaitu ketika 30 . t = 360

dan 30 . t = 180. Ite terjadi pada waktu tnegah malam yaitu 00.00 dan pada jam

6.00 sore hari.

Seperti pada grafik cosin dan sinus penggulangan juga terjadi pada grafik

tangen, namun daerah pada tan θ0 tidak memasukkan sudut untuk x = 0, sehingga

θ=± 90 ,± 270 , ….Lihat gambar 3

Seperti grafik pada cos θ0 dan sin θ0, grafik pada tan θ0 juga merupakan

pengulangan, namun pada 180. Jadi untuk tan (θ ± 180)0=tan θ0

B. Nilai dari Beberapa Fungsi Trigonometri

Sudut-sudut istimewah yaitu sudut 450, 600 dan

300. Untuk menentukan cosin, sin dan tangen pada

450, gambarlah sebuah segitiga siku-siku sama kaki

dengan panjang kaki 1 satuan. Seperti pada gambar 4


2014Trigonometri

Gambar 3

Gambar 4

450

1A

1

C

B

disamping. Sehingga memiliki panjang sisi miring yaitu √2. Sehingga dapat

diketahui bahwa:

cos 450 = 1√2

, sin 450 = 1√2

, tan 450 = 1

Jika dirasionalkan adalah

cos 450 = √22

, sin 450 = √22

, tan 450 = 1

Untuk menentukan cosin, sin dan tangen pada 600 dan 300, gambarlah sebuah

segitiga sama sisi dengan panjang sisinya 2 satuan seperti pada gambar disamping.

Gambarlah sebuah garis tegak lurus dari salah satu sudutnya. Panjang garis tegak

lurus tersebut adalah √3 satuan dan itu membentuk dua segitiga baru. Yang salah

satu sudutnya adalah 300. Sehingga dapat

diketahui bahwa:

cos 600 = 12 , sin 600= √3

2, tan 600 = √3

sin 300 = √32

, sin 300= 12 , tan 300 = 1

√3=√3

3

Contoh Soal 3:

Tulis nilai dari

a) Cos 1350

b) Sin 1200

c) tan 4950

Jawab:

a) Cos 1350 = - cos 450 = -1√2

b) Sin 1200 = sin 600 = √32


2014Trigonometri

Gambar 5

600

√322

11

C

BA

c) tan 4950 = tan (495 – 360)0 = tan 1350 = - tan 450 = -1

C. Sifat-sifat Simetri pada Grafik cos θ0, sin θ0, tan θ0

Grafik dari cos θ0 adalah simetri kira-kira di sumbu vertical. Yang artinya

bahwa jika diletakkan kembali θ hingga –θ grafik tidak berubah. Jadi

cos (−θ)0=cosθ0

Hal ini menujukkkan bahwa cosθ0adalah fungsi yang positif dariθ. Disana juga

ada sifat-sifat simetri yang lainnya. Contohnya yaitu kita bisa melihat jika dikurangi

atau ditambah θ dengan 180, maka hasilnya:

cos (θ−180)0=−cosθ0

Ini disebut dengan sifat-sifat penjabaran

Disana ada lebih dari satu sifat-sifat penjabaran yang berguna, yaitu:

cos (180−θ)0=¿ cos (θ−180)0=−cosθ0

Sifat-sifat ini bisa digunakan sebagai rumus cosin untuk segitiga.

Hal ini juga berlaku untuk sinus.

Pembuktiannya serupa untuk cosin


2014Trigonometri

Fungsi cos θ0dan sin θ0 memiliki sifat-sifat berikut

Sifat-sifat berulang:

cos (θ ± 360)0=cosθ0 sin (θ ± 360)0=sin θ0

Sifat-sifat aneh:

cos (−θ)0=cosθ0 sin (−θ)0=−sin θ0

Sifat-sifat penjabaran:

cos (θ−180)0=−cosθ0 sin (θ−180)0=−sin θ0

cos (180−θ)0=¿ −cosθ0 sin (180−θ)0=¿ sin θ0

Hal ini pun juga berlaku pada tan θ0, dengan cara yang sama pada grafik cosin

dan sinus, kita bisa mendapatkan hasil yang sama:

D. Penyelesaian Persamaan pada Fungsi Trigonometri.

1. Menyelesaikan persamaan cos θ0 = k

Untuk menyelesaikan persamaan cos θ0 = k, kita butuh menganggap

−1≤ k≤ 1. Jika hal ini tidak benar maka tidak ada penyelesaian. Dalam gambar

pada sebuah nilai negative pada k ditunjukkan. Catatan bahwa secara umum

disana ada dua akar untuk persamaan cos θ0 = k dalam setiap jarak waktu pada

360, dugaannya ketika k = ± 1.

Untuk menemukan sebuah θ yang memenuhi persamaan kita bisa

menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.

Contoh Soal 4:

Penyelesaian persamaan cos θ0 = 13 , berikanlah semuah akar dalam 0≤ θ ≤360,

dengan I tempat decimal


2014Trigonometri

Fungsi cos θ0dan sin θ0 memiliki sifat-sifat berikut

Sifat-sifat berulang: tan (θ ± 180)0=tan θ0

Sifat-sifat aneh: tan (−θ)0=−tan θ0

tan(180−θ)0=¿ −tanθ0

Langkah 1 : Menemukan cos−1 k

Langkah 2 : Menggunakan sifat-sifat simetri cos (−θ)0=−cosθ0untuk

menemukan akar yang lainnya.

Langkah 3 : Gunakan sifat-sifat berulang cos (θ ± 360)0=cosθ0untuk menemukan

akar dalam jangka waktu yang diperlukan.

Langkah 1:

Gunakan kalkulator untuk menemukan cos−1 13 = 70,52… ini adalah satu akar

dalam 0 ≤ θ ≤360.

Langkah 2:

Menggunakan sifat-sifat simetri cos (−θ)0=−cosθ0untuk menujukkan bahwa -

70,52 . Catatan bahwa -70,52… bukan interval yang diperlukan

Langkah 3:

Gunakan sifat-sifat berulang cos (θ ± 360)0=cosθ0untuk menghasilkan -70,52…

+ 360 = 289,47…, yang merupakan akar dalam interval yang diperlukan.

Oleh karena itu akar dalam interval 0 ≤ θ ≤360 adalah 70,5 dan 289,5 dengan 1

tempat decimal.

2. Menyelesaikan persamaan sin θ0 = k

Persamaan sin θ0 = k, dimana −1≤ k≤ 1 diselesaikan dalam cara yang sama.

Hanya dibedakan dengan sifat-sifat simetri untuk sin θadalah sin (180−θ)0=¿

sin θ0 .

3. Menyelesaikan persamaan tan θ0 = k

Persamaan tan θ0 = k juga diselesaikan dalam cara yang sama. Catatan bahwa

secara umum akar untuk setiap interval dari 180. Akar yang lain bisa ditemukan

dari sifat periodic tan (θ ± 180)0=tan θ0.


2014Trigonometri

Langkah 1 : Menemukan sin−1k

Langkah 2 : Menggunakan sifat-sifat simetri sin (180−θ)0=¿ sin θ0untuk

menemukan akar yang lainnya.

Langkah 3 : Gunakan sifat-sifat berulang sin (θ ± 360)0=sin θ0untuk menemukan


Langkah 1 : Menemukan tan−1 k

Langkah 2 : Gunakan sifat-sifat berulang tan (θ ± 180)0=tan θ0untuk menemukan


E. Hubungan antara Fungsi Trigonometri

tanθ0= sin θ0

cosθ0 , dimana cosθ0≠ 0. Jadi

tanθ0≡ sin θ0

cosθ0

Simbol identitas digunakan ketika ada beberapa nilai dugaan untuk sisi yang

didefinisikan. Dalam contoh diberikan, tidak ada sisi yang didefinisikan ketika θ

adalah perkalian gasal dari 90, tetapi tanda identitas masih digunakan. Berdasarkan

gambar 1 diperoleh x2+ y2 = 1, atau (cosθ0 )2+(sin θ0 )2 ≡1

Hubungan cos2θ0+sin2θ0≡1 bisa digunakan dalam pembuktian cosine rumus

dari segitiga.

Misalnya ABC adalah sebuah segitiga, dengan sisi BC = a, CA = b dan AB = c.

Tempatkan titik A pada koordinat asal, dan misalnya AC pada sumbu-x dalam arah-

x positif, perhatikan gambar 6.

Koordinat dari C adalah (b,0) dan B adalah (c cos A0 , c sin A0). Kemudian,

gunakan jarak rumus.

a2=(b−c cos A0 )2+(c sin A0 )2

¿b2−2 bccos A0+c2 cos2 A0+c2 sin2 A0

¿b2−2bc cos A0+c2(cos¿¿2 A0+sin2 A0)¿

¿c2 b2−2bccos A0

Contoh Soal 5:


2014Trigonometri

Untuk semua nilai θ:

tanθ0≡ sin θ0

cosθ0 , dimana cosθ0≠ 0

cos2θ0+sin2θ0≡1

Selesaikan persamaan 3 cos2θ0 + 4sin θ0 = 4, diberikan semua akar dalam intercal -

180 <θ ≤ 180 dengan 1 tempat decimal.

Jawab:

3 cos2θ0 + 4sin θ0 = 4

3 (1−sin2θ0) + 4sin θ0 = 4

3 −3 sin2 θ0 + 4sin θ0 = 4

3sin2 θ0 - sin θ0 + 1 = 0

(3sin θ0−1¿ (sin θ0−1) = 0

sin θ0 = 13 atau sin θ0 = 1

sin−1 13=19,47…, dan akar lain, karena dari simetri dari sin θ0, adalah (180 –

19,47…) = 160,52…

Hanya akar untuk sin θ0=1 adalah θ=90, jadi akar adalah 19,5: 90 dan 160,5 untuk

1 tempat decimal.


2014Trigonometri

Trigonometri - file · Web viewMampuh menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana....

Documents

Transcript of Trigonometri - file · Web viewMampuh menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana....