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  • I. TEMBINE

    MathsMthodes et Astuces

    Terminale S

    Toutes les mthodes et astuces connatre pour rsoudre les exercices.

    dition Salut aths !

  • "En mathmatiques, on ne comprend pas les choses, on s'y

    habitue."

    John Von Neumann, savant mathmaticien.

    " Les chercheurs se sont rendus compte que l'intelligence

    humaine dpend essentiellement des connaissances.

    L'intelligence cre des connaissances, les utilise, en gnre de

    nouvelles... "

    Patrick Brzillon, chercheur au CNRS.

  • Chapitre 1 -

    LES SUITES NUMRIQUESRemarques :- Une suite u se note (un)n , (un) ou tout simplement u.- Ne pas confondre la suite (un) et son terme de rang n, un (ils sont comme f et f ( x) ).- l'crit, mettre suffisamment bas les indices pour ne pas confondre u n + 1 et un + 1 .

    A) GNRALIT SUR LES SUITES : calcul de termes, reprsentation graphique, sens de variations.

    Comptence 1 ***

    Comment calculer un terme uk d'une suite u, k ?

    Mthode- Si la suite u est dfinie de faon explicite, soit un= f (n) , on remplace tous les indices n par k et on effectue les calculs.- Si u est dfinie par rcurrence, soit un+1= f (un) , on remplace n par k 1 pour obtenir u k.

    Pourquoi ?

    Parce qu'une suite est une fonction qui ne transforme que des entiers naturels en nombres rels. Ses termes

    peuvent donc se calculer comme les images par une fonction : on remplace les n par le nombre donn.

    ExemplesSoit (un) , (vn) , wn et zn quatre suites dfinies, pour tout entier naturel n, par : un= 4n + 5 ,

    vn=6n2 4n + 15

    5 + n,

    w0= 2 et wn + 1 = 2 wn2

    7n 4 , z0= 1 , z1= 3 et zn + 2= 2 zn + 1 + 3 z n 5 .

    Calculer :a) u0 , u1 , u ( ) , un + 1 , un + 1 , un 1 , un 1 , un + 2 et un + 2 ; b) v0 , v1 , v ( ) , vn + 1 , vn + 1, vn 1 , vn 1 ;c) w1 , w2 , wn et wn + 2 ;d) z2 , z3 et zn + 1 .

    Solutionsa) un = 4 n + 5 , n . On a :u0 = 40 + 5 = 5 ;u1= 41 + 5= 1 ; u= 4 + 5 ; u

    n + 1 = 4(n + 1) + 5 = 4n 4 + 5= 4n + 1 (attention, pour faire apparatre n+1, on ne met pas 1 ct de n, mais on remplace n par (n + 1) comme on l'a fait avec ) ;u

    n+ 1 =( 4n + 5) + 1= 4n + 6 (ne pas confondre un + 1 et un + 1 : d'o la prcaution d'crire les indices assez

    bas) ;u

    n 1 = 4 (n 1) + 5= 4 n + 4 + 5 = 4n + 9 (on a remplac n par (n 1) ) ;u

    n 1=( 4n + 5) 1 = 4n + 4 ;

    un + 2 = 4 (n + 2) + 5= 4n 3 ;

    un+ 2 = 4n + 5 + 2 = 4 n + 7 .

  • b) v n=6n2 4n + 15

    5 + n, n .

    En remplaant tous les n par 0 dans l'expression de v n , on obtient :

    v0 =602 40 + 15

    5 + 0=

    155= 3 .

    En procdant de la mme faon avec 1, on a :

    v1 =612 41 + 15

    5 + 1=

    176

    .

    On remplace n par ; ce qui donne :

    v=62 4 + 15

    5 + .

    On a : v n+ 1=6 (n + 1)2 4(n + 1) + 15

    5 + (n + 1) (mettre toujours (n+1) entre parenthses).

    =6n2 + 8n + 17

    6 + n.

    Mais v n + 1=6n2 4n + 15

    5 + n+ 1= ... =

    6n2 3n + 205 + n

    .

    De mme : v n 1=6(n 1)2 4 (n 1) + 15

    5 + (n 1)

    =6n2 16 n + 25

    4 + n ;

    alors que v n 1 =6n2 4n + 15

    5 + n 1= =

    6 n2 5n + 105 + n

    .

    c) w0= 2 et wn + 1= 2wn2

    7 n 4 , n .

    Pour obtenir w1 , on remplace n par 0 dans wn + 1 :

    w0 + 1= 2w02

    70 4

    w1= 2( 2)2

    4 w1= 4 .Dans la formule wn + 1= 2wn

    2 7 n 4 , on remplace tous les n par 1 pour obtenir :

    w2 = 2w12

    71 4 = 2(4)2 7 4 = 21 .

    En remplaant tous les n par (n 1) dans wn + 1= 2wn

    2 7 n 4 , on a :

    wn= 2w

    n 12

    7(n 1) 4 = 2 wn 12

    7 n + 3 .Pour u

    n + 2 , on met (n + 1) la place de tous les n ; ce qui donne :

    wn + 2 = 2wn + 1

    2 7(n + 1) 4 = 2w

    n + 12

    7n 11 .

    d) z0= 1 , z1 = 3 et zn+ 2= 2 zn + 1 + 3 zn 5 , n .En substituant 0 n dans z

    n+ 2= 2 zn + 1 + 3 zn 5 , on a:z2= 2 z1 + 3 z0 5 = 2( 3) + 31 5= 8 .

    On procde de la mme faon pour obtenir :z3= 2 z2 + 3z1 5 = 2( 8) + 3( 3) 5 = 30 .

    Pour trouver zn+ 1 , il suffit de remplacer tous les n par (n 1) :z

    n+ 1= 2 zn + 3 zn 1 5 .

    Comptence 2 ***

    Comment dterminer le sens de variation d'une suite ?

    Mthode 1 *** ("mthode de la diffrence", la plus utilise) - On calcule u

    n+1 un pour tout entier n.- On dtermine ensuite le signe du rsultat obtenu (grce aux mmes mthodes qui permettent

  • d'tudier le signe d'une fonction drive).- Si u

    n+1 un 0 , on conclut que la suite (un) est croissante et si un+1 un 0 , (un) est dcroissante.

    Pourquoi ?

    Dfinition du cours : une suite u est croissante un+1 un pour tout n . Or cette ingalit est quivalente

    un+1 un 0 ; d'o la mthode.

    De la mme faon, u dcroissante un+1 un pour tout n un+1 un 0 .Ainsi, pour montrer qu'une suite est croissante (ou dcroissante), il suffit de montrer que un+1 un 0 (ou

    u n+1 un 0 ).

    Exemple 1 Dterminer le sens de variation de la suite u dfinie, pour tout n , par u

    n= 3n2+5 .

    SolutionDterminons la valeur de u

    n+1 un , puis son signe :

    on a un+1 un= 3(n+1)

    2+5 ( 3n2+5)

    = 3n2 6n 3+5+3n2 5 = 6 n 3 .Comme n 0 , alors 6 n 3 0 et (n + 1) > 0 ; donc (n + 2)(n + 1) > 0 . On en dduit que un+1 un>0 pour tout n. La suite (un) est donc croissante.

    Exemple 3

    On considre la suite u dfinie par : { u0 = 2un+ 1 = 3un + 2un + 4 , n .On suppose que un 1 pour tout n .Dterminer le sens de variation de u.

    Solution Soit n .

  • On a un+1 un=3u

    n+2

    u n+4 u n

    un+1=3u

    n+2

    un+4

    un(u

    n+4)

    un+4

    un+1= u

    n

    2 u

    n+2

    un+4

    Comme un 1 , alors u

    n+4 0 ; u

    n+1 un est donc du signe du numrateur un2 u

    n+2 , un trinme du

    second degr qui a pour racines -2 et 1.On en dduit son tableau de signe :

    un -2 1 +

    un

    2 u

    n+2 - 0 + 0 -

    Par hypothse, pour tout n , un 1 . On a donc u

    n

    2 u

    n+2 0 pour tout n et donc u

    n+1 un 0 .Ce qui permet de conclure que la suite u est dcroissante.

    Exemple 4Dterminer le sens de variation des suites dfinies par :

    a) un = (34)n

    , n .

    b) wn= 2,5n , n .

    Solution

    a) Pour n , un + 1 un= (34 )n + 1

    (34)n

    = (34 )n

    (34)1

    (3/4)n

    = (34 )n

    (34 1) . = (34 )

    n

    ( 14) 0 pour n et 1,5 > 0 , on a wn + 1 wn > 0 pour tout n . On en dduit que la suite w est croissante.

    Mthode 2 ***Si la suite est dfinie par rcurrence, c'est--dire un+1= f (un) , et que l'nonc demande explicitement de montrer que la suite u est croissante (ou dcroissante), alors, grce une dmonstration par rcurrence, on montre que l'on a un + 1 un (ou un + 1 un ).Dans certains cas (f donne sous forme de quotient), on exploite la croissance de f sur un intervalle contenant tous les un pour dmontrer l'hypothse de rcurrence.

    Pourquoi ?

    Dfinition du cours : la suite u est croissante un+1 un pour tout n .

    Et u dcroissante un+1 un pour tout n .

    Exemple 1Soit (un) la suite dfinie pour tout n 2 par un + 1= 5 un 2 et u1 = 3 . Montrer que la suite u est

  • dcroissante.

    SolutionMontrer que la suite (un) est dcroissante revient montrer que la proposition " un + 1 un " est vraie pour tout entier n 1 .Dmontrons cette proposition par rcurrence :

    a) Rdaction longue (pour mieux comprendre) :- Montrons que la proposition est vraie lorsque n = 1 , c'est--dire u2 u1 :on a u1= 3 et u2 = 5u1 + 2 = 5( 3) 2= 17 (on a remplac tous les n par 1 dans un + 1 = 5un 2 ).

    Comme 17 < 3 , on a bien u2 < u1 .La proposition est donc vraie pour n = 1 .

    - Montrons que si la proposition est vraie pour un entier k 1 , alors elle l'est aussi pour l'entier suivant(k + 1) :

    Supposons que la proposition est vraie pour un entier k 1 , c'est--dire uk + 1 uk , et montrons qu'elle l'est aussi pour (k + 1) , soit uk + 2 uk + 1 .Pour traiter cette partie nous disposons de deux techniques :

    Technique 1 : On obtient u

    k + 2 , en remplaant n par k + 1 dans un + 1 = 5 un 2 ; ce qui donne uk + 2= 5uk + 1 2 . Par hypothse, on a uk + 1 uk ; donc 5uk + 1 5uk et 5uk + 1 2 5uk 2 , soit uk + 2 uk + 1 .

    Technique 2 :On remarque que u

    n + 1 = f (un) avec f (x) = 5 x 2 , une fonction affine de coefficient directeura = 5 > 0 , donc croissante sur .

    Comme uk + 1 uk par hypothse, et f croissante sur , on en dduit que f (u k + 1) f (uk ) (la croissance

    garde l'ordre).Mais, par dfinition, f (u

    k)=u

    k+1 et f (u k+1)=uk +2 .On a donc uk + 2 uk + 1 .

    - La proposition tant vraie pour n = 1 et vraie pour (k + 1) lorsqu'elle est suppose vraie pour un entier k,on peut conclure qu'elle l'est pour tous les entiers n 1 .La suite (un) est donc bien dcroissante.

    b) Rdaction courte :Montrons par rcurrence que la proposition " un + 1 un ", est vraie pour tout n . - Initialisation : on a u1= 3 et u2 = 5u1 + 2 = 5( 3) 2= 17 ; donc u2 u1 .La proposition est donc vraie pour n = 1 .- Hrdit : supposons que pour un entier k 1 , u

    k + 1 uk ; montrons alors que uk + 2 uk + 1 .Technique 1 (valable pour des cas simples)On a: u

    k + 1 uk 5uk + 1 5uk 5uk +