Sisteme de proiectii si transformari geometrice

1.Sistemul (cilindric) paralel

2.Sistemul (conic) central

Sistemul central de proiectie: -centrul de proiectie - Ω

-plan de proiectie - p

Proprietati: -corespondenta univoca A -> a

-se pastraza coliniaritatea prin centrul Ω si trece o singura drepata

-2 drepte paralele au proiectia centrala in 2 drepte concurente

Se aplica in perspectiva

Sistemul paralel de proiectie(cilindric)

Directia perpendiculara -> proiectia ortogonala

Directia oblica -> proiectia oblica

Proprietati: -corespondenta univoca

-se pastreaza coliniaritatea

-daca 2 drepte sunt paralele, proiectia se proiecteaza paralel, daca 2 drepte sunt concurente, proiectiile lor vor fi concurente

Se aplica la axonometrie si sisteme ortogonale.

TRANSFORMARI GEOMETRICE

Transformari prin simetrie, prin translatie, de rotatie sau rototranslatie.

Omologia

-prin intermediul sistemului de proiectie central cu 2 plane de proiectie si un centru de omologie

Teoremele lui DESARGUES:

1.Conditia necesara si suficienta ca 2 figuri sa fie omoloage este ca perechile de drpete (A1B1,ab), (B1C1,bc) si (A1C1,ac) sa se intersecteze in 3 puncte coliniare m, n si r.

2.Conditia necesara si suficienta ca 2 figuri sa fie omoloage este ca dreptele aA1, bB1, cC1 sa fie concurente in Ω.

Afinitatea – caz particular Ω ∞

-centrul de omologie la infinit, se defineste o directie iar planele care initial erau concurente, acum sunt paralele.

Omologia – axa omolog ∞

Axonometria este o perspectiva conventionala deoarece admite paralelismul razelor vizuale. Astfel, observatorul este situat la infinit. Cunoscand principiile ortogonale ale unui obiect, se cere sa se determine proiectia paralela(pe un plan numit tablou) pe un plan axonometric.

Probleme: fie se da triunghi axonometric si trebuie determinate axele, fie avem axele si determinam triunghiul axonometric.

Daca dreptele se proiecteaza perpendicular pe planul axonometric -> axonometrie ortogonala

Daca dreptele nu sunt perpendiculare -> axonometrie oblica

Terminologie: -ABC – triunghi axonometric

-axele O0X0, O0Y0, O0Z0 – axe imagine

-OO0 – proiectii sambure

-A’B’C’ – triunghi ortic

Proprietatile triunghiului axonometric: -ascutit unghic

-axele imagine sunt inaltimi

-OO0 – ortocentru

-axele formeaza unghiuri obtuze

Coeficient de reducere, imagini si scari

-ux, uy, uz – unitati imagine

ux=u*cosα

uy=u*cosβ

uz=u*cosδ

cosα, cosβ, cosδ – coeficienti de reducere

cos2α+cos2β+cos2δ=2

Scara imagine=axe imagine divizate in parti egale cu

Lungimea unitate imagine(ux, uy, uz).