TD d’Electrostatique et...
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TD d’Electrostatique et Magn´ etostatique PHYS 304 – TD Corrig´ es des quelques exercices vari´ es des TD. 1 - Condensateurs : capacit´ e lin´ eique d’un cˆ able coaxial a) Choix de coordonn´ ees : coordonn´ ees cylindriques. Champ ´ electrique entre les deux ˆ ames : utiliser le th´ eor` eme de Gauss. Surface de Gauss, un cylindre de longuer h et coaxial au cˆ able. E(ρ).2πρh = λh/ε 0 ⇒ E(ρ)= λ/2πε 0 ρ b) V 2 − V 1 = 2 1 dV = − 2 1 E. dl = − R2 R1 λ.dρ 2πε 0 ρ = − λ 2πε 0 ln R 2 R 1 Conducteur ext´ erieur ` a la masse ⇒ V 2 =0 ⇒ V conducteur central =+ λ 2πε0 ln R2 R1 > 0 si λ> 0. c) Q = VC ⇒ Q/l = V C/l c’est-` a-dire charge lin´ eique = d.d.p fois capacit´ e lin´ eique ⇒ λ = V.C C = λ/V =2πε 0 / ln(R 2 /R 1 ) ≈ 33 pF/m, capacit´ e typique. d) Claquage : ionisation du milieu isolant entre les deux ˆ ames du condensateur jusqu’au point o` u il devient conducteur. (Cons´ equences du claquage : condensateur d´ echarg´ e et isolant souvent abim´ e.) E max = E(ρ = R 1 ) ⇒ E claquage = λ/2πε 0 R 1 V max = λ ln(R 2 /R 1 )/2πε 0 on ´ elimine λ ⇒ R 1 E claquage = V max / ln(R 2 /R 1 ) ⇒ R 2 = R 1 e Vmax/R1E claquage . R 2 minimal si dR 2 /dR 1 =0 ⇒ R 2 /R 1 = e ⇒ C =2πε 0 . 2 - Magn´ etostatique : Bobines de Helmholtz a) D’abord on calcule le champ d’une spire centr´ ee ` a l’origine en un point M quelconque de son axe. Loi de Biot-Savart : B = μ 0 4π I dl ∧ PM PM 3 o` u P est le point de l’espace o` u se trouve l’´ el´ ement de spire de longueur dl. Celui-ci est un vecteur tangent ` a la spire. PM = PO + OM (o` u OM est constant) ⇒ B(M )= μ 0 4π I (a 2 + OM 2 ) 3/2 dl ∧ PO + dl ∧ OM = = μ 0 2 I.a 2 n a 3 (1 + (OM/a) 2 ) 3/2 car dl = 0, dl ∧ PO =2πn ( dlu φ ; PO = −au ρ et ( dl ∧ PO)u z = n) et n est le vecteur normal ` a la spire dont le sens est d´ etermin´ e par le sens dans lequel le courant parcourt la spire ` a l’aide de la r` egle du tire-bouchon. B(O)= μ 0 I 2a n ⇒ y = B(M ) B(O) = 1 (1 + x 2 ) 3/2 avec x = OM a y (x)= −3x(1 + x 2 ) −5/2 ; y (x)= −3 4x 2 +1 (1 + x 2 ) 7/2 ⇒ y (±1/2) = 0 1
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TD d’Electrostatique et MagnetostatiquePHYS 304 – TD
Corriges des quelques exercices varies des TD.
1 - Condensateurs : capacite lineique d’un cable coaxial
a) Choix de coordonnees : coordonnees cylindriques. Champ electrique entre les deux ames : utiliser le
theoreme de Gauss. Surface de Gauss, un cylindre de longuer h et coaxial au cable.
E(ρ).2πρh = λh/ε0 ⇒ E(ρ) = λ/2πε0ρ
b)
V2 − V1 =
� 2
1dV = −
� 2
1�E.�dl = −
� R2
R1
λ.dρ
2πε0ρ= − λ
2πε0ln
R2R1
Conducteur exterieur a la masse ⇒ V2 = 0 ⇒ Vconducteur central = +λ
2πε0ln
R2R1
> 0 si λ > 0.
c) Q = V C ⇒ Q/l = V C/l c’est-a-dire charge lineique = d.d.p fois capacite lineique ⇒ λ = V.CC = λ/V = 2πε0/ ln(R2/R1) ≈ 33 pF/m, capacite typique.
d) Claquage : ionisation du milieu isolant entre les deux ames du condensateur jusqu’au point ou
il devient conducteur. (Consequences du claquage : condensateur decharge et isolant souvent abime.)
Emax = E(ρ = R1) ⇒ Eclaquage = λ/2πε0R1Vmax = λ ln(R2/R1)/2πε0
�on elimine λ ⇒ R1Eclaquage = Vmax/ ln(R2/R1)
⇒ R2 = R1eVmax/R1Eclaquage . R2 minimal si dR2/dR1 = 0 ⇒ R2/R1 = e ⇒ C = 2πε0.
2 - Magnetostatique : Bobines de Helmholtz
a) D’abord on calcule le champ d’une spire centree a l’origine en un point M quelconque de son axe.
Loi de Biot-Savart :
�B =µ04π
�I �dl ∧ �PM
PM3
ou P est le point de l’espace ou se trouve l’element de spire de longueur �dl. Celui-ci est un vecteur tangent
a la spire.
�PM = �PO + �OM (ou �OM est constant) ⇒ �B(M) =µ04π
I
(a2 + OM2)3/2
���dl ∧ �PO +
���dl
�∧ �OM
�=
=µ02
I.a2 �n
a3(1 + (OM/a)2)3/2
car�
�dl = 0,�
�dl ∧ �PO = 2π �n (�dl��uφ ; �PO = −a�uρ et (�dl ∧ �PO)��uz = �n) et �n est le vecteur normal a
la spire dont le sens est determine par le sens dans lequel le courant parcourt la spire a l’aide de la regle
du tire-bouchon.
�B(O) =µ0 I
2a�n ⇒ y =
B(M)
B(O)=
1
(1 + x2)3/2 avec x =OM
a
y�(x) = −3x(1 + x
2)−5/2
; y��(x) = −3
4x2+ 1
(1 + x2)7/2 ⇒ y��(±1/2) = 0
1
b)
y�(C) = y1(C) + y2(C) = 0; y
��(C) = 0 + 0 donc y(x) varie tres peu au voisinage de C.
�B(O) =µ0 I
2a�n ⇒ y =
B(M)
B(O)=
1
(1 + x2)3/2 avec x =OM
a
y(C) = 2y1(1/2) = 2(1 + 1/4)−3/2 ≈ 1, 42 ⇒ �BC = 1, 42 × �B1(O)
Les bobines de Helmholtz sont utilisees assez souvent en laboratoire pour produire des champs magnetiques
presque uniformes de facon peu couteuse.
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