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Université de Picardie Jules Verne I.N.S.S.E.T. DEUG MIAS – 2 ème année U 8 - Mécanique TD n°3 Cinématique du point Exercice 1 : a) Ellipse : 1 b y b 9 x 2 2 M 2 2 M = b) ( j cos i sin 3 b ) M ( V r r r ϕ ϕ - ϖ = OM ) M ( a 2 ϖ - = r Exercice 2 : a) ρ ρ = = e e y e x OM y x r r r avec j sin i cos e r r r ϕ ϕ = ρ b) ϕ ρ ϕ = e dt e d R r & r , ρ ϕ ϕ - = e dt e d R r & r ρ ϕ ρ ϕ - ϕ = e e dt e d 2 R 2 2 r & r & & r et ϕ ρ ϕ ϕ - ϕ - = e e dt e d 2 R 2 2 r & r & & r c) Cf cours, vitesse et accélération en cylindrique, avec z=0. d) Cercle → ρ=Cste et mvt uniforme → ϖ = = ϕ Cste & ϕ ϖ = e a ) M ( V r r et OM ) M ( a 2 ϖ - = r Exercice 3 : a) Réponse de l’exo 2 d) b) x e a ) R / C ( V r r ϖ = c) ( ( θ - = θ θ - θ = θ cos 1 a ) ( y sin a ) ( x A A d) Cycloïde
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Université de Picardie Jules Verne
I.N.S.S.E.T.
DEUG MIAS – 2ème année
U 8 - Mécanique
TD n°3
Cinématique du point
Exercice 1 :
a) Ellipse : 1b
y
b9
x2
2M
2
2M =+
b) ( )jcosisin3b)M(Vrrr
ϕ+ϕ−ω=
OM)M(a 2ω−=r
Exercice 2 :
a) ρρ=+= eeyexOM yx
rrr
avec jsinicoserrr ϕ+ϕ=ρ
b) ϕρ ϕ=
e
dt
ed
R
r&
r
, ρϕ ϕ−=
e
dt
ed
R
r&
r
ρϕρ ϕ−ϕ=
ee
dt
ed2
R
2
2r
&r
&&
r
et ϕρϕ ϕ−ϕ−=
ee
dt
ed2
R
2
2r
&r
&&
r
c) Cf cours, vitesse et accélération en cylindrique, avec z=0.
d) Cercle → ρ=Cste et mvt uniforme → ω==ϕ Cste&
⇒ ϕω= ea)M(Vrr
et OM)M(a 2ω−=r
Exercice 3 :
a) Réponse de l’exo 2 d)
b) xea)R/C(V rrω=
c) ( )( )
θ−=θθ−θ=θ
cos1a)(y
sina)(x
A
A
d) Cycloïde
Exercice 4 :
a)
b) 2
sina2dt
ds ϕϕ= &
c) yxt e2
cose2
sine rrr ϕ+ϕ= et ( )22
e,e tx
ϕ−π=rr
d)
ϕ−ϕ
ϕ= yxt e2
sine2
cos
2sina4
1sded
rrr
e) 2
sina4ϕ=ρ
f) yxn e2
sine2
cose rrr ϕ−ϕ=
g)
ϕ+ϕϕ= nt
2 e2
sine2
cos)R/P(a rr&r
Exercice 5 :
a) ( ) ( ) yx esinbsinaecosbcosaOMrr θ+ϕ+θ+ϕ=
b) )t(2)t( ϕ=θ et b2a =
c)
d) ( ) ( )( ) yx ecos1sinaecos1cosa2
aOM rr ϕ+ϕ+
ϕ+ϕ+−=
e) ( )ϕ+=ρ cos1a et ϕ=α
f) ϕρϕ+ϕ−= e2
cose2
sinet
rrr , ϕρϕ−ϕ−= e2
sine2
cosen
rrr et 2
cos3
a4R
ϕ=
g) ( )n2
t2 ea3e)tsin(aa)R/M(a rrr ω+ω−ω=
