TRIGONOMETRI (Kompetensi 4) - purwantowahyudi.comKom… · Persamaan dan pertidaksamaan...

Click here to load reader

  • date post

    06-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    313
  • download

    17

Embed Size (px)

Transcript of TRIGONOMETRI (Kompetensi 4) - purwantowahyudi.comKom… · Persamaan dan pertidaksamaan...

  • www.pintarmatematika.web.id - 1

    TRIGONOMETRI

    Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen

    Sin = r

    y

    r y

    Cos = r

    x

    x Tan = x

    y

    Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. 2sin + 2cos = 1

    2. tan =

    cos

    sin

    3. sec = cos

    1

    4. cosec = sin

    1

    5 . cotan =

    sin

    cos

    6. 2tan + 1 = 2sec 7. 2cot an + 1 = 2cos ec

    Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan : 1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B

    2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B

    3. cos (A + B) = cos A cos B sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B

    5. tan (A + B) = BA

    BA

    tan.tan1

    tantan

    +

    6. tan (A - B) = BA

    BA

    tan.tan1

    tantan

    +

    Rumus-rumus Sudut Rangkap :

    1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = 2cos A - 2sin A

    3. tan 2A = 2)(tan1

    tan2

    A

    A

    Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian jumlah/selisih 1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) cos(A-B) Jumlah/selisih perkalian

    1. Sin A + sin B = 2 sin 2

    1 (A + B) cos

    2

    1(A B)

    2. Sin A - sin B = 2 cos 2

    1 (A + B) sin

    2

    1(A B)

    3. cos A + cos B = 2 cos2

    1 (A + B) cos

    2

    1(A B)

    4. cos A - cos B = - 2 sin2

    1 (A + B) sin

    2

    1(A B)

  • www.pintarmatematika.web.id - 2

    Sudut-sudut istimewa :

    Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :

    II I Sin + Semua + III IV Tan + Cos +

    Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant: Kuadrant I Sin (90 0 - ) = cos Cos (90 0 - ) = sin tan (90 0 - ) = cotan Kuadratn II : Sin (180 0 - ) = sin Cos (180 0 - ) = -cos tan (180 0 - ) = -tan

    Kuadrant III : Sin (180 0 + ) = -sin Cos (180 0 + ) = -cos tan (180 0 + ) = tan

    Kuadrant IV : Sin (360 0 - ) = -sin Cos (360 0 - ) = cos tan (360 0 - ) = -tan

    Aturan sinus dan cosinus C b a A c B aturan sinus

    sin

    a =

    sinb

    = sin

    c

    Aturan cosinus 1. 2a = 2b + 2c - 2bc cos 2. 2b = 2a + 2c - 2ac cos 3. 2c = 2a + 2b - 2ab cos Luas Segitiga

    Luas segitiga = 2

    1 ab sin

    = 2

    1 ac sin

    = 2

    1 bc sin

    00 030 045 060 090 Sin 0

    21 2

    1 2 21 3 1

    Cos 1 2

    1 3 21 2 2

    1 0

    Tan 0 3

    1 3 1 3 ~

    Kuadrant I

    Kuadrant II 0180 -

    Kuadrant III 0180 +

    Kuadrant IV 0360 -

    Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + -

  • www.pintarmatematika.web.id - 3

    Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :

    P(x,y) koordinat cartesius P(r, 0 ) koordinat kutub y

    0 x

    P (x,y) P (r, 0 )

    r = 22 yx +

    0 didapat dari tan 0 = x

    y

    P (r, 0 ) P (x,y) x = r cos 0 ; y = r sin 0 jadi , p (x,y) = p(r cos 0 , r sin 0 )

    Nilai Maksimum dan Minimum

    1. Jika y = k cos (x + n ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana cos (x + n ) = 1 sehingga (x + n )= 0 b. minimum jika y = -k dimana cos (x + n ) = -1 sehingga (x + n )= 2. Jika y = k sin (x + n ) dengan k > 0 maka

    a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n ) = 1

    sehingga (x + n )= 2

    b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n ) = -1

    sehingga (x + n )= 2

    3

    Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri 1. Persamaan Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah : a. sin x = sin , maka 1x = + k. 0360 2x = (

    0180 - ) + k. 0360 b. cos x = cos , maka 2,1x = + k. 0360 c. tan x = tan , maka x = + k. 0180

    Persamaan umum trigonometri adalah : a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - )

    dengan k = 22 ba + : persamaan lengkapnya: a cos x + b sin x = k cos (x - ) = c

    didapat dari tan = a

    b

    Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai jawaban adalah : c 2 a 2 + b 2

    2. Pertidaksamaan Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax c, cos ax c dan sebagainya dapat diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti : - Diagram garis bilangan - Grafik fungsi trigonometri

  • www.pintarmatematika.web.id - 4

    Fungsi Trigonometri: 1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x

    . Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo ( nilai maksimum nilai minimum) = (1 (-1)) = .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2

    d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2 ) = sin x, k bilangan bulat 2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x

    Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo ( nilai maksimum nilai minimum) = (1 (-1)) = .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2 d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2 ) = cos x, k bilangan bulat

  • www.pintarmatematika.web.id - 5

    2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x

    Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah : a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga) b. Mempunyai perioda sebesar c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. ) = tan x, k bilangan bulat

  • www.pintarmatematika.web.id - 6

    Contoh Soal : Soal-soal UN2010 UN2012 UN2010

    1. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2 x 3 cos x +

    1 = 0 untuk 0 < x < 2 adalah .

    A.

    6

    5,

    6

    C.

    3

    2,

    3

    E.

    3

    4,

    3

    2

    B.

    6

    11,

    6

    D.

    3

    5,

    3

    Jawab:

    2cos2 x 3 cos x + 1 = 0 ; misal cos x = y

    2y2

    - 3y + 1 = 0

    (2y -1) (y -1) = 0

    2y-1 = 0

    y = 2

    1 cos x =

    2

    1

    x = 600 (

    3

    ) dan 300

    0 (

    3

    5)

    y-1 = 0

    y = 1 cos x = 1

    x = 00 dan 360

    0 (2 ) tidak memenuhi 0 < x < 2

    Himpunan penyelesaiannya adalah

    3

    5,

    3

    Jawabannya adalah D

    UN2010

    2. Hasil dari =++++

    00

    00

    )30cos()30cos(

    )60sin()60sin(

    .

    A. - 3 C. 3

    13 E. 3

    B. -3

    13 D. 1

    Jawab:

    2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)

    2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)

    =++++

    00

    00

    )30cos()30cos(

    )60sin()60sin(

    00

    00

    )30cos()30cos(

    )60sin()60sin(

    ++++

    = 00

    00

    cos30cos2

    cos60sin2

    = 0

    0

    30cos

    60sin

    =

    32

    1

    32

    1

    = 1

    Jawabannya adalah D

    UN2010

    3. Diketahui (A+B) = 3

    dan sin A sin B =

    4

    1. Nilai dari

    cos (A B) = .

    A. 1 C. 2

    1 E. 1

    B. -2

    1 D.

    4

    3

    Jawab:

    -2sin A sin B = cos (A+B) cos(A-B) sin A sin B

    = - 2

    1{ cos (A+B) cos(A-B)}

    - 2

    1{ cos (A+B) cos(A-B)} =

    4

    1

    - 2

    1{ cos (

    3

    ) cos(A-B)} =

    4

    1

  • www.pintarmatematika.web.id - 7

    - 2

    1{

    2

    1 cos(A-B)} =

    4

    1

    2

    1 cos(A-B) = -

    4

    2 = -

    2

    1

    2

    1+

    2

    1 = cos(A-B)

    cos(A-B) = 1

    Jawabannya adalah E

    UN2011

    4. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 0

    0 1800 adalah....

    A. {450, 120

    0} C. {60

    0, 135

    0} E. {60

    0, 180

    0}

    B. {450, 135

    0} D. {60

    0, 120

    0}

    Jawab:

    cos 2x + cos x = 0

    cos 2x = 2cos x - 2sin x = 2cos x (1 - 2cos x)

    = 22cos x - 1

    sehingga

    cos 2x + cos x = 2 2cos x - 1 + cos x = 0 (2 cos x - 1 )(cos x + 1) = 0

    2 cos x 1 = 0 cos x + 1 = 0

    2 cos x = 1 cos x = -1

    cos x = 2

    1 x = 1800 (di kuadran ke-2)

    x = 600

    Himpunan penyelesaiannya adalah 600 atau 180

    0

    Jawabannya adalah E

    UN2011

    5. Nilai

    = .....

    A. - 3 B. 1

    23 C.

    1

    33

    D. 3 E. 3

    Jawab:

    cos A - cos B = - 2 sin2

    1 (A + B) sin

    2

    1(A B)

    Sin A - sin B = 2 cos 2

    1 (A + B) sin

    2

    1(A B)

    =

    =

    = -

    = -

    = 3

    Jawabannya adalah E UN2011

    6. Diketahui (A+B) =

    dan Sin A Sin B =

    , Nilai dari cos (A- B) =

    A. -1 B. -

    C.

    D.

    E. 1

    Jawab:

    (A+B) =

    maka cos (A+B) = cos

    = Cos 60

    0 =

    cos (A+B) = CosA Cos B Sin A Sin B

    = CosA Cos B

    CosA Cos B =

    +

    =

    cos (A- B) = cos A cos B + sin A Sin B =

    +

    = 1

    Jawabannya adalah E

  • www.pintarmatematika.web.id - 8

    UN2012

    7. Himpunan penyelesaian persamaan cos2x -2cos x = -1; 0 < x < 2 adalah ....

    A. { 0,

    ,

    , 2 } C. { 0,

    , ,

    } E.

    { 0,

    , }

    B. { 0,

    ,

    , 2 } D. { 0,

    ,

    }

    Jawab:

    cos2x = cos2x sin

    2x

    = cos2x (1 cos

    2x)

    = 2 cos2x - 1

    cos2x -2cos x = -1

    2 cos2x 1 2 cos x + 1 = 0

    2 cos2x 2cos x = 0

    cos2x cos x = 0

    cosx . (cosx 1) = 0

    cos x = 0 ; cos x = 1

    cos x = cos

    cos x = cos 0

    0

    cos x = cos , maka 2,1x = + k. 0360

    cos x = cos

    1x =

    + 0. 2 ; 2x =-

    + 1. 2

    =

    =

    cos x = cos 00

    1x = 0 + 0. 2 ; 2x = 0 + 1. 2

    = 0 = 2

    karena intervalnya 0 < x < 2,

    maka nilai yang memenuhi adalah

    dan

    Tidak ada jawaban

    UN2012

    8. Nilai dari sin 75 - sin165 adalah ....

    A.

    2 D.

    2

    B.

    3 E.

    6

    C.

    6

    Jawab:

    Sin A - sin B = 2 cos 2

    1 (A + B) sin

    2

    1(A B)

    sin 75 - sin165 = 2 cos 2

    1 (75

    0 + 165

    0) sin

    2

    1(75

    0 165

    0)

    = 2 cos 2

    1. 240

    0 sin

    2

    1(-90

    0)

    = 2 cos 1200 sin (-45

    0)

    sin = - sin cos = cos

    tan = tan

    Cos (1800 - ) = - cos

    = 2 cos (1800 60

    0) . sin 45

    0

    = - 2 cos 600. sin 45

    0

    = 2. . 2 = 2 Jawabannya D

    UN2012

    9. Diketahui =

    dan sin . sin =

    dengan dan

    merupakan sudut lancip. Nilai cos ( + ) = ...

    A. 1 B.

    C.

    D.

    E. 0

    Jawab:

    cos (A + B) = cos A cos B sin A Sin B

    cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B

    cos A cos B = cos (A - B) - sin A Sin B

    cos ( + ) = cos cos sin sin

    = cos ( - ) - sin sin - sin sin

    = cos

    -

    = - = 0

    Jawabannya E