Ejercicios resueltos de hormigon armado.pdf

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Viga bi-apoyada

Vamos a calcular la flecha en el centro de una viga bi-apoyada formada por un perfil IPE-140.

Geometría y materiales

Luz luz 5 m⋅=

Viga IPE-140 Iipe140 541 cm4⋅= A140 16.4 cm2

⋅= y140 140 mm⋅=

Acero A52 E 2.1 108⋅

kN

m2⋅= fyk 355

N

mm2⋅= γs 1.15=

Carga

Puntual p 10 kN⋅=

Posición en % posic 25=

a luzposic100.

⋅= a 1.25 m= b luz a−= b 3.75 m=

Cálculo de la flecha en el centro

v x I,( )p a⋅ x⋅

6 E⋅ I⋅ luz⋅2 luz⋅ luz x−( )⋅ a2

− luz x−( )2−⎡⎣ ⎤⎦⋅=

La flecha en el centro es xluz2

= v x Iipe140,( ) 1.576 cm=

La relación entre la flecha y la luz es: luzv x Iipe140,( )

317.282=


Esfuerzos

Mayoramos los esfuerzos multiplicándolos po 1.5 (ojo, es una simplificación que puede estar del

Carga ponderada pd 1.5 p⋅= pd 15 kN=

Momento en el centro de la viga Mdpd a⋅ x⋅

luz= Md 9.375 kN m⋅=

Cortante en el centro de la viga Vdpd a⋅

luz= Vd 3.75 kN=

Las tensiones máximas en el centro de la viga

σmax

Mdy140

2⋅

Iipe140= σmax 1.213 105

×kN

m2=

τmaxVd

A140=

τmax 2.287 103×

kN

m2=

σ tot σmax2

3 τmax2

⋅+⎛⎝

⎞⎠= σ tot 1.214 105

×kN

m2=

El "%" respecto a la tensión admisible:

σadmfykγs

=σ totσadm

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

100⋅ 39.316=

NOTA: los esfuerzos y tensiones máximas no se producirán en el centro si las cargas no son sim

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Otros ejemplos

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ER-CA-01: EJERCICIO DE CORTANTE CON ARMADURA ACORTANTE

Vamos a calcular la resistencia a cortante de secciones de hormigón sin armadura a cortante.Para ello partiremos de un hormigón y un acero y de una sección igual en todos los ejercicios.

Materiales

Hormigón

resistencia característica fck 25N

mm2⋅=

coeficiente de seguridad γc 1.5=

la resistencia de cálculo es fcdfckγc

= fcd 16.667N

mm2=

Acero

límite elástico característico fyk 400N

mm2⋅=

coeficiente de seguridad γs 1.15=

la resistencia de cálculo es fydfykγs

= fyd 347.826N

mm2=

Sección de hormigón

Se considera una sección rectangular de dimensiones

ancho b 0.6 m⋅=

alto h 0.3 m⋅=

Recubrimiento mecánico

inferior rminf 5 cm⋅=

rmsup 5 cm⋅=superior Figura genérica de la disposiciónde la armadura.

d h rminf−= d 0.25 m=

área de la sección de hormigón: Ac b d⋅= Ac 1.5 103× cm2

=


En la viga con la sección definida anteriormente, el cortante mayorado a un canto útil delborde del apoyo vale:

Vrd 125 kN⋅=

armadura de tracción: diponemos de 3 φ 20 Asl 3202

mm⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2⋅ π⋅= Asl 9.425 cm2

=

esfuerzo axil de cálculo, (positivo es tracción): Nd 0.kN=

tensión de compresión axil efectiva : σpcdNdAc

= σpcd 0N

mm2=

Debemos de determinar la armadura de cortante necesaria. Para ello, primero calculamos laresistencia de la sección agotamiento por tracción del alma..

Obtención de Vu2

Al utilizar fórmulas que obligan a unas unidades específicas, preparamos lasvariables adecuadamente:

dmmd

mm= dmm 250= fckNmm fck

mm2

N⋅= fckNmm 25=

Cuantía geométrica de la armadura longitudinal de tracción:

ρl.auxAslAc

= ρl.aux 6.283 10 3−×=

ρl 0.02 ρl.aux 0.02≥if

ρl.aux otherwise

=ρl 6.283 10 3−

×=

Coeficiente (efecto de áridos en canto útil):

ξ 1200dmm

+= ξ 1.894=

Resistencia virtual a cortante fcv:

100 ρl⋅ fckNmm⋅ 15.708=

fcv 0.12 ξ⋅ 100 ρl⋅ fckNmm⋅( )1

3⋅

N

mm2⋅= fcv 0.569

N

mm2=

Vcu fcv 0.15 σpcd⋅−( ) b⋅ d⋅= Vcu 85.4 kN=


Contribución de las armaduras a cortante VsuDatos de partida de los estribos:

diámetro de la armadura vertical: θestribo 6 mm⋅=

número de barras verticales por estribo : numBarras 4=

separación de estribos: separestribo 20cm=

Área de armadura vetical por metro:

aestribo πθestribo

2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

⋅= aestribo 0.283 cm2=

Atmaestribo numBarras⋅

separestribo= Atm 5.655

cm2

m=

Vsu 0.9 d⋅ Atm⋅ fyd⋅= Vsu 44.255 kN=

Finalmente,

Vu2 Vcu Vsu+= Vu2 129.655 kN=

Obtención de Vu1

A partir de los datos anteriores, obtenemos una serie de valores necesarios para la fórmulafinal:

coeficiente de reducción por efecto del esfuerzo axil:

kaux53

1σpcdfcd

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅= kaux 1.667=

k 1 kaux 1≥if

kaux otherwise

= k 1=

θ 45 deg⋅=ángulo de las bielas de compresión con el eje de la pieza :

ángulo de las armaduras transversales de la pieza: α 90. deg⋅=

La resistencia por agotamiento por compresión oblicua del alma es:

Vu1 0.6 fcd⋅ b⋅ d⋅ k⋅cot θ( ) cot α( )+

1 cot θ( )2+

⋅= Vu1 750 kN=


Comproación de la separación entre cercos:

La separación no debe ser mayor que 0.8 d⋅ 0.2 m=VrdVu1

0.167=

La separación inicial es correcta.




ER-CS-01: EJERCICIO DE CORTANTE SIN ARMADURA ACORTANTEVamos a calcular la resistencia a cortante de secciones de hormigón sin armadura a cortante.Para ello partiremos de un hormigón y un acero igual en todos los ejercicios.

Materiales

Hormigón


mm2⋅=



= fcd 16.667N

mm2=

Acero


mm2⋅=



= fyd 434.783N

mm2=



ancho b 0.4 m⋅=

alto h 0.3 m⋅=



rmsup 5 cm⋅=superiorFigura genérica de la disposiciónde la armadura.


área de la sección de hormigón: Ac b d⋅= Ac 1 103× cm2

=


La sección no tiene armadura a cortante, por ello lacomprobación de AGOTAMIENTO POR COMPRESIÓNOBLICUA DEL ALMA, Vu1 no sería necesaria.

Área de la armadura longitudinal de tracciónanclada como indica la figura: Asl 12 cm2

⋅=


ángulo de las bielas de compresión con el eje de la pieza : θ 45 deg⋅=

áncho de la pieza (en este caso es de ancho constante) : bo b=

esfuerzo axil de cálculo, (positivo es tracción): Nd 1000.− kN=

tensión de compresión axil efectiva : σpcdNdAc

= σpcd 10−N

mm2=

Obtención de Vu1



kaux53

1σpcdfcd

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅= kaux 0.667=

k 1 kaux 1≥if

kaux otherwise

= k 0.667=

Finalmente obtenemos la resistencia por agotamiento por compresión oblicua del alma:

Vu1 0.6 fcd⋅ bo⋅ d⋅ k⋅cot θ( ) cot α( )+

1 cot θ( )2+

⋅= Vu1 333.333 kN=

En los casos habituales de armaduras con cercos o estribos y con axiles despreciables, lafórmula final es:

cot α( ) 0= cot θ( ) 1=cot θ( ) cot α( )+

1 cot θ( )2+

0.5=

Vu1p 0.3 fcd⋅ bo⋅ d⋅= Vu1p 500 kN=

La diferencia es debida al axil de tracción aplicado inicialmente, que no se ha considerado enla fórmula reducida.


Obtención de Vu2 (= Vcu en este caso)Ahora realizamos la comprobación de agotamiento portracción del alma.

Al utilizar fórmulas que obligan a unas unidades específicas,preparamos las variables adecuadamente:

dmmd


mm2

N⋅= fckNmm 25=


ρl.auxAslAc

= ρl.aux 0.012=


ρl.aux otherwise

=ρl 0.012=


ξ 1200dmm

+= ξ 1.894=


fcv 0.12 ξ⋅ 100 ρl⋅ fckNmm⋅( )1

3⋅

N

mm2⋅= fcv 0.706

N

mm2=

Vu2 fcv 0.15 σpcd⋅−( ) bo⋅ d⋅= Vu2 220.637 kN=

Comparado con Vu1 vemos que Vu2 es mucho mas restrictivo en este caso (sinarmadura a cortante).

RECUERDE: PUEDE REALIZAR ESTOS CÁLCULOS MÁS FÁCILMENTE CON www.areadecalculo.com


ER-CS-01: EJERCICIO DE CORTANTE SIN ARMADURA ACORTANTE según EHE 08Vamos a calcular la resistencia a cortante de secciones de hormigón sin armadura a cortante.Para ello partiremos de un hormigón y un acero igual en todos los ejercicios.

Materiales

Hormigón


mm2⋅=



= fcd 16.667N

mm2=

Acero


mm2⋅=



= fyd 434.783N

mm2=



ancho b 0.4 m⋅=

alto h 0.3 m⋅=



rmsup 5 cm⋅=superiorFigura genérica de la disposiciónde la armadura.


área de la sección de hormigón: Ac b d⋅= Ac 1 103× cm2

=


La sección no tiene armadura a cortante, por ello lacomprobación de AGOTAMIENTO POR COMPRESIÓNOBLICUA DEL ALMA, Vu1 no sería necesaria.

Área de la armadura longitudinal de tracciónanclada como indica la figura: Asl 12 cm2

⋅=


ángulo de las bielas de compresión con el eje de la pieza : θ 45 deg⋅=

áncho de la pieza (en este caso es de ancho constante) : bo b=

esfuerzo axil de cálculo, (positivo es compresión): Nd 400kN=

Tensión de compresión axil efectiva. Enpilares debe calcularse teniendo en cuenta lacompresión absorvida por las armadurescomprimidas. En nuestro ejemplo sedesprecia.

σpcdNdAc

= σpcd 4N

mm2=

Obtención de Vu1



σpcd 4N

mm2= fcd 16.667

N

mm2=

k 1 σpcd 0≤if

1σpcdfcd

+ σpcd 0> σpcd 0.25 fcd⋅≤∧if

1.25 0.25 fcd⋅ σpcd< σpcd 0.5 fcd⋅≤∧if

2.5 1σpcdfcd

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ otherwise

= 0.25 fcd⋅ 4.167N

mm2=

0.5 fcd⋅ 8.333N

mm2=

2.5 1σpcdfcd

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 1.9=

k 1.24=

Finalmente obtenemos la resistencia por agotamiento por compresión oblicua del alma:

Vu1 0.6 fcd⋅ bo⋅ d⋅ k⋅cot θ( ) cot α( )+

1 cot θ( )2+

⋅= Vu1 620 kN=


faux 0.9

fckN

mm2

200−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

fcd⋅= faux 12.917N

mm2=

flcd 0.6 fcd⋅ fck 60N

mm2⋅≤if

faux fck 60N

mm2⋅> faux 0.5 fcd⋅<∧if

0.5 fcd⋅ otherwise

=

Vu1 flcd bo⋅ d⋅ k⋅cot θ( ) cot α( )+

1 cot θ( )2+

⋅= Vu1 620 kN=

En los casos habituales de armaduras con cercos o estribos y con axiles despreciables,la fórmula final es:

cot α( ) 0= cot θ( ) 1=cot θ( ) cot α( )+

1 cot θ( )2+

0.5=

Vu1p 0.3 fcd⋅ bo⋅ d⋅= Vu1p 500 kN=

La diferencia es debida al axil de tracción aplicado inicialmente, que no se ha consideradoen la fórmula reducida.


Obtención de Vu2 (= Vcu en este caso) en zonas fisuradas a flexión

(Para zonas no fisuradas se utiliza otra formulación. Consultar EHE 08)

Ahora realizamos la comprobación de agotamiento portracción del alma.

Al utilizar fórmulas que obligan a unas unidades específicas,preparamos las variables adecuadamente:

dmmd


mm2

N⋅= fckNmm 25=


ρl.auxAslAc

= ρl.aux 0.012=


ρl.aux otherwise

=ρl 0.012=


ξaux 1200dmm

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

= ξ ξaux ξaux 2<if

2 otherwise

= ξ 1.894=


γc 1.5=

fcv.old0.18γc

ξ⋅ 100 ρl⋅ fckNmm⋅( )1

3⋅

N

mm2⋅= fcv.old 0.706

N

mm2=

fcvaux0.075γc

ξ

3

2⋅ fckNmm

1

2.⋅

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

N

mm2⋅= fcvaux 0.652

N

mm2=

fcv.final max fcv.old fcvaux,( )=

σpcd_v2 σpcd σpcd 0.3 fcd⋅<if

12 MPa⋅ σpcd 12 MPa⋅> 0.3 fcd⋅ 12 MPa⋅>∧if

0.3 fcd⋅ otherwise

= σpcd 4 MPa=

0.3 fcd⋅ 5 MPa=

σpcd_v2 4 MPa=


Vu2 fcv.final 0.15 σpcd_v2⋅+( ) bo⋅ d⋅= Vu2 130.637 kN=

Comparado con Vu1 vemos que Vu2 es mucho mas restrictivo en este caso (sinarmadura a cortante).



ER-FC-01: EJERCICIO RESUELTOS DE FLEXIÓN COMPUESTA

Los ejercicios están basados en las formulaciones del libro "Hormigón Armado" de P. Montoya,A. García Meseguer y F.Morán.

Materiales

Hormigón


mm2⋅=



= fcd 16.667N

mm2=

Acero


mm2⋅=



= fyd 434.783N

mm2=



ancho b 0.3 m⋅=

alto h 0.5 m⋅=


inferior rminf 0.03 m⋅=

rmsup 0.03 m⋅=superior


Acciones de cálculo (ponderadas)

Las cargas de cálculo están aplicadas en el centrode la sección son:

Md 300 kN⋅ m⋅=

Nd 250. kN⋅=


dp rmsup=

signo de los esfuerzosCálculo de la armadura

Las fórmulas utilizan las cargas referidas a la armadura de tracción:

excenoMdNd

= exceno 1.2 m=

excen excenod dp−

2+= excen 1.42 m= d 0.47 m=

la excentricidad es mayor que d

μNd excen⋅

b d2⋅ fcd⋅

= μ 0.321=

νNd

b d⋅ fcd⋅= ν 0.106=

δpdpd

=δp 0.064=

Con μ> 0.252 :

ωpμ 0.252−

1 δp−=

ωp 0.074=

ω ωp 0.31+ ν−= ω 0.278=

Atrac ω b⋅ d⋅fcdfyd⋅= Atrac 15.013 cm2

=

Acomp ωp b⋅ d⋅fcdfyd⋅= Acomp 4.008 cm2

=


Tomando barras de 25 mm de diámetro para la zona de tracción:

φ25 25 mm⋅= areaφφ252

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

π⋅= areaφ 4.909 cm2=

Atracareaφ

3.058=

Con n 3= barras separb rminf 2⋅−

n 1−= separ 12 cm=

Tomando barras de 16 mm de diámetro para la zona de compresión

φ16 16 mm⋅= areaφ.16φ162

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

π⋅= areaφ.16 2.011 cm2=

Acompareaφ.16

1.993=

Con n16 2= barras separ16b rminf 2⋅−

n16 1−= separ16 24 cm=

RECUERDE: PUEDE REALIZAR LA MAYORÍA DE ESTOS CÁLCULOS MÁS FÁCILMENTE CON



ER-FC-02: EJERCICIO DE FLEXIÓN COMPUESTA


Materiales

Hormigón


mm2⋅=



= fcd 16.667N

mm2=

Acero


mm2⋅=



= fyd 434.783N

mm2=



ancho b 0.3 m⋅=

alto h 0.5 m⋅=


inferior rminf 0.03 m⋅=

rmsup 0.03 m⋅=superior


Cargas de cálculo (mayoradas)

Las cargas de cálculo están aplicadas en el centrode la sección son:

Md 100 kN⋅ m⋅=

Nd 200. kN⋅=


dp rmsup=

Cálculo de la armadura signo de los esfuerzos

Las fórmulas utilizan las cargas referidas a la armadura de tracción:

excenoMdNd

= exceno 0.5 m=

excen excenod dp−

2+= excen 0.72 m=

la excentricidad es mayor que d

μNd excen⋅

b d2⋅ fcd⋅

= μ 0.13=

νNd

b d⋅ fcd⋅= ν 0.085=

δpdpd

=δp 0.064=

Con μ< 0.252 :

ω μ1 1.245 μ⋅−

0.983 1.687 μ⋅−⋅ ν−= ω 0.058=

ωp 0.=

Atrac ω b⋅ d⋅fcdfyd⋅= Atrac 3.136 cm2

=

Acomp ωp b⋅ d⋅fcdfyd⋅= Acomp 0 cm2

=




⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2


Atracareaφ

2.773=






ER-FI-01: EJERCICIO DE FISURACIÓN

Constantestodas las acciones son directas β 1.7=

flexión simple k1 0.125=

carga no instantánea k2 0.5=

módulo de deformación longitudinal del acero Es 2.1 105⋅

N

mm2⋅=

Datosárea de acero de la armadura de tracción, por metro As_m 25.1 cm2

⋅=

diámetro de las barra de la armdura a tracciónφ 20 mm⋅=

canto de la sección h 0.5 m⋅=

recubrimiento mecánico del hormigón recMec 4 cm⋅=

fck 25N

mm2⋅=resistencia característica del hormigón

momento para el que se realiza la comprobación(sin mayorar).

Mk 198.6 kN⋅ m⋅=

Obtención de separación de fisuras

d h recMec−= d 0.46 m=

areabarra 3.1416φ

2

4⋅= areabarra 3.142 cm2

=

numbarrasAs_m

areabarra= numbarras 7.99=

separbarras100 cm⋅numbarras

= separbarras 0.125 m=


Distancia entre barras longitudinales a aplicar :

s_15 15 φ⋅= s_15 0.3 m=

s_0 s_15 separbarras s_15>if

separbarras otherwise

=s_0 0.125 m=

Aceficazh4

s_0⋅= Aceficaz 156.454 cm2=

As areabarra= As 3.142 cm2=

ρAs

Aceficaz= ρ 0.02=

A partir del recubrimiento mecánico sacamos el recubrimiento recub recMecφ

2−=

sm 2 recub⋅ 0.2 s_0⋅+ 0.4 k1⋅φ

ρ⋅+= sm 0.135 m=

Momento de fisuración por metro de ancho

Tomando el valor en N

mm2fck_Nmm fck

mm2

N⋅= fck_Nmm 25=

Calculamos la resistencia a tracción del hormigón:

fctm 0.303

fck_Nmm2

⋅N

mm2⋅= fctm 2.565

N

mm2=

Para el momento de fisuración tomamos la inercia de la sección rectangular de hormigón(aproximación):

Irect112

h3⋅ 1⋅ m⋅= Mfis

fctm Irect⋅

h

2

= Mfis 106.873 kN m⋅=

Tensión de la armadura en la hipótesis de sección fisurada:

σsMk

0.8 d⋅ As_m⋅= σs 215.01

N

mm2=

Tensión de la armadura en el momento de la fisuración:

σsrMfis

0.8 d⋅ As_m⋅= σsr 115.704

N

mm2=


Alargamientos

ε_aux1 0.4σ s

Es⋅= ε_aux1 4.095 10 4−

×=

ε_aux2σ s

Es1 k2

σ sr

σs

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

⋅−⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅=ε_aux2 8.756 10 4−

×=

ε_sm if ε_aux2 ε_aux1< ε_aux1, ε_aux2,( )= ε_sm 8.756 10 4−×=

Abertura característica de la fisura

Wk β sm⋅ ε_sm⋅= Wk 0.201 mm=




Materiales

Hormigón


mm2⋅=



= fcd 20N

mm2=

Acero


mm2⋅=



= fyd 347.826N

mm2=

ER-FS-01: EJERCICIO DE FLEXIÓN SIMPLE



ancho b 0.3 m⋅=

alto h 0.5 m⋅=



rmsup 5 cm⋅=superior



Md 175 kN⋅ m⋅=

Nd 0. kN⋅=


signo de los esfuerzos

Calculamos el momento mínimo que nos indicará el tipo de formulación a aplicar.

Mmin 0.252 b⋅ d2⋅ fcd⋅= Mmin 306.18 kN m⋅=

El momento de cálculo es menor que el momento mínimo, por lo que no es necesaria laarmadura en la zona comprimida. Para obtener la armadura a tracción utilizamos lasecuaciones de equilibrio

y d 1 1Md

0.425 b⋅ d2⋅ fcd⋅

−−⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅= y 0.084 m=

Atrac 0.85 b⋅ y⋅fcdfyd⋅= Atrac 12.333 cm2

=



⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2


Atracareaφ

2.513=







Materiales

Hormigón


mm2⋅=



= fcd 16.667N

mm2=

Acero


mm2⋅=



= fyd 434.783N

mm2=

ER-FS-02: EJERCICIO RESUELTO DE FLEXIÓN SIMPLE



ancho b 0.5 m⋅=

alto h 0.5 m⋅=



rmsup 5 cm⋅=superior



Md 450 kN⋅ m⋅=

Nd 0. kN⋅=


dp rmsup=

signo de los esfuerzos

Calculamos el momento mínimo que nos indicará el tipo de formulación a aplicar.

Mmin 0.252 b⋅ d2⋅ fcd⋅= Mmin 425.25 kN m⋅=

El momento de cálculo es mayor que el momento mínimo, por lo que si es necesaria laarmadura en la zona comprimida. Para obtener la armadura a tracción utilizamos lasfórmulas:

AcompMd Mmin−

d dp−

1fyd⋅= Acomp 1.423 cm2

=

Atrac0.306 b⋅ d⋅ fcd⋅

fydAcomp+= Atrac 27.816 cm2

=

En este caso, la armadura obtenida a tracción es muy elevada para la sección de hormigón ysería conveniente cambiar las dimensiones de la sección.




ER-HT-01: Ejercicio de huella de tensiones

Datos

largo 1 m⋅=

ancho 1.5 m⋅=

Mx 15 kN⋅ m⋅=

My 10 kN⋅ m⋅=

Fuerza 100 kN⋅=

Utilizando el gráfico de Teng

elargoMy

Fuerza=

elargolargo

0.1= eanchoMx

Fuerza=

eanchoancho

0.1=


Estamos en CASO II

coef 2.2= σ tmax coefFuerza

ancho largo⋅⋅= σ tmax 146.667

kN

m2=

Mediante el programa de cálculo de www.areadecalculo.com obtenemos:


ER-HT-02: Ejercicio de huella de tensionesDatos

largo 1 m⋅=

ancho 2 m⋅=

Mx 40 kN⋅ m⋅=

My 15 kN⋅ m⋅=

Fuerza 100 kN⋅=

Utilizando el gráfico de Teng

elargoMy

Fuerza=

elargolargo

0.15= eanchoMx

Fuerza=

eanchoancho

0.2=

Estamos en CASO II

coef 3.5= σ tmax coefFuerza

ancho largo⋅⋅= σ tmax 175

kN

m2=


Mediante el programa de cálculo de www.areadecalculo.com obtenemos:


Viga de hormigón bi-apoyada

Vamos a calcular los esfuerzos y la armadura necesaria en una viga de hormigón en los casos d

Geometría y materiales

Luz luz 8 m⋅=

Viga 60x40 vigalto 60 cm⋅= vigancho 40 cm⋅=

Hormigónhormipp 24.5

kN

m3⋅=

Cargas

Puntual p 40 kN⋅=

Posición en % posic 25=

a luzposic100.

⋅= a 2 m= b luz a−= b 6 m=

Distribuida pdist 4.5kNm

⋅=

Peso propio pp hormipp vigalto⋅ vigancho⋅= pp 5.88kNm

=


Esfuerzos viga bi-apoyada

Mayoramos los esfuerzos multiplicándolos po 1.5 (ojo, es una simplificación que puede estardel lado de la inseguridad si vienen cargas favorables). No se considera el peso propio de laviga.

Sección de estudio en xluz2

=

Carga ponderada γd 1.5= pd p γd⋅= ppd pp γd⋅= pdist.d pdist γd⋅=

Momento en el centro de la viga

Mpdpd a⋅ x⋅

luz= Mpd 60 kN m⋅=

Mppdppd luz⋅ x⋅

2 luz⋅luz x−( )⋅= Mppd 70.56 kN m⋅=

Mdistdpdist.d luz⋅ x⋅

2 luz⋅luz x−( )⋅= Mdistd 54 kN m⋅=

Md Mpd Mppd+ Mdistd+( )= Md 184.56 kN m⋅=

Cortante en el centro de la viga

Vpdpd a⋅

luz

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

= Vpd 15 kN=

Vppdppd luz⋅

2luz 2 x⋅−

luz⋅= Vppd 0 N=

Vdistdpdist.d luz⋅

2luz 2 x⋅−

luz⋅= Vdistd 0 N=

Vd Vpd Vppd+ Vdistd+= Vd 15 kN=


Armadura necesaria

Utilizando las fórmulas para flexión simple, con un hormigón HA-30, un acero B-500S y un recubrimiento mecánico de 5 cm, para Md obtenemos la armadura a tracción en la seccióncentral:




Viga de hormigón bi-empotrada

El mismo problema que en el apartado anterior pero con la viga empotrada en sus dosextremos.

Esfuerzos en el apoyo izquierdo (Miz)Mayoramos los esfuerzos multiplicándolos po 1.5 (ojo, es una simplificación que puede estardel lado de la inseguridad si vienen cargas favorables). No se considera el peso propio de laviga.

Sección de estudio en x=0

Momento

Mizpdpd a⋅ b2

⋅

luz2= Mizpd 67.5 kN m⋅=

Mizppdppd luz2

⋅

12= Mizppd 47.04 kN m⋅=

Mizdist.dpdist.d luz2

⋅

12= Mizdist.d 36 kN m⋅=

Mizd Mizpd Mizppd+ Mizdist.d+= Mizd 150.54 kN m⋅=

Armadura necesariaEn las mismas condiciones que el ejercicio anterior.


ER-ZF-01: EJERCICIO DE ZAPATA FLEXIBLEEn este ejercicio vamos a dimensionar la zapata para unas cargas y un terreno dado.Partimos de un prediseño y de unos materiales y comprobamos si son adecuados.Solo se considerarán esfuerzos en una dirección.

Materiales

Hormigón


mm2⋅=



= fcd 20N

mm2=

Acero


mm2⋅=



= fyd 434.783N

mm2=

Densidades

hormidensi 2500kg

m3⋅= terrenodensi 1800

kg

m3⋅=

como valor de la aceleraciónde la gravedad tomamos

graved 9.8m

s2⋅=

Dimensiones de la zapata

Partimos de un pre-dimensionamiento de la zapata, deuna pilastra y de un terreno dado.

zapatalargo 2 m⋅= zapataancho 1.5 m⋅= zapataalto 0.4 m⋅=

pilalargo 0.25 m⋅= pilaancho .25 m⋅= pilaalto 0.4 m⋅=

recub 5 cm⋅=vuelo

zapatalargo pilalargo−

4=

vuelo 0.438 m= > zapataalto => FLEXIBLE


Consideramos que el terreno que cubre la zapata se mantendráa lo largo de la vida de la zapata. terrenoalto 0.4 m⋅=

Calculamos los volúmenes.

zapatavol zapatalargo zapataancho⋅ zapataalto⋅= zapatavol 1.2m3=

pilavol pilalargo pilaancho⋅ pilaalto⋅= pilavol 25 L=

terrenovol zapatalargo zapataancho⋅ pilalargo pilaancho⋅−( ) terrenoalto⋅= terrenovol 1.175 m3=

Calculamos los pesos.

zapatapeso hormidensi zapatavol⋅ graved⋅= zapatapeso 29.4 kN=

pilapeso hormidensi pilavol⋅ graved⋅= pilapeso 0.613 kN=

terrenopeso terrenodensi terrenovol⋅ graved⋅= terrenopeso 20.727 kN=

Calculamos el peso del conjunto sin cargas exteriores aplicadas.

pesoSinCarga zapatapeso pilapeso+ terrenopeso+= pesoSinCarga 50.74 kN=

Acciones externas

Como ejemplo, solo se consideran una acciones externas: la desobrecarga. Las cargas externas de peso propio son cero.

sobre carga SCverti 300 kN⋅= SCmom 100 kN⋅ m⋅= SChoriz 30 kN⋅=

peso propio PPverti 0 kN⋅= PPmom 0 kN⋅ m⋅= PPhoriz 0. kN⋅=

Hipótesis para el equilibrio

Consideraremos dos hipótesis para los estados de equilibrio, una con sobrecarga y pesopropio y otra solo con el peso propio. Para el equilibrio, no mayoramos ninguna carga.

cargahoriz1 PPhoriz SChoriz+= cargamom1 PPmom SCmom+=hipóteis 1vertiTotal1 pesoSinCarga PPverti+ SCverti+= vertiTotal1 350.74 kN=

hipóteis 2 cargahoriz2 PPhoriz= cargamom2 PPmom=

vertiTotal2 pesoSinCarga PPverti+= vertiTotal2 50.74 kN=


Coeficiente de seguridad al vuelco

El momento de vuelco lo calculamos en la parte inferior externa de la zapata para todas lashipótesis.

hipótesis 1

momvuelco1 zapataalto pilaalto+( ) cargahoriz1⋅ cargamom1+= momvuelco1 124 kN m⋅=

γvuelco1

vertiTotal1zapatalargo

2⋅

momvuelco1= γvuelco1 2.829=

hipótesis 2

No hay fuerzas volcadoras en esta hipótesis.

Cálculo de las tensiones sobre el terrenoConsideramos una distribución lineal y triangular de las tensiones sobre el terreno. Haycódigos que consideran una distribución rectangular de las tensiones, pero no es nuestrocaso.hipótesis 1

excen1momvuelco1vertiTotal1

= excen1 0.354 m=zapatalargo

60.333 m=

En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es mayor que1/6 de la longitud de la zapata, por lo que hay "despegue". La fórmula a utilizar es:

σ1d2 vertiTotal1⋅

3zapatalargo

2excen1−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

1zapataancho⋅=

σ1d 241.135kN

m2=

x1zapatalargo

2excen1−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3⋅= x1 1.939 m=

hipótesis 2No se estudia, es obviamente menor que la hipótesis 1.


Cálculo de la armadura a flexión

Los coeficientes de ponderación de cargas son los correspondientes a nivel de controlnormal.La hipótesis considerada es la de peso propio mas sobrecarga.

cargaDhoriz1 1.5PPhoriz 1.6SChoriz+=

cargaDmom1 1.5 PPmom⋅ 1.6SCmom+=

Primero aplicamos todas las cargas yobtenemos la armadura inferior. Luegoaplicamos solo las cargas uniformementerepartidas (peso propio de la zapata y delterreno) y obtenemos la armadura que serestará de la anterior.

Para el cálculo de las reacciones, obtenemos primero las leyes de tensiones como en elapartado anterior (pero con las cargas mayoradas).

vertiTotalD1 1.5pesoSinCarga 1.5 PPverti⋅+ 1.6 SCverti⋅+= vertiTotalD1 556.109 kN=

momTotalD1 zapataalto pilaalto+( ) cargaDhoriz1⋅ cargaDmom1+= momTotalD1 198.4 kN m⋅=

excenD1momTotalD1vertiTotalD1

= excenD1 0.357 m= mayor que zapatalargo6

0.333 m=

σD1d2 vertiTotalD1⋅

3zapatalargo

2excenD1−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

1zapataancho⋅=

σD1d 384.244kN

m2=

σD1i 0.=xD1zapatalargo

2excenD1−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3⋅=

xD1 1.93 m=

distas1zapatalargo

2

pilalargo2

pilalargo .15⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−=

distas1 0.913 m=

σs1σD1d xD1 distas1−( )⋅

xD1= σs1 202.547

kN

m2=


A partir de las leyes de tensiones obtenemos la tensión en la sección de cálculo de la zapataflexible y los esfuerzos en dicha sección.

adt12

σD1d σs1−( )⋅ distas1⋅= adt 82.9kNm

= bdt13

distas1⋅= bdt 0.304 m=

bdc12

distas1⋅= bdc 0.456 m=adc σs1 distas1⋅= adc 184.824kNm

=

Rd adt adc+( ) zapataancho⋅= Rd 401.585 kN=

bd distas1adt bdt⋅ adc bdc⋅+

adt adc+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−= bd 0.503 m=

El momento en la sección de cálculo es

Mdt Rd bd⋅= Mdt 202.135 kN m⋅=

Para el cálculo de "d" suponemos un diámetro incial de armadura inferior de φ16:

φ 16 mm⋅= d zapataalto recub−φ

2−= d 0.342 m=

b zapataancho=

Utilizando las f´romulas para el cálculo de flexión simple:

y d 1 1Mdt

0.425 b⋅ d2⋅ fcd⋅

−−⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅= At 0.85 b⋅ y⋅fcdfyd⋅= At 14.089 cm2

=


Aunque en este caso los pesos de la zapata y el terreno a restar son pequeños respectoal total, los restamos igualmente a modo de ejemplo.

El peso de la pilastra no se incluye ya que no se trata de una carga uniformemente distribuidasobre la zapata. Le aplicamos el mismo coeficiente de seguridad que en la hipótesis que combina todas las cargas.

Rpp 1.5 pesoSinCarga pilapeso−( )⋅=

Rpp 75.191 kN=

σrestaRpp

zapatalargo= distas1 0.913 m=

Rresta σresta distas1⋅= Rresta 34.306 kN=

brestadistas1

2= bresta 0.456 m=

Mresta Rresta bresta⋅= Mresta 15.652 kN m⋅=

y d 1 1Mresta

0.425 b⋅ d2⋅ fcd⋅

−−⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅= Aresta 0.85 b⋅ y⋅fcdfyd⋅= Aresta 1.055 cm2

=

Afinal At Aresta−= Afinal 13.033 cm2=

Cuantía geométrica mínima

Tomando la indicada en la EHE para las vigas

cgm2.8

1000zapataalto⋅ zapataancho⋅= cgm 16.8 cm2

=

Cuantía que tomamos al ser mayor que la obtenida anteriormente.

Armado final

Tomando diámetros de φ 16 mm=

areaΦφ

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2π⋅= cgm

areaΦ8.356=

con 9 barras es suficiente. La separación final es:

As1 9 areaΦ⋅= As1 18.096 cm2=

separzapataancho 2 recub⋅− 9 φ⋅−

9 1−= separ 0.157 m=


que cumple

es mayor que 2 cm

es mayor que el diámetro Φ

es mayor que 1.25*tamaño máximo del árido (suponemos un árido máx. de 20 mm)

es menor que 30 cm

Comprobación de cortante

De cálculos anteriorres conocemos:

d 0.342 m= σD1d 384.244kN

m2= xD1 1.93 m=

Procedemos igual que para el cálculo a flexión paraobtener la resultante en la sección de cálculo.

distactzapatalargo

2

pilalargo2

d+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−= distact 0.533 m=

σctσD1d xD1 distact−( )⋅

xD1= σct 278.113

kN

m2= Nota: en el cálculo de

www.areadecalculo.com la distancia"d" se toma igual al canto de lazapata. Es más correcto tomar elcanto útil como se hace aquí,aunque la diferencia de resultadoses muy pequeña.

adt12

σD1d σct−( )⋅ distact⋅= adt 28.284kNm

=

adc σct distact⋅= adc 148.234kNm

=

Rd adt adc+( ) zapataancho⋅= Rd 264.777 kN=

Ahora calculamos la resultante debida al peso propio de la zapata y las tierras para restarlo.

σrestaRpp

zapatalargo= Rresta σresta distact⋅= Rresta 20.038 kN=

Rct Rd Rresta−= Rct 244.739 kN=

El cortante resistido por la sección de la zapata es:

dmmd


mm2

N⋅= fckNmm 30=

Ac zapataancho d⋅= Ac 0.513 m2= ρl.aux

As1Ac

= ρl.aux 3.527 10 3−×=


ρl.aux otherwise

= ρl 3.527 10 3−×= ξ 1

200dmm

+= ξ 1.765=


fcv 0.12 ξ⋅ 100 ρl⋅ fckNmm⋅( )1

3⋅

N

mm2⋅= fcv 0.465

N

mm2=

Vu2 fcv 0.15 0⋅−( ) zapataancho⋅ d⋅= Vu2 238.506 kN=

Por lo tanto, el cortante resistido es menor que el aplicado lo que nos obliga a aumentar elcanto de la zapata.



ER-ZP-01: EJERCICIOS PUNZONAMIENTO EN ZAPATA

En este ejercicio vamos a comprobar si la zapata propuesta soporta el punzonamiento.

Materiales

Hormigón


mm2⋅=



= fcd 20N

mm2=

Acero


mm2⋅=



= fyd 434.783N

mm2=



zapatalargo 2.6 m⋅= zapataancho 2.6 m⋅= zapataalto 0.35 m⋅=

pilalargo 0.4 m⋅= pilaancho .4 m⋅= pilaalto 0.4 m⋅=

Armado a flexión

13 diámetros de φ 16 mm⋅= en ambas direcciones.

areaΦφ

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2π⋅= As1 13 areaΦ⋅= As1 26.138 cm2

=

Cargas

Como ejemplo, solo se consideran una carga externas: la desobrecarga.

sobre carga SCverti 550 kN⋅= SCmom 10 kN⋅ m⋅= SChoriz 30 kN⋅=



Comprobación de punzonamiento

Tomamos como valor del canto útil d 30 cm⋅=

Punzonamiento resistido

dmmd


mm2

N⋅= fckNmm 30=

Ac zapataancho d⋅= Ac 0.78 m2= ρ

As1Ac

=

ξ 1200dmm

+= ξ 1.816=

τrd 0.12 ξ⋅ 100 ρ⋅ fckNmm⋅( )1

3⋅

N

mm2⋅= τrd 470.453

kN

m2=

Punzonamiento actuantePara el cálculo del punzonamiento actuante tomamos solamente las cargas externasverticales. Esta simplificación la podemos hacer ya que el resto de las cargas sonpequeñas y las del peso propio de la zapata no intervienen como acciones para elpunzonamiento.

El perímetro de punzonamiento es:

u1 4 pilalargo2 π⋅ 2⋅ d⋅

4⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

+⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅= u1 5.37 m= Nd 1.6 SCverti⋅ 1.5 PPverti⋅+=

El área total de la base de la zapata es:

atotal zapatalargo zapataancho⋅= atotal 6.76 m2=

El área anterior le restamos el área dentro del perímetro U1:

areau1 pilalargo2

π 2d( )2⋅+ 4 2⋅ d⋅ pilalargo⋅+= areau1 2.251 m2=

La carga total tiene un reacción sobre la zapata que ocupa toda su superficie. La partefuera del perímetro de punzonamiento es la que produce el punzonamiento. Así pues, lafuerza de punzonamiento es:

Fsd Ndatotal areau1−

atotal⋅= por ser soporte interior: β 1.15= Fsdef β Fsd⋅=

τsdFsdefu1 d⋅

= τsd 419.014kN

m2=Fsdef 675.02 kN=




ER-ZR-01: EJERCICIO RESUELTO DE ZAPATA RÍGIDA

En este ejercicio vamos a dimensionar la zapata para unas cargas y un terreno dado.Partimos de un prediseño y de unos materiales y comprobamos si son adecuados.Solo se considerarán esfuerzos en una dirección.

Materiales

Hormigón


mm2⋅=



= fcd 16.667N

mm2=

Acero


mm2⋅=



= fyd 434.783N

mm2=

Densidades

hormidensi 2500kg

m3⋅= terrenodensi 1800

kg

m3⋅=

como valor de la aceleraciónde la gravedad tomamos graved 9.8

m

s2⋅=



zapatalargo 2 m⋅= zapataancho 2 m⋅= zapataalto 0.5 m⋅=

pilalargo 0.3 m⋅= pilaancho 0.3 m⋅= pilaalto 0.5 m⋅=

recub 5 cm⋅=vuelo

zapatalargo pilalargo−

4=

vuelo 0.425 m= < zapataalto => RÍGIDA


Consideramos que el terreno que cubre la zapata se mantendráa lo largo de la vida de la zapata. terrenoalto 0.5 m⋅=

Calculamos los volúmenes.

zapatavol zapatalargo zapataancho⋅ zapataalto⋅= zapatavol 2 m3=

pilavol pilalargo pilaancho⋅ pilaalto⋅= pilavol 0.045 m3=

terrenovol zapatalargo zapataancho⋅ pilalargo pilaancho⋅−( ) terrenoalto⋅= terrenovol 1.955 m3=

Calculamos los pesos.

zapatapeso hormidensi zapatavol⋅ graved⋅= zapatapeso 49 kN=

pilapeso hormidensi pilavol⋅ graved⋅= pilapeso 1.103 kN=

terrenopeso terrenodensi terrenovol⋅ graved⋅= terrenopeso 34.486 kN=

Calculamos el peso del conjunto sin cargas exteriores aplicadas.

pesoSinCarga zapatapeso pilapeso+ terrenopeso+= pesoSinCarga 84.589 kN=

Acciones externas

Como ejemplo, solo se consideran dos acciones externas: una de peso propio de laestructura a cimentar, y otra de sobrecarga.


sobre carga SCverti 100. kN⋅= SCmom 100 kN⋅ m⋅= SChoriz 200 kN⋅=

Hipótesis para el equilibrio

Consideraremos dos hipótesis para los estados de equilibrio, una con sobrecarga y pesopropio y otra solo con el peso propio. Para el equilibrio, no mayoramos ninguna carga.

cargahoriz1 PPhoriz SChoriz+= cargamom1 PPmom SCmom+=hipóteis 1vertiTotal1 pesoSinCarga PPverti+ SCverti+= vertiTotal1 984.589 kN=

hipóteis 2 cargahoriz2 PPhoriz= cargamom2 PPmom=

vertiTotal2 pesoSinCarga PPverti+= vertiTotal2 884.589 kN=


Coeficiente de seguridad al vuelco

El momento de vuelco lo calculamos en la parte inferior externa de la zapata para todas lashipótesis.

hipótesis 1


γvuelco1


2⋅


hipótesis 2


γvuelco2


2⋅


Como era de esperar, la condición con sobrecarga es mas restrictiva. El mínimocoeficiente es alto (mayor que 2.0). Se podrían bajar las dimensiones de la zapata peroantes vamos a ver las tensiones máximas sobre el terreno.


Cálculo de las tensiones sobre el terreno

Consideramos una distribución lineal y triangular de las tensiones sobre el terreno.Hay códigos que consideran una distribución rectangular de las tensiones, pero no esnuestro caso.

hipótesis 1



60.333 m=

En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es mayorque 1/6 de la longitud de la zapata, por lo que hay "despegue". La fórmula a utilizar es:

σ1d2 vertiTotal1⋅

3zapatalargo

2excen1−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

1zapataancho⋅=

σ1d 509.209kN

m2= σ1i 0.=

x1zapatalargo

2excen1−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3⋅= x1 1.934 m=

El porcentaje de superficie en contacto con el terreno es

porcen1x1

zapatalargo100⋅= porcen1 96.678=

hipótesis 2



60.333 m=

En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es menorque 1/6 de la longitud de la zapata, por lo que no hay "despegue". La fórmula a utilizares:

σ2dvertiTotal2zapatalargo

6momvuelco2

zapatalargo2

⋅+⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1zapataancho⋅=

σ2ivertiTotal2zapatalargo

6momvuelco2

zapatalargo2

⋅−⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1zapataancho⋅=


σ2d 258.647kN

m2= σ2i 183.647

kN

m2=

La hipótesis 1 es claramente la que produce mayores tensiones en el terreno. En estecaso, algo elevadas para lo que suele ser habitual, aunue vamos a suponer quedisponemos de un buen terreno con una tensión máxima admisible mayor que la mayorobtenida.El despegue es muy pequeño, no llega al 4%, y lejos del 25% que consideramos máximoadmisible.

Cálculo de la armadura a flexión

Los coeficientes de mayoración de cargas son los correspondientes a nivel de controlnormal.La hipótesis considerada es la de peso propio mas sobrecarga.

cargaDhoriz1 1.5PPhoriz 1.6SChoriz+=

cargaDmom1 1.5 PPmom⋅ 1.6SCmom+=

Primero aplicamos todas las cargas yobtenemos la armadura inferior.Luego aplicamos solo las cargasuniformemente repartidas (pesopropio de la zapata y del terreno) yobtenemos la armadura que serestará de la anterior.

Para el cálculo de las reacciones, obtenemos primero las leyes de tensiones como en elapartado anterior (pero con las cargas mayoradas).

vertiTotalD1 1.5pesoSinCarga 1.5 PPverti⋅+ 1.6 SCverti⋅+= vertiTotalD1 1.487 103× kN=

momTotalD1 zapataalto pilaalto+( ) cargaDhoriz1⋅ cargaDmom1+= momTotalD1 555 kN m⋅=

excenD1momTotalD1vertiTotalD1

= excenD1 0.373 m=


σD1d2 vertiTotalD1⋅

3zapatalargo

2excenD1−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

1zapataancho⋅=

σD1d 790.808kN

m2=

σD1i 0.=

xD1zapatalargo

2excenD1−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3⋅= xD1 1.88 m=

ladoi xD1zapatalargo

2−= ladoi 0.88 m=

σmσD1d ladoi⋅

xD1= σm 370.212

kN

m2=

A partir de las leyes de tensiones obtenemos las fuerzas resultantes en cada mitad de labase de la zapata. Este cálculo es algo engorroso: partiremos de las áreas de las leyes ysus centros de gravedad para obtener las resultantes y sus puntos de aplicación.

adt12

σD1d σm−( )⋅zapatalargo

2⋅= bdt

13

zapatalargo2

⋅= bdt 0.333 m=

bdc12

zapatalargo2

⋅= bdc 0.5 m=adc σmzapatalargo

2⋅=

Rd adt adc+( ) zapataancho⋅= Rd 1.161 106× N=

bdzapatalargo

2

adt bdt⋅ adc bdc⋅+

adt adc+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−= bd 0.56 m=

Para el cálculo de "d" suponemos un diámetro incial de armadura inferior de φ16:

diam 16 mm⋅=

d zapataalto recub−diam

2−= d 0.442 m=

A partir de las fórmulas de la EHE para zapatas rígidas obtenemos el área de acero necesario.

TdRd

0.85 d⋅bd 0.25 pilalargo⋅−( )⋅= Td 1.5 103

× kN=

AstTd

400N

mm2⋅

= Ast 37.499 cm2=


Aunque en este caso los pesos de la zapata y el terreno a restar son pequeños respectoal total, los restamos igualmente a modo de ejemplo.

El peso de la pilastra no se incluye ya que no se trata de una carga uniformemente distribuidasobre la zapata. Le aplicamos el mismo coeficiente de seguridad que en la hipótesis que combina todas las cargas.

Rresta 1.5pesoSinCarga pilapeso−

2⋅=

Rresta 62.615 kN=

bdr12

zapatalargo2

⋅= bdr 0.5 m=

TdrRresta0.85 d⋅

bdr 0.25 pilalargo⋅−( )⋅= Tdr 70.831 kN=

AsrTdr

400N

mm2⋅

= Asr 1.771 cm2=

El área de acero final necesario es: As Ast Asr−= As 35.728 cm2=

Cuantía geométrica mínima

Tomando la indicada en la EHE para las vigas

cgm2.8

1000zapataalto⋅ zapataancho⋅= cgm 28 cm2

=

Cuantía menor que la obtenida anteriormente.


Armado final

Tomando diámetros de φ 20 mm⋅=

areaΦφ

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2π⋅= As

areaΦ11.373=

con 12 barras es suficiente. La separación final es:

As1 12 areaΦ⋅= As1 37.699 cm2=

separzapataancho 2 recub⋅− 12 φ⋅−

12 1−= separ 15.091 cm=

que cumple

es mayor que 2 cm

es mayor que el diámetro Φ

es mayor que 1.25*tamaño máximo del árido (suponemos un árido máx. de 20 mm)

es menor que 30 cm


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