Topik 5 Beberapa Idea Utama Matematik Berkaitan Dengan Kalkulus

MTE3143 APLIKASI MATEMATIK

161

TOPIK 5 IDEA UTAMA MATEMATIK BERKAITAN KALKULUS

5.1 Sinopsis Topik 5 dalam kursus ini bertujuan mengkaji penghampiran π dan penentuan

luas bulatan dengan menggunakan cara Archimedes. Selain itu, empat

paradoks utama Zeno yang meliputi paradoks dikotomi, paradoks Achilles

dan kura-kura, paradoks anak panah, dan paradoks stadium juga diterokai.

Akhir sekali, lengkung kubik yang diklasifikasikan oleh Newton dikaji.

5.2 Hasil Pembelajaran Pada akhir tajuk ini, pelajar dijangka dapat:

menganggar nilai π menggunakan cara Archimedes;

menentukan luas bulatan menggunakan cara Archimedes;

menerangkan dan menyangkal paradoks Zeno; dan

menjelaskan jenis-jenis lengkung kubik Newton.

5.3 Kerangka Tajuk

Idea matematik berkaitan kalkulus

Penentuan luas

bulatan Archimedes

Paradoks Zeno Penghampiran π Archimedes

Lengkung kubik

Newton


162

5.4 Pendahuluan

Sekitar tahun 250 SM, ahli matematik Yunani Archimedes mengira nisbah

ukur lilit bulatan melalui diameternya. Suatu penentuan tepat ini, yang pada

hari ini dikenali sebagai nisbah telah lama menarik minat minat orang-

orang Greek purba untuk mencari perkadaran matematik yang tepat dalam

seni bina, muzik dan seni-seni yang lain. Penghampiran (pi) telah

diketahui selama lebih daripada 1000 tahun. Nilai Archimedes, bukan

sahaja tepat malah ia adalah satu teori yang pada asalnya dan bukan

pengiraan. Maka, nilai pada hari ini adalah asas daripada penghampiran

daripada teori Archimedes.

Archimedes

Archimedes of Syracuse (Greek: Ἀρχιμήδης; c. 287 SM – c. 212 SM) adalah

seorang ahli matematik, ahli fizik, jurutera dan sebagainya. Walaupun

tidak banyak yang diketahui tentang tentang beliau, beliau dianggap

sebagai salah seorang saintis yang terkemuka di zamannya. Antara karya-

karyanya yang terkenal dalam fizik ialah berkenaan prinsip hidrostatik, statik

dan penerangan prinip tuas dan takal. Beliau diberi pujian dalam

menghasilkan inovatif kepada mesin-mesin dan sebagainya. Dan antara

salah satu hasil karya beliau ialah teori pengampiran kepada .

Archimedes of Syracuse


163

5.4.1 Apa itu ?

Pi ialah pemalar matematik yang merupakan nibah kepada lilitan

b ulatan dengan garis pusat (diameter), lebih kurang sama dengan

3.14159. Pi diwakilkan dengan huruf greek iaitu sejak pertengahan abad

ke 18 dengan sebutan (/paɪ/).

Kegunaan

digunakan dalam beberapa rumus matematik seperti lilitan satu bulatan

jejari (C= 2 r), luas suatu bulatan berjejari r (A = r2), luas

permukaan sesuatu sfera berjejari (A = 4 r2) dan isipadu suatu sfera

berjejari r .

� �

5.4.2 Penghampiran oleh Archimedes

Kaedah Archimedes tentang penghampiran pi yang melibatkan

perimeter dan poligon dibataskan dengan ukur lilitan bulatan yang

diberikan. Oleh itu, daripada mengukur poligon pada suatu-suatu masa,

Archimedes menggunakan Teori Euclid untuk membentuk prosedur

numerikal untuk mengira perimeter bagi ukur liitan poligon sisi 2n, apabila

perimeter bagi sisi poligon diketahui.

Archimedes bermula dengan mengukur perimeter heksagon. Dia

menggunakan formula untuk mengira perimeter bagi poligon yang

mempunyai sisi 12, 24, 48 dan akhirnya 96. Dia kemudiannya mengulang

proses menggunakan poligon yang lain (selepas membangunkan

formula yang setara). Keunikan prosedur Archimedes ini ialah dia telah

menyingkirkan geometri dan menukarkannya kepada prosedur

aritmetik, sesuatu yang mungkin membuatkan Plato terkejut. Tapi ia

sebenarnya adalah amalan yang biasa dilakukan di timur terutamanya

sarjana China.


164

Teori Kunci (The Key Theorem)

Teori kunci yang digunakan oleh Archimedes ialah dalam bab ‘Proposition 3’

dalam buku VI Euclid’s Elements. Teorinya ialah seperti berikut:

Jika sudut bagi segi tiga dibahagi dua sama, dan

garis lurusnya memotong sudut tapaknya juga,

maka segmen tapak tersebut akan mempunyai

nisbah yang sama seperti baki sisi segi tiga

tersebut. Dan jika segmen tapaknya mempunyai

nisbah yang sama seperti baki sisi segi tiga, garis lurus

yang bersambung dengan bahagian bucu akan

membahagi sudut segi tiga kepada dua.

Kaedah Archimedes

Archimedes membuat penisbahan dengan menggunakan poligon yang

dilukis di dalam (inscribed polygon) dan poligon yang dilukis di luar

bulatan (circumscribe polygon).

Poligon luaran Poligon dalaman


165

Pertamanya, Archimedes mengatakan bahawa kawasan luar bulatan bulatan

adalah lebih besar daripada kawasan poligon yang dilakarkan di dalam.

Dalam rajah di bawah, heksagon sekata telah dilakarkan di dalam.

Untuk mencari nilai pi, archimedes mengambil poligon bersisi enam

(heksagon sekata) sebagai eksperimen awal. Heksagon awal terdiri

daripada enam buah segi tiga sama sisi.

Maka, kita keluarkan satu bahagian daripada segitiga tersebut.


166

Daripada rajah di atas, kita dapat mengetahui bahawa OCB ialah segitiga

bersudut tegak. Kita juga tahu bahawa OB = OD = BD kerana segi tga OBD

ialah segi tiga sama kaki. BD kita wakilkan sebagai L. Jadi, BC = CD iaitu

Katakan Li ialah poligon dalaman (inscribed polygon), Maka, ungkapannya

boleh jadi seperti berikut:

Seterusnya, Archimedes turut melakar heksagon di luar bulatan

(circumscribed polygon) dan membuat pengiraan luas heksagon tersebut.

Sama juga seperti poligon dalaman, kita juga akan mengeluarkan satu

bahagian daripada poligon luaran.

Kemudian, kita katakan pula Lc sebagai poligon luaran (circumscribed

polygon), maka ungkapannya seperti berikut:

�


167

Maka, daripada kedua-dua persamaan ini, kita dapat menyimpulkan bahawa

Di mana,

N = bilangan sisi polygon

Setelah mendapatkan formula ini, kita akan mengambil heksagon sebagai

poligon percubaan yang pertama.

Berdasarkan hasil yang diperolehi dengan menggunakan poligon heksagon,

maka kita bahawa nilai ialah di antara 3.0 hingga 3.464. Untuk

meneruskan pencarian Archimedes menggunakan poligon dengan sisi yang

lebih banyak iaitu poligon bersisi 12, 24, 48 dan 96. Kesemua dapatan

direkodkan dalam jadual di bawah.

N

Purata

6 3.000 3.464 3.232

12 3.106 3.215 3.161

24 3.133 3.160 3.146

48 3.139 3.146 3.143

96 3.141 3.143 3.142


168

Nilai berdasarkan poligon yang mempunyai sisi sebanyak 96 memberikan

nilai 3.142 yang mana nilai ini adalah sangat tepat dengan nilai yang

digunakan pada hari ini.

5.4.3 Aplikasi (pi) dalam Konteks Sebenar

Piramid Besar Giza atau

dikenali sebagai Piramid Khufu

ialah yang tertua dan terbesar

di antara 3 piramid di Giza,

Mesir. Piramid ini juga

tersenarai dalam Tujuh

Keajaiban Dunia yang masih

bertahan hingga kini. Piramid

Giza ini merupakan struktur

binaan yang paling tinggi di

dunia pernah dibina oleh

manusia dalam 3800 tahun.

Ramai yang tidak tahu bahawa pembinaan piramid melibatkan penggunaan

di dalamnya. Piramid dibina dalam dimensi yang sangat istimewa.

Anggaran dimensi bagi piramid dikira oleh Petrie mengikut tinggalan batu

dalam tanah untuk batu-batu yang masih kekal di bahagian atas piramid

dengan sudut kecerunannya 51° 52' ± 2'. Penglibatan nilai pi dalam

dimensi utama menunjukkan ketepatan yang hampir kepada nilai pi.

Satu lagi kebetulannya ialah hubungan di antara tinggi segi tiga piramid

dengan separuh tinggi bagi sisi piramid, kerana ia wujud sebagai

Golden Section atau nisbah tertentu yang yang menyamai perkadaran, F =

(sqr(5)+1)/2 = 1.618 = 356:220. Nisbah ini 356:220 = 89:55 juga terkandung

dalam Siri Fibonaci 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...


169

Pi juga digunakan ketika pembinaan terowong dijalankan. Keluasan dan

kestabilan lengkung yang ingin dibina haruslah dikira dengan teliti agar

tiada sebarang permasalahan berlaku. Ketinggian terowong yang berada di

dalam kawasan Genting Sempah yang mempunyai ukuran jejari sepanjang

26 kaki atau 8.7meter. Oleh itu, jurutera yang membina lakaran tersebut

harus mengaplikasikan penggunaan dalam menentukan jumlah

keluasan terowong yang diperlukan bagi pembinaan terowong ini. Nilai pi

digunakan bagi mendapatkan ukuran lengkung yang tepat bagi memastikan

kesemua kenderaan dapat melaluinya dalam keadaan selamat.

Terowong


170

Selain itu, penggunaan juga dapat diaplikasikan dalam bidang

pemakanan iaitu semasa pembuatan pizza. Contohnya, pada jamuan

menyambut Hari Christmas yang lalu, seorang pembuat pizza telah

mendapat tempahan sebanyak 50 keping pizza. Pelanggannya meminta

pembuat pizza itu meletakkan keju pada sekeliling pizza yang ditempah.

Oleh itu, dalam menentukan bilangan keju yang diperlukan untuk

tempahan tersebut, pembuat pizza itu perlu mengetahui ukur lilit bagi

sekeping pizza. Kita anggarkan sekeping pizza yang berdiameter 10 cm dan

setiap satu daripadanya memerlukan 2 keping keju. Oleh itu, pembuat pizza

tersebut harus mengaplikasikan penggunaan dalam menentukan jumlah

ukur lilit bagi kesemua pizza dan berapakah bilangan keju yang

diperlukan bagi memuaskan hati pelanggannya.

Pizza

Nilai juga banyak diaplikasikan dalam bidang sukan. Ia digunakan

semasa penyediaan ukuran padang dan gelanggang dilakukan. Ia bukan

sahaja digunakan pada peringkat antarabangsa sahaja bahkan juga dalam

pertandingan yang kecil seperti di peringkat sekolah. Antara contoh

penggunaan nilai dalam bidang sukan ialah semasa menyediakan

ukuran bulatan tengah bagi gelanggang bola jaring. Ukuran piawai

diameter bagi bulatan tengah tersebut ialah 96 cm. Dengan menggunakan

nilai kita dapat menentukan ukur lilit bulatan tersebut untuk membuat

lakaran pada gelanggang bola jaring. Tambahan lagi, bagi melakar

kawasan penjaga gol untuk kedua-dua pihak juga kita perlu menggunakan

nilai kerana kawasan tersebut menggunakan bentuk semi bulatan.


171

Gelanggang bola jaring

Selain diaplikasikan untuk melakar gelanggang bola jaring, nilai juga

dapat diaplikasikan untuk gelanggang lain seperti bola keranjang, bola

sepak dan sepak takraw. Ia juga diaplikasikan dalam menentukan ukur

lilit sebiji bola dalam pertandingan bola sepak. Selain itu, dalam

menyediakan lensa kamera juga, kita akan mengaplikasikan nilai .�

Sebagai contoh, dalam pembuatan lensa kamera Nikon kita perlu

mengetahui ukur lilit lensa tersebut dengan menggunakan diameter piawai

yang telah ditetapkan iaitu 4.6 mm – 23.0 mm. Dengan mengetahui ukur lilit

lensa kamera, pembuat kamera tersebut dapat menentukan saiz

kamera yang sesuai digunakan,

4.6 – 23.0 mm

Lensa kamera


172

Dalam bidang pembinaan dan automobil pula, nilai banyak

diaplikasikan untuk menentukan saiz sport rim kereta, panjang jejari tayar

basikal dan saiz getah paip. Diameter paip yang biasa digunakan di

rumah ialah 13 mm, 20 mm dan 25 mm. Oleh itu, pengeluar getah paip perlu

mengambil kira diameter paip yang biasa digunakan di rumah bagi

menghasilkan getah paip yang sesuai dengan setiap jenis paip.

Contohnya, pengeluar getah paip ingin menghasilkan getah paip untuk

paip yang berdiameter 13 mm. Oleh itu, pengeluar getah paip perlu

mengetahui ukur lilit paip tersebut menggunakan nilai . �Maka, diameter

getah paip yang perlu dihasilkan ialah 13 mm.

Paip dan getah paip

Di samping penghasilan getah paip, kita juga dapat melihat pengguna

dalam menentukan panjang jejari yang diperlukan untuk menghasilkan tayar

basikal yang mampu menampung berat penunggang. Sebagai contoh,

sebuah tayar basikal mempunyai ukur lilit sepanjang 18 inci. Seorang

pembuat tayar ingin menghasilkan jejari-jejari besi untuk melengkapkan

sebuah tayar basikal tersebut. Oleh itu, pembuat tayar itu perlu

menentukan panjang satu jejari besi menggunakan nilai . Dengan

menggunakan ukur lilit tayar basikal tersebut, maka panjang satu jejari besi

itu ialah 18 /2 inci.


173

Tayar basikal dan jejarinya

Aplikasi nilai juga boleh didapati dalam menghasilkan sebuah kubah

masjid. Sebagai contoh, pembinaan masjid Tooba di Karachi, Sindh,

Pakistan adalah masjid ke-18 terbesar di dunia yang menjadi ikon

seni bina moden dan memberangsangkan. Jurutera yang membina kubah

bagi masjid ini, haruslah terlebih dahulu mengetahui ukuran diameter

yang dikehendaki bagi mendapatkan keluasan kubah masjid yang bakal

dibina. Diameter yang telah ditetapkan adalah 65 m (212 kaki). Oleh itu,

jurutera yang membina lakaran tersebut harus mengaplikasikan penggunaan

dalam menentukan jumlah keluasan kubah yang harus dibina bagi

pembinaan masjid ini. Nilai pi digunakan bagi mendapatkan ukuran

lengkung yang tepat.

Kubah masjid


174

5.5 Penentuan Luas Bulatan oleh Archimedes

Masalah menentukan luas bagi bulatan pernah dianggap sebagai satu

cabaran matematik yang hebat. Cabaran-cabaran ini disahut oleh banyak

ahli matematik dari zaman matematik Babylon hinggalah kepada zaman ahli

matematik Greek.

Permasalahan ini diteruskan oleh Archimedes (287-212 SM) dengan

menggunakan kaedah kuasa dua bulatan (squaring of circle). Archimedes

menyimpulkan bahawa luas bulatan merupakan had kepada luas poligon di

dalam bulatan dengan bilangan sisi kepada ketidak terhinggaan (infinity).

5.5.1 Prinsip Asas Archimedes dalam Bulatan

Dalam menghuraikan masalah ini, Archimedes menekankan kepada

beberapa prinsip asas dalam bulatan. Pertama, luas poligon dengan sisi n (n-

gon) yang dilukis di dalam unit bulatan menghampiri suatu nilai iaitu pi ( )

apabila nilai n meningkat.

Luas poligon yang dilukis di dalam bulatan menghampiri luas bulatan

apabila bilangan sisi poligon meningkat. Kemudian, perimeter poligon

semakin menghampiri lilitan bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat.

5.5.2 Penentuan Luas Bulatan

Seperti yang dinyatakan di atas, Archimedes menggunakan kaedah

squaring the circle iaitu kaedah yang mengenalpasti poligon yang menyamai

luas bulatan dengan jejari (r) tertentu. Untuk percubaan pertamanya,

Archimedes menggunakan poligon dalaman segi empat dalam bulatan.

Segi empat sama yang dilukis di dalam (inscribed) bulatan. Ini bermakna segi

empat tersebut adalah sepadan dan bucunya menyentuh bulatan.


175

Berdasarkan rajah di atas, AC ialah diameter kepada bulatan dan panjang AC

ialah 2r. Oleh kerana ABC merupakan segi tiga sama kaki, maka panjang

AB ialah sama dengan BC. Dengan menggunakan AC sebagai hipotenus

(2r), panjang AB dan BC dapat ditentukan seperti berikut:

Jadikan AB = BC = a, maka nilai a dicari dengan menggunakan teori

Phytagoras.

a + a = (2r)2

2a2 = 4r2

a2 = 2r2

a = √2 r

Didapati panjang AB dan BC ialah √2r. Maka, luas segi empat A ialah:

Luas = panjang x lebar

= √2r x √2r

= 2r2

Luas segi empat yang kita dapatkan ialah 2r2. Namun begitu, ianya masih

belum dapat menghampiri luas bulatan yang sebenar. Jadi, Archimedes

menggunakan poligon yang lain dalam percubaan seterusnya. Poligon yang

dipilih ialah poligon sisi 6 ataupun heksagon. Beliau percaya bahawa

percubaan kali ini akan mendapat keputusan yang lebih baik daripada

sebelumnya.

2 2


176

Untuk menentukan penghampiran luas bulatan dengan heksagon,

Archimedes membahagikan heksagon kepada enam bahagian segi tiga.

Luas heksagon boleh didapati setelah luas satu segi tiga berjaya diperolehi.

Berdasarkan rajah di atas, panjang AB = r. Jadi pengiraan bagi

menentukan tinggi satu segi tiga ialah seperti berikut. Kita wakilkan

tingginya sebagai h.


177

Setelah mendapat nilai tinggi segi tiga h, maka luas heksagon di dalam

bulatan dapat ditemukan. Maka, luas heksagon ialah:

Berdasarkan persamaan di atas, maka luas heksagon ialah 2.59r2. Nilai yang

diperoleh dengan menggunakan luas heksagon adalah lebih baik berbanding

luas segi empat sama, ia sebenarnya masih belum menghampiri luas

sebenar bulatan. Hal ini mendorong Archimedes untuk meneruskan

percubaan ketiga. Beliau telah mencuba dengan menambahkan sisi poligon

untuk mendapatkan luas bulatan yang paling tepat.

Maka, luas bagi poligon sisi n adalah n kali luas satu segi tiga seperti mana di

bawah.


178

Apabila bilangan n-sisi bertambah,

(nb) ialah perimeter poligon, di mana apabila n semakin meningkat, ia

menghampiri lilitan bulatan, iaitu 2 r. Archimedes telah membuat

pencerapan bahawa sekiranya poligon tersebut mempunyai sisi n, maka

setiap segitiga dikira sebagai ½ daripada lilitan bulatan. Selain itu, tinggi

segi tiga, h juga menghampiri jejari bulatan, r.

Semakin bertambah bilangan segi tiga, luas poligon akan

menghampiri dan memenuhi luas bulatan. Sehubungan dengan itu,

Archimedes telah dapat menentukan luas bulatan seperti berikut:

Dalam menentukan luas bulatan, ia melibatkan nilai tetap ,� yang mana

wujud sebagai nisbah lilitan bulatan kepada diameter bulatan.

5.5.3 Aplikasi Luas Bulatan dalam Konteks Sebenar

Pernahkah anda masuk ke kolam renang? Adakah anda tahu bahawa

kolam renang menggunakan formula luas dalam menentukan keluasannya?

Bagi kolam renang yang tidak berbentuk petak, formula yang

digunakan ialah formula luas bulatan kerana ia melibatkan nilai pi.

1


179

Seperti mana yang anda semua pernah lihat, kolam renang mempunyai

pelbagai bentuk dan bentuk-bentuk ini sangat mempengaruhi luasnya.

Ahli matematik telah lama menggunakan konsep luas dalam

membentuk satu kolam renang berdasarkan kepada kriteria yang

mereka mahukan.

Pengaplikasian luas bulatan dalam kehidupan seharian adalah amat

penting. Salah satu contoh adalah penghasilan botol minuman.

Sebagai yang kita ketahui, kebanyakan penutup botol minuman berbentuk

bulat. Jadi, penggunaan luas bulatan digunakan dalam menentukan saiz

penutup botol yang berpadanan dengan muncung botol tersebut.

Perkara ini perlu dititik beratkan kerana sekiranya luas bulatan yang

dikira tidak tepat, kesannya penutup botol tersebut tidak dapat ditutup

dengan rapat. Oleh itu, pengusaha kilang perlu mengetahui terlebih

dahulu luas bulatan bagi muncung botol tersebut.

Botol minuman

r Luas bulatan penutup botol = πr²


180

Selain itu, pengiraan bagi luas bulatan juga digunakan dalam membina

gelanggang bola keranjang. Ia diperlukan bagi mendapatkan ukuran yang

lebih tepat terutamanya ukuran pada bulatan tengah atau ‘centre circle’.

Rajah di bawah menunjukkan pelan bagi sebuah gelanggang bola

keranjang.

Pelan gelanggang bola keranjang

Manakala, bagi para saintis yang mengkaji struktur bumi telah

mengaplikasikan penggunaan formula bagi luas permukaan sfera yang telah

diterbitkan daripada luas bulatan ini dalam pembuatan glob. Rumus yang

telah digunakan bagi penghasilan glob ini ialah

Luas permukaan sfera = 4 x (luas bulatan)

= 4 x ( r² �) �

= 4 r²

Pengiraan luas permukaan sfera dalam pembuatan glob ini adalah

bertujuan bagi menghasilkan replika bumi yang menghampiri dengan

ukuran yang sebenar. Oleh itu, setiap glob yang dihasilkan mempunyai skala

yang sama.


181

Glob

5.6 Paradoks Zeno

Hampir kesemua yang kita tahu tentang Zeno of Elea (seorang ahli falsafah

Greek) boleh didapati dalam buku Plato yang berjudul Permenides. Dari

situ kita belajar bahawa Zeno berumur dalam lingkungan 40 tahun yang

mana Socrates masih seorang yang muda (ada yang mengatakan sekitar

20 tahun). Socrates lahir dalam tahun 469 SM, maka boleh dianggarkan

bahawa Zeno lahir pada sekitar tahun 495 hingga 480 SM. Zeno sangat

rapat dengan Parmenides dan kerana itu Zeno menulis buku ‘Paradoks’

yang mempertahankan falsafah Parmenides.

Zeno of Elea


182

Paradoks Zeno

Zeno mengusulkan sembilan paradoks, iaitu satu set masalah falsafah yang

mencabar bukti daripada apa yang kita lihat, dengar dan alami. Dalam

perkataan lain, paradoksnya mencabar bukti hasil daripada pemerhatian

deria kita. Zeno percaya bahawa kepelbagaian dan perubahan adalah salah,

dan bahawa sebenarnya tidak ada pergerakan. Pergerakan bagi Zeno hanya

merupakan suatu ilusi. Paradoksnya sangat membingungkan ahli

matematik selama berabad-abad sehinggalah pembangunan Cantor

(dalam tahun 1860 dan 1870) tentang teori set tidak terhingga yang mampu

menyelesaikan ‘masalah’ paradoksnya.

Paradoks Zeno memfokuskan kepada perkaitan berasingan kepada

berterusan (discrete to continuous), satu isu yang menjadi jantung

kepada matematik. Secara umumnya, paradoks bermaksud pernyataan

yang kelihatan benar atau logik tetapi sebenarnya bercanggah atau tidak

logik. Zeno percaya bahawa sesuatu entiti boleh dibahagikan dan tidak

boleh berubah dalam realiti. Empat paradoks Zeno yang lebih terkenal akan

dikemukakan dalam bahagian seterusnya.

5.6.1 Paradoks Dikotomi

“Sebuah benda yang bergerak tidak akan pernah mencapai tujuan.

Pertamanya dia harus menempuh separuh daripada perjalanannya Setelah

itu, dia mesti menempuhi satu perempat, satu perlapan, satu perenam belas,

satu pertiga puluh dua dan seterusnya, perjalanan yang baki. Demikian

hingga jumlah menajdi tidak terhingga. Oleh kerana mustahil

melakukan perjalanan sebanyak tidak terhingga, maka dia tidak akan

sampai ke tempat yang ditujukannya.


183

Paradoks

Pernyataan : Pergerakan adalah mustahil.

Bukti : Jika objek boleh dibahagikan, maka ia sebenarnya tidak

wujud.

Sebelum objek boleh bergerak dengan jarak yang diberikan, ianya mesti

melalui separuh daripada jarak tersebut. Untuk bergerak separuh daripada

jarak tersebut, ianya mesti bergerak suku daripada jarak dan seterusnya

sehingga tidak terhingga (infiniti) iaitu proses pembahagian separuh

tidak pernah sampai hingga ke penghujung (tidak terhad/infinite) kerana

sentiasa ada jarak yang perlu dibahagikan separuh tidak kira betapa kecil

jarak itu.

Dengan adanya pembahagian separuh menyebabkan tiada jarak yang

boleh digerakkan di dalam jumlah masa yang terhad (finite). Oleh itu ianya

kelihatan kita tidak boleh bergerak pada jarak yang sebenar dan pergerakan

adalah mustahil.

Contoh:

Ilustrasi paradox dikotomi Zeno

Dalam rajah di atas menggambarkan bagaimana terdapat banyak

segmen perjalanan di antara dua titik (0-100). Yang mengganggu Zeno

di sini bukan pergerakannya, tetapi bagaimana ketidakterhinggaan itu

sangat menyusahkannya. Dalam contoh di atas Zeno mengetengahkan

bahawa ‘apabila jumlah segmen yang harus ditempuhi sejumlah tidak

terhingga, maka gerak dari satu tempat ke tempat yang lain adalah

mustahil.


184

Para ahli matematik dan falsafah moden telah mengemukakan hujah yang

dapat menyangkal paradoks Zeno ini:

a) urutan 1, ½, ¼, ⅛, dan lain-lain mempunyai had kepada 0.

b) urutan 0.9, 0.99, 0.999 dan seterusnya mempunyai had kepada 1.

c) Apabila kita menulis 0.99999...., ianya bermaksud had nombor 9

adalah sehingga infiniti, maka 0.9999... ≈ 1

d) Dalam erti kata yang lain, urutan yang sebenarnya akan menghampiri

had yang kita kehendaki.

Jadi realitinya, jarak yang terhad memerlukan jumlah masa yang terhad

untuk bergerak (jarak boleh digerakkan pada masa yang terhad).

5.6.2 Paradoks Achilles dan Kura-Kura

Paradoks ini sangat terkenal dalam sejarah Yunani kerana pada waktu itu,

mereka gagal untuk menyangkal paradoks ini walaupun pada waktu ini

tidak terlalu sulit untuk dijelaskan. Namun, para ahli falsafah dan

matematik mengambil masa selama ribuan tahun untuk menjelaskannya.

Achilles merupakan seorang pelumba terkenal di zaman Yunani yang ingin

berlumba dengan seekor kura-kura yang lambat. Achilles digambarkan

sebagai seorang pahlawan yang hebat pada ketika itu sehingga tiada siapa

yang dapat menandinginya.


185

Achilles

Paradoks

Pernyataan : Ruang dan waktu adalah berterusan.

Bukti : Achilles tidak akan dapat memintas kura-kura.

Ilustrasi paradox zeno berkenaan Achilles dan kura-kura

Berdasarkan paradoks ini, Achilles tidak akan dapat mengalahkan kura-

kura yang bergerak terlebih dahulu. Zeno ingin membuktikan bahawa, ruang

dan waktu adalah berterusan . Jika ada pergerakan, pergerakan itu

adalah seragam. Di sini, Zeno membahagikan jarak Achilles kepada

nombor yang infiniti.

Ini dibenarkan (logik) kerana jarak dalam satu segmen tertentu boleh


186

dibahagikan kepada beberapa jarak sehingga ke infiniti. Dengan itu, Zeno

membahagikan jarak perlumbaan Achilles kepada bahagian-bahagian

kecil sehingga infiniti tetapi dilaksanakan pada masa yang terhad.

Kedudukan Achilles dan kura-kura dalam perlawanan

Berikut ialah hujah-hujah yang diketengahkan oleh ahli falsafah dan

matematik dalam menyangkal paradoks Achilles dan kura-kura ini.

Hujah 1:

Untuk Achilles mengejar kura-kura, dia mesti melalui jarak yang tidak terhad:

100m + 50m + 25m + 12.5m + 6.25m + ….

Walaubagaimanapun, jumlah jarak tidak terhad merupakan satu jumlah jarak

yang terhad.

Bukti:

a = 100 m, r = ½, n = ∞

maka kita menggunakan janjang geometri untuk mencari jarak yang tidak

terhad.


187

= 200 m

Justeru, jumlah jarak tidak terhad (yang dikatakan oleh Zeno) sebenarnya

adalah merupakan satu jumlah jarak yang terhad. Paradoks ini dikeluarkan

sebelum janjang geometri (geometric series) ditemukan. Jadi apabila

adanya janjang, ia telah menyangkal paradoks Zeno ini.

Hujah 2:

Realitinya, ruang dan waktu tidak berubah-ubah

5.6.3 Paradoks Anak Panah

Paradoks anak panah ini membantah idea bahawa ruang atau masa itu

berasingan (discrete). Zeno berpendapat bahawa satu objek yang sedang

terbang, selalu menepati ruang yang sama besarnya dengan objek tersebut.

Paradoks

Pernyataan : Pergerakan adalah mustahil.

Bukti : Semua objek berada dalam keadaan pegun dan tidak

bergerak.


188

Masa terdiri daripada ketika atau waktu sekarang (moment of now). Satu

anak panah sedang dalam penerbangan, pada mana-mana suatu ketika, ia

tidak dapat dibezakan dengan satu anak panah yang dalam keadaan rehat

(pegun) pada kedudukan yang sama. Persoalannya pada ketika tersebut,

adakah anak panah tersebut bergerak atau dalam keadaan rehat (pegun)?

Jika anak panah itu tidak bergerak, ia mestilah dalam keadaan rehat

(pegun) dan tidak dalam penerbangan.

Ilustrasi paradox anak panah

Pada 1 saat ini, anak panah ini dalam keadaan pegun (tidak bergerak). Pada

masa ini juga tiada jarak direkodkan kerana tiada pergerakan.

Kesimpulannya, jika tiada jarak pada setiap saat, bila anak panah itu

bergerak (berada dalam penerbangan).


189

Contoh:

Apabila sebuah anak panah dilemparkan dari busurnya ianya sebenarnya

tidak bergerak melainkan setiap saat berhenti. Di setiap tempat anak

panah itu berada, sebenarnya anak panah itu sedang berhenti dan diam

disitu. Jadi, panah yang sedang terbang itu sebenarnya tidak bergerak

melainkan dalam keadaan diam. Ia hanya kelihatan sahaja bergerak.

Hujah:

Katakan anak panah yang berterbangan bergerak pada jarak, d = 20 meter

dalam masa, t = 4 saat.

Halaju anak panah:

= 5 ms-1

Anak panah yang berterbangan pada ketika 1 saat sebenarnya mempunyai:

Jarak, d = 0 meter seperti yang dikatakan oleh Zeno sebenarnya

mempunyai jarak, d yang boleh dikira.

d = vt

= (5 ms-1)(1 s)

= 5 m

Ini membuktikan bahawa terdapat pergerakan pada sesuatu ketika

(sekarang) di mana pada ketika tersebut sebenarnya anak panah sedang

bergerak. Realitinya, ruang dan masa adalah berasingan (descrete).


190

5.6.4 Paradoks Stadium

Paradoks ini dikenali juga sebagai paradoks pergerakan barisan (the moving

rows). Paradoks ini adalah paradoks yang paling mustahil di antara semua

paradoks Zeno. Paradoks ini melibatkan kedudukan baris selari (seperti di

stadium) dan divisualisasikan sebagai pergerakan tiga baris selari, A, B, dan

C.

Pernyataan : Ruang dan masa boleh dibahagikan hanya dengan jumlah

yang pasti

Bukti : Separuh daripada masa adalah sama dengan dua kali masa.


191

Hujah:

Penyelesaian matematik untuk paradoks ini adalah:

Halaju B menuju A = S ms -1

Halaju C menuju A = S ms -1

Halaju C menuju B = 2S ms -1

Jarak untuk menghabiskan pergerakan = 2D m (2 kereta/unit)

Waktu yang diperlukan untuk menghabiskan pergerakan

Realitinya, ruang dan masa tidak boleh dibahagikan.

5.7 Penyiasatan Lengkung Kubik Oleh Newton

Isaac Newton

Dilahirkan pada tahun 1642.

Pada umur 18 tahun telah memasuki Universiti Cambridge.

Di sinilah Newton mula belajar pelbagai bidang ilmu termasuk Matematik

Suka melakukan penyelidikan sendiri dan akhirnya tercipta pelbagai

teori yang kemudian mampu mengubah dunia

Antaranya menghasilkan 72 jenis lengkung kubik

Lengkung Kubik

Isaac Newton merupakan orang pertama yang menjalankan penyiasatan

yang sistematik terhadap lengkung kubik (kuasa tiga). Persamaan umum

lengkung kubik adalah;

Daripada persamaan ini, Newton telah mencipta 72 jenis lengkung kubik.


192

Daripada persamaan umum, Newton telah mengkategorikannya kepada

empat jenis lengkung:

Jenis 1: Witch of Agnesi


193

Jenis 2: Newton’s Trident

Jenis 3: Newton Diverging Parabolas

Jenis 4: Cubic Parabolas


194

Plane curves. (a) Right strophoid. (b) Trident of Newton. (c) Cardioid.

(d) Deltoid. (e) Devil on two sticks. (f) Lemniscate of Bernoulli.

(g) Epitrochoid. (h) Rhodona. (i) Bowditch curve.(j) Fermat’s spiral

(k) Logarithmic spiral. (l) Cycloid.


195

Alexis Claude Clairaut telah menjalankan penyiasatan terhadap Jenis III

(Newton Diverging Parabolas) dengan memperkenalkan permukaan

dalam ruang tiga dimensi.

Lengkung kubik diaplikasikan dalam lukisan yang dihasilkan oleh St.

James sehinggakan lukisan tersebut kelihatan secara 3-dimensi.

Topik 5 Beberapa Idea Utama Matematik Berkaitan Dengan Kalkulus

Documents

Transcript of Topik 5 Beberapa Idea Utama Matematik Berkaitan Dengan Kalkulus