Teoremas fundamentais sobre sucessões Teorema das...

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1 Teoremas fundamentais sobre sucessões Teorema das sucessões enquadradas Sejam n u , n v e n w sucessões tais que, a partir de certa ordem p, n n n v w u . Se L v u n n = = lim lim (finito ou não), a sucessão n w também tem limite, que é igual a L. Demonstração: Se L u n = lim , para todo o número positivo δ existe uma ordem r a partir da qual os termos da sucessão n u pertencem à vizinhança δ de L. Analogamente, sendo L v n = lim existe uma ordem s a partir da qual os termos da sucessão n v pertencem à vizinhança δ de L. Então, a partir de uma ordem q, que é a maior das ordens p, r e s, os termos de n w também pertencem à vizinhança δ de L, pelo que L w n = lim . Note-se que esta demonstração é válida quer L seja finito ou não. No entanto, se += n u lim , conclui-se imediatamente que += n w lim a partir da desigualdade n n w u . Analogamente, se limv n = −∞ , conclui-se imediatamente que −∞ = n w lim a partir da desigualdade n n v w . Exemplo: Mediante um enquadramento adequada, determine-se o limite da sucessão n n n ! n u = . Como, para cada natural k, se tem 1 < n k n , resulta que n ... n n ... n k n ... n n n n n ! n n 1 1 1 1 2 1 × × × < × × × × × × = e assim n u n 1 0 < < . Pelo teorema das sucessões enquadradas tem-se então que 0 = n n ! n lim .
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    10-Nov-2018
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    Teoremas fundamentais sobre sucesses

    Teorema das sucesses enquadradas

    Sejam nu , nv e nw sucesses tais que, a partir de certa ordem p, nnn vwu . Se

    Lvu nn == limlim (finito ou no), a sucesso nw tambm tem limite, que igual a L.

    Demonstrao:

    Se Lun =lim , para todo o nmero positivo existe uma ordem r a partir da qual os

    termos da sucesso nu pertencem vizinhana de L. Analogamente, sendo

    Lvn =lim existe uma ordem s a partir da qual os termos da sucesso nv pertencem

    vizinhana de L. Ento, a partir de uma ordem q, que a maior das ordens p, r e s,

    os termos de nw tambm pertencem vizinhana de L, pelo que Lwn =lim .

    Note-se que esta demonstrao vlida quer L seja finito ou no. No entanto, se

    +=nulim , conclui-se imediatamente que +=nwlim a partir da desigualdade

    nn wu . Analogamente, se

    limvn = , conclui-se imediatamente que =nwlim

    a partir da desigualdade nn vw .

    Exemplo:

    Mediante um enquadramento adequada, determine-se o limite da sucesso nn n

    !nu = .

    Como, para cada natural k, se tem 1 e, como a sucesso crescente, todos os termos

    da sucesso so, a partir da ordem j, maiores do que k. Ento, a sucesso tem limite

    + . A demonstrao anloga no caso de uma sucesso decrescente e no limitada.

    Exemplo:

    Como aplicao do teorema das sucesses montonas demonstre-se que as sucesses

    unn

    n

    = +

    11

    e

    vn =1+1+12!

    + ...+ 1n!

    so convergentes e tm o mesmo limite.

  • 3

    1. A sucesso unn

    n

    = +

    11

    A convergncia (existncia de limite finito) da sucesso de termo geral

    unn

    n

    = +

    11

    , decorre do teorema das sucesses montonas. Trata-se, com efeito, de

    uma sucesso montona (crescente) e limitada (o conjunto dos seus termos est

    contido no intervalo [ ]2 3, ) sendo, portanto, convergente.

    Para verificar que a sucesso montona crescente, atenda-se a que, pela frmula do

    binmio de Newton,

    1+ 1n

    n

    =1+ nn

    +n n 1( )n22!

    +n n 1( ) n 2( )

    n3 3!+ ...+

    n n 1( )... n n 1( )( )nnn!

    ( )

    e assim

    1+ 1n

    n

    =1+1+ 1 1n

    12!

    + 1 1n

    1 2

    n

    13!

    + ...+ 1 1n

    1 2

    n

    ... 1 n 1

    n

    1n!

    ( )

    .

    Tomem-se nmeros naturais n e m tais que n m< . Tem-se

    1+ 1m

    m

    =1+1+ 1 1m

    1 2

    m

    13!

    + ...+ 1 1m

    1 2

    m

    ... 1 n 1

    m

    1n!

    + ...

    ...+ 1 1m

    1

    2m

    ... 1

    m 1m

    1m!

    decorrendo ento facilmente que 11

    11

    +

    < +

    n m

    n m

    .

    Para verificar que a sucesso limitada:

    Conclui-se imediatamente de ( ) que, para todo o nmero natural n maior que 1 se

    tem 11

    2+

    n

    n

    .

  • 4

    Atendendo a que, 11

    1 n

    para n > 1 , conclui-se que

    1+ 1n

    n

    1+1+ 12!

    + ...+ 1n!

    ( )

    Como, para todo o nmero natural n, se tem n n! 2 1 (como se v facilmente por

    induo), de ( ) resulta que

    1+ 1n

    n

    1+1+ 12

    +122

    +123

    + ...+ 12

    n1 =1+1 12n

    1 12

    =1+ 2 11

    2n

    1+ 2 = 3

    e assim o conjunto dos termos da sucesso est contido no intervalo [ ]2 3, .

    Conclui-se assim que a sucesso de termo geral unn

    n

    = +

    11

    convergente e que o

    seu limite um nmero maior que dois e menor ou igual a trs.

    Mais geralmente, prova-se que se an uma sucesso de nmeros reais que tende para

    + ou , ento

    na

    n nlim

    alim

    n

    +=

    +

    11

    11

    2. A sucesso

    vn =1+1+12!

    + ...+ 1n!

    Do estudo feito no nmero anterior, facilmente se conclui que a sucesso

    vn =1+1+12!

    + ...+ 1n!

    uma sucesso montona crescente e limitada, logo

    convergente, tal que u vn n (por ( ) ) e, consequentemente, lim limu vn n .

    Mas, para todo o natural p maior ou igual a 2 , tem-se

  • 5

    un = 1+1n

    n

    =1+1+1 1

    n2!

    + ...+1 1

    n

    1 2

    n

    ... 1 n 1

    n

    n!

    1+1+1 1

    n2!

    + ...+1 1

    n

    1 2

    n

    ... 1 p 1

    n

    p!

    Passando ao limite (em n) obtm-se, para todo o p nas condies anteriores,

    limun 1+1+12!

    + ...+ 1p!

    = vp e assim lim limu vn n

    Ento

    e = lim 1+ 1n

    n

    = lim 1+1+ 12!

    + K + 1n!

    =1+1+ 1

    2!+ ...+ 1

    n!+ ...= 1

    n!n0

    O nmero e, base dos logaritmos neperianos, pode ser definido de vrios modos.

    usualmente introduzido como limite da sucesso de termo geral unn

    n

    = +

    11

    ou

    como soma da srie 1

    0 nn ! , isto , como limite da sucesso

    vn =1+1+12!

    + ...+ 1n!

    ,

    sendo posteriormente usado em diferentes contextos.

    Do anteriormente exposto decorre apenas que o nmero e est compreendido entre

    2 e 3. Depois de se ter justificado a convergncia das sucesses unn

    n

    = +

    11

    e

    vn =1+1+12!

    + ...+ 1n!

    que definem e, legtimo utiliz-las para obter aproximaes

    deste nmero.

    A tabela seguinte evidencia que a convergncia da sucesso de termo geral

    1+1+ 12!

    + ...+ 1n!

    mais rpida do que a da sucesso de termo geral 11

    +

    n

    n

    . Com

    efeito, com a sucesso de termo geral

    1+1+ 12!

    + ...+ 1n!

    j se obtm, com n = 6 , um

  • 6

    valor aproximado de e com trs casas decimais exactas, enquanto que com a

    sucesso 11

    +

    n

    n

    no se obtm qulquer casa decimal exacta.

    n 11

    +

    n

    n

    1+1+ 12!

    + ...+ 1n!

    1 2,000 2,0

    2 2,250 2,5

    3 2,370 2,66

    4 2,441 2,708

    5 2,488 2,7166

    6 2,522 2,71805

    7 2,546 2,718253

    8 2,566 2,7182787

    9 2,581 2,71828152

    10 2,594 2,718281801

    A convergncia da sucesso de termo geral 11

    +

    n

    n

    muito lenta. Para n = 10000

    obtem-se um valor aproximado de e, 2,7181415927, com apenas 4 casas decimais

    exactas.

    No se deduza das consideraes anteriores que a calculadora um instrumento fivel

    para a determinao do limite de uma sucesso, depois de garantida a sua existncia..

    A utilizao de uma calculadora de preciso finita tem algumas limitaes que

    importa ter presentes. Embora do ponto de vista matemtico uma sucesso tome

    valores to prximos do seu limite quanto se queira, desde que se tome um termo de

    ordem suficientemente elevada, do ponto de vista da calculadora isto nem sempre

    observvel, no correspondendo, a partir de certa altura, o resultado da calculadora ao

    termo da sucesso.

  • 7

    Por exemplo, ao tentar calcular, com a TI 83, o nmero e atravs do limite da

    sucesso de termo geral 11

    +

    n

    n

    , e tomando valores para n iguais ou superiores a

    1014, obtem-se o valor 1 que se afasta do valor do limite.

    O que acontece resulta da preciso finita com que a mquina representa os nmeros.

    Com efeito, se n muito grande, o valor de 11

    +n

    deixa de ser rigorosamente

    representado pelos 14 dgitos que a TI 83 usa para representar os nmeros. Se n for

    maior do que 1014 a mquina passa mesmo a obter um valor numrico de 11

    +n

    como

    sendo 1, pelo que 11

    1 =

    +n

    n.

    .

    .