Trabajo Práctico N 7 Análisis de Fourier Ejercicios. Parte...

Métodos Numéricos Avanzados 93.30

Trabajo Práctico N7ITBA

Ingeniería Informática

Trabajo Práctico N7Análisis de Fourier

Ejercicios. Parte 1

Serie de Fourier

1. Desarrollar en serie trigonométrica de Fourier las siguientes funciones:

(a) f(t) =

|t|, −π < t ≤ πf(t+ 2π), ∀t

(b) f(t) =

A sinω0t, 0 ≤ t ≤ π/ω0

0, π/ω0 < t ≤ 2π/ω0

f(t+ 2π/ω0), ∀t

(c) f(t) =

t(π − t), −π < t ≤ πf(t+ 2π), ∀t

(d) f(t) =

t, 0 < t ≤ Tf(t+ T ), ∀t Onda diente de sierra

Graficar en cada caso la cuarta suma parcial.

2. La función f(x) = π − x está definida en el intervalo 0 ≤ x ≤ π.

(a) Construir una función ϕ(x) que sea la extensión periódica par de f(x) conperíodo 2π. Graficarla para −3π ≤ x ≤ 3π.

(b) Obtener el desarrollo en serie de Fourier trigonométrico de la extensión par ϕ(x).

(c) Computar las sumas

∞∑

n=0

1

(2n+ 1)4

∞∑

n=0

1

(2n + 1)2

.

3. Dada la función f(t) definida en el intervalo (0, τ ] como se muestra en la figura,

t

f(t)

A

a b τ

(a) Representarla mediante una serie trigonométrica contérminos cosenoidales en (0, τ).

(b) Representarla mediante una serie trigonométrica contérminos senoidales en (0, τ).

4. La temperatura en una barra metálica de longitud L, con los extremos a 0 y lat-eralmente aislada, es una función u(x, t), siendo x la corrdenada de un punto de labarra y t el tiempo. La evolución de la temperatura obedece al proceso de difusióny está gobernada por la ecuación de Fourier :

uxx(x, t) = k2ut(x, t), t > 0, 0 < x < Lu(0, t) = u(L, t) = 0 t ≥ 0u(x, 0) = u0(x) 0 ≤ x ≤ L

1




donde k2 es una constante que depende del material y u0(x) es la distribución inicialde temperatura.Para resolverla, proponer como solución u(x, t) = φ(x)e−λt, siendo λ una constantea determinar y φ : [0, L] → R una función desconocida.

(a) Demostrar que tanto la constante λ como la función φ, satisfacen el problema:

φ′′(x) + λk2φ(x) = 0, 0 ≤ x ≤ Lφ(0) = 0φ(L) = 0

(b) Demostrar que existen invinitos valores de λ > 0 e infinitas soluciones φ:

φn(x) = sinnπ

Lx, λn =

π2n2

k2L2n = 1, 2, 3, . . .

(c) Justificar que la solución de la ecuación de Fourier con las condiciones de bordedadas es:

u(x, t) =

∞∑

n=1

ane−π

2n2

k2L2t sin

nπ

Lx

donde an son constantes a determinar.

(d) Demostrar que los coeficientes an se computan a partir de la condición inicialu0(x) como:

an =2

L

∫ L

0u0(x) sin

nπ

Lxdx

Calcular la temperatura para una distribución inicial de temperatura:

u0(x) =

0, 0 < x ≤ 3L8

A, 3L8 < x ≤ 5L

80, 5L

8 < x ≤ L

Graficar la temperatura u(x, ti) para distintos valores de ti, i = 0, 1, . . . enfunción de x.

5. Computar la forma compleja de la serie de Fourier de las siguientes funciones per-iódicas y representar el espectro de frecuencias de cada una de ellas.

(a) f(t) =

0, −T/2 < t < −d/2A, |t| ≤ d/20, d/2 < t < T/2f(t+ T ), ∀t

Respuesta:

Ad

T+Ad

T

∞∑

n=−∞

sin nπdT

nπdT

ei2nπ

Tt

(b) Onda triangular de amplitud 1, valor medio nulo y período 2π.

(c) f(t) = sin4 tRespuesta:

f(t) =1

16(e−4it − 4e−2it + 6 − 4e2it + e4it)

2




(d) f(t) =

et, 0 < t ≤ 2πf(t+ 2π), ∀t

Respuesta:

e2π − 1

2π

∞∑

n=−∞

1

1 − ineint

(e) f(t) =

At, 0 < t ≤ Tf(t+ T ), ∀t Onda diente de sierra.

Respuesta:

(A

2+A

2π

∞∑

n=−∞n 6=0

1

nei(nω0t+ π

2))T

6. Dada una señal modelada por una función f(t) = f(t+ T ), de define Transformada

Finita de Fourier de f(t) a la función F (nω0):

Ff(t) = F (nω0) = cn =1

T

∫ T/2

−T/2f(t) e−i nω0 tdt

donde ω0 = 2π/T .

Demostrar las siguientes propiedades de la Transformada Finita de Fourier:

Propiedad (Linealidad). Sean f1 y f2 dos funciones periódicas del mismo períodoy a1 y a2 dos constantes, entonces

Fa1f1 + a2f2 = a1Ff1(t) + a2Ff2(t)

Propiedad (Tranformada de la derivada). Sea f ∈ C[−T/2, T/2] y periódica deperiódo T = 2π/ω0 con coeficientes complejos de Fourier cn, entonces:

F

f ′(t)

= inω0cn

Propiedad (Transformada de la integral). Sea f una función periódica de períodoT = 2π/ω0, entonces:

F

∫ t

−T

2

f(τ) dτ

=1

inω0Ff(t)

Propiedad (Corrimiento en el tiempo). Sea f una función periódica de períodoT = 2π/ω0, entonces:

Ff(t− a) = Ff(t) e−inω0a

7. El circuito de la figura esta formado por un generador E(t) en serie con un capac-itor de capacidad C y una resistencia R. La señal de entrada (input) es la tensiónprovista por el generador: tren de pulsos rectangulares de duración d y frecuencia ω0.

3




E(t)

R

C uC(t)

La salida (output) del sistema se consid-era la tensión en el capacitor uC(t), porlo tanto el sistema se modela mediantela ecuación diferencial (relación input–output):

RCduC

dt(t) + uC(t) = E(t)

Llamando a la constante de tiempo del circuito τ = RC y suponiendo que el sistemase ecuentra en régimen permanente,

(a) Demostrar que los coeficientes complejos de Fourier de la salida son Un =En/(1 + jnω0τ), donde en = FE(t) (donde llamamos j a la unidad imagi-naria).

(b) Demostrar que la tensión de salida en el capacitor es:

uC(t) =∞∑

n=−∞

En

1 + jnω0τejnω0t

escribir esta expresión en forma trigonométrica. Graficar las primeras 5 sumasparciales.

(c) Graficar en módulo y fase la secuencia H(nω0) = 11+jnω0τ .

(d) Analizar la salida cuando se dan las siguientes situaciones: i) τ 2π/ω0, ii)τ 2π/ω0. Interpretar estos resulados.

Transformada e Integral de Fourier

Sea f ∈ L2(R), se define Transformada de Fourier de f(t) a:

F f(t) = F (ω) =1

2π

∫ ∞

−∞f(t) e−iωt dt

De esta forma, es posible reconstruir la función f(t), a partir de F (ω), al menos en aquellospuntos donde f es continua, según:

f(t) =

∫ ∞

−∞F (ω) eiωt dω

la cual constituye la representación en integral de Fourier de f(t).

Una propiedad importante de la transformada de Fourier, es la identidad de Parseval :∫ ∞

−∞|f(t)|2 dt = 2π

∫ ∞

−∞|F (ω)|2 dω

Si la función f(t) representa el modelo matemático de una señal que varía con el tiempo t,entonces la transformada de Fourier de f(t): F f(t) = F (ω) = |F (ω)| eφ(ω), constituyeel espectro de frecuencias de f(t). Se denomina espectro de amplitud de f(t) a la función|F (ω)| y espectro de fase de f(t) a la función φ(ω).

Ejercicios. Parte 2: Transformada e Integral de Fourier4




1. Demostrar las siguientes propiedades de la transformada de Fourier1

Propiedad (Linealidad). Si F1(ω) = F f1(t) y F2(ω) = F f2(t), y a1 y a2 dosconstantes arbitrarias, entonces:

F a1f1 + a2f2 = a1F1(ω) + a2F2(ω)

Propiedad (Cambio de escala). Si F (ω) = F f(t) y a 6= 0, entonces:

F f(at) =1

|a| F(ω

a

)

Propiedad. Si F (ω) = F f(t), entonces:

F f(−t) = F (−ω)

Propiedad (Desplazamiento en el tiempo). Si F (ω) = F f(t) y a ∈ R, entonces:

F f(t− a) = e−iωa F (ω)

Propiedad (Desplazamiento en ela frecuencia). Si F (ω) = F f(t) y ω0 ∈ R,entonces:

F

f(t) eiω0t

= F (ω − ω0)

Propiedad (Simetría). Si F (ω) = F f(t), entonces:

F F (t) = f(−ω)/(2π)

Propiedad (Derivada). Si F (ω) = F f(t) y f derivable y de soporte compacto,entonces:

F

f ′(t)

= iω F (ω)

Este resultado puede generalizarse: F

f (n)(t)

= (iω)n F (ω).

Propiedad (Integral). Si F (ω) = F f(t) y∫ ∞−∞ f(t) dt = 0, entonces:

F

∫ t

−∞f(u) du

=1

iωF (ω)

Propiedad (Convolución). Si F (ω) = F f(t) y G(ω) = F g(t), entonces:

F

∫ ∞

−∞f(u)g(t− u) du

= 2π F (ω)G(ω)

2. Calcular la transformada de Fourier de las siguientes funciones y graficar los espectrosde amplitud y fase.

(a) f(t) =

1, |t| ≤ a0, |t| > a

. Computar∫ ∞0

sin xx dx y

∫ ∞0

(

sin xx

)2dx.

(b) f(t) = e−a|t|, a > 0. Computar∫ ∞0

11+x2 dx.

(c) f(t) =

A(1 − t/T ), 0 ≤ t ≤ TA(1 + t/T ), −T ≤ t ≤ 00, |t| > T

.

(d) f(t) = 1√2πσ

e−1

2( t

σ)2

(e) f(t) = e−tu(t), donde u(t) =

1, t > 00, t < 0

es la Función de Heaviside.

1En todo momento, se supone que f admite Transformada de Fourier.5




Funciones Generalizadas - Delta de Dirac

Definición 1. Una función φ se llama de tendencia rápida a cero y se la indica φfast−−→ 0,

si φ : C∞(∞,∞) → R y cumple:

lim|x|→∞

xm φ(n)(x) = 0, ∀n,m ∈ N

Las funciones de tendencia rápida, y todas sus derivadas caen a cero más rapidamente quecualquier potencia de x, cuando |x| es muy grande. Es decir, para x→ ±∞, la gŕafica deφ(x) se confunde con el eje x (ver figura 1).

φ(x)

x

Figure 1: Función de tendencia rápida

Definición 2. Llamamos Ω = φ/φ fast−−→ 0

Hay que notar que Ω, con las leyes comúnes de la suma y producto por escalares, tieneestructura de espacio vectorial, es decir que si φ, ψ ∈ Ω y para todo a ∈ R,

(φ+ ψ)(x) = φ(x) + ψ(x)(aφ)(x) = aφ(x)

Definición 3. Función generalizada: Sea f una función, llamamos función generalizada ala funcional lineal Lf : Ω → R, que cumple:

Lfφ =

∫ ∞

−∞f(x)φ(x) dx

Lfφ es la imagen de φ a través de Lf

Ejemplo Sea la función común sin : R → [−1, 1], entonces la función seno generalizada

Lsin es Lsin : Ω → R, tal que:

Lsinφ =

∫ ∞

−∞sin(x)φ(x) dx

, donde φ ∈ Ω. Resulta obvio que la imágen de φ, a traves de la función generalizada Lsin

existe. En efecto:

|∫ ∞

−∞sin(x)φ(x) dx| ≤

∫ ∞

−∞| sin(x)||φ(x)| dx ≤

∫ ∞

−∞|φ(x)| dx

la cual converge.

Si consideramos ahora que f(x) es una función dierenciable, es posible asociarle la funcionallineal:

Lf ′φ =

∫ ∞

−∞f ′(x)φ(x) dx

6




Teniendo en cuenta que tanto φ como sus derivadas caen a cero más rapidamente quecualquier potencia de x, integrando por partes, resulta:

Lf ′φ = f(x)φ(x)∣

∣

∣

∞

−∞−

∫ ∞−∞ f(x)φ′(x) dx

= −Lfφ′

la cual también es una función generalizada ya que φ′ ∈ Ω.

De esta manera, es posible extender el concepto de derivabilidad. En efecto, como unafunción generalizada está dada por la acción sonre las funciones φ en Ω, aún cuando f nosea difernciable en el sentido cĺasico del cálculo diferencial, es posible definir una acciónsobre las φ′ ∈ Ω. Así, es posible definir la derivada de una función generalizada de lasiguiente manera:

Definición 4. Derivada de una función generalizada.Sea la función generalizada Lf : Ω → R, entonces llamamos derivada primera de la funcióngeneralizada Lf a la función generalizada:

Lf ′φ = −Lfφ′

Nótese que no es necesario que la función f sea diferenciable, para asociarle una funcióngeneralizada que haya que derivar. Si f es derivable, la derivada de la función generalizadacoincide con la derivada cásica en el sentido del cálculo diferencial.

Ejemplo Calcular la derivada de Lsin.Habiamos visto que la función generalizada seno esá dada por la funcional lineal:

Lsin =

∫ ∞

−∞sin(x)φ(x) dx

entonces, de la definición de derivada de función generalizada, resulta:

Lsin′φ = −Lsinφ′= −

∫ ∞−∞ sin(x)φ′(x) dx

= − sin(x)φ(x)∣

∣

∣

∞

∞−

∫ ∞−∞ cos(x)φ(x) dx

= Lcosφ

Por lo tanto, la derivada de la función generalizada Lsinφ, es : Lsin′φ = Lcosφ.

Definición 5. Delta de Dirac es la función generalizada que a φ ∈ Ω le hace corresponderφ(a), para a ∈ R, es decir:

Lδaφ =

∫ ∞

−∞δ(x− a)φ(x) dx = φ(a)

De esta forma, la función generalizada Delta de Dirac, hace corresponder a una funciónφ ∈ Ω, el valor φ(a), es decir la imagen de φ a través de Lδa

. Desde este punto de vista,utilizaremos como notación δa(φ) = Lδa

φ.Resulta obvio que δ(x) no es una función en el sentido usual del análisis matemático, porlo tanto la integral en la que interviene tampoco lo es. De esta forma, la integral y δ(x),están definidas por el número φ(a) que le corresponde a la función φ(x).

7




La teoría de distribuciones, desarrollada por Schwartz y la cual está más allá de estas notas,desarrolla la generalización del concepto de función y extiende la propiedad que define ala Delta de Dirac a funciones continuas, de modo que:

∫ ∞

−∞δ(x− a)f(x) dx = f(a), ∀f ∈ C0 (1)

Ejemplo La función de Heaviside u(x), se define como:

u(x) =

1, x > 00, x < 0

La funcional lineal:

Luφ =

∫ ∞

−∞u(x)φ(x) dx

tiene como derivada:Lu′φ = −

∫ ∞−∞ u(x)φ′(x) dx

= −∫ ∞0 φ′(x) dx

= −φ(x)∣

∣

∣

∞

0= φ(0)

Pero, de la definición de la función generalizada Delta de Dirac:Lδ0φδ0(φ) =∫ ∞−∞ δ(x)φ(x) dx =

φ(0), entonces:Lu′φ = δ0(φ)

En virtud a este resultado, escribiremos, en el sentido de las funciones genealizadas:

u′(x) = δ(x)

De esta forma, teniendo en cuenta la definición 2, que:∫ ∞

−∞δ(x) dx = 1 (2)

la que constituye la propiedad fundamental de la delta de Dirac.

Ejemplo ¿Qué se entiende por f(x)δ(x)?Resulta obvio que esta expresion carece de sentido desde el punto de Cálculo tradicional,ya que la delta de dirac, solo tiene significado desde el punto de vista de la integral dadapor 2. No obstante, aplicando la definición en el sentido de las funciones generalizadas,asumiendo f continua:

∫ ∞

−∞f(x)δ(x)φ(x) dx = f(0)φ(0)

entonces podemos escribir:f(x)δ(x) = f(0)δ(x)

Observaciones:i) En base al resultado en este ejemplo, se interpreta que f(x)δ(x), da como resultadoel valor de la función en x = 0. Resulta entoces una suerte de “muestreo” de la señalmodelada por f(x) en x = 0.ii) Según el resultado expuesto en este ejemplo, resulta que: xδ(x) = 0.

Ejemplo Derivada de la Delta

De la definición de derivada de una función generalizada, es posible computar δ′(x). Enefecto:

Lδ′φ = −Lδφ′8




entonces, se puede escribir:∫ ∞−∞ δ′(x)φ(x) dx = −

∫ ∞−∞ δ′(x)φ′(x) dx

= −φ′(0)

Interpretación física de δ(t)

Consideremos una señal que se comporte de la siguiente forma: abruptamente se enciende,manteniendo una amplitud constante igual a 1/ε, para luego apagarse abruptamente de-spués de un intervalo de tiempo ε. Si se considera el origen de tiempo durante la mitadde la vida de la señal, se la puede modelar como un pulso rectangular de duración ε yamplitud 1.

fε(t) =

1, |t| < ε/20, |t| > ε/2

fε(t)

t

1ε

ε2

ε2

Veamos el comportamiento de fε(t),cuando ε → 0. Si φ ∈ Ω, entonces, nosinteresa computar:

limε→0

Lfεφ = lim

ε→0

∫ ∞

−∞fε(t)φ(t) dt

A partir de la definición de fε(t), se tiene que:

limε→0

Lfεφ = lim

ε→0

1

ε

∫ ε

−εφ(t) dt

Teniendo en cuenta que φ(t) es continua, entonces:

limε→0

Lfεφ = φ(0)

de lo que resulta que el ĺimite de la función generalizada fε(t), da el mismo resultado quela delta de Dirac:

limε→0

Lfεφ =

∫ ∞

−∞δ(t)φ(t) dt

por lo tanto, vamos a indicar:limε→0

fε(t) = δ(t)

Existen otras funciones que son aproximaciones a la delta, por ejemplo:

δ(t) = limε→0

1√επe−t2/ε

Ejercicios. Parte 3: Funciones generalizadas-Delta de Dirac

1. Demostrar que F δ(t) = 12π y F δ(t− a) = 1

2πe−iωa

2. Calcular F cosω0t, en el sentido de las funciones generalizadas.

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Aplicación de la Transformada de Fourier a Filtros Lineales

Un Filtro o Sistema es una correspondencia S : F → F , siendo F un conjunto de funciones.

Si F es el conjunto de funciones continuas (al menos en casi todas partes), el Filtro de diceque es analógico, en cambio si se trata de sucesiones o secuencias, se dice que el Filtro esdigital.

Consideremos el filtro analalógico S. La función f ∈ F modela a la señal de entrada alsistema a la que designamos como input. Llamemos output a la función g ∈ F que modelala respuesta del sistema.

f(t) (input) Filtro S g(t) (output)

Figure 2: Filtro analógico

La forma explícita de correspondecia entre la entrada f y la salida g:

g(t) = Sf(t)

de denomina relación entrada–salida.

Por lo general, S es un operador diferencial, resultando la relación entrada–salida unaacuación integro–diferencial.

Un Filtro Lineal es aquel cuyo operador S es lineal, es decir que si f1 y f2 son dos funcionescuyas respuestas son g1 y g2 respectivamente, entonces:

Sf1(t) + f2(t) = Sf1(t) + Sf2(t) = g1(t) + g2(t)

Un Filtro invariante en el tiempo S es aquel que cumple:

Sf(t− t0) = g(t− t0) ∀t0 ∈ R

Un Filtro causal S es aquel que si f(t) = 0, ∀t ≤ t0, entonces g(t) = 0, ∀t ≤ t0.

Ejemplo 1.

Consideremos el circuito RLC serie, excitado por una fuente de tensión alterna E(t).

Tomando como respuesta del sistema a la intensidad de corriente eléctrica i(t) que circulapor el conductor, la ecuación diferencial que gobierna la sistema es:

Ldi

dt(t) +Ri(t) +

1

C

∫ t

−∞i(ξ) dξ = E(t)

Ejemplo 2.

Consideremos el sistema formado por una masa m, sujeta a un resorte de constante elásticak y bajo la acción de un amortiguador con coeficiente viscoso β. Aplicando la SegundaLey de Newton a la particula, teniendo en cuenta la fuerza elástica, viscosa y una fuerzaexcitadora f = f(t)x, se tiene que la relación entrada–salida es:

mx(t) + βx(t) + kx(t) = f(t)10




E(t)

L

.

Ri(t)

C

x

k

m

f(t)

β

donde x(t) es la coordenada de la masa y es la que se considera como salida del sistema.

Se denomina Función de Green h(t) del filtro S a la respuesta del filtro ante una excitaciónDelta de Dirac δ(t) considerando condiciones iniciales nulas, es decir:

h(t) = Sδ(t)

Tengamos en cuenta que si la entrada al filtro es continua, entonces puede escribirse:

f(t) =

∫ ∞

−∞f(x)δ(t− x) dx

entonces la respuesta del filtro g(t) es:

g(t) = Sf(t) = S

∫ ∞

−∞f(x)δ(t − x) dx

Como el sistema es lineal, entonces:

g(t) =

∫ ∞

−∞f(x)Sδ(t− x) dx

Como estamos considerando filtros invariantes en el tiempo, por definición h(t − x) =Sδ(t − x) es la función de Green del filtro, desplazada en el tiempo x. Entonces, larespuesta del sistema es:

g(t) =

∫ ∞

−∞f(x)h(t− x) dx =

∫ ∞

−∞f(t− x)h(x) dx

Este resultado nos dice: la respuesta de un filtro lineal e invariante en el tiempo ante un

input f(t) es la convolución entre la excitación y la función de Green h(t) del filtro. La11




función de Green de un filtro contiene toda la información dinámica del filtro, es caracteís-tico de él y depende solo de los parámetros del filtro.

Resta ahora preguntarnos . . .

¿Cómo se obtiene la función de Green de un filtro?

Para contestar esta pregunta, apliquemos la Transformada de Fourier a respuesta del filtrolineal e invariante en el tiempo.

F g(t) = F

∫ ∞

−∞f(t− x)h(x) dx

LLamando F g(t) = H(ω), F f(t) = F (ω) y F g(t) = G(ω), resulta la relación:

G(ω) = F (ω)H(ω)

A la transformada de Fourier de la función de Green del filtro, se la denomina función de

transferencia H(ω).

Ejercicios. Parte 4: Filtros lineales

1. Demostrar que si a un filtro lineal e invariante en el tiempo se lo excita con una señalsenoidal, el filtro reponde con una respuesta senoidal de la misma frecuencia que laentrada.

2. Demostrar que el sistema circuito RLC-serie, considerando la salida como la intensi-dad de corriente i(t), es un filtro lineal e invariante en el tiempo.

3. Mostrar que h(t) = − 12ke

−|k| es la función de Green del filtro modelado por:

x′′ − k2x = f(t)

4. Sea el sistema constituido por un circuito RC–serie. Considerar como input la tensiónE(t) y output la tensión en el capacitor uC(t). La relación entrada–salida es:

τduC

dt(t) + uC(t) = E(t)

siendo τ = RC, la constante de tiempo del sistema.

(a) Demostrar que este sistema es un filtro lineal e invariante en el tiempo.

(b) Obtener la función de transferencia H(ω) del filtro. Graficar |H(ω)| y la faseφ(ω) versus la frecuencia. Indicar cómo es el comportamiento del filtro con lafrecuencia, ante una excitación E(t) cualquiera.

(c) Demostrar que si E(ω) = F E(t), entonces la Transformada de Fourier de larespuesta del filtro es: UC(ω) = H(ω)E(ω).

5. Un filtro ideal pasabajos es aquel sistema lineal cuya función de transferencia es:

H(ω) =

e−iωT , para |ω| < ω0

0, para |ω| < ω0

siendo ω0 la frecuencia de corte.

(a) Hallar la función de Green h(t) del filtro ideal pasabajo.

(b) Hallar la respuesta ante una entrada f(t) = A cos 3ω0t+B sin ω0t2

12




Transformada Discreta de Fourier

Consideremos una función x(t), la cual es muestreada a intervalos regulares en los N puntostj = jh, con j = 0, 1, 2, . . . , N−1, siendo h el intervalo de muestreo. Indicando a los valoresde x como xj, se define la Transformada Discreta de Fourier de los valores muestreadosxjN−1

j=0 a:

Xk =

N−1∑

j=0

xj e− 2πi

Njk k = 0, 1, . . . , N − 1 (3)

siendo la correspondiente fórmula de inversión o Antitransformada discreta de Fourier :

xk =1

N

N−1∑

j=0

Xj e2πi

Njk k = 0, 1, . . . , N − 1 (4)

Cada valor de la transformada discreta Xk, está definido en el valor de frecuencia:

ωk =k

2πhN(5)

Definición 6. Espectro de Potencia Si Xk, con k = 0, 1, . . . , N − 1 son los valores de laTransformada Discreta de Fourier de una secuencia xjN−1

j=0 , entonces se llama Espectro

de Potencia a:Pk = |Xk|2 k = 0, 1, . . . , N − 1

La figura 3 muestra una función en MATLAB que implementa el cómputo de la Trans-formada Discreta de Fourier.

En muchas aplicaciones, se utiliza la base trigonométrica para “reconstruir” una funciónf(t), a partir de sus muestras en un conjunto de puntos.

Definición 7. Se denomina Polinomio Trigonométrico de grado m a:

Sm(t) =a0

2+

m∑

n=1

(an cosnt+ bn sinnt)

Supongamos que se tiene una señal periódica f(t) de período 2π y se conocen N+1 valoresde f a intervalos regulares, en los puntos:

tj =2π

N + 1j = 0, . . . , N

siendo dichos valores:fj = f(tj) j = 0, . . . , N

Entonces, f puede ser interpolada en los nodos tj mediante el polinomio trigonométrico degrado m < N/2:

f(t) =a0

2+

m∑

k=1

(ak cos kt+ bk sin kt) (6)

donde los coeficientes se computan:

ak =2

N

N∑

j=1

fj cos jtj j = 0, 1, . . . ,m (7)

bk =2

N

N∑

j=1

fj sin jtj j = 0, 1, . . . ,m (8)

13




function y = mi_tdf(x)

% Funcion: y = mi_tdf(x)

% Proposito: Calcula la transformada discreta

% de Fourier de la secuencia x

%

% y(n) = (1/N)* Suma x(nu) exp(-i 2*pi*n*nu/N)

%

if nargin~=1

sprintf(’%s’,’Debe ingresar un solo vector/matriz de datos’)

break

end

%

N = length(x);

y = zeros(1,N);

aux = 2i*pi/N;

for n=0:N-1

s = 0.0;

for nu=1:N

s = s + x(nu)*exp(-1*aux*n*(nu-1));

end

y(n+1) = s/N;

end

return

Figure 3: Transformada Discreta de Fourier

El cómputo de los coeficientes de la Transformada Discreta de Fourier 3, conduce a larealización de una cantidad de operaciones (sumas y multiplicaciones complejas) O(N2).En 1966, Cooley y Turkey desarrollaron un algoritmo eficiente, en cuanto al número deoperaciones, para el cómputo de la Transformada Discreta de Fourier. Dicho métodode cómputo de llama Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform) FFT yrequiere O(n log2 n), siendo necesario un número de datos N = 2p, con p ∈ N. El la figurase muestra un algoritmo recursivo para el cómputo de la FFT.

Ejercicios. Parte 5: Transformada Discreta de Fourier

1. (Lápiz y papel) Sea el vector f = [f0, f1, . . . , fN−1] y F = [F0, F1, . . . , FN−1] sutransformada discreta de Fourier. Demostrar, aplicando la definición de transformadadiscreta de Fourier (TDF) y de la TDF inversa que el antitransformado discreto de[F0, F1, . . . , FN−1], recostruye completamente al vecyor de datos f .

2. (Computadora) Suponga que se desea estudiar el contenido en fecuencias usando laTDF, de la siguiente señal:

x(t) = 0.0472 cos(2π(200)t + 1.5077) + 0.1362 cos(2π(400)t + 1.8769)++0.4884 cos(2π(500)t − 0.1852) + 0.2942 cos(2π(1600)t − 1.4488)++0.1223 cos(2π(1700)t)

(a) Hacer un programa que compute la Transformada Discreta de Fourier.

(b) Computar la TDF de x(t) y calcular el espectro de potencia. Determinar lafrecuencia fundamental.

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function X = fft_rec(NN,x)

% funcion fft_rec

% Proposito: Computa la TDF mediante FFT

% Entradas: NN = Tama\~no del vector de datos (debe ser 2^p)

% x = Vector de NN datos

% Salida: X = Vector con la TDF de x

%

N = length(x);

w = exp(-2*pi*sqrt(-1)/N);

if N == 2

X = x(1) + w.^[-NN/2:NN-1-NN/2]*x(2);

else

a1 = x(1:2:N);

b1 = x(2:2:N);

a2 = fft_rec(a1,NN);

b2 = fft_rec(b1,NN);

for k = -NN/2:NN-1-NN/2

X(k+1+NN/2) = a2(k+1+NN/2)+b2(k+1+NN/2)*w^k;

end

end

Figure 4: Algoritmo FFT recursivo

(c) Represente |X(ω)| y la fase de φ(ω) en función de ω.

3. (Lpiz y papel) Obtenga el polinomio trigonométrico de grado 3 para la función f(t) =0, entre −π < t ≤ 0 y f(t) = 1, en 0 < t ≤ π. Graficar.

4. (Computadora) Para analizar el comportamiento de la TDF con el número de mues-tras N , compute polinomio trigonométrico de grado 3 de f(t) = t2 en 0 ≤< 2π, yf(t) = f(t+2π), para: N = 8, 16, 32, 64, 128. Grafique la función f(t) y los distintospolinomios.

5. (Computadora) Calcular la TDF de la función f , usando el cómputo directo y usandoel algoritmo FFT. Graficar el espectro de amplitud y de fase. Reconstruir la fun-ción f(t), mediante el cómputo de la transformada inversa. Ensayar para distintosnúmeros de muestras.

(a)

f(t) =

1 − t, 0 ≤ t ≤ 10, t > 1f(−t),∀t

(b)f(t) = u(t) − u(t− 1)

siendo u(t) la función de Heaviside.

(c)f(t) = sin (2πf0t) + 4 sin (5πf0t)

con f0 = 60Hz.

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(d)f(t) = e−|t|

Ejercicios con computadora.

Computadora 1. El objetivo de este ejercicio es simular la salida de un filtro anlógico.Considerar un circuito RC-serie. La ecuación diferencial que lo gobierna es:

RCduC

dt+ uC = E(t)

si la salida uC(t) es la tensión en el capacitor, o:

1

RC

∫ t

−∞uR(τ) dτ + uR = E(t)

si la salida u[R](t) es la tensión en la resistencia. Considerar para este sistema: τ = RC =10−3 s.

1. Implementar el cómputo de la Transformada discreta de Fourier mediante el al-goritmo FFT, en C/C++ o FORTRAN. (En GNU Octave ya está implementadomediante la función fft.m)

2. Obtener la función de transferencia del filtro, considerando como salidas: a) uC(t),b)ur(t).

3. Obtener la tensión en el capasitor, cuando E(t) = 5 (u(t+ 0.5) − u(t− 0.5)), muestre-ando para N = 128 datos.

4. Si la señal de entrada es:

E(t) = 120 cos2π0.1t

τ+ 70 cos

2π10t

τ

obtener la tensión uC(t) y uR(t). Comparar ambas salidas con la entrada. Tomar unnúmera de muestras tal que la energía de la entrada no varíe en más del 5%.

Computadora 2. Este ejercicio tiene como objetivo analizar espectralmente una imageny utilizar la transformada discreta de Fourier para realizar filtrados espaciales.

La Trasnformada Discreta de Fourier de una secuencia bidimensional xn,m, de N × N(imagen), es:

Xl,k =

N−1∑

n=0

N−1∑

m=0

xn,me− 2πi

N(nl+mk)

siendo la Transformada Inversa Discreta:

xn,m =1

N2

N−1∑

l=0

N−1∑

k=0

Xl,ke2πi

N(nl+mk)

1. Implementar un programa que compute la TDF 2D

2. El archivo saturno contiene una matriz de 400×400 pixeles2 y corresponde a nivelesde intensidad luminosa comprendidos entre 0 y 255 (todos enteros). Para visualizaresta imagen en escala de grises, es necesario establecer un mapa de color de 255niveles. Por ejemplo en MATLAB, se puede leer y visualizar asi:

16




>> x=load(’saturno’);

>> colormap(gray(255));

>> image(x’);

visualizando la figura 2 que muestra una imagen del planeta Saturno, capturada porla misión Voyager.

50 100 150 200 250 300 350 400

50

100

150

200

250

300

350

400

Figure 5: imagen original

Computar la Trasnformada discreta de Fourier de la imagen original. Armar lasimagenes de 400×400 pixel2 correspondientes a la amplitud y la fase. Dichas imagenesdeben verse como se muestra en la figura 2 (Tener en cuenta de mapear los valoresde amplitud y fase al intervalo entero [0, 255]).Computar la Transformada inversa para reconstruir la imagen original de 400 ×400 pixel2.

100 200 300 400

50

100

150

200

250

300

350

400100 200 300 400

50

100

150

200

250

300

350

400

Figure 6: Transformada de Fourier de la imagen original. Izquierda: Amplitud, Derecha:

Fase

3. Considerar el efecto que produce los siguientes filtros Hk,l de 400 × 400 pixel2 en eldominio de las frecuencias (espaciales):

17




(a) Hk,l =

0, 0 ≤ k ≤ 400, 190 ≤ l ≤ 2100, 0 ≤ l ≤ 400, 190 ≤ k ≤ 2101, el resto de las posiciones

(b) El filtro gaussiano Hk,l = exp(−0.1(k2 + l2)

(c) El damero Hk,l =

0, sil + kes par1, sil + kes par

Reconstruir las imagenes resultantes de estos filtrados.

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Trabajo Práctico N 7 Análisis de Fourier Ejercicios. Parte...

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