TERMINALE S

Nombres complexes Fiche de résumé

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Il existe un ensemble noté C et appelé ensemble des nombres complexes, qui vérifie les

propriétés suivantes :

• L'ensemble C contient l'ensemble R des nombres réels ;

• Il existe dans C une addition et une multiplication qui ont les mêmes propriétés que

dans R ;

• Il existe dans C un nombre complexe noté i tel que i²= -1 ;

Forme algébrique z = a+ ib

• Le réel a s'appelle la partie réelle de z, le nombre réel b s'appelle la partie imaginaire

de z.

• a = Re(z) et b = Im(z).

• Un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

• Un complexe est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.

• 0 est le seul nombre complexe qui est réel et imaginaire pur.

• a + ib = a’ + ib’ équivaut à a = a’ et b = b’.

• a + ib = 0 équivaut à a = 0 et b = 0

Affixe

A tout point M de coordonnées (x,y) on associe le complexe x + iy , noté zM et appelé affixe

de M.

Pour tous points A et B, le vecteur →

AB a pour affixe z→

AB = zB - zA = (xB – xA) + i(yB – yA)

Conjugué

le conjugué de z = x + iy est le nombre complexe z = x - iy.

• z est réel si et seulement si z = z

• z est un imaginaire pur si et seulement si z = - z

• z = z (-z) = - z

• z = a + ib, avec a et b réels: z + z = a + ib + a - ib = 2a = 2Re(z)

• z - z = a + ib - (a - ib) = a + ib - a+ ib = 2ib = 2iIm(z)

• Re(z) = z + z

2 Im(z) =

z - z

2i

• z z = a² + b² zn

= z n

• z + z’ = z + z’ z – z’ = z - z’ z × z’ = z × z’

•

z’

z =

z’

z

1

z=

1

z

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Nombres complexes Fiche de résumé

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Module

• | z | = | a + ib | = a² + b²

• | |z =

z |-z | = |z |

• |z × z’| = |z| × |z’| |zn| =|z|

n

•

z’

z =

| |z’

| |z

1

z =

1

| |z

• AB = | zB - zA|

Résolution de az² + bz + c = 0, avec a ,b , c réels et a non nul. Soit ∆ = b² - 4ac,

si ∆ = 0, une solution réelle est – b

2a

si ∆ > 0, deux solutions réelles -b + ∆

2a et

-b - ∆

2a

si ∆ < 0, deux solutions complexes conjuguées -b + i -∆

2a et

-b – i -∆

2a

Argument d’un nombre complexe non nul

Dans le plan complexe (O,→

u ,→

v ), soit le complexe z non nul, de point image M.

Arg(z) = mesure en radian de l’angle orienté (→

u ,→

OM)

Soit z un complexe non nul

• z est réel (z ∈ R ) si et seulement si arg(z) = 0 [π]

• z est imaginaire pur (z ∈ iR) si et seulement si arg(z) = π

2 [π]

• arg( z ) = - arg(z) [2π] arg(- z) = arg(z) + π [2π]

• arg(z1 × z2) = θ1 + θ2 = arg(z1) + arg(z2) modulo 2π

• arg(z²) =arg(z × z) = arg(z) + arg(z) = 2arg(z) [2π] arg(zn) = n arg(z) [2π]

• arg z1

z2 = arg (z1) - arg (z2) [2π] arg

1

z2 = - arg (z2) [2π]

Forme trigonométrique

Soit z = a + ib un nombre complexe de module ρ et d’argumentθ, alors z = ρ (cos θθθθ + i sin θθθθ),

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :

cos θ =

a

| |z

sin θ = b

| |z

d’où z = ρ(cos θ + i sin θ)

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique:

• a = ρ cos θ et b = ρ sin θ

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Angle orienté de vecteurs

A, B, C, D étant des points distincts d’affixes respectives a, b , c, d alors

(→

AB ,→

CD ) = arg

d – c

b - a

Notation exponentielle : cos θ + i sin θ = eiθ

( )eiθ

= e - iθ

- eiθ

= ei(θ + π)

| |eiθ

= 1 arg(eiθ

) = θ

eiθ

× eiθ’

= ei(θ + θ’)

e

iθ

eiθ’ = e

i(θ - θ’)

( )eiθ

n

= einθ

Formule de Moivre d’où (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ

Transformations

• L'écriture complexe de la translation de vecteur →

w d’affixe b est

z' = z + b.

• L'écriture complexe de la rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ est

z’ - ω = eiθ

× (z - ω).

• L'écriture complexe de l’homothétie de centre Ω d’affixe ω et de rapport k réel non nul est

z’ - ω = k × (z - ω).