Kalkulus 1-Mkul

53
Created By: Ernawati Page 1 BAB I BILANGAN REAL A. DEFINISI BILANGAN REAL Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal , seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional , seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional , seperti π dan . Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilanga n Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides. Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner. Bilangan riil dapat digambarkan sebagai titik-titik pada garis bilangan yang panjangnya tak hingga Gambar disamping merupakan simbol yang sering digunakan untuk bilangan riil, sehingga kita akan lebih mudah untuk mengingatnya. B. JENIS-JENIS BILANGAN

Transcript of Kalkulus 1-Mkul

Page 1: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 1

BAB I

BILANGAN REAL

A. DEFINISI BILANGAN REAL

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan

yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau

3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan

bilangan irasional, seperti π dan . Bilangan rasional direpresentasikan

dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki

representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat

direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret

Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides. Bilangan riil ini

berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah

bilangan imajiner.

Bilangan riil dapat digambarkan sebagai titik-titik pada garis bilangan yang

panjangnya tak hingga

Gambar disamping merupakan simbol yang sering digunakan untuk

bilangan riil, sehingga kita akan lebih mudah untuk mengingatnya.

B. JENIS-JENIS BILANGAN

Page 2: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 2

Berikut ini penjelasan dan Jenis jenis bilangan beserta contohnya:

1. Bilangan kompleks

Penggabungan bilangan rill dan bilangan imajiner atau suatu bilangan yang

memiliki format a + bi, dengan a dan b adalah bilangan real, dan i adalah

bilangan imajiner. Bilangan kompleks biasanya disimbolkan dengan lambang

C. Seperti 4 + 7i, dengan i adalah bilangan imajiner.

Contoh :

2. Bilangan imajiner

3. Bilangan Rill (nyata)

Penggabungan antara Bilangan rasional dan Bilangan Irrasional

Page 3: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 3

4. Bilangan irasional

Bilangan tidak dapat dinyatakan pembagian antara 2 bilangan bulat atau suatu

bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan (pecahan).

5. Bilangan rasional

Bilangan dinyatakan sebagai suatu pembagian 2 bilangan bulat atau suatu

bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan (perbandingan).

Yaitu dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat dan

b tidak sama dengan nol.Bilangan rasional umumnya dinyatakan dalam

simbol Q.

6. Bilangan Pecahan

Bilangan rasional yang tidak bulat.

Contoh: 1/2, 2/5, 2012/2013.

7. Bilangan bulat

Diawali dengan tanda (+), (nol), dan (–)

Contoh : -2,-1,0,1,2

8. Bilangan Negatif

Bilangan real yang nilainya dibawah nol.

Contoh: -1,-2,-3,-5.

9. Bilangan cacah

Diawali dengan angka 0 (nol) sampai tak terhingga.

Contoh : 0,1,2,3…

10. Bilangan Nol adalah 0

11. Bilangan asli

Bilangan yang diawali dengan angka 1 sampai tak terhingga

Contoh : 1,2,3,4,…

12. Bilangan Ganjil

Bilangan yang tidak habis dibagi 2. Bilangan ini memiliki format 2n + 1

untuk n bilangan bulat. Contoh: -5,-3,-1,1,3,5.

Page 4: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 4

13. Bilangan Genap

Bilangan yang habis dibagi 2. Bilangan ini memiliki format 2n untuk

n bilangan bulat.

Contoh: -6,-4,-2,0,2,4,6,8.

14. Bilangan prima

Bilangan yang tepat memiliki 2 faktor yaitu 1 dan B itu sendiri

Contoh : 2,3,5,7,11,13……

15. Bilangan komposit

Bilangan bukan 0, bukan 1 dan bukan prima

Contoh : 4,6,8,9,10,…

Sifat-sifat bilangan real

A. Aksioma medan

Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi

aksioma berikut. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil

R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian.

Maka:

Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx

Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z

Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)

Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda,

yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil x

kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.

Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk

setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat

juga melambangkan y sebagai -x.

Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk

setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehingga

xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.

Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan

karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

Page 5: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 5

B. Aksioma urutan

Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai

bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x

dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan

berikut ini:

Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+

Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -

x anggota R+, tapi tidak mungkin keduanya sekaligus.

Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.

C. Aksioma kelengkapan

Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas

memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup(S).

Contoh kasus

a. Operasi Pembagian.

b. Operasi Penjumlahan.

Contoh :

1. 14 + 6 = 20

2. 20 + (-3) = 17

c. Operasi pengurangan.

Contoh :

1. 10 – (-5) = 10 + 5 = 15

2. -16 – 4 = -20

a + b = c a , b dan c bilangan bulat

a – b = c a + (-b) = c a , b dan c bilangan bulat

a : b = c atau b

a = c atau a .

b

1 = c

Page 6: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 6

c. Operasi Perkalian.

Contoh :

1) 4 . 5 = 20

2) 3 . (-6) = -18

Contoh :

1. 24

18

4

8 x

2. 201

54

51

4 x

2. Operasi hitung pada bilangan pecahan.

a. Operasi Penjumlahan.

Contoh :

1. 8

7

8

2

8

5

2. ...2

13

4

315 KPK 4 dan 2 adalah 4

4

119

4

518

4

23

4

315

b. Operasi Pengurangan.

Contoh :

Tentukan hasil pengurangan pecahan berikut ini

1. 8

2

8

35

8

3

8

5

2. ...3

1

2

1 KPK dari 2 dan 3 adalah 6

6

1

6

2

6

3

3

1

2

1

a , b bilangan bulat dan b ≠ 0 , c bilangan real

a , b dan c bilangan bulat

a . b = c

Page 7: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 7

c. Operasi Perkalian.

Contoh :

Tentukan hasil perkalian

1. 3

1

6

2

23

12

2

1

3

2

x

xx

2. 3

28

12

104

4

13

3

8

4

13

3

22 xx

d. Operasi Pembagian.

Contoh :

Tentukan hasil pembagian

1. 4

11

4

5

12

15

2

5

6

3

5

2:

6

3 x

2. 8

5

18

5

4

9

5

18:

4

9

5

33:

4

12 x

3. Konversi Pecahan.

Sebuah bilangan pecahan dapat diubah ke bentuk persen, pecahan desimal

atau sebaliknya.

a. Mengubah pecahan biasa ke bentuk pecahan desimal.

Untuk mengubah pecahan biasa ke bentuk pecahan desimal dapat dilakukan

dengan dua cara yaitu :

1. Mengubah penyebutnya menjadi 10 , 100 , 1000 , ...

Contoh :

Ubahlah ke dalam bentuk desimal.

a. 5,010

5

5

5

2

1

2

1 x

b. 16,0100

16

4

4

25

4

25

4 x

2. Dengan pembagian berulang.

Contoh :

Ubahlah 6

2 ke dalam pecahan desimal

6

2 = 0,3333 ... = 0, 3

Page 8: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 8

b. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen.

Contoh :

Ubahlah pecahan berikut ke bentuk persen

a. 10

4 b.

8

32

Jawab :

a. %40100

40

10

4

b. %5,237100

5,237

1000

2375

125

125

8

19

8

32 x

Contoh :

Ubahlah ke dalam bentuk pecahan

a. 20 % b. 25 %

Jawab :

a) 20 % = 5

1

100

20

b) 25 % = 4

1

100

25

c. Mengubah persen ke pecahan biasa dan pecahan desimal.

Contoh :

Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal

a. 25 % = 25,04

1

100

25

b. 40 % = 40,010

4

100

40

Page 9: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 9

BAB II

PERSAMAAN LINEAR

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya

mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal.

Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan

sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis

merah)

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah:

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b

merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x3, y1/2, dan

xy bukanlah persamaan linear.

A. Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang terdiri dari satu

variabel dan pangkat terbesar dari variabel tersebut adalah satu.

Contoh:

Kedua kalimat di atas disebut Persamaan.

Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan = (sama dengan).

Page 10: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 10

Penyelesaian persamaan linear satu variabel

Contoh:

Tentukan persamaan dari .

2x - 1 = 5

2x=5+1

2x= 6

x=3

Tentukan persamaan dari .

2λ + 5 = 5λ - 10

2λ + 5 - 5 = 5λ - 10 - 5

2λ = 5λ - 15

15 = 5λ - 2λ

15 = 3λ

3λ.1/3 = 15.1/3

λ = 5

B. Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

a. Pengertian persamaan linear dua variabel

Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua

variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk Umum PLDV : ax + by = c x dan y disebut variable

b. Sistem persamaan linear dua variable

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua

variable yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu

penyelesaian.

Bentuk umum SPLDV :

ax + by = c px + qy = r

Ket: x , y disebut variable

a, b, p, q disebut koefisien

c , r disebut konstanta C.

Page 11: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 11

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable (SPLDV)

Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :

1. Metode Substitusi

Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain

contoh :

a. Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6

jawab :

Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8

Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,

Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan

2x – y = 6 menjadi 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)

16 – 4y – y = 6

16 – 5y = 6

-5y = 6 – 16

-5y = -10

5y = 10

y = 2

masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :

x + 2y = 8

x + 2. 2. = 8

x + 4 = 8

x = 8 – 4

x = 4

Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.

Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

Page 12: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 12

b. Carilah nilai e dan f dari persamaan tersebut dengan metode substitusi.

1.

2.

Karena persamaan nomor 2 lebih sederhana daripada persamaan nomor 1 maka

persamaan nomor 2 diubah menjadi:

Masukkan persamaan berikut hingga menjadi:

4e + 3(11 - e) = 31

4e + 33 - 3e = 31

e = 31 - 33

e = -2

Sekarang masukkan e= -2 kedalam persamaan

f = 11 – e

f = 11 + 2

f= 13

2. Metode Eliminasi

Dengan cara menghilangkan salaj satu variable x atau y.

contoh:

a. Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:

Jawab:

x + 2y = 8

2x – y = 6

(i) mengeliminasi variable x

x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16

2x – y = 6 | x 1 | –> 2x - y = 6 - ………*

5y = 10

y = 2

masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan

x + 2 y = 8

x + 2. 2 = 8

x + 4 = 8

Page 13: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 13

x = 8 – 4

x = 4

HP = {4, 2}

(ii) mengeliminasi variable y

x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8

2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……*

5x = 20

x = 4

masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan

x + 2 y = 8

4 + 2y = 8

2y = 8 – 4

2y = 4

y = 2

4 = 2

HP = {4, 2}

* catatan nilai + atau – digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah satu

variable agar menjadi 0

Contoh (i) yang dieliminasi adalah x :

x dalam persamaan satu + dan persamaan dua + digunakan tanda -

(ii) yang dieliminasi adalah y :

y dalam persamaan satu +, persamaan dua - atau sebaliknya digunakan tanda +

Page 14: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 14

b. Carilah nilai Δ dan t dari persamaan berikut dengan cara eliminasi.

1.

2.

Untuk mengeliminasi variabel Δ, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 1

dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 3. Kedua persamaan dikurangkan agar

variabel t hilang.

4Δ + 3t = 34 | X1 → 4Δ + 3t = 34

5Δ + t = 37 | X3 → 15Δ + 3t = 111

______________ -

-11Δ = -77

Δ = 7

Setelah kita mendapatkan nilai Δ yaitu 7, kita akan mencari nilai t.

Untuk mencari nilai t, persamaan nomor 1 dikalikan dengan 5 dan persamaan

nomor 2 dikalikan dengan 4. Kedua persamaan dikurangi agar variabel Δ hilang.

4Δ + 3t = 34 | X5 → 20Δ + 15t = 170

5Δ + t = 37 | X4 → 20Δ + 4t = 148

______________ -

11t = 22

t = 2

Jadi Δ = 7 dan t = 2.

c. Penggunaan sistem persamaan linear dua variable

Contoh:

Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila

membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-

Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah

mangga dan 5 buah jeruk ?

Jawab :

Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan

model matematika.

Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y

Page 15: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 15

Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :

2x + 3 y = 6000

5x + 4 y = 11500

Ditanya 4 x + 5 y = ?

Kita eliminasi variable x :

2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000

5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 - ( karena x persamaan 1

dan 2 +)

7y = 7000

y = 1000

masukkan ke dalam suatu persamaan :

2x + 3 y = 6000

2x + 3 . 1000 = 6000

2x + 3000 = 6000

2x = 6000 – 3000

2x = 3000

x = 1500

didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)

sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah

jeruk

adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000

= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-

d. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik

Pada pembahasan ini akan dibahas bagaimana cara menyelesaikan SPLDV

dengan menggunakan metode grafik. Tetapi, sebelum itu kita harus tahu bentuk

grafik dari persamaan linear dua variabel. Bagaimana bentuk grafik dari

persamaan linear dua variabel?

Page 16: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 16

Grafik dari persamaan linear dua variabel berbentuk garis lurus, seperti yang

ditunjukkan oleh gambar berikut:

Lalu bagaimana cara menggunakan grafik persamaan linear untuk menyelesaikan

permasalahan SPLDV? Pada dasarnya, terdapat 4 langkah dalam menyelesaiakan

permasalahan SPLDV dengan menggunakan metode grafik. Keempat langkah

tersebut adalah:

Langkah 1: Memodelkan informasi yang ada di soal.

Langkah 2: Menentukan dua titik yang dilalui grafik persamaan-persamaan

pada SPLDV.

Langkah 3: Menggambar grafik persamaan-persamaan tersebut.

Langkah 4: Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab

pertanyaan pada soal cerita.

Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh berikut.

1. Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 500

lembar. Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan harga karcis

kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp

3.250.000,00, tentukan banyak karcis masing-masing kelas I dan kelas II

yang terjual.

Langkah pertama adalah mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita di atas

menjadi model matematika, sehingga membentuk sistem persamaan linear.

Misalkan banyak karcis I dan II yang terjual secara berturut-turut adalah x dan

y, maka kalimat “Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas

II sebanyak 500 lembar,” dapat dimodelkan menjadi,

Page 17: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 17

Sedangkan kalimat, “Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan

harga karcis kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis

adalah Rp 3.250.000,00,” dapat dimodelkan menjadi,

Sehingga diperoleh SPLDV sebagai berikut.

Langkah kedua, kita cari koordinat dua titik yang dilewati oleh grafik

masing-masing persamaan tersebut. Biasanya, dua titik yang dipilih tersebut

merupakan titik potong grafik persamaan-persamaan tersebut dengan sumbu-x

dan sumbu-y.

Sehingga grafik persamaan x + y = 500 memotong sumbu-x di (500, 0) dan

memotong sumbu-y di (0, 500).

Sedangkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000 memotong sumbu-x di (406

1/4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 541 2/3).

Page 18: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 18

Langkah ketiga, kita gambarkan grafik persamaan-persamaan tersebut pada

koordinat Cartesius. Grafik persamaan-persamaan di atas dapat dilukis dengan

memplot titik-titik yang telah kita cari pada koordinat Cartesius kemudian

hubungkan titik (500, 0) dan (0, 500) untuk mendapatkan grafik x + y = 500,

serta titik (406 1/4, 0) dan (0, 541 2/3) untuk mendapatkan grafik 8.000x +

6.000y = 3.250.000.

Dari grafik di atas diperoleh bahwa titik potong grafik x + y = 500 dan 8.000x

+ 6.000y = 3.250.000 adalah (125, 375). Sehingga selesaian dari SPLDV di

atas adalah x = 125 dan y = 375.

Langkah keempat, kita gunakan selesaian di atas untuk menjawab

pertanyaan pada soal cerita. Karena x dan y secara berturut-turut menyatakan

banyak karcis I dan II yang terjual, maka banyaknya karcis kelas I yang terjual

adalah 125 lembar dan 375 lembar untuk karcil kelas II.

Page 19: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 19

BAB III

NILAI MUTLAK

A. Definisi Nilai Mutlak

Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Oleh karena

pembaca yang ingin memahami betul konsep-konsep dalam kalkulus disarankan

mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak.

Definisi:

Nilai mutlak dari suatu bilangan x dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut

terhadap titik 0 pada garis bilangan, dengan tidak memperhatikan arahnya. Ini

berarti |x| = 5 memiliki dua selesaian, karena terdapat dua bilangan yang jaraknya

terhadap 0 adalah 5: x = –5 dan x = 5 (perhatikan gambar berikut).

Konsep ini dapat diperluas untuk situasi yang melibatkan bentuk-bentuk aljabar

yang berada di dalam simbol nilai mutlak, seperti yang dijelaskan oleh sifat

berikut:

Jika X merupakan suatu bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka

|X| = k akan mengimplikasikan X = –k atau X = k.

Misal: |5| = 5 , |−5| = −(−5) = 5 , |0| = 0

Atau dengan kata lain bahwa nilai mutlak didefinisikan sebagai

| x | = x, jika x > 0,

= 0, jika x = 0,

= –x, jika x < 0.

Jelas bahwa | x | ≥ 0 untuk sebarang x є R.

Selain itu untuk setiap x, y є R :

• | xy | = | x |.| y |,

• | x/y | = | x |/| y |, dan

• | x + y | ≤ | x | + | y |

• | x |2 = x2 (jadi, | x | = √x2); | x | < a ↔ –a < x < a; dan | x | < | y | ↔ x2 <

y2.

Page 20: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 20

B. Contoh Kasus

Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Contoh 1:

Selesaikan persamaan: –5|x – 7| + 2 = –13.

Pembahasan

Pertama, kita isolasi nilai mutlak, yaitu membuat simbol nilai mutlak berada pada

satu ruas sedangkan suku-suku lainnya kita letakkan di ruas yang lain.

Sekarang perhatikan bahwa x – 7 merupakan “X” pada sifat persamaan nilai

mutlak, sehingga

Dengan mensubstitusi ke persamaan semula akan memastikan bahwa himpunan

selesaiannya adalah {4, 10}.

Catatan Untuk persamaan seperti pada contoh 1 di atas, hati-hati untuk tidak

memperlakukan simbol nilai mutlak seperti tanda kurung biasa. Persamaan –5(x –

7) + 2 = –13 hanya memiliki selesaian x = 10, dan tidak memiliki selesaian kedua

karena persamaan tersebut memiliki bentuk sederhana x – 7 = 3. Persamaan –5|x –

7| + 2 = –13 dapat disederhanakan menjadi |x – 7| = 3 yang memiliki dua

selesaian.

Persamaan nilai mutlak dapat muncul dari berbagai bentuk. Tetapi dalam

menyelesaikan persamaan tersebut, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak

baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak

Page 21: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 21

Contoh 2:

Tentukan himpunan selesaian dari persamaan: |5 – 2/3 x| – 9 = 8.

Pembahasan:

Dengan mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat

persamaan nilai mutlak, kita mendapatkan

Sehingga, himpunan selesaian dari persamaan tersebut adalah {–18, 33}.

Untuk beberapa persamaan, seringkali kita membutuhkan sifat perkalian

persamaan nilai mutlak untuk menyelesaikannya.

C. Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

Jika A dan B adalah bentuk-bentuk aljabar, maka |AB| = |A||B|.

Perhatikan bahwa jika A = –1 maka menurut sifat tersebut |–B| = |–1||B| = |B|.

Secara umum, sifat tersebut berlaku untuk sembarang konstanta A.

Page 22: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 22

Contoh 3: Menggunakan Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

Tentukan selesaian dari persamaan: |–2x| + 5 = 13.

Pembahasan

Seperti pada contoh-contoh sebelumnya, kita harus mengisolasi simbol nilai

mutlak baru dapat mengaplikasikan sifat-sifat persamaan nilai mutlak.

Diperoleh selesaian dari persamaan tersebut adalah x = –4 atau x = 4.

Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Contoh 1:

Selesaikan pertaksamaan | 1/x – 3 | > 6.

Jawab: | 1/x – 3 | > 6 ↔ | (1 – 3x)/x | > 6

↔ | 1 – 3x |/| x | > 6

↔ | 1 – 3x | > 6.| x | (x ≠ 0)

↔ (1 – 3x)2 > 36x2

↔ 27x2 + 6x – 1 < 0

↔ (9x – 1)(3x + 1) < 0

↔ -1/3 < x < 9.

Mengingat x ≠ 0, himpunan penyelesaiannya adalah

(-1/3,0) U (0,1/9).

Page 23: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 23

BAB IV

FUNGSI

A. Definisi Fungsi

Pemahaman mengenai suatu fungsi dapat lebih mudah dengan

mengilustrasikannya dalam sebuah tembakan dengan senapan. Ilustrasikan fungsi

sebagai suatu senapan. Fungsi akan mengambil amunisi dari suatu himpunan yang

disebut daerah asal (domain) dan menembakkannya pada suatu himpunan sasaran

yang disebut daerah hasil (range) atau secara singkatnya dapat dikatakan bahwa

A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan).

Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range

(daerah hasil). Setiap peluru mengenai sebuah titik sasaran tunggal, tetapi boleh

jadi beberapa peluru menuju pada titik yang sama.

Penyajian suatu fungsi dapat dilakukan melalui berbagai sajian, diantaranya

melalui pasangan berurutan, diagram venn, maupun dalam grafik kartesius.

Contoh : {(1,1),(2,4),(3,9)} apabila dinyatakan dalam diagram venn dapat

digambarkan dalam Gambar 1 berikut:

Gambar 1. Contoh Penyajian Fungsi dalam Diagram Venn

Dari dua macam sajian fungsi di atas, dapat dilihat bahwa Himpunan A di

relasikan terhadap Himpunan B, dengan daerah asal anggota dari himpunan A,

yaitu {1,2,3}, dan daerah hasil {1,4,9}.

Page 24: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 24

B. Macam-Macam Fungsi

Fungsi-fungsi yang ada, diantaranya disajikan berikut

a. Fungsi Linier

Fungsi Linier atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi

dari variabelnya adalah pangkat satu. Sesuai namanya, setiap persamaan linier

apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus.

Bentuk umum persamaan linier adalah :

y = ax + b

Dimana :

y = Variable tidak bebas

x = Variable bebas

a dan b = konstanta.

Ciri-ciri persamaan linear :

1. Apabila a > 0 maka garis akan bergerak dari bawah ke kanan atas.

2. Apabila a < 0 maka garis akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.

3. Apabila a1 ≠ a2 maka garis akan berpotongan.

4. Apabila a1 = a2 maka garis akan sejajar.

5. titik b merupakan perpotongan pada sumbu y.

6. a disebut juga tan α, a juga berarti menunjukan arah.

Contoh soal:

1.

a. Tentukan persamaannya !

b. Gambarkan grafiknya !

Jawab :

y = ax + b 9 = a + b

9 = a + b 11 = 2a + b _

11 = 2a + b -2 = -a

13 = 3a + b a = 2

9 = a + b

9 = 2 + b

x 1 2 3

y 9 11 13

Page 25: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 25

Persamaan Fungsi Linier

Bentuk umum fungsi linier :

ax + by + c = 0 (1)

Curam/gradien (m) :

(2)

Persamaan garis yang melalui dua titik :

dimasukkan ke persamaan 2 :

(3)

Contoh :

1. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (2,5) dan (4,3).

Jawab :

Page 26: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 26

2. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (3,2) dan (5,6).

Jawab :

3. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (-6,3) dan memiliki

gradien 4 !

Jawab :

y - y1 = m(x - x1)

y - 3 = 4(x+6)

y - 3 = 4x + 24

y = 4x + 24 + 3

y = 4x + 27

4. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (12,10) dan

memiliki gradien -3 !

Jawab :

y - y1 = m(x - x1)

y - 10 = -3(x-12)

y - 10 = -3x + 36

y = -3x + 36 + 10

y = -3x + 46

Page 27: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 27

Catatan :

Konstanta x yang bernilai positif menunjukkan garis bergradien positif atau bila

digambarkan garisnya berbentuk lurus dari kiri bawah ke kanan atas.

Konstanta x yang bernilai negatif menunjukkan garis bergradien negatif atau bila

digambarkan garisnya berbentuk lurus dari kiri atas ke kanan bawah.

Konstanta x menunjukkan gradien garis.

Contoh :

y = 4x + 27

gradien garisnya 4.

y = -3x + 46

gradien garisnya -3.

B. Hubungan Antara Dua Garis Lurus

Hubungan Bila

Berimpit Persamaan yang satu merupakan kelipatan

persamaan yang lain

Sejajar Curam (m) sama

Berpotongan tegak lurus m1 . m2 = -1

Contoh :

1. Tentukan hubungan antara garis 4x-2y-10=0 dengan garis :

a. 8x-4y-36=0

Jawab :

garis 1 :

Page 28: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 28

garis 2 :

Karena m1 = m2 = 2 maka hubungan antara kedua garis adalah

sejajar.

b. 8x-4y-20=0

Jawab :

Karena garis 8x-4y-20=0 merupakan kelipatan dari garis

4x-2y-10=0 maka hubungannya adalah berimpit.

c. 2x+4y-10=0

Jawab :

garis 2 :

garis 1 :

y = 2x - 5

maka, m1=2 dan m2=-0,5

m1 . m2 = -1

2 . (-0,5) = -1

Jadi hubungan antara dua garisnya adalah berpotongan tegak lurus.

Page 29: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 29

C. Perpotongan

Titik perpotongan antara dua garis adalah suatu titik di mana persamaan garis pertama sama

dengan persamaan garis kedua.

Contoh :

1. Garis y=2x-5 berpotongan dengan garis y=3x+10 pada titik?

Jawab :

y1 = y2

2x - 5 = 3x + 10

2x - 3x = 10 + 5

-x = 15

x = -15

Jika x = 15

maka : y = 2x - 5

= 2 (-15) - 5

= -35

Jadi garis y = 2x - 5 dan y = 3x + 10 saling berpotongan

pada titik (-15,-35)

Titik perpotongan antara dua garis juga dapat dicari dengan metode eliminasi.

Contoh :

2. Carilah titik perpotongan antara garis 2x-4y+5=0 dan 4x-6y-2=0 !

Jawab :

Page 30: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 30

y = 6

2x - 4(6) + 5 = 0

2x - 24 + 5 = 0

2x = 24 - 5

2x = 19

x = 9,5

Jadi garis 2x-4y+5=0 berpotongan dengan garis 4x-6y-2=0

pada titik (9,5 , 6).

Titik perpotongan juga bisa dicari dengan metode substitusi.

Contoh :

3. Carilah titik potong antara garis 6x - 2y - 4 =0 dengan

garis 4x - y + 5 = 0 !

Jawab :

6x - 2y - 4 = 0

2y = 6x - 4

y = (6x - 4)/2

y = 3x - 2 ............... (a)

Persamaan a kita masukkan ke persamaan kedua :

4x - y +5 = 0

4x - (3x - 2) + 5 = 0

4x - 3x + 2 + 5 = 0

x + 7 = 0

x = -7

Maka,

6x - 2y - 4 = 0

6(-7) - 2y - 4 = 0

-42 - 2y - 4 = 0

2y = -46

y = -23

Jadi garis 6x-2y-4=0 dengan garis 4x-y+5=0 berpotongan

pada titik (-7,-23).

Page 31: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 31

b. Fungsi Kuadrat

Bentuk persamaannya:

y = ax2 + bx + c

Dimana :

y = variable tidak tetap

x = variable tetap

a, b, c = konstanta

Ciri-ciri persamaan kuadrat

1. Jika a positif maka gambar membuka ke atas.

2. Jika a negatif maka gambar membuka ke bawah.

3. Semakin besar a, maka gambar semakin sempit.

4. Semakin kecil a maka gambar semakin lebar

5. Titik puncak membelah gambar sama besar

6. Titik a merupakan titik potong fungsi dengan sumbu y dimana x = 0

7. Titik b dan c merupakan titik potong fungsi dengan sumbu x dimana y = 0

8. Titik p disebut titik puncak

9. Jika x = 0 maka c merupakan titik potong dengan sumbu y

Contoh soal:

1.

Tentukan persamaan!

Jawab :

y = ax2 + bx + c 5 = 3a + b x 1

8 = a + b + c 12 = 8a + 2b x 2

13 = 4a + 2b + c 10 = 6a + 2b

20 = 9a + 3b + c 12 = 8a + 2b _

-2 = -2 a

a = 1

13 = 4a + 2b + c

8 = a + b + c _

5 = 3a + b (1)

x 1 2 3 4

y 8 13 20 29

Page 32: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 32

5 = 3a + b

5 = 3 + b

b = 2

20 = 9a + 3b + c

8 = a + b + c _

12 = 8a + 2b + c (2) 8 = a + b + c

8 = 1 + 2 + c

c = 8 – 3

c = 5

Jadi persamaannya adalah y = x2 + 2 x + 5

c. Perpotongan Garis ( Titik Keseimbangan )

Fungsi kebalikan

Rumus umum : x = ay2 + by + c

Contoh soal :

Carilah titik keseimbangan antara persamaan y = -2x + 50 dengan persamaan y

= -x +7 ! Gambarkan !

Jawab :

y = -2x + 50

2x = -y + 50

x = -½y + 25 ( D ) x = - ½ y + 25

y = -x + 70

x = -y + 70 ( S )

x = -y + 70

x -2 -1 0 1 2

y 5 4 5 8 13

x 0 25

y 50 0

Page 33: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 33

D = S

½ y + 25 = -y + 70

½ y = 45

y = 90

x = -y + 70

x = -90 + 70

x = -20

titik potong ( -20, 90 )

d. Fungsi Permintaan dan pernawaran

Fungsi Permintaan ( D )

Fungsi yang menunjukan hubungan antara jumlah produk yang diminta konsumen

pada periode tertentu dan dipengaruhi oleh :

1. Harga produk itu sendiri

2. Pendapatan konsumen

3. Harga produk yang diharapkan pada periode mendatang

4. Harga produk lain yang saling berhubungan

5. Selera konsumen

Fungsi Penawaran ( S )

Fungsi yang menunjukan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan pada

periode tertentu dandipengaruhi oleh :

1. Harga produk tersebut

2. Tingkat teknologi yang tersedia

3. Harga dari faktor produksi (input) yang digunakan

4. Harga produk lain yang berhubungan dalam produksi

5. Harapan produsen terhadap harga produk tersebut di masa mendatang

Keseimbangan Pasar ( E )

1. Keseimbangan pasar satu macam produk

Syarat untuk mencapai ini adalah jumlah produk yang diminta oleh konsumen

harus sama dengan jumlah prosuk yang ditawarkan oleh produsen ( Qd = Qs )

atau harga produk yang diminta sama dengan produk yang ditawarkan ( Pd = Ps )

x 0 70

y 70 0

Page 34: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 34

Contoh soal :

Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5p dan fungsi

penawarannya adalah Qs = 7 – 2p

a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar ?

Jawab :

a.) Qd = Qs

10 – 5 p = 7 – 2p

3p = 3

P = 1

Q = 10 – 5p

Q = 5

Harga danjumlah keseimbangan pasar adalah E ( 5,1 )

2. Keseimbangan pasar dua macam produk

Fungsi permintaan dan penawaran dapat perluas menjadi fungsi yang memiliki

dua variable bebas yaitu harga produk itu sendiri dan harga produk lain yang

saling behubungan. Misalnya ada dua produk x dan y yang saling behubungan

dimana;

Qdx = Jumlah yang diminta untuk produk x

Qdy = Jumlah yang diminta untuk produk y

Px = Harga barang x

Py = Harga barang y

Contoh soal :

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dua macam produk yang memiliki

hubungan subsitusi :

Qdx = 4 – 2Px + Py

Qdy = -4 + Px + 5Py

Qsx = -8 + 3Px – 5Py

Qsy = 5 – Px – Py

Carilah keseimbangan pasarnya

Q 0 10

P 2 0

Page 35: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 35

Jawab :

Qdx = Qsx

4 – 2Px + Py = -8 + 3Px – 5Py

12 = 5Px – 6Py ( 1 )

Qdy = Qsy

-4 + Px + Py = 5 – Px – Py

9 = 2Px + 6Py ( 2 )

12 = 5Px – 6Py

9 = 2Px + 6Py +

21 = 7Px

Px = 3

9 = 2Px + 6Py

9 = 2 (3) + 6 Py

9 = 6 + 6 Py

6Py = 3

Py = ½

Qdy = -4 + Px + 5Py

= 4 – 6 + ½

= -1 ½

e. Pengaruh Pajak ( t ) Pada Keseimbangan Pasar

Jika sesuatu produk dikenakan pajak oleh pemerintah, maka akan terjadi

perubahan keseimbangan atas produk tersebut. Pada produk tertentu akan

menyebabkan harga produk tersebut naik karena produsen membebankan

sebagian pajak pada konsumen, sehingga jumlah produk yang diminta pun

berkurang.

TG = Pajak total oleh pemerintah = d, b, Et, Pt

TK = Pajak yang ditanggung oleh konsumen = Pt, Po, C, Et

TP = Pajak yang ditanggung oleh produsen = Po, C, B, d

Page 36: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 36

Maka : TK = ( Pt – Po ) Qt

TG = t.Qt

TP = TG – TK

Qt = Jumlah kseimbangan setelah kena pajak

Contoh soal :

Diketahui suatu produk ditunjukan fungsi permintaan P = 8 + Q dan fungsi

penawaran P = 16 – 2Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit

a. berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ?

b. berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ?

c. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ?

Jawab ;

a. Pd = Ps

7 + Q = 16 – 2Q P = 7 + Q

3Q = 9 P = 7 + 3

Q = 3 P = 10

Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 )

Pt = 16 – 2Q + t

= 16 – 2Q + 3

= 19 – 2Q Pt = Pd

19 – 2Q = 7 + Q

3Q = 12

Q = 4

Pt = 19 – 2Q

= 19 – 8

= 11

Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E ( 4,11 )

b. TG = t.Qt

= 3 . 4

= 12 ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- )

Page 37: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 37

c. TK = ( Pt – Po ) Qt

= ( 11 – 10 ) 4

= 4 ( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 4,- )

Tp = TG – TK

= 12 – 4

= 8 ( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 8,- )

f. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar

Subsidi ( s ) adalah bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen terhadap

produk yang dihasilkan atau dipasarkan, sehingga harga yang berlaku dipasar

lebih rendah sesuai dengan keinginan pemerintah dan daya beli masyarakat

meningkat. Fungsi penawaran setelah subsidi adalah F ( Q ) = P + S atau P = F

( Q ) – S

Contoh Soal ;

Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Q = 12 – 2P sedangkan

penawarannya Q = -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,-

setiap unit barang.

a. berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?

b. berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ?

c. berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?

d. berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?

Jawab ;

a.) Qd = Qs Q = 12 – 2P

12 – 2P = -4 + 2P = 12 – 8

4P = 16 = 4

P = 4 ( Keseimbangan pasar sebelum subsidi So ( 4, 4 )

b.) Qd = 12 – 2P => P = ½ Qd + 6 Pd = Pss

Qs = -4 + 2P => P = ½ Qs + 2 - ½ Q + 6 = ½ Q

Pss = ½ Q + 2 – 2 Q = 6

Pss = ½ Q P = ½ Q

P = 3

( Keseimbangan pasar setelah subsidi Ss ( 6, 3 )

Page 38: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 38

c.) SK = ( Po – Ps ) Qs SP = S – (( Po – Ps ) Qs)

= ( 4 – 3 ) 6 = 12 – (( 4 – 3 ) 6 )

SK = 6 = 12 - 6

SG = Qs . s = 6

= 6 . 2 = 12

( Besar subsidi untuk produsen Rp. 6,- )

( Besar subsidi untuk konsumen = Rp. 12,- )

d.) Subsidi yang diberikan pemerintah

SG = s . Qs

= 2 . 6

= 12

Page 39: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 39

BAB V

LIMIT

A. Limit Fungsi

Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempat

dengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama

terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5

bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus.

Jika dirata-rata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah 29 /5 =

5,8 dan dikatakan hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali

kamu temukan kata-kata hampir, mendekati, harga batas, dan

sebagainya.Pengertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian limit. Limit

merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada

kalkulus. Untuk lebih jelasnya, dalam bab ini kamu akan mempelajari konsep

limit fungsi dalam pemecahan masalah.

B. Rumus Limit Fungsi

Rumus Limit

Page 40: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 40

Limit ln log dan bilangan e

Limit trigonometri sederhana, sin x dan tan x saja yang bisa dipakai

Cara menyelesaikan limit yang sederhana dengan menghilangkan faktor (x-a),

dalil L’Hopital, dan mengalikan akar sekawan

Page 41: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 41

Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.

Contoh: Perhatikan fungsi

untuk nilai x yang mendekati 1

x 0 0,9 0,95 0,98 … 1,0001 1,0005 1,05 1,1

f(x) 1 1,9 1,95 1,98 … 2,0001 2,0005 2,05 2,1

Gambar grafiknya:

Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:

→ Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2

→ Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2

→ Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2

Teorema:

Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada

Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:

Page 42: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 42

C. Sifat-Sifat Limit

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:

1. Substitusi langsung

Contoh:

2. Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)

Contoh:

Ingat:

(a2 – b2) = (a – b)(a + b)

(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)

(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)

3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)

Contoh:

Page 43: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 43

4. Untuk limit tak terhingga:

→ Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi

→ Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi

Sifat operasi dengan ∞:

Contoh:

Cara cepat dalam mengerjakan limit!

→ Untuk bentuk pecahan:

Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞

Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0

Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien

pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah

Page 44: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 44

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:

→ Untuk bentuk

Contoh:

5. Limit trigonometri:

Untuk cosinus:

1 – cos ax = 2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)

cos ax – 1 = –2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)

1 – cos2ax = sin2ax (dari sin2x + cos2x = 1)

Page 45: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 45

Bilangan e

Bilangan e didapat dari:

e = 2,718281828…

Rumus-rumus pengembangannya:

Kontinuitas

Suatu fungsi kontinu di x = a jika:

1. f(a) ada (dapat dihitung/real)

2.

3.

Ilustrasi:

Page 46: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 46

BAB VI

TURUNAN

Differensial/Turunan adalah suatu pendekatan untuk menghitung suatu (jarak atau

panjang dari suatu lintasan yang gak beraturan atau tidak diketahui.

A. Menghitung Turunan yang Mengarah ke Konsep Limit Fungsi

Limit dapat digunakan untuk menentukan gradien dari suatu kurva. Selain itu,

limit juga digunakan untuk mendefinisikan salah satu operasi yang fundamental

pada kalkulus, yaitu turunan.

Definisi Turunan Suatu Fungsi Turunan fungsi f pada x didefinisikan sebagai:

apabila limitnya ada. Untuk setiap x sedemikian sehingga limitnya ada, f ’ adalah

fungsi terhadap x.

Yang patut dicatat adalah turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi

terhadap x. Fungsi “baru” ini memberikan gradien dari garis singgung terhadap

grafik f di titik (c, f(c)), asalkan grafik fungsi tersebut memiliki garis singgung di

titik (c, f(c)).

Proses untuk menentukan turunan dari suatu fungsi disebut penurunan. Suatu

fungsi terturunkan di x jika turunannya ada di x, dan terturunkan di selang buka

(a, b) jika fungsi tersebut terturunkan di setiap titik dalam selang.

Sebagai tambahan, selain f ’(x), notasi lain juga dapat digunakan untuk

menyatakan turunan dari y = f(x). Notasi yang sering digunakan adalah:

Page 47: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 47

Notasi dy/dx dibaca “turunan y terhadap x” atau “dy, dx”. Dengan menggunakan

notasi limit, kita dapat menuliskan

Contoh 1: Menemukan Turunan dengan Proses Limit

Tentukan turunan dari f(x) = 2x3 – 3x.

Pembahasan:

Ingat bahwa turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi, yang dapat

digunakan untuk menentukan gradien garis singgung grafik f di titik (c, f(c)).

Tips: Ketika menggunakan definisi untuk menurunkan fungsi, kuncinya adalah

memanipulasi persamaan sebelah kanan sehingga penyebutnya tidak memiliki

faktor Δx.

Page 48: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 48

Contoh 2: Menggunakan Turunan untuk Menentukan Gradien di Suatu Titik

Tentukan f ’(x) untuk f(x) = √x. Kemudian tentukan gradien grafik pada titik (1, 1)

dan (4, 2). Jelaskan perilaku f di titik (0, 0).

Pembahasan:

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah merasionalkan pembilang.

Pada titik (1, 1), gradiennya adalah f ’(1) = 1/2. Pada titik (4, 2), gradiennya

adalah f ’(4) = 1/4. Perhatikan gambar di bawah ini. Pada titik (0, 0), gradiennya

tidak terdefinisi. Akan tetapi, grafik f memiliki garis singgung berupa garis

vertikal pada titik (0, 0)

Page 49: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 49

Di beberapa kasus, penggunaan variabel x bisa digantikan oleh variabel lainnya.

Hal ini seperti yang ditunjukkan oleh contoh 3 berikut.

Contoh 3: Menentukan Turunan dari Suatu Fungsi

Tentukan turunan terhadap t dari fungsi y = 7/t.

Pembahasan:

Misalkan y = f(t), kita mendapatkan

B. Menghitung Turunan Fungsi yang Sederhana dengan Menggunakan

Definisi Turunan

1. Turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v

Misalnya anda menemukan contoh soal seperti berikut ini. Carilah f ′(x) jika f(x) =

3x3 + 7x2. Contoh soal tersebut merupakan salah satu contoh turunan fungsi yang

berbentuk y = u + v. Bagaimana cara mencari turunan pertama dari soal tersebut

tanpa menggunkan konsep fungsi limit?

Bila y = f(x) = u(x) + v(x) di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari

v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x) + v'(x). Begitu juga

bila f(x) = u(x) – v(x), maka f ′(x) = u'(x) + v'(x). Jadi, jika y = u ±v, maka y' = u'

± v'. Oleh karena itu, dengan menggunakan konsep turunan, maka

f(x) = 3x3 + 7x2

f′(x) = 9x2 + 14x

Page 50: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 50

Nah itu teorinya, agar lebih jelasnya, coba anda pelajarilah beberapa contoh soal

berikut ini:

Contoh Soal 1

Carilah f ′(x) jika f(x) = 3x2 + 7x

Penyelesaian:

f(x) = 3x2 + 7x

Misal:

u = 3x2 → u' = 3⋅2⋅x2 – 1 = 6x1 = 6x

v = 7x → v' = 7⋅1⋅x1 – 1 = 7x0 = 7⋅1 = 7

Jadi jika f(x) = u + v, maka f ′(x) = u' + v' = 6x + 7

Contoh Soal 2

Carilah f ′(x) jika f(x) = –x3 – 8x2

Penyelesaian:

f(x) = –x3 – 8x2

Misal:

u = –x3 → u' = –3x3 – 1 = –3x2

v = 8x2 → v' = 8 ⋅ 2⋅ x2 – 1 = 16 x1 = 16x

Jadi jika f(x) = u – v, maka f ′(x) = u' – v' = –3x2 – 16x

2. Turunan fungsi yang berbentuk y = u⋅ v

Pembahasan di atas sudah dijelaskan penjumlahan atau pengurangan dari turunan

fungsi, maka sekarang kita lanjut dengan turunan fungsi dalam bentuk perkalian

atau perkalian turunan fungsi. Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)(5x + 3).

Apakah caranya sama seperti penjumlahan atau pengurangan turunan fungsi?

Jika y = f(x) = u(x) ⋅ v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari

v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x)⋅ v(x) + u(x) ⋅ v'(x).

Jadi jika y = u⋅ v, maka y' = u' v + u v'.

Page 51: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 51

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh soal 1

Carilah y′ jika y = x(5x + 3)

Penyelesaian:

Cara 1:

y = x (5x + 3)

y = 5x2 + 3x

y' = 5 ⋅ 2x2 – 1 + 3 ⋅1 x1 – 1

y' = 10x1 + 3 ⋅ x0

y' = 10x + 3 ⋅ 1

y' = 10x + 3

Cara 2:

y = x(5x + 3)

misal:

u = x → u' = 1

v = 5x + 3 → v' = 5 + 0 = 5

Jadi jika y = u⋅ v, maka

y' = u' v + u v'

y' = 1 (5x + 3) + x (5)

y' = 5x + 3 + 5x

y' = 10x + 3

Contoh soal 2

Carilah y ′ jika y = 3(2x + 1) x2

Penyelesaian:

Cara 1:

y = 3(2x + 1) x2

y = 6x3 + 3x2

y' = 6 ⋅ 3x3 – 1 + 3 ⋅2 x2 – 1

y' = 18x2 + 6x

Page 52: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 52

Cara 2:

y = 3(2x + 1) x2

y = (2x + 1) 3x2

misal:

u = 2x + 1 → u' = 2

v = 3x2 → v' = 6x

Jadi jika y = u⋅ v, maka

y' = u' v + u v'

y' = 2 ⋅ 3x2 + (2x + 1) 6x

y' = 6x2 + 12x2 + 6x

y' = 18x2 + 6x

3. Turunan fungsi yang berbentuk y = u/v

Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)/(5x + 3). Apakah caranya sama seperti

perkalian turunan fungsi? Jika y = f(x) = u(x)/v(x), di mana turunan dari u(x)

adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x)

= (u'(x)⋅ v(x) - u(x) ⋅ v'(x))/ v(x)2. Jadi jika y = u/v, maka y' = (u'v + uv')/v2.

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi

Carilah turunan pertama dari y = (3x+1)/(4x-3)

Penyelesaian:

y = (3x+1)/(4x-3)

misal:

u = 3x – 2 → u' = 3

v = 5x + 6 → v' = 5

Jika y = uv, maka

y' = (u′ v - uv′)/v2

y' = (3(5x+ 6) - (3x - 2)5)/(5x+6)2

y' = ((15x+ 18) - (15x - 10))/(5x+6)2

y' = 28/(5x+6)2

Page 53: Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 53

4. Turunan fungsi yang berbentuk y = un

Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)12. Bagaiman cara mencari turunan fungsi

seperti soal tersebut? Jika y = f(x) = u(x)n, di mana turunan dari u(x) adalah u'(x),

maka turunan pertama dari f(x) adalah f ′(x) = n.u′(x).u(x)n-1⋅ Jadi jika y = un, maka

y' = n.u'.un-1

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini:

Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi Pangkat

Carilah turunan pertama dari y = (2 + 5x2)5

Penyelesaian:

y = (2 + 5x2)5

misal :

u = 2 + 5x2 → u' = 10x

Jika y = un, maka

y' = n. u'.un – 1

= 5. 10x (2 + 5x2)5 – 1 ⋅

= 50x(2 + 5x2)4

Jadi, Untuk u dan v masing-masing fungsi x, u' turunan dari u dan v' turunan dari

v dan k bilangan konstan, berdasarkan pembahasan tersebut dapat disimpulkan

beberapa rumus untuk turunan fungsi sebagai berikut:

C. Rumus Turunan

Rumus-rumus di dalam kotak tersebut dapat dibuktikan dengan menggunkan

konsep limit fungsi.