1. VEROVATNOĆA POJAVA OSNOVNIH STANJA SISTEMA sistem (συστεμα) - celina sastavljena od delova Sistemi u mašinstvu predstavljaju skupelemenata i relacija između njih i njihovih karakteristika struktuiranih na način koji obezbeđuje izvođenje predviđenih postupaka rada i vršenje postavljene funkcije kriterijuma u vremenu i u datim uslovima okoline. Sposobnost vršenja funkcije kriterijuma u vremenu nazivamo RADNA sposobnost sistema. Sistem koji je jednom postavljen u proces rada izložen je uticajima različitih:

− po veličini − pravcu i smeru − karakteru

što uzrokuje najčešće odstupanje u nivou postavljene funkcije kriterijuma i umanjuje radnu sposobnost sistema. Kretanje parametara funkcije kriterijuma pod dejstvom navedenih uticaja u okviru granica dozvoljenih odstupanja određuje stanje sistema u smislu:

− ZADOVOLJAVA – označava stanje u RADU – zadovoljena funkcija kriterijuma − NE ZADOVOLJAVA – stanje u OTKAZU – ne vrši postavljenu funkciju kriterijuma

pouzdanost - Verovatnoća da će stvarni ishod nekog procesa biti jednak željenom ishodu

FC – Funkcija cilja ili Funkcija kriterijuma Može biti definisana na osnovu različitih zahteva koji se postavljaju pred sistem:

• maksimalni (optimalni) učinak • maksimalni (optimalni) kvalitet • maksimalne verovatnoće ostvarenja

zadatka • minimalnih troškova • maksimalne ekonomičnosti • minimalnog zagađenja okoline • maksimalne bezbednosti za radnike ...

Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU i U OTKAZU )

U RADU -> OTKAZ -> U OTKAZU -> POPRAVKA -> U RADU

Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU i U OTKAZU )

Otkaz nastaje kada proces (ili bilo koja veličina koja je bitna za taj proces) izađe van granica dozvoljenih odstupanja (koje definiše FC). Otkaz može nastati u bilo kojem trenutku rada sistema. Kako vreme protiče, raste verovatnoća da će otkaz nastati. 1

Otkaz mora nastati, makar se to desilo kada t -> ∞ Verovatnoća da će otkaz nastupiti = F(t) = NEPOUZDANOST Verovatnoća da otkaz neće nastupiti = R(t) = POUZDANOST R(t) + F(t) = 1 Ovo važi uvek i za sve sisteme !!! Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU i U OTKAZU ) Kada sistem otkaže potrebno je sprovesti intervenciju održavanja – otklanjanja otkaza. Što se duže radi na intervenciji otklanjanja otkaza (što je više vremena na raspolaganju), veća je verovatnoća da će otkaz biti otklonjen. Verovatnoća da će otkaz biti otklonjen do vremenskog trenutka t = Po(t) = POGODNOST ZA ODRŽAVANJE. Verovatnoća da otkaz neće biti otklonjen do vremenskog trenutka t = Pn(t) = NE-POGODNOST ZA ODRŽAVANJE Po(t) + Pn(t) = 1 Ovo važi uvek i za sve sisteme !!! Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU i U OTKAZU ) 0 ≤ R(t) ≤ 1 ⇓ 0 ≤ F(t) ≤ 1 ⇑ 0 ≤ Po(t) ≤ 1 ⇑ 0 ≤ Pn(t) ≤ 1 ⇓

2

2. Uzroci i oblici pojava stanja u otkazu POTPUNI otkaz delova sistema – radna sposobnost sistema pada na nulu DELIMIČNI otkaz delova sistema – sistem vrši rad, ali ispod donje granice postavljene funkcije cilja Uzroci i oblici pojava stanja u otkazu PODELA UTICAJA koji dovode do otkaza:

• SISTEMSKI uticaji dovode do otkaza sistema obično u početnoj fazi rada – period dečijih bolesti

• SLUČAJNI uticaji

uslovljavaju otkaze koji su rezultat nestabilnosti konstrukcionih, tehnoloških i parametara uslova okoline i

• MONOTONO DEJSTVUJUĆI uticaji

vode intenziviranju dejstva određenih procesa u vremenu, kao što su procesi habanja, nedovoljne regulisanosti elemenata, čestice prljavštine na kliznim površinama, zamor materijala, izmene fizičko-hemijskih karakteristika materijala

3

Uzroci i oblici pojava

stanja u otkazu

Uzroci i oblici pojavastanja u otkazu

4

3. INTENZITET OTKAZA Intenzitet otkaza λ(t) predstavlja odnos funkcije gustine pojave stanja U OTKAZU i kumulativne gustine pojava u stanja U RADU. Kod neprekidnih promena stanja:

( )( ) 1 ( ) 1 ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

dF tf t dF tdtt dR tR t R t R t dt R t dt

λ = = = × = − ×

Za prekidne promene stanja

( )( ) ( )( )( ) sr sr

N tf t Nn tt n

tR t n

n

λ

ΔΔ× Δ= = =⋅ Δt

Funkcija intenziteta otkaza ima veoma karakterističan oblik u toku vremena. Uočavaju se tri karakteristična perioda: - I period predstavlja područje učestalih

stanja u otkazu koja se javljaju u početku rada sistema (perod uhodavanja ili dečijih bolesti sistema) izazvanih „ugrađenim greškama“ u procesu projektovanja, izgradnje i postavljanja sistema.

- II period slučajnih stanja u otkazu – period normalnog rada sistema

- III period većih učestalosti stanja u otkazu izazvanih procesom starenja, zamorom materijala, pojavom korozije, procesom intenzivnog habanja i sl.

Zbog svog karakterističnog oblika ovaj dijagram se ponekad naziva dijagram „kada“ .

- INTENZITET OTKAZA (intenzitet pojave stanja U OTKAZU sistema je verovatnosna gustina pojave otkaza u trenurku t1 za deo koji nije otkazao do tog trenutka ili

- INTENZITET OTKAZA je verovatnoća da će deo koji se nije nalazio ustanju U OTKAZU do trenutka t1, otkazati u narednom periodu.

INTENZITET OTKAZA se često naziva stopom otkaza, a ponekad i brzinom pojave otkaza (neispravnosti).

5

4. GOTOVOST SISTEMA

Dva sistema: koji je “poželjniji” ? A(t) – availability (raspoloživost) G(t) – Gotovost sistema OG(t) – Operativna Gotovost Gotovost sistema predstavlja verovatnoću da će sistem uspešno stupiti u dejstvo i ostvariti projektovane izlazne veličine u neophodno minimalnom vremenu trajanja i datim uslovima okoline.

ur uot t÷ 1 1i j

n n

ur ur uo uoi j

T t T t= =

= ∑ ÷ = ∑

Problem 1: u početku je tuo = 0 ! Problem 2: teško je uporediti dva sistema Problem 3: ne postoji “granica” odnosa dve vrednosti

Tur – ukupno vreme U RADU sistema Tuo – ukupno vreme U OTKAZU sistema

1

1

i

j

n

urur i

nuo

uoj

tTKT t

=

=

∑= =

∑

1

1 1

( ) ( ) ( ) i

j i

n

uri u

n nuo ur

uo urj i

t Tukupno vreme u raduA t G t OG tukupno vreme T Tt t

=

= =

∑= = = = =

+∑ + ∑

r

Upoređivanjem se dobija: 6

uo

ur

1

1T

OG T=+

Kako svakom intervalu u radu odgovara interval U OTKAZU, to je broj intervala U RADU jednak broju intervala U OTKAZU, pa se ukupna vremena mogu izraziti kao:

što zamenom daje:

uo

ur

1

1OG t

t

=+

ur urT n t= ⋅ odnosno

uo uoT n t= ⋅ Komponenta operativne gotovosti ukazuje na potrebu ostvarenja uslova u radu sistema koji daju:

− MAKSIMALNO vreme U RADU i − MINIMALNO vreme U OTKAZU putem:

− projektovanja struktira maksimalnog stepena jednostavnosti − kvalitetnog izvođenja postupaka obrade i montaže sistema − pažljivog ispitivanja sistema u eksploataciji i podešavanja konstrukcije sistema − primene preventivnog sistema održavanja

7

5. POUZDANOST SISTEMA SA REDNOM VEZOM ELEMENATA Nakon što sistem uspešno počne da radi, od njega se očekuje da i nastavi da uspešno radi, odnosno da se ne pojavi OTKAZ! R(t) – Pouzdanost

Pouzdanost sistema predstavlja verovatnoću da će sistem uspešno vršiti funkciju kriterijuma u granicama dozvoljenih odstupanja u projektovanom vremenu trajanja i datim uslovima okoline.

Redna veza je najčešća, ima veoma nepovoljne osobine sa stanovišta uticaja pouzdanosti sastavnih elemenata na pouzdanost sistema.

Kada otkaže bilo koji element iz redne veze, otkazuje i ceo sistem, odnosno, sistem je U RADU kada je svaki element redne veze U RADU.

R1 R2

8

D1 – događaj 1 – element 1 U RADU D2 – događaj 2 – element 2 U RADU Da bi sistem bio U RADU, moraju biti realizovana oba događaja – presek dva događaja ! Verovatnoća realizacije ovog događaja je jednaka preseku dve verovatnoće (elementi). R1 i R2 pouzdanosti predstavljaju verovatnoće da do posmatranog trenutka vremena neće doći do pojave otkaza Događaj koji predstavlja stanje U RADU sistema određen je samo onim delom prikazanih površina koje se preklapaju, pošto je samo tada zadovoljen uslov da su oba elementa u radu, ispravnom stanju.

1 2sD D D= I 1 2( ) ( ) ( )sP D P D P D= I

1 2sP P P= I 1 2( ) ( ) ( )sR t R t R t= ⋅ 1 2sR R R= ⋅

1 21

...n

s n ii

R R R R R=

= ⋅ ⋅ ⋅ = ∏ redna veza n elemenata

1 1 1 1 11

...n

nsR R R R R R= ⋅ ⋅ ⋅ = =∏

ukoliko se radi o identičnim elementima pouzdanosti su im iste

1

nsR R=

6. POUZDANOST SISTEMA SA AKTIVNOM I PASIVNOM PARALELNOM VEZOM ELEMENATA

Sistem je u radu sve dok je barem jedan element paralelne veze u radu. Tek kada otkažu oba (svi) elementi paralelne veze, otkazuje i sistem, ovaj sistem obezbeđuje visok nivo pouzdanosti sistema.

D1 – događaj 1 – element 1 U RADU D2 – događaj 2 – element 2 U RADU Da bi sistem bio U RADU, mora biti realizovan barem jedan događaj – unija dva događaja ! Verovatnoća realizacije ovog događaja je jednaka “zbiru” (pravila Bool-ove algebre) dve verovatnoće (elementi).

1 2sD D D= U

1 2( ) ( ) ( )sP D P D P D= U

1 2sP P P= U

1 2 1sP P P P P= + − I

R1

R2

2

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )sR t R t R t R t R t= + − ⋅

1 2 1s 2R R R R R= + − ⋅ 1s sR F= −

Sistem je u otkazu kada su oba elementa u otkazu → nepouzdanost !!! 1 2sF F F= ⋅

1 21sR F F= − ⋅

1 21 (1 ) (1 )sR R R= − − ⋅ −

1 21

1 (1 ) (1 ) ... (1 ) 1 (1 )n

s n ii

R R R R=

= − − ⋅ − ⋅ ⋅ − = − −∏ R

R

Ukoliko se radi o identičnim elementima, pouzdanosti tih elemenata su iste

1 11

1 (1 ) 1 (1 )n

nsR R= − − = − −∏

1 1 1nsR R= − −

9

Pasivna paralelna veza Aktivni element je u radu. Kada otkaže aktivni element, uključuje se pasivni element. Tek kada otkaže pasivni element (svi pasivni elementi) koji se nalazi u pasivnoj paralelnoj vezi, otkazuje i ceo sistem.

Pretpostavka – eksponencijalni zakon raspodele vremena U RADU Period stabilne eksploatacije !

R1

R2

R1

R2

Pretpostavka – eksponencijalni zakon raspodele vremena U RADU Period stabilne eksploatacije !

tR e λ− ⋅=

0

( )!

knt

sk

tR ek

λλ − ⋅

=

⋅= ⋅∑

( ) ( )2

1 ...2! !

kt

s

t tR t

ke λλ λ

λ − ⋅⎡ ⎤⋅ ⋅

= + ⋅ + + + ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

k – broj elemenata u pasivnoj vezi !!! k=0

[ ]1 tsR e λ− ⋅= ⋅

k = 1

[ ] ( )1 11 tsR t e R tλλ λ− ⋅= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ R

10

7. POUZDANOST SISTEMA SA DELIMIČNO PARALELNOM I KOMPLEKSNOM VEZOM

ispravnost sistema se uslovljava ispravnošću bar „k“ od „m“ elemenata.

11

i( )1x m

m xxs i

x k

mR R R

x

=−

=

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

( ) ( )! 1! !

x mm xx

s ix k

mR Rx m x

=

iR −

=

= ⋅ ⋅ −⋅ −∑

( ) ( )! 1 2 ...

4! 4 3 2 1 245! 5 4 3 2 1 1200! 1

x x x x= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ==

2 1

4

Strukture sa kmpleksnom vezom elemenata predstavljaju sisteme u čijoj gradnji postoje i redne i paralelne veze

1 2 31 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )aR R R R R= − − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

5 61 (1 ) (1 ) (1 )b

R2

R3

R4

R1

R6

R7

R5

R8

R2

R3

RK

R1

RM

R8Rb Ra

7R R R R= − − ⋅ − ⋅ −

[ ][ ]

8

1 2 3 4

5 6 7 8

1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

1 (1 ) (1 ) (1 )

s a b

s

R R R RR R R R

R R R R

= ⋅ ⋅

= − − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

− − ⋅ − ⋅ − ⋅

R ⋅

Puno elemenata – povezanih na različite načine.

12

3

1 2AR R R R= ⋅ ⋅

1 4B 5R R R R= ⋅ ⋅

5 6C 7R R R R= ⋅ ⋅

S A BD D D D= U U

A

B

C

R2 R3

R4

R1

R6 R7

R5

C

( ) ( ) ( ) ( )S A BP D P D P D P D= U U C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (A B A B A BP D P D P D P D P D P D= + −U I )3

5

5

1 2AP P P P= I I

1 4BP P P P= I I

1 2 3 1 4A BP P P P P P P P=I I I I I I

1 1P P P=U 1

1

1 1P P P=I

1 1P P P=U 1

1

1 1P P P=I

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 4 5A BP D P D P P P P P P=I I I I I I

5

1 2 3 4A BP P P P P P P=I I I I I

1 2 3 4 5A BR R R R R R R⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) ( )S A BP D P D P D P D= U U C

C

S A B C A B A C B C A BP P P P P P P P P P P P P= + + − − − +I I I I I

S A B C A B A C B C

A B C

P P P P P P P P P PP P P

= + + − − − ++

I I I

I I A

B

C

R2 R3

R4

R1

R6 R7

R5

1 2 3 1 4 5 5 6 7

1 2 3 1 4 5 1 2 3 5 6 7

1 4 5 5 6 7

1 2 3 1 4 5 5 6 7

SP P P P P P P P P PP P P P P P P P P P P PP P P P P PP P P P P P P P P

= + + −− − −− ++

I I I I I I

I I I I I I I I I I

I I I I I

I I I I I I I I

1 2 3 1 4 5 5 6 7 1 2 3 1 4 5 1 2 3 5 6 7

1 4 5 5 6 7 1 2 4 6 7

SP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PP P P P P P P P P P P P

= + + − − −− +

I I I I I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I I I

−

3 1 5 5P P PI

1 2 3 1 4 5 5 6 7 1 2 3 4 5 1 2 3 5 6 7

1 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

SP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PP P P P P P P P P P P P

= + + − −− +

I I I I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I

1 2 3 1 4 5 5 6 7 1 2 3 4 5 1 2 3 5 6 7

1 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

SP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PP P P P P P P P P P P P

= + + − −− +

I I I I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I

−

1 2 3 1 4 5 5 6 7 1 2 3 4 5 1 2 3 5 6 7

1 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

S SP R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R RR R R R R R R R R R R R

= = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 2 3 1 4 5 5 6 7 1 2 3 4 5 1 2 3 5 6 7 1 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7SR R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R= + + − − − +

123 145 567 12345 123567 14567 1234567SR R R R R R R R= + + − − − +

13

8. POUZDANOST SISTEMA SA SPECIFIČNIM VEZAMA ELEMENATA Specifične veze, koje imaju karakteristike rednih i paralelnih veza, a nisu čisto redne ni paralelne veze – kvaziredne i kvaziparalelne veze.

R2 Kf

R1

R1

Kf

kvaziredna veza kvaziparalelna veza

Primer: radna i pomoćna (parkirna) kočnica kod automobila.

14

Kf - fiktivni element koji “simulira” degradaciju radnih karakteristika. Kf= put kočenja radnom kočnicom / put kočenja parkirnom kočnicom

R1

Kf

kvaziparalelna vezaPrimer kvaziredne veze: Kočioni sistem automobila, ako bi bile odvojene kočione grane za leve i desne točkove. Otkaz jedne grane ne znači potpuni gubitak sposobnosti kočenja, ali značajno umanjuje bezbednost vozila.

( ) ( )2 11 1 1s K KR PMR K KP PMP fp

Rfp

P

R R R R R R R R

S put kočenja pri dejstvu radne kočniceKS put kočenja pri dejstvu pomoćne kočnice

⎡ ⎤= − − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎣ ⎦

= =

R2 Kf

R1

kvaziredna veza uvek mora da važi odnos: 0 1fpK≤ ≤

9. OSNOVNI STATISTIČKI POKAZATELJI SLUČAJNE PROMENLJIVE Događaji – slučajne veličine → statistika i teorija verovatnoće Osnovne veličine koje je potrebno poznavati za svaku pojavu koju treba izučiti:

• srednja vrednost, • medijana, • mod, • mera rasipanja oko srednje vrednosti, • granice poverenja i • rang.

• za neprekidne (kontinualne) promene (uslov – poznato f(t))

( )m t f t d∞

−∞

= ⋅∫ t

i

površina ispod krive

• za prekidne (diskretne) promene

1

( )i n

ii

m t p t=

=

= ⋅∑ 1 1

i n i n

i ii i

t tm

n n

= =

= =

⋅= =

∑ ∑ if

Neprekidna (kontinualne) promena

Prekidna (diskretna) promena

Medijana - deli populaciju na dva jednaka dela (50 % populacije ima manju vrednost od medijane, a drugih 50 % populacije ima veću vrednost od medijane !

- deli populaciju na dva jednaka dela (50 % populacije ima manju vrednost od

medijane, a drugih 50 % populacije ima veću vrednost od medijane !

50

50

( ) 0,5 ( )t

t

m t f t dt t f t dt∞

−∞

= ⋅ = = ⋅∫ ∫

15

Mod - najveća verovatnoća pojavljivanja – najviša frekvencija

( ) 0 mdf t tdt

= ⇒ =

od

Mera rasipanja oko srednje vrednosti

( )22 ( )t m f t dtσ∞

−∞

= − ⋅∫

( )22

1( )

i n

ii

t m p tσ=

=

= − ⋅∑

( )22

1

11

i n

ii

t m fn

σ=

=

= −− ∑ ⋅

16

10. GRANICE POVERENJA SLUČAJNE PROMENLJIVE Granice poverenja Razlika između srednje vrednosti uzorka i srednje vrednosti cele populacije. Što je veći uzorak, dobijene statističke veličine uzorka su približnije stvarnoj vrednosti odgovarajuće veličine cele populacije. Ocena odstupanja izračunate srednje vrednosti od prave srednje vrednosti odgovarajuće raspodele, vrši se na osnovu utvrđivanja granica, odnosno, intervala poverenja. Interval poverenja predstavlja dijapazon u kome se, sa određenom verovatnoćom, tvrdi da se nalazi prava srednja vrednost populacije. Granice poverenja predstavljaju vrednosti Cα/2, koje odgovaraju verovatnoći realizacije od 1-α %.

/ 2 / 2m C m m Cα α− ≤ ≤ + Vrednost granica poverenja mogu da se odrede na osnovu veličine uzorka i standardne devijacije. Npr, ako se želi odrediti granice poverenja za α = 5 % (1 – α = 95 %), to se postiže sledećim izrazom:

1,96 1,96m m mn n

σ σ⋅ ⋅− ≤ ≤ +

17

11. HISTOGRAM I POLIGON Omogućuju bliže upoznavanje stvarnog zakona raspodele posmatrane slučajno promenljive

veličine, vrši se izračunavanje relativnih (f) i kumulativnih (F) frekvencija i njihovo grafičko prikazivanje u obliku histograma odnosno poligona.

Za ovakvu obradu svi rezultati merenja treba d se grupišu u određene klase, tj. intervale promene posmatrane veličine, pa su relativne frekvencije određene izrazom:

( )100 %i in nf ili fn n

= = ⋅

gde je ni broj rezultata u svakoj pojedinačnoj klasi n ukupni broj rezultata Grafički prikaz ovako izračunatih relativnih frekvencija naziva se histogram. Δt +t

0

f [%

]

Na osnovu relativnih frekvenci lako se dolayi i do njihovih kumulativnih vrednosti

1

ji

i

nFn=

= ∑ ili 1

100j

i

i

nFn=

= ⋅∑ (%)

što se grafički prikazuje u vidu stepenastog dijagrama ili poligona

Δt +t0

F [%

] 100 % 100 %

+t

F [%

]

0Δt

18

12. RANGIRANJE REZULTATA Kod sistema u mašinstvu raspoložive informacije su obično relativno oskudne, odnosno

potiču iz relativno malog uzorka. Iz tog razloga se mora ići na mali broj klasa, širokih intervala promene slučajne veličine. Histogram tada dobija sasvim netipičan karakter te se na ovoj osnovi čak ni elementarna

prosuđivanja ne mogu obaviti. Za ovakve slučajeve se primenjuje metod rangiranja (naročito kada je broj rezultata manji

od 50) koji se zasniva na dodeljivanju kumulativnih frekvenci ovako rangiranih rezultata. Pretpostavimo da za određenu veličinu posedujemo 5 rezultata. Ako sve rezultate sredimo po rastućem redu, rang prvog iznosio bi 20% drugog 40% itd. To bi značilo da 20% ukupne populacije ima vrednosti manje ili jednake prvom rezultatu,

40% manje ili jednake drugom rezultatu, itd. Ovo međutim nemora biti tačno, stoga je potrebno potražiti neki statistički pokazatelj koji će objektivnije da oceni stvarni rang svakog pojedinačnog rezultata.

Najznačajniji metod rangiranja je određivanje tzv. medijalnog ranga. Empirijski obrazac:

0,30, 4

jMRn

−=

+

j – redni broj rezultata merenja n – ukupan broj rezultata

Ovako izračunate vrednosti rangova značajnosti, a posebno medijalnog ranga mogu da se prikazuju grafički, tako se dobija znatno realnija slika pravog stanja stvari, naročito kod relativno malih uzoraka.

19

13. WEIBULLOVA RASPODELA se najviše koristi u svim analizama efektivnosti tehničkih sistema, a posebno u području pouzdanosti.

Ovo neposredno proističe iz njenog parametarskog karaktera i širokih mogućnosti da se izborom odgovarajućih vrednosti ovih parametara interpretiraju veoma različiti zakoni slučajno promenljivih veličina.

Ona je razvijena za statističku obradu rezultata ispitivanja elemenata u tehnici, konkretno rezultata ispitivanja elemenata na zamor, odnosno trajnost. Weibullova raspodela se izražava u dva oblika: sa dva ili tri parametra. Osnovne funkcije weibull-ove raspodele imaju oblik:

1

( )ttf t e

ββηβ

η η

− ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )t

R t e

β

η⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠=

( ) 1 / ln /lnt

F t e

β

η⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠= −

1ln ln ln( ) ln( )1 ( )

tF t

β β η⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ y a x b= ⋅ +

β – parametar oblika η – parametar razmere

Različite vrednosti parametra β veoma menjaju karakter raspodele. Za veće vrednosti parametra β Vejbulova raspodela se više približava normalnom zakonu raspodele, a nekad se razlike između vejbulovog i normalnog zakona raspodele praktično ne primećuju.

Ako podaci uneti u verovatnosni papir odgovaraju nekoj krivoj liniji može se pretpostaviti da se radi o troparametarskoj vejbulovoj raspodeli, odnosno o raspodeli koja se karakteriše postojanjem patametra položaja γ, on označava minimalnu vrednost slučajno promenljive koja može da se ostvari (vek trajanja – minimalni vek trajanja)

20

14. STATISTIČKI TESTOVI Ocena polazne hipoteze o važnosti određenog zakona raspodele vrši se na verovatnosnom

papiru procenjivanjem da li sve unete tačke (kumulativne učestanosti ili medijalni rangovi) odgovaraju pravoj liniji, mogu da se tolerišu i određena odstupanja bez obzira iz kojih izvora potiču. ovo se posebno odnosi na tačke koje odgovaraju najmanjim relativnim učestalostima.

Da bi se u oceni ovih odstupanja dobila potebna sigurnost mogu da se koriste statistički testovi.

Među najčešće korišćene spadaju test Kolmogorov-Smirnova, ili ’’d’’ test. Test Kolmogorov-Smirnova se zasniva na pretpostavci da dobijena raspodela zaista

odgovara teorijskoj, i to za celu populaciju.Stepen saglasnosti se ocenjuje na bazi odstupanja pojedinih tačaka od predpostavljene raspodele (prave linije) upoređujući ova odstupanja sa kritičnim vrednostima ’’d’’, koje se daju tablično.

Stepen značajnosti Veličina uzorka 0,2

3 5

10 20 40

21

0,17 preko 50

Ako npr. imamo uzorak sa 40 elemenata i stepen značajnosti 0,2 onda je „d“=0,17.Nanošenjem „d“ u procentima sa obe strane pretpostavljene raspodele dobiće se dve granične krive.

Ako bilo koja tačka izlazi iz područja omeđenog ovim krivim linijama, postoji manje od 80% šanse da pretpostavljena raspodela odgovara stvarnim osobinama populacije, odnosno ako nijedna tačka neizlazi iz ovog područja to neznači da je ovako pretpostavljena raspodela tačna već samo da može biti zadovoljavajuća.

15. TROPARAMETARSKA (WEIBULLOVA) RASPODELA se najviše koristi u svim analizama efektivnosti tehničkih sistema, a posebno u području pouzdanosti.

Ovo neposredno proističe iz njenog parametarskog karaktera i širokih mogućnosti da se izborom odgovarajućih vrednosti ovih parametara interpretiraju veoma različiti zakoni slučajno promenljivih veličina.

Ona je razvijena za statističku obradu rezultata ispitivanja elemenata u tehnici, konkretno rezultata ispitivanja elemenata na zamor, odnosno trajnost.

weibullova raspodela se izražava u dva oblika: sa dva ili tri parametra. Ako podaci uneti u verovatnosni papir odgovaraju nekoj krivoj liniji može se pretpostaviti

da se radi o troparametarskoj vejbulovoj raspodeli, odnosno o raspodeli koja se karakteriše postojanjem patametra položaja γ, on označava minimalnu vrednost slučajno promenljive koja može da se ostvari (vek trajanja – minimalni vek trajanja). β – parametar oblika η – parametar razmere γ – patametar položaja

Hipotezu o važnosti troparametarske Vejbulove raspodele treba prvo proveriti suštinski, fizičkom analizom posmatrane slučajno promenljive. Ako se zaključi da ima logike da posmatrana slučajno promenljiva ima neku minimalnu vrednost, treba pristupiti proveri da li se ova polazna pretpostavka može dokazati i na verovatnosnom papiru.

( ) (( ) (

))

3 2 2 12

3 2 2 1

t t t tt

t t t tγ

− ⋅ −= −

− − − ( )t

R t e

βγ

η γ⎛ ⎞−

−⎜ ⎟−⎝ ⎠=

22

16. SLOŽENA RASPODELA Ako se unošenjem podataka na verovatnosni papir zaključi da je prikladno povući dve ili

više pravih linija ima osnove za pretpostavku da su obrađivani podaci nehomogeni tj. danemaju isti karakter.

Ovo je čest slučaj pri obradama rezultata koji se odnose na ispitivanje pouzdanosti u eksploataciji, kada prikupljene informacije nemoraju biti i dovoljno precizno izdiferencirane u odnosu na karakter nastalih neispravnosti.

( ) ( ) ( ) ( )I II IIII II

n n nIIIR t R t R t R

n n n= ⋅ + ⋅ + ⋅ t

( )I II III

I II

t tIII II IIIn n nR t e e e

n n n

β β

η η⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⋅ + ⋅ + ⋅ I

tβ

η

Kako su podaci grupisani na različitim pravama može se zaključiti da se radi o više vrsta stanja U OTKAZU te se podaci grupisani oko različitih prava ponovo unose u tablice (ali posebno – kao posebni uzorci).

Potom se oni ponovo nanose na verovatnosni papir, te se od složene raspodele kakva je bila dobijaju dve ili više raspodela.

Ovako razdvojene raspodele daju mogućnost za objektivnije odlučivanje. Podeli dobijenih podataka na dva ili više skupova treba pristupiti samo ako postoji

određena fizička logika da uzorak zaista nije homogen, odnosno da uključuje podatke koji po svom karakteru nisu jednaki.

Bez osnovane logike da je ovo zaista tako , primena ovog metoda može da dovede do neobjektivnih zaključaka.

23

17. PODRUČJE POVERENJA RASPODELA Podrazumeva proveru odgovarajućih granica poverenja, određivanje područja poverenja za raspodelu u celini, kao i određivanju granica poverenja faktora oblika β. Područje poverenja za raspodelu u celini ima smisla određivati samo ako se radi o relativno malom uzorku, po pravilu sa manje od 50 uzoraka. Tada se zakon raspodele definiše preko medijalnih rangova, sa verovatnoćom realizacije od 50%. Ako se na verovatnosni papir unesu i podaci o rangovima značaja za 5% i 95% područje između ovako dobijenih krivih linija odgovara području poverenja posmatrane raspodele sa 90% verovatnoće realizacije. Područje poverenja raspodele se određuje preko faktora poverenja za određene vrednosti kumulativne učestanosti. Ovi faktori poverenja Fq neposredno određuju moguće intervale poverenja slučajno promenljive, za određenu verovatnoću. Granice poverenja se određuju:

minq

q

tt

F=

max q qt t= ⋅ FAko se radi o velikim uzorcima sa preko 100 ili 200 elemenata područja poverenja su veoma uska, te je dovoljno ići na proveru intervala poverenja parametra oblika raspodele. Jedan od preporučenih postupaka za određivanje intervala poverenja parametara oblika sastoji se u određivanju faktora poverenja Fβ koji neposredno određuje granice poverenja prema izrazu:

min Fβ

ββ =

max Fββ β= ⋅

24

21. POSTUPAK PODJEDNAKE RASPODELE POUZDANOSTI SISTEMA Alokacija → preraspodela (unapred zadatu pouzdanost je potrebno preraspodeliti na sastavne elemente sistema (sklopove), uvažavajući način povezivanja elemenata u celinu - sistem! Određivanje potrebnog nivoa pouzdanosti elemenata

• Postupak podjednake raspodele • Postupak raspodele na osnovu podataka vremenskih slika stanja sličnih elemenata (ARINC postupak) • Postupak raspodele na osnovu značajnosti (AGREE postupak) • EFTES postupak

Bitna je pretpostavka da su otkazi na pojedinim elementima nezavisni od otkaza na drugim elementima, tj. da zavise samo od njegovih sopstvenih osobina. Najjednostavniji metod alokacije pouzdanosti je metod podjednake raspodele, ali najnerealniji. Pretpostavlja se redna (ređe paralelna) veza elemenata i eksponencijalni zakon raspodele (period stabilne eksploatacije) Zahtevana pouzdanost se “deli“ podjednako na sastavne delove sistema, n redno vezanih jednakih elemenata sa jednakim pouzdanostima.

1

nn

sR R R= =∏

nsR R=

Ukoliko je pouzdanost svakog elementa: i t

iR e λ− ⋅= onda je s tsR e λ− ⋅= odnosno

ln( )ss

Rt

λ = −

Pošto je preduslov da sve pouzdanosti budu jednake 1 2 ...s nR R R R= ⋅ ⋅ ⋅

sledi: 1 2 ...s nt tt te e e eλ λλ λ− ⋅ − ⋅− ⋅ − ⋅= ⋅ ⋅ ⋅

1 21

...n

s n ii

λ λ λ λ λ=

= + + + = ∑

s nλ λ= ⋅

s

nλλ =

25

22. POSTUPAK ARINC ZA ALOKACIJU POUZDANOSTI SISTEMA Alokacija → preraspodela (unapred zadatu pouzdanost je potrebno preraspodeliti na sastavne elemente sistema (sklopove), uvažavajući način povezivanja elemenata u celinu - sistem! Određivanje potrebnog nivoa pouzdanosti elemenata

• Postupak podjednake raspodele • Postupak raspodele na osnovu podataka vremenskih slika stanja sličnih elemenata (ARINC postupak) • Postupak raspodele na osnovu značajnosti (AGREE postupak) • EFTES postupak

Bitna je pretpostavka da su otkazi na pojedinim elementima nezavisni od otkaza na drugim elementima, tj. da zavise samo od njegovih sopstvenih osobina. ARINC postupak nastoji da se određivanje potrebnih karakteristika pouzdanosti pojedinih elemenata strukture uskladi sa realnim mogućnostima njihovog ostvarivanja. Ovaj postupak zahteva posedovanje bar grubih orjentacionih vrednosti intenziteta otkaza za sve elemente sistema. Na samom početku treba da se usvoje vrednosti intenziteta otkaza za svaki element λi.

ln( )ss

Rt

λ = −

Na osnovu toga a polazeći od izraza λs, raspodela potebne pouzdanosti na pojedine elemente vrši se srazmerno statističkoj težini odgovarajućih usvojenih vrednosti intenziteta otkaza preko faktora:

1

ii n

ii

λωλ

=

=

∑

pri čemu mora biti zadovoljen uslov:

11

n

ii

ω=

=∑

Tada je maksimalno dopustiva vrednost intenziteta otkaza i-tog elementa sistema: i i sλ ω λ= ⋅

pa je i potrebna pouzdanost i-tog elementa: i it t

iR e e sλ ω λ− ⋅ − ⋅ ⋅= =

26

23. POSTUPAK AGREE ZA ALOKACIJU POUZDANOSTI SISTEMA Postupak raspodele na osnovu značajnosti - AGREE postupak Razvijen je za potrebe američke armije. Osnovna prednost mu se ogleda u tome što uvažava relativni značaj pojedinih sklopova (elemenata) za ceo sistem, kao i kompleksnost svakog podsistema i njegovo vreme rada. Značaj pojedinog podsistema se definiše faktorom značajnosti Ei koji se definiše kao verovatnoća da će sistem otkazati ako otkaže element koji se posmatra. E = 1 → otkaz sklopa znači i siguran otkaz celog sistema E = 0 → otkaz sklopa nema uticaj na otkaz celog sistema Deo sistema od kojeg se ne zahteva da bude u radu uvek kada je i sistem u radu (uređaji za startovanje, kočenje i slično) imaju koeficijent značajnosti manji od 1.

Određivanje dodeljene vrednosti intenziteta otkaza i-tog elementa sistema:

27

( )lni si

i i

n R tN E t

λ⋅ −⎡⎣= −

⋅ ⋅s ⎤⎦

ni – broj elemenata koji ulaze u sastav posmatranog sklopa N – ukupan broj elemenata u sastavu sistema Ei – faktor značajnosti posmatranog sklopa ts – vreme rada sistema ti – vreme rada posmatranog sklopa

Određivanje potrebne pouzdanosti i-tog elementa sistema:

( ) ( )11

inN

s si i

i

R tR t

E− ⎡ ⎤⎣ ⎦= −

24. POSTUPAK EFTES ZA ALOKACIJU POUZDANOSTI SISTEMA − Procena relativnih odnosa intenziteta otkaza sastavnih delova u odnosu na “najslabiji“ deo

sistema − Ocena stepena uslovljenosti Ei (faktor značajnosti) delova sistema i sistema kao celine

Polazi se od koeficijenta alokacije u vidu:

gde je:

1

ii n

ii

λωλ

=

=

∑

λi intenzitet otkaza delova sistema koji u sebi sadrži njihov stepen uslovljenosti

na osnovu toga se alokacija pouzdanosti sistema na delove sistema vrši na osnovu: *

i i sλ ω λ= ⋅ Izabere se “najslabiji“ deo sistema (najveći intenzitet otkaza) i utvrđuje se λr (referentni intenzitet otkaza) Intenziteti ostalih delova sistema neuzimajući u obzir njihov stepen uslovljenosti stavlja se u odnos prema intenzitetu otkaza najslabijeg dela.

*i

ir

k λλ

=

Uzimajući u obzir stepen uslovljenosti Ei

*1 1i i i

i i

kE E

rλ λ λ= ⋅ = ⋅ ⋅

zamenom se dobija što omogućava alokaciju intenziteta otkaza na delove sistema:

1 1

ir

i ii n n

ii r

i i i

kE

kE

λλω

λ λ= =

⋅= =

⋅∑ ∑1

i

ii i s n

i

i i

kE

kE

sλ ω λ λ

=

= ⋅ = ⋅

∑

pouzdanost dela sistema je tada:

i tiR e λ− ⋅=

Jedna od značajnih prednosti EFTES postupka je i mogućnost primene na sisteme kod kojih se pouzdanost teško može da izrazi preko intenziteta otkaza (rakete i drugi sistemi jednokratne upotrebe) polazeći od:

i tiR e λ− ⋅=

možemo izraziti ln( )i

iRt

λ = −ln( )s

sRt

λ = − i

zamenom ovih izraza (pod pretpostavkom da je vreme rada sistema jednako vremenu rada svakog elementa:

[ ] [ ]

1

ln ( ) ln ( )i

i sin

i

i i

kR t RE

kt tE=

− = − ⋅

∑t

28

i i sλ ω λ= ⋅

dobija se rešavanjem po Ri

1

( )

( )

i

is n i

i i

kER t kE

iR t e =

⋅∑

=