Treballs Geometria Afi personalitzats (2A BTX curs 2012-2013)

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (TREBALL COMÚ )

Donats els punts A=(-6,8,9), B=(-3,-4,0), C=(8,8,2), D=(-2,-8,-3), E=(-7,6,4), i els vectors u→=(4,2,-8), v→=(3,8,6).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-5,8,-7)+λ·(6,-9,8), s≡y=9+5λx=9+4λ

z=7+3λ, t≡ x+6

-6 = y+2 9 =

z+4 -8, t'≡

11x+2y-6z-3=092x+80y+21z-33=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(0,-11,4)+λ·(-9,-2,6)+µ·(-15,7,-2), π2≡y=1+5λ-9µx=-5-24λ+6µ

z=-8+4λ+8µ, π3≡24x-13y-55z-233=0,

π4≡38x+108y+93z+816=0 i π5≡3x+9y+2z-36=0.

(1) (a) Digues si els punts A, B i C estan alineats. I els punts A, B i D ?(b) Busca el simètric del punt A respecte del punt B.(c) Calcula el punt mig dels punts B i C.(d) Si els punts A, B i C són tres vèrtexs consecutius d'un paral·lelogram averigua quin serà el quart vèrtex P.(e) Digues si els punts A, B, C i E són coplanaris. Són coplanaris els punts A, B, D i E ?

(2) (a) Busca totes les equacions de la recta que passa pels punts A i B.(b) Busca totes les equacions de la recta que passa pel punt B i té vector director v→.(c) Busca totes les equacions del pla que passa pels punts A, B i C.(d) Busca totes les equacions del pla que conté el punt D i que té vectors directors u→ i v→.

(3) (a) Busca els punts d'intersecció de les rectes r, s i t amb els plans coordenats.(b) Calcula les coordenades dels punts d'intersecció dels plans π1, π2 i π3 amb els eixos coordenats.(c) Troba les equacions contínues de les rectes d'intersecció del pla π3 amb els plans coordenats.

(4) (a) Busca l'equació contínua de la recta s' paral·lela a s i que passa pel punt A.(b) Troba l'equació general del pla π paral·lel a π2 i que passa pel punt A.(c) Busca l'equació general del pla que conté a la recta t' i al punt A.(d) Calcula l'equació general del pla que és paral·lel a la recta s i que conté a la recta t.

(5) (a) Amb les rectes i plans anteriors digues un punt i el(s) vector(s) director(s) de cadascú.(b) Estudia la posició relativa de les rectes r i s, r i t, s i t, r i t'. Si són secants busca el punt d'intersecció.(c) Estudia la posició relativa dels plans π1 i π2, π1 i π3, π1 i π4. En cas de ser secants, dóna l'equació vectorial

de la recta que determinen.(d) Estudia la posició relativa del pla π1 amb les rectes r, s i t.(e) Quina és la posició relativa dels tres plans π1, π3 i π5. I dels plans π2, π4 i π5. I dels plans π2, π3 i π5.

Solucions dels exercicis (TREBALL COMÚ )(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(0,-16,-9). (1c) M=(2'50,2,1). (1d) P=(5,20,11). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(-6,8,9)+λ·(3,-12,-9); rparam≡y=8-12λx=-6+3λ

z=9-9λ; rcont≡ x+6

3 = y-8 -12 =

z-9 -9; rimpl≡

9x+6y-5z+51=013x+22y-25z+127=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(-3,-4,0)+λ·(3,8,6); rparam≡y=-4+8λx=-3+3λ

z=0+6λ; rcont≡ x+3

3 = y+4 8 =

z 6; rimpl≡

60x+33y-74z+312=06x+39y-55z+174=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(-6,8,9)+λ·(3,-12,-9)+µ·(14,0,-7); πparamètrica≡y=8-12λx=-6+3λ+14µ

z=9-9λ-7µ; πgeneral≡4x-5y+8z-8=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-2,-8,-3)+λ·(4,2,-8)+µ·(3,8,6); πparamètrica≡y=-8+2λ+8µx=-2+4λ+3µ

z=-3-8λ+6µ; πgeneral≡38x-24y+13z-77=0

(3a) Rxy=(0'25,0'13,0), Rxz=(0'33,0,0'11), Ryz=(0,0'50,-0'33), Sxy=(-0'33,-2'67,0), Sxz=(1'80,0,1'60), Syz=(0,-2'25,0'25), Txy=(-3,-6'50,0), Txz=(-7'33,0,-5'78), Tyz=(0,-11,4).

(3b) P1x=(-21'47,0,0), P1y=(0,-7'56,0), P1z=(0,0,-8'77), P2x=(-21'74,0,0), P2y=(0,-7'65,0), P2z=(0,0,-8'88), P3x=(9'71,0,0), P3y=(0,-17'92,0), P3z=(0,0,-4'24).

(3c) rxy≡ x-7 13 =

y+5 24 =

z 0 ; rxz≡ x-12

55 = y 0 =

z-1 24 ; ryz≡ x

0 = y+1 -55 =

z+4 13.

(4a) s'≡ x+6 4 =

y-8 5 =

z-9 3 ; (4b) πb≡38x+108y+93z-1473=0 ; (4c) πc≡144x+104y+9z-49=0 ; (4d) πd≡67x-14y-66z+110=0.

(5a) R=(-5,8,-7), r→=(6,-9,8); S=(9,9,7), s→=(4,5,3); T=(-6,-2,-4), t→=(-6,9,-8); T'=(-5,8,-7), t'→=(6,-9,8)P1=(0,-11,4), u→1=(-9,-2,6), v→1=(-15,7,-2); P2=(-5,1,-8), u→2=(-24,5,4), v→2=(6,-9,8); P3=(-2,8,-7), u→3=(5,5,1), v→3=(2,-9,3); P4=(0,-11,4), u→4=(-9,-2,6), v→4=(-15,7,-2); P5=(5,3,-3), u→5=(4,0,-6), v→5=(7,-3,3).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(1,-1,1); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(4'72,-9'22,0)+λ·(4731,-4322,3086); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(-2'46,-5'32,-1'59);

t està continguda dins del pla π1

(5e) π1, π3 i π5 es tallen al punt I=(-22'03,15'22,-17'45). π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla. π2, π3 i π5 es tallen al punt I=(-22'29,15'34,-17'59).

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Carrasco Núñez , Edwin )

Donats els punts A=(-5,0,4), B=(-5,0,3), C=(-5,0,-2), D=(1,-4,-4), E=(-6,4,3), i els vectors u→=(3,2,0), v→=(1,-4,9).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(4,2,-4)+λ·(0,-1,1), s≡y=-1-5λx=4

z=-1-2λ, t≡ x+3

0 = y+6 2 =

z+6 -2, t'≡

x+4y+4z+4=0x-4=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(-3,-10,-2)+λ·(-8,-2,6)+µ·(-8,-1,5), π2≡y=-8-3λ-µx=-4-16λ

z=-8+11λ+µ, π3≡68x-70y-59z+830=0,

π4≡x+2y+2z+27=0 i π5≡81x-44y-33z+1298=0.

(1) (a) Digues si els punts A, B i C estan alineats. I els punts A, B i D ?(b) Busca el simètric del punt A respecte del punt B.(c) Calcula el punt mig dels punts B i C.(d) Si els punts A, B i D són tres vèrtexs consecutius d'un paral·lelogram averigua quin serà el quart vèrtex P.(e) Digues si els punts A, B, C i E són coplanaris. Són coplanaris els punts A, B, D i E ?

(2) (a) Busca totes les equacions de la recta que passa pels punts A i B.(b) Busca totes les equacions de la recta que passa pel punt B i té vector director v→.(c) Busca totes les equacions del pla que passa pels punts A, B i D.(d) Busca totes les equacions del pla que conté el punt D i que té vectors directors u→ i v→.





Solucions dels exercicis (Carrasco Núñez , Edwin )(1a) Els punts A, B i C sí estan alineats; A, B i D no estan alineats. (1b) A'=(-5,0,2). (1c) M=(-5,0,0'50). (1d) P=(1,-4,-3). (1e) A, B, C i E són coplanaris, però A, B, D i E no.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(-5,0,4)+λ·(0,0,-1); rparam≡y=0x=-5

z=4-λ; rcont≡ x+5

0 = y 0 =

z-4 -1; rimpl≡

4x+y+20=03x+4y+15=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(-5,0,3)+λ·(1,-4,9); rparam≡y=0-4λx=-5+λ


1 = y -4 =

z-3 9; rimpl≡

31x-17y-11z+188=045x-z+228=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(-5,0,4)+λ·(0,0,-1)+µ·(6,-4,-8); πparamètrica≡y=0-4µx=-5+6µ

z=4-λ-8µ; πgeneral≡2x+3y+10=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(1,-4,-4)+λ·(3,2,0)+µ·(1,-4,9); πparamètrica≡y=-4+2λ-4µx=1+3λ+µ

z=-4+9µ; πgeneral≡18x-27y-14z-182=0

(3a) Rxy=(4,-2,0), Rxz=(4,0,-2), Sxy=(4,1'50,0), Sxz=(4,0,-0'60), Txy=(-3,-12,0), Txz=(-3,0,-12),

(3b) P1x=(-27,0,0), P1y=(0,-13'50,0), P1z=(0,0,-13'50), P2x=(-36,0,0), P2y=(0,-18,0), P2z=(0,0,-18), P3x=(-12'21,0,0), P3y=(0,11'86,0), P3z=(0,0,14'07).

(3c) rxy≡ x+5 35 =

y-7 34 =

z 0 ; rxz≡ x+7

59 = y 0 =

z-6 68 ; ryz≡ x

0 = y+5 59 =

z-20 -70.

(4a) s'≡ x+5 0 =

y -5 =

z-4 -2 ; (4b) πb≡x+2y+2z-3=0 ; (4c) πc≡2x+3y+3z-2=0 ; (4d) πd≡x+3=0.

(5a) R=(4,2,-4), r→=(0,-1,1); S=(4,-1,-1), s→=(0,-5,-2); T=(-3,-6,-6), t→=(0,2,-2); T'=(4,2,-4), t'→=(0,-1,1)P1=(-3,-10,-2), u→1=(-8,-2,6), v→1=(-8,-1,5); P2=(-4,-8,-8), u→2=(-16,-3,11), v→2=(0,-1,1); P3=(-5,7,0), u→3=(9,2,8), v→3=(2,7,-6); P4=(-3,-10,-2), u→4=(-8,-2,6), v→4=(-8,-1,5); P5=(-22,-23,16), u→5=(0,-6,8), v→5=(-22,-195,206).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(0,0,14'07); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-23,-56,54)+λ·(-22,-195,206); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(4,-10'64,-4'86);


(5e) π1, π3 i π5 no tenen punts en comú, prisma triangular. π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla.

π2, π3 i π5 es tallen a la recta rsol≡ x+22 -22 =

y+23 -195 =

z-16 206.

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Díaz Ríos, Katherine S .)

Donats els punts A=(0,5,0), B=(4,7,2), C=(4,-1,-6), D=(-4,3,-2), E=(-9,-6,-5), i els vectors u→=(4,2,-5), v→=(6,-6,0).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-1,-8,4)+λ·(3,6,-3), s≡y=-3-8λx=8+7λ

z=-5-7λ, t≡ x+5

-6 = y-7 -12 =

z+1 6, t'≡

2x+y+4z-6=05x+3y+11z-15=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(7,31,-13)+λ·(-7,-7,6)+µ·(-10,-13,9), π2≡y=-5-20λ+6µx=5-17λ+3µ

z=5+15λ-3µ, π3≡27x-9y+2z+40=0,

π4≡5x+y+7z+25=0 i π5≡65x-59y-88z-150=0.







Solucions dels exercicis (Díaz Ríos, Katherine S .)(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(8,9,4). (1c) M=(4,3,-2). (1d) P=(0,-3,-8). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(0,5,0)+λ·(4,2,2); rparam≡y=5+2λx=0+4λ

z=0+2λ; rcont≡ x

4 = y-5 2 =

z 2; rimpl≡

x-2y+10=06x-13y+z+65=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(4,7,2)+λ·(6,-6,0); rparam≡y=7-6λx=4+6λ

z=2; rcont≡ x-4

6 = y-7 -6 =

z-2 0; rimpl≡

2x+2y-13z+4=0x+y-4z-3=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(0,5,0)+λ·(4,2,2)+µ·(4,-6,-6); πparamètrica≡y=5+2λ-6µx=0+4λ+4µ

z=0+2λ-6µ; πgeneral≡-z-5=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-4,3,-2)+λ·(4,2,-5)+µ·(6,-6,0); πparamètrica≡y=3+2λ-6µx=-4+4λ+6µ

z=-2-5λ; πgeneral≡5x+5y+6z+17=0

(3a) Rxy=(3,0,0), Rxz=(3,0,0), Ryz=(0,-6,3), Sxy=(3,2'71,0), Sxz=(5'38,0,-2'38), Syz=(0,6'14,3), Txy=(-6,5,0), Txz=(-8'50,0,2'50), Tyz=(0,17,-6).

(3b) P1x=(-5,0,0), P1y=(0,-25,0), P1z=(0,0,-3'57), P2x=(11,0,0), P2y=(0,55,0), P2z=(0,0,7'86), P3x=(-1'48,0,0), P3y=(0,4'44,0), P3z=(0,0,-20).

(3c) rxy≡ x+1'48 1 =

y 3 =

z 0 ; rxz≡ x+2

-2 = y 0 =

z-7 27 ; ryz≡ x

0 = y-4 2 =

z+2 9.

(4a) s'≡ x 7 =

y-5 -8 =

z -7 ; (4b) πb≡5x+y+7z-5=0 ; (4c) πc≡5x+3y+11z-15=0 ; (4d) πd≡x+z+6=0.

(5a) R=(-1,-8,4), r→=(3,6,-3); S=(8,-3,-5), s→=(7,-8,-7); T=(-5,7,-1), t→=(-6,-12,6); T'=(-1,-8,4), t'→=(3,6,-3)P1=(7,31,-13), u→1=(-7,-7,6), v→1=(-10,-13,9); P2=(5,-5,5), u→2=(-17,-20,15), v→2=(3,6,-3); P3=(-5,-9,7), u→3=(1,1,-9), v→3=(1,3,0); P4=(7,31,-13), u→4=(-7,-7,6), v→4=(-10,-13,9); P5=(-10,-24,7), u→5=(5,7,-1), v→5=(65,179,-72).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(3'86,1'73,-0'86); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-10,-24,7)+λ·(65,179,-72); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(16'59,-12'82,-13'59);


(5e) π1, π3 i π5 es tallen a la recta rsol≡ x+10 65 =

y+24 179 =

z-7 -72. π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla.

π2, π3 i π5 no tenen punts en comú, prisma triangular.

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Estévez Baena , Sergi )

Donats els punts A=(-8,-2,8), B=(-2,-4,0), C=(4,-6,-8), D=(-7,2,8), E=(3,-3,8), i els vectors u→=(6,4,8), v→=(9,-6,9).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-5,-2,6)+λ·(7,-4,5), s≡y=-5-6λx=-2+9λ

z=-6-3λ, t≡ x-2

-14 = y+9 8 =

z+1 -10, t'≡

15x-z+131=041x+18y-43z+499=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(30,-25,19)+λ·(-15,3,-8)+µ·(-22,7,-13), π2≡y=8+10λ-4µx=4-37λ+7µ

z=1-21λ+5µ, π3≡2x+y-16z+102=0,

π4≡17x-19y-39z-244=0 i π5≡11x-22y+9z-550=0.







Solucions dels exercicis (Estévez Baena , Sergi )(1a) Els punts A, B i C sí estan alineats; A, B i D no estan alineats. (1b) A'=(4,-6,-8). (1c) M=(1,-5,-4). (1d) P=(-13,4,16). (1e) A, B, C i E són coplanaris, però A, B, D i E no.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(-8,-2,8)+λ·(6,-2,-8); rparam≡y=-2-2λx=-8+6λ


6 = y+2 -2 =

z-8 -8; rimpl≡

38x+6y+27z+100=0x+3y+14=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(-2,-4,0)+λ·(9,-6,9); rparam≡y=-4-6λx=-2+9λ


9 = y+4 -6 =

z 9; rimpl≡

5x-z+34=02x-3y-4z-8=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(-8,-2,8)+λ·(6,-2,-8)+µ·(1,4,0); πparamètrica≡y=-2-2λ+4µx=-8+6λ+µ

z=8-8λ; πgeneral≡16x-4y+13z+16=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-7,2,8)+λ·(6,4,8)+µ·(9,-6,9); πparamètrica≡y=2+4λ-6µx=-7+6λ+9µ

z=8+8λ+9µ; πgeneral≡14x+3y-12z+188=0

(3a) Rxy=(-13'40,2'80,0), Rxz=(-8'50,0,3'50), Ryz=(0,-4'86,9'57), Sxy=(-20,7,0), Sxz=(-9'50,0,-3'50), Syz=(0,-6'33,-6'67), Txy=(3'40,-9'80,0), Txz=(-13'75,0,-12'25), Tyz=(0,-7'86,-2'43).

(3b) P1x=(14'35,0,0), P1y=(0,-12'84,0), P1z=(0,0,-6'26), P2x=(-7'24,0,0), P2y=(0,6'47,0), P2z=(0,0,3'15), P3x=(-51,0,0), P3y=(0,-102,0), P3z=(0,0,6'38).

(3c) rxy≡ x+51 1 =

y -2 =

z 0 ; rxz≡ x+51

8 = y 0 =

z 1 ; ryz≡ x

0 = y+102 16 =

z 1.

(4a) s'≡ x+8 9 =

y+2 -6 =

z-8 -3 ; (4b) πb≡17x-19y-39z+410=0 ; (4c) πc≡8x+29y+12z+26=0 ; (4d) πd≡7x-z+84=0.

(5a) R=(-5,-2,6), r→=(7,-4,5); S=(-2,-5,-6), s→=(9,-6,-3); T=(2,-9,-1), t→=(-14,8,-10); T'=(-5,-2,6), t'→=(7,-4,5)P1=(30,-25,19), u→1=(-15,3,-8), v→1=(-22,7,-13); P2=(4,8,1), u→2=(-37,10,-21), v→2=(7,-4,5); P3=(-4,2,6), u→3=(7,2,1), v→3=(4,8,1); P4=(30,-25,19), u→4=(-15,3,-8), v→4=(-22,7,-13); P5=(-168,-118,-22), u→5=(2,1,0), v→5=(343,194,55).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(-15'50,4,-1'50); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-168,-118,-22)+λ·(343,194,55); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(-3'20,-4'20,-5'60);



y+118 194 =

z+22 55. π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla.


TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Fernández González , Óscar )

Donats els punts A=(-3,1,-1), B=(2,8,-7), C=(9,-7,-6), D=(-8,-6,5), E=(6,7,3), i els vectors u→=(7,7,-7), v→=(0,-7,7).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(0,-3,-6)+λ·(3,-9,-6), s≡y=5-2λx=8+4λ

z=-6-3λ, t≡ x-4

-6 = y+4 18 =

z+6 12, t'≡

9x+13y-15z-51=07x+11y-13z-45=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(16,-40,-30)+λ·(-7,9,15)+µ·(-10,18,21), π2≡y=-7+27λ-9µx=4-17λ+3µ

z=-1+36λ-6µ, π3≡33x-7y-102z+951=0,

π4≡27x+y+12z-32=0 i π5≡3x+z-21=0.







Solucions dels exercicis (Fernández González , Óscar )(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(7,15,-13). (1c) M=(5'50,0'50,-6'50). (1d) P=(4,-14,0). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(-3,1,-1)+λ·(5,7,-6); rparam≡y=1+7λx=-3+5λ

z=-1-6λ; rcont≡ x+3

5 = y-1 7 =

z+1 -6; rimpl≡

19x+79y+108z+86=055x-83y-51z+197=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(2,8,-7)+λ·(0,-7,7); rparam≡y=8-7λx=2

z=-7+7λ; rcont≡ x-2

0 = y-8 -7 =

z+7 7; rimpl≡

8x-3y-3z-13=0x-5y-5z+3=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(-3,1,-1)+λ·(5,7,-6)+µ·(12,-8,-5); πparamètrica≡y=1+7λ-8µx=-3+5λ+12µ

z=-1-6λ-5µ; πgeneral≡83x+47y+124z+326=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-8,-6,5)+λ·(7,7,-7)+µ·(0,-7,7); πparamètrica≡y=-6+7λ-7µx=-8+7λ

z=5-7λ+7µ; πgeneral≡y+z+1=0

(3a) Rxy=(-3,6,0), Rxz=(-1,0,-4), Ryz=(0,-3,-6), Sxy=(0,9,0), Sxz=(18,0,-13'50), Syz=(0,9,0), Txy=(1,5,0), Txz=(2'67,0,-3'33), Tyz=(0,8,2).

(3b) P1x=(1'19,0,0), P1y=(0,32,0), P1z=(0,0,2'67), P2x=(3'30,0,0), P2y=(0,89,0), P2z=(0,0,7'42), P3x=(-28'82,0,0), P3y=(0,135'86,0), P3z=(0,0,9'32).

(3c) rxy≡ x+32 7 =

y+15 33 =

z 0 ; rxz≡ x+35

34 = y 0 =

z+2 11 ; ryz≡ x

0 = y-165 102 =

z+2 -7.

(4a) s'≡ x+3 4 =

y-1 -2 =

z+1 -3 ; (4b) πb≡27x+y+12z+92=0 ; (4c) πc≡7x-y+5z+27=0 ; (4d) πd≡x-y+2z+4=0.

(5a) R=(0,-3,-6), r→=(3,-9,-6); S=(8,5,-6), s→=(4,-2,-3); T=(4,-4,-6), t→=(-6,18,12); T'=(0,-3,-6), t'→=(3,-9,-6)P1=(16,-40,-30), u→1=(-7,9,15), v→1=(-10,18,21); P2=(4,-7,-1), u→2=(-17,27,36), v→2=(3,-9,-6); P3=(-9,6,6), u→3=(8,-6,3), v→3=(5,9,1); P4=(16,-40,-30), u→4=(-7,9,15), v→4=(-10,18,21); P5=(4,0,9), u→5=(1,-2,-3), v→5=(2,-5,-6).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(-4'80,11'40,3'60); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-3'27,120'42,0)+λ·(-3,525,-37); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(1'31,8'34,-0'99);


(5e) π1, π3 i π5 es tallen al punt I=(-1'26,-231'38,24'79). π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla. π2, π3 i π5 es tallen al punt I=(0'18,-161'37,20'46).

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Franco Soez , Christian )

Donats els punts A=(7,2,-4), B=(6,8,-5), C=(-9,6,0), D=(8,-4,-3), E=(-6,-6,6), i els vectors u→=(2,-4,4), v→=(6,-2,9).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(7,6,8)+λ·(8,5,-2), s≡y=4-9λx=-1

z=9+3λ, t≡ x-2

-8 = y-6 -5 =

z-8 2, t'≡

13x+2y+57z-559=07x-2y+23z-221=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(10,11,6)+λ·(-8,5,-9)+µ·(-16,0,-7), π2≡y=8+5λ+5µx=-1-24λ+8µ

z=7-16λ-2µ, π3≡7x+39y-28z+179=0,

π4≡35x-88y-80z+1098=0 i π5≡44x-54y+63z+587=0.







Solucions dels exercicis (Franco Soez , Christian )(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(5,14,-6). (1c) M=(-1'50,7,-2'50). (1d) P=(-8,0,1). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(7,2,-4)+λ·(-1,6,-1); rparam≡y=2+6λx=7-λ

z=-4-λ; rcont≡ x-7

-1 = y-2 6 =

z+4 -1; rimpl≡

11x+2y+z-77=05x+2y+7z-11=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(6,8,-5)+λ·(6,-2,9); rparam≡y=8-2λx=6+6λ


6 = y-8 -2 =

z+5 9; rimpl≡

45x-126y-58z+448=076x+75y-34z-1226=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(7,2,-4)+λ·(-1,6,-1)+µ·(-16,4,4); πparamètrica≡y=2+6λ+4µx=7-λ-16µ

z=-4-λ+4µ; πgeneral≡7x+5y+23z+33=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(8,-4,-3)+λ·(2,-4,4)+µ·(6,-2,9); πparamètrica≡y=-4-4λ-2µx=8+2λ+6µ

z=-3+4λ+9µ; πgeneral≡14x-3y-10z-154=0

(3a) Rxy=(39,26,0), Rxz=(-2'60,0,10'40), Ryz=(0,1'63,9'75), Sxy=(-1,31,0), Sxz=(-1,0,10'33), Txy=(34,26,0), Txz=(-7'60,0,10'40), Tyz=(0,4'75,8'50).

(3b) P1x=(-31'37,0,0), P1y=(0,12'48,0), P1z=(0,0,13'73), P2x=(-37'11,0,0), P2y=(0,14'76,0), P2z=(0,0,16'24), P3x=(-25'57,0,0), P3y=(0,-4'59,0), P3z=(0,0,6'39).

(3c) rxy≡ x+20 39 =

y+1 -7 =

z 0 ; rxz≡ x+25'57

4 = y 0 =

z 1 ; ryz≡ x

0 = y+1 28 =

z-5 39.

(4a) s'≡ x-7 0 =

y-2 -9 =

z+4 3 ; (4b) πb≡35x-88y-80z-389=0 ; (4c) πc≡17x-24y+8z-39=0 ; (4d) πd≡x+8y+24z-242=0.

(5a) R=(7,6,8), r→=(8,5,-2); S=(-1,4,9), s→=(0,-9,3); T=(2,6,8), t→=(-8,-5,2); T'=(7,6,8), t'→=(8,5,-2)P1=(10,11,6), u→1=(-8,5,-9), v→1=(-16,0,-7); P2=(-1,8,7), u→2=(-24,5,-16), v→2=(8,5,-2); P3=(-9,-8,-7), u→3=(7,-7,-8), v→3=(4,0,1); P4=(10,11,6), u→4=(-8,5,-9), v→4=(-16,0,-7); P5=(2,2,-9), u→5=(0,7,6), v→5=(9,-2,-8).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(-1,1,10); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-29'57,0'72,0)+λ·(5584,420,1981); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(-1,3'85,9'05);


(5e) π1, π3 i π5 es tallen al punt I=(-17'48,1'63,4'29). π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla. π2, π3 i π5 es tallen al punt I=(-18'03,2'59,5'50).

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Fuentes Sevillano , Sandra )

Donats els punts A=(-3,1,1), B=(0,7,7), C=(-6,-5,-5), D=(8,0,6), E=(7,0,6), i els vectors u→=(9,-3,-3), v→=(3,-6,-3).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-1,-4,-5)+λ·(3,-7,5), s≡y=2-6λx=-3+6λ

z=-9+6λ, t≡ x

-3 = y 7 =

z+2 -5, t'≡

42x-37y-77z-491=019x+y-10z-27=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(3,-7,3)+λ·(-9,-9,2)+µ·(-12,-2,-3), π2≡y=-6-11λ-7µx=6-21λ+3µ

z=-9-λ+5µ, π3≡35x+98y-58z-570=0,

π4≡31x-51y-90z-180=0 i π5≡3x+19y-2z+127=0.







Solucions dels exercicis (Fuentes Sevillano , Sandra )(1a) Els punts A, B i C sí estan alineats; A, B i D no estan alineats. (1b) A'=(3,13,13). (1c) M=(-3,1,1). (1d) P=(5,-6,0). (1e) A, B, C i E són coplanaris, però A, B, D i E no.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(-3,1,1)+λ·(3,6,6); rparam≡y=1+6λx=-3+3λ


3 = y-1 6 =

z-1 6; rimpl≡

14x-13y+6z+49=04x-7y+5z+14=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(0,7,7)+λ·(3,-6,-3); rparam≡y=7-6λx=0+3λ

z=7-3λ; rcont≡ x

3 = y-7 -6 =

z-7 -3; rimpl≡

23x+9y+5z-98=04x+5y-6z+7=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(-3,1,1)+λ·(3,6,6)+µ·(11,-1,5); πparamètrica≡y=1+6λ-µx=-3+3λ+11µ

z=1+6λ+5µ; πgeneral≡12x+17y-23z+42=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(8,0,6)+λ·(9,-3,-3)+µ·(3,-6,-3); πparamètrica≡y=0-3λ-6µx=8+9λ+3µ

z=6-3λ-3µ; πgeneral≡x-2y+5z-38=0

(3a) Rxy=(2,-11,0), Rxz=(-2'71,0,-7'86), Ryz=(0,-6'33,-3'33), Sxy=(6,-7,0), Sxz=(-1,0,-7), Syz=(0,-1,-6), Txy=(1'20,-2'80,0), Txz=(0,0,-2), Tyz=(0,0,-2).

(3b) P1x=(5'81,0,0), P1y=(0,-3'53,0), P1z=(0,0,-2), P2x=(42,0,0), P2y=(0,-25'53,0), P2z=(0,0,-14'47), P3x=(16'29,0,0), P3y=(0,5'82,0), P3z=(0,0,-9'83).

(3c) rxy≡ x-16'29 -14 =

y 5 =

z 0 ; rxz≡ x-8

58 = y 0 =

z+5 35 ; ryz≡ x

0 = y-7 29 =

z-2 49.

(4a) s'≡ x+3 6 =

y-1 -6 =

z-1 6 ; (4b) πb≡31x-51y-90z+234=0 ; (4c) πc≡67x-z+174=0 ; (4d) πd≡x-y-2z-4=0.

(5a) R=(-1,-4,-5), r→=(3,-7,5); S=(-3,2,-9), s→=(6,-6,6); T=(0,0,-2), t→=(-3,7,-5); T'=(-1,-4,-5), t'→=(3,-7,5)P1=(3,-7,3), u→1=(-9,-9,2), v→1=(-12,-2,-3); P2=(6,-6,-9), u→2=(-21,-11,-1), v→2=(3,-7,5); P3=(8,0,-5), u→3=(8,-7,-7), v→3=(6,2,7); P4=(3,-7,3), u→4=(-9,-9,2), v→4=(-12,-2,-3); P5=(-8,-5,4), u→5=(3,-1,-5), v→5=(-906,104,-371).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(-4,3,-10); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(9'68,2'36,0)+λ·(-906,104,-371); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(51'38,-52'38,45'38);


(5e) π1, π3 i π5 no tenen punts en comú, prisma triangular. π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla. π2, π3 i π5 no tenen punts en comú, prisma triangular.

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (García Intriago , Jordy E .)

Donats els punts A=(1,6,9), B=(-3,0,8), C=(-2,-7,-6), D=(-7,-6,7), E=(-8,-2,-1), i els vectors u→=(8,5,2), v→=(8,-8,-7).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(7,6,0)+λ·(0,7,-1), s≡y=4-8λx=5+6λ

z=2-4λ, t≡ x-3

0 = y+5 14 =

z+6 -2, t'≡

4x+3y+21z-46=015x-4y-28z-81=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(3,23,-10)+λ·(-2,25,6)+µ·(-2,18,7), π2≡y=-4+43λ+7µx=-6-4λ

z=-9+13λ-µ, π3≡117x+35y-45z-1103=0,

π4≡67x+2y+14z-107=0 i π5≡16x-11y+6z-69=0.







Solucions dels exercicis (García Intriago , Jordy E .)(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(-7,-6,7). (1c) M=(-2'50,-3'50,1). (1d) P=(2,-1,-5). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(1,6,9)+λ·(-4,-6,-1); rparam≡y=6-6λx=1-4λ

z=9-λ; rcont≡ x-1

-4 = y-6 -6 =

z-9 -1; rimpl≡

41x-30y+16z-5=019x-6y-40z+377=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(-3,0,8)+λ·(8,-8,-7); rparam≡y=0-8λx=-3+8λ


8 = y -8 =

z-8 -7; rimpl≡

55x+62y-8z+229=065x+79y-16z+323=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(1,6,9)+λ·(-4,-6,-1)+µ·(-3,-13,-15); πparamètrica≡y=6-6λ-13µx=1-4λ-3µ

z=9-λ-15µ; πgeneral≡77x-57y+34z-41=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-7,-6,7)+λ·(8,5,2)+µ·(8,-8,-7); πparamètrica≡y=-6+5λ-8µx=-7+8λ+8µ

z=7+2λ-7µ; πgeneral≡19x-72y+104z-1027=0

(3a) Rxy=(7,6,0), Rxz=(7,0,0'86), Sxy=(8,0,0), Sxz=(8,0,0), Syz=(0,10'67,5'33), Txy=(3,-47,0), Txz=(3,0,-6'71),

(3b) P1x=(1'60,0,0), P1y=(0,53'50,0), P1z=(0,0,7'64), P2x=(-8,0,0), P2y=(0,-268,0), P2z=(0,0,-38'29), P3x=(9'43,0,0), P3y=(0,31'51,0), P3z=(0,0,-24'51).

(3c) rxy≡ x-19 -35 =

y+32 117 =

z 0 ; rxz≡ x-9'43

5 = y 0 =

z 13 ; ryz≡ x

0 = y-31'51 9 =

z 7.

(4a) s'≡ x-1 6 =

y-6 -8 =

z-9 -4 ; (4b) πb≡67x+2y+14z-205=0 ; (4c) πc≡21x+2y+14z-159=0 ; (4d) πd≡6x+y+7z+29=0.

(5a) R=(7,6,0), r→=(0,7,-1); S=(5,4,2), s→=(6,-8,-4); T=(3,-5,-6), t→=(0,14,-2); T'=(7,6,0), t'→=(0,7,-1)P1=(3,23,-10), u→1=(-2,25,6), v→1=(-2,18,7); P2=(-6,-4,-9), u→2=(-4,43,13), v→2=(0,7,-1); P3=(9,-5,-5), u→3=(0,9,7), v→3=(5,-9,6); P4=(3,23,-10), u→4=(-2,25,6), v→4=(-2,18,7); P5=(8,1,-8), u→5=(5,4,-6), v→5=(6,6,-5).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(7,1'33,0'67); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(0'73,29'08,0)+λ·(-580,4653,2111); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(0'20,10'40,5'20);


(5e) π1, π3 i π5 es tallen al punt I=(5'31,-7'64,-16'66). π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla. π2, π3 i π5 es tallen al punt I=(1'47,-26'77,-41'51).

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (García Milara , Eduard )

Donats els punts A=(-3,5,-9), B=(3,5,-3), C=(-9,8,4), D=(0,5,-6), E=(5,-9,-3), i els vectors u→=(2,-1,8), v→=(8,6,-7).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(3,-3,4)+λ·(8,1,-7), s≡y=-2-6λx=-3+λ

z=7+7λ, t≡ x-2

16 = y-9 2 =

z+7 -14, t'≡

13x+43y+21z+6=036x+55y+49z-139=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(34,13,-35)+λ·(23,-5,-24)+µ·(15,-6,-17), π2≡y=5-11λ+µx=8+38λ+8µ

z=5-41λ-7µ, π3≡5x+9y+6z-104=0,

π4≡59x-31y+63z+602=0 i π5≡y+7=0.







Solucions dels exercicis (García Milara , Eduard )(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(9,5,3). (1c) M=(-3,6'50,0'50). (1d) P=(-15,8,-2). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(-3,5,-9)+λ·(6,0,6); rparam≡y=5x=-3+6λ

z=-9+6λ; rcont≡ x+3

6 = y-5 0 =

z+9 6; rimpl≡

x-z-1=0x-z+9=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(3,5,-3)+λ·(8,6,-7); rparam≡y=5+6λx=3+8λ

z=-3-7λ; rcont≡ x-3

8 = y-5 6 =

z+3 -7; rimpl≡

21x-14y+12z+43=054x-121y-42z+317=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(-3,5,-9)+λ·(6,0,6)+µ·(-6,3,13); πparamètrica≡y=5+3µx=-3+6λ-6µ

z=-9+6λ+13µ; πgeneral≡3x+19y-3z-113=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(0,5,-6)+λ·(2,-1,8)+µ·(8,6,-7); πparamètrica≡y=5-λ+6µx=0+2λ+8µ

z=-6+8λ-7µ; πgeneral≡41x-78y-20z+270=0

(3a) Rxy=(7'57,-2'43,0), Rxz=(27,0,-17), Ryz=(0,-3'38,6'63), Sxy=(-4,4,0), Sxz=(-3'33,0,4'67), Syz=(0,-20,28), Txy=(-6,8,0), Txz=(-70,0,56), Tyz=(0,8'75,-5'25).

(3b) P1x=(-10'20,0,0), P1y=(0,19'42,0), P1z=(0,0,-9'56), P2x=(10'71,0,0), P2y=(0,-20'39,0), P2z=(0,0,10'03), P3x=(20'80,0,0), P3y=(0,11'56,0), P3z=(0,0,17'33).

(3c) rxy≡ x-19 -9 =

y-1 5 =

z 0 ; rxz≡ x-22

6 = y 0 =

z+1 -5 ; ryz≡ x

0 = y-11'56 -2 =

z 3.

(4a) s'≡ x+3 1 =

y-5 -6 =

z+9 7 ; (4b) πb≡59x-31y+63z+899=0 ; (4c) πc≡43x+146y+70z+29=0 ; (4d) πd≡5x+9y+7z-42=0.

(5a) R=(3,-3,4), r→=(8,1,-7); S=(-3,-2,7), s→=(1,-6,7); T=(2,9,-7), t→=(16,2,-14); T'=(3,-3,4), t'→=(8,1,-7)P1=(34,13,-35), u→1=(23,-5,-24), v→1=(15,-6,-17); P2=(8,5,5), u→2=(38,-11,-41), v→2=(8,1,-7); P3=(1,9,3), u→3=(6,2,-8), v→3=(9,-5,0); P4=(34,13,-35), u→4=(23,-5,-24), v→4=(15,-6,-17); P5=(-7,-7,-6), u→5=(9,0,8), v→5=(5,0,-1).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(-2'71,-3'71,9); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-3'20,13'33,0)+λ·(-753,-39,686); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(-4'35,6'12,-2'47);


(5e) π1, π3 i π5 es tallen al punt I=(-395'77,-7,357'64). π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla. π2, π3 i π5 es tallen al punt I=(-205'92,-7,199'44).

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (García Reyes , Daniel )

Donats els punts A=(-6,7,-6), B=(-6,7,-8), C=(-6,7,-9), D=(-2,-4,-1), E=(2,3,3), i els vectors u→=(8,-5,7), v→=(1,6,-4).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-9,-4,4)+λ·(3,-3,-3), s≡y=-7+3λx=3+6λ

z=-6-4λ, t≡ x-6

-3 = y-3 3 =

z-5 3, t'≡

3x-y+4z+7=0x-15y+16z-115=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(9,0,2)+λ·(-3,6,3)+µ·(-6,9,6), π2≡y=5+15λ-3µx=2-9λ+3µ

z=6+9λ-3µ, π3≡27x-9y-8z-178=0,

π4≡x+z-11=0 i π5≡37x-18y-33z-220=0.







Solucions dels exercicis (García Reyes , Daniel )(1a) Els punts A, B i C sí estan alineats; A, B i D no estan alineats. (1b) A'=(-6,7,-10). (1c) M=(-6,7,-8'50). (1d) P=(-2,-4,1). (1e) A, B, C i E són coplanaris, però A, B, D i E no.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(-6,7,-6)+λ·(0,0,-2); rparam≡y=7x=-6


0 = y-7 0 =

z+6 -2; rimpl≡

2x+y+5=04x-y+31=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(-6,7,-8)+λ·(1,6,-4); rparam≡y=7+6λx=-6+λ


1 = y-7 6 =

z+8 -4; rimpl≡

74x-3y+14z+577=08x-14y-19z-6=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(-6,7,-6)+λ·(0,0,-2)+µ·(4,-11,5); πparamètrica≡y=7-11µx=-6+4µ

z=-6-2λ+5µ; πgeneral≡11x+4y+38=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-2,-4,-1)+λ·(8,-5,7)+µ·(1,6,-4); πparamètrica≡y=-4-5λ+6µx=-2+8λ+µ

z=-1+7λ-4µ; πgeneral≡22x-39y-53z-165=0

(3a) Rxy=(-5,-8,0), Rxz=(-13,0,8), Ryz=(0,-13,-5), Sxy=(-6,-11'50,0), Sxz=(17,0,-15'33), Syz=(0,-8'50,-4), Txy=(11,-2,0), Txz=(9,0,2), Tyz=(0,9,11).

(3b) P1x=(11,0,0), P1z=(0,0,11), P2x=(8,0,0), P2z=(0,0,8), P3x=(6'59,0,0), P3y=(0,-19'78,0), P3z=(0,0,-22'25).

(3c) rxy≡ x-6'59 1 =

y 3 =

z 0 ; rxz≡ x-6

8 = y 0 =

z+2 27 ; ryz≡ x

0 = y+18 -8 =

z+2 9.

(4a) s'≡ x+6 6 =

y-7 3 =

z+6 -4 ; (4b) πb≡x+z+12=0 ; (4c) πc≡3x+y+2z+23=0 ; (4d) πd≡7x-2y+9z-81=0.

(5a) R=(-9,-4,4), r→=(3,-3,-3); S=(3,-7,-6), s→=(6,3,-4); T=(6,3,5), t→=(-3,3,3); T'=(-9,-4,4), t'→=(3,-3,-3)P1=(9,0,2), u→1=(-3,6,3), v→1=(-6,9,6); P2=(2,5,6), u→2=(-9,15,9), v→2=(3,-3,-3); P3=(5,-3,-2), u→3=(5,7,9), v→3=(4,4,9); P4=(9,0,2), u→4=(-3,6,3), v→4=(-6,9,6); P5=(10,12,-2), u→5=(3,-3,5), v→5=(-9,-35,9).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(-3,-10,-2); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(13,21,-2)+λ·(-9,-35,9); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(45,14,-34);



π2, π3 i π5 es tallen a la recta rsol≡ x-10 -9 =

y-12 -35 =

z+2 9.

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Guallar Cuyàs , Laia)

Donats els punts A=(-1,7,7), B=(-1,-3,1), C=(-4,-9,1), D=(-1,-8,-2), E=(-3,0,4), i els vectors u→=(3,-5,5), v→=(3,-4,6).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-6,7,-8)+λ·(9,9,-3), s≡y=-8+9λx=-3+3λ

z=6-6λ, t≡ x-8

-9 = y+9 -9 =

z+1 3, t'≡

19x-11y+24z+383=027x-23y+12z+419=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(17,0,-4)+λ·(-3,1,-7)+µ·(-12,-8,-4), π2≡y=5-7λ+9µx=-8-15λ+9µ

z=1-11λ-3µ, π3≡30x+13y+42z+177=0,

π4≡5x-6y-3z-97=0 i π5≡25x+19y+45z+104=0.







Solucions dels exercicis (Guallar Cuyàs , Laia)(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(-1,-13,-5). (1c) M=(-2'50,-6,1). (1d) P=(-4,1,7). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(-1,7,7)+λ·(0,-10,-6); rparam≡y=7-10λx=-1


0 = y-7 -10 =

z-7 -6; rimpl≡

36x+21y-35z+134=06x-3y+5z-8=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(-1,-3,1)+λ·(3,-4,6); rparam≡y=-3-4λx=-1+3λ


3 = y+3 -4 =

z-1 6; rimpl≡

50x-9y-31z+54=022x-9y-17z+12=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(-1,7,7)+λ·(0,-10,-6)+µ·(-3,-16,-6); πparamètrica≡y=7-10λ-16µx=-1-3µ


(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-1,-8,-2)+λ·(3,-5,5)+µ·(3,-4,6); πparamètrica≡y=-8-5λ-4µx=-1+3λ+3µ

z=-2+5λ+6µ; πgeneral≡10x+3y-3z+28=0

(3a) Rxy=(-30,-17,0), Rxz=(-13,0,-5'67), Ryz=(0,13,-10), Sxy=(0,1,0), Sxz=(-0'33,0,0'67), Syz=(0,1,0), Txy=(5,-12,0), Txz=(17,0,-4), Tyz=(0,-17,1'67).

(3b) P1x=(19'40,0,0), P1y=(0,-16'17,0), P1z=(0,0,-32'33), P2x=(-14'60,0,0), P2y=(0,12'17,0), P2z=(0,0,24'33), P3x=(-5'90,0,0), P3y=(0,-13'62,0), P3z=(0,0,-4'21).

(3c) rxy≡ x+2 13 =

y+9 -30 =

z 0 ; rxz≡ x+5'90

-7 = y 0 =

z 5 ; ryz≡ x

0 = y+33 -42 =

z-6 13.

(4a) s'≡ x+1 3 =

y-7 9 =

z-7 -6 ; (4b) πb≡5x-6y-3z+68=0 ; (4c) πc≡9x-10y-3z+100=0 ; (4d) πd≡3x-5y-6z-75=0.

(5a) R=(-6,7,-8), r→=(9,9,-3); S=(-3,-8,6), s→=(3,9,-6); T=(8,-9,-1), t→=(-9,-9,3); T'=(-6,7,-8), t'→=(9,9,-3)P1=(17,0,-4), u→1=(-3,1,-7), v→1=(-12,-8,-4); P2=(-8,5,1), u→2=(-15,-7,-11), v→2=(9,9,-3); P3=(-2,-9,0), u→3=(4,-6,-1), v→3=(3,6,-4); P4=(17,0,-4), u→4=(-3,1,-7), v→4=(-12,-8,-4); P5=(37,69,-52), u→5=(9,0,-5), v→5=(213,300,-245).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(6,19,-12); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-67,-111,78)+λ·(213,300,-245); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(-14'71,-43'14,29'43);



π2, π3 i π5 es tallen a la recta rsol≡ x-37 213 =

y-69 300 =

z+52 -245.

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Hernández Ospina , Carolina )

Donats els punts A=(6,-4,-9), B=(-6,0,-1), C=(3,-3,-7), D=(-2,-5,-1), E=(4,0,4), i els vectors u→=(2,-6,9), v→=(9,-2,6).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-7,-5,2)+λ·(8,2,-2), s≡y=0x=5+8λ

z=-4+λ, t≡ x

16 = y-9 4 =

z-5 -4, t'≡

x-14y-10z-43=011x-y+43z-14=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(32,17,-3)+λ·(15,8,-10)+µ·(7,6,-8), π2≡y=6+14λ+2µx=3+22λ+8µ

z=-4-18λ-2µ, π3≡4x-12y+9z-64=0,

π4≡2x-25y-17z+310=0 i π5≡2x+51y+69z-1058=0.







Solucions dels exercicis (Hernández Ospina , Carolina )(1a) Els punts A, B i C sí estan alineats; A, B i D no estan alineats. (1b) A'=(-18,4,7). (1c) M=(-1'50,-1'50,-4). (1d) P=(10,-9,-9). (1e) A, B, C i E són coplanaris, però A, B, D i E no.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(6,-4,-9)+λ·(-12,4,8); rparam≡y=-4+4λx=6-12λ


-12 = y+4 4 =

z+9 8; rimpl≡

11x+3y+15z+81=03x+5y+2z+20=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(-6,0,-1)+λ·(9,-2,6); rparam≡y=0-2λx=-6+9λ


9 = y -2 =

z+1 6; rimpl≡

22x-39y-46z+86=02x+12y+z+13=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(6,-4,-9)+λ·(-12,4,8)+µ·(-8,-1,8); πparamètrica≡y=-4+4λ-µx=6-12λ-8µ

z=-9+8λ+8µ; πgeneral≡10x+8y+11z+71=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-2,-5,-1)+λ·(2,-6,9)+µ·(9,-2,6); πparamètrica≡y=-5-6λ-2µx=-2+2λ+9µ

z=-1+9λ+6µ; πgeneral≡18x-69y-50z-359=0

(3a) Rxy=(1,-3,0), Rxz=(13,0,-3), Ryz=(0,-3'25,0'25), Sxy=(37,0,0), Syz=(0,0,-4'63), Txy=(20,14,0), Txz=(-36,0,14), Tyz=(0,9,5).

(3b) P1x=(-155,0,0), P1y=(0,12'40,0), P1z=(0,0,18'24), P2x=(-38,0,0), P2y=(0,3'04,0), P2z=(0,0,4'47), P3x=(16,0,0), P3y=(0,-5'33,0), P3z=(0,0,7'11).

(3c) rxy≡ x-16 3 =

y 1 =

z 0 ; rxz≡ x-16

9 = y 0 =

z -4 ; ryz≡ x

0 = y+5'33 3 =

z 4.

(4a) s'≡ x-6 8 =

y+4 0 =

z+9 1 ; (4b) πb≡2x-25y-17z-265=0 ; (4c) πc≡10x-31y+9z-103=0 ; (4d) πd≡x-12y-8z+148=0.

(5a) R=(-7,-5,2), r→=(8,2,-2); S=(5,0,-4), s→=(8,0,1); T=(0,9,5), t→=(16,4,-4); T'=(-7,-5,2), t'→=(8,2,-2)P1=(32,17,-3), u→1=(15,8,-10), v→1=(7,6,-8); P2=(3,6,-4), u→2=(22,14,-18), v→2=(8,2,-2); P3=(-5,-4,4), u→3=(3,4,4), v→3=(3,7,8); P4=(32,17,-3), u→4=(15,8,-10), v→4=(7,6,-8); P5=(70,18,0), u→5=(6,-7,5), v→5=(429,86,-76).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(13,0,-3); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(70,18,0)+λ·(429,86,-76); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(3109,0,384);


(5e) π1, π3 i π5 es tallen a la recta rsol≡ x-70 429 =

y-18 86 =

z -76. π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla.


TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (López Cuartas , Jhon Jairo )

Donats els punts A=(7,2,6), B=(7,2,5), C=(-3,-8,3), D=(7,2,8), E=(-2,6,1), i els vectors u→=(0,-1,5), v→=(5,-9,-7).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-5,-8,9)+λ·(0,4,4), s≡y=2-λx=9+λ

z=5-2λ, t≡ x+4

0 = y+9 -8 =

z -8, t'≡

-z+17=08x-3y+3z-11=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(-4,7,16)+λ·(-3,-12,-10)+µ·(-3,-16,-14), π2≡y=-2-28λ+4µx=-8-6λ

z=0-24λ+4µ, π3≡2x+15y+4z+82=0,

π4≡2x-3y+3z-19=0 i π5≡34x+21y+55z+81=0.







Solucions dels exercicis (López Cuartas , Jhon Jairo )(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(7,2,4). (1c) M=(2,-3,4). (1d) P=(-3,-8,4). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(7,2,6)+λ·(0,0,-1); rparam≡y=2x=7

z=6-λ; rcont≡ x-7

0 = y-2 0 =

z-6 -1; rimpl≡

8x+7y-70=0y-2=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(7,2,5)+λ·(5,-9,-7); rparam≡y=2-9λx=7+5λ

z=5-7λ; rcont≡ x-7

5 = y-2 -9 =

z-5 -7; rimpl≡

126x+91y-27z-929=016x-37y+59z-333=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(7,2,6)+λ·(0,0,-1)+µ·(-10,-10,-3); πparamètrica≡y=2-10µx=7-10µ

z=6-λ-3µ; πgeneral≡x-y-5=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(7,2,8)+λ·(0,-1,5)+µ·(5,-9,-7); πparamètrica≡y=2-λ-9µx=7+5µ

z=8+5λ-7µ; πgeneral≡52x+25y+5z-454=0

(3a) Rxy=(-5,-17,0), Rxz=(-5,0,17), Sxy=(11'50,-0'50,0), Sxz=(11,0,1), Syz=(0,11,23), Txy=(-4,-9,0), Txz=(-4,0,9),

(3b) P1x=(9'50,0,0), P1y=(0,-6'33,0), P1z=(0,0,6'33), P2x=(-5,0,0), P2y=(0,3'33,0), P2z=(0,0,-3'33), P3x=(-41,0,0), P3y=(0,-5'47,0), P3z=(0,0,-20'50).

(3c) rxy≡ x+41 15 =

y -2 =

z 0 ; rxz≡ x+41

-2 = y 0 =

z 1 ; ryz≡ x

0 = y+6 4 =

z-2 -15.

(4a) s'≡ x-7 1 =

y-2 -1 =

z-6 -2 ; (4b) πb≡2x-3y+3z-26=0 ; (4c) πc≡13x-12y+12z-139=0 ; (4d) πd≡x-y+z-5=0.

(5a) R=(-5,-8,9), r→=(0,4,4); S=(9,2,5), s→=(1,-1,-2); T=(-4,-9,0), t→=(0,-8,-8); T'=(-5,-8,9), t'→=(0,4,4)P1=(-4,7,16), u→1=(-3,-12,-10), v→1=(-3,-16,-14); P2=(-8,-2,0), u→2=(-6,-28,-24), v→2=(0,4,4); P3=(-5,-4,-3), u→3=(4,0,-2), v→3=(3,2,-9); P4=(-4,7,16), u→4=(-3,-12,-10), v→4=(-3,-16,-14); P5=(-10,-6,7), u→5=(1,1,-1), v→5=(57,2,-36).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(-5,16,33); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-10,-6,7)+λ·(57,2,-36); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(17,-6,-11);



y+6 2 =



TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Moreno Beltrán , Carla)

Donats els punts A=(-8,6,3), B=(4,8,5), C=(3,1,-4), D=(-2,7,4), E=(3,9,-5), i els vectors u→=(7,-1,-5), v→=(9,-4,6).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-8,6,0)+λ·(4,-4,-8), s≡y=2-4λx=-4+4λ

z=4-4λ, t≡ x-6

-4 = y-3 4 =

z+4 8, t'≡

10x-4y+7z+104=03x-13y+8z+102=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(10,-1,-12)+λ·(0,2,-8)+µ·(-4,6,0), π2≡y=0+8λ-4µx=8-4λ+4µ

z=1-8λ-8µ, π3≡49x-63y-30z+984=0,

π4≡6x+4y+z-44=0 i π5≡3x+2y-6z-19=0.







Solucions dels exercicis (Moreno Beltrán , Carla)(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(16,10,7). (1c) M=(3'50,4'50,0'50). (1d) P=(-9,-1,-6). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(-8,6,3)+λ·(12,2,2); rparam≡y=6+2λx=-8+12λ


12 = y-6 2 =

z-3 2; rimpl≡

x+4y-10z+14=0x-14y+8z+68=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(4,8,5)+λ·(9,-4,6); rparam≡y=8-4λx=4+9λ

z=5+6λ; rcont≡ x-4

9 = y-8 -4 =

z-5 6; rimpl≡

14x+66y+23z-699=052x+63y-36z-532=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(-8,6,3)+λ·(12,2,2)+µ·(11,-5,-7); πparamètrica≡y=6+2λ-5µx=-8+12λ+11µ

z=3+2λ-7µ; πgeneral≡2x-53y+41z+211=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-2,7,4)+λ·(7,-1,-5)+µ·(9,-4,6); πparamètrica≡y=7-λ-4µx=-2+7λ+9µ

z=4-5λ+6µ; πgeneral≡26x+87y+19z-633=0

(3a) Rxy=(-8,6,0), Rxz=(-2,0,-12), Ryz=(0,-2,-16), Sxy=(0,-2,0), Sxz=(-2,0,2), Syz=(0,-2,0), Txy=(4,5,0), Txz=(9,0,-10), Tyz=(0,9,8).

(3b) P1x=(7'33,0,0), P1y=(0,11,0), P1z=(0,0,44), P2x=(8'17,0,0), P2y=(0,12'25,0), P2z=(0,0,49), P3x=(-20'08,0,0), P3y=(0,15'62,0), P3z=(0,0,32'80).

(3c) rxy≡ x+20'08 9 =

y 7 =

z 0 ; rxz≡ x+6

30 = y 0 =

z-23 49 ; ryz≡ x

0 = y-18 -10 =

z+5 21.

(4a) s'≡ x+8 4 =

y-6 -4 =

z-3 -4 ; (4b) πb≡6x+4y+z+21=0 ; (4c) πc≡x+y+2=0 ; (4d) πd≡x+y-9=0.

(5a) R=(-8,6,0), r→=(4,-4,-8); S=(-4,2,4), s→=(4,-4,-4); T=(6,3,-4), t→=(-4,4,8); T'=(-8,6,0), t'→=(4,-4,-8)P1=(10,-1,-12), u→1=(0,2,-8), v→1=(-4,6,0); P2=(8,0,1), u→2=(-4,8,-8), v→2=(4,-4,-8); P3=(-3,9,9), u→3=(3,-1,7), v→3=(9,7,0); P4=(10,-1,-12), u→4=(0,2,-8), v→4=(-4,6,0); P5=(3,8,1), u→5=(0,-9,-3), v→5=(8,0,4).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(0,0,32'80); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-6,30,-40)+λ·(57,-229,574); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(52,-54,-52);



TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Moreno Melendo , Alejandro )

Donats els punts A=(-5,8,-2), B=(4,8,7), C=(-1,8,2), D=(-8,0,-4), E=(-1,-6,-3), i els vectors u→=(0,-9,9), v→=(0,-6,-3).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-5,8,-8)+λ·(4,-4,3), s≡y=-2-6λx=0+9λ

z=7, t≡ x+1

8 = y+7 -8 =

z-2 6, t'≡

26x+53y+36z-6=019x+28y+12z-33=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(15,-23,14)+λ·(12,-9,18)+µ·(8,-5,15), π2≡y=9-14λ-4µx=-5+20λ+4µ

z=-7+33λ+3µ, π3≡5x+y+3z-16=0,

π4≡15x+12y-4z+107=0 i π5≡90x+52y-23z+397=0.







Solucions dels exercicis (Moreno Melendo , Alejandro )(1a) Els punts A, B i C sí estan alineats; A, B i D no estan alineats. (1b) A'=(13,8,16). (1c) M=(1'50,8,4'50). (1d) P=(-17,0,-13). (1e) A, B, C i E són coplanaris, però A, B, D i E no.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(-5,8,-2)+λ·(9,0,9); rparam≡y=8x=-5+9λ


9 = y-8 0 =

z+2 9; rimpl≡

9x+y-9z+19=06x+11y-6z-70=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(4,8,7)+λ·(0,-6,-3); rparam≡y=8-6λx=4


0 = y-8 -6 =

z-7 -3; rimpl≡

3x-8y+16z-60=022x+9y-18z-34=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(-5,8,-2)+λ·(9,0,9)+µ·(-3,-8,-2); πparamètrica≡y=8-8µx=-5+9λ-3µ

z=-2+9λ-2µ; πgeneral≡8x-y-8z+32=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-8,0,-4)+λ·(0,-9,9)+µ·(0,-6,-3); πparamètrica≡y=0-9λ-6µx=-8

z=-4+9λ-3µ; πgeneral≡x+8=0

(3a) Rxy=(5'67,-2'67,0), Rxz=(3,0,-2), Ryz=(0,3,-4'25), Sxz=(-3,0,7), Syz=(0,-2,7), Txy=(-3'67,-4'33,0), Txz=(-8,0,-3'25), Tyz=(0,-8,2'75).

(3b) P1x=(-7'13,0,0), P1y=(0,-8'92,0), P1z=(0,0,26'75), P2x=(4'07,0,0), P2y=(0,5'08,0), P2z=(0,0,-15'25), P3x=(3'20,0,0), P3y=(0,16,0), P3z=(0,0,5'33).

(3c) rxy≡ x-3 1 =

y-1 -5 =

z 0 ; rxz≡ x-2

3 = y 0 =

z-2 -5 ; ryz≡ x

0 = y-16 -3 =

z 1.

(4a) s'≡ x+5 9 =

y-8 -6 =

z+2 0 ; (4b) πb≡15x+12y-4z-29=0 ; (4c) πc≡x+y-3=0 ; (4d) πd≡6x+9y+4z+61=0.

(5a) R=(-5,8,-8), r→=(4,-4,3); S=(0,-2,7), s→=(9,-6,0); T=(-1,-7,2), t→=(8,-8,6); T'=(-5,8,-8), t'→=(4,-4,3)P1=(15,-23,14), u→1=(12,-9,18), v→1=(8,-5,15); P2=(-5,9,-7), u→2=(20,-14,33), v→2=(4,-4,3); P3=(2,-3,3), u→3=(0,9,-3), v→3=(3,9,-8); P4=(15,-23,14), u→4=(12,-9,18), v→4=(8,-5,15); P5=(-8,4,-5), u→5=(5,-6,6), v→5=(2,-7,-8).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(15,-12,7); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(6'64,-17'22,0)+λ·(-8,13,9); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(-7'86,3'24,7);


(5e) π1, π3 i π5 es tallen al punt I=(3'47,-12'07,3'57). π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla. π2, π3 i π5 es tallen al punt I=(-20'49,39'47,26'32).

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Muñoz Carvajal , María)

Donats els punts A=(4,-7,4), B=(-1,8,4), C=(-3,5,3), D=(3,-4,4), E=(3,1,-1), i els vectors u→=(8,-8,0), v→=(0,-5,-4).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(3,-2,-4)+λ·(1,-6,-8), s≡y=7-4λx=5+λ

z=1-6λ, t≡ x-6

2 = y-9 -12 =

z+7 -16, t'≡

6x+49y-36z-64=056x+16y-5z-156=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(10,-15,-39)+λ·(-6,-12,-21)+µ·(-7,-6,-13), π2≡y=-7-18λ-6µx=7-13λ+µ

z=3-34λ-8µ, π3≡6x-8y+z-47=0,

π4≡10x+23y-16z-379=0 i π5≡22x+7y-14z-473=0.







Solucions dels exercicis (Muñoz Carvajal , María)(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(-6,23,4). (1c) M=(-2,6'50,3'50). (1d) P=(2,-10,3). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(4,-7,4)+λ·(-5,15,0); rparam≡y=-7+15λx=4-5λ

z=4; rcont≡ x-4

-5 = y+7 15 =

z-4 0; rimpl≡

3x+y+4z-21=03x+y+12z-53=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(-1,8,4)+λ·(0,-5,-4); rparam≡y=8-5λx=-1


0 = y-8 -5 =

z-4 -4; rimpl≡

x+1=021x-4y+5z+33=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(4,-7,4)+λ·(-5,15,0)+µ·(-7,12,-1); πparamètrica≡y=-7+15λ+12µx=4-5λ-7µ

z=4-µ; πgeneral≡3x+y-9z+31=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(3,-4,4)+λ·(8,-8,0)+µ·(0,-5,-4); πparamètrica≡y=-4-8λ-5µx=3+8λ

z=4-4µ; πgeneral≡4x+4y-5z+24=0

(3a) Rxy=(2'50,1,0), Rxz=(2'67,0,-1'33), Ryz=(0,16,20), Sxy=(5'17,6'33,0), Sxz=(6'75,0,-9'50), Syz=(0,27,31), Txy=(5'13,14'25,0), Txz=(7'50,0,-19), Tyz=(0,45,41).

(3b) P1x=(37'90,0,0), P1y=(0,16'48,0), P1z=(0,0,-23'69), P2x=(-13'90,0,0), P2y=(0,-6'04,0), P2z=(0,0,8'69), P3x=(7'83,0,0), P3y=(0,-5'88,0), P3z=(0,0,47).

(3c) rxy≡ x-7'83 4 =

y 3 =

z 0 ; rxz≡ x-8

1 = y 0 =

z+1 -6 ; ryz≡ x

0 = y+6 1 =

z+1 8.

(4a) s'≡ x-4 1 =

y+7 -4 =

z-4 -6 ; (4b) πb≡10x+23y-16z+185=0 ; (4c) πc≡88x-z-236=0 ; (4d) πd≡2x-y+z+4=0.

(5a) R=(3,-2,-4), r→=(1,-6,-8); S=(5,7,1), s→=(1,-4,-6); T=(6,9,-7), t→=(2,-12,-16); T'=(3,-2,-4), t'→=(1,-6,-8)P1=(10,-15,-39), u→1=(-6,-12,-21), v→1=(-7,-6,-13); P2=(7,-7,3), u→2=(-13,-18,-34), v→2=(1,-6,-8); P3=(2,-5,-5), u→3=(0,1,8), v→3=(7,6,6); P4=(10,-15,-39), u→4=(-6,-12,-21), v→4=(-7,-6,-13); P5=(-24,-35,-89), u→5=(0,8,4), v→5=(105,106,218).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(-5'50,49,64); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-24,-35,-89)+λ·(105,106,218); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(18'14,-45'57,-77'86);



y+35 106 =

z+89 218. π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla.


TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Pérez Garrido , David )

Donats els punts A=(5,2,-2), B=(1,-2,-6), C=(1,7,-1), D=(0,-3,-7), E=(6,6,-5), i els vectors u→=(6,-7,1), v→=(4,-5,-4).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-6,1,-4)+λ·(2,3,0), s≡y=-3-4λx=-2+9λ

z=0+7λ, t≡ x+7

-2 = y-3 -3 =

z-4 0, t'≡

15x-10y-9z+64=0z+4=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(-5,6,4)+λ·(0,-9,4)+µ·(-2,-12,4), π2≡y=-4-21λ+3µx=-9-2λ+2µ

z=3+8λ, π3≡4x-4y+3z+39=0,

π4≡6x-4y-9z+90=0 i π5≡4x-z-19=0.







Solucions dels exercicis (Pérez Garrido , David )(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(-3,-6,-10). (1c) M=(1,2'50,-3'50). (1d) P=(5,11,3). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(5,2,-2)+λ·(-4,-4,-4); rparam≡y=2-4λx=5-4λ


-4 = y-2 -4 =

z+2 -4; rimpl≡

9x-2y-7z-55=013x-7y-6z-63=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(1,-2,-6)+λ·(4,-5,-4); rparam≡y=-2-5λx=1+4λ


4 = y+2 -5 =

z+6 -4; rimpl≡

59x-8y+69z+339=037x+52y-28z-101=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(5,2,-2)+λ·(-4,-4,-4)+µ·(-4,5,1); πparamètrica≡y=2-4λ+5µx=5-4λ-4µ

z=-2-4λ+µ; πgeneral≡4x+5y-9z-48=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(0,-3,-7)+λ·(6,-7,1)+µ·(4,-5,-4); πparamètrica≡y=-3-7λ-5µx=0+6λ+4µ

z=-7+λ-4µ; πgeneral≡33x+28y-2z+70=0

(3a) Rxz=(-6'67,0,-4), Ryz=(0,10,-4), Sxy=(-2,-3,0), Sxz=(-8'75,0,-5'25), Syz=(0,-3'89,1'56), Txz=(-9,0,4), Tyz=(0,13'50,4).

(3b) P1x=(-15,0,0), P1y=(0,22'50,0), P1z=(0,0,10), P2x=(-10'83,0,0), P2y=(0,16'25,0), P2z=(0,0,7'22), P3x=(-9'75,0,0), P3y=(0,9'75,0), P3z=(0,0,-13).

(3c) rxy≡ x+9'75 1 =

y 1 =

z 0 ; rxz≡ x+9

-3 = y 0 =

z+1 4 ; ryz≡ x

0 = y-9 3 =

z+1 4.

(4a) s'≡ x-5 9 =

y-2 -4 =

z+2 7 ; (4b) πb≡6x-4y-9z-40=0 ; (4c) πc≡6x-4y-31z-84=0 ; (4d) πd≡3x-2y-5z+47=0.

(5a) R=(-6,1,-4), r→=(2,3,0); S=(-2,-3,0), s→=(9,-4,7); T=(-7,3,4), t→=(-2,-3,0); T'=(-6,1,-4), t'→=(2,3,0)P1=(-5,6,4), u→1=(0,-9,4), v→1=(-2,-12,4); P2=(-9,-4,3), u→2=(-2,-21,8), v→2=(2,3,0); P3=(-1,8,-1), u→3=(3,3,0), v→3=(1,7,8); P4=(-5,6,4), u→4=(0,-9,4), v→4=(-2,-12,4); P5=(-5,9,-3), u→5=(8,-9,-4), v→5=(5,-3,8).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(-7'14,-0'71,-4); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-25'50,-15'75,0)+λ·(24,27,4); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(-117'71,48'43,-90);



TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Ramón Arévalo , Sara)

Donats els punts A=(-3,-9,-6), B=(-3,-9,0), C=(1,-6,3), D=(-3,-9,-7), E=(9,3,-3), i els vectors u→=(6,3,7), v→=(3,9,7).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(2,-2,-5)+λ·(8,-4,-2), s≡y=3+8λx=3+6λ

z=-8-7λ, t≡ x+5

-16 = y-7 8 =

z-1 4, t'≡

4x+3y+10z+48=011x+16y+12z+70=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(27,-9,-7)+λ·(-11,-5,-5)+µ·(-19,-1,-3), π2≡y=-3-6λ-4µx=-4-30λ+8µ

z=5-8λ-2µ, π3≡3x+17y+9z-63=0,

π4≡5x+31y-42z-150=0 i π5≡83x+45y-43z-576=0.







Solucions dels exercicis (Ramón Arévalo , Sara)(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(-3,-9,6). (1c) M=(-1,-7'50,1'50). (1d) P=(1,-6,-3). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(-3,-9,-6)+λ·(0,0,6); rparam≡y=-9x=-3


0 = y+9 0 =

z+6 6; rimpl≡

x-y-6=0x-2y-15=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(-3,-9,0)+λ·(3,9,7); rparam≡y=-9+9λx=-3+3λ


3 = y+9 9 =

z 7; rimpl≡

10x-29y+33z-231=011x-13y+12z-84=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(-3,-9,-6)+λ·(0,0,6)+µ·(4,3,9); πparamètrica≡y=-9+3µx=-3+4µ

z=-6+6λ+9µ; πgeneral≡3x-4y-27=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-3,-9,-7)+λ·(6,3,7)+µ·(3,9,7); πparamètrica≡y=-9+3λ+9µx=-3+6λ+3µ

z=-7+7λ+7µ; πgeneral≡14x+7y-15z=0

(3a) Rxy=(-18,8,0), Rxz=(-2,0,-4), Ryz=(0,-1,-4'50), Sxy=(-3'86,-6'14,0), Sxz=(0'75,0,-5'38), Syz=(0,-1,-4'50), Txy=(-1,5,0), Txz=(9,0,-2'50), Tyz=(0,4'50,-0'25).

(3b) P1x=(30,0,0), P1y=(0,4'84,0), P1z=(0,0,-3'57), P2x=(-64'60,0,0), P2y=(0,-10'42,0), P2z=(0,0,7'69), P3x=(21,0,0), P3y=(0,3'71,0), P3z=(0,0,7).

(3c) rxy≡ x-21 -17 =

y 3 =

z 0 ; rxz≡ x-21

-3 = y 0 =

z 1 ; ryz≡ x

0 = y 9 =

z-7 -17.

(4a) s'≡ x+3 6 =

y+9 8 =

z+6 -7 ; (4b) πb≡5x+31y-42z+42=0 ; (4c) πc≡5x-9y+38z+162=0 ; (4d) πd≡x+y+2z-4=0.

(5a) R=(2,-2,-5), r→=(8,-4,-2); S=(3,3,-8), s→=(6,8,-7); T=(-5,7,1), t→=(-16,8,4); T'=(2,-2,-5), t'→=(8,-4,-2)P1=(27,-9,-7), u→1=(-11,-5,-5), v→1=(-19,-1,-3); P2=(-4,-3,5), u→2=(-30,-6,-8), v→2=(8,-4,-2); P3=(3,0,6), u→3=(8,-3,3), v→3=(2,-3,5); P4=(27,-9,-7), u→4=(-11,-5,-5), v→4=(-19,-1,-3); P5=(6,-4,-6), u→5=(9,-8,9), v→5=(2,3,7).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(0,-1,-4'50); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-447,81,3)+λ·(-993,171,8); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(-0'08,-1'11,-4'40);


(5e) π1, π3 i π5 es tallen al punt I=(4'88,3'18,-0'64). π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla. π2, π3 i π5 es tallen al punt I=(12'04,-2'34,7'40).

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Ramzam, Mariya )

Donats els punts A=(3,-6,-7), B=(5,-2,1), C=(4,-4,-3), D=(-6,1,6), E=(-6,-9,0), i els vectors u→=(9,5,-7), v→=(6,6,-4).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-9,-6,-9)+λ·(3,9,-3), s≡y=6-6λx=5+λ

z=7+8λ, t≡ x+4

-3 = y-6 -9 =

z-5 3, t'≡

19x-7y-2z+111=09x+4y+21z+294=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(-1,15,2)+λ·(-6,-9,7)+µ·(-9,-18,10), π2≡y=-1-27λ+9µx=-9-15λ+3µ

z=-5+17λ-3µ, π3≡7x+6y+4z-39=0,

π4≡12x-y+9z+9=0 i π5≡5x-7y+5z+48=0.







Solucions dels exercicis (Ramzam, Mariya )(1a) Els punts A, B i C sí estan alineats; A, B i D no estan alineats. (1b) A'=(7,2,9). (1c) M=(4'50,-3,-1). (1d) P=(-8,-3,-2). (1e) A, B, C i E són coplanaris, però A, B, D i E no.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(3,-6,-7)+λ·(2,4,8); rparam≡y=-6+4λx=3+2λ


2 = y+6 4 =

z+7 8; rimpl≡

10x+13y-9z-15=046x-9y-7z-241=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(5,-2,1)+λ·(6,6,-4); rparam≡y=-2+6λx=5+6λ


6 = y+2 6 =

z-1 -4; rimpl≡

3x-11y-12z-25=041x-35y+9z-284=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(3,-6,-7)+λ·(2,4,8)+µ·(-9,7,13); πparamètrica≡y=-6+4λ+7µx=3+2λ-9µ

z=-7+8λ+13µ; πgeneral≡2x+49y-25z+113=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-6,1,6)+λ·(9,5,-7)+µ·(6,6,-4); πparamètrica≡y=1+5λ+6µx=-6+9λ+6µ


(3a) Rxy=(-18,-33,0), Rxz=(-7,0,-11), Ryz=(0,21,-18), Sxy=(4'13,11'25,0), Sxz=(6,0,15), Syz=(0,36,-33), Txy=(1,21,0), Txz=(-6,0,7), Tyz=(0,18,1).

(3b) P1x=(-0'75,0,0), P1y=(0,9,0), P1z=(0,0,-1), P2x=(-12'67,0,0), P2y=(0,152,0), P2z=(0,0,-16'89), P3x=(5'57,0,0), P3y=(0,6'50,0), P3z=(0,0,9'75).

(3c) rxy≡ x-3 -6 =

y-3 7 =

z 0 ; rxz≡ x-5

4 = y 0 =

z-1 -7 ; ryz≡ x

0 = y-6'50 -2 =

z 3.

(4a) s'≡ x-3 1 =

y+6 -6 =

z+7 8 ; (4b) πb≡12x-y+9z+21=0 ; (4c) πc≡3x-7y-18z-177=0 ; (4d) πd≡2x-z+19=0.

(5a) R=(-9,-6,-9), r→=(3,9,-3); S=(5,6,7), s→=(1,-6,8); T=(-4,6,5), t→=(-3,-9,3); T'=(-9,-6,-9), t'→=(3,9,-3)P1=(-1,15,2), u→1=(-6,-9,7), v→1=(-9,-18,10); P2=(-9,-1,-5), u→2=(-15,-27,17), v→2=(3,9,-3); P3=(3,3,0), u→3=(2,-3,1), v→3=(2,-7,7); P4=(-1,15,2), u→4=(-6,-9,7), v→4=(-9,-18,10); P5=(-9,9,12), u→5=(3,0,-3), v→5=(-58,15,79).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(1'67,26,-19'67); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-9,9,12)+λ·(-58,15,79); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(3'60,14'40,-4'20);


(5e) π1, π3 i π5 es tallen a la recta rsol≡ x+9 -58 =

y-9 15 =

z-12 79. π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla.


TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Rangel Membrado , Juan Miguel )

Donats els punts A=(4,-7,-3), B=(7,2,-3), C=(8,5,-3), D=(-5,-9,-9), E=(9,4,9), i els vectors u→=(4,-8,8), v→=(9,6,-4).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-7,-7,-5)+λ·(6,2,7), s≡y=-7-2λx=5+7λ

z=-5-7λ, t≡ x-2

12 = y+8 4 =

z-8 14, t'≡

43x+18y-42z+217=011x-19y-4z-76=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(26,0,36)+λ·(10,14,20)+µ·(4,12,13), π2≡y=-2+26λ+2µx=-9+14λ+6µ

z=-9+33λ+7µ, π3≡74x+57y+5z-848=0,

π4≡29x+25y-32z+398=0 i π5≡9x+9y+7z-71=0.







Solucions dels exercicis (Rangel Membrado , Juan Miguel )(1a) Els punts A, B i C sí estan alineats; A, B i D no estan alineats. (1b) A'=(10,11,-3). (1c) M=(7'50,3'50,-3). (1d) P=(-8,-18,-9). (1e) A, B, C i E són coplanaris, però A, B, D i E no.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(4,-7,-3)+λ·(3,9,0); rparam≡y=-7+9λx=4+3λ

z=-3; rcont≡ x-4

3 = y+7 9 =

z+3 0; rimpl≡

21x-7y-29z-220=03x-y+6z-1=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(7,2,-3)+λ·(9,6,-4); rparam≡y=2+6λx=7+9λ


9 = y-2 6 =

z+3 -4; rimpl≡

4x-24y-27z-61=034x-31y+30z-86=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(4,-7,-3)+λ·(3,9,0)+µ·(-9,-2,-6); πparamètrica≡y=-7+9λ-2µx=4+3λ-9µ

z=-3-6µ; πgeneral≡18x-6y-25z-189=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-5,-9,-9)+λ·(4,-8,8)+µ·(9,6,-4); πparamètrica≡y=-9-8λ+6µx=-5+4λ+9µ

z=-9+8λ-4µ; πgeneral≡2x-11y-12z-197=0

(3a) Rxy=(-2'71,-5'57,0), Rxz=(14,0,19'50), Ryz=(0,-4'67,3'17), Sxy=(0,-5'57,0), Sxz=(-19'50,0,19'50), Syz=(0,-5'57,0), Txy=(-4'86,-10'29,0), Txz=(26,0,36), Tyz=(0,-8'67,5'67).

(3b) P1x=(-13'72,0,0), P1y=(0,-15'92,0), P1z=(0,0,12'44), P2x=(-0'79,0,0), P2y=(0,-0'92,0), P2z=(0,0,0'72), P3x=(11'46,0,0), P3y=(0,14'88,0), P3z=(0,0,169'60).

(3c) rxy≡ x-13 57 =

y+2 -74 =

z 0 ; rxz≡ x-12

5 = y 0 =

z+8 -74 ; ryz≡ x

0 = y-14 5 =

z-10 -57.

(4a) s'≡ x-4 7 =

y+7 -2 =

z+3 -7 ; (4b) πb≡29x+25y-32z-37=0 ; (4c) πc≡4x+65y-22z+373=0 ; (4d) πd≡7y-2z+72=0.

(5a) R=(-7,-7,-5), r→=(6,2,7); S=(5,-7,-5), s→=(7,-2,-7); T=(2,-8,8), t→=(12,4,14); T'=(-7,-7,-5), t'→=(6,2,7)P1=(26,0,36), u→1=(10,14,20), v→1=(4,12,13); P2=(-9,-2,-9), u→2=(14,26,33), v→2=(6,2,7); P3=(7,5,9), u→3=(7,-9,-1), v→3=(6,-7,-9); P4=(26,0,36), u→4=(10,14,20), v→4=(4,12,13); P5=(2,9,-4), u→5=(8,-1,-9), v→5=(3,-3,0).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(-1'46,-5'15,1'46); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(480,-606,-26)+λ·(-1949,2513,197); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(-4'80,-4'20,4'80);


(5e) π1, π3 i π5 es tallen al punt I=(61'21,-66'03,16'33). π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla. π2, π3 i π5 es tallen al punt I=(40'65,-38'55,7'44).

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Redondo Redondo , Azahara )

Donats els punts A=(3,5,5), B=(3,-1,5), C=(-8,9,7), D=(3,-7,5), E=(-1,-9,9), i els vectors u→=(7,3,0), v→=(5,-4,-2).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(4,9,3)+λ·(6,-4,2), s≡y=9-7λx=4+2λ

z=3-8λ, t≡ x+7

-6 = y-4 4 =

z+8 -2, t'≡

5x+2y-11z-5=022x+21y-24z-205=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(-1,0,-6)+λ·(-7,-6,-6)+µ·(-13,-2,-8), π2≡y=4-8λ-4µx=7-20λ+6µ

z=4-14λ+2µ, π3≡35x+65y+24z+494=0,

π4≡18x+11y-32z-174=0 i π5≡17x+54y+56z+76=0.







Solucions dels exercicis (Redondo Redondo , Azahara )(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(3,-7,5). (1c) M=(-2'50,4,6). (1d) P=(-8,15,7). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(3,5,5)+λ·(0,-6,0); rparam≡y=5-6λx=3

z=5; rcont≡ x-3

0 = y-5 -6 =

z-5 0; rimpl≡

x-4z+17=0x+9z-48=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(3,-1,5)+λ·(5,-4,-2); rparam≡y=-1-4λx=3+5λ


5 = y+1 -4 =

z-5 -2; rimpl≡

20x+29y-8z+9=02x+5z-31=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(3,5,5)+λ·(0,-6,0)+µ·(-11,4,2); πparamètrica≡y=5-6λ+4µx=3-11µ

z=5+2µ; πgeneral≡2x+11z-61=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(3,-7,5)+λ·(7,3,0)+µ·(5,-4,-2); πparamètrica≡y=-7+3λ-4µx=3+7λ+5µ

z=5-2µ; πgeneral≡6x-14y+43z-331=0

(3a) Rxy=(-5,15,0), Rxz=(17'50,0,7'50), Ryz=(0,11'67,1'67), Sxy=(4'75,6'38,0), Sxz=(6'57,0,-7'29), Syz=(0,23,19), Txy=(17,-12,0), Txz=(-1,0,-6), Tyz=(0,-0'67,-5'67).

(3b) P1x=(9'67,0,0), P1y=(0,15'82,0), P1z=(0,0,-5'44), P2x=(2'33,0,0), P2y=(0,3'82,0), P2z=(0,0,-1'31), P3x=(-14'11,0,0), P3y=(0,-7'60,0), P3z=(0,0,-20'58).

(3c) rxy≡ x+14'11 -13 =

y 7 =

z 0 ; rxz≡ x+10

-24 = y 0 =

z+6 35 ; ryz≡ x

0 = y-2 24 =

z+26 -65.

(4a) s'≡ x-3 2 =

y-5 -7 =

z-5 -8 ; (4b) πb≡18x+11y-32z+51=0 ; (4c) πc≡y+2z-15=0 ; (4d) πd≡23x+26y-17z-79=0.

(5a) R=(4,9,3), r→=(6,-4,2); S=(4,9,3), s→=(2,-7,-8); T=(-7,4,-8), t→=(-6,4,-2); T'=(4,9,3), t'→=(6,-4,2)P1=(-1,0,-6), u→1=(-7,-6,-6), v→1=(-13,-2,-8); P2=(7,4,4), u→2=(-20,-8,-14), v→2=(6,-4,2); P3=(-6,-4,-1), u→3=(4,-4,5), v→3=(9,-3,-5); P4=(-1,0,-6), u→4=(-7,-6,-6), v→4=(-13,-2,-8); P5=(2,-1,-1), u→5=(4,6,-7), v→5=(-2344,1552,-785).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(4,9,3); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(21'33,-19'09,0)+λ·(-2344,1552,-785); π1 i π4 són coincidents(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(4'92,5'78,-0'68);


(5e) π1, π3 i π5 no tenen punts en comú, prisma triangular. π2, π4 i π5 dos són paral·lels i l'altre els talla. π2, π3 i π5 no tenen punts en comú, prisma triangular.

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Rodríguez Martínez , Esther )

Donats els punts A=(7,-2,1), B=(7,-9,-7), C=(7,5,9), D=(2,-8,4), E=(9,-3,6), i els vectors u→=(6,-8,5), v→=(2,-9,-2).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-4,8,4)+λ·(4,-5,3), s≡y=2-λx=-3+4λ

z=0+7λ, t≡ x+8

-4 = y-9 5 =

z-1 -3, t'≡

5x+y-5z+32=059x+37y-17z+8=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(-4,4,4)+λ·(-9,5,-8)+µ·(-13,10,-11), π2≡y=3+15λ-5µx=9-22λ+4µ

z=0-19λ+3µ, π3≡21x-3y+2z-110=0,

π4≡5x+y-5z+36=0 i π5≡39x-21y+53z-8=0.







Solucions dels exercicis (Rodríguez Martínez , Esther )(1a) Els punts A, B i C sí estan alineats; A, B i D no estan alineats. (1b) A'=(7,-16,-15). (1c) M=(7,-2,1). (1d) P=(2,-1,12). (1e) A, B, C i E són coplanaris, però A, B, D i E no.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(7,-2,1)+λ·(0,-7,-8); rparam≡y=-2-7λx=7


0 = y+2 -7 =

z-1 -8; rimpl≡

7x+32y-28z+43=022x-8y+7z-177=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(7,-9,-7)+λ·(2,-9,-2); rparam≡y=-9-9λx=7+2λ


2 = y+9 -9 =

z+7 -2; rimpl≡

27x-2y+36z+45=040x+14y-23z-315=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(7,-2,1)+λ·(0,-7,-8)+µ·(-5,-6,3); πparamètrica≡y=-2-7λ-6µx=7-5µ

z=1-8λ+3µ; πgeneral≡69x-40y+35z-598=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(2,-8,4)+λ·(6,-8,5)+µ·(2,-9,-2); πparamètrica≡y=-8-8λ-9µx=2+6λ+2µ

z=4+5λ-2µ; πgeneral≡61x+22y-38z+206=0

(3a) Rxy=(-9'33,14'67,0), Rxz=(2'40,0,8'80), Ryz=(0,3,7), Sxy=(-3,2,0), Sxz=(5,0,14), Syz=(0,1'25,5'25), Txy=(-9'33,10'67,0), Txz=(-0'80,0,6'40), Tyz=(0,-1,7).

(3b) P1x=(-7'20,0,0), P1y=(0,-36,0), P1z=(0,0,7'20), P2x=(9'60,0,0), P2y=(0,48,0), P2z=(0,0,-9'60), P3x=(5'24,0,0), P3y=(0,-36'67,0), P3z=(0,0,55).

(3c) rxy≡ x-5'24 1 =

y 7 =

z 0 ; rxz≡ x-6

-2 = y 0 =

z+8 21 ; ryz≡ x

0 = y+36 2 =

z-1 3.

(4a) s'≡ x-7 4 =

y+2 -1 =

z-1 7 ; (4b) πb≡5x+y-5z-28=0 ; (4c) πc≡3x+3y+z-16=0 ; (4d) πd≡2x-z+8=0.

(5a) R=(-4,8,4), r→=(4,-5,3); S=(-3,2,0), s→=(4,-1,7); T=(-8,9,1), t→=(-4,5,-3); T'=(-4,8,4), t'→=(4,-5,3)P1=(-4,4,4), u→1=(-9,5,-8), v→1=(-13,10,-11); P2=(9,3,0), u→2=(-22,15,-19), v→2=(4,-5,3); P3=(6,6,1), u→3=(1,7,0), v→3=(0,-6,-9); P4=(-4,4,4), u→4=(-9,5,-8), v→4=(-13,10,-11); P5=(2,-32,-14), u→5=(3,-2,-3), v→5=(13,115,36).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(1'75,0'81,8'31); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-5,-81,-14)+λ·(13,115,36); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(2'75,0'56,10'06);



π2, π3 i π5 es tallen a la recta rsol≡ x-2 13 =

y+32 115 =

z+14 36.

TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Rubio Zafra , Guillermo )

Donats els punts A=(3,-5,9), B=(-6,-5,0), C=(-5,1,-1), D=(-2,-5,4), E=(-2,-1,8), i els vectors u→=(4,9,1), v→=(0,5,-7).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-4,2,2)+λ·(3,8,8), s≡y=-6+4λx=-9+8λ

z=-2-9λ, t≡ x+5

-6 = y-4 -16 =

z+2 -16, t'≡

8x-4y+z+38=08x+93y-96z+38=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(7,36,30)+λ·(-11,-16,-2)+µ·(-14,-24,-10), π2≡y=6-40λ+8µx=7-25λ+3µ

z=6-12λ+8µ, π3≡14x-y+21z-5=0,

π4≡56x-41y+20z+484=0 i π5≡37y+64z-504=0.







Solucions dels exercicis (Rubio Zafra , Guillermo )(1a) Els punts A, B i C no estan alineats; A, B i D sí estan alineats. (1b) A'=(-15,-5,-9). (1c) M=(-5'50,-2,-0'50). (1d) P=(4,1,8). (1e) A, B, C i E no són coplanaris, però A, B, D i E sí.

(2a) rvect≡(x,y,z)=(3,-5,9)+λ·(-9,0,-9); rparam≡y=-5x=3-9λ


-9 = y+5 0 =

z-9 -9; rimpl≡

9x+4y-9z+74=0x-z+6=0

(2b) rvect≡(x,y,z)=(-6,-5,0)+λ·(0,5,-7); rparam≡y=-5+5λx=-6


0 = y+5 5 =

z -7; rimpl≡

10x-7y-5z+25=071x+14y+10z+496=0

(2c) πvectorial≡(x,y,z)=(3,-5,9)+λ·(-9,0,-9)+µ·(-8,6,-10); πparamètrica≡y=-5+6µx=3-9λ-8µ

z=9-9λ-10µ; πgeneral≡3x-y-3z+13=0

(2d) πvectorial≡(x,y,z)=(-2,-5,4)+λ·(4,9,1)+µ·(0,5,-7); πparamètrica≡y=-5+9λ+5µx=-2+4λ

z=4+λ-7µ; πgeneral≡17x-7y-5z+19=0

(3a) Rxy=(-4'75,0,0), Rxz=(-4'75,0,0), Ryz=(0,12'67,12'67), Sxy=(-10'78,-6'89,0), Sxz=(3,0,-15'50), Syz=(0,-1'50,-12'13), Txy=(-4'25,6,0), Txz=(-6'50,0,-6), Tyz=(0,17'33,11'33).

(3b) P1x=(-8'64,0,0), P1y=(0,11'80,0), P1z=(0,0,-24'20), P2x=(4'75,0,0), P2y=(0,-6'49,0), P2z=(0,0,13'30), P3x=(0'36,0,0), P3y=(0,-5,0), P3z=(0,0,0'24).

(3c) rxy≡ x 1 =

y+5 14 =

z 0 ; rxz≡ x-0'36

3 = y 0 =

z -2 ; ryz≡ x

0 = y+5 21 =

z 1.

(4a) s'≡ x-3 8 =

y+5 4 =

z-9 -9 ; (4b) πb≡56x-41y+20z-553=0 ; (4c) πc≡16x+5y-11z+76=0 ; (4d) πd≡8x-7y+4z+76=0.

(5a) R=(-4,2,2), r→=(3,8,8); S=(-9,-6,-2), s→=(8,4,-9); T=(-5,4,-2), t→=(-6,-16,-16); T'=(-4,2,2), t'→=(3,8,8)P1=(7,36,30), u→1=(-11,-16,-2), v→1=(-14,-24,-10); P2=(7,6,6), u→2=(-25,-40,-12), v→2=(3,8,8); P3=(-9,-5,6), u→3=(8,7,-5), v→3=(9,0,-6); P4=(7,36,30), u→4=(-11,-16,-2), v→4=(-14,-24,-10); P5=(-49,-40,31), u→5=(4,0,0), v→5=(841,896,-518).

(5b) r i s són secants, punt d'intersecció I=(-6'54,-4'77,-4'77); r i t són paral·leles; s i t es creuen; r i t' són coincidents.(5c) π1 i π2 són paral·lels; π1 i π3 es tallen en una recta rvect≡(x,y,z)=(-49,-40,31)+λ·(841,896,-518); π1 i π4 són coincidents.(5d) r és paral·lela al pla π1 ; s és secant al pla π1 i es tallen en el punt I=(-23'31,-13'15,14'10);



y+40 896 =



TREBALL DE GEOMETRIA AFI DE L 'ESPAI (Sánchez Sánchez , Andrés )

Donats els punts A=(-3,9,-5), B=(-3,9,-3), C=(3,1,-6), D=(-3,9,9), E=(6,7,0), i els vectors u→=(7,-6,-7), v→=(3,6,4).

Donades les rectes r≡(x,y,z)=(-3,5,-2)+λ·(9,6,7), s≡y=4-8λx=2+7λ

z=-1-3λ, t≡ x+8

18 = y-2 12 =

z-5 14, t'≡

9x-10y-3z+71=017x+6y-27z-33=0

I donats els plans π1≡(x,y,z)=(28,26,33)+λ

Treballs Geometria Afi personalitzats (2A BTX curs 2012-2013)

Documents

Transcript of Treballs Geometria Afi personalitzats (2A BTX curs 2012-2013)