Teorema Π de Buckingham. Aplicación al

cálculo de pérdida de carga en tuberías

Mecánica del Continuo

16 de mayo de 2008

Introducción

Nos referimos al análisis dimensional como aquellos procedimientos que

basados en el análisis de las variables y parámetros que gobiernan un fenó-

meno, y más especí�camente en las magnitudes físicas que dichas variables

involucran, permiten encontrar relaciones entre las variables que forman pa-

rámetros adimensionales. El problema físico queda entonces descripto, con el

mismo grado de �delidad, por este nuevo conjunto reducido de parámetros

adimensionales. Enfatizamos la palabra reducido, dado que esta es una de

las ventajas del análisis dimensional. Al ser menor el número de variables o

parámetros, es posible organizar y expresar más e�cientemente los resultados

de la experimentación.

La otra gran ventaja es que permite identi�car con más facilidad, aque-

llos sistemas que son similares. Aunque el concepto de similaridad requiere

un análisis más profundo, 1 diremos que básicamente la similitud es lo que

permite que los resultados y mediciones obtenidos sobre un modelo a escala

sea extrapolables a prototipos de tamaño real.

Existen dos conceptos fundamentales en los cuales se basa el análisis

dimensional.

El primer concepto es en realidad un postulado o axioma y establece que

cualquier ecuación que represente en forma correcta un fenómeno físico, tiene

que ser invariante ante un cambio en el sistema de medición (unidades). Al-

gunos autores han mostrado que para que este axioma se cumpla, la ecuación

que representa el fenómeno debe ser un monomio como el siguiente

va11 v

a22 . . . van

N = 1 (1)

De acuerdo a esto, cualquier ecuación que represente un fenómeno físico

involucrando las variables/parámetros (v1, v2, v3, . . . , vN) se debería poder

expresar en la forma de (1).

El segundo concepto, es en realidad una consecuencia del postulado de

invariancia dimensional. Es decir, para que una ecuación que representa un

1Ver transparencias de la clase teórica

1

fenómeno físico sea invariante ante un cambio en el sistema de medida (o

unidades), la misma debe cumplir con el principio de homogeneidad dimen-

sional :

Si una ecuación verdaderamente expresa una relación apro-

piada entre variables en un fenómeno físico, entonces cada uno

de sus términos aditivos, deben necesariamente tener las mismas

dimensiones o unidades. Entonces, se dice que la ecuación es di-

mensionalmente homogénea.

Un ejemplo de este principio lo podemos ver en el balance macroscópico

de cantidad de movimiento

d

dt

∫V (t)

ρvdV +

∫Ae(t)

ρv(v −w) · ndA =

∫V (t)

ρgdV +

∫A(t)

t(n)dA (2)

La expresión anterior no es otra cosa que el principio del momento lineal

aplicado a un volumen de control arbitrario. Así vemos que cada término de

la ecuación tiene dimensiones o unidades de fuerza ([F ] = [ML/T 2]) y ade-

más tiene un signi�cado físico claro (fuerzas de volumen, fuerzas de contacto,

etc.). Supongamos que trabajamos en el sistema MKS y por lo tanto todos los

términos de la ecuación tendrán unidades de Newton (1[N ] = 1[Kgm/s2]).

Ahora si cambiamos al sistema CGS, donde la unidad de fuerza en la dy-

na (1[dyn] = 1[gr cm/s2] = 10−5[N ]), el factor 10−5 aparecerá en todos los

términos y por lo tanto se puede eliminar de la ecuación. De esta forma

la ecuación queda invariante ante un cambio de sistema de unidades. Con

el mismo concepto, si en una relación con términos aditivos y dimensional-

mente homogénea realizamos una operación que deje sin dimensiones uno

de sus términos, entonces necesariamente la misma operación eliminará las

dimensiones de cualquiera de los términos restantes de la ecuación.

Entendemos como magnitudes físicas fundamentales a la masa (M), la

longitud (L), el tiempo (T ), la temperatura (C), la carga eléctrica (Coulomb),

etc. En los problemas que habitualmente abordamos en este curso, basta con

2

considerar solamente las primeras tres. Por ejemplo, las unidades dimensio-

nales de la variable (o parámetro) densidad (ρ) se expresan a partir de las

magnitudes fundamentales masa y longitud, esto es [ρ] = [ML−3T 0].

Una herramienta muy valiosa en el análisis dimensional es el conocido

teorema Π de Buckingham. Mediante este teorema, es posible reducir el nú-

mero de parámetros o variables de los cuales depende un fenómeno físico,

mediante la generación de grupos adimensionales que involucran dichas va-

riables. Resulta particularmente valioso cuando no se conoce la ecuación que

gobierna un fenómeno y se busca encontrar dicha relación mediante la ex-

perimentación de laboratorio. En las secciones siguientes vamos a enunciar

el teorema, establecer un método para su aplicación y mostraremos su uti-

lización a través del ejemplo clásico e ilustrativo de la pérdida de carga en

tuberías de sección cilíndrica.

Teorema Π

Consideremos un fenómeno físico, el cual depende de N variables y/o

parámetros (v1, v2, v3, . . . , vN), las cuales a su vez involucran K magnitu-

des físicas fundamentales (o básicas). Supongamos que existe una relación

funcional entre las N variables, del tipo

F (v1, v2, v3, . . . , vN) = 0 (3)

Luego, el teorema Π nos asegura que es posible representar el mismo

fenómeno físico mediante otra relación funcional equivalente, que depende de

m = N −K parametros adimensionales πi, es decir, de un número reducido

de parámetros

φ(π1, π2, π3, . . . , πm) = 0 (4)

Es importante aclarar que el teorema no aporta ninguna información acer-

ca de la relación funcional F o φ. Es decir que si no se conoce la ecuación que

gobierna el fenómeno, mediante la aplicación del teorema no podremos de-

terminarla. El mismo sólo nos mostrará que grupos adimensionales se pueden

3

formar a partir de las variables dimensionales originales.

La metodología para encontrar estos πj grupos adimensionales se puede

detallar así:

Seleccionar K de las variables vi dimensionales originales, que llama-

remos variables núcleo. Entre las K variables deben estar contenidas

las K magnitudes físicas fundamentales y no se debe poder formar un

grupo adimensional al realizar un producto de potencias entre ellas.

Cada grupo adimensional πj se formará como un producto de potencias

entre las K variables núcleo y una (y solo una) de las restantes m

variables físicas no usadas.

Como el producto de potencias de todas las variables del grupo debe

resultar en una cantidad sin dimensiones, las potencias incógnitas a

la que está elevada cada variable dimensional se determinan resolvien-

do un sistema algebraico, planteado con la condición que la suma de

potencias de cada magnitud física debe ser nula.

Esta metodología que, en primera instancia, parece bastante críptica y

complicada, es muy sencilla de aplicar y resultará clara al resolver el si-

guiente ejemplo. Para completar la comprensión de porqué se aplica dicha

metodología, se debería ver la demostración del teorema que se incluye en el

Apéndice.

Cálculo de la pérdida de carga en tuberías cilín-

dricas

Consideremos un tubo recto de sección cilíndrica (diámetro D) y longitud

l, por el cual circula en estado estacionario y con velocidad media V , un �uido

de densidad ρ y viscosidad µ, gracias a una diferencia de presión entre las

secciones de entrada y salida (∆p = pe−ps). Mediante algunos experimentos,

se pudo determinar que existe una relación funcional el gradiente de presión

4

(de�nido como ∆p/l), las variables anteriores y además la rugosidad de la

pared del tubo ε. Es decir, existe alguna F desconocida tal que

F (∆p/l, V, ρ, µ,D, ε) = 0 (5)

Supongamos que deseamos realizar experimentos para determinar la for-

ma de dicha función. En la forma como está planteada la relación, si �jamos

una variable y cambiamos cada una de las otras en forma independiente,

(digamos en 10 valores por cada una, es fácil ver que necesitaríamos 105

experimentos para encontrar la función F . Una tarea claramente imposible,

pero a la vez innecesaria.

Como hemo propuesto, podemos aplicar al teorema Π para encontrar un

número reducido de parámetros adimensionales, en base a los cuales se podrá

conducir una experimentación más razonable y ordenada. Para este caso

tenemos N = 6 y K = 3 (masa, longitud y tiempo), con lo cual podremos

encontrar m = 3 parámetros o grupos adimensionales.

Siguiendo con los pasos de aplicación del teorema Π, primero expresamos

todos los parámetros y variables en función de las unidades fundamentales

involucradas

[ρ] =[ML−3T 0

][µ] =

[ML−1T−1

][∆p/l] =

[ML−2T−2

][V ] =

[M0LT−1

](6)

[D] =[M0LT 0

][ε] =

[M0LT 0

]Ahora seleccionamos m = 3 variables núcleo que contengan las 3 magni-

tudes fundamentales y que no formen un grupo adimensional al multiplicarlas

entre sí. Por simple inspección, vemos que el grupo (ρ, V, d) cumple con di-

chos requisitos. Obviamente este no es el único grupo posible, por ejemplo

(ρ, V, ε) también lo cumple y otros también. No obstante, dependiendo del

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grupo núcleo elegido, será la forma que adopten los parámetros adimensio-

nales y aquí es donde la práctica y pericia es importante. Tomando el grupo

(ρ, V, d) entonces, ahora formaremos los 3 grupos adimensionales de la si-

guiente forma

π1 = ρx1V y1Dz1µ

π2 = ρx2V y2Dz2∆p/l (7)

π3 = ρx3V y3Dz3ε

En la expresión anterior, los exponentes (xi, yi, zi) son incógnitas que

se deben determinar de tal forma que cada producto de un resultado sin

dimensiones. Para ello, debemos plantear y resolver un sistema de ecuaciones

para cada parámetro adimensional, el cual consistirá de tres ecuaciones, una

por cada magnitud física fundamental. El caso del número adimensional π3 es

obvio que la única solución posible es (xi, yi, zi) = (0, 0,−1). De esta forma,

el parámetro quedará π3 = ε/D, el cual se conoce como rugosidad relativa

εr y es un parámetro fundamental para el cálculo de pérdida de carga en

tuberías. Desarrollemos con más detalle el procedimiento para el caso del

parámetro π1. Si escribimos los sistemas de ecuaciones para las magnitudes

físicas, tendremos

π1 = ρx1V y1Dz1µ⇒

⇒ [π1] =[ML−3T 0

]x1[M0LT−1

]y1[M0LT 0

]z1[ML−1T−1

](8)

Como el lado izquierdo de la ec. 8 no tiene dimensiones y las magnitu-

des físicas fundamentales son independientes entre sí, se deben veri�car las

siguientes tres relaciones en forma simultánea

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Para M : 0 = x1 + 1

Para L: 0 = −3x1 + y1 + z1 − 1 (9)

Para T : 0 = −y1 − 1

La solución del sistema es (xi, yi, zi) = (−1,−1,−1) , con lo cual el

parámetro adimensional queda π1 = µ/(ρV D) = 1/Re, donde Re es sin

duda el grupo adimensional más conocido de la mecánica de �uidos y se

lo conoce como número de Reynolds. Este número relaciona las fuerzas de

inercia con las viscosas en un problema dado y para el caso particular de

�ujo en tuberías cilíndricas, si Re < 2300 el régimen del �ujo será laminar,

mientras que para Re mayores el �ujo será turbulento.

Con un procedimiento equivalente al previo, el parámetro adimensional

restante queda π2 = (∆p/l)D/(ρV 2).

Luego, el teorema nos asegura que existe una nueva relación funcional

φ(1/Re, (∆p/l)D/(ρV 2), εr) = 0 (10)

que representa el fenómeno físico de manera equivalente a la función F , pero

que obviamente depende de menos parámetros. Para poner la relación (10)

en una forma más familiar y útil, podemos pensar que así como existe φ,

también existe una función ψ con la siguiente forma

(∆p/l)D/(ρV 2) = ψ(Re, εr) (11)

Si de la ec. (11) despejamos ∆p, dividimos ambos miembros por ρg y

multiplicamos y divimos por 2 el lado derecho, podemos reescribir la misma

como

hf = ∆p/(ρg) = 2ψ(Re, εr)︸ ︷︷ ︸f(Re,εr)

V 2/(2g)(l/D) (12)

En la expresión anterior, la igualdad hf = ∆p/(ρg) se obtiene muy fá-

cilmente realizando un balance de energía entre las secciones de entrada y

7

salida de un tubo horizontal, considerando que el �ujo se encuentra en estado

estacionario y que no existen bombas (o turbinas) en el tramo considerado.

Es decir, la caida de presión se produce debido a la pérdida viscosa por fric-

ción. La nueva variable f = f(Re, εr) es el conocido factor de fricción y para

el cálculo del mismo existen varios métodos. Sin duda, el método más famo-

so para su obtención es el denominado diagrama de Moody, que puede ser

consultado en cualquier libro de mecánica de �uidos básica. Este diagrama

contiene los valores del factor de fricción obtenidos el forma experimental en

función del Re, para diferentes rugosidades relativas del material de la tube-

ría. Vemos así que con la ayuda del análisis dimensional, fue posible reducir

a la mitad el número de parámetros del problema original y así expresar en

un sólo y elegante grá�co, un volumen enorme de información. Gracias al

principio de similitud, sistemas muy diferentes entre sí (diferentes tuberías,

caudales, líquidos, etc.) tendrán el mismo factor de fricción, si las rugosida-

des relativas y el Re de todos ellos coinciden. Por lo tanto, cada punto de

la grá�ca de Moody no corresponde a un sólo resultado físico posible, sino a

muchos.

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Apéndice: Demostración del teorema Π

Consideremos una función F que expresa en forma adecuada la relación

entre las N variables y parámetros que gobiernan un fenómeno físico

F (v1, v2, . . . , vN) = 0 (13)

Mediante la palabra adecuada, damos a entender que para la ecuación

se veri�ca el principio de homogeneidad dimensional y por lo tanto todos

sus términos aditivos tienen las mismas dimensiones físicas fundamentales.

Supongamos que el número de dichas dimensiones fundamentales es K y

que las dimensiones de cada variable vj se puede expresar respecto a las

dimensiones fundamentales como

[vj] = [aj1 aj2 . . . ajK ] (14)

Esta es una forma compacta y uni�cada de representar las unidades de

un variable particular. Es decir, el coe�ciente ajk es la potencia a la que

se encuentra elevada la magnitud fundamental k en las dimensiones del pa-

rámetro vj.2 Luego, en la ec. 14 si variamos j = 1 . . . N formaremos una

matriz de coe�cientes A = 〈ajk〉, siendo cada columna j la representación

dimensional de la variable vj con respecto a la base fundamental de tamaño

K; supongamos también que el rango de dicha matriz es r ≤ K. Entonces,

la hipótesis establece que la ec. 13 es reducible a la forma

φ(π1, π2, . . . , πN−r) = 0 (15)

siendo π1, . . . , πN−r, (N−r) monomios adimensionales formados por pro-

ductos de la potencias de las variables vj, tomados como se verá durante la

demostración del teorema.

2Por ejemplo, la densidad [ρ] =[ML−3T 0

]tiene la representación (coe�cientes) [ρ] =

[1 − 3 0] en el sistema fundamental [MLT ].

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Demostración

Formemos primero la matriz de coe�cientes de las variables con respecto

a la base de K magnitudes fundamentales del problema

A = 〈ajk〉 =

a11 a12 . . . a1r |. . . a1K

a21 a22 . . . a2r |. . . a2K

......

......

......

ar1 ar2 . . . arr |. . . arK

−−− −−− −−− −−− |. . . ......

......

......

...

aj1 aj2 . . . ajr . . . ajK

......

......

......

aN1 aN2 . . . aNr . . . aNK

(16)

Como se mencionó antes, la ec. 16 es una forma compacta de representar

el hecho de que las unidades de cada variable vj se pueden representar con

respecto a las unidades fundamentales o base de acuerdo con el vector �la de

coe�cientes aj = ajkek, donde hemos usado notación indicial para indicar la

sumatoria para k = 1, . . . , K y ek es el k-ésimo versor de la base ortonormal

estándar.

Luego, dada la hipótesis que la matriz tiene rango r, debe existir una

submatriz de orden r, que podría ser la indicada en la ec. 16 mediante una

permutación adecuada de los índices. Entonces, cualquier �la j > r de la

matriz -en total habrá (N − r)- se podra escribir como una combinación

lineal de las �las i ≤ r de la submatriz r × r, esto es

aj = λjiai

ajkek = λjiaikek

ajk = λjiaik

ajk = λj1a1k + λj2a2k + . . .+ λjrark (17)

10

siendo los λji constantes y con k = 1, . . . , r. El signi�cado de la ec. 17

es muy importante, ya que indica que el siguiente producto de variables será

adimensional

πj = vjv−λj1

1 v−λj2

2 . . . v−λjrr (18)

Por lo tanto, de aquí resulta claro como se deberán formar los parámetros

adimensionales y su explicación.

Dado que por hipótesis la ecuación es dimensionalmente homogénea, si

en la ec. 13 agrupamos las variables originales de tal forma que aparezcan los

monomios πj dados por 18, la ecuación quedará adimensional y se eliminará

la dependencia con las variables vj originales. De esta forma, se tendrá una

nueva relación que solo dependerá de los πj grupos adimensionales.

φ(π1, π2, . . . , πN−r) = 0 (19)

Conforme a lo demostrado, cada monomio o grupo adimensional involucra

r+1 variables, correspondientes a aquellas variables cuyos coe�cientes forman

una submatriz de rango r -no reducible- de la matriz del sistema completo, y

uno de las restantes (N − r) variables. De esta manera, la implentación prác-

tica del teorema queda claramente establecida. Como aclaración �nal, en esta

demostración se ha considerado por generalidad que el rango de la matriz del

sistema completo es r ≤ K; no obstante, en la práctica nos encontraremos

con que r = K, ya que al tener K magnitudes fundamentales e indepen-

dientes, el tamaño de la base o rango de la matriz debe ser necesariamente

r = K.

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