ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΜηχανικήΔιανύσματα

Διδάσκων : Αν. Καθ. Ν. Παπανικολάου

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative Commons. • Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

1

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

• ΒΑΘΜΩΤΕΣ Ή ΜΟΝΟΜΕΤΡΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ • [ ΜΕΤΡΟ ( ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ ) ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΕΣ ]. • • ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ • [ ΜΕΤΡΟ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ ), ΜΟΝΑΔΕΣ, ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΑ ].

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

C A

B

C

B

A

A + B = C B + A = C

2

A

B

C = A+B D = A–B

ϕcos222 BABAC ++=

A

B

C = A+B

φ

ϕcos222 BABAD −+=

A

– B

D = A–B = Α+ (–Β)

B φ

3

ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Α

Αx

Αy

θ

x

y

i

j

2 2

ˆ ˆ

cos , sin

x y

x y

x y

A A i A j

A A A A

A A θ A A θ

r

r= +

= = +

= =

4

ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ˆˆ ˆ, , ˆˆ ˆ 1

i j k

i j k= = =

j

i

k

x

z

y

5

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (Αριθμός)

cosθΑ ⋅Β = ΑΒ

r r

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (Διάνυσμα)

sin uθΑ× Β = ΑΒ

r r r

1. Α ⋅ Β = Β ⋅ Αr rr r

1. Α × Β = −Β× Αr rr r

2. ( )C CΑ ⋅ Β + = Α ⋅ Β + Α ⋅r rr r rr r

2. ( )C CΑ × Β + = Α × Β + Α ×r rr r rr r

3. ( ) ( )

( ) ( )m m

m m

Α ⋅ Β = Α ⋅ Β

= Α ⋅ Β = Α ⋅ Β

r rr r

r rr r 3. ( ) ( )

( ) ( )m m

m m

Α × Β = Α × Β

= Α × Β = Α × Β

r rr r

r rr r

4. i i j j k k 1

i j j k k i 0

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

r r r r r r

r r r r r r

4. i i j j k k 0

i j k, j k i, k i j

× = × = × =

× = × = × =

r r r r r r

r r r r r r r r r

5. Εάν 1 2 3Α i j kA A A= + +r r rr

και 1 2 3B i j kB B B= + +

r r rr

τότε: 1 1 2 2 3 3Α B A B A B A B⋅ = + +

r r

2 2 2 21 2 3Α A A A A A⋅ = = + +

r r

2 2 2 21 2 3B B B B B B⋅ = = + +

r r

5.

( ) ( )( )

1 2 3

1 2 3

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

2 3 2 3 1 3 1 3

1 2 1 2

i j k

i j k

= i j

k

A A AB B B

A A A A A AB B B B B B

A B B A A B B A

A B B A

Α× Β =

= − +

− − −

+ −

r r rr r

r r r

r r

r

6. Εάν 0Α ⋅Β =r r

και , 0Α Β ≠r r

τότε Α ⊥ Β

r r

6. Εάν 0Α× Β =r r

και , 0Α Β ≠r r

τότε B||A

rr

7. Α Β×r r

= Επιφάνεια παραλληλογράμμου πλευρών Α και Β

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα

πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου

Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις:• Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1112.

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Αν. Καθ. Ν. Παπανικολάου. «Μηχανική. Διανύσματα». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1112.

Σημείωμα Αδειοδότησης

• Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης CreativeCommons Αναφορά Δημιουργού -Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη.

• [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.