07 - Campo Magn-tico Estacion-rio

Campo Magntico Estacionrio

1

Eletromagnetismo


Analogias: campo eltrico x campo magntico:

Eltrico Magntico

Fonte (Infinitesimal) dQ ( )C ldI r. ( )mA. Campo E

r ( )mV Hr ( )mA

Densidade de Fluxo Dr

( )2mC Br ( )TmWb 2 Fluxo ( )C ( )Wb

Fontes de campo magntico:

- Im permanente;

- Campo eltrico variante no tempo;

- Corrente contnua.

Elemento de corrente: entidade com sentido matemtico, porm sem sentido fsico:

nadlldrr .=

ldIr

. ( )mA.

Por que no h sentido fsico no elemento de corrente?

Condutor filamentar: aproximao de um condutor cilndrico com raio tenden-do a zero.


2

Eletromagnetismo

Lei de Biot-Savart

Lei experimental: 2..4.

RaLdIHd rrrr = ( )mA

Forma integral da Lei de Biot-Savart:

= 2..4. RaldIH rrrr

Outros tipos de elementos de corrente:

dVJdSKldI ...rrr == ( )mA.


3

Eletromagnetismo

dSedl =. eKI .= naKKrr .=

{ {2

....mm

AdSKdleKldIrrr == ( )mA.

dVdldS =. dSJI .r=

naJJrr .=

{ {3

2

....m

mAdVJdldSJldI

rrr == ( )mA.

Lei de Ampre

A integral de linha da componente tangencial de Hr

sobre um percurso

fechado igual corrente enlaada por esse percurso.

enlaadaIldH = rr

A utilizao da Lei de Ampre para o clculo de Hr

, na prtica, exige um

alto grau de simetria no problema:

- Em cada ponto do percurso fechado, Hr

deve ser tangencial ou normal (per-

pendicular) ao percurso;

- Hr

tem o mesmo valor em todos os pontos do percurso em que Hr

tangen-

cial.


4

Eletromagnetismo

Exerccios Resolvidos

Exerccio 1: Na situao abaixo temos uma corrente filamentar retilnea, infini-

ta, ao longo do eixo z em coordenadas cilndricas. Determine Hr

.

Resoluo:

Tomando-se um ponto em z = 0 (sem perda de generalidade, por qu?),

tem-se, por Biot-Savart:

( )( ) 2222 ...4

....

zrzr

azaradzIHd zrld

z

++= rr876rr

r

( )( ) 2322..4

....

zr

azaradzIHd zrz+

=

rrrr

( ) 2322..4...

zr

ardzIHd

+=

rr

Varivel de integrao: z, ar no varia com z.

( ) azrdzrIH r

r

+=

2322..4

..

arIH r

r..2

=


5

Eletromagnetismo

Exerccio 2: Calcule Hr

no centro de uma espira quadrada de corrente de lado

L. Analisar os resultados obtidos.

Resoluo:

Aplicando Biot-Savart:

( )( ) 2322 2..4

.2

...

+

+=

Lx

aLaxadxIHd

yxx

rrrr

( ) 2322 2..4.

2..

+=

Lx

aLdxIHd

z

rr

Clculo total do campo na origem, considerando os oito segmentos:


6

Eletromagnetismo

( ) +=

2

0 23

22

2..4

.2

...8L

z

Lx

aLdxIH

rr

zaLIH r

r.

.2.2=

Genericamente: naLIH r

r.

.2.2=

O que significa nar ?


7

Eletromagnetismo

Exerccio 3: Um filamento de corrente de 5A segundo yar paralelo ao eixo y

em x = 2m, z = -2m. Pede-se Hr

na origem. Analisar os resultados.

Resoluo:

Redesenhando o problema, teremos:

Partindo-se de arIH r

r..2

= , sendo 2.2822 22 ==+=rr , tem-se:

2zx aaarrr +=


8

Eletromagnetismo

Ento:

+=22.2..2

5 zx aaHrrr

+=2

.281,0 zxaaHrrr

( )mA

Ateno:

1+ zx aa rr 1>+ zx aa rr 1== zx aa rr

Direo e sentido de ar coincidem com zx aa

rr + , mas o mdulo no!

Concluso: 2

zx aaarrr += para este problema em particular!


9

Eletromagnetismo

Exerccio 4: Determine uma expresso para Hr

devido a uma pelcula plana

infinita de correntes com densidade Kr

uniforme.

Resoluo:

Logo, pela anlise anterior conclui-se que Hr

possui apenas componentes

em x, sendo independente de y e z. Pela Lei de Ampre:


10

Eletromagnetismo

321rrrrr

EnlaadaCorrente

aKaHaHldH .2.0.2.0.2. =+++=

2

KH

rr = (Independe de a)

No caso: xaKH r

r2

= para z > 0 e xaKH rr

2= para z < 0.

Genericamente: naKHrrr =

21


11

Eletromagnetismo

Exerccio 5: Obter Hr

para um cilindro condutor slido de raio a, em que uma

corrente I uniformemente distribuda por sua seco reta.

Resoluo:

Para a : IH = ..2.r aIH r

r..2

= ( )a>

Anlise grfica:


12

Eletromagnetismo

Exerccio 6: Determinar Hr

no eixo de uma espira circular de corrente com

raio a. Particularizar o resultado para o centro da espira. Analisar.

Resoluo:

Com base nas representaes grficas: zahaaRrrr .. +=

( ) ( )( ) 2322..4

.....

ha

ahaaadaIHd z

++=

rrrr

( )( )( ) 2322..4

.....

ha

ahaadaIHd z

++=

rrr


13

Eletromagnetismo

Lembrete:

zaaarrr = aaa zrrr =

Aproveitando a simetria mostrada, as componentes em ar se cancelam.

( ) +=

2

0 2322

2

..4

..za

ha

daIH rr

( ) zahaaIH r

r2

322

2

.2

.

+=

Para h = 0: zaaIH r

r.2

=

Comparar com a espira quadrada! Concluses?


14

Eletromagnetismo

Exerccio 7: Uma pelcula de corrente, xaKrr .6= ( )mA est no plano z = 0 e

uma corrente filamentar est localizada em y = 0, z = 4m. Sabe-se que 0=Hr no ponto (0; 0; 1,5)m. Pede-se:

a) A magnitude da corrente no fio;

b) Seu sentido.

Resoluo:

A composio dos campos no ponto (0; 0; 1,5)m devido ao fio e ao plano

devem se anular. Logo:

nplano aKHrrr =

21

zxplano aaHrrr = .6

21

( )yplano aH rr = 26 yplano aHrr .3= ( )mA


15

Eletromagnetismo

O mdulo de Hr

devido ao fio deve ser 3 ( )mA . Ento:

..2IH fio =

r

( )5,14..23 = I

1,47=I (A)

A corrente dever estar orientada segundo xar+ de modo a cancelar o

campo planoHr

.


16

Eletromagnetismo

Rotacional

x e y so pequenos.

Fazendo a integral ao longo do percurso 1-2-3-4-1:

yHLH y = 2121rr

Sendo:

+ xxH

HH yyy 21

021

Logo: ( ) yxxH

HLH yy

+ .21

021

rr

Para o trecho 2-3: ( ) xyyHHxHLH xxx

+ .21. 03232

rr

Se o mesmo procedimento for feito para os segmentos 3-4 e 4-1, ao so-

mar os resultados chega-se :

yxyH

xH

LdH xy

..rr

Pela Lei de Ampre: yxJILdH zenvolvida == ..rr


17

Eletromagnetismo

Ento: zxy J

yH

xH

yx

LdH

.

rr

Fazendo x e y tendendo zero:

zxy

yx

JyH

xH

yx

LdH =

=

.lim

00

rr

De modo semelhante, teremos:

Ou seja: xyz

zy

JzH

yH

zy

LdH =

=

.lim

00

rr

yzxxz

JxH

zH

xz

LdH =

=

.lim

00

rr

Como: zxy

yzx

xyz a

yH

xH

axH

zH

azH

yHHHrot rrr

rrr

+

+

==

Ou seja:

zyx

zyx

HHHzyx

aaaHHrot ==

rrrrrr


18

Eletromagnetismo

Ento: Sn

LdHHrot

Snn = rr

rlim

Em coordenadas cilndricas:

( )z

zz aHH

aHzH

azHHH rrr

rr

+

+

=

1.11

Em coordenadas esfricas:

( ) ( ) ( )

a

HrHr

ra

rHrH

senraH

senHsenr

H rrrrrrrr

+

+

= .1.11..

1

A idia de Medidor de Rotacional:

As ps giram ou no? Justificar.


19

Eletromagnetismo

Exerccio Resolvido

Suponha xazHrr ..2,0 2= para z > 0 e 0=Hr para z < 0. Para um percurso

quadrado de lado d, centrado em (0; 0; 1z ), no plano y = 0, com dz 21

1 > , pe-de-se:

a) Calcular a integral de linha de Hr

ao longo do quadrado;

b) Levar o limite da rea a zero e obter 20lim d

LdHd

rr;

c) Calcular Hrr ;

d) Analisar os resultados obtidos.

Resoluo:

a) 0..21.2,00..

21.2,0

2

1

2

1 +

+

+= ddzddzLdH rr 2

1..4,0 dzLdH = rr

b) 122

1

020.4,0

..4,0limlim z

ddz

d

LdHdd

== rr


20

Eletromagnetismo

c) ( ) yyzyx azazzz

zyx

aaaH rr

rrrrr

..4,0..2,0

00.2,0

2

2

===

Para 1zz = , tem-se yazH rrr

..4,0 1= .

Notar que a definio de rotacional consiste em:

Sn

LdHH

Sn = rr

rr0

lim

Concluso?


21

Eletromagnetismo

Forma pontual (ou local) da Lei de Ampre:

JHrrr = (2 Equao de Maxwell)

A partir da Lei de Kirchhoff: 0= ldE rr

E aproveitando o conceito de rotacional, alm de enlaadaIldH = rr , tem-se:

0= Err

Que corresponde forma pontual ou local da Lei de Kirchhoff para o Ele-

tromagnetismo (esttica), ou ainda, 3 Equao de Maxwell.

Sabendo-se que inexistem monoplos magnticos, ou seja, os plos N e

S no so separveis, ao contrrio do que ocorre com as cargas positivas e

negativas, e aproveitando a analogia com VD =rr

, tem-se que:

0> Drr 0= Drr 0


22

Eletromagnetismo

Que corresponde, sob o ponto de vista macroscpico, Lei de Inexistn-

cia de monoplos magnticos, ou, ainda, Lei de Gauss para o Magnetismo.

Analisando sob a forma pontual ou local, teremos:

0= Brr

Que corresponde 4 Equao de Maxwell para situaes estticas.


23

Eletromagnetismo

Teorema de Stokes

( )nHSn LdH rrrr

(Definio de Rotacional)

( )Sn

LdHaH Sn

rr

rrr

( ) ( ) SHSnaHLdH nS rrrrrrrr = .

( ) =S

SdHLdHrrrrr

Como ficaria o Teorema de Stokes para superfcies fechadas? Analisar.


24

Eletromagnetismo

Resumo das Equaes de Maxwell supondo invarincia temporal

Equao Forma Integral Nome, Lei associada Forma Pontual

1 iS

QSdD = rr Lei de Gauss para Eletrosttica VD = rr 2 enlaada

l

IldH = rr Lei de Ampre JH rrr = 3 0=

l

ldErr

Lei de Kirchhoff 0= Err

4 0=S

SdBrr

Lei de Gauss para Magnetismo

(Inexistncia de monoplos

magnticos) 0= Brr

Tem-se tambm as relaes constitutivas:

EDrr

.= e HB rr .=

Alm da Equao da Continuidade da Corrente:

tJ V

= rr


25

Eletromagnetismo

Exerccios Resolvidos

Exerccio 1: O comportamento do vetor campo magntico na regio compre-

endida por x = 0; 0,5 < y < 1 e 1 < z < 1,5 dada por zyx ayaxazHrrrr ... 432 ++=

( )mA . Pede-se:

a) Calcular ldH rr ao longo do permetro dessa regio; b) Obter H

rr ;

c) Calcular x

Hrr e

rea

ldH rr no centro da regio considerada e analisar os resultados obtidos.

Resoluo:

a) ( ) ( ) +++= 15,1

45,0

1

5,1

1

41

5,0

.5,0.0.1.0 dzdydzdyldHrr

46875,0= ldH rr ( )A

b) 432 yxzzyx

aaaH

zyx

=rrr

rr


26

Eletromagnetismo

zyx ayz

xxa

zz

xya

zx

yyH rrr

rr

+

=232434

zyx axazayHrrrrr 23 .3..2..4 += ( )mA

c) No centro da regio tem-se x = 0, y = 0,75m e z = 1,25m, logo:

No ponto central, Hr

ser:

( ) ( ) zyx aaaH rrrr .75,0.0.25,1 42 ++= ( )mA

centroHrr , que no calculado a partir do

centroHr

, e sim atravs de Hr

genrico, ser:

( ) xxcentro aH rrr

.75,0.4 3,= 6875,1

,=

xcentroHrr

( )2mA

Fazendo rea

ldH rr , teremos: ( )( ) 8750,115,1.5,01 46875,0 = ( )2mA

Cujo valor diferente daquele obtido anteriormente. No entanto, se refi-

zermos o exerccio levando a rea em torno do ponto (0; 0,75; 1,25)m a um

valor muito pequeno, bem como a circuitao associada, o resultado tender a

1,6875 ( )2mA .

Para casa: Refazer o problema anterior supondo x = 0; 0,74 < y < 0,76 e 1,24 < z < 1,26m. Analisar os resultados obtidos.


27

Eletromagnetismo

Exerccio 2: Na regio cilndrica mm6,0 ,

+

=2

2 H ( )mA enquanto

que

= 3H ( )mA para mm6,0> . Pede-se:

a) Determinar Jr

para mm6,0 ;

c) H corrente filamentar em 0= ? d) Caso a resposta de c) tenha sido positiva, calcul-la;

e) Qual o valor de Jr

em 0= ?

Resoluo:

a) Utilizamos a equao de Maxwell JHrrr = , logo, em coordenadas cilndri-

cas vale:

( )z

zz aHH

aHzH

azHHH rrr

rr

+

+

=

1.11

Como s temos a componente H que varia com , ento:

( )zzzz aad

dadda

HH rrrrrr

.12

212

21.1 2

=

+=

+=

=

zaJHrrrr .1== ( )2mA

b) Para mm6,0> , teremos 3=H ( )mA , logo:

03.1 =

= zaddH r

rr

Como isso pode ser interpretado?


28

Eletromagnetismo

c) Para 0 temos que H . Isto implica na existncia de uma corrente filamentar ao longo do eixo z. Ento, a resposta sim.

d) O valor da corrente pode ser obtido atravs da Lei Circuital de Ampre, inte-

grando H ao longo de um caminho circular de raio tendendo a zero (infinite-

simal). A corrente envolvida ser:

{ .4..2.

2 === 321rrl

H

ldHI ( )A

Notar que H para 0 corresponde a 2 ( )mA se 22 +=H for le-

vado ao limite.

e) Clculo de Jr

para 0 : como temos um filamento de corrente ao longo de z, em 0= , tem-se uma singularidade, ou seja, Jr infinito, pois a rea do filamento tende a zero. Assim a densidade de corrente infinita.


29

Eletromagnetismo

Exerccio 3: Dado aH rr

..20 2= ( )mA , pede-se:

a) Determinar Jr

;

b) Integrar Jr

ao longo da superfcie circular m1= , 20


30

Eletromagnetismo

Exerccio Proposto

O vetor campo magntico em uma certa regio do espao dado por

zy aza

zyxH rr

r 2.22 ++= ( )mA . Pede-se:

a) Determinar Hrr ;

b) Determinar Jr

;

c) Usar Jr

para determinar a corrente que atravessa a superfcie delimitada por

z = 4m; 1 < x < 2m; 3 < y < 5m segundo zar ;

d) Mostrar que o mesmo resultado pode ser obtido usando o outro lado do

Teorema de Stokes.

Lembrete: Teorema de Stokes: ( ) ?== SdHLdH rrrrr

Respostas: a) ( ) zx azazyx rr

23

1.2.2 ++ ( )2mA ; b) Idem;

c) 0,125 (A);

d) Demonstrar.

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