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PC13/14 TD : MECANIQUE DU SOLIDE

y

x

θ

C

I

O

CINEMATIQUE

AC1 : Roue sur sol fixe

La roue, de centre C et de rayon a roule sans glisser sur le sol horizontal fixe.

Déterminer la relation liant

€

˙ θ ,

€

˙ x et a.

Commenter le signe.

AC2 : Roue sur sol mobile

Cette même roue roule sans glisser sur un tapis roulant se déplaçant à la vitesse

€

v0 = v0ex . Déterminer la relation liant v0,

€

˙ θ ,

€

˙ x et a.

Exercice 1 : Like an Egyptian

Pour déplacer de gros blocs de pierre, les égyptiens utilisaient des troncs d’arbre cylindriques de rayon R sur lesquels ils déposaient un bloc et le poussaient. En notant v la vitesse de déplacement d’un bloc, déterminer la vitesse linéaire du centre de masse d’un tronc ainsi que sa vitesse de rotation. On supposera pour cela que les troncs ne glissent ni sur le sol, ni sur le bloc.

Exercice 2 : Sphère qui roule Une sphère homogène de centre C, de masse m et de rayon a se déplace sur un support cylindrique de rayon R fixe dans un référentiel galiléen.

1. Quelle est la nature du mouvement du centre C ? Exprimer les vecteurs vitesse et accélération du point C dans la base polaire. 2. La sphère roule sans glisser sur le support cylindrique. En déduire la vitesse de rotation instantanée de la sphère.

Exercice 3 : Chute d’une échelle (partie 1) On considère une échelle de longueur AB = 2l qui chute. On supposera qu’à chaque instant les deux extrémités restent en contact avec le mur pour l’une et le sol pour l’autre. On suppose que la chute est paramétrée par l’angle

€

θ(t )

On appelle R le référentiel (O,x,y,z) lié au sol.

1. Montrer que le centre de masse G, milieu de [AB], a une trajectoire circulaire de centre O.

C θ

x

yx

O I

C

y

x

B

A θ O

G


2. Exprimer la vitesse de G dans R.

3. Déterminer le vecteur rotation associé à la chute.

4. Déterminer les expressions de

€

v(A/R) et de

€

v (B/R) .

Exercice 4 : Principe simplifié du différentiel

On va donner le principe d’un différentiel de voiture qui permet, dans un virage, aux deux roues motrices de tourner à des vitesses différentes.

Un cylindre creux, d’axe (Oz), de rayon R2, tourne à la vitesse ω2 d’une roue et un cylindre coaxial, de rayon R1, à la vitesse angulaire ω1 de l’autre.

On supposera R1 < R2.

La synchronisation entre les deux roues se fait par l’intermédiaire d’un troisième cylindre de diamètre D = R2 - R1 , tangent aux deux précédents : il est inclus dans le cylindre de rayon R2 et roule sans glisser (en réalité il s’agit de roues dentées : engrenages).

1. Ecrire les deux conditions de non-glissement dans le repère cylindrique d’axe (Oz).

2. En déduire, en fonction de R1, R2, ω1 et ω2 et toujours dans le repère d’axe (Oz):

2.a. la vitesse angulaire ω3 du cylindre de rayon

€

D2

2.b. la vitesse linéaire v3 de son « centre » C.

CINETIQUE AC3 : Roue sur sol fixe

On reprend les conditions de AC1. Déterminer pour la roue, dans le référentiel du sol, en fonction de m, a et

€

˙ θ :

- la résultante cinétique - les moments cinétiques LOz et LCz.

- l’énergie cinétique

AC4 : Energie cinétique de la Terre Calculer l’énergie cinétique de la terre dans le référentiel de Copernic.

R1

R2

R1

C


Exercice 5: Chute d’une échelle (partie 2) On reprend les conditions de l’exercice 3

On donne

€

J =m2

3 le moment d’inertie de l’échelle par rapport à l’axe (Gz).

1. Exprimer la résultante cinétique de l’échelle dans R .

2. Exprimer le moment cinétique LΔo de l’échelle par rapport à l’axe ΔO = (Oz) dans le référentiel R.

3. Exprimer l’énergie cinétique de l’échelle dans le référentiel R.

Exercice 6: Sphère qui roule, le retour

Cette question reprend la situation de l’exercice 2. Dans l’hypothèse d’un roulement sans glissement, déterminer :

1. La résultante cinétique de la sphère. 2. Le moment cinétique de la sphère par rapport à l’axe Oz.

3. L’énergie cinétique de la sphère. On rappelle le moment d’inertie de la sphère par rapport à un axe passant par son

centre :

€

J =25

ma2 .

ACTIONS SUR UN SOLIDE

AC7 : Coefficient de frottement gomme / règle Déterminer un mode opératoire permettant de déterminer le coefficient de frottement gomme / règle. En déduire une valeur approchée de ce coefficient.

AC6 : Yoyo horizontal On schématise un yoyo par deux disques

identiques homogènes de rayon R et de masse M, reliés par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse négligeable autour duquel est enroulé un fil. Les deux disques et le tambour sont solidaires et ont même axe. Le Yoyo est posé sur un plan horizontal sur lequel il roule sans glisser.

On exerce sur le fil une force constante faisant un angle α avec l’horizontale. On note f le coefficient de frottement solide yoyo/sol.

On notera que le point d’action de la force

€

F se ramène au point du tambour tangent au fil tendu.

1. Faire le bilan des forces sur le yoyo

2. Faire le bilan des moments des forces au centre de masse G du yoyo. Utiliser si possible la notion de bras de levier.

€

g

€

F

α


DYNAMIQUE DU SOLIDE

AC8 : pendule pesant

En utilisant le théorème du moment cinétique, déterminer l’équation du mouvement de ce pendule pesant, en supposant que les liaisons en O sont parfaites. On notera d = OG, où G est le centre de masse du pendule et JOy le moment d’inertie selon l’axe Oy.

Exercice 7: Yoyo.

On schématise un yoyo par deux disques identiques homogènes de rayon R et de masse M, reliés par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse négligeable autour duquel est enroulé un fil. Les deux disques et le tambour sont solidaires et ont même axe.

Une extrémité du fil est attachée au tambour et l’autre à un point fixe O. Le fil étant enroulé, on lâche le système sans vitesse initiale, l’axe étant horizontal. En admettant que l’axe reste horizontal au cours du mouvement, calculer l’accélération linéaire du yoyo et la tension du fil à tout instant.

Exercice 8 : Un oscillateur Sur le schéma, ci-contre, le point A appartenant à la circonférence d’une roue, disque homogène de rayon R et masse m, est attaché à deux ressorts identiques. On suppose que la roue ne glisse pas sur le sol, fixe. On notera

€

θ = Cz,CA( )

On s’intéresse aux petites oscillations du système, c’est à dire θ <<1, en supposant ainsi que les ressorts, attachés au point A, restent horizontaux.

€

g

R a

O O

20

(k,0) (k,0)

roue (m,R)

x

C

z

O

θ G

x

z


1. Déterminer la relation liant la vitesse

€

v = vex du centre C et la vitesse de rotation de la roue. 2. Montrer que lorsque C avance de x, le point A se déplace de 2x (approximation dans le cadre des petites oscillations). 3. Appliquer le théorème du moment barycentrique à la roue. En déduire la relation

approchée

€

J dωdt

= −TR − 4kRx où

€

T = Tex est la réaction tangentielle du sol.

4. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la roue. 5. Déduire des résultats précédents la pulsation des petites oscillations.

Exercice 9 : Machine de Timochenko

On considère le dispositif ci-dessous :

Les deux cylindres de même rayon b tournent en sens inverse à vitesse angulaire de même norme ω.

On note f le coefficient de frottement cylindre / planche, identique pour les deux cylindres.

On note

€

R1 = N1ey + T1ex et

€

R2 = N 2ey + T2ex les actions de contact des cylindres (1) et (2) sur la planche.

A l’instant initial, on pose une planche homogène de masse m d’épaisseur négligeable, dans une position légèrement dissymétrique ; on constate que, sous certaines conditions, la planche oscille sinusoïdalement. On définit la position de la planche par la variable x(t) = OG, où O est la position symétrique relativement aux deux cylindres et G le centre de masse de la planche.

Les conditions initiales sont alors :

€

x(0) = x0 et

€

dxdt

(0) = v(0) = 0

1. Donner les expressions des vitesses de glissement aux points de contact I1 et I2 en fonction de v, b et ω. En déduire que la planche glisse sur chaque cylindre.

2. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la planche et en tirer deux relations scalaires

C2 C1

G

x

d d

O I1 I2

y


3. Appliquer le théorème du moment cinétique barycentrique. 4. Déduire des questions précédentes les expressions de N1 et N2 en fonction de m, g, x et d. Donner alors une condition portant sur x0 assurant que la planche reste en contact des cylindres.

5. En déduire une équation différentielle en x(t) et la résoudre avec les conditions

initiales données en début d’énoncé. On posera

€

ω0 =gfd

.

6. Montrer qu’il existe une vitesse de rotation des cylindres minimale, notée ωm en dessous de laquelle le système ne peut plus osciller. Donner son expression. 7. Peut-on observer des oscillations si on inverse le sens de rotation de chaque cylindre ? Exercice 10 : Fermeture d’une portière

Une voiture, initialement à vitesse nulle, démarre en ligne droite horizontale avec une accélération

€

γ constante. Une porte de cette voiture est schématisée par un carré, homogène de masse m et de côté b et d'épaisseur négligeable. Cette porte est fixée à la voiture par un de ses côtés verticaux et elle peut tourner librement (sans frottement) autour de ce côté. Soit θ l'angle que fait la porte avec la direction de déplacement de la voiture (voir figure).

Initialement θ = π/2. Voiture vue de dessus

Le moment d'inertie de la porte par rapport à la charnière en A vaut

€

J =13mb2.

1. Dans le référentiel de la voiture, quel est le point d'application de la force d'entraînement sur la porte ? Justifiez votre réponse.

2. Déterminer la vitesse angulaire de la porte quand elle se ferme.

3. Déterminer le temps nécessaire à la fermeture de la portière. On donne pour cela

€

dθcosθ0

π2∫ = 2,62

Exercice 11 : Moteur d’axe fixe

On considère un moteur d’axe horizontal fixe qui exerce un couple constant C sur une poulie de rayon R. Une masse M est suspendue à la poulie, de moment d’inertie J par rapport à son axe de révolution.

On note ω(t) la vitesse angulaire de la poulie autour de son axe.

1. La poulie tourne sans frottements.

1.a. Quelle est la condition sur C pour que la masse puisse remonter ?

A


Dans la suite, on suppose cette relation satisfaite. A t = 0, le mouvement démarre à partir d’une vitesse angulaire initiale nulle pour la poulie ω(0) =0.

1.b. Trouver une relation cinématique entre ω et v, vitesse de M.

1.c. Appliquer le théorème du moment cinétique à la poulie.

1.d. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la masse M.

1.e. En déduire une équation différentielle sur ω(t) et la résoudre.

1.f. La solution vous semble-t-elle physiquement satisfaisante ?

2. On cherche à modéliser les frottements propres au système {moteur + poulie} et pour cela on effectue des essais à vide, c’est à dire qu’aucune masse n’est suspendue. La poulie est mise initialement en rotation avec une vitesse angulaire ω(0) = ω0.

A t = 0, le couple moteur C est arrêté. On observe qu’au bout d’un temps τ, la vitesse de rotation a diminué de moitié.

2.a. On suppose que les frottements sont de type fluide et exercent un couple résistant

€

Cf = −αω . Déterminer le coefficient α en fonction des données du problème. Dépend-il des conditions initiales ?

2.b. On observe un arrêt total de la rotation au bout d’un temps τ ’ = 2,5τ. Justifier que le modèle précédent ne convient pas totalement et proposer une loi corrective pour le frottement. L’expression du coefficient α trouvée précédemment est-elle modifiée ?

Exercice 12 : Le patineur

On s’intéresse à un patineur effectuant des tours sur place (on appelle cette figure une pirouette) à la vitesse angulaire ω0, les deux pieds au sol et les bras restant « collés » le long du corps.

On néglige les frottements de pivotement des patins sur la glace.

Il monte ses bras et les place « en croix » à l’horizontale, tournant alors à la vitesse

angulaire ω1. Estimer le rapport

€

ω1

ω0

.

On pourra se poser comme question préliminaire si le rapport doit être supérieur ou inférieur à 1.


Exercice 13 : Expérience de Cavendish

En 1798 le physicien Henri Cavendish réalise une expérience lui permettant de « peser » la Terre et d’obtenir la valeur de la constante de gravitation G. Aux extrémités d’une tige de bois de longueur l = 2m et de masse négligeable, il fixe deux boules de plomb de masse m = 730g puis en suspendant le tout à un fil de torsion, il réalise un pendule de torsion. On rappelle qu’un fil de torsion produit un couple de rappel, qui s’oppose à la torsion, proportionnel à l’angle de torsion θ : Le moment du couple par rapport à l’axe du fil vaut Γ = −Cθ où C désigne la constante de torsion.

1. Cavendish cherche d’abord à mesurer la constante de torsion en faisant osciller le pendule de torsion. Montrer à l’aide du théorème du moment cinétique que l’angle de torsion vérifie l’équation d’un oscillateur de pulsation propre :

€

ω0 =2Cml2

2. Cavendish, mesure la période T des oscillations. Il trouve T = 7mn. En déduire la constante de torsion.

3. Il place ensuite à la distance r = 22,5 cm des deux masses, deux grosses boules de plomb de masse M = 158 kg, comme l’indique la figure. Montrer que la position d’équilibre est déviée d’un angle Δθ (la déviation étant très faible on considèrera que r reste constant).

4. Cavendish trouve G = 6, 75.10−11 N.m2.kg−2. Calculer la déviation angulaire correspondante. Commentez.

Δθ


ENERGIE DU SOLIDE

AC8 : Roue qui monte sur un plan incliné On suppose qu’une roue, de rayon a, roule sans glisser sur un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale. On considère que la roue monte sous l’action d’un couple moteur constant Γm. Déterminer la puissance totale des actions exercées sur la roue en fonction de

€

˙ θ , vitesse angulaire associée à la rotation de la roue.

AC9 : pendule pesant On reprend les mêmes notations que pour AC8. Déterminer l’équation du mouvement par application du TPC.

Exercice 14 : Deux sphères qui roulent

On dispose de deux sphères de même masse m, de même rayon R. La sphère n°1 est pleine (en aluminium) et la sphère n°2 est creuse (en plomb) dont on supposera la masse répartie en surface. On les fait rouler sur un plan incliné qui fait un angle α avec l’horizontale en les lâchant sans vitesse initiale. On suppose que le roulement se fait sans glissement.

1. Comparer les moments d’inertie des deux sphères, notés J1 et J2.

2. Pour chacune des deux sphères, donner :

2.a. la vitesse vi du centre en fonction de la vitesse angulaire ωi et de R.

2.b. l’énergie cinétique en fonction de m, R, vi et Ji.

3. Etude dynamique :

3.a. En appliquant le TPC, exprimer

€

dvi

dt en fonction de m, R, Ji, α et g.

3.b. Conclure : quelle sphère descendra le plus rapidement la pente ?

Exercice 15 : Le seau qui plonge dans un puits

Un treuil est constitué d’un cylindre de révolution de rayon R et de moment d’inertie J par rapport à son axe horizontal Δ. On suppose que le cylindre tourne sans frottement autour de son axe. Une corde, inextensible et dont on négligera l’épaisseur et la masse, est enroulée sur le cylindre et retient un seau de masse M.

En appliquant la conservation de l’énergie, et en vérifiant au préalable qu’elle se conserve bien, déterminer l’accélération du seau si le système est laissé à lui-même.

€

ω


Exercice 16 : Chute d’une chaîne

Une chaîne AB homogène et sans raideur, de masse m et de longueur d, est posée sur le bord d’une table horizontale, sans vitesse initiale.

L’axe (Oz) est orienté vers le bas, O se trouvant au bord de la table. La partie OA de la chaîne pend dans le vide tandis que le reste BO repose sur la table. On repère par z la position de A telle que OA(t) = z(t). Initialement z(t = 0)= a.

On néglige tout frottement interne à la chaîne d’une part, et entre la table et la chaîne d’autre part.

1. Donner l’expression de l’énergie mécanique de la chaîne.

2. En déduire l’équation différentielle que vérifie z(t).

3. Déterminer alors la loi z(t).

Exercice 17 : Chute d’une échelle (partie 3)

On reprend les conditions et résultats des exercices 3 et 5 On suppose que l’échelle glisse en A avec un frottement de coefficient f et qu’elle glisse en B sans frottement. Le référentiel d’étude est supposé galiléen.

1. Définir le nombre de degrés de liberté ainsi que les actions inconnues. En déduire le nombre d’équations nécessaires à l’étude de la chute.

2. L’échelle chute : appliquer le théorème des puissances cinétiques. 3. Utiliser une seconde équation tirée d’un théorème de la dynamique pour lever l’inconnue présente dans l’équation de la question 2). En déduire l’équation différentielle du mouvement en θ.

4. A quelle condition sur θ peut-on avoir le maintien en équilibre de l’échelle ?

Exercice 18 : Oscillations d’une roue lestée

Un point matériel A de masse m est solidaire de la surface d’une roue assimilé à un disque homogène de masse M de centre C de rayon R de moment d’inertie J par rapport à son axe de révolution et qui roule sans glisser sur un sol horizontal. On note I le point de contact de la roue avec le sol. La rotation de la roue est repérée par l’angle θ orienté entre la verticale descendante et le rayon CA. Quel lien y a-t-il entre la vitesse du centre C et le vecteur rotation de la roue ? En déduire en fonction de θ, de ses dérivées et des constantes du problème, l’énergie cinétique de la roue lestée, son énergie potentielle de pesanteur. En déduire la période des petites oscillations.

θ

x

zx

O

A

I

C


Exercice 19 : Freinage d’une voiture : Une voiture, de masse totale M = 1,0 tonne est constituée d’un châssis et de quatre roues de rayon R = 30 cm et de masse m = 20 kg chacune. Le moment d’inertie d’une

roue par rapport à son axe de rotation s’écrit

€

J =mR2

2.

La voiture commence à freiner alors que sa vitesse est v0 = 130 km.h-1. On suppose que le mouvement est rectiligne horizontal et que les roues roulent sans glisser sur le sol. Le référentiel terrestre d’étude est supposé galiléen.

1. Exprimer l’énergie cinétique de la voiture à un instant t quelconque où la voiture se déplace à une vitesse v.

2. Déterminer la distance d’arrêt d si chaque roue est soumise à un couple de freinage constant de norme C0 = 350 Nm et que le couple moteur est stoppé.

Exercice 20 : Mesure d’un coefficient de frottements

Deux objets M et M’ (masses m et m’) sont reliés par un fil inextensible, de masse négligeable, susceptible de glisser sans frottement sur une poulie fixe, parfaite (pas de couple de frottements) et dont on négligera l’inertie. Initialement, le fil est tendu et l’objet M’ se trouve à une hauteur h du sol.

A l’instant t = 0, un opérateur enlève le support et l’objet M se met à glisser sur un plan horizontal avec un coefficient de frottement f. 1. En considérant deux phases pour le mouvement de M, exprimer la distance D parcourue par M avant de s’arrêter. 2. En déduire f en fonction de m, m’, h et D.

3. Sans tout refaire, indiquer ce qui change dans la mise en place du problème si on suppose que la poulie possède un moment d’inertie J par rapport à son axe central de rotation.

M

M’

h


EXERCICES « LIBRES »

Exercice 21 : Yoyo horizontal

On schématise un yoyo par deux disques identiques homogènes de rayon R et de masse M, reliés par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse négligeable autour duquel est enroulé un fil. Les deux disques et le tambour sont solidaires et ont même axe.

Le Yoyo est posé sur un plan horizontal sur lequel il roule sans glisser. On exerce sur le fil une force constante faisant un angle α avec l’horizontale. On notera que le point d’action de la force

€

F se ramène au point du tambour tangent au fil tendu.

1. Déterminer l’expression de l’accélération du Yoyo et en déduire le sens de déplacement horizontal en fonction de l’angle α.

2. On note f le coefficient de frottement entre le Yoyo et le sol. Quelle condition portant sur F, a, R, M et α, doit vérifier f pour que l’hypothèse du roulement sans glissement soit validée ?

Exercice 22 : Chute d’une tartine beurrée

Une tartine parallélépipédique est posée en porte-à-faux sur le coin d’une table (centre de gravité G, masse m, moment d’inertie J par rapport à (Gy), d’épaisseur négligeable (même si cela ne paraît pas évident sur le schéma) , valeur du porte-à-faux a). L’action de la table se décompose en une composante normale de module N et une tangentielle de module T, le coefficient de frottement est f. On note θ l’angle dont tourne la tartine par rapport à sa position initiale horizontale supposée sans vitesse. On étudie le mouvement de bascule de la tartine autour du coin de la table et on suppose que celui-ci s’effectue sans glissement. 1. Dans ce mouvement, la tartine est-elle un système conservatif ?

2. Déterminer

€

dθdt

et

€

d 2θdt 2 en fonction de θ et des constantes du problème.

3. Même question pour N et T. 4. Tracer l’allure des graphes donnant N et T en fonction de θ. La tartine décolle-t-elle de la table avant de glisser ou l’inverse ?

€

g

€

F

α

z

x

θ a

G

€

N

€

T

€

mg


Exercice 23 : Machine d’Atwood

Une poulie de rayon a, de moment d’inertie J par rapport à son axe supporte, grâce à un fil inextensible de masse négligeable et non glissant, d’un côté une masse M et de l’autre une masse M et une surcharge m (cf figure). Calculer l’accélération du système. On utilisait cette machine en TP de physique en classe de terminale vers la fin des années 60 pour mesurer l’accélération de la pesanteur. Quel intérêt par rapport à une mesure directe ? La poulie n’est pas vraiment un disque homogène et J est difficile à évaluer. On faisait deux mesures d’accélération pour deux valeurs différentes de M. Expliquer le pourquoi e2le comment.

Exercice 24 : Palan

Calculer, en fonction du module V de la vitesse verticale de la masse M, l’énergie cinétique du système formé par les masses M et m, les deux poulies identiques de masse µ, de rayon a et de moment d’inertie J par rapport à l’axe de révolution et le fil de masse négligeable, inextensible. Le fil ne glisse pas sur les poulies, celle du haut a un centre fixe et celle du bas s’élève. En déduire l’accélération de la masse M. En profiter pour rappeler l’intérêt du palan sur la poulie.

Exercice 25 : Un oscillateur bis

Déterminer la période des oscillations du système ci-contre, le fil étant inextensible et ne glissant pas sur la poulie. On négligera tout frottement.

(J, a)

M M+m

m

M

(µ, a, J )

(µ, a, J )

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