Automatizari Curs
102
1 Obs: pentru vizualizarea planului general al cursului activaţi View/Document Map C1. Structura şi proiectarea unui SRA Structura unui SRA Figura 1. Structura generala a unui SRA unde: REG = regulator EE = element de executie (EE=EA+OR) IT = instalatie tehnologica Marimile din proces sunt: r – referinţa ε - eroare a – comanda ptr. elementul de acţionare m – măsura (comanda elaborata de organul de reglare) y – mărimea de ieşire poate fi una din mărimile fizice: - nivel (exemplul 3), temperatura - presiune (exemplul 1), turaţie - debit, poziţie - concentraţie (exemplul 2) Structura unui SRA cu reacţie unitara REG EE INSTALAŢIE TEHNOLOGICA TR r + - ε a sau u m v Y1 R EE IT r + - y TR Parte fixata
-
Upload
alexandra-puscasu -
Category
Documents
-
view
44 -
download
4
description
alexa
Transcript of Automatizari Curs
1
Obs: pentru vizualizarea planului general al cursului activaţi View/Document Map
C1. Structura şi proiectarea unui SRA
Structura unui SRA
Figura 1. Structura generala a unui SRA
unde: REG = regulator EE = element de executie (EE=EA+OR) IT = instalatie tehnologica Marimile din proces sunt:
r – referinţa ε − eroare a – comanda ptr. elementul de acţionare m – măsura (comanda elaborata de organul de reglare) y – mărimea de ieşire poate fi una din mărimile fizice: - nivel (exemplul 3), temperatura - presiune (exemplul 1), turaţie - debit, poziţie - concentraţie (exemplul 2)
Structura unui SRA cu reacţie unitara
REG EE INSTALAŢIE TEHNOLOGICA
TR
r +
-
εεεε a
sau u
m
v Y1
R EE IT r
+
-
y TR
Parte fixata
2
unde :
( ) ( )1
( )1 1
ff n
i
KH s
T T sΣ
=+ +∏
sau în prezenta unui pol în origine şi a timpului mort:
( ) ( )1
( )1 1
sf
f n
i
K eH s
s T T s
τ−
Σ
⋅=
+ +∏
unde: Kf - reprezintă coeficientul de transfer al parţii fixate Ti – reprezintă constantele dominante (mari) de timp T∑ - reprezintă suma constantelor de timp parazite care sunt mult mai mici decât cele dominante.
1min
10 iT TΣ =
τ - reprezintă timpul mort al procesului
Valoarea constantelor Ti determina tipul procesului care poate fi lent sau rapid. Pentru iT < 10 sec
procesum este rapid iar pentru 10 seciT > procesul este lent.
In general, funcţia de transfer a parţii fixate, care include sistemul de automatizat şi parametrii corespunzători traductorului şi elementelor care comandă sursa de energie care intervine în proces (element de execuţie) poate avea forma:
1
-1 01
1 0
....( )
...
m msm m
f n nn
b s b s bH s e
s a s aτ
−−
−−
+ + += ⋅
+ +
Exemplul 1: y = presiune
R Hf(s) = PF Proces fizic
r +
-
y(t)
Model matematic
u(t) εεεε(t)
3
SA=sursa de alimentare Exemplul 2: y = concentraţie
TC = trad. de concentraţie Exemplul 3: y = nivel
P = constant
0 ÷ 1 barr
Trad. de presiune
REG (electronic) referinţa
SA
I P
Consum variabil
manometru
ventil y = presiune
(convertor electro-pneumatic)
EE
y = X % concentraţie A în B
REG
TC = trad.
A B
referinţa
% concentr.
EE
4
QA = debit de alimentare QE = debit de ieşire TL = traductor de nivel
Proiectarea unui SRA Proiectarea unui SRA presupune rezolvarea unor probleme legate de alegerea şi dimensionarea elementelor componente precum şi interconectarea lor aşa încât sa fie satisfăcute performanţele impuse sistemului de reglat. Prima etapa a proiectării consta în identificarea obiectivelor propuse a fi realizate în conformitate cu tipul procesului şi condiţiile/restricţiile de funcţionare ale acestuia. A doua etapa consta în identificarea soluţiilor optimale pentru definirea legii de reglare implicit a regulatorului corespunzător. Odată determinata legea de reglare se procedează la alegerea tipului de regulator care o poate materializa.
Criterii de alegere a elementelor de execu ţie In cadrul sistemelor automate, elementele de execuţie şi traductoarele constituie elementele de cuplare a regulatorului la procesul supus automatizării.
Regulator
Proces TR EE
Referinţa
y m
Perturbaţii
Sursa de energie
u
R
y = ∆h
I P
QA
QE
TL R0 = h0
(convertor electro-pneumatic)
EE
5
Elementele de execuţie EE sunt generatoare de cuplu sau forte cu viteza precizata, prin exploatarea energiei exterioare comandate de semnalele de comanda trimise de regulator. Prin intermediul sau se acţionează asupra surselor energetice ale procesului tehnologic, a căror comanda este corelata cu cerinţele de variaţie a mărimii de la ieşirea procesului impuse de legea de reglare a regulatorului. Un element de execuţie este format din partea motoare propriu-zisa (elemente de acţionare) şi organul de execuţie sau organul de reglare specific procesului tehnologic. Elementul de acţionare EA, transforma mărimea de comanda u intr-o mărime motoare de execuţie însa în conformitate cu natura fizica şi nivelul energetic al organului de reglare OR. Organul de reglare OR, acţionează direct asupra procesului tehnologic prin intermediul mărimii de execuţie m.
EE = element de execuţie EA = element de acţionare OR = organul de execuţie sau organul de reglare Clasificarea EE
după natura energiei utilizate in: o EE pneumatice o EE hidraulice o EE electrice
după modul de acţionare : o EE cu acţiune continua o EE bipoziţionale o EE de tip pas cu pas.
Tipuri de elemente de acţionare EA: EA pneumatice:
- EA cu membrana cu simplu şi dublu efect, - EA cu piston cu simplu sau dublu efect pentru mişcări de translaţie - EA cu palete pentru mişcări unghiulare
Ele pot fi comandate de regulatoare pneumatice şi de regulatoare electronice. Daca regulatorul este electronic, cuplarea intre regulator şi elementul de execuţie se realizează prin intermediul unui convertor electro-pneumatic.
EA de acţionare hidraulica: - EA cu piston cu simplu sau dublu efect ptr. deplasări liniare - EA cu pistoane radiale ptr. deplasări unghiulare
EA de acţionare electrica: - Motoare electrice de cc - Motoare asincrone monofazate, bifazate şi trifazate - Motoare pas cu pas ptr. acţionarea discreta a organelor de reglare
EE EA OR = +
6
Tipuri de organe de reglare OR: După natura energiei reglate organele de reglare pot fi:
OR mecanice OR electrice
După tipul procesului OR pot fi: OR pentru reglarea debitelor OR ptr. reglarea unor mărimi electrice sau neelectrice
Cele mai frecvente OR sunt robinetele de reglare a unor debite de fluid. Ele au ca mărime de intrare mărimea mecanica (deplasare) generata de elementul de acţionare iar ca mărime de ieşire un debit care se introduce sau evacuează din instalaţie. Ex: OR : organ de reglare = robinet Acţionarea acestuia = pneumatica, hidraulica sau electrica EA pneumatic
Proces supus automatiz ării (PF) este definit în schema de reglare prin modelul matematic corespunzător. Aceasta este una din cele mai dificile etape în proiectarea unui SRA. Definirea modelului matematic corespunzător procesului de automatizat presupune:
identificarea mărimilor de intrare şi de ieşire (u(t) respectiv y(t)) determinarea perturbaţiilor care acţionează în sistem (v(t)) stabilirea observabilităţii sistemului determinarea variabilelor de stare de care depind direct mărimile de ieşire daca acestea sunt
măsurabile precizarea restricţiilor funcţionale ale procesului procesele complexe se vor descompune în subsisteme şi se vor identifica modelele
matematice corespunzătoare acestora
Modelele matematice sunt de tipul:
intrare –stare – ieşire → ecuaţii de stare
intrare – ieşire → funcţie de transfer
Modelul Intrare-stare-ie şire (Ecua ţii de stare) dx
Ax Budty Cx Du
= + = +
unde :
u – este vectorul intrărilor, cu nu componente
PF Proces fizic
y(t)
Model matematic
u(t) v(t)
7
x – este vectorul variabilelor de stare cu nx componente y – este vectorul ieşirilor, cu ny componente
A,B,C, şi D sunt matrice de dimensiuni : dim( ) ( )x xA n n= × ,
dim( ) ( )x uB n n= × ,dim( ) ( )y xC n n= × , dim( ) ( )y uD n n= × .
Modelul intrare – ie şire (Func ţia de transfer)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Y sY s H s U s H s
U s= ⋅ ⇒ =
( )00
( ) ( ) lim ( ) ( )T
st st
TL f t F s f t e dt f t e dt
εε
∞− −
→∞→
= = ⋅ =∫ ∫
unde s este o variabila complexa definita prin s jσ ω= + ⋅ , unde σ şi ω sunt variabile reale iar
1j = − . Corelat cu reprezentarea prin matricele de stare, se poate scrie:
( ) ( ) 1H s C s I A B D
−= ⋅ − ⋅ + .
O forma uzuala a funcţiei de transfer a unui sistem este aceea în care se pun în evidenta coeficientul de transfer în regim staţionar 0K precum şi numărul polilor în origine α :
0 1
2
( )( )
( )
K P sH s
P ssα= ⋅
unde polinoamele 1P şi 2P au ultimul termen unu ( 1 2(0) (0) 1P P= = ).
Cea de-a patra forma pune în evidenta polii funcţiei de transfer respectiv zerourile polinoamelor 1P şi
2P (admitem ca aceştia sunt simpli):
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 20
1 2
....( )
.. m m
n n
s z s z s z bKH s unde K K
s p s p s p asα
+ + += ⋅ =
+ + +
Modelele matematice ale elementelor tip ale unui SRA sunt:
Tipul elementului Ecuaţia diferenţiala Funcţia de transfer
Element proporţional 0( ) ( )y t K u t= ⋅ 0( )H s K=
Element de întârziere de ordinul întâi 0 ( )
dyT y K u t
dt⋅ + = ⋅ 0( )
1
KH s
Ts=
+
Element oscilant de ordinul lI
22 2
022 ( )n n n
d y dyy K u t
dtdtξω ω ω+ + = ⋅ ⋅
20
2 2( )
2n
n n
KH s
s s
ωξω ω
⋅=
+ +
Element de întârziere de ordinul II ( )
2
1 2 1 2 02( )
d y dyT T T T y K u t
dtdt⋅ + + + = ⋅ ( )( )
0
1 2
( )1 1
KH s
T s T s=
+ +
Element cu timp mort ( ) ( )y t u t τ= − ( ) sH s K e τ−= ⋅
8
Element cu timp mort şi întârziere de ordinul
I ( )0
dyT y K u t
dtτ+ = ⋅ − ( ) 0
1
sK eH s
Ts
τ−⋅=
+
Element cu timp mort şi întârziere de ordinul
II ( ) ( )2
1 2 1 2 02
d y dyT T T T y K u t
dtdtτ⋅ + + + = ⋅ − ( ) ( )
0
1 2
( )1 1
sK eH s
T s T s
τ−⋅=
+ +
Element de anticipaţie de ordinul I
( ) ( )du
y t T u tdt
= + ( ) 1H s Ts= +
Element de anticipaţie de ordinul II
22
2( ) 2 n n
d u duy t u
dtdtξω ω= + + 2 2( ) 2 n nH s s sξω ω= + +
Regulator proporţional-intergral-
derivativ
1( ) R d
i
du t K dt T
T dt
εε ε
= + +
∫ 1( ) 1R d
i
H s K T sT s
= + +
Element integrator cu întârziere de ordinul I
2
02
d y dyT K u
dtdt+ = ⋅ ( )
0( )1
KH s
s Ts=
+
Circuit de corecţie de anticipaţie 1 0 2
dy duT y K T u
dt dt + = +
20 2 1
1
1( ) ;
1
T sH s K T T
T s
+= >
+
Circuit de corecţie de întârziere 1 2
dy duT y T u
dt dt+ = + 2
0 2 11
1( ) ;
1
T sH s K T T
T s
+= <
+
9
C2. Criteriile de performanta impuse unui SRA Tipuri de SRA
( ) ( )d R FH H s H s= ⋅
0
( )
1 ( )d
d
H sH
H s=
+
0
( ) ( )( )
1 ( ) ( )R F
R F
H s H sH s
H s H s
⋅=
+ ⋅ ⇒ funcţia de transfer a sistemului cu reacţie unitara
in raport cu referinţa r . ................................................................................................................................................................
0 1
( )( )
1 ( ) ( )F
vR F
H sH s
H s H s=
+ ⋅⇒ funcţia de transfer în raport cu perturbaţia v1
................................................................................................................................................................
0 2
1( )
1 ( ) ( )vR F
H sH s H s
=+ ⋅
⇒ funcţia de transfer în raport cu perturbaţia v2
................................................................................................................................................................
HR(s) HF(s)
v2 +
-
y
HR(s)
HF(s) v1
+
-
y
HR(s) HF(s) r
+
-
ε u
y
+
v1 v2
+
∑ ∑
10
0 0 1 0 2( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) 2( )v vY s H s r s H s v s H s v s= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ evoluţia ieşirii când asupra
sistemului acţionează atât referinţa cat şi semnale perturbatoare
Referinta poate fi : - constanta (SRA de stabilizare) - variabila (SRA de urmarire)
In functie de acesta referinta un sistem SRA poate fi :
SRA de stabilizare presupune proiectarea unui SRA care elimina perturbaţiile în condiţiile
menţinerii constante a semnalului de referinţa . SRA de urmărire a referinţei presupune modificarea frecventa a referinţei cu neglijarea
perturbaţiilor.
In general se urmăreşte proiectarea unui SRA care sa aibă performanţe bune în raport cu referinţa şi eliminarea efectelor perturbaţiilor (rejecţia perturbaţiilor).
In functie de tipul de acţiune a regulatorului:
Performanţele generale unui sistem sunt definite pentru regimul tranzitoriu şi cel staţionar: Performanţele reg. tranzitoriu Performanţele reg. Staţionar
Criteriile generale de performanta ale unui sistem sunt determinate prin analiza raspunsului in timp:
răspuns tranzitoriu: suprareglaj σ timp tranzitoriu tt (durata regimului tranzitoriu) factor de amortizare ζ timp de creştere tc timp de întârziere ti
si prin analiza raspunsului in frecventa: performanţele în domeniul frecventelor :
stabilitatea sistemului
SRA
continue discrete
SRA
de stabilizare (referinţa nu se modifica)
de urmărire a referinţei (cu modificarea frecventa a referinţei)
11
precizia în regim staţionar sau eroarea staţionara εst
banda de frecventa ωΒ marginea de faza Mφ marginea de amplitudine (câştig) Mc pulsaţia de rezonanta ωR valoarea de vârf a modulului Mv
Criteriile de performanta se pot defini singular sau ca pachet de cerinţe deci ca şi criterii integrale. Criteriile integrale acoperă mai bine performanţele impuse unui sistem la variaţii mari ale intrării dar şi la variaţii ale perturbaţiilor. Criterii de performanta integrale uzuale utilizate în proiectarea unui SRA pot avea diferite expresii în funcţie de performanţele ce se impun unui SRA. Criteriile de performanta integrale se exprima prin indicii de performanta (IP) al sistemului. Ex: răspunsul aperiodic la intrare treapta unitara este mult îmbunătăţit cu cat aria haşurata este mai mica:
( )0
0
min. refIP y y dt dtε∞
∞= − = =∫ ∫
Ex: răspunsul oscilant este îmbunătăţit daca:
0
min. IP dtε∞
= =∫ sau 0
min.2 IP dtε∞
= =∫
Obs: criteriile integrale se aplica cu succes numai în cazul sistemelor cu eroare staţionară nulă şi nu oferă informaţii despre regimul staţionar (altfel valoarea integralelor ar fi infinita).
Răspunsul în timp al sistemelor SISO cu parametrii i nvarian ţi în timp
Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul I (răspunsul ieşirii la treapta)
y
yref
t
- - -
+ + +
y
t
yref + y
12
unde : T – constanta de timp sau întârziere
K – factor de amplificare
S – variabila complexa s jσ ω= +
( ) ( ) ( )Y s H s U s= ⋅
( )( )1
KY s
s Ts=
+;
( )1 1 1
( )1 1
K Ty t L L K
s Ts s Ts− − = = − + +
;
1 1 atL es a
− − = + ; ( ) 1
t
Ty t K e−
= −
Răspunsul unui sistem de ordinul I la intrare treapta unitara (răspuns indicial)
Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul I cu reacţie unitara
1
K
Ts+ Y(s) 1
s
U(s)
T
1
K
y(t)
( )sty t y K∞= =
u(t)=r(t)=1 stε
t
( )1
KH s
Ts=
+
1
K
Ts+ U(s) Y(s) 1
s
13
Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul I cu reacţie unitara
Performanţele sistemului sunt indicate de valoarea duratei regimului tranzitoriu T. Acesta
valoare este mai mica daca sistemul este cu reacţie unitara negativa deci sistemul îşi
îmbunătăţeşte răspunsul prin închiderea buclei de reacţie.
Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul II (răspunsul la treapta unitara)
Răspunsul indicial al unui sistem oscilant de ordinul II pentru diferite valori ale lui ξ
U(s) Y(s) 1
s 2
2 2( )
2n
n n
H ss s
ωξω ω
=+ +
T2
1
K
y(t)
( )sty t y K∞= =
u(t)=r(t)=1
stε
t
( )1
KH s
Ts=
+
T1
Rasp. sist. cu reacţie
Rasp. sist. fără reacţie
h(t)
t
0ξ =1ξ <
1ξ >
1
2
2 2( )
2n
n n
H ss s
ωξω ω
=+ +
14
( )21,2 1n np jξω ω ξ= − ± ⋅ ⋅ −
Obs: pentru ζ >1 , rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi diferite, componenta tranzitorie fiind
alcătuita din doua exponenţiale. Răspunsul în acest caz este supra-amortizat.
Reprezentarea polilor sistemului de ordinului II, sunt o buna exemplificare pentru verificarea criteriului
general de stabilitate a sistemelor (prezenta polilor în semiplanul stâng al planului complex indica un
sistem stabil).
Performan ţele unui SA în regim tranzitoriu
Suprareglajul sau abaterea dinamica maxima σ este diferenţa intre valoarea maxima a ieşirii şi
valoarea de regim staţionar: max sty yσ = − . Se poate defini procentual ca reprezentând
[ ]max 100 %st
st
y y
yσ −
= .
yr
σ
1
1,05
0,95
0,5
0,05
tc
ti tt
εst
0<ξ<1 răspuns sub-amortizat
ξ=1 răspuns critic amortizat
ξ>1 răspuns
supra- amortizat
ξ=0 răspuns neamortizat
ξ < 0 răspuns instabil
Reprezentarea rădăcinilor ecuaţiei caracteristice în planul complex pentru diverse valori ale lui ξ
15
Pentru sisteme de ordinul II : 21
II e
πξ
ξσ−
−= ( ) = fσ ξ⇒
Daca se impune imp σ σ≤ imp ξ ξ⇒ ≥
Durata procesului tranzitoriu tt este sensibil influenţata de pulsaţia naturala nω . Se considera
ca regimul tranzitoriu este încheiat odată cu atingerea şi stabilizarea valorii de răspuns a sistemului
în banda 0,05 sty∆ = ± ⋅ . Se obţine în acest caz o valoare a tt de : ( )2ln 0,05 1
tn
tξ
ξω
−≤
−. Se
utilizează aproximarea: 4
tn
tξω
≅ ( ), t nt f ξ ω⇒ =
Timpul de creştere ct reprezintă intervalul de timp în care mărimea de ieşire evoluează în
domeniul [ ]0,05 ,0,95st sty y .
Timpul de întârziere este definit ca fiind timpul necesar ca mărimea de ieşire sa crească de la
zero la 0,5 sty
Răspunsul în frecventa al sistemelor LTI Reprezentarea în frecventa a unui sistem se obţine prin aplicarea la intrare a unui semnal sinusoidal de
frecventa 2
fωπ
= , ( )sinr A tω= . în cazul sistemelor liniare cu parametrii invariabili în timp
(sisteme LTI) aceasta determina apariţia unui semnal de sinusoidal cu amplitudine şi faza diferite fata
de semnalul de intrare :
1
σ
ζ 1
0
σimp
ζimp
16
Deoarece raportul dintre cele doua amplitudini ale semnalului de intrare şi al celui de ieşire este chiar
modul funcţiei de transfer a sistemului pentru s=jω, rezultă ca matematic pentru a aprecia răspunsul în
frecventa al unui sistem definit prin funcţia de transfer H(s), se înlocuieşte s=jω în expresia funcţiei de
transfer si pentru diverse valori ale pulsaţiei ω se determină modulul şi argumentul funcţiei.
Aprecierea răspunsului în frecventa a sistemului automat H(s) este descris prin caracteristicile de
frecventa:
caracteristica amplitudine-faza sau locul de transfer(hodograful funcţiei) : reprezentarea
numărului complex H(s) în planul complex ( [ ] [ ]( )Re ( ) , Im ( )H s H s , prin modulul ( )H s şi
( )H s∠ . Aceasta caracteristica se trasează pentru sistemul deschis, fiind utila şi în aprecierea
stabilităţii sistemului închis cu reacţie unitara negativa (criteriul Nyquist)
caracteristici logaritmice: caracteristica amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie cunoscute sub
numele de caracteristici Bodé.
Prin caracteristicile de frecventa pot fi definite câteva din performanţele unui sistem cu reglare
automată : stabilitatea relativa a sistemului, banda de frecventa, frecventa de rezonanta.
Precizam ca pentru trasarea locului de transfer, daca funcţia de transfer a sistemului deschis este de
forma 10
2
( )( )
( )m
dn
P sKH s
P ssα= ⋅ , se pot determina asimptotele locului de transfer în punctele
corespunzatoare frecventelor inalte şi joase (Figura 2). Cunoaşterea acestor asimptote permite trasarea hodografului funcţiei de transfer a sistemului deschis si aprecierea stabilităţii sistemului închis conform criteriului de stabilitate Nyquist. Pe de alta parte, se poate explica uşor cum este influenţata stabilitatea sistemului închis prin alocarea unui pol sau a unui zero în sistemul deschis. Un sistem deschis de ordinul II, la frecvente inalte are asimptota corespunzatoare lui θ =2; prin adăugarea unui pol, se ajunge la un sistem de ordinul III care are asimptota θ =3 la frecvente inalte. Aceasta intersectează axa reala negativa şi risca sa ocolească punctul (-1, j0) prin stânga acestuia. în mod similar, adăugarea unui zero în sistemul deschis, scade θ ceea ce scade şi riscul de instabilitate a sistemului închis. Obs: θ reprezintă excesul de poli fata de zerouri în funcţia dH .
intrare ieşire
( )sinA tω ( ) ( )sinA j tω ω ϕ⋅ ⋅ +H
H(s)
( )sinA tω⋅ ( ) ( )sinA j tω ω ϕ⋅ ⋅ +H
17
α reprezintă numărul de poli în origine ai dH
10
2
( )( ) ;
( )
-
md
n
P sKH s
P ss
n m
α
θ α
= ⋅
= +
Figura 2. Asimptotele locului de transfer pentru
a) frecvente joase, b) frecvente inalte
K
α =0
0ω →
α =1
α =2
α =3
Im
Re
θ =0
θ =1 θ =2
θ =3
Im
Re
ω → ∞
a) b)
18
Performan ţele unui SA în regim sta ţionar
Stabilitatea sistemului deschis: Conform criteriului de stabilitate al unui sistem, condiţia
necesara şi suficienta ca un sistem sa fie stabil este ca polii funcţiei de transfer H(s) (rădăcinile
ecuaţiei caracteristice) sa fie situaţi în semiplanul stâng al planului complex.
Stabilitatea sistemului închis se defineşte prin interpretarea locului de transfer al sist. deschis,
din punctul de vedere al criteriului de stabilitate Nyquist sau al caracteristicilor de frecventa în
reprezentare logaritmica. Criteriu Nyquist permite interpretarea stabilităţii sistemului în stare
închisă daca se cunoaşte locul de transfer (sau hodograful funcţiei) al sistemului în stare deschisa.
Criteriul Nyquist generalizat : daca sistemul deschis este instabil (deci funcţia ( )dH s are p poli în
semiplanul drept al planului complex (σ, jω)), condiţia necesara şi suficienta ca un sistem LTI
continuu sa fie stabil în stare închisa, este ca punctul (-1, j0) sa fie înconjurat în sens trigonometric de
caracteristica amplitudine-faza a sistemului deschis (trasata pentru ω variind de la -∞ la +∞), de un
număr de ori egal cu numărul polilor situaţi în semiplanul drept al funcţiei de transfer a sistemului
închis.
Criteriul simplificat este o particularizare a celui general şi porneşte de la ipoteza sistemului LTI stabil
în stare deschisa (deci numărul polilor din semiplanul drept al planului complex (σ, jω) este 0).
Criteriul Nyquist simplificat : daca sistemul deschis este stabil (deci ecuaţia caracteristica are toţi polii
în semiplanul stâng al planului complex), condiţia necesara şi suficienta ca sistemul închis sa fie stabil
este ca locul de transfer sau caracteristica amplitudine-faza, pentru valori crescătoare ale pulsaţiei (ω
=0….+∞) sa lase în stânga punctul critic de coordonate (-1, j0) sau acest punct sa nu se găsească în
interiorul caracteristicii trasata cu ambele ramuri când ω variază de la -∞ la +∞.
Hd(s) ε(s) Y(s) r(s)
H(s) U(s) Y(s)
19
1 – sistem stabil
2 – sistem la limita de stabilitate
3 – sistem instabil
Din reprezentarea grafica rezultă ca din doua sisteme stabile în stare deschisa, numai sistemul 1 este
stabil în stare închisă deoarece lasă în stânga punctul (-1, j0). Punctele importante de apreciere a
gradului de stabilitate sunt cele în care sistemul are amplitudinea (modulul funcţiei de transfer) 1 şi
cel în care faza ϕ este 180°. Pentru aceste puncte se cunosc pulsaţiile respective: ωc şi ωπ (hodograful
se trasează prin aplicarea la intrarea unui sistem deschis a unui semnal sinusoidal de frecventa
(pulsaţie) variind de la 0 la +∞) şi amplitudinile de răspuns care reprezintă matematic modulul funcţiei
de transfer în punctele respective. Se definesc următoarele noţiuni:
cd π
1M =
H (jω ) Margine de câştig sau de amplitudine
( )d cM =180+arg H (j )ϕ ω Margine de faza
unde: πω este pulsaţia pentru care faza sistemului este 0180ϕ = −
cω este pulsaţia la care modulul vectorului ( ) ( )H s G s⋅ este 1.
Pentru un sistem stabil M c > 1 şi M ϕϕϕϕ >0.
Cu cat Mc şi Mϕ sunt mai mari cu atât gradul de stabilitate al sistemului automat este mai mare. Cu
alte cuvinte, cu cat locul de transfer este mai aproape de origine, lăsând mult în stânga punctul (-1, j0),
cu atât sistemul este mai stabil.
Im(HG(s)
ϕ
(|HG(ωc)|=1)
ωc
ωπ
(-1, j0)
1
3
2
∠ |HG(ωπ)|=π
ω= +∞∞∞∞
ω= +0
Re(HG(s))
20
Caracteristicile amplitudine-pulsaţie şi faza-pulsaţie
Diagrame Bodé
In cele doua caracteristici poziţia relativa a lui ωωωωc şi ωωωωππππ determina stabilitatea sistemului:
1. ωωωωc < ωωωωππππ sistem stabil
2. ωωωωc > ωωωωππππ sistem instabil
3. ωωωωc = ωωωωππππ sistem la limita de stabilitate
Eroarea staţionara stε , în cazul sistemelor deschise, se calculează ca diferenţa intre valoarea
de referinţa *y r= şi valoarea staţionara yst a mărimii de ieşire:
* 1 0st st sty y yε = − = − = daca 0 1K = deoarece lim ( ) 1stt
y y t→∞
= = .
Eroarea staţionara stε , în cazul sistemelor închise
Consideram forma generala a funcţiei de transfer a caii directe:
( )
( )( )d q
K P sH s
s Q s
⋅=⋅ unde:
q = reprezintă numărul de poli în origine,
K = coeficientul de transfer în regim staţionar
r y ε H(s)
( )( )
( )d q
K P sH s
s Q s
⋅=⋅
r +
-
y ε
|H(s)|=A(ω)|dB = 20 log10|H(s)|
log ω scara logaritmica ωωωωc
ωωωωππππ
-1800
log ω scara logaritmica
21
P(s) şi Q(s) sunt polinoame cu ultimul termen 1: P(0)=Q(0)=1.
Pentru sistemul închis cu reacţie unitara, se poate defini eroarea staţionara ca fiind :
( )( ) ( )( ) [ ]( )0 0
( ) ( )lim lim limstt s s
t s s s R s Y sε ε ε→∞ → →
= = ⋅ = ⋅ −
εst Intrare
Treapta (1/s) Rampa (1/s2) Parabolica (1/s3) q
εst = eroare de poziţie εst = eroare de viteza εst = eroare de
acceleraţie
0 1
1 k+ ∞ ∞
1 0 1
k ∞
2 0 0 1
k
Din analiza tabelului prezentat rezultă ca pentru un sistem la care se doreşte atingerea unei erori staţionare zero, prin adăugarea unui element de reglare de tip integrator se introduce un pol în origine ceea ce conduce la eroare staţionară zero. Utilizarea regulatorului cu acţiune proporţionala este impusa de necesitatea obţinerii unei anumite valori a răspunsului în regim staţionar însa cu precizarea ca acţiunea sa conduce la creşterea duratei regimului tranzitoriu. Se impune deci utilizarea în plus a unui element de reglare de anticipaţie – derivativ. Utilizarea sa singulara poate conduce fie la anularea polului existent în funcţia de transfer fie la scăderea cu un grad a numărului de poli în origine ceea ce uneori poate conduce la instabilitatea sistemului (pentru q=1, la intrarea treapta unitara adăugarea unui regulator derivativ duce la apariţia erorii staţionare iar pentru rampa unitara la eroare staţionară ∞ ). De aceea acţiunea de corecţie derivativa este combinata cel puţin cu cea proporţionala. Prezenta elementului derivativ conduce şi la creşterea suprareglajului.
Din punctul de vedere al proiectării unui SRA, interesează eroarea staţionară :
In raport cu referinţa
In raport cu perturbaţia.
Calculul erorii staţionare în raport cu referinţa
( ) ( )( ) [ ]0 0
lim lim lim ( ) ( ) stt s s
t s s s R s Y sε ε ε→∞ → →
= = ⋅ = ⋅ − =
[ ]00
( ) ( ) ( )lim s
s R s H s R s→
⋅ − ⋅ ( )[ ]00
1 ( )limst s
s R s H sε→
⇒ = ⋅ −
( ) ( )0
1
1limst s d
s R sH s
ε→
⇒ = ⋅ +
22
referinţa = treapta unitara: 1
( )R ss
=
[ ] [ ]0 00 0
1lim 1 ( ) lim 1 ( )st s s
s H s H ss
ε→ →
⇒ = ⋅ ⋅ − = −
( ) ( )2
0 02 20
2 =1 n
n n
H s Hs
acas
dω
ξω ω= ⇒ ⇒
+ + 0stII =ε
referinţa = rampa unitara: 2
1( )R s
s=
[ ] [ ]0 020 0
1 11 ( ) 1 ( )lim lim v
s s
s H s H sss
ε→ →
⇒ = ⋅ ⋅ − = − ⋅
( )2 2
0 2 2 2 20
1lim 1
2 2v n n
sn n n n
daca H sss s s s
ω ωεξω ω ξω ω→
= ⇒ = − ⋅ + + + +
2 2 2
2 2 2 20 0
2 21lim lim
2 2n n n n
s sn n n n
s s s
ss s s s
ξω ω ω ξωξω ω ξω ω→ →
+ + − += ⋅ = + + + +
( )2
0 2 22 n
n n
da H ss s
caω
ξω ω= ⇒
+ +2
0II vn
ξεω⋅= ≠
TEMA: sa se calculeze stε în raport cu perturbaţia (se va utiliza expresia 0vH pentru 0H .
y
t
εst = 0
Referinţa
treapta rampa
εv y
t
23
C3. Principiile alegerii şi acord ării regulatoarelor
Tipuri de regulatoare. Caracteristici, performan ţe Intr-un SRA regulatorul elaborează algoritmul de reglare a procesului în funcţie de eroarea dintre referinţa şi ieşire. Legea de reglare a regulatorului reprezintă dependenta dintre ε(t) şi comanda u(t) pa care regulatorul o aplica procesului (parţii fixate). Analiza pe care o vom face, pune în evidenta modul în care se reflecta intervenţia acţiunii regulatorului asupra parţii fixate care se presupune generic a fi:
element de întârziere de ordinul I cu sau fără timp mort, element de întârziere de ordinul II ( sau element oscilant de ord.II) cu sau fără timp mort
Se evaluează apoi răspunsul indicial al sistemului :
fără intervenţia perturbaţiei cu intervenţia mărimilor perturbatoare.
Se vor pune în evidenta influenţa legilor de reglare asupra performanţelor SRA: suprareglaj viteza de răspuns (timp de creştere) durata reg. tranzitoriu factor de amplificare factor de amortizare
cu sau în prezenta perturbaţiilor.
Tipuri de regulatoare După tipul IT (instalaţie tehnologica):
REG ptr. procese cu caracteristici invariante în timp (LTI) REG ptr. procese cu caracteristici variabile în timp (REG adaptive şi extremale)
După viteza de răspuns a IT :
REG ptr. procese lente REG ptr. procese rapide
După caracteristicile de funcţionare ale RA :
REG cu acţiune continua REG cu acţiune discreta REG liniare ( u=f(ε) dependenta liniara) REG neliniare( u=f(ε) dependenta neliniara : ex. releu cu doua sau trei poziţii)
După algoritmul de reglare (sau legea de reglare elaborata de REG):
REG convenţionale de tip : P, PI, PD PID, PDD2 REG cu caracteristici speciale : REG adaptive, extremale, cu estimarea stării, etc.
24
Regulatoare liniare
Regulatorul propor ţional (P) Legea de reglare :
( ) ( ) ;
R
R
u t K t
K parametrul de acord
ε= ⋅=
( )R RH s K= sau
( )_1 1
RR real
KH s
sτ=
⋅ + daca se considera întârzierea proprie a regulatorului real.
Răspunsul indicial al regulatorului P
1( ) RY s K
s= ⋅ ( ) Ry t K=
sau din ( ) ( ) ( ) 1 ( ) R Ru t K t t u t Kε ε= ⋅ = ⇒ =
Analiza unui SRA cu REG de tip P şi Hf = elem. de întârziere de ordinul I:
1
KR
HR (s)= KR U(s) ε(s)
u(t)
ε(t) REG
ε
ε(t)
t
KR ( )1
ff
f
KH s
T s=
+
U(s) ε(s) Y(s) R(s)
-
+
v(s)
Σ
u(t)
25
1) în raport cu referinţa R(s) răspuns indicial:
0
0
( ) 1( )
1 ( ) 1 11
1
R fdO
fd R f
R f
K KH s KH s
TH s K K T ss
K K
= = ⋅ =+ + +
++
Prin intervenţia REG de tip P, sistemul H0 romane unul de ordinul I cu următoarele performanţe:
1 1
1 1stR fK K K
ε = =+ +
0 1R f
R f
K KK
K K=
+
0 1f
R f
TT
K K=
+
P
KR ↑ stε ↓ 0T ↓ 0K ↑
Creşterea factorului de amplificare KR determina o reducere a erorii staţionare (deci o creştere a preciziei) şi o reducere a constantei de timp a sistemului (viteza mai buna de răspuns). Obs: alegerea unui REG de tip P, implica funcţionarea sistemului cu eroare staţionară care nu poate fi scăzuta până la zero. De aici rezultă concluzia ca NU se recomanda utilizarea acestui tip de regulator singur decât atunci când precizia impusa ieşirii se încadrează în limitele impuse. 2) în raport cu perturbaţia P(s) de tip treapta unitara :
0
1
11
1
f
f fp
f R f f R
f
K
T s KH
K K T s K K
T s
+= =
⋅ + + ⋅+
+
; 1
( )1
fp
f f R
KY s
T s K K s= ⋅
+ + ⋅
( )_
1( ) lim lim
1 1f f
st vf s à s àf f R f R
K KY s s Y s s
T s K K s K K→ →
= ⋅ = ⋅ ⋅ = + + ⋅ + ⋅
cu cat KR creste, cu atât efectul perturbaţiei este scăzut (răspunsul ieşirii în regim staţionar scade):
( )1
f Rd
f
K KH s
T s
⋅=
+ ε(s)
Y(s) R(s)
- +
26
P
KR ↑ _st fy ↓
Concluzie: un regulator P se poate alege atunci când procesul conţine cel puţin un element integrator. Astfel se asigura eroare staţionară nulă deci o buna comportare a sistemului în regim staţionar. Pentru procese cu mai multe constante de timp, alegerea unui regulator P, poate atrage instabilitatea sistemului. Se indica alegerea factorilor mici de amplificare care însa va sacrifica precizia răspunsului în regim staţionar (creste eroarea staţionară).
Regulatorul integrator (I) Legea de reglare :
0
1( ) ;
t
i
i
u t dtT
T constanta de integrare
ε=
=
∫
( ) 1R
i
H sT s
=⋅
( ) ( )1
1
1Ri
H sT s sτ
=⋅ ⋅ +
daca se considera întârzierea proprie a regulatorului real.
Răspunsul indicial al regulatorului I
2
1( ) R R
i i
K KY s
T s s T s= ⋅ = ( )
i
ty t
T=
Abaterea răspunsului real indicial al unui regulator I, în raport cu răspunsul ideal, este cu atât mai mare cu cat constanta de timp proprie regulatorului este mai mare:
( ) ( )1
1Ri
H sT s sτ
=+
Concluzie: răspunsul unui regulator I este o rampa cu panta 1/Ti. Regulatorul I are un caracter de memorie deoarece la o comanda u(t) nenula poate fi trimisa spre proces chiar daca intrarea în regulator este nula. Prezenta polului în origine în funcţia de transfer a regulatorului asigura o buna
1
( ) 1R
i
H sT s
=⋅
U(s) ε(s)
u(t)
ideal
real ε
ε(t)
t
27
comportare în regim staţionar a SRA la intrarea treapta unitara însa gradul de stabilitate al sistemului poate sa scadă. în general regulatoarele I se folosesc în combinaţie cu cele de tip P.
28
Regulator propor ţional-integrator (PI) Funcţia de reglare:
( ) ( )0
1( ) ;
t
Ri
R i
i
u t K t t dtT
K si T parametrii de acord
T - constanta de integrare
ε ε
= +
∫
1( ) 1R R
i
H s KsT
= +
( )_
11
( )1
Ri
R real
KsT
H ssτ
+
=+
unde τ reprezintă constanta de timp a regulatorului (întârzierea proprie a
regulatorului real. Efectul I determina asigurarea preciziei răspunsului (eroare staţionară zero) iar efectul P duce la creşterea vitezei de răspuns a SRA.
Răspunsul indicial al regulatorului PI
Constanta de integrare Ti reprezintă intervalul de timp după care ieşirea din regulator îşi dublează valoarea (de la KR, la 2KR).
2
1( ) R
i
KY s
s s T= + ( ) 1R
i
ty t K
T
= +
Analiza unui SRA cu REG de tip PI şi Hf = elem. de întârziere de ordinul I:
1
( ) 11R R
i
H s KT s
= + ⋅
U(s) ε(s)
u(t)
ideal
real KR
2KR
Ti -KR Ti
ε
ε(t)
t
29
1) în raport cu referinţa R(s) răspuns indicial:
( )( ) ( ) ( )0 2 2
1( ) 1
1 1f R i f R
i
i f i f R f R i f i f R f R
K K T s K KH s T s
TT s T K K s K K TT s T K K s K K
+= = ⋅ +
+ + + + + +
2
0 2 2
1( )
2n
iin n
H s T sTs s
ωξω ω
= ⋅ + + +
unde : ( )21
;1
=2
f RR f i fn
i f f R f
K KK K TT
TT K K Tω ξ
+=
Răspunsul acestui sistem este compus dintr-un răspuns echivalent al unui sistem de ordin II şi un
răspuns determinat de prezenta zeroului 1
i
zT
= − la numărătorul funct. de transfer.
Răspunsul indicial al sistemului este : 2 2
2 2 2 2
1( )
2 2n i n
n n n n
TY s
s s s s s
ω ωξω ω ξω ω
⋅= ⋅ +
+ + + +
Aplicând transformata Laplace inversa rezultă: 2
2
( )( ) ( ) i
dy ty t y t T
dt= +
Rezulta deci ca răspunsul sistemului este compus din răspunsul unui sistem oscilant de ordin II la care
se adăuga mărimi proporţionale cu derivata 2 ( )dy t
dt, cu coeficient de proporţionalitate =Ti. Răspunsul
( )y t al sistemului va înregistra: Modificarea (creşterea) suprareglajului în funcţie de constanta acţiunii integrale Ti
(Obs: pentru un sistem oscilant de ordinul II, 21
II e
πξ
ξσ−
−= ( ) = fσ ξ⇒ .
Suprareglajul lui ( )y t va fi afectat şi poziţia în planul complex a zeroului lui zr)
R(s) ( )( )
1( )
1f R i
d
i f
K K T sH s
T s T s
⋅ +=
⋅ ⋅ +
ε(s) Y(s)
- +
1( ) 1R R
i
H s KT s
= + ⋅
( )1
ff
f
KH s
T s=
+ U(s) ε(s) Y(s) R(s)
-
+
v(s)
Σ
30
Ca urmare a prezentei acţiunii derivative, durata procesului tranzitoriu se reduce (
durata reg. tranzitoriu este dependenta invers de pulsaţia naturala)
Deoarece 0 (0) 1H = , 0stε = la intrare treapta unitara, şi ist
f R
T
K Kε = la o intrare
rampa unitara. Poziţia zeroului influenţează puternic suprareglajul şi durata reg. tranzitoriu. Ea poate fi reglata prin modificarea lui Ti.
Graficele de mai jos ilustrează dependenta , r
n
zfσ ξ
ξω
=
şi , rn c
n
zt fω ξ
ξω
=
:
Figura 3. Influenţa unui zero suplimentar asupra unui sistem de ordinul II
Concluzie: efectul lui zr asupra lui σ şi asupra lui t c poate fi neglijat daca 0.5 5 r nsi zξ ξω> > Se
poate formula şi altfel: prezenta unui zero în expresia lui ( )fH s va influenţa suprareglajul şi viteza de
răspuns a ieşirii daca 0.5 ξ < iar zeroul real 1
i
zT
= − real şi nu va depăşi limita 5 nξω− . Pe măsura
apropierii zeroului de 0 suprareglajul creste iar durata regimului tranzitoriu scade. Tema: sa se determine funcţia de transfer a sistemului analizat în raport cu perturbaţia: 0 ( )pH s . Sa se
determine ( )py t în regim staţionar şi sa se aprecieze daca parametrii de acord Ti şi KR pot influenţa
scăderea acestei influente. Prezenta regulatorului proporţional-integrator înaintea punctului de aplicaţie al perturbaţiilor unitare conduce la următoarele concluzii:
( ) ( )( )( )0 2 1
f i vv
i f i f R f R
K K s Y sH s
V sTT s T K K s K K= =
+ + +
La aplicarea unei perturbaţii treapta unitara, răspunsul sistemului si eroarea staţionara sunt:
( ) ( )0
1;v vY s H s
s= ⋅
0 1 2 3 4 5 6 7
20
40
60
80
100
0 1 2 3 4 5 6 7
20
40
60
80
100
ωnt
c[%
]
r
n
z
ξω
ζζζζ =0.3
ζζζζ =0.5
ζζζζ =0.7
r
n
z
ξω
ζζζζ =0.7 ζζζζ =0.5
ζζζζ =0.3 σ [%
]
31
( ) ( )0
lim lim 0v st t
y t s Y s→∞ →
= ⋅ =
( ) ( )00
lim 1 0st vt
s H R sε→
= ⋅ − =
Prin urmare, prezenta elementului integrator înaintea punctului de aplicaţie al perturbaţiilor conduce la anularea contribuţiei acestora în răspunsul sistemului, daca ele sunt de tip treapta unitara.
C4. Regulator propor ţional-derivativ (PD) Legea de reglare:
( )( ) ( ) ;R d
R d
d
d tu t K t T
dt
K si T reprezinta parametrii de acord;
T - constanta de derivare
εε = +
( )( ) 1R R dH s K sT= +
( ) ( )( )_
1
1
1R d
R real
K sTH s
sτ+
=⋅ +
daca se considera întârzierea proprie a regulatorului real.
Răspunsul indicial al regulatorului PD
Răspunsul componentei derivative alături de cea proporţionala, introduce un efect de anticipaţie ceea ce atrage o îmbunătăţire a stabilităţii sistemului.
Analiza unui SRA cu REG de tip PD şi Hf = elem. de întârziere de ordinul I:
1
( ) ( )1R R dH s K T s= + ⋅
U(s)
ε(s)
u(t)
ideal
KR
1
u(t)
real
KR
ε
ε(t)
t t
32
1) in raport cu referinţa R(s) răspuns indicial:
( ) ( )1( )
1 1 1 f R fR d
d d ff
K K KK T sH s unde T T
s T s sτ τ+
= ⋅ = =+ + +
( )0 ( )
11 1
1
f R f R
f R
f Rf R
K K K KH s
s K K sK K
K K
τ τ= =
+ + + + +
Performanţele sistemului reglat cu PD sunt:
1
1stf RK K
ε =+
0 ( )1 f R
T sK K
τ=+
Componenta D nu aduce modificări substanţiale pentru un SRA–ul unui proces de ordinul I (nu
intervine dT .
Tema: 2) în raport cu perturbaţia P(s) de tip treapta unitara : Sa se determine performanţele unui SRA corectat cu un regulator de tip PD, în raport cu perturbaţia. Se considera ca procesul este un element de întârziere de ordinul I.
Analiza unui SRA cu REG de tip PD şi Hf = elem. de întârziere de ordinul II:
R(s)
( )( )1
f Rd
K KH s
sτ⋅
=+
ε(s) Y(s)
- +
( )1( )
1R d
R
K T sH s
sτ+
=+
( )1
ff
f
KH s
T s=
+
U(s) ε(s) Y(s) R(s)
-
+
v(s)
Σ
33
Pentru un sistem de ordinul II, alegerea unui regulator PD permite eliminarea unei constante de timp T1 dar prezenta lui τ conduce tot la un sistem de ordinul II. Propunem o comparaţie intre acest SRA cu REG =PD şi cel în care REG este de tip P, pentru acelaşi proces:
0 11 2
2
( )( ) (0) (0) 1
( )
K P sH s P P
P ssα⇔ = ⋅ = = sau 2
0 2 2( )
2n
n n
H s Ks s
ωξω ω
=+ +
( ) ( )0 _ 222 2 2
1( )
111
1 1
R f R fPD
R fR f
R f R f
K K K KH s
TK KT s T s K K Ts s
K K K K
ττ τ τ⋅ ⋅
= = ⋅+⋅ ++ + + ⋅ +
+ +⋅ + ⋅ +
( )0 _ 21 2 1 2
( )1
R fP
R f
K KH s
T T s T T s K K
⋅=
+ + + ⋅ +;
Comparând cele doua răspunsuri :
0 ( )
1f R
f R
K KK s
K K=
+ este factorul de amplificare identic pentru cele doua sisteme
1
1stf RK K
ε =+
aceeaşi pentru ambele sisteme ( )00
1lim 1 (0)sts
s Hs
ε→
= −
deoarece 1Tτ ≪ _ _n P n PDω ω< _ _t P t PDt t> (durata procesului
tranzitoriu scade pentru procesul cu regulator PD).
PD Pξ ξ> PD Pσ σ< Concluzie: prezenta componentei derivative aduce îmbunătăţiri în regimul tranzitoriu al sistemului şi nu în cel staţionar. Ea permite scăderea suprareglajului şi a duratei procesului tranzitoriu (a timpului de creştere).
Regulator propor ţional-integral-derivativ (PID) Legea de reglare:
0
1 ( )( ) ( ) ( )
t
R di
d tu t K t t dt T
T dt
εε ε
= + +
∫
1( ) 1R R d
i
H s K T sT s
= + +
( )1( )
1R d
R
K T sH s
sτ+
=+
( ) (1 2
( )1 1
ff
KH s
T s T s=
+ +
U(s) ε(s) Y(s) R(s)
-
+
v(s)
Σ
34
( )( )
2 1( )
1
R i d i
Ri
K TT s T sH s
T s sτ+ +
=+
daca se considera întârzierea proprie a regulatorului real.
Răspunsul indicial al regulatorului PID
Algoritmul PID se recomanda în general, pentru procese cu doua constante de timp predominante, alegând astfel parametrii de acord ai regulatorului încât aceste constante sa fie reduse.
Analiza unui SRA cu REG de tip PID şi Hf = elem. de întârziere de ordinul II:
Pentru procesul cu doua constante de timp predominante, se recomanda un regulator PID având funcţia de transfer :
( )( )( )
1 21 1( )
1R
R
K s sH s
s s
θ θθ τ
+ +=
+
Se aleg 1 1Tθ = şi 2 2Tθ = .
R(s) ( )
( )1
f Rd
K KH s
s sτ⋅
=⋅ +
ε(s) Y(s)
- +
1( ) 1R R d
i
H s K T sT s
= + +
( )( )1 2
( )1 1
ff
KH s
T s T s=
+ +
U(s) ε(s)
Y(s)
R(s)
-
+
v(s)
Σ
1
1( ) 1R R d
i
H s K T sT s
= + +
U(s) ε(s)
t
u(t)
ideal
real ε
ε(t)
KR t
D
P I
35
( )02
( )11
R f
KK KK
H s unde KKs s K s s
ττ θ
τ τ
= = =+ + + +
Performanţele răspunsului sunt:
0stε =
viteza de răspuns este superioara şi ( )nf ω ; 2 R fn
K Kω
τ θ
= ⋅
( )f Kξ = se determina precis in functie de K.
Adăugarea componentei D la un regulator impune o atenţie mărită la acordare pentru obţinerea unor performanţe îmbunătăţite. In cazul proceselor cu timp mort, introducerea componentei D nu aduce îmbunătăţiri semnificative.
36
Regulatoare neliniare
Regulatoare bipozi ţionale Legea de reglare:
( )u M sign ε= ⋅ -
u M pentru
u M pentru
ε δε δ
= − <= + > +
REG bipoziţional ideal REG bipoziţional real Pentru intervalul ( ),δ δ− + , mărimea ( )u t u(t) este +M sau –M, după cum mărimea ( )tε se plasează în
intervalul ( ),δ δ− + , venind de la valori mai mari decât δ+ sau venind de la valori mai mici decât δ− .
Aceste regulatoare unde nu se cer performanţe ridicate, se recomanda în general pentru procese cu timp
mort τ şi a căror constanta de timp T respecta raportul 0.2T
τ ≤
Regulatoare tripozi ţionale Legea de reglare :
Regulatoare neliniare
bipoziţionale tripoziţionale
ε
u
+M
-M
ε
u
+M
-M
ideal cu histerezis
37
0 -
u M pentru
u pentru
u M pentru
εεε
= − < ∆= ∆ < < +∆= + > +∆
In unele cazuri, structura regulatoarelor neliniare bipoziţionale şi tripoziţionale, este completata cu circuite de corecţie locala, obţinându-se legi de reglare PI, PD sau PID.
Criterii de alegere a tipului de regulator Alegerea tipului de regulator pentru un proces dat, este funcţie de caracteristicile procesului tehnologic şi de performanţele impuse sistemului de reglare.
Pentru procese lente se recomanda utilizarea regulatoarelor continue liniare sau a celor bipoziţionale şi tripoziţionale
Pentru procese rapide sunt recomandate regulatoare au căror parametrii de acord au game reduse de variaţie.
Prezenta timpului mort în funcţionarea unui proces tehnologic impune următoarele obs:
Componenta D se utilizează numai daca procesul conţine mai multe constante de timp ce pot fi reduse prin intermediul unui algoritm PID.
Pentru un proces caracterizat printr-o constanta de timp T şi un timp mort, se recomanda utilizarea unui REG de tip PI sau P (regulatorul P se alege numai daca eroarea staţionara este admisibila ca
valoare). Daca raportul 0.2T
τ ≤ , se recomanda un regulator bipoziţional daca performanţele impuse
nu sunt foarte severe. Varia ţiile de sarcina ale procesului (perturbaţiile) impun următoarele restricţii în alegerea unui REG:
Pentru procese cu o constanta de timp medie şi timp mort redus, la o perturbaţie cu amplitudine medie şi o frecventa redusa, se recomanda un REG = P sau unul bipoziţional.
Pentru procese cu mai multe constante de timp şi timp mort redus, la perturbaţii de amplitudini variabile şi frecvente mari, se recomanda un algoritm PI.
ε
u
+M
-M
ε
u
+M
-M
ideal cu histerezis
+∆
+ ∆
38
Pentru procese cu mai multe constante de timp şi timp mort redus, la perturbaţii de amplitudini mari şi frecvente mari,se recomanda un PID.
Obs: pentru frecventa perturbatiilor se intervine cu I iar pentru amplitudine se adauga D. Dupa modelul matematic al procesului:
Pentru procese cu doua sau mai multe constante de timp nu se recomanda un regulator P ci un regulator PI sau PID care anuleaza eroarea stationara si asigura viteza ridicata de raspuns.
In functie de parametrul reglat sunt recomandate diverse tipuri de regulatoare avand in vedere dinamica procesului (τ ,T) si caracterul perturbatiilor.
In general adăugarea componentei I la componenta P a unui REG, deşi asigura eroare staţionară nula, poate atrage instabilitatea sistemului. Ïn acest caz se recomanda reducerea factorului de amplificare
RK . Pentru sisteme cu referinţa constanta şi perturbaţii de amplitudine şi durata redusa, NU se justifica utilizarea REG = PI. Introducerea efectului I este justificata când intrarea în sistem se modifica des sau daca sistemul de reglare are mărimea de intrare variabila lent după un program iar perturbaţiile care intervin în proces sunt lente. Adăugarea componentei D urmăreşte reducerea suprareglajului care apare în cazul utilizării componentelor P şi I şi când intervin perturbaţii bruşte, în perioada de pornire a procesului sau pentru procese discontinue. Prezenta componentei D, determina şi creşterea factorului de amortizare deci se îmbunătăţeşte desfăşurarea procesului la apariţia unei perturbaţii bruşte. Pentru procesele continue, adăugarea efectului D măreşte durata regimului tranzitoriu şi reduce suprareglajul. In cazul proceselor supuse la perturbaţii cu frecventa mare, prezenta sa poate fi dăunătoare.
P
RK ↑ stε ↓ 0T ↓
( ) Viteza de raspuns↑ 0K ↑
PD
( ),R DK T ↑ σ ↓ ξ ↑ tt ↑
PI
( ),R iK T ↑ 0stε = ; ; n ttω σ↑ ↑ ↓ oK ↑
(instabilitate !!) In tabelul de mai jos prezentam sistematizat modul de alegere a algoritmului de reglare pentru diverse tipuri de procese descrise prin funcţia de transfer a parţii fixate ( )fH s :
Legea de reglare P PI PD PID
( )fH s
( )1
ff
KH s
Ts=
+ DA
DA daca se impune eroarea staţionara
DA daca
fT este precis
determinat
NU
39
( )( )1 2
( )1 1
ff
KH s
T s T s=
+ + DA cu performanţe
reduse DA dar cu restricţii asupra amplificării
Se utilizează rar DA cu restricţii asupra
amplificării
( )1
( )1
ff n
i
KH s
T s=
+∏
Rar, performanţele sunt scăzute
DA Rar DA
( )1
sf
f
K eH s
Ts
τ−⋅=
+
DA când
0,1fT
τ < iar stε este
în limite admisibile
DA F. rar
Neconvenabil când timpul mort este produs de timpul de transport şi
exista zgomot
( ) sf fH s K e τ−= ⋅ NU NU NU NU
( )( )1 2
( )1 1
sf
f
K eH s
T s T s
τ−⋅=
+ + NU DA NU
Rar, în funcţie de tipul timpului mort şi de
efectul componentei D
Alegerea algoritmului de reglare in functie de natura parametrului reglat
Tip regulator/ Parametrul de reglat
P PI PID Bipozitional
Temperatura
DA
daca 0,1T
τ < DA DA
Da in functie de
raportul T
τ
Presiune DA
daca nu exista timpi morti prea mari
DA In cazuri specilale -
Debit NU DA NU -
Nivel DA
daca nu exista timpi morti prea mari
DA - DA
Turatie DA
daca timpii morti sunt foarte mici
DA DA, mai rar NU
Tensiune DA DA DA, mai rar NU
40
C5. Alegerea şi acordarea regulatoarelor pentru procese rapide Proces rapid: este caracterizat prin constante de timp mici şi timp mort neglijabil. Se considera ca o
constanta de timp este mica daca iT < 10 sec. Alegerea tipului de regulator este în general funcţie de criteriile de performanta impuse răspunsului sub acţiunea intrării şi a eventualelor mărimi perturbatoare. în cazul sistemelor rapide se va propune un algoritm de reglare care sa asigure urmărirea cat mai fidela a referinţei şi rejecţia perturbaţiilor daca acestea intervin. Algoritmul de reglare va conduce la un SRA cu o comportare satisfăcătoare din aceste doua puncte de vedere însa nu permite satisfacerea anumitor performanţe care s-ar impune eventual răspunsului. Printre criteriile utilizate pentru determinarea valorilor parametrilor de acord cu asigurarea cerinţelor de performanta impuse sistemului, sunt criteriul modului şi criteriul simetriei.
Criteriul modulului In cazul unui sistem liniar monovariabil suspus unei perturba ţii aditive P, în cazul unei comportări ideale, mărimea de ieşire y trebuie sa urmărească cu exactitate mărimea de intrare, fie ea şi variabila:
( ) ( )y t r t=
atât în regim staţionar cat şi tranzitoriu .
( ) ( ) ( ) ( )0
( ) ( )
( )
R v
ov
Y s Y s
Y s H s r s H s v s= ⋅ + ⋅
Răspasul ( )Y s este format din cele doua componente:( )RY s şi ( )vY s .
Sistemul SRA are o comportare ideala daca:
( ) ( ) ( )RY s Y s r s= =
( ) 0VY s = , s∀ sau ( )jω∀ - efectul perturbaţiei anulat.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0
0
R
V V
Y s H s r s
Y s H s V s
= ⋅ = ⋅
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0
0 0R
V V
Y s H s r s r s
Y s H s V s
= ⋅ = = ⋅ =
( )( ) ( )0
0
1
0
V
H ss sau jω
H s
= ∀ ∀ =
( ) ( )( ) ( )
( )( )0
1
0 ,
O
V
H j
H s s sau jω
ω = = = = ∀ ∀
0
v
0
M ω
M ω
arg H s = 0
ceea ce se traduce prin :
HR(s) H2 (s) r
+
-
ε U Y
V
Σ H1 (s)
41
urmărirea exacta a referinţei( referinţa este urmărita în modul şi faza – vezi condiţia de modul şi argument)
rejecţia perturbaţiei Aceste condiţii trebuie îndeplinite pentru toata gama posibila de variaţie a pulsaţiei. Din aceste condiţii impuse modulelor deriva şi denumirea de "criteriul modului". Pentru procese rapide cum sunt: acţionările electrice şi hidraulice, deoarece se pot identifica modelele matematice ale proceselor reale (deci ( )fH s se recomanda aplicarea variantei Kessler
a criteriului modului. Acesta varianta oferă un algoritm de acordare optima a REG care sa asigure simultan o comportare buna atât în raport cu semnalele de intrare cat şi în raport cu perturbaţiile, fără a trata separat asigurarea anumitor performanţe.
( ) ( )1
( )1 1
ff n
i
KH s
T s T sΣ
=+ +∏
[1]
sau
( ) ( )1
( )1 1
ff n
i
KH s
s T s T sΣ
=⋅ + +∏
[2]
unde: Kf - reprezintă coeficientul de transfer al parţii fixate Ti – reprezintă constantele dominante (mari) de timp (constante de timp principale):
10iT <
T∑ - reprezintă suma constantelor de timp parazite care sunt mult mai mici decât cele predominante:
1min
10 iT TΣ =
In ambele cazuri varianta Kessler pentru procese rapide propune un regulator care sa transforme sistemul închis SRA intr-unul de ordinul II în care se elimina contribuţia în răspuns a constantelor de timp dominante. In ceea ce priveşte anularea efectului perturbaţiilor , criteriul modulului propune forme analitice de legi de reglare care plasează un element integrator înaintea punctului de aplicaţie al acestora. Prezenta elementului integrator înaintea punctului de aplicaţie a perturbaţiilor conduce la anularea efectului acestora daca ele sunt de tip treapta unitara.
( )H s
r +
-
ε Y
V
Σ
( )1G s
s
42
Functia echivalenta a sistemului care are un element integrator inaintea punctului de aplicatie al perturbatiilor este:
0 1 11v
H HsH
sHGHGs
= =++
; 0
1v vY H
s= ⋅ ; 0 0
0 0
1lim lim 0st v vs s
Y s H Hs→ →
= ⋅ = =
Varianta Kessler pentru funcţia de transfer [1] propune alegerea unui regulator a cărui funcţie de transfer sa aibă expresia:
( )( )
1
1m
k
R
sH s
s
θ
θ
+=
∏unde:
2k k
f
m n
T
K T
θθ Σ
==
= ⋅ ⋅
Varianta Kessler pentru procese rapide descrise prin funcţia de transfer [2] propune alegerea unui regulator a cărui funcţie de transfer sa aibă expresia:
( )( )
1
1m
k
R
sH s
θ
θ
+=
∏unde:
2k k
f
m n
T
K T
θθ Σ
==
= ⋅ ⋅
In concluzie criteriul modulului, indiferent de expresia funcţiei de transfer a parţii fixate, conduce la obţinerea pe calea directa a unei funcţii de transfer cu un pol în origine. Prezenta acestuia, înaintea punctului de aplicaţie al perturbaţiilor, asigura urmărirea precisa a referinţei (eroare staţionara zero) dar si anularea efectului perturbaţiilor.
a) Pentru primul caz ajungem la:
( ) ( )1
2 1dH sT s T sΣ Σ
=⋅ ⋅ +
( )22
0 2 2 2 22
2
1
211 11 2 2 2
2
n
n n
TH s
T s T s s ss sT T
ωξω ω
Σ
Σ Σ
Σ Σ
= = =+ + + ++ +
Deci oricare ar fi expresia procesului rapid de reglat, prin aplicarea variantei Kessler se ajunge la un sistem oscilant de ordinul II ale cărui caracteristici sunt formalizate.
1
2
20.7
2
nT
ω
ξ
Σ
= ⋅ = =
;
43
Se observa ca în urma acordării regulatoarelor aplicând varianta Kessler, constantele de timp dominante sunt înlăturate iar parametrii caracteristici ai sistemului sunt determinaţi de suma constantelor de timp parazite.
b) Pentru cazul al doilea ajungem la aceeaşi expresie pentru ( )dH s deci la aceleaşi
performanţe.
Pentru ambele variante deducem:
21II e
πξ
ξσ−
−= 0,043 4,3%σ = = ;
4 4.788
1
2
tn
t T
T
ξω Σ
Σ
≅ = = ⋅
⋅
pentru K , vezi funcţia de transfer ( )dH s : 1
2 2n
vKT
ωξ Σ
= =
Eroarea la viteza este 1
2v TK
ε Σ= =
Obs: pentru un sistemul de ordinul II eroarea la viteza se poate det.:
1 22
1 2 1 2
21 1 22n
vitezann
p pT
p p p p
ξω ξεωω Σ
+= + = = = =
⋅
Sau privesc ( ) ( )1
2 1dH sT s T sΣ Σ
=⋅ ⋅ +
1
2v TK
ε Κ= = (conform Tabel.)
( ) ( ) 2 2 20 0
1 1lim lim lim 1
1 2 2vt s s
t s s sT s T s s
ε ε ε→∞ → →
Σ Σ
= = ⋅ = ⋅ − ⋅ + +
( )2 2 2
2 22 20 0
2 2lim lim
1 2 21 2 2v
s s
T s T s T s T
T s T ss T s T sε Σ Σ Σ Σ
→ →Σ ΣΣ Σ
+ + = = + ++ +
1
2n
Tω
Σ
=⋅
20.7
2ξ = = 4.3%σ = 8tt TΣ=
1
2vKT∑
=
0stε = 2st Tε Σ= ⋅
Din tabel tragem concluzia ca performanţele răspunsului unui astfel de SRA sunt constante determinate sau ( )f TΣ . Comportarea acestui sistem este total nesatisfăcătoare pentru o intrare rampa.
Exemplu:
Se da SR: ( ) ( )( ) ( )10
8 1 3 1 0.1 1fH ss s s
=+ + +
44
Se cere determinarea REG şi parametrii de acordare astfel încât:
0
5%
1.3sec
st
tt
εσ
= ≤ =
Verificam : ( )10.1 3
10≤ ?.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 1 3 1 8 1 3 1
2 0.1 10 2R
s s s sH s
+ + + += =
⋅ ⋅
-117.1
2 0.1 n sω = =
⋅ 0.7ξ = 4.3%σ = 8 0.1 0.8 tt sec= ⋅ =
15
2 0.1K = =
⋅
0stε = 2 0.1 0.2stε = ⋅ =
Criteriul simetriei Criteriul se aplica de asemenea pentru procese rapide atunci când se urmăreşte definirea unui REG care sa conducă la un SRA care sa aibă eroare staţionară nulă la intrare de tip rampa. Acest criteriu se foloseşte de regula, în reglarea sistemelor automate SA cu semnale de intrare variabile liniar cu timpul şi NU pentru semnale de intrare de tip treapta care înrăutăţesc performanţele tranzitorii şi staţionare ale SRA.
daca ( )( ) ( )
1
1 1
ff n
i
KH s
T s T sΣ
=⋅ + ⋅ +∏
Deoarece ( )i i1+T jω T jω≅ , comportarea în frecventa a parţii fixate se poate aproxima la:
( )( ) ( )
1
1
ff n
i
KH s
T s T sΣ
=⋅ + ⋅∏
Conform supoziţiei anterioare ( )( )
1
1m
k
R
sH s
s
θ
θ
+=
∏ rezultă:
( )( ) ( )
( )1
1
1
1
m
kf
d n
i
sK
H ss
T s T s
θ
θΣ
+= ⋅
⋅ + ⋅
∏
∏. Se amplifica în ( )dH s cu
1
n
kθ∏
( )fH s
0s t vε ε= =
45
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
1 1 1
1
1
1 1
11
n n n
k k kf
d n n n
i k kn
k nf
k
s sK
H ss
T s T s Ts s T s
K
θ θ θ
θ θθθ
θ
Σ
Σ
+ += ⋅ ⋅ =
⋅ + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
∏ ∏ ∏
∏ ∏ ∏∏
∏
toate constantele de timp de la numărător sunt egale cu 1 2 .... n cθ θ θ θ= = = ,
c constantθ θ=
constanta de timp 4c n Tθ Σ= ⋅
1
1
2
n
k
nf
k
TT
K
θ
θΣ⋅ = ⋅
∏
∏
Criteriul simetriei propune alegerea unui REG de forma:
( ) ( )1n
cR
sH s
s
θθ⋅ +
=⋅
unde:
1
4
2
c
nc
f n
i
n T
K TT
θθθ
Σ
Σ
= ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
∏
( ) ( )2 2
4 1
8 1d
T sH s
T s T sΣ
Σ Σ
+=
⋅ +
( ) ( )( )0 2 2
4 1
4 2 1 2 1
T sH s
T s T s T sΣ
Σ Σ Σ
+=
+ + +
( ) ( )( )2
0 2 22
2
1 1
424 1
4 2 1 2 1 1 1 1
2 24
sTTT s
H sT s T s T s
s s sT TT
ΣΣΣ
Σ Σ Σ
Σ ΣΣ
+ + = =
+ + ++ + +
( )( )( )
23
2
2 22 3
2
1 1
42
21 1 1
2 24
n
n n
ps s zTT zs s s p
s s sT TT
ω
ξω ωΣΣ
Σ ΣΣ
⋅+ + =
+ + ++ + +
1
2n Tω
Σ
= ; 1
20.5
2 n
Tξω
Σ= = ; 3
1
2p
TΣ
= ; 1
4z
TΣ
=
( ) ( )1 1
1 1Re Re 0.5
2 4 = - np si p
Tξω
Σ
= − ⋅ = −
46
In sistem pe lângă cei doi poli complecşi ai sistemului oscilant de ordin II, apar un pol şi un zero suplimentar. Influenţa prezentei unui zero suplimentar, în funcţia de transfer a unui sistem oscilant de ordinul II, este prezentata în Figura 3 (variaţia suprareglajului şi a timpului tranzitoriu). In mod similar se poate determina analitic, influenţa unui pol suplimentar asupra performanţelor tranzitorii ale unui sistem de ordinul II:
Influenţa unui zero suplimentar asupra unui sistem de ordinul II
Influenţa unui pol suplimentar asupra performanţelor unui sistem de ordin II
0 1 2 3 4 5 6 7
20
40
60
80
100
0 1 2 3 4 5 6 7
20
40
60
80
100
ωnt
c[%
]
r
n
z
ξω
ζζζζ =0.3
ζζζζ =0.5
ζζζζ =0.7
r
n
z
ξω
ζζζζ =0.7 ζζζζ =0.5
ζζζζ =0.3
σ [%
]
0 1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
40
50
ωnt
c[%
]
3
n
p
ξω
ζζζζ =0.3
ζζζζ =0.5
ζζζζ =0.7
3
n
p
ξω
ζζζζ =0.7
ζζζζ =0.5 ζζζζ =0.3 σ [%
]
1
4TΣ
− 1
2TΣ
− σ
jω
p1
p2
p3 z
47
Figura 4.
Efectul polului suplimentar asupra lui σ şi tc poate fi neglijat daca 30. 5 n5 si pξ ξω> > . In
general prezenta unui pol suplimentar poate înrăutăţi sau îmbunătăţi răspunsul sistemului în regim tranzitoriu în funcţie de poziţia polului suplimentar în raport cu ceilalţi poli. Poziţia polilor şi a zeroului este simetrica fata de origine. In acesta distributie a polilor si a zerourilor se obtine, pentru o intrare treapta, un raspuns cu σ=43% si ∑ 11tt T∑= , deci performante nesatisfacatoare. Pentru intrarea rampa performantele sistemului sunt mult
imbunatatite. Exemplu:
Se considera procesul cu : ( )( )
2
0.1 1 8 1fHs s
=+ +
Sa se proiecteze un algoritm de reglare care sa asigure 0stε = în raport cu referinţa care este o rampa
unitara.
( ) 1cR
sH s
s
θθ
+= unde :
1
4 4 0.1 0.4
42
c
f
T
TK T
T
θ
θ
Σ
ΣΣ
= = ⋅ = =
( ) ( )8 1 0.41 0.4 1 0.44 0.1 0.02 0.42 2 0.1
8
R
ss sH s
s ss
++ += = =⋅⋅ ⋅ ⋅
( ) ( )1n
cR
sH s
s
θθ⋅ +
=⋅
unde:
1
4
2
c
nc
f n
i
n T
K TT
θθθ
Σ
Σ
= ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
∏
48
C6. Proiectarea SRA prin metoda aloc ării poli-zerouri Se doreşte ca pornind de la performanţele impuse sa se găsească o repartiţie a polilor şi zerourilor funcţiei de transfer a sistemului închis ( )0H s astfel încât SRA sa îndeplinească toate performanţele
impuse.
Cunoscând şi ( )fH s se poate determina ( ) ( )( )
( )0
0
1
1Rf
H sH s
H s H s= ⋅
−
Ne propunem sa prezentam relaţiile dintre performanţele dinamice şi staţionare ale sistemului şi reparti ţia polilor şi zerourilor acestuia în planul complex. Alegerea generica a lui ( )0H s se face pornind de la excesul polilor asupra zerourilor în funcţia de
transfer a parţii fixate Fe (întotdeauna 0Fe > ).
Condiţia de realizabilitate fizica a unui SRA este 0 Fe e≥ (acesta rezultă din aceea ca excesul de poli
ai ( )dH s este egal cu cel al lui ( )0H s iar 0 d R f fH H H He e e e e= = + ≥ )
daca 01 1 Fe e= ⇒ ≥ . în acest caz se încearcă transpunerea performanţelor pentru un
sistem de ordinul I :
( ) 00
01
KH s
sT=
+
daca 02 2 Fe e= ⇒ ≥ . în acest caz se presupune ( )0H s ca fiind un sistem de
ordinul II : 2
0 2 2( )
2n
n n
H ss s
ωξω ω
=+ +
daca 03 3 Fe e= ⇒ ≥ se încearcă transpunerea performanţelor intr-un sistem de
ordinul II care are un pol suplimentar: ( ) ( )( )2
30 2 2
32n
n n
pH s
s s p
ωξω ω
⋅=
+ + +
daca este necesara introducerea unui zero suplimentar : ( )( )
( )
2
0 2 22
n
n n
s zzH s
s
ω
ξω ω
+=
+ +
daca din condiţia de realizabilitate fizica este necesara introducerea unui pol şi a unui
zero suplimentar : ( )( )
( )( )
23
0 2 232
n
n n
ps z
zH ss s p
ω
ξω ω
⋅+
=+ + +
Alocarea polilor si/sau zerourilor şi aprecierea influentei acestora asupra performanţelor SRA, presupune cunoaşterea :
SRA de ordinul II Efectele introducerii unui pol suplimentar Efectele introducerii unui zero suplimentar Efectele introducerii unei perechi pol-zero
49
1) Sistem cu doi poli Vom pune în evidenta care trebuie sa fie reparti ţia polilor şi zerourilor funcţiei ( )0H s daca sistemul
are impuse anumite performanţe :
in regim staţionar : stε la intrare treapta unitara sau rampa (vε ) (care sunt funcţie
numai de factorul de amplificare K) in regim tranzitoriu : n tω , σ, ξ , t (sunt funcţie numai de poziţia polilor în planul
complex) restricţii impuse de caracteristicile răspunsului în frecventa : ϕcM ,M (care indica gradul
de stabilitate al sistemului), B Rω ,ω (banda de frecventa sau lărgimea de banda este
limitată de Bω şi pulsaţia de rezonanta: ele indica comportarea sistemului fata de perturbaţiile de frecventa înalta)
1) eroarea staţionara nulă la intrarea treapta unitara stε = 0 :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
00 0 0
0 0 00 0
lim lim lim lim 1
1lim 1 lim 1 1 0
stt s s s
sts s
t s s s R s Y s s H s R s
s H s H s H ss
ε ε ε
ε
→∞ → → →
→ →
= = ⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅ = − = − =
( )0 0 1H = pentru reacţie unitara.
doua forme analitice pentru ( )0H s după cum dorim sa punem în evidenta cei doi poli sau
elementele caracteristice ale unui sistem oscilant de ordinul II:
( ) ( ) ( )01 2
0 st
CH s
s p s pε= = ⇒
+ + ; ( ) ( )( ) ( )
1 20
1 2
1 22
1 2 1 21 1
pp p p
s p p s p pH s
p p=
+ + +=
+ +
2
0 2 2( )
2n
n n
H ss s
ωξω ω
=+ +
, unde 21,2 1n njp ξω ω ξ= − ± −
( )2 2 2 2 21 2 1n n n np p ξ ω ω ξ ω ω− = − = + − = =
1 2 n-p = -p = ω
-p1 -p2
-p1
-p2
+j
+1
+j
+1 φ
ωn
50
( )ϕcos = ξ
Obs: utilizaţi în Matlab funcţia sgrid care activează pentru planul complex s (+j,+1) liniile de pulsaţie şi amortizare constanta
2) condiţie de suprareglaj: ≤ impσ σ ; ( )fσ ξ=
21 100II e
πξ
ξσ−
−= ⋅
i p pmp imimσ σ ξ ξ ϕ ϕ⇒ ≤≤ ⇒ ≥
3) durata reg. tranzitoriu:
( )2
4t n
n
t f ξωξω
= ≃ ;
( ) ( )t impus n n impust t ξω ξω≤ ⇒ ≥
ζ = 0
ζ ≥ 1
ζ < 0
Sistem neamortizat
Sistem supra-amortizat
Sistem instabil
1≤ζ ≤ 0
Sistem amortizat
σ
100%
16%
4,3%
0.5 0.7 1
ζ
σimp
σ < σimp
51
Ex: 4 4
10 10 0.410t n
n
t s ξωξω
⇒ ≤ ⇒ ≥ =≃
4) performanţe în domeniul frecventelor : Bω = lărgimea de banda cat mai mica pentru rejecţia perturbaţiilor.
≤B B_impusω ω
pentru zgomote de frecventa mai mare decât Bω , sistemul se comporta ca un filtru (in cazul sistemului de ordin II).
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0 2 22 2 22
n nB
n B n BB n B n
H jjj j
ω ωωω ω ξω ωω ξω ω ω
= =− ++ +
( )( )
2
0 22 2 2 2
2
24
nB
n B n B
H jωω
ω ω ξω ω= =
− +
⇒ +2 2 4B nω =ω 1- 2ξ 2 - 4ξ + 4ξ
≤B2 B_impusω ω
+ ≤ B_i2 2
sn p4
m uω 1- 2ξ 2 - 4ξ + ω4ξ
0.4nξω =
nξω−
+j
1
tt ≈ tt_impus
nξω−
+j
1
ω
( )M H jω=
M(0)
( )0.7 0M∗
Bω
A(dB)
ω -3 dB
52
⇒
⇒
⇒ ≈⇒
B n
B n
B n
B n
ξ = 0 .5 ω = 1 .2 7ω
ξ = 0 .6 ω = 1 .1 5ω
ξ = 0 .7 ω ω
ξ = 0 .8 ω = 1 .7 6ω
5) limitarea erorii la viteza (intrarea este rampa):
ε ≤v v_impusn
2ξ= εω
Acesta formula rezultă din:
( )( ) ( ) ( )( )( )0 0
lim limvs s
s s s Y s R sε ε→ →
= ⋅ = ⋅ −
( )( ) ( )( ) ( )( )2
0 0 2 20 0 20 2
1 1lim 1 lim 1 lim 1
2n
n nv
s s ss H s R s s H s s
s s s s
ωεξω ω→ → →
= ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − + +
2 20
2 2lim
2n
vs
nn n
s
s s
ξω ξεωξω ω→
+= =
+ +
≥nv_impus
2ξω
ε poate rezultă contradicţie cu condiţia anterioara. Daca funcţia nu poate satisface
şi acesta cerinţa se impune adăugarea unui pol sau a unui zero suplimentar.
2) Sistemul cu doi poli şi un zero
( )
( )( )1 2
031 2
Cp p s zH
s p s p
+=
+ + sau
sau≤
≤B B_impus
n n_impus
ω ω
ω ω
impusσ σ≤
≤t t_impust t
+j
+1
+j
+1
-p1
-p2
-z
53
1) eroarea staţionara la intrare treapta unitara stε = 0 ( )03
10 1 H C
z= ⇒ =
( )( )( )
1 2
031 2
p ps z
zHs p s p
+=
+ + sau ( )
( )2
3 2 22
n
on n
s zzH s
s s
ω
ξω ω
+=
+ +
( )( )
2
2 2
3 2 2 2 2 2 2
1
2 2 2
n
n no
n n n n n n
s zzH s s
zs s s s s s
ωω ω
ξω ω ξω ω ξω ω
+ = = + + + + + + +
( ) ( ) ( )03
1H s Y s s Y s
z= + ⋅ L
-1 ( ) ( ) 23 2
1 dyy t y t
z dt= +
Oscilaţiile procesului tranzitoriu cresc ceea ce conduce implicit la scăderea duratei regimului
tranzitoriu: tiar tσ ր ց
Pe de alta parte modificarea intr-un sens a duratei regimului tranzitoriu conduce la modificarea în sens invers a lărgimii de banda a sistemului . contracţia în domeniul timpului corespunde dilatării în domeniul frecventelor şi invers.
( )( )( ) ( )
2
2
0 2 22 220 lg 20 lg 20 lg 20 lg
22
n
n
n nn n
s zz s z
H sz s ss s
ωω
ξω ωξω ω
+
+ ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ = + ++ +
2
2 2
120 lg 1 20 lg
2n
n n
sz s s
ωξω ω
= ⋅ + ⋅ − ⋅ + +
tt2 tt3
y2
y3 y(t) iar tσ tր ց
54
2) suprareglajul lui ( ) ( )f λ=03H s unde [ ] ∈nωλ = 0,2z
Introducerea unui zero este justificata daca [ ]∈λ 0,2 . Daca zeroul este plasat spre +∞ , efectul
introducerii lui este neglijabil.
( ) ( ) ( )( )
2
3 03 2 2
1
2
n
n n
s zzY s H s R s
ss s
ω
ξω ω
+= ⋅ = ⋅
+ +
( ) ( )γ⋅ ⋅ ⋅n-ξω t
2 23 n2
ey t = 1- λ - 2ξλ + 1 sin ω 1- ξ t -
1 - ξ
unde ( )γ =21- ξ
tgξ - λ
iar nωλ =z
Reamintim ca ( ) ( )2y t ϕ= ⋅ ⋅ ⋅n-ξω t
2n2
e1- sin ω 1- ξ t +
1- ξ iar
21
e
πξ
ξσ−
−=
Pentru a determina suprareglajul se pune condiţia: 3 0dy
dt=
( )( )
1e
π γ ϕ− − −
= ⋅2
ξ
- ξ 23 nσ ξ ,ω , λ λ - 2 λ ξ + 1
( )02H s
panta = - 40 dB/dec
panta + 20 dB/dec
( )( )020 lg H jω⋅
- 20 dB/dec
( )03H s
B2ω B3ω
( )/ sec radω
11 s
z + ⋅
pulsaţie de frângere
1ω = z =
T
( ) 1H s s T= + ⋅
- 3 dB
ξ =0.7 ; σ= 4.3%
ξ =0.5 ; σ=16%
100%
70%
45 %
ξ = 0.5
ξ=0.7
3σ
λ nω=z
0 1 2
55
3) eroarea la viteza
=v1 2 n
1 1 1 2ξ 1ε = + - -
p p z ω z
Rezulta ca pentru un sistem de ordinul II, prin introducerea unui zero suplimentar eroarea la viteza se reduce comparativ cu cea a sistemului necompensat.
3) Sistemul cu trei poli
( ) ( )( )( )1 2
041 2 3
Cp pH s
s p s p s p=
+ + +
1) eroarea staţionara la intrare treapta unitara stε = 0 ( )04 0 1 H = ⇒
( ) ( ) ( )2
304 2 2
32n
n n
pH s
s s s p
ωξω ω
=+ + +
sau ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3
041 2 3
p p pH s
s p s p s p=
+ + +
Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul doi cu un pol suplimentar este:
( ) ( ) 34 2
3
pY s Y s C
s p
= + ⋅ +
; 1 1 atL es a
− − = +
( ) ( ) 3-p t4 2y t = y t + e C
2) Efecte negative ale introducerii polului suplimentar sunt: 24 σσ <
t4 t2t > t (teoria inversa : contracţia în domeniul frecventelor dilatarea în domeniu timp)
v4 v2ε > ε din 4 2
1 2 3 1 2
1 1 1 1 1; v vp p p p p
ε ε= + + = +
3) Efecte pozitive ale introducerii polului suplimentar: se reduce lărgimea de banda (contracţia în domeniul frecventelor) ca urmare a dilatării în domeniul timpului.
+j
+1
-p1
-p2
-p3
+j
+1
+j
+1 +1
λ = 0 λ = 2 λ = 1
+j
56
Polii suplimentari trebuie introduşi pentru realizabilitatea fizica a lui ( )RH s astfel încât:
( )3 5 10 np ξω≥ − .
4) Efectele introducerii unei perechi pol-zero
1) eroarea staţionara la intrare treapta unitara stε = 0 ( )0 1 H s = ⇒
( )( )
( )( )
23
04 2 232
n
n n
ps z
zH ss s s p
ω
ξω ω
+=
+ + + sau ( )
( )( )( )( )
1 2 3
041 2 3
p p ps z
zH ss p s p s p
+=
+ + +
2) variante de introducere a polului şi zeroului suplimentari : varianta dipol: atât zeroul cat şi polul sunt apropiaţi de origine astfel încât
≅33
pz < p ; 1.01 ....1.05
z ( )∆σ = 1...5 % . Deci varianta introducerii unui dipol
conduce la scaderea suprareglajului cu ∆σ în raport cu cel al sistemului necompensat cu dipol.
polul este proporţionat departe de polii dominanţi : ( )≥ ⋅3 np 5...10 ξω
In ambele variante : 1 2 3
1 1 1 1v p p p z
ε = + + −
Exemple:
+j
+1
-p1
-p2
-p3 - z
( )( )020 lg H jω
( )/ sec radω
- 40 dB/dec
- 20 dB/dec
- 60 dB/dec
B2ω B4ω
pulsaţie de frângere
3
1ω = p =
T
3
1 1
1Ts s p=
+ +
- 3 dB
57
1) Sa se proiecteze SRA astfel încât : ( ) ( )100
10 1FH ss s
=+
7.5%
0.02
50 / sec v
B rad
σεω
≤≤≤
eF = 2 sistem de ordinul II. 1) 7.5%
22) 0.02 0.02
3) 50 / sec
v v
0.65
n
BII rad
σξε ε
ω
ω
≤ ⇒ ≥
< ⇒ = < ⇒ ≥
= + ≤ ⇒ ≤
n
2 2 4n n
ξ
ω 65 rad/sec
ω 1- 2ξ 2 - 4ξ + 4ξ ω 46 rad/sec
Intre 2) şi 3) rezultă contradicţie deci este necesar sa procedam astfel: se respecta rezultatul condiţiei 3) pentru pulsaţia naturala şi se sacrifica rezultatul cond 2). Pentru respectarea erorii de viteza impuse, se adaugă un zero suplimentar care duce la scăderea sa fata de cea corespunzătoare unui sistem de ordin II. Dar adăugarea unui zero suplimentar conduce la e0 = 1. Cum condiţia iniţiala este 2≥ =F 0e e rezulta ca trebuie adăugat şi un pol, deci alegem varianta cu
dipol. 3
3 3
33
3
1.03
7.5 3 4.5%
2 1 1 1 10.02 0.02
1 10.008
3.75
3.641.03
=0.7
0.028n
p
z
p z p z
pp z
zp
z
σ ξξε
ω
= ⇒
⇒ = − = ⇒ ⇒ ≅
= + − ≤ ⇒ + − ≤
− ≤ =⇒ = =
B n
v
∆σ = 3%
ω ω = 50 rad/sec
( )( )
( )( )
2
0 2 2
3.753.64
3.642 3.75
n
n n
sH s
s s s
ω
ξω ω
+ ⋅⇒ =
+ + +
2) Sa se proiecteze SRA astfel încât : ( ) ( ) ( )10
1 10 1FH ss s
=+ +
_
4%
8sec
0t
st treapta
t
σ
ε
≤≤
=
58
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
0
0
2
2 2
2 2
2
1
2 2;
14
2
8 8 0.6 / sec;
1;
1
;2
21 ;
2
1 10 1 0.6 0.1 10.4 0.4 1
10 ( 2 0.7 0.6) 10
0
t nn
e
=0.7
4t
F
RF
nO
n n
nO
n n
R
s
e
rad
H sH s
H s H s
H ss s
s sH s
s s
s s sH s
s s s s
σ ξ
ωξω
ωξω ω
ξωξω ω
≅ +
= ⇒ =
≤ ⇒ ≥
≤ ⇒ ≤ ⇒ ≥
= ⋅−
=+ +
+− =
+ ++ + + = ⋅ = = + + ⋅ ⋅
59
C7. Alegerea şi acordarea regulatoarelor pentru procese lente Un proces lent este caracterizat prin constante de timp mari T>10s sau prin constante de timp mari şi timp mort. Pentru procesele fără timp mort sau cu timp mort neglijabil, criteriul de alegere şi acordare a regulatoarelor pentru procese rapide poate fi extins şi aici.
Intr-o prima etapa se va utiliza criteriul modulului intersectat cu algoritmul de determinare a legii de reglare care sa asigure de maniera minimala performanţele sistemului.
In cea de-a doua etapa, în cadrul domeniului de variaţia a parametrilor de acord ai regulatorului obţinut din prima etapa, se vor pune condiţii pentru o buna comportare în raport cu perturbaţiile.
Varianta criteriului modulului cu delimitarea domeniilor de performanta este aplicabila pentru regulatoare cu doi parametrii de acord PI, PD . Se poate extinde şi la un regulator PID daca se cunosc relaţiile dintre Ti şi Td. Exemplu: Se considera un regulator PI şi un proces de ordinul I :
( )
( )
11 ;
1
R Ri
fF
f
H s KT s
KH s
T s
= +
=+
Sa se determine parametrii optimi de acord _ _ R optim i optimK si T daca se cunosc KF şi TF şi daca se
impun performanţele:
impusσ σ≤
_t t impust t≤
0stε = pentru r(t) treapta unitara
_st v st impusε ε ε= ≤ pentru r(t) rampa unitara.
( ) ( )( )1
1iR F
di f
sTK KH s
T s T s
+= ⋅
+
( ) ( )( ) ( ) 2
11
11 1
R f
R f i i iO
R f R fi f R f i
f i f
K Ks
K K T s T TH s
K K K KT s T s K K T ss s
T TT
+ + = =
++ + + + +
;
( )i R fR f R fn
i f i f n R f f
T × 1+K KK K 1+K K1ω = ; z = ; ξ = =
TT T T × 2ω 2 K K T
1) condiţia de eroare la viteza impune:
60
__
1 i
v impusR f f v impus
T
K K Kε
ε≤ ⇒ ≥ =R v
i f
K KT K
2) din condiţia de durata de regim tranzitoriu limitata rezultă:
_
84
1 f
t t impusn R f
Tt t
K Kξω
= = ≤ ⇒ ≥ +
fR
f t_impus
8T1K - 1
K t
3) din condiţia de suprareglaj impusσ σ≤ , ţinând cont de prezenta zeroului (vezi formula 3σ din
cursul anterior) rezultă curba ( )Rimpus
i
Kf
Tσ≤ .
4) Pentru a lua în consideraţie efectul constantelor de timp parazite TΚ care apar inevitabil în
funcţia de transfer a parţii fixate şi neliniarităţile care apar în funcţionarea parţii fixate asupra stabilităţii sistemului şi calităţii regimului tranzitoriu, se folosesc metode experimentale de determinare a unor valori admisibile pentru parametrii regulatorului. Pentru un proces care utilizează un PID se fixează iT = ∞ sau la valoarea maxima pe care o poate atinge) , 0dT = . în
aceste condiţii se modifica treptat RK pana se aduce sistemul la limita de stabilitate (oscilaţii
neamortizate de amplitudine constanta) . Fata de aceasta valoare a lui _R RK K limita= se alege parametrul de acord:
( )_ max _ lim0.6....0.75R R itaK K= vezi dreapta _ limR itaK
Condiţiile impuse determina domeniul comun haşurat în care se pot alege parametrii de acord
siR iK T care asigura performanţele impuse răspunsului în regim tranzitoriu şi staţionar.
5) Se impune determinarea lui _R optimK şi _i optimT conform criteriului modulului astfel încât
sistemul sa aibă o buna comportare atât în raport cu intrarea cat şi cu perturbaţiile:
KR
Ti
_v v impusε ε≤
_t t impust t≤
impusσ σ≤
61
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
2
1 1;
1 1 1
1
R f i R f iO
i f R f i R f i f i R f
i fOp
R f i f i R f
K K j T K K j TH j
j T j T K K j T K K TT j T K K
j T KH j
K K TT j T K K
ω ωω
ω ω ω ω ω
ωω
ω ω
+ += =
+ + + − + +
=− + +
Se vor
determina ( ) ( ) pM si Mω ω şi se vor pune condiţiile
( )( )
0
0
0 0;
0 1:
0;
0;
p
p
M
M
dM
d
dM
d
ω
ω
ω
ω
=
=
=
= = =
Din aceste condiţii rezultă o valoare maxima pentru max.R
i
K
T=
Se vor alege deci valori optime _R optimK şi _i optimT astfel încât sa fie satisfăcute condiţiile de
performanta (punctul definit de ( )_ _,R optim i optimK T sa fie în aria comuna haşurata) iar raportul lor sa fie
_
_
maxR optim
i optim
K
T= pentru a asigura o buna comportare în raport cu perturbaţiile (condiţiile 1….5 ).
Criterii experimentale de acordare a regulatoarelor Modalitatea de acordare a regulatoarelor prezentate până în acest moment s-a bazat pe metode pur analitice. S-a demonstrat ca în cazul acordării regulatoarelor ptr. procese lente, daca care sunt impuse ieşirii performanţe multiple, determinarea analitica a parametrilor de acord ai regulatorului este destul de laborioasa şi chiar nesatisfăcătoare daca luam în consideraţie caracterul aleatoriu al perturbaţiilor.
Metodele practice de acordare se bazează pe experienţa acumulata prin repetarea algoritmilor de acordare a regulatoarelor pentru procese lente şi rapide şi în condiţii de intervenţie a perturbaţiilor din cele mai diverse. Astfel pentru un sistem dat, se menţin constante referinţa şi mărimile perturbatoare şi se modifica parametrii de acord până ce sistemul ajunge sa răspundă cu o ieşire corespunzătoare unui sistem neamortizat sau aflat la limita de stabilitate. Mărimea de ieşire răspunde prin oscilaţii întreţinute de amplitudine şi pulsaţie/perioada determinate:
Hd(s) ε (s) Y(s) r(s)
Re [Hd(s)]
Im[Hd(s)]
ϕ |Hd(s)|
(-1, j0)
A (M(ωc)=1, ϕc)
B (M(ωπ),ϕ=180°)
H0
62
Figura 5. Reprezentarea caracteristicilor amplitudine-faza sau amplitudine-pulsaţie , faza-pulsaţie
pentru un sistem aflat la limita de stabilitate ≡A B
Figura 6. Reprezentarea polilor H0 în planul (+1,+j). Marcarea unui sistem aflat la limita de stabilitate
Figura 7. Reprezentarea răspunsului în timp al unui sistem aflat la limita de stabilitate (răspuns neamortizat)
Am exemplificat mai sus care este aspectul hodografului (reprezentarea amplitudine-faza) funcţiei de transfer a sistemului deschis Hd pentru ca sistemul închis sa se afle la limita de stabilitate. Aceleaşi concluzii se pot trage din aspectul reprezentării amplitudine/pulsaţie şi faza/pulsaţie (diagramele Bodé) pentru acelaşi sistem. Se poate face direct analiza sistemului închis H0 care va avea polii pe axa imaginara a planului (+j, +1) daca sistemul se afla la limita de stabilitate.
Folosind caracteristicile regulatorului specifice stării de stabilitate la limita ale sistemului se vor determina parametrii optimi de acord ai regulatoarelor de tip P, PD sau PID.
y(t)
t
0ξ =
r(t)
T0
|Hd(s)|=M(ω)|dB
log ω scara logaritmica ωωωωc
ωωωωππππ
-1800
log ω scara logaritmica
[ ]radϕ
Re [Hd(s)]
ϕ
|Hd(s)| (-1, j0)
≡A B
Im[Hd(s)]
H0 R(s) Y(s)
0<ξ<1 răspuns sub-
amortizat
ξ=1 răspuns critic
amortizat
ξ>1 răspuns supra-
amortizat
ξ=0 răspuns neamortizat
ξ < 0 răspuns instabil
63
Metoda Ziegler-Nichols se aplica regulatoarelor utilizate în reglarea proceselor lente la care perturbaţiile sunt determinate de sarcina şi au durata mare. El propune următoarea procedura: pentru un regulator PID se fixează acordul pentru Ti la valoarea maxima ( Ti = ∝) iar acordul pentru TD la valoare minima (TD =0). Se modifica KR până se aduce răspunsul sistemului la oscilaţii neamortizate ceea ce înseamna ca sistemul se afla la limita de stabilitate. Se reţin cei doi parametrii respectiv R0K şi perioada oscilaţiilor 0T . Valorile care se vor propune pentru parametrii de acord ai
regulatorului asigura un raport de 1
4 intre amplitudinea celei de-a doua semi-oscilaţii pozitive oscilaţii
şi prima oscilaţie pozitivă descris şi prin expresia : "amortizare în sfert de amplitudine" :
. Criteriul Ziegler-Nichols recomanda următoarele valori de acordare optima a regulatoarelor, în funcţie de R0K şi 0T :
Pentru regulatoare P: ⋅R_opt R0K = 0.5 K
Pentru regulatoare PI: ⋅
⋅R_opt R0
i_opt 0
K = 0.45 K ;
T = 0.8 T
Se poate remarca ca fata de un regulator P, utilizarea unui PI impune reducerea amplificării pentru compensarea efectelor negative ale componentei I.
Pentru regulatoare PID se recomanda:
;
;
⋅
⋅
⋅
R_opt R0
i_opt 0
D 0
K = 0.75 K ;
T = 0.6 T
T = 0.1 T
y(t)
t
r(t)
A A/4
64
Sisteme de reglare automat ă cu structura speciala
C8. Sisteme de reglare în cascada Reglarea în cascada se poate alica în cazul reglării automate a proceselor lente şi rapide, acolo unde prezenta unui număr mare de constante de timp în funcţia de transfer a procesului nu permite aplicarea reglării convenţionale cu regulatoare P, PI sau PID. Prezenta mai multor constante de timp conduce la elaborarea teoretica a unor regulatoare care conţin mai multe binoame de gradul I. Acestea sunt dificil de realizat practic şi nerecomandate daca luam în calcul efectele negative ale componentelor derivative asupra răspunsului sistemului (amplificarea zgomotelor). în acest caz soluţia o reprezintă reglarea succesiva a diferitelor mărimi măsurabile din proces ajungând ca în ultima faza sa se poată regla acea mărime de proces dependenta de cele reglate anterior. Reglarea în cascada se poate implementa daca:
procesul tehnologic poate fi descompus în sub-procese ale căror variabile sunt măsurabile;
funcţia de transfer a procesului tehnologic poate fi scrisa ca produs de funcţii de transfer cu cel mult doua constante de timp;
se aplica în condiţiile în care constantele de timp asociate diferitelor componente (sub-procese) ale procesului se găsesc intr-un raport care variază în domeniul (3….10);
este operaţională daca viteza de răspuns a buclei interioare este mai mare decât a celei exterioare (mărimile intermediare răspund la perturbaţii mai repede decât mărimea de ieşire);
este eficienta în condiţiile în care perturbaţiile care acţionează asupra sistemului se pot compensa în buclele interne de reglare;
reglarea în cascada facilitează controlul variabilelor intermediare şi oferă precizie deoarece perturbaţiile ce acţionează asupra procesului se compensează în buclele interioare;
reglarea în cascada datorita prezentei mai multor reacţii negative are în plus şi avantajul unei sensibilităţi mai reduse la variaţia anumitor parametrii de proces sub acţiunea perturbaţiilor;
obţinerea unor performanţe ridicate este legata de alegerea cu dificultate a regulatoarelor buclelor interioare deoarece buclele interioare au referinţa fixata intern de către alt regulator.
In general pentru buclele interioare se recomanda alegerea unor regulatoare de tip P sau PI , f. rar PID. Prin alegerea unui regulator P pentru bucla interioara se măreşte viteza sa de răspuns dar cu dezavantajul conservării unei erorii staţionare a mărimii reglate de respectiva bucla. Daca procesul impune performanţe precise şi mărimilor intermediare, se recomanda alegerea unui regulator PI (eroare staţionară =0). Pentru bucla exterioara se recomanda alegerea unui regulator PI , rar PID.
65
Figura 8. Schema generala a unui sistem de reglare în cascada
Reglarea în cascada se poate exemplifica prin instalaţia de reglare a temperaturii unui reactor chimic:
Figura 9. Schema de reglare în cascada a unui reactor
chimic
Referinţa regulatorului RA1 este fixata din exterior dar cea a lui RA2 este fixata de către RA1. Regulatorul RA2 acţionează prin intermediul elementului de execuţie asupra debitului de abur din camaşa reactorului. Perturbaţiile procesului pot fi variaţiile caracteristicilor aburului din camaşa reactorului – P2 sau variaţiile debitului sau temperaturii fluidului de alimentare a reactorului- P1. In schema de reglare bucla interioara are constante de timp mai mici şi permite compensarea rapida a perturbaţiilor P2(s). Ea poate fi reglata cu un regulator P sau PI daca se impune eroare staţionara nulă pentru θ1(s). Bucla exterioara sau principala conţine constante mari de timp şi reclama pentru reglare un regulator PI (care va asigura εst =0 pentru ieşirea θ (s)).
RA1 2fH RA2
1fH ∑ ∑
P2(s) P1(s)
θ (s) θ0(s) +
+ -
θ1(s)
Tr2
Tr1
-
Tr2 RA2
RA1
Tr1
θ
θ1
θ0
Produs
Produs
Abur
R(s) RA1 2fH
RA2 1fH
∑ ∑
P1(s) P2(s)
Y(s)
+
+
-
66
Criterii de reglare în cascada
Pentru ca reglarea în cascada sa fie performanta se impune următoarele restricţii:
perturbaţiile cele mai importante se aplica în bucla interioara pentru a fi compensate rapid prin regulatorul RA2;
constantele de timp ale parţii de proces cuprinse în bucla interioara sa fie mai mici decât
cele ale buclei principale iar raportul lor sa fie:3 5....102
1
TT
< < ;
parametru de ieşire din bucla interioara sa fie direct legat de mărimea de ieşire a procesului
(funcţia de transfer ( )( )f1
1
Y sH =
Y s)
Reglarea SRA cu subprocese dispuse în cascada impune reglarea întâi a mărimii intermediare şi apoi a celei de proces. Se procedează deci la determinarea regulatorului RA2 şi apoi a lui RA1. Alegerea lui RA2 se face astfel încât acţiunea să determine creşterea vitezei de răspuns a buclei interne deoarece aici se aplica perturbaţiile importante ale procesului. Alegerea regulatoarelor celor doua bucle se face în funcţie de metoda de proiectare dorita precum şi de tipul procesului.
daca acordarea regulatoarelor se fac experimental, se determina parametrii de acord ai regulatorului RA2 = P şi RA1= PI aplicând metoda limitei de stabilitate pentru fiecare bucla
daca acordarea lui RA2 se face analitic se va determina parametru de acord KR astfel încât mărimea intermediara sa respecte un _st st impusε ε≤ . Acordarea lui RA1 se poate
Metoda de proiectare a regulatoarelor unui SRA în cascada
Analitic Experimental (Zigler-Nichols)
Tip de proces
Lent
Rapid
Met.analitice de reglare convenţională
(met. analitice de acordare a P sau PI, PID)
- varianta Kessler a criteriului modulului
- criteriul simetriei
Acordarea reg.convenţionale
(P, PI, PID)
67
face apoi experimental aplicând Ziegler-Nichols astfel încât 0
0
0.45 ;
0.8R R
i
K K
T T
= ⋅ = ⋅
.
Regulatorul principal trebuie sa asigure eroare staţionara nulă deci obligatoriu este de tip PI. Pentru acordarea buclei principale, bucla secundara funcţionează ca o parte componenta a întregului sistem.
Daca procesele sunt rapide acordarea regulatoarelor impune aplicarea metodelor analitice : metoda Kessler a criteriului modulului şi criteriul simetriei.
Acordarea regulatoarelor RA1 şi RA2 pentru procese rapide In acest caz, bucla interioara conţine un proces a cărui funcţie de transfer conţine o singura constanta de timp dominanta şi o constanta de tip parazita.
( ) ( )( )2
22 21 1
ff
KH s
T s T sΣ
=+ +
.
Conform variantei Kessler a criteriului modulului se alege:
( )
( ) ( )( )( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2
2 22
2 2 2 2 2 2
222 2
202
22
1 12 1 .
2 2
1 1
1 1 2 2 1
11
2 2 1
1
2 1
=
f f
fd
f
T s TRA un reg PI
T K s T K T s
K T sH s
T s T s T K s T T s
deoarece TT s T s
H sT s
Σ Σ
Σ Σ Σ Σ
ΣΣ Σ Σ
+ = ⋅ + ⇒ ⋅
+⇒ = ⋅ =
+ + ⋅ +
⇒+
= ≅+ +
≪
Se reaplica acum varianta Kessler a criteriului modulului pentru bucla principala. Acesta are forma :
( ) ( ) ( )1
11 1
;1 1
ff
KH s
T s T sΣ
=+ +
( ) ( )( ) ( )( )1 1'
1 '1 1 1 1
'1 1 2
21 1 1 12 1
2
1
f ff
K KH s
T s T s T s T s
unde T
T s
T T
Σ Σ
Σ Σ
Σ
Σ
= ⋅ ≅+ + + +
= +
+
In acest caz se va alege regulatorul RA1 ca fiind de forma:
( ) ( ) ( )11 '
1 101 '
1
1
2
1
2 1 R
f
T sH s
sKs
TTH
Σ Σ
+= ⇒ =
+
In general se aplica criteriul modulului sau al simetriei în funcţie de tipul variaţiei în timp a semnalelor de intrare în bucle.
( ) ( ) ( )1
11 1
;1 1
ff
KH s
T s T sΣ
=+ +
2
1
2 1
T sΣ + RA1
68
Reglarea în cascada a turatiei motorului de curent continuu
Motorul electric de curent continuu este descris de următoarea funcţie de transfer:
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
s I s sH s
U s U s I s
Ω Ω= = ⋅
Pentru a determina cele doua funcţii de transfer se porneşte de la modelul matematic al mcc:
unde: Ra – rezistenta indusului La – inductanţa indusului Re – rezistenta circuitului de excitaţie Le – inductanţa circuitului de excitaţie ia – curent circuit de alimentare e – tensiunea electromotoare ω − viteza unghiulara (mărimea de ieşire a sistemului) Ke, Km – constante de proporţionalitate (electrica , mecanica) Cm – cuplu motor Crez – cuplu rezistent
aa a a
e
m m a rez
diu e R I L
dte K
dC K i J C
dt
ωω
− = +
= = = + [3]
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
a
me e a
m
U s E s R I s LsI sK I s
E s K s U s K R Ls I sJs
K I s Js s
− = +
= Ω ⇒ − = + = Ω
( ) ( )e ma
K KU s R Ls I s
Js = + +
Daca notam m
m e
JR LT = T =
K K Rsi ⇒
( )1 2;
1
m
m m
Ts
RH sT Ts T s
=+ +
M Sarcina
(J)
Ra La
Ue
Ua e
ω
Re, Le
69
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1
1
;1 1
11
1
11
1
KH s =
T
s + 1
m
mm
mm
m
Ts
Rdeoarece T T H sT s Ts
Taproximam deoarece T este foarte mare
T
I sH s
U s R Ts
⇒ =+ +
≅+
⇒ = ≅ ⇒+
≫
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
;
22
m
KH s =
T s
mm m e
e m
m e
e m
RK
s K K K RH s
JRI s Js K T ssK K
RH s
K T s
⋅Ω
= = = =⋅
= ⇒
Figura 10. Schema generala de reglare a turaţiei motorului electric de curent continuu
Unde : . (int )
1
.1
iTRi
i
TR
KH functia de transfer a trad de curent ensitate
s
KH functia de transfer a trad de turatie
s
τ
τΩ
ΩΩ
=+
=+
Consideram bucla interioara :
Rn 1HRI
2H
Ω (s) n0 +
+ -
I(s)
Tr I
Tr n
-
I0 (s)
DCG EE U(s)
Ω
n0
TG
Reg. de turaţie
Reg. de curent
BC
- iA - n
M
1
2
70
( ) ( )( )( )1
1
1 1
;1 1 1
:
c if
i
i c i i i
K K KH s
s s Ts
notam K K K K si T
µ
µ
τ ττ τΣ
=+ + +
= = +
( ) ( )( )1
1 ;1 1
if
i
KH s
sT sTΣ
⇒ =+ +
Daca aplicam varianta Kessler a criteriului modulului rezultă :
( ) ( ) ( )1 0 2 21
11 1
2 2 2 1 i
R ii i i i i
ssTH s H s
s T K K T s T s
τΣ Σ Σ
++= ⇒ = ⋅+ +
( )0
1 1
2 1i
ii i
sH s
K T s
τΣ
+⇒ ≅ ⋅
+
( ) 22
1 1
1 2 1i
fi i m
s K KH s
K sT s T s
ττ
Ω
Σ Ω
+= ⋅ ⋅ ⋅
+ +
( ) ( ) ( )2
2 1fm
KH s
sT T sΩ
ΣΩ
⇒ =+
22
2 tan sec
i i
i
unde
T T si este o cons ta de ordinul mili undelor
K KK
K
τ τΣΩ Ω Σ
ΩΩ
= + − =
Pentru acordarea regulatorului se aplica criteriul simetriei care asigura răspunsul bun al sistemului la intrare de tip rampa a mărimii de intrare 0Ω .
( )
2
1
4
42
iR
i
m
sH s
sT
unde TK T
T
θθ
θ
θ
Ω
ΣΩ
ΣΩΩ ΣΩ
+=
= =
; (Reamintim : ( ) ( )
1
4
1; 2
cn
nc c
R f n
i
n T
sH s K T
sT
θθ θθθ
Σ
Σ
= ⋅ ⋅ + = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∏
)
Bucla principala se acordează cu un regulator PI cu parametrii de acord determinaţi mai sus. Printr-o reglare corespunzatoare a parametrilor intermediari, reglarea în cascada conduce la o reglare mult mai performanta fata de reglarea convenţionala cu un singur regulator.
RΩ
+
-
1 1
1 2i
i i
s
K sT
τΣ
+⋅
+ 0Ω
1 1tr
KH
sτΩ
Ω
=+
1 s
K
τΩ
Ω
+ 2
m
K
T s
mr
RI +
-
1cK
sµτ+
1
1
K
Ts+U(s)
1 1i
tri
KH
sτ=
+ 1 i
i
s
K
τ+ I(s)
( )sΩ
71
C9. Reglarea dup ă perturba ţie si combinata
Reglarea dup ă perturba ţie Metoda de reglare propusa până acum se baza pe funcţionarea automată unui SRA dictata de abaterea sau eroarea intre referinţa şi ieşirea din proces. Referinţa reprezintă valoarea dorita a mărimii de ieşire care nu întotdeauna este diferita de ieşirea reala măsurata. Reglarea în funcţie de perturbaţie se bazează pe ipoteza ca perturbaţiile din proces sunt cunoscute şi măsurabile. Mărimea de ieşire se menţine la valoare constanta (valoarea dorita) prin măsurarea perturbaţiilor şi elaborarea comenzii înainte ca aceasta sa se modifice fata de cea dorita.
Figura 11. Schema de reglare în funcţie de perturbaţie
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P RP fY s H s H s H s P s = + ⋅ ⋅
Punând condiţia ca ieşirea sa nu fie influenţata de perturbaţii sau efectul perturbaţiilor sa fie anulat prin alegerea corespunzatoare a unui regulator , rezultă:
( ) ( )( )
PRP
f
H sH s
H s= −
Prin urmare, metoda de reglare după perturbaţie presupune cunoaşterea precisa a funcţiei de transfer a parţii fixate fH precum şi cea dintre ieşire şi perturbaţie PH .
Obs: condiţia de realizabilitate fizica a regulatorului RPH impune ca excesul de poli ai lui
fH sa fie inferior celui corespunzător lui PH :
f Pe e≤ deoarece asupra procesului pot intervenii şi alte perturbaţii, metoda de reglare după o
perturbaţie se dovedeşte a fi destul de limitata acesta metoda de reglare prezintă avantajul ca acţiunea de compensare a perturbaţiei
se elaborează înainte ca mărimea de ieşire sa fi fost denaturata prin intervenţia ei. Din combinarea metodei de reglare convenţionale după eroare cu cea reglarea după perturbaţie, se elaborează un sistem de reglare combinata.
Reglarea combinata Reglarea combinata combina avantajele reglării după eroare cu cele ale erorii după perturbaţie. Un regulator RPH se utilizează pentru compensarea acelor perturbaţii care sunt măsurabile. El trebuie sa
asigure viteza ridicată de răspuns pentru compensarea efectului acestora. Un alt regulator RH
poziţionat pe calea directa asigura eroare staţionară nulă dar şi compensarea efectelor celorlalte perturbaţii care nu sunt direct măsurabile:
HRP(s) HF(s)
HP(s)
∑ +
+
Y(s)
P(s)
72
Figura 12. Schema de reglare combinata
Pentru a determina Y(s) aplicam principiul superpoziţiei presupunând succesiv acţiunea lui P(s) şi a lui R(s):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 P
P R fR f
H sY s P s H s Y s H s H s Y s P s
H s H s = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅
[4]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 RP f
RP R fR f
H s H sY s P s H s Y s H s H s Y s P s
H s H s
⋅= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = − + ⋅
[5]
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1R f
R f
H s H sY s R s
H s H s
⋅= ⋅
+ ⋅ [6]
Din relaţiile [4], [5] şi [6] rezultă :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 1R f RP fP
R f R f R f
H s H s H s H sH sY s R s P s P s
H s H s H s H s H s H s
⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ −
+ ⋅ + ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 OPY s H s R s H s P s= ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 00 0
1 P RP f
R fP P
H s H sH s s
H
HH
s
H s s
− ⋅+ ⋅
⇒ = ==
( ) ( )( )
PRP
f
H sH s =
H s
Regulatorul principal va fi acordat considerând ca perturbaţiile principale sunt compensate de RPH iar ieşirea trebuie sa aibă performanţele impuse. Exemplu:
Se considera procesul tehnologic descris prin ( ) 2
1.2 1fH ss
=+
. Elementul de execuţie este un element
de întârziere de ordinul I cu factor de amplificare 2 şi constanta de timp 1,2s. Daca perturbaţia se aplica direct în proces iar funcţia de transfer a traductorului de perturbaţie este 0.5 , sa se dimensioneze funcţia de reglare după perturbaţie RPH .
R(s)
+ HR Hf
HP
HRP
+ ∑
P(s)
-
- Y(s)
73
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0f RP TP E fP s H P s H s H s H s H⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( )1 1
1.2 12
0.51.2 1
RPTP E
H s sH s H s
s
= = = +⋅
+
C10. Sisteme de reglare cu predic ţie a proceselor timp mort Sistemele cu timp mort conţin în expresia funcţiei de transfer, componenta se τ− care induce mărimii de ieşire şi implicit transmiterii semnalului de reacţie, o întârziere egala cu τ . Semnalul de reacţie este transmis defazat fata de R(s), ceea ce face imposibil calculul de eroare ( ) ( ) ( )s R s Y sε = − . Pentru a
asigura un proces de reglare continuu si sincron din punctul de vedere al momentului în care se colectează mărimea de ieşire în raport cu referinţa, se încearcă separarea componentei se τ− din funcţia
( )fH s :
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1
sR
sR
H s H s eH s
H s H s e
τ
τ
−
−
⋅=
+ ⋅
Componenta se τ− determina un număr infinit de poli daca consideram relaţia : ( ) ( ) ( )arg cos sinωj z jz z e z e z j
s j
ω ωσ ω
⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅
= +
( ) ( ) ( )cos sin ; jse e jτωτ ωτ ωτ−−⇒ = = −
Aceasta ecuaţie este zero pentru : 1... k unde kωτ π= ⋅ = ∞ ( )0H s are un număr infinit de poli deci
este o structura dificil de exploatat practic. Sistem de reglare cu compensarea timpului mort
HR (s) ( ) sH s e τ−⋅ Y(s) R(s)
- R(s)
+ HR ( ) 2
1,2 1EH ss
=+
HRP
+ ∑
P(s)
-
Y(s) HF
( ) 0.5TPH s =
74
Vom încerca proiectarea unui sistem de reglare care sa separe si în final sa facă abstracţie de componenta cu timpul mort. Structura pe care o propunem va realiza reglarea mărimii de ieşire ( )y t -
punctul A din Figura 13, situata înaintea elementului care întarzie cu τ acesată mărime ( ( )y t τ− ). în
acest mod sistemul de reglare propus, va urmări si regla mărimea y1(t):
Se va pune structura de reglare sub forma :
Figura 13. Schema funcţionala a unui sistem cu timp mort
( ) ( ) ( )( ) ( )
**0 1
sR
R
H s H s eH s
H s H s
τ−⋅ ⋅=
+ ⋅
Se pune condiţia de egalitate a celor doua funcţii de transfer: ( ) ( )*
0 0H s H s=
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
*
* *
* * *
1 1
1 1
1
s sR R
sR R
sR R R R
sR R R R
H s H s e H s H s e
H s H s e H s H s
H s H s H s H s H s H s e
H s H s H s H s H s e H s
τ τ
τ
τ
τ
− −
−
−
−
⋅ ⋅ ⋅=
+ ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ − ⋅ =
( ) ( )( ) ( )
*
*1 1R
R sR
H sH s
H s H s eτ−=
+ ⋅ ⋅⇒
−
Prin urmare daca se cunoaşte *RH care se determina prin algoritmi de reglare convenţionali aplicaţi
mărimii intermediare ( )1y t , se poate determina legea de reglare a mărimii ( )y t corespunzatoare
procesului cu timp mort:
Hf (s)
*RH H(s) se τ−
Y1(s) Y(s) R(s)
A
τ
y
t
y(t- τ)
y1(t)
75
Figura 14. Sistem de reglare cu compensarea timpului mort
Teoretic deci se poate determina legea de reglare a procesului cu timp mort însa cu condiţia ca variabila ( )1y t sa poată fi pusa în evidenta ca variabila măsurabila.
Daca mărimea ( )1y t nu este accesibila măsurarii, se procedează la estimarea teoretica a acesteia.
Metoda cu un caracter de generalitate crescut propune definirea unui model teoretic care sa aproximeze printr-un model matematic apropiat procesul real şi care sa fie de compoziţie similara cu cel real. El este deci compus din partea care conţine timp mort mτ (indicele 'm' este abrevierea de la 'model') şi cea
care nu conţine timp mort ( )mH s . Abaterea dintre mărimea de ieşire din sistemul de aproximare
teoretica şi cel real, constituie semnalul de eroare care exprima precizia matematica a aproximării. Aceasta însumată cu ieşirea ( )1mY s din modelul teoretic va constitui bucla de reacţie a sistemului global
de eroare. Pe bucla de reacţie a sistemului de reglare, este achiziţioantă mărimea de ieşire (modelul
teoretic) din Hm(s) situata înaintea elementului de întarziere pura m-τ se (punctului A în modelul real ii
corespunde B din modelul teoretic) . Aceasta este o variabila continua în timp si sincrona cu R(s)
sau:
H(s) -τseY(s)
Parte fixa
A y(t) ( )*
RH s R(s)
Hm (s) m-τ se
∑
+
-
- +
( )1mY s-
U(s)
Predictor
B y(t+τ)
y(t)
Regulator
y r (t)= y(t+τ)
R(s) ( )*
RH s ( ) sH s e τ−⋅ Y(s)
1 se τ−− H (s)
+ +
- -
Y1(s)=U(s)
( )RH s = regulator cu predictor
76
Figura 15. Sistem de reglare cu predicţie
Deşi cele doua scheme prezentate în Figura 15 sunt echivalente, prima pune mai clar în evidenta care este zona echivalenta cu regulatorul procesului.
Funcţia de transfer a predictorului este:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1
m
m
m m
m
Y s U s H s U s H s e
Y s U s H s e
τ
τ
−
−
= ⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅ −
( ) ( ) m-τPR m H s = H s 1 - e s ⇒ ⋅
Sistemul poate fi reprezentat schematic si astfel :
in care funcţia echivalenta a regulatorului este:
( )*RH s H(s) -τse
Y(s) R(s)
Hm (s) m-τ se
∑
+ -
- +
( )1mY s-
U(s)
Predictor
Parte fixa
B
A
y(t)
y(t+τ)
y(t)
y r (t)= y(t+τ)
Hm (s) m-τ se
∑
-
( )1mY s Predictor
B
y(t+τ)
U(s)
Y(s)
u(t+τ)
R P
77
( ) ( )( ) ( ) m
*R
R -τ s*R m
H sH s =
1 + H s H s 1 - e⇒
⋅ ⋅
Facând o analiza temporala, pe reacţia sistemului de reglare ajunge mărimea:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ry t y t y t y t y tτ τ= + − + = +
( ) ( )ry t y t τ= + rezulta ca mărimea de reacţie care ajunge în comparator este devansata cu un
timp τ – deci cu predicţie - fata de ieşirea y(t) a instalaţiei tehnologice.
Daca ( ) ( )m
m
H s H s
τ τ =
=
rezulta ca funcţia de transfer echivalenta a sistemelor: instalaţie tehnologica si predictor se determina apelând la principiile de echivalare specifice legării în paralel:
( ) ( ) ( ) ( )-1 1-s sH s H s e H s e H sτ τ− = ⋅ + ⋅ = .
Cele doua sisteme sunt echivalente cu funcţia de transfer a procesului fără timp mort. Prin urmare proiectarea regulatorului RA se face apelând la tehnicile de reglare convenţionale considerând numai funcţia de transfer ( )H s si facând abstracţie de timpul mort.
Sistem de reglare cu predictor Alta varianta pentru reglarea/compensarea proceselor cu timp mort consta în introducerea pe reacţie a unui element care sa realizeze funcţia de anticipaţie pura :
( ) sprH s eτ=
Schema generala a acestui SRA este:
Figura 16. Schema generala a unui sistem cu predicţie
( )*RH s
R(s)
Hm (s) m-τ se
∑
+
-
-
+
( )1mY s-
U(s)
Predictor
B y(t+τ)
y(t)
Regulator
Predictor R ( ) sH s e τ−⋅
Predictor
P(s)
( )tε τ+U(s) ( )Y t τ−
78
Implementarea practica a unui asemenea element aplica aproximarea sa prin dezvoltarea în serie a exponenţialei:
( ) 01 !
n
pr kK
sH s a a
K
τ=
= +∑
Prezenta celor doua predictoare conduce la apariţie unei erori la momentul ( )t τ+ ceea ce înseamnă ca
sistemul se comporta ca si cum timpul mort al procesului nu ar exista. în acest caz se pot aplica metodele de acordare a regulatoarelor dedicate reglării proceselor fără timp mort.
Procedura de reglare se construieşte modelul ( ) ms
mH s e τ−⋅ fiind data funcţia de transfer a parţii fixate;
se separa timpul mort si se construieşte schema de reglare cu compensarea timpului mort si estimarea procesului real prin modelul ( ) ms
mH s e τ−⋅
se proiectează algoritmul de reglare pe baza modelului ( )mH s , aplicând metode analitice
sau experimentale pentru acordarea regulatorului ( )*RH s
se calculează funcţia de transfer a regulatorului echivalent:
( ) ( )( ) ( )
*
-*1 1- m
RR s
R m
H sH s
H s H s eτ=
+ ⋅ ⋅
Aplicarea metodei limitei de stabilitate pentru acordarea regulatorului Se considera procesul tehnologic : ( ) s
F FH s K e τ−= ⋅ . Sa se determine funcţia de reglare optima
considerând un regulator proporţional:
Aplicam metoda Ziegler-Nichols pentru reglarea lui Y(s):
se aduce ( ) sd R FH s K K e τ−= la limita de stabilitate:
( ) 1 jd R FH j K K e τ ωω −= =
00 11
FF
R RKKK
K⇒ = ⇒ =
prin aplicarea unei pulsaţii : ( )arg
;
=
dH jω πωτ π
πωτ
= −⇒ − = −
⇒
00
2; 2 T T
π τπ
τ= = ; 0
10.5
2R RF
K KK
= =
RK s
FK eτ−⋅ R(s) Y(s)
79
C11. Sisteme cu reac ţie dup ă stare Sistemele de reglare propuse pana în acest moment s-au bazat pe descrierea parţii fixate prin funcţii de transfer care traduc raportul intrare-ieşire exprimat prin transformatele Laplace ale acestor mărimi. Pentru procesele liniare sau liniarizate monovariabile, modelelor intrare-ieşire le putem asocia expresia analitica echivalenta a modelului temporal intrare-stare-ieşire.
Mărimea de ieşire ( )y t este direct proporţionala cu vectorul variabilelor de stare ( )x t . Variaţia
temporala a variabilelor de stare este dependenta de intrarea ( )u t :
( ) ( ) ( )( ) ( )
.
;T
x t A x t B u t
y t C x t
= ⋅ + ⋅
= ⋅
unde matricele A, B, C se determina cu ajutorul coeficienţilor care apar în expresia diferenţială sau în funcţia de transfer a procesului. Daca s-au identificat pentru proces nvariabile de stare, iar procesul are m intrări, atunci dimensiunile matricelor de stare sunt:
( )( )( )
A n n
B n m
C n p
→ ×
→ ×
→ ×
unde n = nr. variabilelor de stare m = nr. intrărilor în sistem
p = nr. ieşirilor din sistem (sistemele pot fi MIMO sau SISO)
Modele matematice ale sistemelor liniare monovariabile
Funcţii de transfer (intrare – ieşire)
variabila complexa s
Ecuaţii de stare (intrare –stare – ieşire) variabila reala timp t
MIMO n variabile de
stare
1
2
:
n
x
x
x
1
2
:
m
u
u
u
1
2
:
p
y
y
y
80
Vectorul de stare ( )x t este alcătuit dintr-un set minim de variabile care caracterizează complet
procesul. Variabilele de stare se aleg în funcţie de modelul matematic diferenţial (liniar sau liniarizat) de care dispunem insa numărul lor este acelaşi. Variabilele de stare pot fi :
variabilele de faza, variabilele canonice, variabile fizice.
1) Sistem definit prin ecuaţie diferenţială (sistem definit prin variabile canonice) :
Determinarea ecuaţiilor de stare
( )4 3 2 1
3 2 1 0 04 3 2 1
d y d y d y d y dya a a a b u t
dtdt dt dt dt+ + + + = [7]
Ca variabile de stare se pot alege variabila y si derivatele sale :
( )
4 3 2 1
3 2 1 0 04 3 2
x1x2x4 x3
d y d y d y d ya a a a y b u t
dtdt dt dt+ + + + =
Pentru cele patru necunoscute se poate scrie sistemul:
( )
.
1 2
.
2 3
.
3 4
.
4 0 1 1 2 2 3 3 4 0 1 0
x x
x x
x x
x a x a x a x a x a x b u t
=
= = = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + [8]
Model matematic
Ecuaţii de stare Funcţie de transfer
Funcţie de transfer Ecuaţii de stare
81
( )
.
11
..
2 2
.3
3
0 1 2 3 04.
4
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
xx
x xx u t
xx
a a a a bxx
= = ⋅ + ⋅ − − − −
( ) ( ) ( ).
x t A x t B u t= ⋅ + ⋅ [9]
[ ] ( )1
2
3
4
1 0 0 0 T
x
xy C x t
x
x
= ⋅ = ⋅
( ) ( )Ty t C x t= ⋅ [10]
Ecuaţiile [9] si [10] descriu mărimea de ieşire ( )y t a sistemului ca o funcţie de variabilele de stare
definite de vectorul ( )x t . Se retine deci ca aceasta reprezentare conţine dependenta de timp a
variabilelor referite.
Determinarea funcţiei de transfer a procesului când se cunosc matricele de stare Matricele A, B si C care descriu spaţiul stărilor permit determinarea funcţiei de transfer a procesului, respectiv raportul transformatelor Laplace ale ieşirii si intrării. Astfel, daca se efectuează transformatele Laplace ale variabilelor care apar în ecuaţiile [9] si [10] se obţin ecuaţiile în s:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) [ ] ( )( ) ( )
T T
s X s A X s B U s X s s I A B U s
Y s C X s Y s C X s
⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ → = ⋅ = ⋅
( ) [ ] ( )( ) ( )
1
T
X s s I A B U s
Y s C X s
− = ⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅
( ) ( )( ) [ ]-1TH s C s I - A B
Y s
U s= = ⋅ ⋅ ⋅ [11]
Matricea ( ) [ ]-1Φ s = s I - A⋅ se numeşte matrice de tranziţie sau matrice fundamentala. în domeniul
timp acesta matrice se determina prin:
( ) ( )-1 - 1t sI - AL Φ =
Cum ( ) ( ) ( )Ty t = C B u tt ⋅ Φ ⋅ ⋅ rezulta ca cunoaşterea matricei de tranziţie ( )tϕ si a comenzii ( )u t
la un moment dat 0t permite determinarea cu usurinţa a ieşirii ( )y t .
82
Determinarea modelului intrare-stare-ieşire în funcţie de funcţia de transfer a procesului Daca se cunoaşte funcţia de transfer a procesului, acesta se scrie ca produs de funcţii de transfer elementare (daca este posibil):
Daca se scriu relaţiile în domeniul timpului rezulta:
3
3 2
2 1
1( ) ( )
11
( ) ( )4
1( ) ( )
U s X ss
X s X ss
X s X ss
⋅ = + ⋅ = + ⋅ =
3 3
3 2 2
2 1
4
U sX X
X sX X
X sX
= + = + =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
.
3 3
.
3 2 2
.
2 1
( )
4
u t x t x t
x t x t x t
x t x t
= + = + =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
.
3 3
.
2 2 3
.
1 2
( )
4
x t x t u t
x t x t x t
x t x t
= − + = − + ⇒ =
( ) ( )
( ) [ ] ( )
1
2
3
.0 1 0 0
= 0 -4 1 + 0
0 0 -1 1
1
x
0
t
y t 0
x
x u t
x
x t
⋅ ⋅
= ⋅
2) Sistem definit prin variabile fizice:
Consideram modelul matematic al motorului de curent continuu cu excitaţie independenta (vezi Reglarea în cascada a motorului de cc):
unde:
Ra – rezistenta indusului La – inductanţa indusului Re – rezistenta circuitului de excitaţie Le – inductanţa circuitului de excitaţie
M Sarcina
(J)
Ra La
Ue
Ua e
ω
Re, Le
83
ia – curent circuit de alimentare e – tensiunea electromotoare ω − viteza unghiulara (mărimea de ieşire a sistemului) Ke, Km – constante de proporţionalitate (electrica , mecanica) Cm – cuplu motor Crez – cuplu rezistent
;
;
;
aa a a a
e
m a
diu e R i L
dte K
dK i J
dt
− = +
= Ω Ω =
Variabilele în raport cu timpul sunt :
1
2
3 a
x
dx
dtx i
θθ
= = = Ω =
.
1 2
.
2 3
.
3 2 3
1
m
e aa
a a a
x x
Kx x
JK R
x x x uL L L
= = ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( )
m
e a
aa
.
a
a
0 1 00
K= 0 0 + 0x t x t u t
y
J1K R
0 - - LL L
1 0 0t x t
⋅ ⋅
= ⋅
S-au ales ca variabile de stare rotaţia unghiulara θ , viteza de rotaţie unghiulara d
dt
θ = Ω si valoarea
intensitaţii curentului rotoric ai deoarece sunt variabile masurabile.
Modelul matematic al procesului se poate exprima în funcţie de variabilele de stare alese sa fie mărimi fizice masurabile si reglabile. în egala măsura se poate gândi un algoritm de reglare a mărimii de ieşire din proces, prin controlul si corecţia acestor variabile de stare ceea ce conduce la un sistem cu reacţie după stare. Utilizarea reacţiilor după stare conduce la obţinerea unor performante superioare ale răspunsului în regim tranzitoriu (stabilitate si viteza de răspuns ridicate):
84
Figura 17. Sistem cu reacţie după stare
In figura Figura 17, s-a reprezentat schema generala a unui sistem cu reacţie după stare. S-a notat cu
( )cH s legea de reglare a comenzii ( )u t .
Reacţia este definita prin vectorul
1
2
:
n
k
kK
k
=
sau [ ]1 2 ...TnK k k k= iar
comanda este corectata cu: ( ) ( ) 1 1 2 21
..n
Tn n i iu t K x t k x k x k x k x= ⋅ = + + = ⋅∑ .
Legea de reglare ( )cH s poate fi de tip proporţional sau integrator. în fiecare din aceste cazuri se pot
scrie relaţiile:
1. ( ) ( ) ( )1
c c
n
c i iu t KH s K t k xε⇒= = −∑ .
Acesta lege de reglare se recomanda atunci când procesul conţine un pol în origine; legea de reglare proporţionala asigura numai un răspuns rapid. Inlocuim expresia ( )u t în ecuaţia de
stare a procesului:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ).
1
-n
Tc i i cx t A x t B K t k x A x t B K t K x tε ε = ⋅ + ⋅ − = ⋅ + ⋅
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
cT
k cx t x t B K t x t B K tA B K Aε ε= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅− ⋅
In acest caz matricea fundamentala ( ) [ ]-1Φ s = s I - A⋅ devine: ( ) -1TΦ s = s I - A + B K ⋅ ⋅ .
Cum ( ) ( ) ( )Ty t = C B u tt ⋅ Φ ⋅ ⋅ , rezulta ca prin alegerea corespunzatoare a matricei
[ ]1 2 ...TnK k k k= se asigura o anumita evoluţie a stării si deci a ieşirii procesului.
2. ( ) ( ) ( )10
- t n
ii
i ic u t K dtK
H ss
k x tε⇒ = ⋅ ⋅= ∑∫ .
Acest algoritm asigura o buna comportare în regim tranzitoriu (viteza de răspuns ridicata) dar si în regim staţionar (eroare staţionara nula).
HC(s) Proces
K T
r(t) +
-
+
- ∑
y(t) u(t)
u(t)
ε(t)
x(t)
85
Daca variabilele de stare nu sunt accesibile măsurării, se poate utiliza pe reacţie un set de variabile de
stare estimate ɵ ( )x t . Sistemul de reglare construit se bazează pe generarea vectorului variabilelor de
stare de către un estimator de stare teoretic:
Metoda de reglare după stare presupune determinarea legii de reglare a comenzii cH dar si alegerea
corespunzatoare a matricei de corecţie a stării TK astfel încât sa se atingă parametrii de performanta doriţi pentru ieşirea procesului.
Exemplu: Pentru procesul definit de funcţia de transfer : ( ) ( )( )5
2 4H s
s s s=
+ + sa se determine
matricea [ ]1 2 ...TnK k k k= care sa asigure eroarea zero în regim staţionar a răspunsului
sistemului.
( )( ) ( )( )1 1 2 2 3 3
5;
1 4cR Y K k X k X k X Ys s s
− ⋅ − − − =+ +
( ) ( )12 1 3 1
2
1; 4 4
XX sX sY X s s X s s Y
X s= ⇒ = = = + = + ;
( )( ) ( )1 2 3
1 44
5c c
s s sR K Y K k k s k s s
+ + ⋅ = + + + + +
;
HC(s) Proces
K T
r(t) +
-
+
- ∑
Y(s) U(s)
u(t)
ε(t)
( )X s
Estimator de stare
86
( )( ) ( ) ( )3 2
3 2 30
1
5
6 5 5 20 5 5c
c
K
s k s k k s
Y sH
R s k K+ + + + + += = ;
Condiţia ca eroarea în reg. staţionar sa fie zero este ca ( )0 0 1H = 1 15 0 0 k k= ⇒ =
87
C12. Aplica ţii
Problema 1
Pentru ( ) 2
1
1H s
s s=
+ + se determine:
a) răspuns indicial b) performantele răspunsului în reg. tranzitoriu si staţionar
c) răspuns staţionar al sistemului ( ) 2 1
sH s
s s=
+ +la intrare rampa de tipul ( ) 5u t t=
Rezolvare: a) , b) Răspunsul în timp al unui sistem de ordinul II este:
( ) ( ) ( )2 2
12 2 2 2
1 1( ) ;
2 2 n n
n n n n
Y s H s U s y t Ls ss s s s
ω ωξω ω ξω ω
− = ⋅ = ⋅ = ⋅ + + + +
( ) ( )2
21 sin 1
1
nt
n
ey t t
ξω
ω ξ ϕξ
−
= − − ⋅ +−
unde : ( )21
tgξ
ϕξ−
=
Pentru ( ) 2
1
1H s
s s=
+ +
( ) ( )
2 1
1 0.251.7
0.5
nω = 1;
ξ = 0.5;
= arctg 1.7
n
tg
ξω
ϕ ϕ
= ⇒ − = = ⇒
( ) ( )0.5
1 sin 0.860.86
tey t t ϕ
−
= − +
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 20 0 0
5( ) lim lim lim ; lim 5
1 st st
t s s s
sy t y sY s s H s U s y t s
s s s→∞ → → →
= = = = ⋅ = + +
-p1
-p2
+j
+1
ϕ
ωn
ξ
88
Problema 2
Pentru ( ) ( )2
1
1
z sH s
s s
⋅ +=
+ + (sistem cu un zero suplimentar) sa se determine răspunsul la intrarea treapta
/ rampa unitara pentru valori ale lui 0.2; 0.4; 1.4 z = Rezolvare:
( ) 2 2
0.2 1
1 1
sH s
s s s s
⋅= ++ + + +
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1
0.2
0.2
II II
II II
Y s sY s Y s
y t L Y s sY s−
⇒ = ⋅ +
⇒ = + ⋅
( ) ( ) ( )0.2
0.2 IIII
dy ty t y t
dt⇒ = + ; ( ) ( ) ( )
0.40.4 II
II
dy ty t y t
dt= + ; ( ) ( ) ( )
0.20.6 II
II
dy ty t y t
dt= +
89
Problema 3
Pentru ( ) ( )( )2
1
1 1H s
s s p s=
+ + ⋅ +(sistem cu un pol suplimentar) sa se determine răspunsul la
intrarea treapta / rampa unitara pentru valori ale lui 0.2; 0.4; 1.4 p = Rezolvare:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
2 2
2 2
2
2
2
1;
11 1 1
111 0
1 1
11 1 11
A BH s
p ss s p s s s
p s AB p s
s s s s
B
p
p
p pp
B
= = +⋅ ++ + ⋅ + + +
⋅ + ⋅= + ⋅ + =
+ + + +
=⇒
− + −=
+⇒
( )( )( )
2
2 110 1
1
1
1
1
s s
A B s
pA
p p
A Bp s p s
+ += + = ⇒ = +
−=
⋅ ⋅
−
+
+
+
( ) ( ) 1
1II
By t A y t L
ps−
= ⋅ + + ; 1 1 atL e
s a− − = +
( ) ( )t
pII
By t A y t e
p
−= ⋅ +
p A B p=1/0.2=5 0.9524 0.0476
p=1/0.4=2.5 0.7895 0.2105 p=1/0.6=1.66 0.5263 0.4737
Cu cat polul se apropie de origine, suprareglajul scade dar durata reg. tranzitoriu se măreşte.
90
91
Problema 4 Se considera procesul caracterizat prin (Figura 18):
Se cere: structura SRA
sa se proiecteze SRA astfel încât :
_
5%,
2sec
0t
st treapta
t
σ
ε
≤ ≤ =
¨
precizaţi tipul regulatorului si valorile parametrilor de acord. Cat este vε
care este efectul coeficientului de amplificare α asupra performantelor tranzitorii ale SRA în raport cu perturbaţia v de tip treapta unitara?
Rezolvare:
Figura 18
( )1 1 5 11 5 5
sY U U U U
s s s
+ = + = + =
01
11
5 51
sH
ss
= =
++
Structura SRA este:
1
5s+
5 1s
α+
+
+ U ( )RH s
y
1
s
5
5 1s
α+
+
-
+ +
y U
1
s
1
s
5
5
5 1
s
s+
5 1s
α+
+
+
+
-
+ +
y
U Y1
U
1
5s+
5 1s
α+
+
+ y U
92
( ) ( )( ) ( )( )1
1
51 1
5 5 1 5 105 1 5 1
55
F
f
K
H s T Tss s
sT
α
α αΣ
== = ⇒ = ≤+ + + + =
Aplicând criteriul modulului ( )
1
1;
2i
n
ii
Rf
sT
HK Ts
θ θθθ Σ
+ == =
∏
( ) ( ) ( )1 5 25 1 5 125 1 1251 ; 5
1 2 2 5 225 5
R R i
s sH s PI unde K T
s ssα α α α+ + = = = + ⇔ = =
( )25
2 5dHs s
=+
; 02
5 225; 2 5;
25 222 52
nnH
s s
ξ ξωω= ⇒ = ⇒ + +
= =
1 1 2
1 20.4
nV p p
ξω
ε = + = =
Factorul α nu influenţează răspunsul la aplicarea perturbaţiei v.
93
Problema 5 Se considera următoarea structura SRA (vezi ). Se cere:
0 0; ;d vH H H
apreciaţi stabilitatea sistemului sa se calculeze eroarea staţionara în raport cu referinţa : rampa/treapta unitara si efectul
perturbaţiei v asupra ieşirii sa se traseze hodograful funcţiei 0H folosind utilizând asimptotele locului de transfer pentru
frecvente joase si inalte (Figura 2) sa se calculeze : ; ttσ pentru răspunsul SRA si sa se determine expresia răspunsului indicial
Rezolvare:
12
1 10 15
2 2
sH
s s
+= + = ; 45
11
1 0.11 0.1
sHs
s
= =++ ⋅
( )Re
10 1 0.1 1
2 0.5 0.1
1
2 1gulator
d
s
sH
ss ss ++= ⋅ ⋅ =
+ +
0 2
1
2 11d
d
H
HH
s s= =
+ ++
1222 1 0
1 1 8 1 7
4 4
jss s
− ± − − ±= =+ + = ⇒ rad. complexe în semiplanul stâng deci sistem
stabil
deoarece pe calea directa este un regulator PI (un pol în origine) , stε în raport cu referinţa treapta
unitara este 0.
[ ] ( )2
0 2 2 2 20 0 0 0
1 1 2 1 2 1lim 1 lim 1 lim lim 1
2 1 2 1 2 1vs s s s
s s ss H R s s
ss s s s s s sε
→ → → →
+ + = − = − ⋅ = ⋅ = = + + + + + +
5
1
2s
0.1
0.5s + 1
s
0.1
+
-
+
+
+
-
v
r
H12 H3 H45
94
sau 2
1vn
ξεω
= =
perturbaţia este rejectată datorita prezentei integratorului înaintea punctului de aplicaţie al lui v.
2
0 2 2 2
1
2 1 2 n
n n
Hs s s s
ωξω ω
= = ⇒+ + + +
02
20.707
21 1 2
2 0.361 1 2 422 2 4
16sec
n
n
tn
H
s s
t
ω
ξω ξ
ξω
= =
= ⇒ = ⇒ = =
+ + ≅ =
( ) ( )2
21 sin 1
1
nt
n
ey t t
ξω
ω ξ ϕξ
−
= − − ⋅ +−
unde ( )21
tgξ
ϕξ−
=
pentru trasarea hodografului fie se iau valori în intervalul ( )0,ω ∈ ∞ :
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2
0 0 2 2 4 2 4 2 42
1 2 1 21 1
1 3 4 1 3 4 1 3 41 22 1
jH s H j j
jj j
ω ω ω ωωω ω ω ω ω ωω ωω ω
− − −= = = = = −
− + − + − +− ++ + si
se reprezintă numărul complex ( )H ω
fie se trasează asimptotele locului de transfer pentru frecvente joase si inalte (Figura 2) pentru
funcţia 0 2
1
2 1H
s s+ += . Suntem în cazul : 0
2
αθ
==
unde α este tipul sistemului iar θ este
excesul de poli fata de zerouri ai funcţiei:
95
10
2
( )( ) ;
( )
-
md
n
P sKH s
P ss
n m
α
θ α
= ⋅
= +
Pentru ( )1
2 1dHs s
=+
1
2
αθ
= =
K
α =0
0ω →
α =1
α =2
α =3 Im
Re
θ =0
θ =1 θ =2
θ =3
Im
Re
ω → ∞
a) b)
K
α =0
0ω →
α =1
α =2
α =3 Im
Re
θ =0
θ =1 θ =2
θ =3
Im
Re
ω → ∞
a) b)
96
Problema 6 Se considera un rezervor alimentat de la o sursa de debit supusa unor perturbaţii (Figura 19). Urmărind menţinerea constanta a nivelului din rezervor se cere:
structura SRA strategia de reglare cunoscând ca debitul pe conducta de alimentare se măsoară cu un traductor a
cărui funcţie de transfer este : 1
0.5
0.1 1THs
=+
. Elementul de execuţie are 2
3 1EHs
=+
iar funcţia de
transfer a rezervorului este 42
10 1
s
IT
eH
s
−
=+
. Dinamica conducţiei este neglijabila. Traductorul de
nivel este de tip proporţional 2 0.3TH = algoritmul de reglare astfel încât pentru treapta unitara, răspunsul indicial sa fie aperiodic cu
15sectt ≤ .
Figura 19
Rezolvare:
R(s) 2RH EH 1RH
42
10 1
se
s
−
+ ∑
V1
Y(s)
+
+
-
1FH
1TH
2TH
RA1
RA2
Q
R2
TD
TN
97
( ) ( )1
2 0.5 1
3 1 0.1 1 3 1 0.1 1fHs s s s
= ⋅ =+ + + +
proces rapid cu : ( )
1
10.1 3
103 10sec
f
i
K
T
T
Σ
= = <
= <
( )1
3 1 15 3
2 0.15 1
1
1
3R
s
ss sH
+ = = + = ⋅
+
reg. PI cu 15
3R
I
K
T
= =
201 2 2
1 1
2 2 1 2 0
1
.01 2 0.1 1 0.2 1T s T s sH
ssΣ Σ
= = ≅+ + ⋅ + + +⋅
( )( ) ( )( )4
2
42
41 1 2 0.60.3
0.5 1 10 1 0.5 0.1 1 10 1
0.2
6
5 0.1 1 10
0.1
0.1
0 1.2
s
f
sss e e
s s s s
u
es
n
Hs
de T
− −−
Σ
+ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = =+ + + +
⋅
−+ +
=
R(s) 2RH
( )( )46
5 10 1 0.1 1se
s s−⋅
+ +
Y(s) +
-
1
0.3
R(s) 2RH
42
10 1
se
s
−
+
Y(s)
+ -
2 0.3TH =
0.1 1
5
s+
1
0.2 1s+
R(s) 2RH
2
3 1EHs
=+
1RH
42
10 1
se
s
−
+ ∑
V1
Y(s)
+
+
-
1 1FH =
1
0.5
0.1 1THs
=+
2 0.3TH =
98
( )*2
50 10 110 1 500 11
6 12 12 102 0.15
125 11
3 10R
ss
s ssH
s
++ = = = + = +
_ 15 4 11sect impust = − =
8 8 0.1 0.8sectt TΣ= = ⋅ =
Aplicând insa varianta Kessler a criteriului modulului nu se obţine un răspuns aperiodic
Se va dimensiona regulatorul *2RH aplicând metoda alocării poli-zerouri.
4 411 0.36 / sec
11
1
t nn
t radωξω
ξ
= = ⇒ = = =
2
02 2 2 2
0.13
2 0.72 0.13n
n n
Hs s s s
ωξω ω
= =+ + + +
. în figura de mai jos se vede răspunsul aperiodic.
( )02 02 11
dd d
d
HH H H H
H= ⇒ ⋅ + =
+;
022 2
022
0.13 1 0.130.131 0.72 0.13 0.721
0.72 0.13
d
HH
H s s s ss s
= = ⋅ =− + + +−
+ +
( ) ( )( )( ) ( )
( )
*
2
*
2
6 0.13
5 10 1 0.1 1 0.72
15 10 1 0.1 10 0 10.65
6 0.7
.13
60.72 2
d R
R
H Hs s s s
s s
s
sH
s ss
+
= =+ + +
+ ++
= ⋅ ≅+
R(s) *2RH ( )( )
6
5 10 1 0.1 1s s+ +
+
-
1
0.3 4se−
Y(s)
99
( ) ( )( ) ( )
*
*1 1R
R sR
H sH s
H s H s eτ−=
+ ⋅ ⋅⇒
−
100
Problema 7
Se considera procesul cu structura din figura caracterizat de funcţia de transfer : ( )10
20 1FHs s
=+
Se
cere sa se proiecteze un algoritm de reglare astfel încât sa se fie îndeplinite următoarele performante: suprareglaj 8%σ ≤ , durata reg. tranzitoriu 5sectt ≤ si 0stε = la semnal treapta la
intrare rejecţia perturbaţiei
Rezolvare: Pentru a asigura rejecţia perturbaţiei este necesar ca algoritmul de reglare sa conţină componenta integrală (polul în origine sa se găsească înaintea punctului de aplicaţie al perturbaţiei ). în plus, pentru asigurarea unei viteze ridicate de răspuns se recomanda alegerea unui algoritm PID:
( )( )1 1R i dR
i
K T s T sH
T s
+ +=
pentru simplificarea constantei de timp principale, se alege 20i FT T= =
( )2
10 1
20R d
d
K T sH
s
⋅ +⇒ =
⋅;
( )0 2
1
2R d
d R
K sTH
s T s K
+=
+ + deci este funcţie de transfer a unui
sistem de ordinul II cu un zero suplimentar (cu expresia analitica generica
( )2
0 2 22
n
n n
s zzH
s s
ω
ξω ω
+=
+ +
se vor determina , nξ ω din performantele impuse sistemului de ordinul II făcând
abstracţie de zeroul suplimentar după care se va compensa efectul zeroului: 8% 0.6σ ξ= ⇒ =
4
1.33 / sect nn
t radωξω
= ⇒ =
4; 3 R dK T⇒ = Prezenta zeroului duce la creşterea suprareglajului, reducerea duratei reg. tranzitoriu, creşterea frecventei de banda ..etc. Compensarea creşterii suprareglajului se realizează prin introducerea unei
reţele de corecţie înaintea comparatorului : 1
1cd
HT s
=+
( ) ( )4 1 20 1 3
20R
s sH
s
+ +=⇒
( )10
20 1fHs s
=+
101
Problema 8
Sa se proiecteze SRA astfel încât : ( ) ( )100
10 1FH ss s
=+
7.5%
0.02
50 / sec v
B rad
σεω
≤≤≤
Rezolvare:
eF = 2 sistem de ordinul II.
21II e
πξ
ξσ−
−=
⇒
⇒
⇒ ≈⇒
B n
B n
B n
B n
ξ = 0 .5 ω = 1 .2 7ω
ξ = 0 .6 ω = 1 .1 5ω
ξ = 0 .7 ω ω
ξ = 0 .8 ω = 1 .7 6ω
1) 7.5%
22) 0.02 0.02
3) 50 / sec
v v
0.65
n
BII rad
σξε ε
ω
ω
≤ ⇒ ≥
< ⇒ = < ⇒ ≥
= + ≤ ⇒ ≤
n
2 2 4n n
ξ
ω 65 rad/sec
ω 1- 2ξ 2 - 4ξ + 4ξ ω 46 rad/sec ( )( 1.0803) 50 46.2856 n nω ω≤ ⇒ ≤
Intre 2) şi 3) rezultă contradicţie deci este necesar sa procedam astfel: se respecta rezultatul condiţiei 3) pentru pulsaţia naturala şi se sacrifica rezultatul cond 2).
2 0.650.028
46.2856 vε ⋅= = ceea ce nu respecta _v impusε
Pentru respectarea erorii de viteza impuse, se adaugă un zero suplimentar care duce la scăderea sa fata de cea corespunzătoare unui sistem de ordin II. Dar adăugarea unui zero suplimentar conduce la e0 = 1. Cum condiţia iniţiala este 2≥ =F 0e e rezulta ca trebuie adăugat şi un pol, deci alegem varianta cu
dipol. 3
3 3
33
3
1.03
7.5 3 4.5%
2 1 1 1 10.02 0.02
1 10.008
3.75
3.641.03
=0.7
0.028n
p
z
p z p z
pp z
zp
z
σ ξξε
ω
= ⇒
⇒ = − = ⇒ ⇒ ≅
= + − ≤ ⇒ + − ≤
− ≤ =⇒ = =
B n
v
∆σ = 3%
ω ω = 50 rad/sec
102
( )( )
( )( )
2
0 2 2
3.753.64
3.642 3.75
n
n n
sH s
s s s
ω
ξω ω
+ ⋅⇒ =
+ + +
0 ;1
d dd R f R
d f
H HH H H H H
H H= = ⋅ ⇒ =
+
