Nota ulangkaji mte3114 topik 4

Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)

Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 21

TOPIK 4: PENGGUNAAN PERMODELAN MATEMATIK DALAM BIOLOGI DAN EKOLOGI Teori Matrik Permodelan Pertumbuhan Populasi Definisi

Pengiraan 퐴푥 = 휆푥

Eigenvalue, λ dan eigenvector, v

Pengiraan eigenvalue, λ dan eigenvector, v Pengiraan eigenvalue, λ

Pengiraan eigenvector, v

o Jika A adalah square matrik dan Ax = λx untuk

skalar λ, dan beberapa non-zero vektor x. Maka: λ ialah eigenvalue bagi A

x ialah eigenvector yang sepadan dengan λ.

o Istilah eigenvalue dan eigenvector datang dari perkataan Jerman. ‘Eigen’ bermaksud kepunyaan sendiri. Oleh itu, kita dapat lihat jika 퐴푥 = 휆푥 vektor 푥 bergerak kepada arahnya ‘sendiri’.

Diberi A= 3 00 2 , 휆 = 3, 푣 = 1

0 ; 휆 = 2,

푣 = 02

퐴푣 = 3 00 2

10

= 30

= 3 10

= 휆 푣

퐴푣 = 3 00 2

02

= 02

= 2 01

= 휆 푣

Maka, 푨풙 = 흀풙

Diberi, A= . Cari eigenvalue, λ.

Diberi, A= dan λ = 2.

Cari eigenvector, v Gantikan 흀 = 2 ke dalam persamaan.

퐴푥 = 2푥 2푥 − 퐴푥 = 0

2퐼푥 − 퐴푥 = 0 (2퐼 − 퐴)푥 = 0

Jadi,

2퐼 − 퐴 = 21 0 00 1 00 0 1

−2 −5 50 3 −10 −1 3

= 0 5 −50 −1 10 1 −1



Polinomial dan Persamaan Sifat (Characteristic

equation and polynomial)

Diberi A =

Pembuktian Teorem 퐴 = 퐵퐷퐵

310130

552

Tukar kepada Matrik Augmented dan jalankan Elementary Row Operation (ERO)

Maka, 푥 + 푥 = 0

푥 = 푥 = 1 Penyelesaian untuk 퐴푥 = 휆푥 adalah semua

vektor bagi 푥 =푥푥푥

= 푥100

+ 푥011

.

Jadi, eigenvector, v bagi matrik A dan λ = 2 adalah infiniti, dan ianya adalag kombinasi linear

bagi vektor 100

dan 011

.

Persamaan 풅풆풕(흀푰– 푨)풙 = ퟎ dipanggil persamaan sifat (characteristic equation) bagi A

Manakala (흀푰– 푨) dipanggil polinomial sifat (characteristic polynomial) bagi A

det(휆퐼– 퐴) = 푑푒푡 = (휆– 2)[(휆– 3)(휆– 3)– 1] = (휆– 2)(휆– 2)(휆– 4)

(휆– 2)(휆– 2)(휆– 4) = 0 휆 = 2, 2, 4

o Kita dapat mencari eigenvalues A dengan mencari persamaan sifat (characteristic equation) seperti di bawah:

Maka det 휆퐼– 퐴 = 0

Jadi, eigenvalues matrix A ialah 휆 = 2, 2, 4.

o Mencari eigenvalues A (polynomial characteristic) yang sepadan dengan 휆 = 2 Lihat contoh pada m/s 21 – 22 (kotak

merah)

o Mencari eigenvalues A (polynomial characteristic) yang sepadan dengan 휆 = 4 Selesaikan sistem 퐴푥 = 4푥, yang mana ditulis sebagai (퐴 − 4퐼)푥 = 0

Gunakan ERO

Eigenvector, v yang sepadan dengan 휆 = 4

adalah 5−11

Diberi 퐴 =−2 3 10 1 1−3 4 1

Eigenvalues, 휆 = 0,−2, 2

Eigenvector, 푣 =−1−11

,111

,5−39



Kesimpulan:

Model Pemangsa-Mangsa (Predator-Prey) Generasi Terpisah dan Berlanjutan (Tidak Berpisah)

Generasi terpisah

o Populasi mangsa akan meningkat ketika

pemangsa berkurangan. o Ketika bilangan pemangsa bertambah, bilangan

mangsa akan berkurang kerana dimakan oleh pemangsa.

o Jumlah mangsa yang dimakan oleh pemangsa mungkin tetap dan mungkin juga berubah-ubah.

o Namun, jika populasi mangsa ditentukan oleh populasi pemangsa, maka secara keseluruhannya: Populasi pemangsa akan meningkat apabila

populasi mangsa naik. Populasi pemangsa akan berkurangan

apabila populasi mangsa turun.

Generasi berlanjutan (tidak terpisah)

o Generasi pemangsa (predator) dan mangsa (prey) bergantung kepada kelahiran dan kematian yang berlaku sepanjang tahun.

o Pada kebiasaannya, pemangsa generasi ini adalah daripada kumpulan vertebra.

o Model generasi berlanjut juga digambarkan oleh Model Lotka (1925) dan Voltera (1926).

퐵 = −18

×6 −2 −43 −7 −4−1 1 0

=−1 1 5−1 1 −31 1 9

0 0 00 −2 00 0 2

−18

×6 −2 −43 −7 −4−1 1 0

=0 2 −100 2 60 2 −18

−18

6 −2 −43 −7 −4−1 1 0

= −18

16 −24 −80 −8 −8

24 −32 −8

=−2 3 10 1 1−3 4 1

= 퐴

Diberi teorem 퐴 = 퐵퐷퐵 ,

Daripada Eigenvector, 푣 =−1−11

,111

,5−39

,

matrik B diberi sebagai −1 1 5−1 1 −31 1 9

Daripada Eigenvalues, 휆 = 0,−2, 2, membentuk

matrik diagonal D sebagai 0 0 00 −2 00 0 2

Semakan teori, 퐵퐷퐵

Terbukti bahawa 퐴 = 퐵퐷퐵

o Jika λ adalah eigenvalue bagi matrix A, maka set semua eigenvectors yang sepadan dengan λ ialah ruang vektor.

o Set-set eigenvectors yang sepadan dengan λ ialah null space bagi matrik (λI – A) – set penyelesaian bagi (λI – A) x = 0.

o Set semua eigenvectors yang sepadan dengan eigenvalue λ ialah ruang vektor yang disebut sebagai eigenspace bagi λ.

Bahagian A: Haiwan membiak dan menyebabkan populasi meningkat.

Bahagian B: Haiwan mengalami persaingan

hidup sama ada untuk mendapatkan makanan, tempat tinggal atau pasangan dan menyebabkan populasi haiwan berkurangan.

Faktor kematian secara semula jadi juga

boleh menyebabkan populasi haiwan berkurangan.



o Andaian:

Permodel Lotka-Volterra Permodelan antara populasi pemangsa dan

populasi mangsa pada sebuah lingkungan yang bergantung satu sama lain berdasarkan hubungan interaksi saling antara pemangsa-mangsa.

Persamaan permodelan:

Persamaan Logistik Perkembangan populasi berlaku pesat kerana:

Kadar pertumbuhan populasi:

Persamaan pertumbuhan semulajadi:

Apabila populasi mula berkembang, ia akan melalui fasa pertumbuhan eksponen, namun apabila menghampiri kepada kapasiti bawaan (carrying capasity), pertumbuhan akan menjadi perlahan dan ia mencapai tahap yang stabil.

Interaksi Antara Spesies Interaksi pemangsa-mangsa (Contoh: Musang dan

Arnab) Andaian:

Bilangan arnab sekiranya tiada musang:

Spesis pemangsa adalah bergantung sepenuhnya hanya pada spesis mangsa tersebut sahaja sebagai bekalan makanan

Spesies mangsa mempunyai bekalan makanan tanpa had

Tiada ancaman lain kepada mangsa selain daripada pemangsa tersebut.

Di mana, 푦 - bilangan pemangsa 푥 - bilangan mangsa

, - perkembangan pemangsa /

mangsa berkadar dengan masa

푎, 푏, 푐,푝 - parameter yang menunjukkan interaksi antara spesies

o sumber makanan yang tidak putus. o ruang (habitat yang sempurna) untuk

berkembang o tiada ancaman daripada pemangsa

푑푃푑푡 = 푟푃

Di mana, P ialah populasi sebagai fungsi masa t, r adalah pemalar perkadaran

(푡) = 푃 푒 Di mana 푃 adalah populasi pada masa t = 0

o Arnab hanya mati dengan dimakan oleh musang.

o Musang akan mati secara semula jadi. o Interaksi antara musang dan arnab boleh

digambarkan oleh sebuah persamaan.

푷푹풏 = 푷푹(풏 ퟏ) + 푩푹 × 푷푹(풏 ퟏ) Di mana: o 푷푹풏 ∶bilangan arnab yang baru selepas

tempoh masa 푛 o 푷푹(풏 ퟏ) : bilangan awal arnab pada tempoh

masa 푛 − 1 o 푩푹 : kadar kelahiran untuk arnab Dalam keadaan ini bilangan arnab secara berterusan akan meningkat.



Bilangan musang jika tiada pemburu:

Apabila musang memakan arnab, persamaan

populasi mempunyai satu lagi istilah untuk menggambarkan interaksi tersebut.

Persamaan berikut menunjukkan bilangan arnab yang semakin berkurangan akibat dimakan oleh musang:

Simulasi Simulasi model pemangsa-mangsa pada graf

bilangan pemangsa dan mangsa terhadap masa:

Simulasi model pemangsa-mangsa pada graf

bilangan pemangsa terhadap bilangan mansa

o Titik keseimbangan (equilibium point)

Penggunaan Persamaan Pembezaan Permodelan Dos Dadah yang Selamat dan Berkesan Pharmakokinetik (PK) vs Pharmakodinamik (PD)

푷푭풏 = 푷푭(풏 ퟏ) − 푫푭 × 푷푭(풏 ퟏ) Di mana: o 푷푭풏 ∶bilangan musang baru selepas tempoh

masa 푛 o 푷푭(풏 ퟏ) : bilangan awal musang pada

tempoh masa 푛 − 1 o 푫푭 : kadar kematian musang

푷푹풏 = {[(푷푹(풏 ퟏ) + 푩푹 × 푷푹(풏 ퟏ))− 푨 × 푷푭(풏 ퟏ)] ×푷푭(풏 ퟏ)}

Di mana: o 푨 ∶interaksi yang berterusan antara musang

dan arnab.

Diberi persamaan permodelan Lotka-Volterra

Titik keseimbangan = ,

Di mana, 푎 = 푝 (parameter graf sistem trajectori) dan 푏, 푐, 푑 =pemalar Diberi 푏, 푐,푑 = 1 Maka titik keseimbangan

= , . =(1,1.5)

Pharmakokinetik (PK) adalah tindakan dadah di dalam badan yang mempunyai hubungan dengan tempoh masa, termasuk proses penyerapan, pengedaran dalam tisu badan, biotransformasi dan perkumuhan. o Apakah yang berlaku kepada ubat

itu selepas ia masuk ke dalam badan? o Apakah reaksi tubuh badan dengan

dadah yang berkadar dengan masa?



Kepentingan Model

Kegunaan Model

Contoh Permodelan Paracetamol

o Kajian ini adalah untuk memastikan dos paracetamol diperlukan bagi orang dewasa melalui rektum untuk mencapai kepekatan plasma paracetamol antara 10-20 µgml-1.

o Kepekatan toksik = 120 µg ml–1

o Dos Berapa banyak ubat yang anda perlukan? Contoh Paracetamol 500 mg

o Dos Regimen Berapa kerap ubat yang diperlukan? Masa – 4 jam sekali.

Kesan dos bagi phenylbutazone (PBZ) dan flunixin

(FLU) o Graf menunjukkan hubungan antara kesan dos

bagi phenylbutazone (PBZ) dan flunixin (FLU) kepada kuda.

o PBZ dan FLU telah diuji pada sendi carpal bagi penyakit artritis.

o Untuk Flunixin (FLU)

o Bagi Phenylbutazone (PBZ)

Model PK dan PD membantu dalam memilih dos yang bersesuaian untuk disahkan dalam ujian klinikal

Model ini dapat melihat keberkesanan terhadap dos dadah yang dipilih.

•Percubaan reka bentuk klinikal•Ramalan tindak balas daripada pesakit•Ramalan kejayaan berdasarkan ujian klinikal

Hospital

•Percubaan reka bentuk klinikal•Sokongan dalam menjelaskan mekanisma dadah

Universiti

•Penggunaan dadah yang baru (ubat)•Menentukan keputusan dalam penyelidikkan

Syarikat Farmaseutikal

•Tinjauan untuk mendapat kelulusan dalam penggunaan dadah

•Pelabelan dan regimen dos

Food and Drug Administration

Pharmakodinamik (PD) menerangkan hubungan antara kepekatan dadah sistemik dan kesannya dengan masa dan model statistik. o Apakah yang dadah lakukan kepada

badan?

Pada dos 0.5 mg / kg = kesan terapeutik

yang minimum terhasil Dos sebanyak 1 mg / kg = kesan yang

hampir maksimum (dos yang disyorkan). Jika dos 2 mg / kg diberikan, ia tidak

meningkatkan kesan intensiti, tetapi meningkatkan tempoh masa iaitu kira-kira 24 jam.

Apabila < 1.0 mg,kg dos diberikan, tiada

kesan akan berlaku. Jika 1.5mg/kg dos diberikan kesan yang

maksimum akan terhasil tetapi dalam jangka masa yang pendek sahaja. Jika 4m/kg dos diberikan, kesan yang

maksimum akan terhasil iaitu lebih daripada 12jam.



Permodelan Penyebaran Wabak dan Penyakit Model Asas Jangkitan AIDS / HIV Matematik telah digunakan untuk memahami dan

meramalkan penyebaran penyakit. Mengkaji semula model penyakit yang paling

mudah dan mempertimbangkan beberapa perkembangan matematik yang telah meningkatkan pemahaman kita dan keupayaan ramalan terhadap jangkitan penyakit.

Dipelopori oleh Kermack dan McKendrick (1926) Susceptible – Infected – Recovered (SIR)

Susceptible – Infected – Aids (SIA) o Bagi penyakit AID / HIV secara khusus kerana

tiada penawar penyakit yang ditemui lagi setakat hari ini.

o Justifikasi:

Susceptible – Exposed – Infected – Aids (SEIA) o Lebih tepat untuk permodelan penularan HIV.

o S – individu yang terdedah kepada jangkitan penyakit

o I – individu yang telah dijangkiti penyakit

o R – individu yang kembali pulih dari penyakit setelah menjalani rawatan

S(t) - kelas individu yang mudah terpengaruh, orang-orang yang aktif secara seksual dan tidak mempunyai pendedahan kepada virus.

I(t) - kelas individu yang dijangkiti, orang-

orang yang aktif secara seksual, yang dijangkiti dan berjangkit bagi individu yang mudah terpengaruh.

A(t) - kelas pesakit AIDS kritikal, mereka

menunjukkan tanda-tanda yang berkaitan dengan AIDS dan kita menganggap bahawa mereka tidak melibatkan banyak dalam aktiviti seksual akibat daripada penyakit.

푷(풕) = 푺(풕) + 푰(풕) + 푨(풕)

푵(풕) = 푺(풕) + 푰(풕)

Bilangan individu yang mudah terpengaruh boleh meningkat disebabkan oleh individu yang baru direkrut

Ia boleh berkurangan akibat jangkitan

baru sebagai hasil interaksi dengan individu yang dijangkiti di dalam kelas 푰(풕) dan juga disebabkan oleh kematian semula jadi. Individu yang dijangkiti (kelas 푰(풕))

boleh maju ke kelas 푨(풕) atau mungkin mati kerana kematian semula jadi. Selepas perkembangan ke kelas 푨(풕),

individu yang dikeluarkan daripada kelas ini disebabkan oleh kematian semulajadi atau kematian berpunca daripada penyakit. Jumlah individual seksual yang matang

bagi populasi pada masa yang diberikan adalah jumlah semua individu dalam semua kelas yang diberikan oleh,

Manakala, kelas yang aktif dalam aktiviti

seksual yang diberikan oleh

Model SEIA yang memperhatikan adanya tempoh masa dan pendekatan compartmental (pembahagian kelas) maka populasi dibahagi ke dalam empat kelas iaitu susceptible, exposed, infected dan AIDS. Penyebaran virus dari kelas susceptible, 푺(풕) perlu melepasi tempoh masa tertentu berdasarkan situasi sehingga memasuki kelas exposed, 푬(풕). Setelah tempoh masa tertentu, individu

dalam kelas ini memasuki kelas infected, 푰(풕). Jika: tahap imunisasi tubuh tinggi, HIV

akan tetap pada kelas infected, 푰(풕) tahap imunisasi tubuh rendah maka

akan memasuki kelas AIDS, 푨(풕) A

Nota ulangkaji mte3114 topik 4

Documents

Transcript of Nota ulangkaji mte3114 topik 4