Poglavje 3 - Teorija nadzemnih elektroenergetskih vodovbsnet.eu.org/me/studij/3l/EEE/Poglavje 3 -...

TEORIJA NADZEMNIH ELEKTROENERGETSKIH VODOV

1

Kazalo

1. TEORIJA NADZEMNIH ELEKTROENERGETSKIH VODOV ....................................................... 2

1.1. MEHANSKI PARAMETRI NADZEMNIH GOLIH VODNIKOV IN OBLIKOVANJE VODOV................................ 2 1.1.1. Mehanske lastnosti daljnovodnih vrvi ........................................................................................... 2 1.1.2. Dodatno zimsko breme .................................................................................................................. 5 1.1.3. Povesna verižnica.......................................................................................................................... 5 1.1.4. Dopustne natezne napetosti ......................................................................................................... 11 1.1.5. Klasična položajna enačba.......................................................................................................... 11 1.1.6. Kritična razpetina in kritična temperatura.................................................................................. 13 1.1.7. Varnostne višine, varnostne razdalje in varnostni razmiki ......................................................... 15 1.1.8. Stebri daljnovodov....................................................................................................................... 16 1.1.9. Izolatorji za nadzemne vode ........................................................................................................ 17

1.2. SPLOŠNO O IMPEDANCAH ELEMENTOV ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA........................................ 18 1.3. OHMSKA UPORNOST NADZEMNIH VODOV.......................................................................................... 21 1.4. INDUKTIVNOST NADZEMNIH VODOV.................................................................................................. 24

1.4.1. Notranja in zunanja induktivnost ter ekvivalentni polmer vodnika............................................. 24 1.4.2. Induktivnosti trifaznega sistema .................................................................................................. 29 1.4.3. Induktivnost simetriranega trifaznega sistema............................................................................ 33 1.4.4. Simetriranje na dvosistemskem vodu........................................................................................... 35 1.4.5. Induktivnost razcepljenih vodnikov ............................................................................................. 39 1.4.6. Impedanca zanke vodnik - zemlja................................................................................................ 41 1.4.7. Trifazni vod brez zaščitne vrvi z upoštevano zemljo.................................................................... 44 1.4.8. Trifazni simetrirani vod z zaščitno vrvjo ..................................................................................... 45

1.5. KAPACITIVNOST NADZEMNIH VODOV................................................................................................ 47 1.5.1. Kapacitivnost dveh vodnikov ter vodnika in zemlje..................................................................... 47 1.5.2. Kapacitivnost dveh vodnikov nad zemljo..................................................................................... 51 1.5.3. Kapacitivnost enosistemskega voda brez zaščitne vrvi ............................................................... 55 1.5.4. Kapacitivnost dvosistemskega voda brez zaščitne vrvi ............................................................... 58 1.5.5. Kapacitivnost enosistemskega voda z zaščitno vrvjo................................................................... 59 1.5.6. Kapacitivnost enosistemskega voda z dvema zaščitnima vrvema................................................ 62 1.5.7. Kapacitivnost dvosistemskega voda z zaščitno vrvjo................................................................... 63

LITERATURA ............................................................................................................................................... 64


2

1. Teorija nadzemnih elektroenergetskih vodov

1.1. Mehanski parametri nadzemnih golih vodnikov in oblikovanje vodov 1.1.1. Mehanske lastnosti daljnovodnih vrvi Pri mehanskih izračunih daljnovodov oziroma vodov moramo poznati mehanske parametre vodnikov, kot so specifična masa vodnika ρ v kg/m3, temperaturni razteznostni koeficient α v 1/K, modul elastičnosti E v N/mm2 in natezna trdnost snovi σ v N/mm2. Omenjeni parametri so odvisni od vrste vodnika. Osnovni materiali so lahko aluminij, jeklo oziroma pogosti so vodniki iz kombinacije jekla in aluminija oziroma ostalih aluminijskih zlitin. Ker pri oblikovanju vodov izključno uporabljamo vodnike, ki so sestavljeni kot vrvi, razlikujemo homogene in kombinirane vrvi. Homogene vrvi so vodniki, ki so po svoji sestavi žice enakega materiala, medtem ko so kombinirane vrvi sestavljene iz določenih plasti žic enega materiala ter določenih plasti žic drugega materiala. Če govorimo o kombinirani vrvi Al/Fe, predstavlja jekleni stržen del vodnika, ki služi predvsem za izboljšanje mehanskih lastnosti vodnika, medtem ko so zunanje plasti žic iz aluminija in služijo za prevajanje toka. Omenimo naj, da je pri nas pogosto uporabljena hladno obdelana aluminijeva zlitina AlMg 1, nadalje toplo obdelane aluminijeve zlitine AlMgSi in druge. Pri kombiniranih vrveh npr. Al/Fe lahko srečamo različne konstrukcije, kjer so žice v posameznih plasteh lahko različnega prereza. Tako navedimo le primer vrvi Al/Fe 967/228 mm2. Prerezno razmerje je 4,3:1 in zunanji premer 44,8 mm2. Tak vodnik je bil pri nas prvotno načrtovan za 380 kV omrežje, in sicer v primeru, če bi imeli le en vodnik v vsaki fazi. Če pogledamo v notranjost takega vodnika, ima jekleni stržen 1+6+12+18=37 žic premera 2,8 mm2, štiri plastni aluminijski plašč pa žice različnih debelin, in sicer notranji dve plasti 24+30=54 žic premera 2,8 mm2 in zunanji dve plasti 30+36=66 žic premera 3,5 mm2. Kombinirane vodnike oziroma vrvi obravnavamo v izračunih kot homogene vrvi skupnega prereza obeh kovinski delov A in rezultančne specifične teže γ (daN/m·mm2) glede na relacijo: FeFeAlAl AAA γγγ += . (1.1) Indeks Al v enačbi (1.1) predstavlja oznako za aluminij in Fe za jeklo. Iz enačbe (1.1) sledi rezultančna vrednost za specifično težo vrvi:

FeAl

FeFeAlAl

AAAA

+

+=

γγγ . (1.2)

Enačbo (1.2) poenostavimo z vnosom pojma prerezno razmerje:

Fe

Al

AA

=η , (1.3)


3

η

ηγγγ

+

⋅+=

1AlFe . (1.4)

Prav tako se pojavlja vprašanje rezultančne natezne napetost σ pri kombinirani vrvi. Predpostavimo, da je temperatura ϑ enaka nevtralni temperaturi, kar pomeni, da ne računamo na dodatne raztezke zaradi temperature. Nevtralna temperatura je običajno 15°C. Raztezke vrvi opazujemo kot relativne vrednosti [∆l/l0]σ, pri čemer indeks σ pomeni, da relativni raztezki nastopijo samo zaradi natezne napetosti in ne zaradi spremembe temperature. Po Hookovem zakonu je znano, da je relativni raztezek enak razmerju natezne napetosti in modula elastičnosti. Zapišimo enačbo glede na predhodno predpostavko. Vpliva temperature ne upoštevamo.

El

l σ

σ

=

∆

0

. (1.5)

Hookov zakon definira področje proporcionalnosti, področje navidezne proporcionalnosti, področje nestabilnosti ter področje neelastičnosti. Pri kombinirani vrvi upoštevamo osnovna tri izhodišča, in sicer: • da pri izdelavi vrvi nastopa nevtralna temperatura ϑ15=15°C, kjer ne nastopajo nikakršne

natezne napetosti, • da sta pri obremenitvi vrvi obremenjena tako Al kot Fe ter • da je trenje med Al in Fe tolikšno, da ne prihaja do medsebojnih premikov. Po predpostavki, da ni medsebojnih premikov, lahko zapišemo

EEE Fe

Fe

Al

Al σσσ== , (1.6)

kjer je σ natezna napetost celotne vrvi in E modul elastičnosti prav tako celotne vrvi. Po zgornjih predpostavkah se natezni napetosti v Al in Fe postavita v razmerju modulov elastičnosti

Fe

Al

Fe

Al

EE

=σσ . (1.7)

Za natezne sile v kombinirani vrvi velja enačba ( )FeAlFeFeAlAl AAAA +=+ σσσ (1.8) in zato je natezna napetost celotne vrvi z upoštevanjem izraza (1.7) enaka

AlAlFeFeAl

FeAl

FeFeAlAl EEAA

AAσ

ηη

ησσησσ

σ11 +

+=

+

+=

+

+= . (1.9)

Ob dodatnem upoštevanju izraza (1.6) tako velja za rezultančni modul elastičnosti kombinirane vrvi:


4

ηη

+

+=

1AlFe EEE . (1.10)

Pri nadaljnji izpeljavi upoštevamo še raztegljivost vrvi v odvisnosti od temperature, v tem primeru je relativni raztezek enak:

ϑ∆α∆

ϑ

=

0ll , (1.11)

kjer jeα temperaturni koeficient v 1/K (αFe=11·10-6 1/K, αAl=23·10-6 1/K). Pod vplivom temperature bi se moral Al plašč bolj raztegniti kot Fe, v kolikor ne bi veljalo pravilo, ki pravi, da se obe kovini enako raztezata. Če tega pravila ne upoštevamo, ugotovimo, da se bo Al plašč bolj raztegnil kot vsa vrv, torej ))(( 15ϑϑαα −−Al . (1.12) Ker pa se to ne more zgoditi, skladno z izrazom (1.5) nastane temu raztezku ustrezna mehanska napetost: AlAl E))(( 15ϑϑαα −− (1.13) Če enačbo (1.13) pomnožimo s prerezom Al to je z AAl dobimo silo v Al plašču: AlAlAlAl AEF ))(( 15ϑϑαα −−= (1.14) Enako lahko trdimo za Fe stržen: FeFeFeFe AEF ))(( 15ϑϑαα −−= . (1.15) Ker sta si obe sili v ravnovesju (FAl=FFe), lahko izpeljemo rezultantni temperaturni koeficient:

)1( η

αηαα

+

+=

EEE FeFeAlAl . (1.16)

Izraz (1.9) za natezno napetost kombinirane vrvi v odvisnosti od natezne napetosti v Al plašču je veljaven samo za temperaturo, pri kateri je bila vrv spletena. Za poljubno drugo temperaturo pa je treba poleg elastičnih raztezkov upoštevati tudi temperaturne raztezke. Zaradi trditve, da premikov med jeklenim strženom in aluminijskim plaščem ni, velja enakost elastičnih in temperaturnih raztezkov celotne vrvi in Al plašča:

Al

AlAl EE

σϑϑα

σϑϑα +−=+− )()( 1515 . (1.17)

Dalje lahko izračunamo natezno napetost celotne vrvi σ v odvisnosti od temperature in natezne napetosti v Al plašču.

AlAl

Al EEE σϑϑαασ +−−= ))(( 15 (1.18)


5

1.1.2. Dodatno zimsko breme Natezna napetost v vodniku, ki ima smer tangente na vodnik v opazovani točki se spreminja vzdolž vodnika. Spreminja se tudi zaradi dodatne obtežitve zaradi snega, vetra in ledu. Pri nas je normalna dodatna obtežba na dolžinski meter vodnika enaka največji dodatni obtežbi, ki se na zadevnem mestu pojavlja povprečno vsakih pet let, vendar nikakor ne manjša kot (daN/m) 18,0min dg =∆ , (1.19) kjer je d premer vodnika. Zveza med premerom vrvi in prerezom A ob upoštevanju polnilnega faktorja je podana s približno zvezo (mm) 3,1 Ad ≈ , (1.20) kjer je A pri kombiniranih vrveh skupni prerez Al plašča in Fe stržena. Zaradi dodatne obremenitve upoštevajmo, da se ustrezno poveča specifična teža vodnika, govorimo tudi o reduciranem dodatnem bremenu:

)mm(daN/m 2,018,0 2

43 ⋅=≈∆

AAd

γ . (1.21)

Iz izraza (1.21) sledi, da čim manjši je premer vrvi (ali prerez), tem večje je na enoto prereza reducirano zimsko dodatno breme. Sklepamo lahko da bodo tanjše vrvi za dodatna bremena občutljivejša od debelejših. Normalna dodatna obremenitev je pri nas določena na osnovi opazovanj. Od minimalne obremenitve je večja za faktor k, ki lahko zavzame vrednosti 1, 1,6, 2,5 ali 4. Načeloma naši projektanti upoštevajo faktor k=1,6, čeprav se je pred leti na območju Brkinov pojavila obremenitev, ki bi zahtevala faktor k=12. 1.1.3. Povesna verižnica Vodniki se pod vplivom lastne teže in zimskih dodatnih bremen povešajo. Pri ugotavljanju povesnih razmer se poslužujemo izsledkov teoretske mehanike in predpostavljamo, da se vrvi idealno upogibljejo, tako kot verige, čeprav v resnici niso. Na primeru na sliki 1.1 opazujmo obešeno vrv, ki je vpeta med dvema obesiščema 1 in 2 in ima 1mm2 v prerezu. Predstavimo element vrvi dolžine dl (m) s težo γ dl (N). Vertikalna sila γ dl in tangencialni sili na obeh konceh izrezanega elementa σ ter σ +dσ morajo biti v ravnotežju.


6

f

ss/2

0

y

x

v+ d v

+ dh h

+ d

dlhv

1 2

Slika 1.1: Verižnica Zapišimo prvi ravnotežnostni pogoj za horizontalne komponente: 0,0 ==−− hhhh dd σσσσ . (1.22) Iz prve ravnotežnostne enačbe sledi, da je horizontalna natezna napetost konstantna v katerikoli točki verižnice (σh=konst.). Iz slike 1.1 sledi, da so vertikalne komponente prav tako v ravnotežju, kar lahko zapišemo z enačbo: dldddl vvvv γσσσγσ ==−−+ ,0 . (1.23) Za element loka velja

2

22 1

+=+=

dxdydxdydxdl (1.24)

in dalje

2

1

+=

dxdydxd v γσ , (1.25)

kar vodi do diferencialne enačbe

2

1

+=

dxdy

dxd v γσ . (1.26)

Glede na sliko 1.1 velja

dxdytg

h

v ==σσ

ϕ (1.27)

in dalje

dxdy

hv σσ = . (1.28)


7

Izraz odvajamo po x, povežemo z enačbo (1.26) in dobimo navadno diferencialno enačbo drugega reda:

2

2

2

1

+=

dxdy

dxdy

h γσ (1.29)

Splošna rešitev enačbe (1.29) je

Kaxay += ch , (1.30)

kjer je a parameter verižnice

γ

σ ha = , (1.31)

K je integracijska konstanta. Kot vidimo, natezno napetost predstavlja samo horizontalna komponenta. Parameter γ je specifična teža vodnika. Če postavimo koordinatni sistem v teme verižnice, za x=0 velja y=0 in s tem aKKay −=+= , , (1.32) tako da dobimo

aaxay −= ch . (1.33)

Glede na sliko 1.1 je potrebno poudariti, da razumemo pod pojmom razpetina horizontalno razdaljo med vertikalo v točki obesišča 1 in vertikalo obesišča 2. Razpetino označimo kot s. Največji poves f nastopi na polovici razpetine s/2

−=−= 1

2ch

2ch

asaa

asaf . (1.34)

Pri različnih višinah obesišč imamo glede na sliko 1.2 med obesiščema neko višinsko razliko ∆h (1.35)

ss y

s/2 s/2sd

h

y1

y2

2h

2

f

x1 x2xf

hf

yf

0

1

Slika 1.2: Različni višini obesišč


8

axa

axayyh 12

12 chch −=−=∆ . (1.35)

Z uporabo adicijskega teorema za hiperbolični kosinus, lahko zgornjo enačbo izrazimo kot

a

xxaxxayyh

2sh

2sh2 1221

12−+

=−=∆ . (1.36)

Pri različnih višinah obesišč na sliki 1.2 si vedno lahko predstavljamo, da je verižnica tako dopolnjena, da dobimo enaki višini obesišč. Fiktivni dodatek razpetine označimo kot sd. Pri upoštevanju naslednjih izrazov:

dsxx

xxs=−

+=

12

21 (1.37)

tako dobimo za razliko višin obesišč

as

asah d

2sh

2sh2=∆ . (1.38)

Skupno navidezno razpetino zapišimo kot ds sss += . (1.39) Pri obravnavi verižnice je pomembna tudi njena dolžina, ki jo lahko določimo na osnovi slike 1.3.

x

y

x

dlvh

=

Slika 1.3: Določitev dolžine verižnice Dolžino verižnice izrazimo kot

∫∫

+==

xx

dxdxdydll

0

2

0

1 . (1.40)

Ker je odvod izraza (1.33) enak


9

ax

dxdy sh= (1.41)

in ker je

ax

ax 22 chsh1 =+ , (1.42)

lahko izrazimo dolžino verižnice od temena do poljubne abscise x z

∫ ==x

axadx

axl

0

shch . (1.43)

Iz slike 1.3 je tudi razvidno, da lahko tangencialno natezno napetost σ izrazimo z 2222 )( lhvh γσσσσ +=+= . (1.44) Ob upoštevanju enačbe za dolžino verižnice (1.43) je

ax

ax

hhh2222 sh1sh +=+= σσσσ . (1.45)

Z uporabo izraza (1.42) dobimo za tangencialno natezno napetost

ax

h chσσ = . (1.46)

Iz enačbe verižnice (1.33) sledi, da je

1ch +=ay

ax . (1.47)

Enačbo (1.46) dopolnimo z (1.31) in (1.47) in dobimo yh γσσ += , (1.48) ki nam podaja povezavo med tangencialno natezno napetostjo v poljubni točki povešene vrvi ob znani ordinati opazovane točke. Največji poves se tudi ob različnih višinah obesišč meri v sredini razpetine z ustrezno vertikalno razdaljo med zveznico obeh obesišč in verižnico (slika 1.2). V tej točki verižnice imamo opravka s tangencialno natezno napetostjo σf, ki je (1/cosϕ f)-krat večja od horizontalne komponente σh. Ker je ϕ f približno enak ψ (slika 1.2), velja

ψ

σσ

cosh

f = (1.49)

in zato je tudi največji poves sedaj ustrezno večji kot v primeru enakih višin obesišč


10

−= 1

2ch

cos asaf

ψ. (1.50)

V nadaljevanju bomo dosedanje izpeljave dopolnimo z določenimi poenostavitvami. Enačba verižnice (1.33) ni zapisana v uporabni obliki. Če hiperbolični kosinus razvijemo v vrsto

⋅⋅⋅+++=!4!2

1ch42 xxx (1.51)

in upoštevamo samo prva dva člena, dobimo za verižnico aproksimativni izraz

a

xy2

2

= . (1.52)

Na sredini razpetine ob upoštevanju enačbe (1.31) lahko zapišimo, da je poves enak

h

sfσ

γ8

2

= . (1.53)

V primeru neenakih višin obesišč z upoštevanjem (1.50) lahko spremenimo zgornji izraz v

h

sfσ

γψ 8cos

1 2

= . (1.54)

V kolikor so razpetine daljše od 400 m, predpisi zahtevajo, da se upoštevajo trije členi za kosinusno hiperbolično funkcijo, s katero izrazimo poves. Natančneje to določa velikost prispevka tretjega člena vrste. Če je ta prispevek večji od 5 cm, potem je to spremembo potrebno upoštevati. Dopolnjena enačbe (1.53) ima naslednjo obliko

3

432

3848 hh

ssfσ

γσ

γ+= . (1.55)

Poglejmo še izraz za razliko višin obesišč (1.38). Če namesto sinusne hiperbolične funkcije vzamemo samo prvi člen ustrezne vrste

⋅⋅⋅++=!3

sh3xxx , (1.56)

lahko zapišemo izraz (1.38) v poenostavljeni obliki

assh d

2=∆ . (1.57)

S pomočjo zadnje enačbe lahko izpeljemo izraz za fiktivni dodatek razpetine

sh

shas h

d∆

=∆

=γ

σ22 (1.58)


11

in dalje izraz za fiktivno razpetino

shss h

s∆

+=γ

σ2 . (1.59)

Podobno poenostavitev lahko uporabimo tudi pri izračunu dolžine verižnice (1.43). Z dvema členoma vrste za sinusno hiperbolično funkcijo po enačbi (1.56) dobimo za celotno razpetino dolžino verižnice

2

32

2

3

3

3

24244822

2sh22

hv

ssa

ssa

sasa

asalL

σγ

+=+=

+≈=⋅= . (1.60)

Z upoštevanje izraza (1.53) lahko zapišemo gornjo enačbo v drugi obliki

sfsLv

2

38

+= . (1.61)

Pri enakih višinah obesišč tako lahko sklepamo, da ima povečanje povesa iz f1 na f2 za posledico povečanje dolžine vrvi za

)(38 2

12

2 ffs

L −=∆ . (1.62)

1.1.4. Dopustne natezne napetosti Po naših predpisih je lahko tangencialna natezna napetost σ v obesišču pri temperaturi -5ºC z izjemnim dodatnim bremenom enaka trem četrtinam pretržne napetosti σm. Predpisi tudi zahtevajo, da je horizontalna komponenta natezne napetosti pri temperaturi -20ºC brez dodatne obremenitve, oziroma pri temperaturi -5ºC z dodatno obremenitvijo lahko do 0,25 σm za žice in do 0,45 σm za vrvi. 1.1.5. Klasična položajna enačba Dodajmo enačbi (1.60) za dolžino verižnice novo dodatno oznako in jo poimenujmo z geometrijsko dolžino

+= 2

22

241

hvg

ssLσ

γ . (1.63)

Geometrijsko dolžino je potrebno uskladiti s fizikalno dolžino vodnika

( )( )

+++=E

sL hvf

σαϑξ 111 . (1.64)

S fizikalno dolžino se predpostavlja, da izhajamo iz začetnega položaja pri temperaturi 0ºC in natezni napetosti, ki je enaka nič. Ob navedenih pogojih velja trditev, da mora biti vrv za (1+ξ)-krat daljša od razpetine s. Fiktivno veličino ξ imenujmo konstruktivni raztezek. Če se


12

temperatura poveča od nič na ϑ, se poveča dolžina vrvi za (1+αϑ)-krat, kar predstavlja temperaturni raztezek. Zaradi natezne napetosti, ki se poveča od nič na σh, se dolžina vrvi dodatno poveča za (1+ σh/E)-krat, kar predstavlja elastični raztezek. Seveda mora veljati

( )( )

+++=

+

=

Esss

LL

h

h

vfvg

σαϑξ

σγ 11124

1 2

22 . (1.65)

Zaradi majhnih vrednosti produktov na desni strani enačbe (1.65) lahko zapišemo, da je

E

s h

h

σαϑξ

σγ

++=2

22

24. (1.66)

Enačbo (1.66) imenujemo položajno enačbo, kjer nastopa natezna napetost kot spremenljivka tretje stopnje. Zaradi odprave konstruktivnega raztezka določimo nek osnovni položaj, ki je fiksiran s parametri ϑ0, σ0h, γ0 in za katerega velja

E

s h

h

002

0

220

24σ

αϑξσ

γ++= . (1.67)

Iz enačbe (1.67) izrazimo konstruktivni raztezek ξ in ga vstavimo v enačbo (1.66). Dobimo klasično položajno enačbo za vodnike in zaščitne vrvi v diferenčni obliki

E

ss hh

hh

002

0

220

2

22

)(2424

σσϑϑα

σ

γ

σγ −

+−=− . (1.68)

Osnovni položaj je lahko vezan na: • temperaturo -5ºC pri zimskem dodatnem bremenu, kjer se odločamo za neko maksimalno

natezno napetost, • temperaturo -20ºC brez dodatnega bremena, kjer se prav tako odločamo o maksimalni

natezni napetosti, • srednjo letno temperaturo, ko zaradi vibracij fiksiramo vrednost natezne napetosti kot

določen odstotek pretržne napetosti. Ob enem od navedenih osnovnih stanj lahko izračunamo po enačbi (1.68) za vsako izbrano temperaturo v predpisanem območju od -20ºC do +40ºC ustrezno horizontalno natezno napetost. Po osnovnih enačbah za poves (1.53), (1.54) oziroma po potrebi (1.55) določimo poves v odvisnosti od temperature. Podatek o povesu je po eni strani pomemben, ker lahko ob upoštevanju varnostnih razdalj določimo potrebne višine stebrov, po drugi strani pa pri napenjanju vrvi vemo, kakšni povesi nastopajo pri različnih temperaturah (montažne tabele). Enačba (1.68) velja za enake višine obesišč. Za različne višine obesišč upoštevamo manjšo sprememba pri drugem členu na desni strani enačbe

ψ

σσϑϑα

σ

γ

σγ

cos)(

24240

020

220

2

22

⋅

−+−=−

Ess hh

hh

. (1.69)


13

Enačba (1.68) oziroma (1.69) je sicer eksaktno rešljiva, enostavnejše pa jo reševanje npr. po Newtonovem iteracijskem postopku. Če enačbo (1.68) pomnožimo z izrazom Eσh

2, dobimo izraz

EsEEsh

hhh 24

)(24

22

000

2023 γ

σασ

γσσ =

−ϑ−ϑ++ , (1.70)

ki ga delimo še z σh

2 in dobimo enostavno obliko

2

=+

hh

nmσ

σ , (1.71)

kjer je

24

)(24 002

0

20

Esn

EEsm hh

γ

σϑϑασ

γ

=

−−+=

. (1.72)

1.1.6. Kritična razpetina in kritična temperatura Pojasnimo še dva dodatna pojma, ki predstavljata merilo za izbiro značilnega temperaturnega stanja, ko nastopi največja natezna napetost oziroma največji poves. To sta kritična razpetina sk in kritična temperatura ϑk. Na sliki 1.4 je prikazan potek po položajni enačbi izračunane natezne napetosti v odvisnosti od temperature. Kot vidimo, dobimo s temperaturo padajočo krivuljo. Za temperaturo -5ºC sta merodajni dve vrednosti: brez zimskega dodatnega bremena σ-5 (na krivulji) in z dodatnim bremenom σ-5+db (nad krivuljo). Natezna napetost pri -20ºC brez dodatnega bremena največkrat leži med tema dvema vrednostma.

Slika 1.4: Natezna napetost vrvi v odvisnosti od temperature Kritično razpetino sk imenujemo tisto razpetino, pri kateri je natezna napetost pri -5ºC z dodatnim bremenom σ-5+db natanko enaka natezni napetosti pri -20ºC brez dodatnega bremena σ-20 (slika 1.4b).


14

Če ustrezno natezno napetost označimo s σ-5+db=σ-20=σhd, ki predstavlja dopustno horizontalno natezno napetost, dobimo iz položajne enačbe (1.68) in ob upoštevanju razlike temperatur ϑ-ϑ0=-20ºC-(-5ºC)=-15ºC izraz

( )α

σγγ

σγ 15

2424

2222

−=∆+

−hd

k

hd

k ss (1.73)

ter iz tega kritično razpetino

22)(360

γγγα

σ−∆+

= hdks . (1.74)

V kolikor je dejanska razpetina večja od kritične (slika 1.4a), potem velja, da nastopi največja natezna napetost pri -5ºC z dodatnim bremenom. Če je dejanska razpetina manjša od kritične razpetine, potem nastopi največja natezna napetost pri -20ºC. Drugi pomemben pojem pri mehaniki daljnovodnih vrvi je kritična temperatura. Če so pri različnih temperaturah znane natezne napetosti, lahko npr. z izrazom (1.53) izračunamo tudi ustrezne povese. Dobljena krivulja glede na sliko 1.5 s temperaturo narašča. Za poves pri temperaturi -5ºC ponovno dobimo dve vrednosti, in sicer poves pri upoštevanju zimskega dodatnega bremena f-5+db (nad krivuljo) in poves brez dodatnega bremena f-5 (na krivulji).

Slika 1.5: Povesi vrvi v odvisnosti od temperature Tisto pozitivno temperaturo, pri kateri je poves natanko enak povesu pri -5ºC z dodatnim bremenom f-5+db, imenujemo kritična temperatura ϑk. Če levo stran osnovne položajne enačbe (1.68) skladno z (1.61) oziroma (1.53) izrazimo s povesi, sledi za značilno stanje pri -5ºC z dodatnim bremenom

[ ]Es

fsf

kkk

db52

db5

2

)5(38

38 +−+−

−+−−=

−

σσϑα ϑϑ . (1.75)

Ker je po definiciji poves pri kritični temperaturi enak f-5+db, velja tudi

( )db5

22

88 +−

∆+=

σγγ

σγ

ϑ

ss

k

, (1.76)


15

od koder sledi izraz za natezno napetost pri kritični temperaturi

db5+−∆+= σ

γγγ

σϑk. (1.77)

Leva stran položajne enačbe (1.75) je seveda enaka nič, tako da ob upoštevanju (1.77) dobimo izraz za kritično temperaturo

CEk

0db5 5)(

−∆+

∆= +−

γγαγσ

ϑ . (1.78)

V primeru torej, da je poves pri kritični temperaturi manjši kot pri predpostavljeni največji temperaturi npr. 40ºC (slika 1.5a), določamo največji poves pri predpostavljeni največji temperaturi. V nasprotnem primeru, ko kritična temperatura presega predpostavljeno največjo temperaturo (slika 1.5b), računamo največji poves pri kritični temperaturi oziroma pri temperaturi -5 z dodatnim bremenom. 1.1.7. Varnostne višine, varnostne razdalje in varnostni razmiki Pravilnik o tehniških normativih za graditev nadzemnih elektroenergetskih vodov z nazivno napetostjo od 1 kV do 400 kV - TP 4/89 opredeljuje pojem varnostnih višin, varnostnih razdalj in varnostnih razmikov. Pod pojmom varnostna višina razumemo najmanjšo dopustno vertikalno razdaljo vodnika oziroma delov pod napetostjo od zemlje ali od kakega drugega objekta na zemlji. Pri tem upoštevamo največji poves, ki je definiran s kritično temperaturo. Varnostne višine so merodajne za določanje višin stebrov. Omenjeni pravilnik navaja varnostne višine do napetosti 110 kV. Za višje obratovalne napetosti moramo vse vrednosti povečati za najmanj

(m)150

110−nU , (1.79)

kjer je Un obratovalna napetost v kV. Varnostna razdalja pa je najmanjša dopustna razdalja vodnika v katerikoli smeri oziroma delov pod napetostjo od zemlje ali kakega objekta na zemlji pri povesu, ki je določen kot največji glede na kritično temperaturo. Upošteva se tudi obremenitev zaradi vetra od nič do polne vrednosti. Pravilnik TP 4/89 govori natančno tudi o takoimenovanih varnostnih razmikih, za katere pravi, da so to najmanjše dovoljene razdalje med deli pod napetostjo in ozemljenimi deli voda. Tu ločimo stanja z neodklonjenimi vodniki od stanj z odklonjenimi vodniki pod vplivom vetra. Varnostni razmiki v primeru, da ni vpliva vetra, znašajo v cm okrog 0,7 Un in v drugem primeru, ko gre za vpliv vetra, okrog 0,5 Un. Razmik med dvema faznima vodnikoma oziroma med faznim vodnikom in zaščitno vrvjo na stebru je odvisen od povesa daljnovodnih vrvi. Po našem pravilniku mora biti ta razmik v sredini razpetine v brezvetrju enak najmanj


16

(cm)razmik varnostni40 ++⋅= im lfkd , (1.80) kjer smatramo, da nastopi največji poves pri 40ºC (v cm), li je dolžina izolatorske verige do vodnika v cm, k je koeficient, katerega vrednost je odvisna od razporeditve vodnikov in zaščitnih vrvi in od kota odklona teh vrvi pod vplivom vetra. Ta kot označimo z α0. Za različne vrste razporeditev vrvi moramo upoštevati naslednje koeficiente:

• horizontalna razporeditev vrvi: 25

40α

+=k oziroma najmanj k=6 ( 60≥md cm),

• poševna porazdelitev vrvi: 10

20α

+=k oziroma najmanj k=7 ( 70≥md cm),

• vertikalna razporeditev vrvi: 5

40α

+=k oziroma najmanj k=14 (dm ≥ 140cm).

Pri nizkonapetostnih nadzemnih vodih morajo biti razmiki (cm) 3 40fdm ⋅≥ . (1.81) Pri tem razmiki ne smejo biti manjši od 30 cm pri poševni in horizontalni porazdelitvi za razpetine do 45 m in ne manjši od 40 cm za razpetine nad 45 m. 1.1.8. Stebri daljnovodov Stebre daljnovodov delimo glede na: • material, iz katerega so izdelani (leseni, jekleni, armirano betonski, aluminijski), • obliko - razporeditev faz (trikotna, portalna, strehasta, mačka, smreka, sod, dvojna

trikotna), • obremenilne pogoje (nosilni, napenjalni), • funkcijo (linijski stebri, kotni stebri, križni stebri, končni napenjalni stebri). Namesto o daljnovodnih stebrih pogosto govorimo kar o podporah. Kot vidimo iz delitve je naloga podpor, da nosijo zaščitne vrvi in izolatorje, na katerih so pritrjeni fazni vodniki. podpore so grajene za en ali več trifaznih sistemov in to pri različnih nazivnih napetostih. Na sliki 1.6 prikazujemo nekaj primerov razporeditve vodnikov oziroma oblik stebrov.


17

a) b) c) d) e)

j)i)h)g)f)

Slika 1.6: Primeri razporeditve vodnikov: a) trikotnik, b-d) portalna oblika, e) streha, f) mačka, g) smreka, h) sod, i) dvojni trikotnik, j) portal

1.1.9. Izolatorji za nadzemne vode Uporabljamo podporne izolatorje in viseče izolatorje. Naši in IEC standardi določajo njihove dimenzije, preizkusne napetosti in mehanske vzdržne obremenitve. Podporne izolatorje uporabljamo do napetosti 35 kV. Na podpore so vezani preko posebnih opornikov. Naši standardi določajo dva tipa podpornih izolatorjev D in I in sicer za nazivne napetosti 10, 20 in 35 kV (slika 1.7).

D-TIP I-TIP

Slika 1.7: Podporni izolator tipa D in I Viseči izolatorji so sestavljeni predvsem iz kapastih izolatorjev, ki so povezani v verigo, izdelani pa so iz porcelana ali stekla (slika 1.8).

Slika 1.8: Viseči izolator


18

Število izolatorjev v verigi je odvisno od napetosti. Pravilnik TP 4/89 določa električno in mehansko dimenzioniranje izolatorskih verig glede na nazivno napetost. Pri nas so najbolj pogosto uporabljeni kapasti porcelanski izolatorji K 170/280 (IEC označba 120 BL). Število izolatorjev v verigi je od 2 do 4 pri napetosti 35 kV, od 6 do 7 pri napetosti 110 kV in od 11 do 13 pri napetosti 220 kV. Pri napetosti 400 kV je pri nas v verigi od 17 do 19 steklenih kapastih izolatorjev (IEC označba U 160 PS).

1.2. Splošno o impedancah elementov elektroenergetskega sistema V nadaljevanju sledi izpeljava električnih parametrov elektroenergetskih vodov. Na začetku so podane nekatere splošne ugotovitve glede impedanc, ki načeloma veljajo za vse elemente elektroenergetskega sistema. Kot vemo, impedanco prostih vodov oziroma kablovodov opisujemo običajno v komponentni obliki: jXRZ += (1.82) Medtem ko je ohmska upornost R snovno geometrijska lastnost, določa reaktanco X poleg tega še razporeditev vodnikov v prostoru. Dinamično gledano sta R in X odvisna od snovnih parametrov, frekvence, oblike vodnikov in njihove razporeditve v prostoru. Ne glede na vrednosti za R, X in Z je impedančni kot ϕ=arctg(X/R) za različne elemente zelo različen. To trditev si ponazorimo v Gaussovi ravnini na sliki (1.9).

kabli

daljnovoditransformatorji

generatorji

R

jX

Im

Re

Z=R+jX

Slika 1.9: Impedance induktivnih elementov elektroenergetskega sistema V tabeli 1.1 so podani impedančni koti elementov elektroenergetskega sistema.

tg ϕ =X/R ϕ

generatorji ≥ 30 ≥ 88º

transformatorji 10 ... 50 84º ... 89º

daljnovodi 1 ... 10 45º ... 84º

kablovodi 0,1 ... 1 5º ... 45º

Tabela 1.1: Imepedančni koti elementov elektroenergetskega sistema


19

Problem impedanc elementov trifaznih sistemov si je treba ogledati nekoliko točneje. Vsaki fazi lahko pripišemo vsaj eno impedanco, ki je v splošnem nekoliko različna od impedanc v ostalih dveh fazah. To lahko sledi že iz tega, ker imamo različno razporeditev faznih vodnikov na daljnovodnih stebrih, pri čemer že na prvi pogled ni možno doseči popolne elektromagnetne enakopravnosti faz. Če jo že dosežemo med fazami jo ne dosežemo do zemlje oziroma, če dosežemo enakost do zemlje se poruši enakost med fazami. Tako kot smo tri različne fazne napetosti lahko ponazorili s simetričnimi komponentami, lahko enak pristop uporabimo tudi za impedance. V elektroenergetskih sistemih načeloma želimo doseči enakopravnost faz, zaradi tega se uvaja ukrep prepletanja daljnovodnih faznih vodnikov, pri čemer zavzame vsak fazni vodnik vzdolž neke na tri enake dele razdeljene trase vse tri možne položaje na stebrih. Kljub temu si oglejmo postopek, kako pri trifaznem sistemu z različnimi impedancami Za, Zb in Zc z upoštevanjem medsebojnih magnetnih vplivov med posameznimi fazami dobimo s pomočjo simetričnih komponent simetrične impedance. Glede na sliko 1.10 lahko zapišemo sistem enačb (1.aa).

a

b

c

Z

Z

Z

I

I

I

aa

bb

cc

ab ba

bc cb

ac ca

a

b

c

Z =ZZ =Z

Z =Z

Slika 1.10: Trifazni sistem voda

cccbcbacac

cbcbbbabab

cacbabaaaa

IZIZIZUIZIZIZUIZIZIZU

++=

++=

++=

(1.83)

Enačbo (1.83) zapišimo v matrični obliki:

=

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

c

b

a

III

ZZZZZZZZZ

UUU

(1.84)

oziroma IZU = (1.85) ter ss ITZSU = . (1.86) Kvadratna impedančna matrika Z ima v glavni diagonali elemente lastnih impedanc in v izvendiagonalnih členih medsebojne impedance, kar pomeni, da je simetrična.


20

Za določitev impedančne matrike Zs, ki predstavlja simetrično matriko impedanc, je potrebno izvesti nekaj matričnih operacij. Najprej pomnožimo impedančno matriko Z s povratno transformacijsko matriko T in dobimo:

++++++

++++++

++++++

=

=

=

)()()()()()()()()(

11

111

22

22

22

2

2

cccbcacccbcacccbca

bcbbbabcbbbabcbbba

acabaaacabaaacabaa

cccbca

bcbbba

acabaa

ZaZaZZaZaZZZZZaZaZZaZaZZZZZaZaZZaZaZZZZ

aaaa

ZZZZZZZZZ

TZ

(1.87)

Če pravkar dobljeni produkt pomnožimo še s transformacijsko matriko matriko S, dobimo

==

222120

121110

020100

ZZZZZZZZZ

sZTZS , (1.88)

pri čemer velja

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ])(2)(31

)(2)(31

)()(31

)()(31

)()(31

)(2)(31

2221

0120

0210

2212

2202

2201

1122

11

00

acabbcccbbaa

acabbcccbbaa

acabbcccbbaa

acabbcccbbaa

acbcabccbbaa

acbcabccbbaa

ZaZaZZaZaZZ

ZZZZ

ZaZaZZaZaZZ

ZaZaZZaZaZZ

ZaZaZZaZaZZ

ZZ

ZZZZZZZ

ZZZZZZZ

+++++=

=

=

+++++=

++−++=

++−++=

=

++−++=

+++++=

. (1.89)

Vrnimo se primeru s prepletanju vodnikov, kjer izhajamo iz enakih medsebojnih impedanc in enakih lastnih impedanc, torej lahko zapišemo macbcablccbbaa ZZZZZZZZ ====== ; . (1.90)

Tako dobimo, da so simetrične impedance po (1.89) enake


21

0

22

122110022001

12211

100

======

−=−==

+=+=

ZZZZZZZZZZZZ

ZZZZZ

mabaa

mabaa

(1.91)

in končno v matrični obliki

−

−

+

=

=

ml

ml

ml

s

ZZZZ

ZZ

ZZ

Z

0000002

000000

22

11

00

Z . (1.92)

1.3. Ohmska upornost nadzemnih vodov Pod pojmom obratovalna ohmska upornosti trifaznih nadzemnih vodov in kablovodov običajno razumemo ohmsko upornost faznih vodnikov na km dolžine ob normalni frekvenci 50 Hz. Za omenjene vode se smatra, da ob upoštevanju nesimetričnih obremenitev izhajamo iz ohmske upornosti pozitivnega oziroma sofaznega zaporedja, ki je enaka ohmski upornosti protifaznega zaporedja. Na splošno v simetričnem sistemu govorimo o takoimenovani aktivni obratovalni ohmski upornosti, kjer se upošteva eventualni kožni pojav, bližinski pojav, izgube v sosednih armaturah itd. Ohmsko upornost ali rezistanco za nek vodnik - vrv seveda preprosto izračunamo iz enačbe

)/(' mA

R Ω=ρ , (1.93)

kjer je A električni aktivni prerez faznega vodnika, ρ pa specifična ohmska upornost, ki je seveda za različne materiale različna. Pogosto se R' izraža s prevodnostjo in sicer ρ=1/γ, γ za baker je 56·106 S/m oziroma za aluminij γ = 35,38·106 S/m. Na ohmsko upornost ima znaten vpliv temperatura vodnika, ki se v praksi spreminja in s tem se spreminja tudi ohmska upornost. Če se običajno podaja ohmska upornost pri temperaturi 20ºC, izračunamo pri drugi temperaturi upornost vodnika ))20(1( o

20'20

' −+= ϑαϑ RR , (1.94) kjer je α temperaturni koeficient za ohmsko upornost, cuα = 0.00393/ºC, Alα = 0.003403/ºC. Oglejmo si v zvezi z rezistanco še gotove značilnosti. Normalno si predstavljamo, da v kombiniranih vodniki Al/Fe prevaja samo Al. Ker pa Al žice napredujejo vzdolž voda v obliki spirale, teče tok okrog jeklenega jedra kot v tuljavi. Jeklo se magnetizira in v njem se pojavijo vrtinčni toki in s tem dodatne joulske izgube. Navidezno se povečuje ohmska upornost. Ta pojav je značilen za enoplastne vrvi. Pri večplastnih vrveh imamo žice navite enkrat v levo enkrat v desno, magnetno polje se tako kompenzira. Kljub temu pa je potrebno računati pri prereznem razmerju 6:1 z navideznim povečanjem ohmske upornosti za 5% v območju velikosti električnega toka 100A in za (10-15)% v območju termičnega mejnega toka. Z gostoto električnega toka se namreč upornost povečuje.


22

Podobno se dogaja v kablih za trifazni tok, kjer se zaradi varovalne železne armature ohmska upornost vodnikov poveča za 10%, pri večjih prerezih pa tudi za 20%. Iz tega razloga so pogosto kabli brez armature. Tudi homogeni vodniki večjih prerezov izkazujejo za izmenične tokove povečano ohmsko upornost. To se zgodi zaradi znanega kožnega pojava (skin efekta) in bližinskega učinka. Kožni pojav povzroča, da je pri izmeničnem toku gostota toka bliže površini večja kot v notranjosti vodnika. Bližinski učinek pa povzroča, da v vodniku zaradi tokov v sosednjih vodnikih nastopi neenaka gostota toka. Enačbo (1.94) ob upoštevanju faktorja ys, ki predstavlja kožni pojav in faktorja yp, ki predstavlja bližinski učinek, korigiramo in dobimo )1))(20(1( o

20'20

'psv yyRR ++−+= ϑα . (1.95)

Pri kombiniranih vrveh upoštevamo pri izračunu polmera vrvi celotni prerez kombinirane vrvi. Pri znanem skupnem prerezu in ob upoštevanju polnilnega faktorja lahko ocenimo zunanji polmer vrvi z naslednjim izrazom

2

3,1 FeAlv

AAr

+= . (1.96)

Pri novejših obratovalnih napetostih se danes v vsaki fazi običajno uporablja več vzporednih, med seboj z distančniki povezanih vodnikov v snopu. Ti snopi vodnikov se elektromagnetno obnašajo kot enojni vodniki z videz povečanim ekvivalentnim polmerom snopa n n

dves rnrr 1−= , (1.97) kjer je rv polmer delnih vodnikov snopa, a je razdalja med vodniki snopa, n je število vodnikov v snopu (slika 1.11) in

n

ard πsin2= . (1.98)

Slika 1.11: Snopasti vodniki Pri različnem številu vodnikov v snopu dobimo naslednje izraze za ekvivalentni polmer snopa:

rd rd

2rv 2rv


23

6 5

4 3

3 2

6;;6

2;2

4;

;3

;3

;2

;2

arrarn

arrarn

arrarn

arrarn

vesd

vesd

vesd

vesd

===

===

===

===

(1.99)

Če je obratovalna ohmska upornost enega vodnika v snopu R', znaša obratovalna ohmska upornost snopastega vodnika

nRRs

'' = . (1.100)

Poglejmo še kaj se dogaja z ohmsko upornostjo za nični sistem tokov. Če imajo trifazni vodi nevtralni vodnik enakega prereza kot ga imajo fazni vodniki, prihaja za nični sistem tokov v poštev poleg ohmske upornosti enega faznega vodnika še trojna vrednost nevtralnega vodnika, torej '''

0 3 nf RRR += (1.101) Ker trifazni daljnovodi nimajo nevtralnega vodnika, nastopajo nične komponente tokov le pri zemeljskih stikih. Pri zemeljskih stikih tečejo toki ničnega sistema skozi zemljo, ki ima določeno ohmsko upornost, v takem primeru velja Rn

' = Rz'. Zanimivo je, da pri nizkih

frekvencah ohmska upornost zemlje ni odvisna od specifične prevodnosti tal, temveč le od obratovalne frekvence )/(10~ 3' kmfRz Ω⋅= − , (1.102) torej pri f=50 Hz velja Rz

' =0,05 Ω/km. Ob upoštevanju enačbe (1.101) dobimo )/(15.0''

0 kmRR f Ω+= . (1.103) Ponazorimo si fizikalno razlago, da ohmska upornost zemlje oziroma tal ni odvisna od specifične ohmske upornosti terena. Odločilno vlogo pri tem igra induktivna upornost. Na sliki 1.12 si mislimo dvoje tokovnih vlaken, kot dela zanke vodnik - zemlja. Induktivna upornost druge zanke je večja od prve. Ker obe tokovni niti goni ista gonilna napetost, lahko sklepamo, da bo gostota toka ob površini zemlje večja kot v njeni notranjosti in to zato, ker imajo zanke z gibljivimi tokovnimi nitmi v notranjosti zemlje večjo reaktanco. Če je specifična ohmska upornost terena večja, postane debelina sloja, po katerem teče tok, večja. Če pa je specifična ohmska upornost terena manjša, postane tudi debelina sloja, po katerem se tok vrača, manjša. Pravimo lahko, da se slabša prevodnost tal kompenzira z ustrezno večjim prerezom in obratno.


24

E

Slika 1.12: Ponazoritev zanke vodnik - zemlja Na kratko omenimo še nekaj o ohmski upornosti kablov, ki ni odvisna samo od uporabljenega materiala žil (Cu ali Al) ampak tudi od same konstrukcije kablov. Ohmska upornost kabelskih žil se pogosto računa po enačbi

'20

'20

''20

''20

''20

' ))20(1( RRRRRRRRR ∆+°−+=∆+=∆+= ϑαξ ϑ

ϑ , (1.104)

kjer je R20

' upornost za enosmerni tok pri 20ºC, ξϑ je temperaturni korekcijski faktor in ∆R' je dodatna upornost pri 50 Hz, odvisno od tipa kabla. V tem dodatku je upoštevan kožni pojav, bližinski pojav in povečanje upornosti zaradi vrtinčnih tokov in histereznih izgub v plaščih in armaturah. Te vrednosti so podane v tebelah.

1.4. Induktivnost nadzemnih vodov 1.4.1. Notranja in zunanja induktivnost ter ekvivalentni polmer vodnika Opazujmo okrogli dolgi vodnik, kot je prikazan na sliki 1.13. Povratni tok je neskončno daleč in ne moti magnetno polje opazovanega vodnika, tako da lahko predpostavimo magnetne silnice okoli vodnika kot koncentrične kroge. Če se tok časovno spreminja, se časovno spreminja tudi magnetno polje. Časovna sprememba magnetnega pretoka skozi določeno zanko povzroča v tej zanki inducirano napetost. Pri tem so važni magnetni sklepi Ψ, ki ob konstantni permeabilnosti obdajajočega prostora določajo lastno induktivnost tokokroga

I

NΦI

L ==ψ . (1.105)

Splošno torej velja trditev, da je induktivnost sorazmerna s številom elektromagnetnih sklepov, torej zmnožku ovojev in magnetnega pretoka. Vzemimo en sam ovoj brez železnega jedra in pošljimo skozi 1 A. Pojavil se bo magnetni pretok, ki bo imel npr. Φ0 webrov. To število, torej magnetni pretok, ki ga je povzročil tok 1 A v tem ovoju, je merilo za takoimenovano induktivnost tega ovoja. Če bi v ta ovoj dali železno jedro, bi se gostota zelo povečala, v istem razmerju pa bi se zvečala tudi induktivnost tega ovoja. Vzemimo sedaj dva ovoja v zraku in spet pošljimo skozi tok 1 A. Vsak ovoj zase bi dal Φ0 webrov, torej oba skupaj 2Φ0 webrov. Pričakovali bi, da bo induktivnost dvakrat


25

večja, izvajanja pa nam pokažejo, da je štirikrat večja kot v primeru enega samega ovoja. Torej za induktivnost ni merodajna samo množina webrov. Iz prve Maxwellove enačbe ali Amperovega zakona izračunamo magnetno poljsko jakost ildH =∫ (1.106)

1

2

d1

d2

H

dldxx

rv

Slika 1.13: Magnetno polje okoli vodnika Magnetna poljska jakost je v vsaki točki krožnice polmera r (slika 1.13) enaka po iznosu in ima tangencialno smer na krožnico, tako da lahko zapišemo HdlldH = . Ker ima H konstantno vrednost na krožnici ga izpostavimo pred integral. Integral elementa poti dl po krožnici polmera r pa je 2π r. Iz povedanega sledi irH =π2 (1.107) oziroma magnetna poljska jakost za r > rv

r

irHπ2

)( = (1.108)

Če opazujemo magnetno polje znotraj vodnika, potem je r < rv. V tem primeru ne moremo govoriti o celotnem toku vodnika. V kolikor zanemarimo kožni pojav, govorimo o enakomerni gostoti toka skozi vodnik, tako dobimo

irrHrv

2

2

=π (1.109)

oziroma

irrrHv

221)(π

= (1.110)

Vidimo, da je znotraj vodnika H direktno proporcionalen polmeru (1.110), medtem ko je izven vodnika obratno proporcionalne polmeru (1.108), kar kaže slika 1.14.


26

H

r

r

drrv

Slika 1.14: Magnetna poljska jakost znotraj in izven vodnika Gostota magnetnega pretoka izven vodnika na oddaljenosti r od osi vodnika je enaka

r

irHrBπ

µµ2

)()( == , (1.111)

kjer je µ =µrµ0 in dalje µr je relativna permeabilnost, µ0 je permeabilnost praznega prostora (µ0 =4π ·10-4 H/km). Ker je relativna permeabilnost zraka enaka ena, bomo v nadaljevanju namesto µ uporabili kar µ0. Magnetni pretok skozi površino diferencialne širine dr in dolžine l je

drirldΦ

πµ2

0= . (1.112)

Za magnetni pretok skozi ploskev dolžine l in širine d2-d1 lahko zapišemo

1

20012 ln

22

2

1ddIl

rdrilΦ

d

d πµ

πµ

== ∫ . (1.113)

S tem je magnetni pretok na dolžini l med površino vodnika (d1=rv) in oddaljenostjo d od osi vodnika (d2=d) enak

v

zun rdilΦ ln

20

πµ

= . (1.114)

Iz zgornje zgornjo enačbo z upoštevanjem permeabilnostne konstante zraka dobimo izraz za magnetni pretok izven vodnika na 1 km dolžine.

v

zun rdiΦ ln102 4' −⋅= . (1.115)


27

S pomočjo enačbe za magnetni pretok (1.113) lahko zapišemo izraz za induktivnost L. Ker tokovna zanka ni sklenjena, izpeljani magnetni pretok predstavlja le del magnetnega pretoka danega vodnika, zato bomo imenovali L koeficient indukcije

1

201212 ln

2 ddl

iΦL

πµ

== (1.116)

in koeficient lastne indukcije, kadar se navezuje na zunanji magnetni pretok

v

zun rdl

iΦL ln

20

πµ

== . (1.117)

Če v zgornjih dveh izrazih vstavimo vrednost za µ0 in za l dolžino 1 km, dobimo številčne enačbe za oba koeficienta indukcije

)H/km(102

)H/km(102

4'

1

24'12

vzun r

dlnL

ddlnL

−

−

⋅=

⋅=

. (1.118)

Za izračun skupne induktivnosti zanke, ki jo tvori opazovani vodnik z nekim drugim vodnikom, moramo upoštevati še prispevek magnetnega pretoka v samem vodniku. Ta prispevek podajamo z notranjo induktivnostjo vodnika, ki je izpeljana s pomočjo energije magnetnega polja. Z upoštevanjem izraza za jakost magnetnega polja v notranjosti vodnika (1.110) lahko zapišemo izraz za gostoto energije magnetnega polja v vodniku

42

222

422 vrriHw

πµµ⋅

== . (1.119)

Celotna magnetna energija v vodniku dolžine l je enaka

∫∫∫ ====vvv rr

vv

r lidrrrlirdrl

rriwdVW

0

23

04

2

42

22

0 1642

8 πµ

πµ

ππ

µ . (1.120)

S pomočjo izraza za energijo v notranjosti vodnika lahko izračunamo notranjo induktivnost

π

µ8

22

liWLnot == . (1.121)

Z upoštevanjem vrednosti za relativno permeabilnostne približno ena in enote dolžine 1 km pridemo do naslednjega številčnega izraza

)H/km(1021 4' −=notL . (1.122)

Vsota notranje induktivnosti vodnika in koeficienta lastne indukcije navezane na zunanji magnetni pretok na 1 km dolžine je


28

)H/km(10ln221 4''' −

+=+=

vzunnot r

dLLL (1.123)

Zgornji izraz, pomnožen z jω in tokom v danem opazovanem vodniku, nam podaja induktivni padec napetosti v zanki opazovani vodnik - poljubni vodnik, ki leži v oddaljenosti d. Oba člena v izrazu (1.123) lahko sestavimo

25,0425,044'

eln102elnln102

41ln102

−−−− ⋅=

+⋅=

+⋅=

vvv rd

rd

rdL , (1.124)

kar pomeni, da je

erdL ln102 4' −⋅= , (1.125)

kjer je vve rrr 779,0e 25,0 == − . (1.126) Zadnji izraz predstavlja ekvivalentni polmer vodnika. Z ekvivalentnim polmerom smo v koeficient lastne indukcije vključili še notranjo induktivnost vodnika. Če bi namesto opazovanega polnega vodnika s polmerom rv vzeli cev z ekvivalentnim polmerom re, bi bili lastni indukciji enaki. Zgoraj izračunani ekvivalentni polmer velja samo za masivni cilindrični vodnik. Daljnovodne vrvi so sestavljene iz večjega števila žic. Za posamezne vrvi so v tabeli 1.2 podani ekvivalentni polmeri, vrednosti so odvisne od števila uporabljenih žic v vrvi. Razmerje med ekvivalentnim in geometrijskim polmerom vrvi podaja ekvivalentni faktor vrvi fe.

prerezi vrvi v mm2 ekvivalentni polmer re=fe rv masivni cilindrični vodnik 0,779 rv Cu, Al in AlMg1 vrvi 7 žic (10 - 50) 0,726 rv 19 žic (50 - 120) 0,758 rv 37 žic (150 - 185) 0,768 rv 61 žic (240 - 500) 0,772 rv Al/Fe in AlMg1/Fe vrvi 1 plast Al (50/30, 75/80, 95/55, 120/70) 0,55 rv - 0,7 rv 2 plasti Al, 26 žic (70/12 - 360/57) 0,809 rv 3 plasti Al, 30 žic (170/40, 240/55, 350/80, 490/110) 0,826 rv 3 plasti Al, 54 žic (490/65) 0,810 rv

Tabela 1.2: Ekvivalentni polmeri daljnovodnih vrvi glede na njihove geometrijske polmere Če je posamezna faza sestavljena iz snopa večjega števila vrvi, ekvivalentni polmer izračunamo po enačbi (1.97).


29

1.4.2. Induktivnosti trifaznega sistema Pri sinusnih veličinah in uporabi tokovnih fazorjev predpostavimo, da za izmenični trifazni sistem velja 0=++ cba III . (1.127) Vzemimo, da je nevtralni vodnik fiktivno nameščen na veliki oddaljenosti in so njegove razdalje do faznih vodnikov enake, in sicer dan = dbn = dcn = dn (slika 1.15). Za magnetne pretoke med posameznim faznim in nevtralnim vodnikom tako lahko zapišemo

ccccbbcaacn

bccbbbbaabn

accabbaaaan

LILILILILILILILILI

++=

++=

++=

Φ

Φ

Φ

, (1.128)

pri čemer so Laa, Lbb in Lcc koeficienti lastne indukcije, Lab=Lba, Lbc=Lcb in Lac=Lca pa koeficienti medsebojne indukcije med posameznimi fazami.

d

dd d

d

d

d

d

dab bc

ac

an

bn

cn

n

nn= =

=

a

b

c

n Slika 1.15: Velika oddaljenost fiktivnega nevtralnega vodnika od faznih vodnikov Glede na izpeljave iz predhodnega poglavja lahko npr. za fazo a zapišemo

( )

+++++=

=++=

acc

abb

eancba

ac

nc

ab

nb

e

naan

dI

dI

rIdIIIl

ddIl

ddIl

rdlI

1ln1ln1lnln2

ln2

ln2

ln2

0

000

πµ

πµ

πµ

πµ

Φ

(1.129)

in z upoštevanjem (1.127)

++=

acc

abb

eaan d

Id

Ir

Il 1ln1ln1ln2

0

πµ

Φ . (1.130)


30

Dobili smo torej koeficient lastne indukcije faze a

e

aal rlLL 1ln

20

πµ

== (1.131)

in koeficiente medsebojne indukcije med fazo a in b ter med fazo a in c

acac

abab

dlL

dlL

1ln2

1ln2

0

0

πµ

πµ

=

=

. (1.132)

Pri nadaljnjem izvajanju predpostavimo, da so enaki fazni vodniki razporejeni v ogliščih enakostraničnega trikotnika, tako da velja dab=dbc=dac=d. Tako lahko zapišemo koeficient medsebojne indukcije trifaznega sistema

d

lLLLL acbcabm1ln

20

πµ

==== . (1.133)

S pomočjo enačbe (1.128) vpeljemo pojem koeficient fazne indukcije

( )accabbaaaa

a LILILII

L ++=1 . (1.134)

Ob zgoraj omenjeno simetriji faznih vodnikov in upoštevanju Ia=−(Ib+Ic) dobimo

eea

cb

ea r

dldr

ldI

IIr

lL ln2

1ln1ln2

1ln1ln2

000

πµ

πµ

πµ

=

−=

++= . (1.135)

Analogno seveda velja tudi za Lb in Lc mlcba LLLLL −=== . (1.136) Zadnja oblika zgornjega izraza ima obliko, ki smo jo pri simetričnih pogojih dobili za pozitivno in za negativno impedanco (1.92). Lahko zaključimo, da dobljeni koeficient fazne indukcije predstavlja koeficient indukcije pozitivnega oziroma negativnega sistema. Predhodna izvajanja si osvetlimo še s stališča padcev napetosti. Da lahko izračunamo obratovalne fazne impedance, smo si omislili povratni vodnik - nevtralni vodnik, ki ga postavimo tako daleč od trifaznega sistema, da so razdalje od faznih vodnikov do nevtralnega vodnika enake. Zaradi postavljenega pogoja, da je vsota faznih tokov enaka nič, ni padca napetosti na nevtralnem vodniku, tako ostane magnetno polje trifaznega sistema nespremenjeno. S povratnim vodnikom trifaznega sistema nismo spremenili, namišljeni povratni (nevtralni) vodnik pa le tvori zanke s faznimi vodniki. Padci napetosti v teh zankah nam definirajo fazne impedance trifaznega sistema. Padci napetosti v zankah fazni vodnik - nevtralni vodnik pri sinusnih veličinah so


31

cncnotc

bnbnotb

ananota

jIZUjIZUjIZU

Φω∆

Φω∆

Φω∆

+=

+=

+=

. (1.137)

Pri tem je upoštevana notranja impedanca faznih vodnikov, ki je določena z ohmsko upornostjo vodnika in z notranjo induktivnostjo (1.121)

π

µωω

80 ljRLjRZ notnot +=+= . (1.138)

Členi jωΦ nam predstavljajo induktivne padce napetosti na opazovanem faznem vodniku, zardi vseh treh tokov trifaznega sistema. Upošteva torej magnetne pretoke vseh treh tokov v opazovani zanki fazni vodnik - nevtralni vodnik. Padce napetosti v zankah fazni vodnik - nevtralni vodnik lahko napišemo tudi drugače

+++=

+++=

+++=

bc

nb

ac

na

v

nccnotc

bc

nc

ab

na

v

nbbnotb

ac

nc

ab

nb

v

naanota

ddI

ddI

rdIljIZU

ddI

ddI

rdIljIZU

ddI

ddI

rdIljIZU

lnlnln2

lnlnln2

lnlnln2

0

0

0

πµ

ω∆

πµ

ω∆

πµ

ω∆

. (1.139)

Če v prvi enačbi odpravimo tok Ic, v drugi Ia in v tretji Ib z ustreznimi izrazi

cab

cba

bac

IIIIIIIII

−−=

−−=

−−=

, (1.140)

so padci napetosti v zankah fazni vodnik - nevtralni vodnik enaki

ac

bca

v

bcnotcc

bc

abc

v

abnotbb

ab

acb

v

acnotaa

ddljI

rdljZIU

ddljI

rdljZIU

ddljI

rdljZIU

ln2

ln2

ln2

ln2

ln2

ln2

00

00

00

πµ

ωπ

µω∆

πµ

ωπ

µω∆

πµ

ωπ

µω∆

+

+=

+

+=

+

+=

. (1.141)

Ustrezne fazne impedance so


32

ac

bc

c

a

v

bcnot

c

cc

bc

ab

b

c

v

abnot

b

bb

ab

ac

a

b

v

acnot

a

aa

ddlj

II

rdljZ

IUZ

ddlj

II

rdljZ

IUZ

ddlj

II

rdljZ

IUZ

ln2

ln2

ln2

ln2

ln2

ln2

00

00

00

πµ

ωπ

µω

∆

πµ

ωπ

µω

∆

πµ

ωπ

µω

∆

++==

++==

++==

. (1.142)

Imaginarni deli členov, ki vsebujejo razmerja med tokovi, so dodatne reaktivne komponente in realni deli dodatne ohmska komponenta fazne impedance. Povzročitelj tega je magnetna neenakopravnost faznih vodnikov. Fazni vodniki so magnetno enakopravni, če so razporejeni v ogliščih enakostraničnega trikotnika, tako da velja dab=dbc=dac=d. Pri tem pogoju odpadejo iz enačbe za fazne impedance členi z razmerji tokov in velja

v

notcba rdljZZZZ ln

20

πµ

ω+=== . (1.143)

Z združitvijo notranje impedanco s koeficientom zunanje indukcije, dobimo

e

cba rdljRZZZ ln

20

πµ

ω+=== . (1.144)

Pri imaginarnem delu oziroma reaktanci vidimo, da je izraz za koeficient fazne indukcije enak že prej izpeljanemu izrazu (1.135). Če v enačbo (1.144) vstavimo številsko vrednost za µ0 in upoštevamo frekvenco 50 Hz, dobimo za 1 km dolžine vodnika naslednjo obratovalno impedanco

er

djRXRZ ln1028,6 2'''' −⋅+=+= (1.145)

ali izraženo z desetiškim logaritmom

er

djRZ log1445,0'' += . (1.146)

Poglejmo še splošni primer, kjer imamo različne razdalje med vodniki posameznih faz dab≠dbc≠dac in tudi različne premere vodnikov rea≠reb≠rec. Glede na enačbi (1.131) in (1.133) lahko na splošno zapišemo za lastno impedanco posameznega vodnika na 1 km dolžine

ei

iii rjRZ 1log1445,0'' += (1.147)

in za medsebojno impedanco

ik

ik djZ 1log1445,0' = . (1.148)


33

Impedanco posameznih simetričnih sistemov potem lahko izračunamo s pomočjo enačb (1.89). 1.4.3. Induktivnost simetriranega trifaznega sistema V večini primerov iz konstrukcijskih razlogov vodniki niso nameščeni na stebrih simetrično. Zaradi tega nastopi: • neenakomerna tokovna porazdelitev med fazami, • povečan vpliv induktivnosti in kapacitivnosti na sosednje telefonske napeljave, • neenakomerna napetost posameznih faz do zemlje. Na sliki 1.16 imamo prikazane neenakomerno porazdeljene vodnike različnih faz enakih prerezov. Zaradi enakih prerezov so tudi koeficienti lastnih indukcij posameznih faznih vodnikov enaki, medtem ko različne razdalje med vodniki pomenijo različne koeficiente medsebojnih indukcij med posameznimi faznimi vodniki (1.149).

acbcabacbcab

ccbbaaecebea

LLLdddLLLrrr

≠≠⇒≠≠

==⇒== (1.149)

c

b

a

dd

d

acab

bc

Slika 1.16: Nesimetrični trifazni sistem Da bi bile vse fazne impedance enake, izvajamo takoimenovano simetriranje ali prepletanje vodnikov. Predpostavimo prepletanje na tretjinah dolžine trase. Tako lahko zapišemo, da je

3)(

33acbcab

cbaaa

bcabacc

acbcabbaaaaa

LLLIILI

LLLILLLILILI

++++=

=++

+++

+=. (1.150)

S pomočjo zgornjega izraza in ob upoštevanju Ia=-(Ib+Ic) izrazimo koeficient fazne indukcije

−=

acbcabea dddr

lL 1ln311ln

20

πµ . (1.151)

Z izrazom 3

acbcabsr dddd = , (1.152)


34

ki predstavlja srednjo geometrijsko razdaljo vodnikov, dobimo

e

sra r

dlL ln2

0

πµ

= . (1.153)

S prepletanjem smo tako dosegli, da so fazne impedance enake

e

srcba r

dljRZZZZ ln2

0

πµ

ω+==== . (1.154)

Ponovno lahko ugotovimo, da Z v bistvu predstavlja impedanco pozitivnega oziroma negativnega sistema ml ZZZZZ −=== 2211 , (1.155) pri čemer je

e

l rljRZ 1ln

20

πµ

ω+= (1.156)

in

sr

m dljZ 1ln

20

πµ

ω= . (1.157)

Če v enačbo (1.154) vstavimo številsko vrednost za µ0 in upoštevamo frekvenco 50 Hz, dobimo za 1 km dolžine faznega vodnika naslednjo obratovalno impedanco simetriranega sistema

e

sr

rdjRXRZ ln1028,6 2'''' −⋅+=+= (1.158)

ali izraženo z desetiškim logaritmom

e

sr

rdjRZ log1445,0'' += . (1.159)

V tabeli 1.3 so podane običajne srednje vrednosti dsr pri različnih napetostnih nivojih in za različne oblike namestitve vodnikov na daljnovodne stebre (slika 1.17).


35

a) b) c)

d) e) Slika 1.17: Načini namestitve vodnikov na daljnovodne stebre

Un (kV) dsr (m) 0,4 0,5 - -

10 in 20 1,2 - 1,45 - - 30 2,3 1.8 - 60 4 3 - 110 6 4 5 220 10 6 8 380 17 10 13

oblika namestitve vodnikov (slika 1.17) a b/c d/e Tabela 1.3: Značilne vrednosti srednjih razdalj za različne napetosti 1.4.4. Simetriranje na dvosistemskem vodu Poglejmo še razmere v primeru dvosistemskega daljnovoda, za katerega je razporeditev faz shematično prikazana na sliki 1.18. Dejstvo je, da oba sistema vplivata drug na drugega.

a

b c

A

BC

Slika 1.18: Prikaz razporeditve vodnikov pri dvosistemskem vodu Poleg lastne in medsebojne induktivnosti med fazami posameznega sistema


36

BCACABbcacab

CCBBAAccbbaa

LLLLLLLLLLLL

,,,,,,,,

(1.160)

imamo sedaj dodatno prisotne še medsebojne induktivnosti med fazami različnih sistemov. Poglejmo si primer za medsebojne induktivnosti med fazo a prvega sistema in posameznimi fazami drugega sistema

aCaC

aBaB

aAaA

dlL

dlL

dlL

1ln2

1ln2

1ln2

0

0

0

πµ

πµ

πµ

=

=

=

. (1.161)

Tudi tu predpostavimo, da imamo izvedeno simetriranje - prepletanje faz. Poglejmo si dva značilna primera: simetrično prepletanje β in posebno prepletanje γ. Simetrično prepletanje β Primer simetričnega prepletanja β prikazuje slika 1.19. Upoštevati moramo delovanje tokov IA, IB in IC v sistemu II na razmere v sistemu I. Ker je ta vpliv v vsaki tretjini voda drugačen, moramo iskati srednjo vrednost koeficientov polja oziroma medsebojne induktivnosti.

a

bc

abc

CBA

CB

A

Slika 1.19: Prikaz simetričnega prepletanja β dvosistemskega voda Opazujmo torej magnetni pretok med vodnika npr. faze a v sistemu I in vodniki sistema II. Ob upoštevanju prepletanja lahko zapišemo

CcBbAaC

BcAbCaB

AcCbBaA

aII ILLLILLLILLL )3

()3

()3

( +++

+++

++=Φ . (1.162)

Ker je IA=−(IB+IC) in LaB=LbA, LbC=LcB ter LcA=LaC, dobimo

AcAbCaBcCbBaA

aII ILLLLLL )33

( ++−

++=Φ (1.163)

in z upoštevanjem osnovnih izrazov za induktivnost


37

30 ln2 cCbBaA

cAbCaBAaII ddd

dddlI++

++=

πµ

Φ . (1.164)

Če predpostavimo, da oba trifazna sistema obratujeta vzporedno, kar pomeni, da je Ia=IA, zgornji enačbi lahko dodamo vpliv sistema I na fazo a istega sistema in dobimo

+= 30 lnln

2 cCbBaA

cAbCaB

e

srIaa ddd

dddr

dIπ

µΦ . (1.165)

Iz tega sledi izraz za obratovalno induktivnost vzporedno obratujočega dvosistemskega daljnovoda

2

10 ln2 D

Dr

dlLe

srI

πµ

= , (1.166)

kjer je dsrI srednja geometrijska razdalja med vodniki sistema I, D1 in D2 pa sta določena kot sledi

3

2

31

cCbBaA

cAbCaB

dddD

dddD

=

=. (1.167)

Pri upoštevanju frekvence 50 Hz in pretvorbi naravnega logaritma v desetiškega dobimo obratovalno reaktanco na kilometer dolžine

2

1' log1445,0DD

rdX

e

srI= (1.168)

in dalje obratovalna impedanco na kilometer dolžine

2

1'' log1445,0DD

rdjRZ

e

srI+= . (1.169)

Do enakega rezultata pridemo tudi pri izpeljavi s padci napetosti v zankah fazni vodnik - nevtralni vodnik. To izpeljavo smo uporabili pri enojnem trifaznem sistemu. Uporabimo ta pristop tudi v primeru dveh sistemov in zapišimo samo prispevke k padcem napetosti v fazah sistema I, povzročene zaradi sistema II

++=

++=

++=

cB

nB

cA

nA

cC

nCcII

bC

nC

bA

nA

bB

nBbII

aC

nC

aB

nB

aA

nAaII

ddI

ddI

ddIljU

ddI

ddI

ddIljU

ddI

ddI

ddIljU

lnlnln2

lnlnln2

lnlnln2

0

0

0

πµ

ω∆

πµ

ω∆

πµ

ω∆

. (1.170)


38

Razdalja nd je namišljenega razdalja povratnega vodnika, ostale oznake razdalj z dvema indeksoma predstavljajo razdalje med ustreznimi vodniki obeh sistemov. Pri tem velja, da so razdalje daC=dcA, daB=dbA itd. V vzporedno obratujočih dvosistemskih vodih so enakih faz enaki: Ia=IA, Ib=IB in Ic=IC. Če odpravimo v prvi enačbi tok IC, v drugi enačbi tok IA in v tretji enačbi tok IB so dodatni padci napetosti v zankah fazni vodnik sistema I - povratni vodnik

cA

cBa

cC

cBccII

bC

bAc

bB

bAbbII

aB

aCb

aA

aCaaII

ddjI

ddljIU

ddjI

ddljIU

ddjI

ddljIU

lnln2

lnln2

lnln2

0

0

0

ωπ

µω∆

ωπ

µω∆

ωπ

µω∆

+=

+=

+=

(1.171)

Dobili smo dodatke faznih impedanc k impedancam enosistemskega voda.

cA

cB

c

a

cC

cBcII

bC

bA

b

c

bB

bAbII

aB

aC

a

b

aA

aCaII

ddlj

II

ddljZ

ddlj

II

ddljZ

ddlj

II

ddljZ

ln2

ln2

ln2

ln2

ln2

ln2

00

00

00

πµ

ωπ

µω

πµ

ωπ

µω

πµ

ωπ

µω

+=

+=

+=

(1.172)

Če sistema I in II simetriramo - prepletamo po sliki 1.19, za razdalje med posamezno fazo sistema I in drugimi fazami sistema II (daB, daC, dbA, dbC, dcA in dcB) velja, da so enake D1. To pomeni, da pri zgornjih izrazih odpadejo v vsoti členi, ki vsebujejo razmerja tokov, podobno kot v enačbah (1.142). Dodatki k vsem faznim impedancam so tako enaki

2

10

3

30

0

ln2

ln2

ln31

2

DDlj

ddddddlj

ddddddljZZZ

cCbBaA

cAbCaB

cCbBaA

cAbCaBcIIbIIaII

πµ

ωπ

µω

πµ

ω

==

====

, (1.173)

kjer za D1 in D2 veljata izraza (1.167). Te dodatne vrednosti so relativno majhne in predstavljajo le nekaj procentov reaktance enosistemskega trifaznega sistema. Obratovalne fazne impedance na kilometer dolžine posameznega trifaznega sistema v simetriranem dvosistemskem vodu so

2

1'''' lg1445,0DD

rdjRZZZ

e

srIcba +=== , (1.174)

kar ustreza izrazu (1.169). Pri nesimetrični razporeditvi faz velja


39

2

310' ln2 Dr

DDdL

e

srI

πµ

= , (1.175)

kjer je 3

3 cBbAaC dddD = . (1.176) V tem primeru je potrebno prepletanje na vsaki šestini dolžine daljnovoda. Posebno prepletanje γ dvosistemskega voda V kolikor je dvosistemski vod prepleten na način nakazan na sliki 1.20, odpravimo magnetno delovanje med sistemom I in II. Oglejmo si najprej tok BI v sistemu II, ki vpliva na tok aI v sistemu I

++++++++=

9cBcCcAbAbBbCaCaAaB

BaB

LLLLLLLLLIΦ . (1.177)

abc

bca

ABC

ABC

Slika 1.20: Primer posebnega prepletanja γ dvosistemskega voda Za magnetni pretok, ki je povzročen s tokom IC ali IA v sistemu II in ki deluje na fazo a v sistemu I, dobimo enake vrednosti v oklepaju kot pri izrazu za ΦaB. Če pri seštevku vseh treh pretokov izraze v oklepaju izpostavimo in upoštevamo, da je vsota tokov IA, IB in IC enaka nič, je tudi njihov vpliv na sistem I enak nič. Za kilometer dolžine dobimo naslednji izraz za induktivnost

e

srI

rdL ln

20'

πµ

= , (1.178)

ki je enak izrazu pri enosistemskem trifaznem sistemu. Opisani način prepletanja se zaradi relativne kompleksnosti v praksi ne uporablja. 1.4.5. Induktivnost razcepljenih vodnikov Predpostavimo, da imamo dva snopa vodnikov, kakor je prikazano na sliki 1.21. V snopu I teče tok I v eno smer, medtem ko se tok v snopu II vrača.


40

Vzporedni vodniki vsake skupine naj bodo med seboj enaki. V prvem snopu je n vodnikov in vsak od njih naj prevzame tok I/n. V snopu II pa je m vodnikov, od katerih vsak prevzame tok I/m.

1

1

1

1n 2

2

2

2

m

n

III

I

nI

nI

nI

mI

mI

mI

mI

Slika 1.21: Dva snopa vodnikov Poglejmo najprej magnetni pretok med vodnikom l v sistemu I in vsemi ostalimi vodniki v obeh sistemih. Iz dosedanjih izpeljav je razumljivo, da velja

+++−++++=− )...(1)...(1

12'121211''11'11111 mn LLLm

LLLLn

IIIIΦ . (1.179)

Za magnetni pretok med obema sistemoma lahko dalje zapišemo

)...(11'11 IIIIIIIIIIII n

n −−−− +++= ΦΦΦΦ , (1.180)

iz česar lahko sklepamo, da je induktivnost prvega snopa oziroma sistema I

( )

( )mnnnmm

nnnnnn

LLLLLLLLmn

LLLLLLLLLn

LI

21'21212'12'112'1212

11'11111'11'111''11'11112

............1

............1

+++++++++++−

−++++++++++++= (1.181)

in dalje

es

esI r

dlL ln2

0

πµ

= , (1.182)

kjer je geometrijska srednja razdalja med snopoma enaka mn

es mnnnmm dddddddddd )...)...(...()...( 21'21212'1'2'12'112'1212= , (1.183) medtem ko je geometrijski srednji ali ekvivalentni polmer snopa I enak 2 )...)...(...)(...( 11'11112'1'1'11'111'1111

nes nnnnnn dddddddddr = . (1.184)

Geometrijska srednja razdalja snopa des predstavlja mn-ti koren mn faktorjev. Ti faktorji tvorijo produkt razdalj vseh n vodnikov snopa I do m vodnikov snopa II. Za vsak vodnik v


41

snopu I obstaja seveda m razdalj do vseh vodnikov v snopu II, v snopu I pa je n takih vodnikov, zato imamo nm razdalj. Ekvivalentni polmer snopa res predstavlja n2-ti koren n2 faktorjev. V snopu I je namreč n vodnikov in za vsak vodnik obstaja n razdalj do sosednjih, če poleg dejanskih razdalj do sosednjih vodnikov v snopu I štejemo tudi vsakokratni ekvivalentni polmer vsakega vodnika (ekvivalentni polmer smo tu označevali kar z d11, d1'1', ... , d1

n1

n). 1.4.6. Impedanca zanke vodnik - zemlja Problem izračuna impedanc postaja nekoliko zahtevnejši, kakor hitro je treba upoštevati kot povratno pot v trifaznih sistemih tudi zemljo in eventualno prisotne ozemljene zaščitne vrvi nadzemnih vodov. V takih primerih je primerno, da ločimo lastne impedance vsakega vodnika od medsebojnih impedanc zaradi prisotnosti ostalih vodnikov, po katerih tečejo toki. Specifična upornost zemlje je za tokovno porazdelitev v območju zemlje odločilnega pomena. V kolikor je specifična upornost zemlje velika, se porazdeli tok po večji površini in seže globlje v zemljo. S tem se induktivnost zaradi povečevanja razdalje povečuje. S tem lahko razložimo tudi znani pojav, da kadar se trasa daljnovoda lomi, se nični tokovi v zemlji vračajo tako, da ne sledijo najkrajšim potem, za katere bi bile reaktance ustreznih zank pač večje. Če bi namreč ti tokovi tekli vzdolž tetiv zadevnih krivin, bi bil magnetni pretok, ki bi ga objemali, in z njim induktivna upornost večja kot v primeru, če tečejo vzdolž daljnovoda (slika 1.22).

UI

Slika 1.22: Tokovnice vodnik - zemlja Če idealiziramo primer in predpostavimo, da je upornost zemlje Rz = 0 lahko govorimo o: a) lastni induktivnosti zanke za primer vodnik - zemlja

e

zaa rhL 2ln

20'

πµ

=− , (1.185)


42

ah

ah

Slika 1.23: Vpliv vodnik - zemlja b) in o medsebojni induktivnosti zanke dveh vodnikov - zemlja

a

h

abd

abd

b

hb

h

ah

a

a

b

b

Slika 1.24: Vpliv dveh vodnikov - zemlja

ab

abzab d

dL '0' ln2πµ

=− . (1.186)

Poglejmo še specifično upornost zemlje ρz. Carson je prišel do zaključka, da sevajo silnice v zemljo v odvisnosti od specifične upornosti tal, in sicer po enačbi (m) 1,93 zcd ρ= . (1.187) Do te Carsonove razdalje, ki je seveda fiktivna, se računajo le magnetne silnice.

dm

zρ Ω

c

Hz= 50

0 200 400 600 800 1000

1000

2000

3000

m

f

Slika 1.25: Diagram - Carsonova razdalja Povrnimo se nazaj na prejšnja primera. V prvem primeru smo torej opisali lastno induktivnost Laa-z=Ll ter v drugem medsebojno induktivnost Lab-z=Lm. Drugi primer ponazorimo še drugače. Na sliki 1.26 vzemimo, da je znana gonilna napetost E in tok Ia,, kakor tudi v drugem vodniku inducirana napetost U. Tako bi dobili lastno in medsebojno impedanco


43

aI

EZ =1 in a

m IUZ = . (1.188)

U

I a

bdI a

E

a

Slika 1.26: Določitev lastne in medsebojne impedance zanke vodnik - zemlja Dejansko moramo računati, da je Rz

'>0. To dejstvo upoštevamo pri obeh izrazih za induktivnost, kjer uporabimo Carsonovo razdaljo

ab

czab

e

czaa

ddL

rdL

ln2

ln2

0'

0'

πµ

πµ

=

=

−

−

. (1.189)

Za rezistanco smo še dejali, da je praktično konstantna in neodvisna od specifične upornosti tal. Če ρz narašča, narašča tudi prerez po katerem teče tok, tako da Rz

' ostane nespremenjena

km/Ω104

30' −⋅≅= ffRzπµ (1.190)

Za impedanco na kilometer dolžine ob upoštevanju (1.188) in (1.189) tako dobimo

ab

czzab

e

czzaa

ddjRZ

rdjRRZ

ln2

ln2

0''

0'''

πµ

ω

πµ

ω

+=

++=

−

−

(1.191)

Lahko zapišemo, da pri µ0=4π ·10-4 H/km in frekvenci 50 Hz velja Rz

'=0,0493≈0,05 Ω/km ter dodatno pri pretvorbi naravnega v desetiški logaritem

ab

czab

e

czaa

ddjZ

rdjRZ

log1445,005,0

log1445,005,0

'

''

+=

++=

−

−

(1.192)


44

1.4.7. Trifazni vod brez zaščitne vrvi z upoštevano zemljo Zdaj imamo dovolj osnov, da si lahko ustvarimo popolnejšo sliko o impedancah trifaznih daljnovodov. Tri lastne impedance so zaradi enakih faznih vodnikov med seboj enake

e

czzl

zlzcczaazaa

rdjRRZ

ZZZZ

log1445,0'''

''''

++=

===

−

−−−−

. (1.193)

Pri prisotnem simetriranju imamo enake tudi medsebojne impedance

sr

czzm

zmzaczbczab

ddjRZ

ZZZZ

log1445,0''

''''

+=

===

−

−−−−

. (1.194)

Ob transformaciji v simetrični sistem ob že znanih relacijah (1.92) iz poglavja 1.2 dobimo

3 2

''0

'00

'''''00

3''''

22'11

log1445,0315.0

log2log1445,032

log1445,0

sre

c

sr

c

e

czzmzl

e

cabcabzmzl

drdjRZZ

dd

rdjRRZZZ

rddd

jRZZZZ

⋅++==

+++=+=

+=−==

−−

−−

, (1.195)

pri tem je pri nični impedanci razumljivo, da izraz 3 2

srees drr = (1.196) predstavlja ekvivalentni polmer snopa treh faznih vodnikov. Pri dvosistemskem daljnovodu predpostavimo, da imamo snop šestih faznih vodnikov. Lahko sklepamo, da so induktivnosti in reaktance za nični sistem tokov znatno večje od obratovalnih. Poglejmo si primer izračuna nične in obratovalne reaktance enosistemskega 110 kV daljnovoda z vodniki Al/Fe 240/40 mm, za katere je re=10,3 mm, geometrijska srednja fazna razdalja pa dsr=4 m. Ekvivalentni polmer snopa treh faznih vodnikov znaša mm)(54840003,103 23 2 =⋅== srees drr . (1.197) Vrednost obratovalne reaktance je enaka

Ω/km)(374,03,10

4000log1445,0'11 ==X . (1.198)

Za vlažna tla (ρz=50 Ω m, dc=658 m) za nično reaktanco sledi


45

Ω/km)(335,1548

658000log1445,03'0

'00 =⋅== XX . (1.199)

Vidimo, da je nična reaktanca daljnovodov več kot 3 krat večja od obratovalne. 1.4.8. Trifazni simetrirani vod z zaščitno vrvjo Ker je zaščitna vrv ozemljena, se nični tokovi ne pojavljajo samo v zemlji, ampak tudi v zaščitni vrvi. Z upoštevanjem simetriranja lahko nakažemo prisotne elektromagnetne vplive z naslednjimi enačbami

''''

''''

''''

zxzcxzbxzax

zmzaczbczab

zlzcczbbzaa

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

−−−−

−−−−

−−−−

===

===

===

. (1.200)

V matričnem zapisu velja

[ ] [ ][ ]

=

=

−−−

−−−−

−−−−

−−−−

x

c

b

a

xxzxzxzx

zxzlzmzm

zxzmzlzm

zxzmzmzl

x

c

b

a

IIII

ZZZZZZZZZZZZZZZZ

UUUU

''''

''''

''''

''''

' IZU

∆

∆

∆

∆

∆

(1.201)

ali drugače

[ ] [ ] 0''''

'

'

'

'''

'''

'''

=+

=

⋅

+

=

−−−

−

−

−

−−−

−−−

−−−

xxx

c

b

a

zxzxzxx

x

zx

zx

zx

c

b

a

zlzmzm

zmzlzm

zmzmzl

c

b

a

IZIII

ZZZU

I

Z

Z

Z

III

ZZZZZZZZZ

UUU

∆

∆

∆

∆

. (1.202)

Iz zgornjega zapisa sledi, da je

)(

0)(

'

'

''

cbaxx

zxx

xxxcbazx

IIIZZI

IZIIIZ

++−=

=+++

−

−

(1.203)

oziroma


46

=

++⋅

−

=

−−−

−−−

−−−

−

−

−

−

−−−

−−−

−−−

c

b

a

zxlzxmzxm

zxmzxlzxm

zxmzxmzxl

c

b

a

cbaxx

zx

zx

zx

zx

c

b

a

zlzmzm

zmzlzm

zmzmzl

c

b

a

III

ZZZZZZZZZ

UUU

IIIZZ

Z

Z

Z

III

ZZZZZZZZZ

UUU

'''

'''

'''

'

'

'

'''

'''

'''

)(

∆

∆

∆

∆

∆

∆

. (1.204)

Na osnovi zgornjega zapisa lahko ugotovimo, da so posamezni koeficienti enaki

'

2'''

'

2'''

)(

)(

xx

zxzmzxm

xx

zxzlzxl

ZZZZ

ZZZZ

−−−

−−−

−=

−=

. (1.205)

Ob prehode na simetrične komponente dobimo pri simetriranem daljnovodu z zaščitno vrvjo nično impedanco

'

2''00'

2''''

00

'''00

)(3)(32

2

xx

zx

xx

zxzmzlx

zxmzxlx

ZZZ

ZZZZZ

ZZZ

−−−−

−−

−=−+=

+=

(1.206)

in obratovalno reaktanco '

22'11

'''''22

'11 ZZZZZZZZ zmzlzxmzxlxx ==−=−== −−−− . (1.207)

Kot je razvidno ima zaščitna vrv vpliv le na nično ali homopolarno impedanco. Obratovalna impedanca ostane nespremenjena. Pri izračuni korekcijskega člena za nično impedanco potrebujemo izraz za medsebojno impedanco med snopom faznih vodnikov skupaj z zaščitnim vodnikom napram zemlji

3

' log1445,005,0czbzaz

czx ddd

djZ +=− . (1.208)

Razdalje daz, dbz in dcz predstavljajo oddaljenost faznih vodnikov od zaščitnega vodnika. Drugi izraz, ki ga potrebujemo je induktivnost med zaščitnim vodnikom in zemljo

ez

czvxx r

djRZ log1445,005,0'' ++= , (1.209)

pri čemer R'

zv predstavlja upornost na enoto dolžine zaščitnega vodnika in rez ekvivalentni polmer zaščitnega vodnika. Računi kažejo, da v kolikor nastopa strelovodna vrv oziroma zaščitna vrv, se nična reaktanca za nekaj odstotkov zniža, nična ohmska upornost pa zviša. Za približne račune gotovi avtorji


47

priporočajo upoštevanje značilnih razmerij med ničnimi in obratovalnimi upornostmi in reaktancami trifaznih daljnovodov (tabela 1.4).

enosistemski vod dvosistemski vod R'

0/R'1 X '

0/X '1 R'

0/R'1 X '

0/X '1

brez zaščitne vrvi 2 ... 8 3,3 4 ... 9 5,8 Fe zaščitna vrv 2 ... 8 3,1 4 ... 9 5,5 Al/Fe zaščitna vrv 2 ... 8 2,7 4 ... 9 4,6 2 Al/Fe zaščitni vrvi 2 ... 8 3,1 4 ... 9 3,7

Tabela 1.4: Značilne razmerja med ničnimi in obratovalnimi upornostmi in reaktancami V zgornji tabeli je pod obratovalno reaktanco dvosistemskih daljnovodov mišljena reaktanca dveh paralelnih sistemov, torej X '

1=0,2 Ω/km. Pri zelo visokih frekvencah in udarnih potujočih valovih vdre električni tok le zelo plitvo v zemljo. Če to globino sploh zanemarimo, imamo opravka z razmerami, kot ob neskončno dobri prevodnosti tal. Nično induktivnost potem računamo s preprosto zrcalno sliko, kot je bil primer pri lastni induktivnosti zanke za primer vodnik - zemlja.

1.5. Kapacitivnost nadzemnih vodov 1.5.1. Kapacitivnost dveh vodnikov ter vodnika in zemlje Kapacitivnost je snovno geometrijska lastnost prostora. Sam prostor predstavlja kondenzator, njegova kapacitivnost pa je merilo za nabrano elektrino na prevodnih površinah pri določeni napetosti med prevodnima površinama. Povsod tam, kjer lahko definiramo napetost med dvema prevodnima površinama in kjer obstaja električna povezava, imamo kondenzator. Določene električne povezave zato predstavljajo kondenzatorsko vezje. Pri določanju induktivnosti voda smo izhajali iz prve Maxwellove enačbe. Za določanje kapacitivnosti voda izhajamo iz tretje Maxwellove enačbe, ki sovpada z Gaussovim zakonom ∫ =

AQAdD . (1.210)

Zgornja enačba pove, da je zaprti integral električne indukcije in diferenciala površine enak množini elektrine. Na sliki 1.27a si zamišljamo ravni vodnik polmera r, dolžine 1m. Na tej dolžini površine A je porazdeljena množina elektrine +Q' (As/m). Predpostavljamo, da se nahaja povratni vodnik z nabojem -Q' v neskončni oddaljenosti. Izhajamo iz enake predpostavke kot pri induktivnosti. Električno polje je zaradi tega radialno in simetrično in se razširja v neskončnost. Zaradi simetrije lahko pišemo, da je

= 2

'

mAs

2 rQDπ

, (1.211)

kjer je D električna indukcija v radialni smeri na oddaljenosti r od osi vodnika kot prikazuje slika 1.27a. V zgornji enačbi vidimo analogijo z enačbo za magnetno poljsko jakost izven vodnika (1.108).


48

Električna poljska jakost izhaja iz znanega odnosa med električno indukcijo in dielektrično konstanto

=

mV

εDE , (1.212)

kar je analogno izrazu

=

mA

µBH . (1.213)

Dielektrična konstanta ε je enaka produktu ε0εr, pri čemer je εr relativna dielektrična konstanta in ε0 dielektrična konstanta za prazni prostor

⋅⋅=⋅= −

VmAs

912

0 10941108543,8

πε . (1.214)

Električno jakost ravno tako lahko izrazimo iz potencialne funkcije V

==−

mV

2

'

επ rQE

drdV . (1.215)

V našem primeru so potencialne ploskve koncentrični valji okoli osi vodnika. Z integracijo dobimo

KrQV +−= ln2

'

πε. (1.216)

Integracijsko konstanto K bomo ugotovili naknadno. Vzemimo, da imamo več premih nabojev in sicer Qa

', Qb', ..., katerih vpliv se v katerikoli točki prostora superponira. Za tri take

naboje (slika 1.27b) dobimo po gornji enačbi za neko točko p naslednji izraz

( ) KdQdQdQV cpcbpbapap +++−= lnlnln2

1 '''

πε (1.217)

in za n nabojev Q '

( ) KdQdQV npnapap +++−= ln...ln2

1 ''

πε. (1.218)

Ker je logično, da v nekem zaprtem sistemu velja, da je ( ) 0...'' =++ ba QQ , (1.219) moramo vključiti vpliv zemlje na kapacitivnost. Zemljo pri tem smatramo kot ravno idealno ploskev neskončne vodljivosti pri čemer silnice električnega polja padajo pravokotno na ploskev. V elektrostatiki poznamo princip zrcaljenja proti zemlji, kjer nabiti vodnik proti


49

zemlji ustvarja isto polje kot njegova zrcalna slika, kadar bi odstranili zemljo. Na sliki 1.27c lahko zemljo odstranimo in jo nadomestimo z zrcalnim nabojem negativnega predznaka.

2r

da

b

c

p

pa

b

c

Q

Q

Q

d

d

p

p

d ab

cp

pa

bc

QQ

Qd

d

p

p

aQbQ

cQcd p

d pabd p

a) b) c) Slika 1.27: Ponazoritev vodnik - potencial Potencial v katerikoli točki p bi bil torej

0lnlnln2

1 '''''' =+

++= K

dd

Qdd

Qdd

QVcp

pcc

bp

pbb

ap

paap πε

. (1.220)

To je torej druga potencialna enačba za določanje kapacitivnosti vodnika v sistemu, kadar jemljemo v obzir vpliv zemlje. Obe enačbi veljata le takrat, kadar je premer vodnikov zelo majhen v primerjavi z ostalimi dolžinami. Če želimo po sliki 1.27c izračunati Vp predpostavimo, da so razdalje d=d', iz česar sledi, da je Vp =0, dalje sledi, da je tudi konstanta K v zgornji enačbi enaka nič. Kapacitivnost kot faktor sorazmernosti med elektrino in njej ustrezno napetostjo med prevodnima površinama zapišemo z izrazom

UQC = . (1.221)

Enota za kapacitivnost je farad oziroma 1 F je enak 1 C/V. Farad je velika enota, tako kot je velika tudi enota za elektrino C (Coulomb). Za primerjavo omenimo, da se na dolžinskem metru dvovoda, ki ima žici polmera rv=1 cm in sta oddaljeni za d=1 m, pod napetostjo U=230 V nabere elektrina Q=1,39 nC, pri čemer je U potencialna razlika izražena v voltih. Kapacitivnost nam torej pomeni tisto potrebno električno množino naboja, ki je potrebna, da se ustvari razlika napetosti 1 V. Oglejmo si dva primera: a) Sistem vodnik - vodnik brez vpliva zemlje V tem primeru velja, da je '

2'1 QQ −= . (1.222)

Za katerokoli točko p (slika 1.28) dobimo po predhodnih izvajanjih


50

KddQV

p

p +=1

2'

ln2πε

(1.223)

2r

p12Q

D

2r

1

1

Q 2

2

d

p

+-

pd

Slika 1.28: Sistem vodnik - vodnik V primeru, da opazujemo potencial na površini enega in drugega vodnika, velja (slika 1.28): • za potencial na površini prvega vodnika d1p=r1 in d2p =D, • za drugi vodnik: d1p =D in d2p=r2, iz tega sledi

==

−=−=

VmAs

ln

lnln2

21

''

2

1

'

21

rrDU

QC

Dr

rDQVVU

επ

πε (1.224)

Pri enakih polmerih r1=r2=r sledi, da je:

rDC

ln

' πε= (1.225)

Ta kapacitivnost se nanaša na celotno kapacitivnost zanke, to je na dovodni in odvodni vodnik. Za en vodnik proti nevtralni točki bi bila kapacitivnost 2 krat tako velika (slika 1.29). ''

1 2CC = (1.226)

Qa C bQC

C

1 1 Slika 1.29: Kapacitivnosti pri sistemu vodnik - vodnik


51

b) Sistem vodnik - zemlja Kapacitivnost enega vodnika napram zemlji določimo tako, da predpostavljamo, da zemlja z vodnikom tvori isto polje kot zrcalna slika vodnika pri čemer zemljo odstranimo (slika 1.30).

Qa

Qa

h

2r

-

2r

h

Slika 1.30: Sistem vodnik - zemlja Če pri enačbi 1.225 za razdaljo D vzamemo 2h, dobimo

rhCC

rhC

2ln22

2ln

''1

'

πε

πε

==

=

. (1.227)

1.5.2. Kapacitivnost dveh vodnikov nad zemljo Električna povezava med dvema vodnikoma nad zemljo (slika 1.31) se odslikava v prisotnosti treh delnih kaapacitivnosti. Ločimo medsebojno kapacitivnost Cab

' in dve dozemni kapacitivnosti Caa

' in Cbb'. Te kapacitivnosti predstavljajo kondenzatorsko vezje na sliki

1.4.1.3.

Qa

Qa

h

aQb

b

Qb

d

abd

b

hb

h

ah

a

a

b

b

Slika 1.31: Dva vodnika nad zemljo


52

ab

a

b

C

aC abC b

Slika 1.32: Kapacitivnosti pri dveh vodnikih nad zemljo Napetost med vodnikoma ponovno računamo kot razliko potencialov obeh vodnikov. Oba potenciala vodnikov pa določajo vse štiri preme elektrine Qa

' in Qb' ter -Qa

' in -Qb'. Tako ob

upoštevanju εr=1 dobimo

ab

abb

a

aa d

dQrhQU '''

0

ln2ln2

1+=

πε (1.228)

in z upoštevanjem fazorjev izmeničnih veličin

''

''

bbbaabb

babaaaa

QPQPU

QPQPU

+=

+=, (1.229)

kjer je Paa lastni potencialni koeficient, Pab in Pba pa sta medsebojna potencialna koeficienta, ki sta med seboj enaka. Omenjeni izrazi so podani z

ab

abab

b

bbb

a

aaa

ddP

rhP

rhP

'

0

0

0

ln2

1

2ln2

1

2ln2

1

πε

πε

πε

=

=

=

. (1.230)

Razdaljo dab' določimo s pomočjo slike 1.33. Tako lahko zapišemo

( )( )

( ) ( )

14

4

2'

2'

222'

222

22'

+=

+=

−−++=

−−=

++=

ab

ba

ab

ab

abbaab

ababbaab

abab

baab

dhh

dd

dhhd

hhdhhd

hhdx

xhhd

(1.231)

in s tem

+= 14ln

41

20 ab

baab d

hhPπε

. (1.232)


53

a

h

abd

abd

b

hb

h

ah

a

a

b

b

h b ah+

h b ah

Slika 1.33: Določitev razdalj pri dveh vodnikih nad zemljo Če vstavimo za ε0=8,86·10-12 F/m, dobimo za potencialne koeficiente

(km/F)2log104,41

(m/F)2ln108,1

6

10

a

aaa

a

aaa

rhP

rhP

⋅=

⋅=

(1.233)

in dalje

(km/F)14log107,20 26

+⋅==

ab

babaab d

hhPP . (1.234)

Višina h je znotraj razpetine zaradi povesa različna, tako da običajno upoštevamo povprečno višino 010

7,0 fHh −= , (1.235) kjer je H višina vpetja vodnika oziroma vrvi, f10º je poves pri 10ºC. Vrnimo se na enačbi (1.229) in izhajajmo iz predpostavke, da poznamo napetosti in da iščemo vrednosti preme elektrine. Tako lahko zapišemo

bbbaabb

babaaaa

UKUKQ

UKUKQ

+=

+='

'

, (1.236)

kjer so Kaa, Kbb in Kab kapacitivni koeficienti, za katere velja


54

2

2

2

abbbaa

abab

abbbaa

aabb

abbbaa

bbaa

PPPPK

PPPPK

PPPPK

−

−=

−=

−=

. (1.237)

Enačbo (1.236) glede na sliko 1.32 lahko zapišemo tudi v drugi oblik

bbbabaabbbbababb

babaabaabaabaaaa

UCCUCUCUUCQ

UCUCCUUCUCQ

)()(

)()(''''''

''''''

++−=+−=

−+=−+=, (1.238)

kjer s primerjavo koeficientov pridemo do povezav med kapacitivnimi koeficienti in delnimi kapacitivnostmi

'

''

''

abab

abbbbb

abaaaa

CK

CCK

CCK

−=

+=

+=

, (1.239)

in obratno

abab

abbbbb

abaaaa

KC

KKC

KKC

−=

+=

+=

'

'

'

. (1.240)

Podobno lahko ugotovimo, da za "n" vodnikov velja

'

''

ikik

ikiiii

CK

CCK

−=

+= ∑ (1.241)

oziroma

ikik

ikiiii

KC

KKC

−=

+= ∑'

'

.

Ob upoštevanju (1.237) dobimo

2'

2'

2'

abbbaa

abab

abbbaa

abaabb

abbbaa

abbbaa

PPPPC

PPPPPC

PPPPPC

−=

−

−=

−

−=

. (1.242)


55

Glede na (1.230) in pri predpostavljenih simetričnih vodih (ra=rb, ha=hb) velja za posamezne kapacitivnosti

ab

abbbaa

dd

rh

CC'

0''

2ln

2πε== (1.243)

in

ab

ab

ab

ab

ab

dd

rh

dd

C'22

'0

'

ln2ln

ln2

−=

πε. (1.244)

Skupno kapacitivnost vodnika "a" dobimo z vzporedno vezavo Caa

' in serijsko vezenima Cab'

in Cbb' (slika 1.32)

''

''''

bbab

bbabaaa CC

CCCC+

+= . (1.245)

1.5.3. Kapacitivnost enosistemskega voda brez zaščitne vrvi Električna povezava med tremi vodniki brez zaščitne vrvi in zemljo (slika 1.34) se odslikava v prisotnosti šestih delnih kapacitivnosti. Ločimo tri medsebojne kapacitivnost in tri dozemne kapacitivnosti, ki predstavljajo kondenzatorsko vezje na sliki 1.35. Ker je vod prepleten, so tri dozemne kapacitivnosti med seboj enake, isto velja za tri medsebojne kapacitivnosti.

Cz

vC

Slika 1.34: Enosistemski vod brez zaščitne vrvi Za dani sistem zapišemo lastni in medsebojni potencialni koeficient

( )

( )sr

srcabcabm

ccbbaal

ddPPPP

rhPPPP

'

0

0

ln2

131

2ln2

131

πε

πε

=++=

=++=

, (1.246)

kjer za povprečno višino in srednje razdalje velja


56

3

''''

3

3

cabcabsr

bcacabsr

cba

dddd

dddd

hhhh

=

=

=

. (1.247)

a

b

C

c

v

Cz

Cv

Cv

Cz Cz

Slika 1.35: Delne kapacitivnosti pri enosistemskem vodu brez zaščitne vrvi S produkti potencialov in potencialnih koeficientov dobimo enačbe za fazorje napetosti treh vodnikov

'''

'''

'''

clbmamc

cmblamb

cmbmala

QPQPQPU

QPQPQPU

QPQPQPU

++=

++=

++=

. (1.248)

Glede na zgornje enačbe lahko izrazimo posamezne potenciale kot funkcijo napetosti. Za potencial prve faze tako dobimo

ml

m

ml

ca

ml

m

ml

ba

ml

aa PP

PPPUU

PPP

PPUU

PPUQ

−+

−+

−+

−+

+=

222' , (1.249)

in dalje )()( '''

cavbavazaUUCUUCUCQ −+−+= . (1.250)

Na enak način bi lahko določili tudi izraza za potenciala ostalih dveh vodnikov, vendar glede na simetrične razmere to ni potrebno. Že s pomočjo enačbe za potencial prvega vodnika pridemo do izraza za dozemno oziroma nično kapacitivnost

ml

z PPCC

21'

0'

+== (1.251)

in za medsebojno kapacitivnost

ml

mz

ml

m

mlv PP

PCPP

PPP

C−

=−+

= ''

21 . (1.252)


57

Če v (1.251) vstavimo izraza za potencialna koeficienta (1.246), dobimo za nično kapacitivnost enosistemskega voda brez zaščitnega vodnika

2

30

20

2'

0'0 8ln

2

122ln

2

2ln

2

srsrsr

srrd

h

dh

rh

dd

rh

C πεπεπε≈

+

=

= , (1.253)

pri čemer končni, poenostavljen izraz dobimo pri predpostavki, da je

22

212

≈+

srsr dh

dh . (1.254)

Glede na sliko 1.35 vidimo, da so medsebojne kapacitivnosti vezane na medfazne napetosti in dozemne na fazne napetosti. Kondenzatorsko vezje trikot, ki ga tvorijo medsebojne kapacitivnost, lahko transformiramo v ekvivalentno zvezdo z zvezdiščem na potencialu nič, tako da so dozemne kapacitivnosti in v zvezdo transformirane medsebojne kapacitivnosti vezane vzporedno (slika 1.36).

a

b

cCz

Cv

Cz

Cz CvCv

ca

b

Cz

Cz

Cz Cv3

C v3

C v3

c

b

a

Cs

Cs

Cs

Slika 1.36: Pretvorba trikot-zvezda pri medsebojnih kapacitivnostih Pri transformaciji impedanc simetričnega trikota v zvezdo velja naslednja zveza

YZZ Y→= ∆

∆

3

'' (1.255)

oziroma

∆ωω '' 3

11

vY

v CC= . (1.256)

∆'' 3 vY

v CC = V normalnem obratovanju predstavlja trifazni vod neko obratovalno kapacitivnost oziroma kapacitivnost pozitivnega sistema. Z upoštevanjem omenjene transformacije in glede na sliko 1.36 za kapacitivnost pozitivnega sistema velja

ml

vzY

vz PPCCCCC

−=+=+=

13 '''''1

∆ (1.257)

in dalje z upoštevanjem (1.246)


58

rd

dd

rh

Csr

sr

sr ln

22ln

2 0

'

0'1

πεπε≈

= , (1.258)

pri čemer končni, poenostavljeni izraz dobimo pri predpostavki, da je '2 srdh ≈ . (1.259) Obratovalna ali pozitivna kapacitivnost C1

' je torej kapacitivnost enega vodnika na enoto dolžine. 1.5.4. Kapacitivnost dvosistemskega voda brez zaščitne vrvi Pri izpeljavi kapacitivnosti prepletenega dvosistemskega voda brez zaščitne vrvi, z razporeditvijo vodnikov po sliki 1.37, izhajamo iz predpostavke, da velja

''

''

''

Cc

Bb

Aa

QQ

QQ

QQ

=

=

=

, (1.260)

kar pomeni, da sta oba sistema enaka in obratujeta vzporedno.

a

b c

A

BC

Slika 1.37: Prepleteni dvosistemski vod brez zaščitne vrvi Za dvosistemski vod brez zaščitne vrvi določimo dva nova potencialna koeficienta PL in PM, ki upoštevata vplive med obema sistemoma. Tako velja

+

==++= 12ln

41ln

21)(

31

2

101

'1

0 Dh

DDPPPP cCbBaAL πεπε

, (1.261)

pri čemer je

3

''''1

31

cCbBaA

cCbBaA

dddD

dddD

=

= (1.262)

in


59

+

==++= 12ln

41ln

21)(

31

2

202

'2

0 Dh

DDPPPP cAbCaBM πεπε

, (1.263)

pri čemer je

3

''''2

32

cAbCaB

cAbCaB

dddD

dddD

=

=. (1.264)

Podobno kot v prejšnjem poglavju zapišimo enačba za fazor napetosti prvega vodnika v prvem sistemu

cMBMALcmbmala QPQPQPQPQPQPU +++++= (1.265) in dalje )()()( MmcMmbLlaa PPQPPQPPQU +++++= . (1.266) Glede na gornjo enačbo vpeljemo vsoto lastnih potencialnih koeficientov

1

'1

0

2ln2

1DD

rhPPP Lll

πε=+= (1.267)

in vsoto medsebojnih koeficientov

2

'2

'

0

ln2

1DD

ddPPP

sr

srMmm

πε=+= , (1.268)

pri čemer sta Pl in Pm lastni in medsebojni potencialni koeficient enosistemskega voda brez zaščitnega vodnika. Enačba (1.266) tako dobi obliko

cm

bm

ala QPQPQPU ++= , (1.269)

od koder prek izrazov za potenciale posameznih vodnikov sledi izpeljava za nično ali dozemno in za obratovalno ali pozitivno kapacitivnost

ml

ml

PPC

PPC

−=

+=

12

1

'1

'0

. (1.270)

1.5.5. Kapacitivnost enosistemskega voda z zaščitno vrvjo Pri izpeljavi kapacitivnosti prepletenega enosistemskega voda z zaščitno vrvjo si najprej poglejmo razmere za eno samo fazo, kot je prikazano na sliki 1.38.


60

h

ad

ad

ah

a

xx

x

x

x

hx

Slika 1.38: Prepleteni trifazni vod z zaščitno vrvjo - prikaz ene faze Potencialni koeficient med vodnikom "a" in zaščitnim vodnikom "x" zapišemo podobno kot v primeru dveh vodnikov nad zemljo

ax

axax d

dP '

0

ln2

1πε

= , (1.271)

pri čemer je 2

' 4 axxaax dhhd += . (1.272) Ob upoštevanju gornjega izraza za (1.271) tako velja

+= 14ln

41

20 ax

xaax d

hhPπε

. (1.273)

Analogno izračunamo potencialna koeficienta bxP in cxP za ostala dva vodnika, tako da lahko pridemo do skupnega potencialnega koeficienta med trifaznim sistemom in zaščitnim vodnikom ( )cxbxaxx PPPP ++=

31 (1.274)

oziroma

+=

= 14ln

41ln

21

20

'

0 srx

x

srx

srxx d

hhddP

πεπε, (1.275)

kjer velja

3

''''

3

cxbxaxsrx

cxbxaxsrx

dddd

dddd

=

=. (1.276)

Razdalja dsrx predstavlja povprečno razdaljo med faznimi vodniki in zaščitnim vodnikom, razdalja dsrx

' pa povprečno razdaljo med faznimi vodniki in zrcalno sliko zaščitnega vodnika. Dalje lahko določimo lastni potencialni koeficient zaščitne vrvi


61

x

xxx r

hP 2ln2

1

0πε= . (1.277)

Nadaljnji postopek izpeljave je podoben kot v prejšnjih primerih. Zapišemo lahko fazorje napetosti posameznih vodnikov kot funkcijo potencialov

''''

''''

''''

''''

xxxcxbxaxx

xxclbmamc

xxcmblamb

xxcmbmala

QPQPQPQPU

QPQPQPQPU

QPQPQPQPU

QPQPQPQPU

+++=

+++=

+++=

+++=

. (1.278)

Ker je zaščitna vrv ozemljena, je napetost zaščitnega vodnika, ki je opisana z zadnjo zgornjo enačbo, enaka nič. S pomočjo omenjene enačbe dobimo izraz za Qx

', ki ga vstavimo v prve tri enačbe za napetost posameznih vodnikov. Za vodnik "a" sedaj lahko zapišemo

'2

'2

'2

cxx

xmb

xx

xma

xx

xla Q

PPPQ

PPPQ

PPPU

−+

−+

−= , (1.279)

od koder sledita izraza za lastni in medsebojni potencialni koeficient enosistemskega voda z zaščitno vrvjo

xx

xmmx

xx

xllx

PPPP

PPPP

2

2

−=

−=

. (1.280)

V zgornjih dveh izrazih sta Pl in Pm lastni in medsebojni potencialni koeficient enosistemskega voda brez zaščitnega vodnika. Nadaljnja izpeljava je enaka kot v prejšnjih primerih, za dozemno ali nično kapacitivnost in za obratovalno ali pozitivno kapacitivnost dobimo izraza v znani obliki

mxlx

mxlx

PPC

PPC

−=

+=

12

1

'1

'0

. (1.281)

Če v zgornja izraza vstavimo (1.280) in zatem še (1.246), dobimo novo obliko izraza za dozemno ali nično kapacitivnost

+

−

=

−

=

x

x

srx

x

sr

sr

x

x

srx

srx

sr

sr

rh

dhh

dd

rh

rh

dd

dd

rh

C

2ln

14ln

432ln

2

2ln

ln32ln

2

22

2

2'

0'

2

2

2'

0'0

πεπε (1.282)


62

in novo obliko izraza za obratovalno ali pozitivno kapacitivnost

=

'

0'1 2ln

2

sr

sr

dd

rh

C πε , (1.283)

ki je enak izrazu v primeru voda brez zaščitne vrvi. Kot vidimo, zaščitne vrv vpliva samo na dozemno ali nično kapacitivnost. Z upoštevanjem številske vrednosti za 2πε0 in pri predpostavljeni enoti µF/km za enosistemski vod z zaščitno vrvjo tako velja

)km/µF(

2log

14log

432log4,41

1

2ln

ln32ln18

1

22

2

2'

'2

2

2'

'0

+

−

=

=

−

=

x

x

srx

x

sr

sr

x

x

srx

srx

sr

sr

rh

dhh

dd

rh

rh

dd

dd

rh

C

(1.284)

in

)km/µF(2log4,41

12ln18

1

''

'1

=

=

sr

sr

sr

sr

dd

rh

dd

rh

C . (1.285)

1.5.6. Kapacitivnost enosistemskega voda z dvema zaščitnima vrvema Pri izpeljavi kapacitivnosti enosistemskega voda z dvema zaščitnima vrvema načeloma veljajo enake enačbe kot v primeru samo ene zaščitne vrvi. Upoštevati moramo samo nekaj sprememb pri določitvi srednjih razdalj. Za potencialni koeficient med enosistemskim vodom in zaščitnima vrvema sedaj velja

+=

= 14ln

41ln

21

20

'

0 srx

x

srx

srxx d

hhddP

πεπε, (1.286)

pri čemer so srednje razdalje določene z

6

'2'2'2'1'1'1'

6222111

xcxbxaxcxbxasrx

xcxbxaxcxbxasrx

ddddddd

ddddddd

=

=. (1.287)

Vpeljati moramo tudi povprečno višino obeh zaščitnih vrvi


63

221 xxx hhh = . (1.288)

Poglejmo še lastni potencialni koeficient dveh zaščitnih vrvi

sx

xxx r

hP 2ln2

1

0πε= , (1.289)

kjer je radij določen kot radij snopa dveh zaščitnih vodnikov 2

21 xxxsx drr = . (1.290) Nadaljnja izpeljava je enaka kot v primeru samo enega zaščitnega vodnika. Za lastni in medsebojni potencialni koeficient ponovno velja

xx

xmmx

xx

xllx

PPPP

PPPP

2

2

−=

−=

(1.291)

in za obe kapacitivnosti

mxlx

mxlx

PPC

PPC

−=

+=

12

1

'1

'0

. (1.292)

1.5.7. Kapacitivnost dvosistemskega voda z zaščitno vrvjo Pri določitvi kapacitivnosti dvosistemskega voda z zaščitno vrvjo je postopek podoben kot v predhodnih poglavjih. Enačbi (1.267) in (1.268) za vsoto lastnih in medsebojnih potencialnih koeficientov moramo dopolniti z vplivom zaščitne vrvi, tako da dobimo

xx

xMmmx

xx

xLllx

PPPPP

PPPPP

2

2

2

2

−+=

−+=

. (1.293)

Omenimo naj, da sta potencialna koeficienta Px in Pxx podana z enačbama (1.275) in (1.277) v primeru ene zaščitne vrvi ali z enačbama (1.286) in (1.289) v primeru dveh zaščitnih vrvi. Nadaljnja izpeljava je spet enaka kot v prejšnjih primerih. Z upoštevanjem (1.293) dobimo izraza za obe kapacitivnosti


64

mxlx

mxlx

PPC

PPC

−=

+=

12

1

'1

'0

. (1.294)

LITERATURA [1] M.Plaper, Elektroenergetska omrežja III del, Ljubljana 1977. [2] M.Plaper, Elektroenergetska omrežja I del, Ljubljana 1974. [3] D. Oeding, Elektrische Kraftwerke und Netze, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1978. [4] T. Bohn, Elektrische Energietechnik, Verlag TÜV Rheinland, 1987. [5] F.R. Bergseth, Introduction to Electric Energy Devices, Prentice-Hall, INC., Englewood Cliffs, New Jersey 07632, 1988. [6] Olle I. Elgerd, Electric Energy Systems Theory, McGraw-Hill, 1983.

Poglavje 3 - Teorija nadzemnih elektroenergetskih vodovbsnet.eu.org/me/studij/3l/EEE/Poglavje 3 -...

Documents

Transcript of Poglavje 3 - Teorija nadzemnih elektroenergetskih vodovbsnet.eu.org/me/studij/3l/EEE/Poglavje 3 -...