TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 - grf.bg.ac.rs · Teorija konstrukcija 1 16 γ F n k i 1 2 Γ Neka je data...
Transcript of TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 - grf.bg.ac.rs · Teorija konstrukcija 1 16 γ F n k i 1 2 Γ Neka je data...
TEORIJA KONSTRUKCIJA 1-Informacije o predmetu-
Školska godina 2018/2019
Teorija konstrukcija 1 1
TEORIJA KONSTRUKCIJA 1
FOND ČASOVA: 3+2 (42+28)
NASTAVNICI
Doc. Dr Marija Nefovska-Danilović, KABINET 145
(konsultacije: ČETVRTAK, PETAK 9 h -10 h )
Doc. Dr Nevenka Kolarević, KABINET 144
(konsultacije: PETAK 9 h -10 h )
PREDAVANJA ponedeljak 12:15-14h SALA 320 (14 nedelja)
petak 12:15-14h SALA 317 (7 nedelja)
Teorija konstrukcija 1 2
TEORIJA KONSTRUKCIJA 1
ASISTENT Marko Radišić KABINET 333
VEŽBE ČETVRTAK 14h-16h SALA 319
Teorija konstrukcija 1 3
USLOV ZA POHAĐANJE NASTAVE
Studenti mogu pohađati nastavu iz TK1 ako
su položili OTPORNOST MATERIJALA 1.
Teorija konstrukcija 1 4
TEORIJA KONSTRUKCIJA 1
Obaveze studenata
❑ Prisustvovanje predavanjima
❑ Prisustvovanje vežbama
Uslov za potpis
❑ Prisustvo na 38/42 časova predavana
❑ Prisustvo na 26/28 časova vežbanja
❑ Položeni testovi
Teorija konstrukcija 1 5
Teorija konstrukcija 1 6
❑Student tokom semestra ima pravo da polaže
dva teorijska kolokvijuma.
❑Prvi kolokvijum se polaže u osmoj nedelji
nastave, a drugi u kolokvijumskoj nedelji.
❑Uslov za polaganje drugog kolokvijuma je
položen prvi kolokvijum.
❑Oba položena kolokvijuma oslobađaju studenta
usmenog dela ispita u tekućoj školskoj godini.
KOLOKVIJUMI
Teorija konstrukcija 1 7
❑Studenti tokom semestra polažu dva testa na
vežbama. Uslov za dobijanje potpisa su
položeni testovi.
❑Testovi na predavanjima – kontrola prisustva i
razmevanje gradiva na predavanjima
TESTOVI
❑ M. Petronijević : Teorija konstrukacija 1, GF, 2013.
❑ M. Petronijević, M. Nefovska-Danilović: Statika
konstrukcija 2, Zbirka zadataka sa izvodima iz teorije,
Građevinski fakultet, 2007.
❑ Web sajt fakulteta: www.grf.rs
Teorija konstrukcija 1 8
LITERATURA
UVOD
Teorija konstrukcija
Statika konstrukcija Dinamika konstrukcija
Teorija konstrukcija 1 9
UVOD
Teorija konstrukcija 1 10
Teorija konstrukcija 1
Statika konstrukcijaOdređivanje sila u presecima i pomeranja
ravnih linijskih nosača
Podela linijskih nosača
Linijski nosači
Ravni Prostorni
RešetkastiPuni
Teorija konstrukcija 1 11
Podela linijskih nosača
Linijski nosači
Statički određeni Statički neodređeni
Teorija konstrukcija 1 12
Metode analize
linijskih nosača
Metode klasične statike
konstrukcija
Matrična analiza
konstrukcija
Teorija konstrukcija 1 13
prema pristupu
Matematički model (3D-2D)
Teorija konstrukcija 1 14
L
l
l
l
x
y
z
vetar u
y -pravcu
spreg za
ukrućenje
u podužnom
pravcu
rožnjače
stubovi
rigle
l/
2
l/2
l/2
L/2
vetar u
x -pravcu
Teorija konstrukcija 1 15
vetar u
x - pravcu
z
x
y
z
Gravitaciono opterećenje
i vetar u z - pravcu
vetar u
y - pravcu
a) Poprečni okvir
b) Podužni okvir
Gravitaciono opterećenjei vetar u z - pravcu
Linearna teorija štapa
❑ Definicija štapa
Teorija konstrukcija 1 16
γ
F
n
k
i1
2
Γ
Neka je data proizvoljna linija ik i
neka su u ravnima n normalnim
na liniju ik opisane zatvorene
krive γ, koje ograničavaju površi
F.
Težišta površi F, čije su
dimenzije male u odnosu na
duž ik, leže na liniji ik.
Geometrijsko mesto tačaka svih
krivih γ je zatvorena površ Γ.
Telo ograničeno površi Γ i površima F u tačkama i i k nazivamo
ŠTAPOM.
Prema obliku ose razlikujemo prave i krive štapove, a
prema obliku poprečnog preseka štapovi mogu biti
konstantnog i promenljivog poprečnog preseka.
Teorija konstrukcija 1 17
ki
a)
b)
Nepoznate veličine u teoriji štapa
1. Sile u presecima:
M, N i T
2. Pomeranja i obrtanja:
u, v i φ
3. Deformacije:
ε, κ i φt
Teorija konstrukcija 1 18
Jednačine štapa iz kojih se određuju
nepoznate veličine
❑ Uslovi ravnoteže elementa štapa
❑ Veze između pomeranja i
deformacije elementa štapa
(kinematičke jednačine)
❑ Veze između sila u presecima i
deformacije (Konstitutivne jednačine
- Hooke-ov zakon)
Teorija konstrukcija 1 19
Osnovne pretpostavke linearne
teorije štapa
P1. Pretpostavka o malim pomeranjima
(pretpostavka o statičkoj linearnosti)
P2. Pretpostavka o malim
deformacijama
(pretpostavka o geometrijskoj linearnosti )
P3. Hooke-ov zakon
(pretpostavka o fizičkoj linearnost )
Teorija konstrukcija 1 20
Teorija konstrukcija 1 21
Spoljašnje sile i sile u presecima
Teorija konstrukcija 1 22
Specifično raspodeljeno opterećenje
Komponente raspodeljenog
opterećenja
Teorija konstrukcija 1 23
Teorija konstrukcija 1 24
Unutrašnje sile
Unutrašnje sile
Teorija konstrukcija 1 25
Teorija konstrukcija 1 26
V
H
M
Veza između unutrašnjih sila u lokalnom
i globalnom koordinatnom sistemu
Teorija konstrukcija 1 27
Konvencija o znaku
Pretpostavka o malim pomeranjima : Pomeranja su mala u odnosu na
dimenzije štapa tako da se u uslovima ravnoteže mogu zanemariti.
Uslove ravnoteže posmatramo na nedeformisanom štapu.
Posledica: Uslovi ravnoteže štapa su linearne jednačine, pa se ta
pretpostavka naziva i pretpostavka o statičkoj linearnosti.
Teorija konstrukcija 1 28
0
0
0
t
n
dN p ds
dT p ds
dM Tds
+ =
+ =
− =ds
C'
C
pndsptds
X
Y
M
N
T
M+dM
N+dN
T+dT
(I)
Uslovi ravnoteže štapa
Kada se jednačine (I) podele sa ds dobija se alternativni oblik:
Teorija konstrukcija 1 29
❑ Prvi izvod normalne sile po koordinati s duž ose štapa jednak je
negativnoj vrednosti opterećenja u pravcu ose štapa,
❑ Prvi izvod transverzalne sile jednak je negativnoj vrednosti
opterećenja upravno na osu štapa,
❑ Prvi izvod momenta jednak je transverzalnoj sili.
Uslovi ravnoteže štapa
❑ Opterećenje štapa leži u ravnima koje su
paralelne ravni štapa
❑ Pomeranja tačaka štapa odvijaju se u
ravnima koje su paralelne toj ravni
❑ Takva deformacija se naziva ravna
deformacija štapa
❑ Pomeranja i deformacija u ravni štapa
mogu se jednoznačno izraziti preko
pomeranja i deformacije ose štapa
Teorija konstrukcija 1 30
Deformacija štapa
Teorija konstrukcija 1 31
Deformacija štapa
Deformacija štapa
Teorija konstrukcija 1 32
Veze između komponenata pomeranja u,v i
Vektor pomeranja i ugao obrtanja tangente postoje i kada
se štap ne deformiše tj. i kada se štap pomera kao kruto telo.
❑ Čisto deformacijske veličine štapa postoje samo ako se
štap deformiše. To su:
❑ Dilatacija
❑ Promena krivine ose štapa
❑ Klizanje poprečnog preseka t
❑ Dilatacija predstavlja promenu dužine ose štapa po
jedinici dužine:
Teorija konstrukcija 1 33
Čisto deformacijske veličine štapa
Teorija konstrukcija 1 34
Kinematičke jednačine
Kinematičke jednačine
Teorija konstrukcija 1 35
❑Pretpostavka o malim deformacijama:
(1 ) [cos( )]
(1 ) [sin( )]
dx du ds
dy dv ds
+ = + +
+ = + +
II
Klizanje poprečnog preseka t
Teorija konstrukcija 1 36
X
Y
φ
O
O'
Tehnička teorija
savijanja štapa
Timošenkov
štap
φt
osa štapa
v
v(y)
u
u(y)
C'(y)
C'
φ-φt
φ
y
C
C(y)
❑ Klizanje poprečnog preseka φt predstavlja promenu
prvobitno pravog ugla između poprečnog preseka i ose
štapa posle deformacije
Teorija konstrukcija 1 37
X
Y
φ
Promena krivine
y
(1+ε)ds
O'
O''
ρ''dφ
φt
φt+dφt
y
φ-φt
ρ'
C'1
C‘1y
C1
ds
C1yCy
C
φ
(1+εy )ds
C'
❑ Promena krivine jednaka je negativnoj vrednosti promene ugla obrtanja
između dva beskonačno bliska poprečna preseka po jedinici dužine štapa
( ) ?y =
C‘y
p/2-φt
Veze između sila u preseku, temperature i deformacijskih veličina štapa
izvodimo pretpostavljajući da važi Hukov (Hooke) zakon i da je
raspodela temperaturne promene po visini preseka linearna.
Teorija konstrukcija 1 38
Na rastojanju y od ose štapa dilatacija ε(y) i smicanje (y) su
proporcionalni odgovarajućim naponima
Veze između sila u preseku i deformacija
Uticaj temperature
Raspodela temperaturne promene po visini preseka je linearna:
Teorija konstrukcija 1 39
y
O x
to
tu
to
ht(y)
t
Kada se u prethodnu jednačinu unese izraz za dilataciju (y) ekvidistantnog
elementa i izraz za temperaturnu promenu t(y) dobija se da je da je normalni
napon σ(y) jednak:
( ) ( )o
t t
ty E t E y
h
= − + −
Teorija konstrukcija 1 40
F F
N dF M ydF = =
Kada u izraze za veze između napona i presečnih sila
unesemo dobijeni izraz za napon, i kada uzmemo u obzir da je:
2 , 0 , , F F F
dF = F ydF = y dF = I
dobija se da je:
gde je F površina, a I momenat inercije poprečnog preseka.
tj.
(III1)
(III2)
Veza između klizanja φt i transverzalne sile T dobija se iz jednačine
veze između smičućeg napona i deformacije (y)=τ(y)/G, u kojoj je
smičući napon τ(y) zamenjen izrazom za napon koji važi u Tehničkoj
teoriji savijanja grede, a sledi direktno iz hipoteze Žuravskog:
U jednačini T je transverzalna sila, S(y) je statički moment dela preseka
ispod ili iznad prave y=const u odnosu na težište preseka, I je moment
inercije poprečnog preseka, a b(y) je širina poprečnog preseka na mestu
y=const.
Na taj način se dobija:
Teorija konstrukcija 1 41
Teorija konstrukcija 1 42
Raspodela -napona, smicanja i klizanja poprečnog preseka t
Ako stvarnu raspodelu smicanja zamenimo konstantnom raspodelom, onda
je element štapa izložen deformaciji prikazanoj na slici d). Pri toj
deformaciji poprečni preseci ostaju ravni i relativno smaknuti na kraju
elementa dužine ds za veličinu φtds. Veličina φt je promena ugla između
poprečnog preseka i ose štapa.
a) b) c) d)
Teorija konstrukcija 1 43
Ugao φt određujemo iz uslova da je rad napona smicanja (y) na posmatranom
elementu štapa dužine ds pri pretpostavljenoj raspodeli smicanja jednak radu tih
napona pri stvarnoj raspodeli smicanja (y).
Rad napona smicanja pri stvarnoj raspodeli deformacije smicanja na elementu
štapa dužine ds je jednak:
Teorija konstrukcija 1 44
(III3)
Jednačine veze između sila u preseku, temperature i deformacijskih
veličina štapa (III) su linearne zahvaljujući pretpostavci da važi
Hukov zakon. Zato se ta pretpostavka naziva i pretpostavka o
fizičkoj linearnosti.
Teorija konstrukcija 1 45
o
t
Nt
EF = +
t
M t
EI h
= +
t
Tk
GF =
(III)
Teorija konstrukcija 1 46
Jednačine: 6 diferencijalnih (I i II) i 3 algebarske (III)
0
0
0
t
n
dN p ds
dT p ds
dM Tds
+ =
+ =
− =
(I)
( )t
du dx dy
dv dy dx
d
ds
= −
= +
−= −
(II) t
M t
EI h
= +
o
t
Nt
EF = +
t
Tk
GF =
(III)
Jednačine štapa
Nepoznate:
sile u presecima: M, N i T
pomeranja i obrtanja ose: u, v i φ
deformacije: ε, κ i φt
Ukupan broj nepoznatih je 9.
Ako iz jednačina (III) ε, κ i φt iskažemo u funkciji od M,N i T i zamenimo u jednačine (II) dobija se sistem od 6 diferencijalnih jednačina sa 6 nepoznatih.
Teorija konstrukcija 1 47
Nepoznate veličine štapa
◦ 6 nepoznatih veličina: M, N, T, u, v i φ
◦ 6 diferencijalnih jednačina I i II
Sistem je moguće rešiti ako znamo još i 6
integracionih konstanti – 6 graničnih
uslova štapa.
Teorija konstrukcija 1 48
Nepoznate i jednačine
Teorija konstrukcija 1 49
Ni
Mi
Ti
Mk
Tk
Nk
granični uslovi po silama granični uslovi po pomeranjima
Mogući granični uslovi: max3 po silama, min 3 po pomeranjima
i k
φi
vi vk
uiuk
φk
Granični uslovi štapa
Ako su 3 granična uslova štapa zadata po
silama i 3 po pomeranjima, sistem od 6
jednačina se raspada na dva nezavisna sistema
jednačina: 3 jednačine po silama i 3 jednačine
po pomeranjima. Po silama problem postaje
statički određen.
Teorija konstrukcija 1 50
Teorija konstrukcija 1 51
U linearnoj teoriji štapa, zahvaljujući uvedenimpretpostavkama, rešenje diferencijalnih jednačina štapaje jednoznačno. Praktično, to znači da istorijaopterećenja i deformacije nema značaja za određivanjeuticaja. Zbog toga u linearnoj teoriji važi principsuperpozicije uticaja, koji glasi:
Ako na štap deluje više različitih opterećenja P1, P2,…
Pn, uticaj Z u štapu usled istovremenog dejstva svih
opterećenja P=P1+P2+…+ Pn može se dobiti
superpozicijom uticaja Z1, Z2,… Zn, nastalih usled
pojedinačnog delovanja svakog od navedenih
opterećenja:
Teorija konstrukcija 1 52