Teorema Fundamental da Trigonometria Demonstração... )θ 1 cos sen 1 0 sen θ cos θ θ ·

40
Teorema Fundamental da Teorema Fundamental da Trigonometria Trigonometria 1 cos sen 2 2

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Teorema Fundamental da Teorema Fundamental da TrigonometriaTrigonometria

1cossen 22

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Demonstração ...Demonstração ...

)θ1 cos

sen 1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

θ·

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Continuação...Continuação...

)θ1 cos

sen 1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

1

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Continuação...Continuação...

)θsen θ

cos θ

1

Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :

1cossen 22 C M P Q D

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Relações Trigonométricas no Relações Trigonométricas no Triângulo RetânguloTriângulo Retângulo

)θCateto Adjacente Cateto Oposto

Hipotenusa

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Continuação ...Continuação ...

Cotangente de θ

Secante de θ

Cossecante de θTangente de θ

Cosseno de θ

Seno de θ

Relação no Triângulo Retângulo

Ente Trigonométrico

HIPCOsen

HIPCA

cos

COHIP

sen

1seccos

CACOtg

CAHIP

cos

1sec

COCA

tg1gcot

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Na Circunferência Na Circunferência TrigonométricaTrigonométrica

)θ cos

sen

0

sen θ

cos θ

·

tg

tg θ

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Continuação ...Continuação ...

)θ0

·cotg cotg θ

secante θ

cossec θ

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Arcos NotáveisArcos Notáveis

30°150°

210° 330°

45°135°

225° 315°

60°120°

240° 300°

cos

sen

0

tg90°

180°

270°

0°/360°

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arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

rad 06

4

3

2

32

2

seno 021

22

23

1 0 - 1 0

cosseno 123

22

21

0 - 1 0 1

tangente

cossen 0

33

1 3 - - - 0 - - - 0

Tabela de Entes Trigonométricos ...

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Exercícios ResolvidosExercícios Resolvidos

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Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado?

Observem a figura ao lado1) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o sen vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/b

cb

hip.o.csen

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2) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a tg vale:

a) b/a

b) b/c

c) c/b

d) a/b

e) a/cab

.a.c

.o.ctg

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3) Em relação ao ângulo , podemos dizer que tg .cotg vale:

a) 1/a

b) 1/c

c) 1/b

d) 0

e) 1 1.o.c.a.c.

.a.c

.o.cgcot.tg

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4) Se a = 3b, podemos dizer então, que

sen2 + cos2 vale:

a) b2 / a2

b) 9c2 / b2

c) 0

d) 1

e) (c2 + b2) / 9a2

Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que:

sen2 + cos2 = 1

portanto

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5) Em relação ao ângulo , podemos dizer que sec2- 1 vale:

a) tg2

b) cotg2

c) - 1

d) 0

e) 1

22

22

cos1sec

cos1sec

olog,cos

1sec

22

2

2

2

2

22 tg1sec

cossen

coscos11

cos11sec

2

22

22

cossentg

cossentg

olog,cossentg

22

22

cos1sen

1cossen

22 tg1sec

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6) Em relação ao ângulo , podemos dizer que cossec2- 1 vale:

a) tg2

b) cotg2

c) - 1

d) 0

e) 1

22

22

sen1seccos

sen1seccos

olog,sen

1seccos

22

2

2

2

2

22 gcot1seccos

sencos

sensen11

sen11seccos

2

22

22

sencosgcot

sencosgcot

olog,sencosgcot

22

22

sen1cos

1cossen

22 gcot1seccos

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Lei dos SenosLei dos SenosSeja um triângulo ABC qualquer

temos : Csen

c

Bsen

b

Asen

a

) (^A

^C

^B

A B

C

a

c

b

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Lei dos CossenosLei dos CossenosSeja um triângulo ABC qualquer

temos :

Ccosba2bac

ouBcosca2cab

ouAcoscb2cba

222

222

222

) (^A

^C

^B

A B

C

a

c

b

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Continuação ...Continuação ...Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é reto, por exemplo, Â= 90°, temos :

90coscb2cba 222

Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...

0cb2cba 222

Temos, portanto ... 222 cba Teorema de Pitágoras

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Gráficos das funções Gráficos das funções trigonométricastrigonométricas

sen x

y

x

•0° 540° 720°450°

630°

360°

270°

180°

-180° -90° •

90°

1

-1

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Continuação ...Continuação ...

cos x

y

x •

540°

720°450° 630°360°270°

180°-180°

-90° 90°

1

-1

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Continuação ...Continuação ...

tg x

y

x •

0° 360°

-90° 90°180°

270° 450°

540°

630°

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Continuação ...Continuação ...

y

x •

0° 540° 720°450°

630°

360°

270°

180°

-180° -90° •

90°

1

-1

cossec x

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Continuação ...Continuação ...

540°

720°450° 630°360°270°

180°-180°

-90° 90°

sec xy

x

1

-1

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Continuação ...Continuação ...

cotg x

y

x •

0° 360°

90°

180°

270° 450°

540°

630°

720°

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• Integração por Substituição trigonométrica Caso Radical Substit.

Trigonométrica Transformada Trigonometria no

Triângulo Retângulo

I 222 .uba sen.bau cos.sen1. 2 aa

CACOtg

II 222 .uba tgbau . sec.1. 2 atga

HICA

cos

III 222. aub sec.bau tgaa .1sec. 2

HICO

sen

Demonstrando o Caso I ...

)sen1.(sensen.sen. 222222

2

222

222222 aaa

baba

babauba

22 cossen1. aa cos.a C M P Q D

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Trigonometria

Algumas Aplicações

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Parte PráticaO exemplo clássico da Sombra

Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos.

São eles: uma distância

um ângulo

Observe a seguir . . .

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hd.tgdhtg

.a.c

.o.ctg

temos que:

portanto: tg.dh

Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo que vale 30°, podemos dizer então que:

metros8675,28h95773502691,0.50h

30tg.50htg.dh

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Exemplo 1

A inclinação de uma rampa

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Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

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Como poderíamos resolver essa situação?

Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação.

Observemos:

6 metros16,4 metros

2 metros

Comprimento total da rampa

solo

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6 metros

16,4 metros2 metros

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .

2 metros

16,4 metroship c.o.

c.a.

Temos em relação ao ângulo

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

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2 metros

16,4 metroship c.o.

c.a.

Como:

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

121219512195,04,16

2hip

.o.csen

Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que = 30°.

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Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:

sen = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo , com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora.

Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°.

Encontramos assim, a inclinação da rampa!

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Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco)

Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13

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Solução:

Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.

)II(y.3h

y.60tghhy.60tgyh

.a.c

.o.c60tg

)I()y20(.33

h

)y20(.30tghh)y20(.30tg)y20(

h.a.c.o.c30tg

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metros10yy220yy320y.3)y20(

y.3.3)y20(.3y.3)y20(.33

y.3h)II()y20(.33

h)I(

Igualando o h das equações ( I ) e (II)

Como

metros17h10.7,1h

y.3h

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30 metros

Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:

De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros

segundos20eutosmin5touutosmin333,5t60

segundos320tsegundos3202,0

64t

Vstst.V

tsV

v = 0,2 m/s