Tensiones y ko

Tensiones. Concepto de K0. Aplicación a los túneles

Luis OrtuñoUniversidad Politécnica de MadridUriel & Asociados, [email protected]

Master AETOS. Tensiones y K0 [email protected] Prof. Luis Ortuño Abad

� Índice de huecos (poros)

� Partículas sólidas: γγγγs=Gγγγγw

� Pesos específicos

� Seco: γγγγd

� Saturado: γγγγsat

� Aparente: γγγγap

� Humedad:

� Grado de saturación:

AireAgua

Sólido

(Volumen=1)

PROPIEDADES ELEMENTALES. DEFINICIÓN DE ESTADO (RECORDATORIO)


Ejemplo: Deducir γap a partir de γd y w

)1()1(111

wwee

w

e

ed

ssswwsap +=+

+=

++=

++= γγγγγγγ

⇒=⇒=w

sw

s

ww we

ew

γγ

γγ

Ejemplo: Sr en función de w

Ge

w

e

w

e

eS

w

swr ===

γγ

A partir del modelo se pueden obtener fácilmente un as variables en función otras

swws

ww wee

w γγγγ =⇒=

EJERCICIO A RESOLVER POR LOS ALUMNOS


El terreno, bajo la acción de su propio peso y de los esfuerzos que le transmiten las estructuras, se encuentra enun cierto estado tensional. En cada punto P del terreno hay un cierto estado de tensiones. Si en dicho punto seconsidera un pequeño volumen paralelepipédico, en cada cara del paralelepípedo, de área δA, actuará unacierta fuerza, δF, proveniente del suelo que le circunda.

TENSIONES Y CÍRCULO DE MOHR (RECORDATORIO)

Se define como tensión sobre el plano π enel punto P al valor límite de δF/δA (cuandoel área δA tiende a 0):

dA

dFFlimtensión

0A=

Αδδ=

→δ

En Mecánica del Suelo y de las Rocas se suelen tomar como positivas las compresiones (tensiones o deformaciones). Por ello, la definición de la ecuación anterior suele realizarse introduciendo un signo (-):

dA

dFFlimtensión

0A−=

Αδδ−=

→δ

dAdNN

lim0A

=Αδ

δ=σ→δ dA

dTTlim

0A=

Αδδ=τ

→δ

En general, el vector δF presentará una cierta inclinación al plano π, pudiendo descomponerse en una componente normal δN y una componente tangencial δT al mismo. Aplicando la definición de tensión anterior para las componentes de la fuerza δF, se obtiene la definición clásica de tensión normal (σ) y tensión tangencial (τ):


CONVENIO DE SIGNOS PARA EMPLEO ANALÍTICO (“2D para simplifi car”)En la figura se muestra cómo se nombran las tensiones normales y tangenciales. En cuanto a susigno (para cálculo analítico), el convenio es el siguiente:

Tensiones normales : Se consideran positivascuando son de compresión

Tensiones tangenciale s. “Mirando desde elorigen de coordenadas”, sólo se ven las queactúan sobre las caras del elemento máspróximas a dicho origen. Se consideranpositivas si las vemos “alejarse” de él

Para que el elemento se encuentre en equilibrio es necesario que se cumpla el equilibrio de fuerzas y de momentos. Del equilibrio de momentos alrededor de los ejes x ó y se deduce:

yxxy τ=τEl estado tensional queda representado por un tensor simétrico de dos dimensiones

σττσ

=σyxy

xyx



EL CÍRCULO DE MOHREn la figura se representan las tensiones de un elemento en un diagrama cartesiano (σ, τ). Por un lado σa y τab,representativas de planos perpendiculares al eje (a), y por otro σb y τab representativas de tensiones en planosperpendiculares al eje (b). Tendremos así dos puntos, situados uno a cada lado y a la misma distancia del ejehorizontal, ya que las tensiones tangenciales en dos caras perpendiculares entre sí son iguales y de signocontrario

Si ahora giramos las caras del elemento, es decir, si elegimos otras orientaciones de caras perpendiculares entre sí y hacemos lo mismo, tendremos en el gráfico otros dos puntos. Y si lo hacemos para muchas orientaciones tendremos muchos puntos, pero no dispersos de cualquier manera por el gráfico.

Todos los puntos representativos de las tensiones normales y tangenciales en los distintos planos que pasan por un punto del terreno se sitúan en un círculo, llamado CÍRCULO DE MOHR



CÍRCULO DE MOHR. CRITERIOS DE REPRESENTACIÓN (válido sólo p ara el dibujo)

� Tensiones normales: Se dibujarán en el sentido positivo del eje σ si son de compresión.

� Tensiones tangenciales: Se dibujarán positivas (sentido positivo del eje τ) si la pareja de tensiones τ queactúan sobre dos planos paralelos del elemento define un par de fuerza cuyo sentido de giro resultaantihorario.



EJEMPLO: Representar mediante círculos de Mohr los estados tensionales siguientes:



EL POLO DE PLANOS:

Sea un estado tensional definido segúnun círculo de Mohr y sean (σ,τ) lastensiones correspondientes a un plano π,representadas por un punto A en elcírculo. Si se traza desde A una rectaparalela al plano π, ésta intersectará alcírculo de Mohr en un punto P. El punto Pasí obtenido es único (es siempre elmismo cualquiera que sea el planoconsiderado), y se denomina Polo.

Corolario : si conocemos el polo (P) de uncírculo de Mohr de tensiones y deseamosconocer las componentes (σ,τ) de la tensiónque actúa sobre un plano determinado deorientación conocida, basta con trazar unaparalela a dicho plano desde P. El punto deintersección de la recta anterior con elcírculo de Mohr será el punto representativode las componentes buscadas.



TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALES

Una simple mirada al círculo de Mohr permite darse cuenta de que hay dos puntos del mismo paralos que la tensión tangencial es nula (τ=0). Son los dos puntos en los que el círculo de Mohr cortaal eje σ .

Corresponden, como los demás, a ciertas orientaciones de planos, pero en este caso tienen laparticularidad de que sobre ellos la tensión tangencial es nula (τ=0). Sólo presentan tensionesnormales (σ), que además son la máxima y la mínima para el estado tensional dado.

Esas dos orientaciones privilegiadas de planos se conocen como planos principales . Lastensiones normales que actúan sobre ellos se denominan "tensiones principales ".



EJEMPLO: Determinar, dado el estado tensional de la figura, las magnitudes yorientaciones de las tensiones principales



EJEMPLO: Determinar en el caso anterior las tensiones tange nciales máximas y losplanos sobre los que actúan




Una superficie natural o de una excavación, ya sea un talud o un túnel, no tiene tensionestangenciales, de forma que es plano principal.

TENSIONES Y CÍRCULO DE MOHR



Una discontinuidad “abierta” no tiene tensiones tangenciales, de forma que es plano principal.

TENSIONES Y CÍRCULO DE MOHR


LOS SUELOS SATURADOS Y LAS TENSIONES. POSTULADO DE TERZAGHI (1936). (RECORDATORIO)

“Las tensiones en cualquier punto de un plano que atraviesa u na masa de suelo pueden sercalculadas a partir de las tensiones principales totales σσσσ1, σσσσ2,σσσσ3 que actúan en ese punto. Silos poros del suelo se encuentran rellenos de agua bajo una pr esión u, las tensionesprincipales totales se componen de dos partes. Una parte, u, llamada presión neutra opresión intersticial, actúa sobre el agua y sobre las partíc ulas sólidas en todas direccionesy con igual intensidad. Las diferencias :

σσσσ’1 = σσσσ1–u, σσσσ’2 = σσσσ2–u, σσσσ’3 = σσσσ3–u

representan un exceso de presión sobre la presión neutra u, y actúan exclusivamente en lafase sólida del suelo. Estas fracciones de las tensiones pri ncipales totales se denominantensiones efectivas.

Cualquier efecto medible debido a un cambio de tensiones, ta l como la compresión, ladistorsión o la modificación de la resistencia al corte de un suelo, es debido exclusivamentea cambios en las tensiones efectivas”.

DEFINICIÓN DE PRESIÓN (TENSIÓN) EFECTIVA (SUELOS SATURADOS).


COROLARIOS:

1.- Si no hay cambio de volumen ni distorsión, no ex iste cambio en las tensiones efectivas

2.- Un aumento de σ’ causa compresión y aumento de resistencia

3.- Una reducción de σ’ origina entumecimiento (hinchamiento) y pérdida de resistencia

COMENTARIOS:

1.- El postulado no tiene en cuenta fenómenos dependi entes del tiempo (fluencia, etc).

2.- Sirve sólo para suelos saturados.

3.- Es un concepto establecido empíricamente (una hi pótesis de trabajo). No entra en la forma de transmisión de las tensiones entre las partículas de suelo.

4.- Tampoco indica cómo se distribuye u en las inmed iaciones de las partículas. La presión intersticial u es la que mediría un piezómetro, mucho más grande q ue una partícula de suelo.



� Sin nivel freático

� Nivel freático en superficie

� Nivel freático intermedio

·zσ apv γγγγ====0u ====

z·' apv γγγγ====σσσσ

·zσ satv γγγγ====z·u wγγγγ====

'·z)·z-(σ' wsatv γγγγ====γγγγγγγγ====

2sat1apv z··zσ γγγγ++++γγγγ====

2w z·u γγγγ====

21apv z'··zσ' γγγγ++++γγγγ====



TENSIONES TOTALES Y EFECTIVAS

Las tensiones totales y las tensiones efectivas pueden representarse mediante sus correspondientes círculos deMohr. Ambos círculos tienen el mismo diámetro y están desplazados uno de otro el valor de la presión intersticialu.

Como puede observarse, las tensiones tangenciales son las mismas en puntos correspondientes de amboscírculos, lo que resulta lógico habida cuenta que el agua no soporta esfuerzos cortantes, y que por lo tanto es elesqueleto sólido del suelo el que ha de absorberlos íntegramente

22)u()u(

2'' 313131

máx

σ−σ=−σ−−σ=σ−σ=τ



¿CÓMO SE DEFORMA EL SUELO SATURADO?

INTRODUCCIÓN A LA CONSOLIDACIÓN. (RECORDATORIO)

Por su historia geológica el suelo tiene una estruc tura

A efectos prácticos, tanto las partículas del suelo comoel agua son indeformables, de forma que los cambiosde volumen o las distorsiones del suelo se deben a unareordenación de sus partículas, que giran y/o deslizanunas sobre otras:

Tomadas de González Vallejo, L. et al (2000)

MATERIAL

Compresibilidad

volumétrica C

(m2/MN)C/Cw

Partículas de suelo 1,5 - 3,0.10-5 0,03 – 0,06Agua 0,0005 1

Esqueleto sólido del suelo

Baja compresibilidad 0,05 100Alta compresibilidad 1,5 300

Si el suelo está saturado:� Compresión: No es más que una reducción de huecos y un reordenamiento de las

partículas hacia una estructura más densa

� Hinchamiento: Aumento de huecos, con reordenamiento de partículas hacia una estructura más abierta (menos densa)

'C∆V

∆V σ=


En definitiva:

Para que el SUELO SATURADO REDUZCA SU VOLUMEN se han de reducir los huecos, es decir, SE HA DE EXPULSAR AGUA. Las partículas se reordenan en una estructura más densa (más resistente)

Para que el SUELO SATURADO AUMENTE SU VOLUMEN h an de aumentar los huecos, es decir, HA DE ENTRAR AGUA . Las partículas se reordenan en una estructura más abierta (menos resistente)

PERO…..EL AGUA SÓLO SE MUEVE POR DIFERENCIAS EN ALTURA

PIEZOMÉTRICA ….. wγ

uzh +=

¿CÓMO SE DEFORMA EL SUELO SATURADO?

INTRODUCCIÓN A LA CONSOLIDACIÓN. (RECORDATORIO)


Ejercicio a resolver por los alumnosLa columna estratigráfica bajo la superficie horizontal de un ancho valle está formada por 3 m de gravas gruesas situadas sobre un depósito de 12 m de arcilla. Bajo las arcillas surge un estrato de areniscas fisuradas de permeabilidad elevada. Las condiciones hidrogeológicas resultan hidrostáticas, con un nivel freático situado a 0,60 m bajo la superficie del terreno. Las densidades aparentes de los distintos estratos de suelo son:

Gravas (por encima del N.F.): γg1 = 16,8 kN/m3

Gravas saturadas (por debajo del N.F.): γg2 = 20,8 kN/m3

Arcilla (saturada): γa = 21,6 kN/m3

Se pide dibujar las leyes de tensiones verticales totales, presiones intersticiales y tensiones verticales efectivas en las capas de suelo (γw = 10 kN/m3).

Solución:



Para el mismo perfil geológico del ejercicio anterior,suponer que en el sustrato de areniscas el agua seencuentra en condiciones artesianas, con una alturapiezométrica de 6 m por encima de la superficie delterreno.

Admitiendo que en la capa de gravas, por su elevadapermeabilidad, las condiciones son hidrostáticas, se pidedeterminar en la capa de arcillas las leyes de presión totalvertical, presión intersticial y presión efectiva vertical.

EJERCICIO A RESOLVER POR LOS ALUMNOS*

(*) Requiere conocimientos básicos de Mecánica del Suelo (tensiones, altura piezométrica,permeabilidad, gradiente, etc).


v0h '·K' σ=σ

Las tensiones verticales, totales o efectivas, se pueden calcular con facilidad a partir de los pesosespecíficos aparentes de los diferentes estratos existentes y de las condiciones hidrogeológicas decontorno.

Sin embargo, las tensiones horizontales constituyen un problema especial ya que, al igual que elíndice de poros, dependen muy directamente de la historia tensional del terreno

La tensión “efectiva” horizontal in situ suele expresarse de forma proporcional a la vertical.

Cuando el terreno está “en su estado natural original”, al coeficiente de proporcionalidad se ledenomina coeficiente de empuje al reposo (K0):

TENSIONES HORIZONTALES EN EL TERRENO (K0)


Un ejemplo sencillo es la historia tensional de un suelo en condiciones unidimensionales o edométricas, que a medida que se sedimenta o se erosiona va pasando de estados normalmente consolidados a sobreconsolidados, y viceversa (una arcilla marina, por ejemplo).

0v00h '·K' σ=σ

'sen1K NC0 φ−=

'senNC0

oc0 OCR·KK φ=

0v

máximav

'

'OCR

σσ

=

EL CASO CLÁSICO DE UN SUELO SEDIMENTARIO. SUELOS NORMALMENTE CONSOLIDADOS Y SUELOS SOBRECONSOLIDADOS


En los suelos normalmente consolidados:

'sen1K NC0 φ−=

En los suelos sobreconsolidados:

[ ] 'senoc0 OCR)·'sen1(K φφ−≈ 0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

OCR

Ko

15º20º25º30º35º40º45º

v0h '·K' σ=σUN CASO SIMPLE. EL SUELO SEDIMENTARIO

EL CASO CLÁSICO DE UN SUELO SEDIMENTARIO. SUELOS NORMALMENTE CONSOLIDADOS Y SUELOS SOBRECONSOLIDADOS


En los dos ejercicios anteriores, suponiendo que el ángulo de rozamiento interno de la arcillaes de 28º y que se encuentra ligeramente sobreconsolidada con OCR=1.5, calcular laspresiones horizontales, totales y efectivas.

EJERCICIO A RESOLVER POR LOS ALUMNOS*


Las tensiones naturales dependen del peso del mater ial (gravedad), y también del resto de las tensiones a las que ha s ido sometido.

Si las acciones fueran sólo las gravitatorias, la p resión vertical vendría dada por:

Siendo γγγγ la densidad del macizo y z la profundidad.

TENSIONES NATURALES EN MACIZO ROCOSOS (K0)


Si se supone además que el macizo es elástico e isó tropo, y que se cumplen condiciones de deformación lateral nula:

νν

σσ

−==

10V

HK

Para valores de νννν del orden de 0,2 a 0,25, K 0 oscilaría entre 0,25 y 0,33 (G&C, III)

Esta hipótesis, sin embargo, rara vez se cumple en las rocas.

Por ejemplo, νννν tiende a aumentar con la presión (profundidad), especialmente en rocas blandas sedimentarias, acerc ando K 0 a la unidad (G&C, III)



Una segunda alternativa podría ser asumir que para profundidades muy grandes, las tensiones son hidrostáticas :

σv= σh

En estas condiciones el coeficiente de Poisson se a proxima a 0,5, y podría interpretarse como una plastificación de la roca so metida a grandes presiones (Heim, 1878. Postulado de regresión a un estado de flujo v iscoplástico)



Las medidas indican que la presión vertical oscila en torno a

σv=0,027z (MPa)Dado que un peso específico razonable para una roca es del orden de 27 kN/m 3, parece razonable pensar en una correspondencia entre la presión vertical y “el peso”.

LAS PRESIONES VERTICALES

MEDIDAS REALES



A profundidad “somera” la dispersión es muy grande,con presiones horizontales frecuentemente muysuperiores a las verticales.

A gran profundidad, K 0 reduce su dispersión y seaproxima al rango 0,5-1 (hidrostático).

El asunto es complicado, y HAY QUE MEDIR (al menospara proyectos “grandes”)

Algunos factores a tener en cuenta:

Topografía

Erosión

Tensiones residuales

Inclusiones (diques, diapiros, batolitos)

Tensiones tectónicas,

Fracturas y discontinuidades


Tomada de González Vallejo, L. et al (2000)

En cualquier punto del terreno (por ejemplo un maci zo rocoso), existe un determinado estado tensional “inicial”, producto de su historia geológica. Las actuaciones sobre el terreno suponen una modificaci ón de esas tensiones (que da lugar a las correspondien tes deformaciones, plastificaciones, etc). Resulta evidente por tanto la necesidad de estimar las tens iones iniciales. Son el “punto de partida”.


FACTORES QUE INFLUYEN EN EL ESTADO TENSIONAL IN SIT U

TOPOGRAFÍA

Tomado de González de Vallejo, L. et al.

G&C, III

Valles, colinas, etc. Se pueden analizar con métodos elásticos

Relajación de tensiones horizontales

Concentración de tensiones horizontales



Erosión: Unidimensional. Reduce σv, pero menos σh dando lugar a K 0 elevados especialmente a profundidades someras. El efecto se reduce en profundidad. (como en un suelo)

Tensiones residuales: Cambios físicos o químicos, recristalizacioneslocales, enfriamiento diferencial, conductividades térmicas diferentes en materiales en contacto, etc. Muy difíciles de anali zar.

Inclusiones: Diques, diapiros, batolitos, etc.

G&C, III




Inclusiones: Diques, diapiros, batolitos, etc.

G&C, III





Tensiones tectónicas: Actúan a nivel regional . Div ersas fuentes bibliográficas (www.world-stress-map.org)

www.world-stress-map.org




Tensiones tectónicas


Variación de tensiones verticales en un sinclinal y en un anticlinal. Goodman, 1989 (tomada de Perucho, A. (2007)




Fracturas y discontinuidades:





MEDIDA DEL ESTADO TENSIONAL IN SITU

OVERCORING: Permite medir las 6 tensiones


ISRM Suggested Methods for Rock Stress Estimation. 1987, 2003



FRACTURACIÓN HIDRÁULICA:





GATOS PLANOS: Miden la tensión normal a un plano determinado. Se requieren varias orientaciones. También proporciona módulo de deformación.





Suponiendo medio elástico e isótropo y σv=p y σh=Kp

LA INFLUENCIA DE K 0 EN LOS TÚNELES

Solución de Kirsch, 1898. Tomada de Brady & Brown, 1985


Primera observación: Las tensiones no dependen de los parámetros del terreno E y νννν.

Ese resultado no parece razonable en la realidad (se sabe que no lo es), pero sin embargo sugiere que la geometría del túnel controla en gran medida las tensiones. Eso es interesante.

Segunda observación: Para r = a, se obtienen las tensiones en la superficie de la excavación, que es un “plano” principal”



Tercera observación: Lejos del túnel se restituye en estado inicial. Para θθθθ =0 y r muy grande:



Cuarta observación: Las tensiones circunferenciales extremas se producen en hastiales (θθθθ =0, 180º) y en la clave y en el fondo( 90, 270º)

K<1/3: tracciones en clave y fondo

K>3: Tracción en hastiales

K=0: σA=3p; σB=-p

K=0,33: σA=p; σB=0

K=0,5: σA=2,5p; σB=0,5p

K=1 (hidrostático): σA=σB= 2p

K=3: σA=0; σB=8p



Ejemplo para K=0,5

Mayores tensiones en los hastiales del túnel. En ellos se concentran las tensiones

Hoek & Brown. Tomada de UPC

“Tensiones en torno a excavaciones”. Ingeniería Geológica. Excavaciones subterráneas



Ejemplo para K=0


“Tensiones en torno a excavaciones”. Ingeniería Geológica. Excavaciones subterráneas

Las tensiones dependen de la disposición de los semiejes.

Primer caso. Mejor la forma elíptica que la circular (menor tensión en hastiales

Tercer caso: Situación más desfavorable. Se incrementa mucho la presión en hastiales, con un gradiente desde la clave muy alto



Ejemplo otras formas de túnel


Arriba. Sección de alcantarilla para K 0,5 y 1. Las tensiones se concentran en los vértices inferiores y la bóveda

Abajo: Sección carretera o ferrocarril. Concentración de tensiones en confluencia de hastiales y contrabóveda



Tensión circunferencial en función de geometría y K

Tomada de UPC

La combinación de ambos gráficos podría proporcionar la sección óptima para un K dado.



Obviamente se pueden analizar muchas otros factores:

• Túnel cercano a la superficie (semiespacio).

•Proximidad entre túneles.

•Etc.

•El siguiente paso sería incorporar la resistencia de la roca, la plasticidad , analizar la relajación, los sostenimientos, etc.


Tensiones y ko

Engineering

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