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Teorema dei residui: applicazioni

Docente:Alessandra Cutr

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

Richiamo: Teorema dei residui

Teorema dei Residui:Sia f H(A \ {z1, z2, . . . zN}),z1, z2, . . . zN singolarita isolate per f e sia una curva chiusa,semplice, positivamente orientata che circonda le singolaritaisolate z1, z2, . . . , zk , allora

f (z)dz = 2i

ki=1

Res(f , zi )

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

Esercizio:Calcolare

I =

z2 2z(z + 1)2(z2 + 4)2

dz =3

2e it , t [0, 2]

f ha singolarita isolate in z0 = 1, z1 = 2i , z2 = 2iLe singolarita z1 = 2i , z2 = 2i non sono circondate da mentre z0 lo e ( e la circonferenza di centro lorigine e raggio32 )

Pertanto: I = 2iRes(f ,1). Essendo z0 = 1 un polo doppio,

Res(f ,1) = limz1(

z22z(z2+4)2

)= limz1

(2z2)(z2+4)4z(z22z)(z2+4)3

= 8125

Quindi

I =16i

125

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

Applicazione teorema dei residui al calcolo di integrali difunzioni trigonometriche

Supponiamo di voler calcolare

I =

20

1

2 + sin tdt

lintegrando e una funzione trigonometrica.lintegrale e sullintervallo [0, 2].

Con la sostituzione z = e it ,

lintervallo [0, 2] la curva chiusa = e it per t [0, 2](circonferenza di centro lorigine e raggio unitario) percorsa insenso antiorariola funzione integranda, tenendo conto che:

sin t =e it eit

2i=

1

2i[z 1

z] cos t =

e it + eit

2=

1

2[z +

1

z]

diventa1

2 + sin t=

2iz

4iz + z2 1A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

Dunque

I =

2iz

4iz + z2 11

izdz =

2

z2 + 4iz 1dz

applicando il teorema dei Residui e tenendo conto chez2 + 4iz 1 = (z + 2i i

3)(z + 2i + i

3) e che solo

z1 = 2i + i

3 B1(0) (dunque circondato da ) si ha

I = 2iRes(2

z2 + 4iz 1, z1) =

23 R!

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

Applicazione teorema dei residui al calcolo di integraliimpropri

Come primo esempio, supponiamo di voler calcolare +

1

x4 + 1dx

Osserviamo che +

1

x4 + 1dx = lim

R+

RR

1

x4 + 1dx

Lidea e applicare il Teorema dei residui per calcolare questointegrale. Gli ingredienti sono:

Considerare una funzione definita sul piano complesso cheabbia qualche legame con f (x) = 1

x4+1

Considerare una curva chiusa che abbia qualche legame conlintervallo [R,R]

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

Per il primo punto:

x z f (z) := 1z4+1

e un prolungamento della funzioneintegranda al piano complesso C = [R,R] {Re it , t [0, ]} e lintervallo [R,R]concatenato con una semicirconferenza di centro lorigine eraggio R (dunque una curva chiusa) orientata positivamente

calcolare con il teorema dei residui

I :=

f (z)dz

e osservare che

I =

f (z)dz =

RR

f (x)dx +

C+R

f (z)dz

dove C+R = {Reit , t [0, ]} e la semicirconferenza di centro

lorigine e raggio R

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

OSS1:Visto che si deve fare tendere R +, si puoscegliere R sufficientemente grande. In particolare osserviamoche da un certo punto in poi I =

f (z)dz non dipende piu

da R (basta scegliere R in modo che tutte le singolarita di fche si trovano nel semipiano superiore Im(z) > 0 sianocircondate da ).

OSS2: Se

limR+

C+R

1

z4 + 1dz = 0 (1)

R

1

x4 + 1dx = I

Vediamo se (1) e vera: 11 + z4 1R4 1

C+R

1

1 + z4dz

1R4 1R 0 R (oss: lungh(C+R ) = R)

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

Allora calcoliamo

I =

1

z4 + 1dz

con il teorema dei residui, scegliendo R > 1 in modo che giriintorno a tutte le singolarita di 1

z4+1che si trovano su Im(z) > 0.

Le singolarita di 1z4+1

sono infatti le quattro radici quarte di1 (tutte poli semplici)

zk = ei(

4+k

2) k = 0, 1, 2, 3

e quelle che verificano Im(zk) > 0 sono

z0 = ei

4 =1 + i

2z1 = e

i34 =1 + i

2

I residui in queste due singolarita sono:

Res(1

z4 + 1, z0) =

1

(z4 + 1)|z0

=1

4z30= 1

4z0

Res(1

z4 + 1, z1) =

1

(z4 + 1)|z1

=1

4z31= 1

4z1

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Quindi

1

z4 + 1dz = 2i(1

4z0

1

4z1) =

2

e R

1

x4 + 1dx =

2 R!

Osserviamo che la funzione integranda non aveva singolaritasullasse reale (per questo la curva (che non deve toccaresingolarita di f (z)) era OK

Abbiamo potuto prolungare f (x) a f (z) perche f (z) verifica(1)

Perche (1) sia verificata e sufficiente che

supC+R

|f (z)|R 0 R + (2)

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

In particolare dunque e sufficiente che

sup|z|=R

|f (z)|R 0 R + (3)

In particolare questo avviene se

|f (z)| = O( 1|z |

) |z | + con > 1

Questo vale per esempio se vogliamo calcolare

RP(x)Q(x)dx con P,Q

polinomi tali che Q(x) 6= 0 per ogni x R e grado Q gradoP + 2: In tal caso scegliendo f (z) = P(z)Q(z) , (1) e vera

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

OSS:se (2) non vale MA vale:

supCR

|f (z)|R 0 R + (4)

dove CR e la semicirconferenza di centro lorigine e raggio R che sitrova nel semipiano Im(z) < 0 cioe CR = Re

it t [, 2], si puoapplicare il teorema dei residui alla curva

= [R,R] (CR )

(che e percorsa in senso ORARIO) e, per (4) si ha

limR+

CR

f (z)dz = 0 (5)

e procedere come nellesempio precedente, considerando lesingolarita di f (z) che si trovano sul semipiano Im(z) < 0

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

Altro esempio di applicazione teorema dei residui al calcolodi integrali impropri

Dimostrare che +0

cos(3x)

x2 + 1dx =

2e3

la funzione integranda e pari dunque +0

cos(3x)

x2 + 1dx =

1

2

R

cos(3x)

x2 + 1dx

Poiche lintegrale improprio esiste,R

cos(3x)

x2 + 1dx = lim

R+

RR

cos(3x)

x2 + 1dx

lidea e applicare il Teorema dei residui per calcolare questointegrale.

Non si puo considerare f (z) = cos(3z)z2+1

come estensione di f (x) alpiano C come nel caso precedente perche |f (z)| +esponenzialmente quando z tende a infinito sullasse immaginario.

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

quindi tale f (z) non verifica una condizione analoga a (1) ne (5)anzi gli integrali in (1) (per tale f ) e (5) addirittura divergono perR +. Invece osserviamo che cos(3x) = Re(e3ix) quindipossiamo considerare

R

e3ix

x2 + 1dx = lim

R+

RR

e3ix

x2 + 1dx

e poi prenderne la parte reale. Consideriamo

f (z) =e3iz

z2 + 1

f (z)ha singolarita in z0 = i , z1 = i (entrambe fiori dellassereale)

f (z) soddisfa (2) MA NON soddisfa (4) poiche

|f (z)| = eRe(3iz)

|z2 + 1|=

e3Im(z)

|z2 + 1| 1

R2 1|z | = R > 1 Im(z) > 0

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

se = [R,R] {Re it , t [0, ]} e lintervallo [R,R]concatenato con la semicirconferenza di centro lorigine eraggio R in Im(z) > 0

limR+

C+R

e3iz

z2 + 1dz = 0 (6)

Dunque, se scegliamo R > 1,

I :=

e3iz

z2 + 1dz =

RR

e3ix

x2 + 1dx +

C+R

e3iz

z2 + 1dz

abbiamo (per il teorema dei residui)

I = 2iRes(e3iz

z2 + 1, i) = e3 R > 1

e per (6), R

e3ix

x2 + 1dx = e3

da cui si ottiene la tesi (visto che abbiamo un risultato reale edunque la sua parte reale coincide con il numero stesso)

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

Applicazione del teorema dei residui al calcolo ditrasformate di Fourier

Abbiamo trovato tra laltro nel precedente esempio il calcolo dellatrasformata di Fourier della funzione 1

1+x2in = 3. Se volessimo

utilizzare il teorema dei residui per il calcolo della trasformata (chegia conosciamo mediante la formula di dualita), dobbiamo calcolare

f () =

R

1

1 + x2eixdx = lim

R+

RR

1

1 + x2eixdx

Scegliendo R > 1 e

f (z) =eiz

z2 + 1

|f (z)| = eRe(iz)

|z2 + 1|=

eIm(z)

|z2 + 1| 1

R2 1|z | = R Im(z) < 0

Quindi, se > 0, f soddisfa (4) altrimenti, se 0, f soddisfa(2).

A. Cutr 16-12-2013 Metodi Matematici per lingegneriaIng. Gestionale

Poiche f e reale e pari, anche f e reale e PARI calcoliamo f per 0 e poi, prolungando in modo