Qué es Ángulo: Ángulo es un concepto de la Geometría para referirse al espacio comprendido entre la intersección de dos líneas que parten de un mismo punto o vértice, y

que es medido en grados. La palabra proviene del latín angŭlus, y esta a su vez del griego ἀγκύλος, que significa "encorvado".

En el uso cotidiano, la palabra ángulo también puede utilizarse como sinónimo de rincón (en el sentido de ángulo entrante) como, por ejemplo: “¿En qué ángulo de la sala prefieres poner el sofá?”; de esquina o arista: “Cuidado con los ángulos de la mesa: te puedes golpear”; así como de punto de vista

Tipos de ángulos Ángulo nulo: El ángulo nulo es aquel formado por dos líneas que coinciden en su vértice y en sus extremos, por lo tanto, su abertura es de 0°.

Ángulo agudo: El ángulo agudo es aquel con una abertura de vértice mayor de 0° y menor de 90°.

Vea también

Ángulo recto: El ángulo recto se encuentra conformado por dos semirrectas cuya abertura de vértice es de 90°.

Ángulo obtuso: El ángulo obtuso es aquel cuya abertura de vértice es mayor de 90° y menor de

Ángulo llano: El ángulo llano es aquel constituido por dos semirrectas con un vértice de 180° de abertura

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.

1

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras

Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud y , y la medida de

la hipotenusa es , entonces se cumple la siguiente relación:

(1)

De esta ecuación se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:

El teorema de Pitágoras En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:

o Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto,

es decir de 90º.

o En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre

de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttps://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttps://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttps://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1gorashttps://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttps://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras#Eqnref_1https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Corolariohttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythagorean_right_angle.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythagorean_right_angle.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythagorean_right_angle.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythagorean_right_angle.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythagorean_right_angle.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythagorean_right_angle.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythagorean_right_angle.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythagorean_right_angle.svg

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo,

el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos.

Demostración: Si tenemos un triángulo rectángulo como el del

dibujo del enunciado del teorema podemos

construir un cuadrado que tenga de lado justo lo

que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c,

es decir b+c, como en la figura de la derecha. El área de este cuadrado

será (b+c)2.

Si ahora trazamos las

hipotenusas de los triángulos rectángulos que

salen tendremos la figura de la izquierda. El área

del cuadrado, que es la misma de antes, se puede

poner ahora como la suma de las áreas de los

cuatro triángulos rectángulos azules (base por

altura partido por 2):

más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado

grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del

triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y

tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

Razones Trigonométricas de un Angulo en posición normal (Luis Redolfo)

1. 1. RECUERDA Los ejes coordenadas determinan en el plano cuatro cuadrantes donde: Un ángulo en posición normal es aquel ángulo Q(I) primer cuadrante trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el Q(II) segundo cuadrante Q(III) tercer cuadrante semieje positivo de las abscisas, su vértice con el Q(IV) cuarto cuadrante origen de las coordenadas cartesianas y su lado terminal puede pasar por cualquier punto P (x ; y)del plano.

2. 2. Observamos la gráfica:•El ángulo θ es un ángulo positivo en posición normal del primer cuadrante, pues el sentido del ángulo ɵ es antihorario.•El ángulo negativo α es un ángulo RECUERDA negativo en posición normal del tercer Ángulo positivo cuadrante, pues el sentido del ángulo α de Es aquel ángulo que genera por una rotación el sentido horario. antihorario. Ángulo negativo Es aquel ángulo que se genera por una rotación en sentido horario.

3. 3. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Donde r es la distancia del punto P(x ;y) al origen de coordenadas, tal que r2=x2 + y2

4. 4. Ejemplo 1: 5. 5. Ejemplo 2: 6. 6. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASDE UN ÁNGULO EN POSICIÓN

NORMAL

7. 7. EN EL TERCER CUADRANTE(QIII)Dado θ un ángulo un posición normal de cuarto cuadrante cuyo lado terminal pasa por el punto P(x ;y), tenemos que0 , y0Luego:sen (θ ) y csc (θ ) son negativascos (θ ) y sec (θ ) son positivastg (θ ) y ctg (θ ) son negativas.

8. 8. Ejemplo: (+) (+) 9. 9. (+) (-) 10. 10. Ejercicios de Aplicación: y 4 P(-3;4) r -3 x 0 11. 11. a. 34Rpta: II CI Cuadrante IC 34 III C IV C 12. 12. b. -400 II C ICRpta:IV Cuadrante -400 III C IV C 13. 13. + + + + - ++ - + - - +

https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-2-638.jpg?cb=1350510222https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-3-638.jpg?cb=1350510222https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-4-638.jpg?cb=1350510222https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-5-638.jpg?cb=1350510222https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-6-638.jpg?cb=1350510222https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-7-638.jpg?cb=1350510222https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-8-638.jpg?cb=1350510222https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-9-638.jpg?cb=1350510222https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-10-638.jpg?cb=1350510222https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-11-638.jpg?cb=1350510222https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-12-638.jpg?cb=1350510222https://image.slidesharecdn.com/proyectodepresentacion-121017214305-phpapp01/95/razones-trigonometricas-de-un-angulo-en-posicion-normalluis-redolfo-13-638.jpg?cb=1350510222

Ángulo en Posición Normal:

Llamado también ángulo en posición canónica o estándar; es aquel ángulo trigonométrico cuyo

vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo

de abscisas y su lado se ubicará en cualquier región del plano, siendo el que indique a que cuadrante

pertenece dicho ángulo. En el gráfico adjunto por ejemplo : a, b y q son ángulos en posición normal,

cumpliéndose: a Î IC; b Î IIC; q Î IIIC.

• Ángulos Cuadrantales

Se va a denominar ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincide con

cualquiera de los semiejes cartesianos. Las medidas de estos ángulos es siempre múltiplo de 90º.

Estos ángulos no pertenecen a cuadrante alguno (fig. 1)

• Ángulos Coterminales

Son aquellos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado final; y su diferencia de medidas

es siempre múltiplo de 360º. (fig.2).

• Definición de las razones trigonométricas de un ángulo en Posición Normal

Para definir o hallar las R.T. de un ángulo en posición normal; se debe conocer un punto

perteneciente a su lado final.

En el gráfico; para "a"; tendremos: Por ejemplo:

Se debe notar que ahora las R.T. pueden tener signo negativo; dependiendo del cuadrante en el que

se ubique el ángulo considerado.

* Signos de las R.T.

Dependiendo del cuadrante en el que se ubique un ángulo en posición normal; podemos establecer

el siguiente criterio práctico para los signos:

* Propiedad

Las Razones trigonométricas de los ángulos coterminales son respectivamente iguales.

* R.T. de los Ángulos Cuadrantales

Las R.T. de los ángulos cuadrantales principales se calculan con las mismas definiciones aplicadas a

cualquier ángulo en posición normal. El resultado se muestra en el siguiente cuadro:

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

FUNDAMENTALES

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Las identidades trigonométricas son formas simplificadas que permiten realizar y conocer las diferentes funciones de la trigonometría.

Identidades trigonométricas Básicas

Son relaciones entre funciones trigonométricas que se verifican para todo valor de la variable

https://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/IDENTIDADES+TRIGONOMETRICAS+FUNDAMENTALEShttps://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/IDENTIDADES+TRIGONOMETRICAS+FUNDAMENTALES

regular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular. **CIRCUNFERNCIA GONIOMETRICA**

Principales valores de las razones trigonométricas representados como segmentos respecto de la circunferencia goniometría.

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sen2α como (sen α)

2. Lo mismo se aplica a las demás funciones

trigonométricas.

De estas dos identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas

ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si la

conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener el signo correcto se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sen2α como (sen α)

2. Lo mismo se aplica a las demás funciones

trigonométricas.

De estas dos identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas

ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si la

conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener el signo correcto se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en CUESTIÓN ES NEGATIVA O POSITIVA.

http://www.youtube.com/watch?v=mwCbyObgH5Yhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricas

QUE ES LA ESTADÍSTICA: La estadística podría definirse como la

ciencia que se encarga de recopilar, organizar, procesar, analizar e interpretar datos

con el fin de deducir las características de una población objetivo, pero esta sería

solo una visión estrecha de lo que comprende esta rama del saber. A continuación

se hace una muy breve introducción teórica al amplio concepto de la estadística La estadística es una ciencia que utiliza datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades. Una estadística es

también un conjunto de datos obtenidos a través de un estudio estadístico. Este término procede del alemán statistik(con un significado diferente al actual) y a su vez del latín statisticum collegium.

Tipos de estadística Se pueden establecer dos tipos de estadística, dependiendo de si utilizan técnicas descriptivas o inferenciales.

Estadística descriptiva La estadística descriptiva se puede definir como el estudio que incluye la

obtención, organización, presentación y descripción de información numérica. Su objetivo, por lo tanto, es describir las características principales de los datos reunidos.

Estadística inferencial Por su parte, la estadística inferencial es el estudio que utiliza técnicas a partir

de las cuales se obtienen generalizaciones o se toman decisiones en base a una información parcial o completa obtenida mediante técnicas descriptivas. Su objetivo es extraer conclusiones de utilidad sobre el total de las observaciones posibles basándose en la información obtenida.

Probabilidad estadística La probabilidad estadística es una forma de medición de la certidumbre que

asociada a la observación u ocurrencia de un fenómeno o al hecho de que una característica de un objeto de estudio adopte cierto valor. Se puede simplificar dividiendo el número de ocurrencias de un hecho entre el número total de casos posibles.

Estadística aplicada La Estadística aplicada es la rama de la Estadística encargada de realizar

inferencias a partir de una o varias muestras de una determinada población como objeto de estudio. La Estadística aplicada se utiliza en diversas ciencias, como la Historia, la Economía, la Educación o la Sociología para realizar estudios y análisis estadísticos.

Estadística paramétrica y estadística no paramétrica La estadística paramétrica es un conjunto de técnicas desarrolladas para niveles altos de medición. La estadística no paramétrica es un conjunto de técnicas

diseñadas para niveles menores de medición.

Población estadística

Se utiliza este término para referirse a un conjunto de personas, entidades u objetos sobre el que se pretende obtener cierta información ara realizar algún tipo de análisis.

.GRAFICOS ESTADISTICOS

El siguiente paso, después de haber recogido y ordenado los datos en una

tabla, suele ser la representación gráfica de los mismos, usando alguno de los

diversos tipos de gráficos estadísticos. La representación gráfica debe ser lo

suficientemente clara y precisa para que de un vistazo obtengamos

información relevante acerca de la distribución de los datos.

Existen diversos tipos de gráficos y sería muy prolijo enumerarlos a todos. Vamos a tratar los más usuales y pondremos algún ejemplo de los demás.

Diagrama de barras: se usa en variable discreta, cuando los datos están separados entre sí. Consiste en colocar en el eje OX los valores de la variable estadística y sobre cada uno de ellos levantar una línea o barra, cuya altura sea igual a la frecuencia absoluta de ese valor.

Histograma: es equivalente al diagrama de barras, pero para variable continua o cuando los datos están agrupados en intervalos. Sobre el eje OX se colocan los distintos intervalos o clases y sobre cada uno de ellos se levanta un rectángulo de altura igual a la frecuencia absoluta del intervalo:

También podemos elaborar ambos tipos de gráficos para las frecuencias acumuladas, obteniendo gráficos en escalera, como en el siguiente ejemplo (se llaman en escalera porque al ir acumulando las frecuencias absolutas,

cada rectángulo es mayor que el anterior y se obtiene algo parecido a una serie de escalones):

O representar dos histogramas de la misma variable en dos situaciones distintas:

Polígono de frecuencias: son líneas poligonales que unen los vértices superiores de las barras de un diagrama de barras o de los rectángulos en un histograma:

También se pueden presentar sin barras ni rectángulos, en este caso, cada vértice da la línea poligonal corresponde con una frecuencia absoluta:

Diagrama de sectores: es un tipo de gráfico muy adecuado para representar cualquier tipo de variable. Consiste en un círculo dividido en sectores circulares, que se corresponden con los distintos datos o intervalos de la variable, de forma que el área o número de grados de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta de cada dato o clase. Pueden estar en 2 o 3 dimensiones.

Para calcular la amplitud de cada sector circular, debemos multiplicar la frecuencia relativa de cada dato o clase por 360º y así obtendremos el nº de grados que debe tener cada sector.

Ejemplo

Variable xi Frec. Absoluta Frec. Ab. Acum. Frec. Relativa

1 9 9 0.18

2 17 26 0.34

3 6 32 0.12

4 13 45 0.26

5 5 N = 50 0.1

El diagrama de sectores quedaría:

Un diagrama de sectores en 3D podría ser como el siguiente, en el que se representan, en porcentajes, las distintas edades de los alumnos de una clase:

Otros gráficos estadísticos: además de todos los anteriores, se suelen usar otros gráficos, tales como:

javascript://

TABLA DE FRECUENCIA