Kalkulus (bab 1)

Variabel & Fungsi

KALKULUS - 1 Slide - Slide - 11

Pertemuan #2:Pertemuan #2:

VVariabelariabel dan dan

FFungsi ungsi

Variabel & Fungsi


Sistem Bilangan

Bilangan Riil

Bilangan Rasional

Bilangan Irrasional

Bilangan bulat positif

Bilangan bulat negatif

Bilangan nol

Pecahan a/b,dengan a & b bulat

2 = 1,4142

= 3,14159

Variabel & Fungsi


Garis Bilangan, Konstanta dan Peubah

Garis bilangan suatu penyajian bilangan-bilangan riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus.

Membentuk suatu garis bilangan pada suatu garis tertentu : (i) pilih sembarang titik pd garis sbg titik asal (sesuai dgn 0) (ii) pilih suatu arah positif (ditunjukkan o/ sebuah ujung panah) (iii) dengan sembarang satuan ukuran yg cocok, tempatkan titik +1 pada jarak satu satuan dari 0. Jika a & b bilangan yg berbeda; a<b berarti bahwa a berada

dikiri b pd garis bilangan sedang a>b berarti bahwa a ada dikanan b.

Variabel & Fungsi


Dalam definisi selang a < x < b :

(i) simbol a & b menyatakan suatu bilangan tunggal & disebut suatu konstanta

(ii) simbol x menyatakan tiap bilangan suatu himpunan (kumpulan) bilangan-bilangan dan disebut peubah (variabel).

Jangkauan (range) suatu peubah ad. nama lain untuk himpunan bilangan yang diwakilinya.

Variabel & Fungsi


PertidaksamaanPersyaratan seperti a < b, a > b, a b & a b disebut pertidaksamaan. Ketentuan :a) a > 0, jika & hanya jika a positif ; f) Jika a < b, maka a+c < b+c, jika c bil. riilb) a < 0, jika & hanya jika a negatif ; g) Jika a < b & c < d, maka a+c < b+dc) a >0, jika & hanya jika –a < 0 ; h) Jika a < b & c bil. positif, maka ac < bcd) a < 0, jika & hanya jika –a > 0 ; i) Jika a < b & c bil. negatif, maka ac > bce) Jika a < b dan b < c, maka a < c ; j) Jika 0 < a < b & 0 < c < d, maka ac < bd

Menyelesaikan pertidaksamaan :Sama dgn persamaan, prosedur u/ menyelesaikan pertidaksamaan satu langkah tiap kali sampai himpunan pemecahan jelas. Dpt melaksanakan operasi2 tertentu pd suatu pertidaksamaan tanpa mengubah himpunan pemecahannya. Khususnya :1. Dapat ditambahkan bil. yg sama pada kedua pihak suatu pertidaksamaan2. Dapat dikalikan kedua pihak suatu pertidaksamaan dgn suatu bilangan positif,3. Dapat dikalikan kedua pihak dgn suatu bilangan negatif, tetapi kemudian harus membalikkan arah tanda pertidaksamaan.

Variabel & Fungsi


2. Selesaikanlah pertidaksamaan kuadrat berikut ini : Penyelesaian : Seperti pers. kuadrat, pindahkan semua suku bukan nol ke salah satu ruas & faktornya.

)faktorkan(0)2x)(3x(

)6tambahkan(06xx

6xx2

2

62 xx

-2 3(-2,3)

-2 & 3 ad. Titik-2 pemecahannya, titik-2 ini membagi garis riil menjadi 3 selang (-, -2), (-2, 3) & (3, ). Pd tiap selang ini (x – 3)(x + 2) bertanda tetap, selalu positif a/ selalu negatif. U/ mencari tanda ini dlm tiap selang dipakai titik-2 uji -3, 0, & 5 (sembarang titik pd ketiga selang tsb yg memenuhi).Hasilnya : titik uji -3 bertanda positif (+) ; titik uji 0 bertanda negatif (-) & titik uji 5 bertanda positif (+). Shg dapat disimpulkan bahwa himpunan pemecahannya ad. selang (-2,3).

Contoh :1. Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x -2 & perlihatkan grafik himpunan. Penyelesaian : 2x – 7 < 4x – 2 2x < 4x + 5 (tambahkan 7) - 2x < 5 (tambahkan – 4x) x > -5/2 (kalikan dengan – ½ )

-3 -2 -1 0 1 2 3

2

5:

2

5xx

Variabel & Fungsi


Nilai Mutlak

Nilai mutlak (absolut) dari suatu bilangan riil didefinisikan sbg :x = x jika x 0x = - x jika x 0

Misalnya : 5 = 5, karena 5 0 dan - 2 = - (-2) = 2 , karena – 2 0

Sifat-sifat dari harga mutlak :Jika a, b R, maka :1) a b jika dan hanya jika –b a b, dimana b 02) a b jika dan hanya jika a -b atau a b3) ab = a b 7) a - b ≤ a + b 4) a + b ≤ a + b 8) 5) a - b a - b

b

a

b

a

Variabel & Fungsi


1) Carilah harga x yang memenuhi x - 5 < 4 Penyelesaian :

x - 5 < 4 - (x – 5) < 4 x – 5 < 4 atau - x + 5 < 4

x < 9 -x < -1 x > 1

Harga x yang memenuhi : 1 < x < 9

1 9

Contoh :

2. Tentukan harga x yang memenuhi : Penyelesaian : atau :

6523 xx

65x23x

65x23x

1/2x

48x

4x

82x

265x3x

65x2)3x(

Harga x yang

memenuhi adalah : x = ½ atau x = 4

Variabel & Fungsi


FUNGSI

Fungsi suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.

Unsur-unsur pembentuk fungsi : variabel, koefisien dan konstanta

Variabel Unsur pembentuk fungsi yg mencerminkan atau mewakili faktor tertentu.Berdasarkan kedudukan/sifatnya variabel dibedakan :

variabel bebas variabel terikat.

Variabel & Fungsi


Variabel Variabel bebas : variabel yg nilainya tidak tergantung pada

variabel lain.

Variabel terikat (tetap) : variabel yg nilainya tergantung pada variabel lain

Koefisien dan Konstanta Koefisien : bilangan/angka yg terkait pada dan terletak didepan suatu variabel dalam sebuah fungsi.

Konstanta : bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu.

Variabel & Fungsi


Fungsi Dari Sebuah Variabel y = f(x) variabel y merupakan fungsi dari variabel x jika terdapat

suatu hubungan, shg u/ setiap harga x dalam daerahnya dapat ditentukan suatu nilai y : x = variabel bebas, sedang

y = variabel tdk bebas karena nilainya ditentukan pilihan nilai x.

Simbol f(x) dibaca ”fungsi x” atau ”fungsi dari x” digunakan u/ menyatakan fungsi dari x. Jika dalam soal yg sama dijumpai fungsi lain dari x, maka digunakan notasi lain sbg berikut :g(x), h(x), F(x), G(x), ........

Dlm mempelajari fungsi y = f (x) perlu diketahui daerah dari variabel bebas x, juga disebut ”domain” yang menentukan dari fungsi.

a) Fungsi f(x) dikatakan tertentu dalam suatu interval jika dapat ditentukan u/ tiap nilai x dari inteval tersebut. b) Jika f(x) ad. fungsi dari x & a dalam domain yg menentukan, maka f (a) diartikan sebuah bilangan yg diperoleh dari f (x) menggantikan x

oleh a.

Variabel & Fungsi


Contoh : Jika f(x) = maka :

24xx3

124124(1)(1)f(1) 3

228822)4(2)(2)f( 3

24aa24(a)(a)f(a) 33

Variabel & Fungsi


Operasi pada Fungsi

Operasi pada fungsi Rumus

Penjumlahan (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Selisih (f – g)(x) = f(x) – g(x)

Hasil Kali (f . g)(x) = f(x) . g(x)

Hasil Bagi

Fungsi bukanlah bilangan.Tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g.

)(

)()(

xg

xfx

g

f

Variabel & Fungsi


Fungsi Aljabar

Fungsi Aljabar terdiri dari : Fungsi Linier Fungsi Kuadrat Fungsi pangkat banyak Fungsi pecah

Fungsi Linier (fungsi garis lurus) :

Fungsi Linier (fungsi garis lurus) : adl. st fungsi dimana variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linier :

y = f(x) = ax + b a & b : konstanta x : variabel bebas y : variabel tidak bebas/yg

dipengaruhi

Variabel & Fungsi


Contoh Fungsi Linier

x -2 -1 0 1 2

y -4 -1 2 5 8

1) y = 3x + 2 Penyelesaian : Dengan menggunakan tabel x dan y :

Dgn menggambarkan grafik fungsi : titik potong dgn sumbu y pd x =0 maka y =2 titiknya adl. A (0,2)

titik potong fungsi dgn sumbu x pd y = 0, maka x = -2/3 titiknya adl. B (-2/3 ; 0)

Variabel & Fungsi


Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat merup. Suatu fungsi non-linier (garis tdk lurus) yang variabel bebasnya berpangkat dua.

Grafik dari fungsi kuadrat apabila digambarkan merupakan garis tdk lurus yg berbentuk parabola.

Bentuk umum fungsi kuadrat : 1) y = f(x) y = ax2 + bx + c dimana : a, b, c : adl. Konstanta x : variabel bebas y : variabel tdk bebas

2) x = f(y) x = ay2 + by + c dimana : a, b, c : adl. Konstanta y : variabel bebas x : variabel tdk bebas

Variabel & Fungsi


Fungsi Kuadrat : y = f(x) y = ax2 + by +c

1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : * dengan menggunakan tabel x dan y ”curve tracing process” :

X -2 -1 0 1 2½ 3 4 5Y 20 12 6 2 -¼ 0 2 6

* Gambarkan Grafik : dgn menghubungkan titik-titik koordinat tersebut, grafik fungsi akan merupakan suatu garis tdk lurus yang berbentuk parabola.

Variabel & Fungsi


1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Grafik fungsi :

Variabel & Fungsi


1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Ciri-ciri matematis dari fungsi kuadrat, bila y = f(x) = ax2 + bx + c : a) Titik potong fungsi dgn sumbu y adl. pada x = 0, maka y = c. Titiknya adalah a (0,c) b) Titik potong fungsi dengan sumbu x adl. Pada y = 0, jadi ax2 + bx + c = 0. Ada 3 kemungkinan yang terjadi, yaitu : i) Bila deskriminan (D) b2 – 4ac > 0 , maka terdapat 2 buah titik potong :

ii) Bila D adl. Sama dengan 0 (b2 – 4ac = 0), maka hanya terdapat satu buah titik potong fungsi kuadrat dgn sumbu x.

iii) Bila D < 0, maka tdk terdapat titik potong fungsi kuadrat dgn sumbu x.

2a4acb

1

2

2a

bx

2a

4acb2

2

2a

bx

;

Lanjutan

Variabel & Fungsi


1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab :

c) Titik puncak, yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat (parabola) kembali ke arah semula. Titik puncak :

d) sumbu simetri : sumbu yg membagi/membelah dua grafik fungsi kuadrat menjadi dua bagian yg sama. Persamaan sumbu simetri :

Lanjutan

4a

4ac)(by;

4a

D

2a

bxP

2

2a

bx

Variabel & Fungsi


1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Untuk soal : Titik potong fungsi dgn sumbu y adl. Pada x = 0, y = 6 titiknya : A (0,6) Titik potong fungsi dgn sumbu x pd y = 0, dimana : D = b2 – 4ac = 25 – 4(6) = 1 > 1. Maka terdapat 2 titik potong : a) titiknya B1 (3,0)

b) titiknya B2 (2,0)

Titik puncak :

Lanjutan

32

4(6)255x1

22

4(6)255x2

1/4

4

4(6)(25y;

2

5xP

Variabel & Fungsi


1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Untuk soal : Sumbu simetrinya :

Lanjutan

212

2

5x

2) diketahui : y = -x2 + 6x - 9 Gambarkan grafik fungsi tersebut.

Variabel & Fungsi


Pembentukan Persamaan Linier Pers. Linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, tergantung pd data yg tersedia :

1. cara dwi-koordinat2. cara koordinat-lereng3. cara penggal-lereng4. cara dwi-penggal

Apabila diketahui 2 buah titik A dan B dengan koordinat masing2 (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah :

1. Cara Dwi-koordinat

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

Variabel & Fungsi


Pembentukan Persamaan Linier

contoh :1. Tentukan pers. Linier yang garisnya melalui titik A (2, 3) dan B (6, 5). Jawab :

2. Tentukan pers. linier yg garisnya melalui titik C (-1, 4) dan B (1, 0)

1. Cara Dwi-koordinat

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

26

2

35

3

xy

4

2

2

3

xy

42124 xyxyxy 5,02824

Variabel & Fungsi



Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan liniernya adalah :

Contoh :Jika diketahui bahwa titik A (2, 3) dan lereng garisnya adalah 0,5; maka tentukan pers. Linier yg memenuhi kedua data tsb.Jawab :

2. Cara Koordinat -Lereng

garis lerengb )( 11 xxbyy

)( 11 xxbyy

)2(5,03 xy

xyxy 5,0215,03

Variabel & Fungsi



Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggalnya pd salah satu sumbu dan lereng garis yg memenuhi persamaan tsb.Persamaan liniernya adl :

Mis. Penggal & lereng garis y = f(x) masing-masing adalah 4 dan 2,maka pers. Liniernya adalah :

3. Cara Penggal-Lereng

lereng)b penggal,(a bxay

xy 24

Variabel & Fungsi



Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tsb pd masing2 sumbu, yaitu penggal pd sumbu vertikal (pd saat x = 0) dan Penggal pd sb horizontal (pd saat y = 0).Apabila a & c adalah penggal pd sumbu vertikal & horizontal dari sebuah garis lurus, maka pers. Garisnya adalah :

Contoh :Mis. Penggal sebuah garis pd sumbu vertikal & sb horizontal adalah 2 dan 4, maka pers. Linier yg memenuhi adalah :

4. Cara Dwi-Penggal

horizontal penggalb vertikal; penggala xc

aay

xc

aay

xyxy 5,02)4(

22

Variabel & Fungsi


Pencarian Akar-akar Persamaan Linier akar-akar pers. Linier besarnya nilai variabel-variabel didalam

persamaan tsb.

Penyelesaian pers. Linier dapat dilakukan dengan :1. cara subsitusi2. cara eliminasi3. cara determinan

1. Cara Subsitusi 2 buah persamaan dgn 2 bilangan/variabel yg belum diketahui nilainya

dapat diselesaikan dgn cara : selesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan u/ salah satu variabel subsitusikan hasilnya ke dalam persamaan yg lain.

Variabel & Fungsi


1. Cara Subsitusi

Contoh :Carilah nilai-nilai variabel x dan y dari 2 persamaan berikut : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23

Jawab :Mis. Selesaikan dahulu pers (2), diperoleh : x = 23 – 4y, kemudian subsitusikan hasil ( x = 23 – 4y) ke dalam pers. (1), sehingga :

2x + 3y = 212 (23 – 4y) + 3y = 2146 – 8y + 3y = 2146 – 5y = 21 y = 5

Hasil y = 5, masukkan ke dalam salah satu pers. untuk memperoleh nilai x :2x + 3y = 212x + 3 (5) = 21 x = 3

Jadi, akar-akar pers. Tsb adalah : x = 3 dan y =5

Variabel & Fungsi


2. Cara Eliminasi 2 buah persamaan dgn 2 bilangan/variabel yg belum diketahui nilainya

dapat diselesaikan dgn cara : menghilangkan sementara (mengeliminasi) salah satu dari variabel yg

ada, shg dapat dihitung nilai dari variabel yg lain.

Contoh :Carilah nilai variabel x dan y dari 2 persamaan berikut :

2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23

Jawab :Mis. Variabel yg akan dieliminasi adalah x, maka kalikan pers. (1) dgn 1 dan pers (2) dgn 2, sehingga :

2x + 3y = 212x + 8y = 46 (-) -5y = -25

y = 5

Dgn memasukkan hasil y = 5 ke dalam salah satu persamaan, diperoleh x =3.

Jadi, akar-akar persamaannya adalah :

X = 3 dan y = 5

Variabel & Fungsi


3. Cara Determinan Digunakan u/ menyelesaikan persamaan yang jumlahnya besar 2

2 buah pers. Dengan 2 buah variabel :ax + by = cdx + ey = f

penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan sbb :

dbae

fbce

e d

b a

e f

bc

D

Dxx

dbae

da

e d

b a

f d

c a

D

Dyy

cf

Variabel & Fungsi


3. Cara Determinan

3 buah pers. dengan 3 buah variabel :ax + by + cz = kdx + ey + fz = lgx + hy + iz = m

penyelesaian untuk x, y dan z dapat dilakukan sbb :

afhdbigecchdbfgaei

i h g

f e d

c b a

D

kfhlbimecchlbfmkei

i h m

f e l

c b k

Dx

Variabel & Fungsi


3. Cara Determinan

3 buah pers. dengan 3 buah variabel :

Sehingga :

afmdkiglccmdkfgali

i m g

f l d

c k a

Dy

alhdbmgekkhdblgaem

m h g

l e d

k b a

Dz

D

Dx x

D

Dy y dan

D

Dz z

Variabel & Fungsi


3. Cara Determinan

Contoh :1. Tentukan nilai variabel x dan y dari kedua persamaan berikut :

2x + 3y = 21 x + 4y = 23

Jawab :

Maka :

5)3)(1()4).(2( 4 1

3 2D 15)3)(23()4).(21(

4 23

3 21Dx

25)21)(1()23).(2( 23 1

21 2Dy

35

15

D

Dx x 5

5

25

D

Dy y

Variabel & Fungsi


3. Cara Determinan

Contoh :2. Tentukan nilai variabel x, y dan z dari persamaan-persamaan berikut :

x + 2y - z = 0 2x + 5y + 2z = 14

y – 3z = -7

Jawab :

7(1)(2)(1)3)(2)(2)(1)(0)(5)(1)(1)(2)((2)(2)(0)3)(1)(5)(

3- 1 0

2 5 2

1- 2 1

D

7(0)(2)(1)3)(14)(2)(1)7)(5)((1)(1)(14)(7)(2)(2)(3)(0)(5)(

3- 1 7-

2 5 14

1- 2 0

Dx

Variabel & Fungsi


3. Cara Determinan

2. Jawab :

Maka :

147)(1)(2)(3)(2)(0)(1)(0)(14)(7)(2)1)(((0)(2)(0)3)(1)(14)(

3- 7- 0

2 14 2

1- 0 1

Dy

21(1)(14)(1)7)(2)(2)((0)(5)(0)(0)(1)(2)(2)(14)(0)7)(1)(5)(

7- 1 0

14 5 2

0 2 1

Dz

17

7

D

Dx x 2

7

14

D

Dy y 3

7

21

D

Dz z

Variabel & Fungsi


Fungsi TrigonometriSifat-sifat dasar Sinus dan Kosinus

Andaikan t menentukan titik P(x,y) seperti ditunjukkan diatas. Makasin t = y dan cos t = x

x dan y bervariasi antara -1 dan 1, sehingga :

Karena t dan t + 2 menentukan titik P(x , y) yang sama,

Kesamaan penting yang menghubungkan fungsi-fungsi sinus dan kosinus :

1sin t 1cos t

tt sin)2sin( tt cos)2cos(

tt cos2

sin

tt sin

2cos

1cossin 22 ttt

ttsin

coscot

t

ttcos

sintan

ttcos

1sec t

tsin

1csc

Variabel & Fungsi


Grafik Sinus dan KosinusUntuk menggambarkan grafik y = sin t dan y = cos t dalam mode radian dapat diberikan sebagai berikut :

1. Sin t & cos t keduanya berkisar dari -1 s/d 12. Kedua grafik berulang

dgn sendirinya pada selang yg berdampingan sepanjang 2.

3. Grafik y = sin t simetri terhadap titik asal dan

y = cos t terhadap sumbu y.

4. Grafik y = sin t sama seperti y = cos t, tetapi digeser /2 satuan ke kanan.

Variabel & Fungsi


Soal-soal :1. Jelaskan dan gambar selang-selang berikut ini :

a) c) 2 x 6

b) d)

Penyelesaian : a) : ini adalah selang terbuka -2 < x < 2 :

b) Dua selang tak berhingga ditetapkan : x < -3

dan x > 3

2x

-2 2

3x

-3 3

13 x

2x

3x

Variabel & Fungsi


d) Ini ad. selang terbuka sekitar titik 3. U/ mendapat- kan titik ujung, ambil x – 3 = 1 maka x = 4 dan ambil 3 - x = 1 maka diperoleh x = 2. Titik-titik ujung ad. 2 dan 4; selangnya ad. 2< x <4.

Perhatikan bahwa selang ini terdiri dari semua titik yg jaraknya terhadap 3 adalah kurang dari 1.

2 43

c) 2 x 6 Ini ad. selang tertutup 2 x 6, semua bilangan yang sama dgn atau lebih besar dari 2 dan kurang dari atau sama dengan 6.

13 x

2 6

Variabel & Fungsi


6) Tentukan harga x yang memenuhi : Penyelesaian :

atau :

Jadi harga x yang memenuhi adalah : x = ½ atau x = 4

6523 xx

6x52x3

6x52x3

2/1

48

x

x4

82

2653

65)23(

x

x

xx

xx

Variabel & Fungsi


7) Buktikan :

dan tsecttan1 22 tcsctcot1 22

Penyelesaian :

tcos

tsintcos2

22

tcos

tsin1 ttan 1 a)

2

22

tsectcos

1 22

tsin

tcos1tcot1b)

2

22

tcsctsin

1tsin

tcostsin

22

2

22

Variabel & Fungsi


Soal-soal tambahan :

1. Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini dan perlihatkan himpunan penyelesaiannya pada garis riil :

a) c) (x + 3)(x -2)(x – 4) < 0 b) d)

070172 xx0452 2 xx 0)3()1( 2 xx

2. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan dibawah ini :

a) c) b) d)

452 x

372 x

102x4

7x32x

3. Diketahui : f(x) = sin (2x) + cos (x), maka tentukan f(/2) !

Variabel & Fungsi


4) Jika diketahui :

Buktikan bahwa :

3) Diberikan

Hitung : f (0) ; f (2a) ; dan

4

2)(

2

x

xxf

x

f1

x

1)x(f

ab

abfbfaf )()(

Kalkulus (bab 1)

Education

Transcript of Kalkulus (bab 1)