Teorema de LiouvilleRodrigo Vargas

1. Sea f(z) entera con f(1) = 2f(0). Pruebe que para todo ε > 0 existez con |f(z)| < ε.

2. Sea f : C → C analıtica no constante entonces su recorrido debe serdenso en C.

3. Suponga que f es una funcion entera que tiene periodos 1 y i es decir

f(z + 1) = f(z)

f(z + i) = f(z)

cualquiera sea z ∈ C, muestre que f debe ser constante.

4. Sea g una funcion entera tal que 5 ≤ |g(z)| para todo z ∈ C, ¿quepuede decir de tal g?

5. ¿Si f es entera y acotada en el eje real tiene que ser constante?

6. ¿Puede existir una funcion biyectiva y holomorfa f : D → C con inversaholomorfa?

7. Sea f entera con Re f(z) ≥ 0 muestre que f es constante.

8. Si f(z) es entera, |f ′′(z) − 3| ≥ 0, 001 para todo z ∈ C, f(0) = 0,f(1) = 2, f(−1) = 4. ¿Cuanto vale f(i)?

9. Si f(z) es entera y f(z) 6= t2 para todo z ∈ C y para todo t ∈ R, pruebeque f es constante.

10. Sean f y g funciones enteras tales que

|f(z)| ≤ |g(z)|, ∀ z ∈ C

¿Que conclusion se puede obtener?

11. Sean f(z) y g(z) dos funciones enteras tal que, para todo z ∈ C,Re f(z) ≤ k Re g(z) para alguna constante real k. Demuestre queexisten constantes a y b tal que

f(z) = ag(z) + b

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1. Sea f(z) entera con f(1) = 2f(0). Pruebe que para todo ε > 0 existez con |f(z)| < ε.

Solucion: Supongamos que existe ε > 0 tal que para todo z se tieneque

|f(z)| ≥ ε.

Consideremos la funcion g : C → C dada por

g(z) =ε

f(z)

entonces g es entera. Ademas, |g(z)| ≤ 1, por el Teorema de Liouville,g es constante, lo que implica que f es constante, es decir, f(z) = cpara todo z ∈ C. Luego

c = f(1) = 2f(0) = 2c⇒ c = 0

pero |f(z)| ≥ ε > 0 lo cual es una contradiccion.

2. Sea f : C → C analıtica no constante entonces su recorrido debe serdenso en C.

Solucion: Supongamos que Ω = f(C) no es denso, entonces existeuna bola B(a, r) tal que f(z) /∈ B(a, r), es decir

|f(z)− a| ≥ r, ∀ z ∈ C

Definamosg(z) =

r

f(z)− a

entonces g es entera y |g(z)| ≤ 1, por el teorema de Liouville, g esconstante lo que implica que f es constante, lo que es una contraccion.

3. Suponga que f es una funcion entera que tiene periodos 1 y i es decir

f(z + 1) = f(z)

f(z + i) = f(z)

cualquiera sea z ∈ C, muestre que f debe ser constante.

Solucion: Consideremos

R = z ∈ C : 0 ≤ Re z, Im z ≤ 1

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entonces para cada z ∈ C existe w ∈ R tal que f(z) = f(w). Enefecto, dado z = x + iy existe w = (x − [x]) + i(y − [y]), entonces si[x] = n, [y] = m ∈ Z tenemos que

f(w) = f((x− [x]) + i(y − [y]))

= f(z − (1 + · · ·+ 1)︸ ︷︷ ︸n−veces

− (i+ · · ·+ i)︸ ︷︷ ︸m−veces

= f(z)

y obtenemos que

|f(z)| = |f(w)| ≤√

2, ∀ z ∈ C

es decir, f es acotada, por el teorema de Liouville f es constante.

4. Sea g una funcion entera tal que 5 ≥ |g(z)| para todo z ∈ C, ¿quepuede decir de tal g?

Solucion: Consideremos ϕ(z) =5

g(z)entonces ϕ es entera y

|ϕ(z)| = 5

|g(z)|≤ 1, ∀ z ∈ C

es decir, ϕ es acotada. Por el teorema de Liouville, ϕ es constante

ϕ(z) = c⇒ g(z) =5

c

es decir, g es constante.

5. ¿Si f es entera y acotada en el eje real tiene que ser constante?

Solucion: Consideremos f(z) = sin(z) entonces f : C → C es en-tera y ademas |f(x)| = | sin x| ≤ 1 para todo x ∈ R, pero f no esconstante.

6. ¿Puede existir una funcion biyectiva y holomorfa f : D → C con in-versa holomorfa?

Solucion: Supongamos que existe f : D → C biyectiva analıticacon inversa analıtica, entonces g = f−1 : C → D es entera y ademas|g(z)| ≤ 1, es decir, g es acotada. Por el teorema de Liouville, g esconstante, esto es, f−1(z) = c, para todo z ∈ C, lo que contradice labiyectividad de f . Por lo tanto, no existe una tal f .

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7. Sea f entera con Re f(z) ≥ 0 muestre que f es constante.

Solucion: Consideremos las transformaciones

T (z) = iz, ϕ(z) =z − i

z + i

Luego, ψ(z) = (ϕ T f)(z) es una funcion entera con

|ψ(z)| ≤ 1 ⇒ ψ es acotada

Por el teorema de Liouville, ψ es acotada, es decir

ψ(z) = c⇒ (ϕ T f)(z) = c⇒ f(z) = (T−1 ϕ−1)(c) = constante

para todo z ∈ C.

8. Si f(z) es entera, |f ′′(z) − 3| ≥ 0, 001 para todo z ∈ C, f(0) = 0,f(1) = 2, f(−1) = 4. ¿Cuanto vale f(i)?

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Solucion: Consideremos

g(z) =0, 001

f ′′(z)− 3

entonces g es entera, ya que f lo es y |g(z)| ≤ 1. Por el teorema deLiouville, g es constante, lo cual implica que f ′′(z) es constante entonces

f(z) = az2 + bz + c

Como f(0) = 0, f(1) = 2, f(−1) = 4 obtenemos que f(z) = 3z2 − z.Por lo tanto, f(i) = −3− i.

9. Si f(z) es entera y f(z) 6= t2 para todo z ∈ C y para todo t ∈ R, pruebeque f es constante.

Solucion: Si f(z) 6= t2 para todo z ∈ C y para todo t ∈ R, entonces fmapea C en C menos el eje real positivo incluido el cero.

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Entonces

|ϕ(z)| =

∣∣∣∣∣e12

log f(z) − i

e12

log f(z) + i

∣∣∣∣∣ ≤ 1

y ϕ es entera, por el teorema de Liouville ϕ es constante lo que implicaque f es constante.

10. Sean f y g funciones enteras tales que

|f(z)| ≤ |g(z)|, ∀ z ∈ C

¿Que conclusion se puede obtener?

Solucion: Consideremos ϕ : C → C dada por

ϕ(z) =f(z)

g(z)

como |f(z)| ≤ |g(z)| para todo z ∈ C, si g(z0) = 0 entonces f(z0) = 0y

limz→z0

ϕ(z) = limz→z0

(z − z0)f1(z)

(z − z0)g2(z)=f1(z0)

g2(z0)

y ϕ tiene singularidades removibles, luego es posible tornar ϕ entera,ademas

|ϕ(z)| =∣∣∣∣f(z)

g(z)

∣∣∣∣ ≤ 1, ∀ z ∈ C

por el teorema de Liouville, ϕ es constante lo que implica

f(z) = cg(z), ∀ z ∈ C

11. Sean f(z) y g(z) dos funciones enteras tal que, para todo z ∈ C,Re f(z) ≤ k Re g(z) para alguna constante real k. Demuestre queexisten constantes a y b tal que

f(z) = ag(z) + b

Solucion: Consideremos

ϕ(z) = f(z)− kg(z)

entonces Re(ϕ(z)) = Re(f(z))− k Re(g(z)) ≤ 0, luego

|eϕ(z)| ≤ 1 ∀ z ∈ C

Ademas, eϕ(z) es entera, por el teorema de Liouville, eϕ(z) = c =constante lo que implica ϕ(z) = log c entonces

f(z) = kg(z) + log c = ag(z) + b

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