Fluido reale in movimento. Viscosità

Tubo orizzontale, sezione costante: p1 > p2Dovuto ad attrito interno o viscoso

01

101

pp

ghpp

>+= ρ

v

p0

p0

h1∆p

Be

r

Che succederebbe ad un liquido ideale ( non viscoso)? Teorema di Bernoulli:

v

p0

p0

∆pB

er

p1=p0

cfr. la sup. libera superiore e l’uscita del tubo

2

002

vpghpρρ +=+

confrontando l’uscita e il punto “1”

2

0

2

122

vpvpρρ +=+

∆pV

is

02

202

pp

ghpp

>+= ρ

g

vhBER 2

2

=∆

Definizione di viscosità

Sperimentalmente, è necessaria una forza F per mantenere la lamina (di area S) a velocità costante. Se la lamina è grande (rispetto alla profondità h) si trova:

si assume come definzione di viscosità

dy

dvSFV η=

Fv0FVy

lamina di area S

h

h

vSFF V ∝=

o meglio

Un viscosimetro di uso pratico (2 cilindri coassiali rotanti):Se la separazione d fra le superfici è piccola (d<<R)

d

RS

2ωητ =ωωωω

fluidodS

⇒==d

RdS

dr

dvdSdF

ωηη

Il momento τ che si deve applicare per tenere fermo il cilindro esterno fornisce η

profilo di velocità

In un fluido reale in movimento possono esservi forze tangenti alla superficie (di taglio).

d

coefficiente di viscosità o “viscosità”

gradientedi velocità

[ ] [ ] [ ]11112

−−−− =⋅=

⋅⋅= TMLsmkgm

sm

m

Nη

Viscosità

nel S.I. kg/ms o Pa.s altre unità:

Poise(P=gcm-1s-1): 1Pa s=10 Poise

ηηηη “costante” (non dip. da dv/dy) solo per fluidi “newtoniani”ηηηη può dipendere da dv/dy (ad es. fluidi tissotropici).

s o s t a n z a η ( 2 0 ° C ) P a sA c q u a 1 .0 1 .1 0 - 3

E t a n o l o 0 .9 5 .1 0 - 3

E t e r e 0 .1 6 .1 0 - 3

o l i o m o t o r e 0 .8 0G l i c e r i n a 1 .4 8a r i a 1 .8 .1 0 - 5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

200 300 400 500 600 700 800

T (K)

ηη ηη (1

0-5 P

as)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 20 40 60 80 100 120

T (°C)

η (1

0-3 P

as)

viscosità dell’acqua

viscosità dell’aria

Dipendenza della viscosità dalla temperatura nei gas e nei liquidi.

Profilo di velocità in un tubo cilindrico con flusso laminare.

Per condotti “abbastanza piccoli” con flusso laminareil profilo di velocità ha una forma paraboloide

Fra gli strati (guaine cilindriche) a diversa velocità agiscono forze viscose. Ad es. lo strato scuro è rallentato dallo strato adiacente esterno, più lento, e accelerato dallo strato interno più veloce.

Nel flusso laminare si ha stratificazione delle velocità. In generale si può assumere che il fluido a contatto con la parete abbia velocità nulla.

lrdr

dv

dr

dvSF LATV πηη 2==

rp

dr

dv

lη2

∆−=

Tubo cilindrico in regime laminare. Legge di Poiseuille

strato a contatto con la parete

Forze di pressione

Forza viscosa

⇒=+ 0VP FFrr

Tubo di flusso di raggio r<R, in condizioni stazionarie 0=+= VPTOT FFFrrr

l

R

FV

r

Sp1 Sp2

2212211 )( rppSpSpFP π−=−=

Si consideri un condotto orizzontale, di raggio R e lunghezza l

0)(con =Rv

(il segno è incluso nella derivata)

rp

dr

dv

lη2

∆−=

Tubo cilindrico in regime laminare. Legge di Poiseuille

( )22

4

1)( rR

prv −∆=

lηProfilo di velocità paraboloide

4

8R

pQ

l

∆=η

πLegge di Poiseuille

Se si definisce una «resistenza idraulica» 4

8

Rπηl=R

0)( =Rvè un’equazione differenziale, con la condizione al contorno

soluzione:

Quanto vale la portata? ( ) rdrrvdSrvQR

π2)(0∫∫ == da cui

Q∆p ⋅=R quella del tubicino è

v

h1

0p

0p

h2

20 ghppu ρ+=

2

2vghppp iu

ρρ +=−=∆

Qp ⋅∆=P

210 2

vghppi

ρρ −−=

Lavoro di una pompa. Liquido ideale

+=+= 22

22vghdVv

dmdmghdL

ρρ

+⋅== 2

2vghQ

dt

dLP

ρρ

MiMfNC EEL −=

∆p ai capi della pompa

lavoro della pompa ed eventuali forze viscose

per una massa dm:

Potenza dissipata in un condotto.

2QQ∆p ⋅=⋅= RP

Per mantenere un flusso costante in un condotto orizzontale si deva applicare una differenza di pressione

Le forze viscose compiono lavoro resistentesull’elemento di fluido, compensato dal lavoro motore delle forze di pressione

( ) Qdt∆pSvdtppSdxpSdxpdL ⋅=−=−= 2121

p1S p2SFV

v

In un tempo dt, spostamento dx=vdt, il lavoro delle forze di pressione vale:

Se il flusso è stazionario l’energia meccanica del fluido nel condotto (cinetica + pot. gravitazionale) non cambia. Il lavoro delle forze di pressione è opposto a quello delle forze viscose. In modulo, la potenza dissipata è:

Il lavoro delle forze di attrito viscoso aumenta l’energia interna del “fluido + condotto”

Potenza dissipata in un condotto. Resistenza idraulica

Si definisce resistenza idraulicadi un condotto la grandezza R, definita come

Q∆p ⋅=R

La potenza erogata dalla pompa è: 22

Qp

QpPV RR

=∆=⋅∆=

Per mantenere un flusso costante in un condotto chiuso serve una pompa.

dove ∆p è la differenza di pressione che mantiene una portata volumica Q.

[ ]3m

sPa ⋅=R

ηρ vrF2=R

Condizione per il flusso laminare

Il parametro importante è il

ηρ vdF=R

Dimensione caratteristica (del condotto, del corpo in movimento ... )

v: velocità mediadel fluido, definita da Q=Sv

Numero di Reynolds:

La legge di Poiseuille è valida in regime laminare, ma come sappiamo se il flusso è laminare?

Per un tubo cilindrico assumendo d=2r

viscosità del fluido

densità del fluido

Sperimentalmente, per un tubo cilindrico lungo:

≥≤≤

≤

3000

30001000

1000

R

R

R regime laminare

regime di transizione

regime turbolento

Convenzionalmente, assumeremo il valore critico(RC=2400) dipende anche da rugosità, lunghezza ...

Nota:il valore critico dipende dalla forma del condotto o, nel caso di moto di un corpo nel fluido, dalla forma del corpo.

Moto in un fludio reale in moto. Resistenza del mezzo.

RvFV πη6=R

Per basse velocità (R <RC)

vkFV lη=

Legge di Stokes

Regime laminare

Per una sferala forza viscosa vale:

per forme diverse si può scrivere:

dove l è una dimensione caratteristica del corpo e k un costante numerica dell’ordine delle unità.

2

2

1vcSF FR ρ=

Regime turbolento

scia

Per alte velocità (R >RC)

Per una sferaad alta velocità (R >> RC)

Convenzionalmente la resistenza del mezzo si scrive:

densità del fluido

Per una sfera in moto in un fluidosi può assumere RC=1

5.04.0 −≅c

Valori tipici di c ed Sper un’automobile sono riportati nella tabella a destra:

Il valore C~0.5 per una sfera vale per 103 < R <2.105

Non è così semplice. In realtà C=C(v), o meglio C=C(R)

Coefficiente di penetrazione di una sfera in un fluido.

C

R

Moto in un fluido viscoso. Sedimentazione

Corpo in caduta in un fluido. FV aumenta con la velocità: esiste unavelocità limite(o di sedimentazione)

06 =−+ gVgVRv FL ρρπηLa condizione di velocità limite,per una sfera in regime laminare:

v

t

vL

velocità in funzione del tempo

( )η

ρρ 2

9

2 gRv F

L−

=

v

F( )gVFmg FA ρρ −=−

VF vL

Ad una certa velocità laforza totale è nulla e la velocità diviene costante.

L’andamento lineare di FVin figura vale per piccole velocità (regime laminare)

gVF FA ρ=

gVmg ρ=

LV RvF πη6=

Moto in un fluido viscoso. Sedimentazione

La velocità di sedimentazione dipende dalla densità, dimensioni e forma.del corpo. Ciò permette di separare corpi in sospensione di densità, dimensioni o forme diverse.

dg 2ω≅′

Se d=10 cm, basta f=5Hz per avere g’~10g. Ultracentrifughe 103 Hz.

Se f=100Hz (12000 rotaz/minuto): vL=0.0044 m/s. La sedimentazione su una distanza di 10cm avviene in circa 23 s

Per ridurre i tempi di sedimentazione si ricorre alla centrifugazione.

(purché ω2d >> g)

Per corpi di piccole dimensioni i tempi possono essere molto lunghi.

Esempio. Sferetta di raggio 5,0µm, densità 1.02 g/cm3, in acqua (1.0g/cm3, η=0.0010 Pas). La velocità di sedimentazione è 1.1.10-6 m/s. Il tempo di decantazione con h=10cm è ~ 25.5h

( )η

ρρ 2

9

2 Rgv F

L

′−=In tal caso:

con

d

ω

dm ω2rdmF ω2r

Velocità limite delle gocce di pioggia. Dati per 10<R<1000.

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

r (mm)

v (m

/s)

Secondo la legge di Stokes(R<1)

( )η

ρηρρ 2

9

2 gr

k

gVv F

L ≅−=l

r (µµµµm) v (m/s) Re1 1,2E-04 1,6E-052 4,8E-04 1,3E-0410 1,2E-02 1,6E-0220 4,8E-02 1,3E-01

100 1,2E+00 1,6E+01

Velocità limite di una goccia di pioggia.

la curva riflette il fatto che C=C(v) nell’intervallo considerato.

R>0.2

A questi diametri legocce si deformano

Per gocce grandi non vale la legge di Stokes

Immagini di una tempesta di sabbia vista da statellite.

circa 1012 kg l’anno dal Sahara

... e non solo polvere! Andamento epidemico della Sindrome di Kawasaki

X. Rodò et al. Scientific Reports 1, 2011

Similitudine meccanica

A causa della complessità del moto dei fluidi le prove con modelli (ad es. in galleriadel vento) sono spesso ancora l’unico modo per studiare le forze agenti su una struttura(Ad es. automobili, aerei, ma anche edifici, ponti ....)

Come si scalano le forze misurate sul modello alla struttura reale?

( ) 2

2

1vSRcF ρ=

( ) 2

2

1mmmmm vSRcF ρ=

Poiché il coefficiente C dipende da R in modo complesso, la condizione più importante è che le prove su modello si facciano con lo stesso numero di Reynolds.

m

mmm dvvd

ηρ

ηρ ==R

Similitudine meccanica

Condizione per la riproducibilità (in scala) delle forze agenti su un corpo in moto in un fluido è che abbia lo stesso numero di Reynolds.

Simulazione del volo degli insetti (Le Scienze 394, 2001, p.64)

ala di moscerino

“ala” del simulatore

Hz 200

mm5.2

≅≅

f

dHz0.2

cm25

≅

≅

f

d

2v

ηρ

ηρ dfd

R ∝= costanteAria

Aria

Olio

Olio

ρη

ρη

10=⇒

in aria

in olio

Per un essere molto piccolo è come seil mezzo fosse molto più viscoso (rapportato alle nostre dimensioni).

2v

ηρ

ηρ dd

R ∝=⇒∝ dvSe

ρηυ = viscosità cinematica.

3533

7532

10Pas1085.1kg/m2.1m/s10m10

10Pas1085.1kg/m2.1m/s10m0.1

≈⇒⋅===≅≈⇒⋅===≅

−−

−

Rvd

Rvd

ηρηρ aereo

insetto

Regimi molto diversi. Le forze non si possono scalare.

Il volo della “testa di morto”. (Nature, 1996)

Moto in fluidi reali. Un caso molto complesso.

Calabrone sospeso a mezz’aria (Physical Review Letters, 2000). Un calcolo 2D.

t/T=0.25 t/T=0.44 t/T=0.74 t/T=0.99

Il volo di un insetto non si può comprendere senza considerare il moto vorticoso, che è estremamentedifficile da trattare. Gli esempi citati mostrano che il problema è attuale.