S1 2005-2006 - Mathématiques IUT Mesures Physiques - Grenoble I

TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

T Exercices théoriques :

1. Donner,sans calculatrice, les sinus, cosinus et tangente des anglesπ6, 3π

4 , −π3 , 5π

6 , 2π3 , 3π

2 .

2. On se donnea etb dans[0;π/2], tels que cosa = 14 et sinb = 2

5.Calculer sina et cosb. En déduire les valeurs de cos(a+b) et de sin(a+b).

3. Résoudre les équations suivantes dansR (on donnera l’ensemble des solutions sous forme devaleurs exactes, puis une valeur approchée à 10−2 près de la plus petite solution positive) :

(a) cosx =√

32

(b) sin 2x = −12

(c) sinx = cosx

(d)√

3cosx−sin x = 1

(e) tan 3x = 1√3

(f) 2sin2 x+sin x−1 = 0

(g) 2cosx+0.5sinx = 1.5

(h) cosx+0.2sinx = 6

(i) 3cosx−4sinx = 5

4. Résoudre les équations suivantes dans[−1;1] :

(a) arcsinx = 3π4 (b) arcsinx = arccosx (c) arcsin2

5 −arccosx = −π2

P Exercices pratiques :

1. Mesure du rayon de la Terre par Eratosthène, vers -200 av.J.C: Lors du solstice d’été, à midi,le soleil est au zénith dans la ville de Syène (Assouan). A Alexandrie, située à 800km au nord surle même méridien, les rayons du soleil font un angle de 7◦ avec la verticale.Avec ces données, retrouver la valeur du rayon de la Terre calculée par Eratosthène. Quelle estl’erreur avec la valeur aujourd’hui mesurée, 6378km ?

2. Tunnel : pour relier deux villesC et F distantes de 80km, on veut percer un tunnel entre deuxpointsC′ et F ′ situés 200m sousC et F.Deux options se présentent : ou bien percer en ligne droite, ou bien percer en restant en perma-nence à une profondeur de 200m.Comparer les distances à percer dans les deux cas ; dans le premier cas, quelle sera la profondeurmaximale atteinte ?

3. Tension électrique : u(t)= Acos(ωt +ϕ) représente la tension aux bornes d’une prise de courant(ω est appelé pulsation,A amplitude ou tension maximale).

(a) Montrer queu est périodique.Calculer en fonction deω sa période et sa fréquence (l’inverse de la période).

(b) La tension efficace correspondant à une tension variablede périodeT est donnée par

U2e f f =

1T

Z T

0u2(t)dt.

CalculerUe f f en fonction deA et ω.

(c) Sachant qu’en France la fréquence du courant est de 50Hz et la tension efficace de 220V,déterminerA et ω.

(d) On suppose de plus queϕ = π/4. Représenter graphiquementU .

(e) Calculerdudt et d2u

dt2 . En déduire queu est une solution de l’équation différentielle

d2udt2 +ω2u = 0.

(f) Déterminer la primitive deU qui s’annule en 0.

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CORRECTION DU TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

T Exercices théoriques :

1. Il suffit de connaître les valeurs de base sur[0; π2] puis d’utiliser les propriétés de symétrie, à l’aide

d’un cercle trigonométrique. Vérifiez vos résultats une calculatrice...

2. a et b étant dans[0;π/2], sina et cosb sont positifs.

Comme de plus(sina)2 = 1− (cosa)2 = 1− 116, sina =

√154 . De même, cosb =

√215 .

Alors cos(a+b) = cosacosb−sinasinb =√

3(√

7−2√

5)20 , et de même, sin(a+b) = 2+3

√35

20 .

3. (a) x est de la formeπ6 +2kπ, ou bien de la forme−π6 +2kπ , pourk ∈ Z. x ≃ 0.52.

(b) x est solution si et seulement si 2x vaut −π6 + 2kπ ou 7π

6 + 2kπ, donc : x = − π12 + kπ ou

x = 7π12 + kπ, k ∈ Z. x ≃ 1.83.

(c) Un raisonnement géométrique permet d’éviter les calculs : l’anglex est solution si et seule-ment si l’abscisse et l’ordonnée du point correspondant du cercle trigonométrique sont égales.Doncx = π

4 +2kπ oux = 5π4 +2kπ. x ≃ 0.78.

(d) L’équation équivaut successivement à√

32 cosx− 1

2 sin x = 12, cosπ

6 cosx−sinπ6 sinx = cosπ

3,d’où finalement cos(x+ π

6) = cosπ3.

Doncx+ π6 = ±π

3 +2kπ, k ∈ Z, les solutions sont lesπ6 +2kπ et −π2 +2kπ, k ∈ Z. x ≃ 0.52.

(e) tan 3x = 1√3

= tanπ6 équivaut à : 3x = π

6 + kπ, donc àx = π18 + k π

3 , k ∈ Z. x ≃ 0.17.

(f) 2sin2 x+sin x−1 = 0. On résoud d’abord 2X2+X −1, on trouveX = −1 etX = 12.

En remplaçantX par sinx, on obtient donc deux équations trigonométriques, dont lessolutionssont tous les−π

2 +2kπ, π6 +2kπ et 5π

6 +2kπ, k ∈ Z. x ≃ 0.52.

(g) On transforme d’abord l’équation en4√17

cosx+ 1√17

sinx = 3√17

.

Soit alorsα = arccos 4√17

. Alors (sinα)2 = 117, et commeα ∈ [0;π], sinα = 1√

17. L’équation

équivaut donc à cosα cosx+sin α sinx = 3√17

, donc à cos(x−α) = cos(arccos 3√17

).

Ainsi, x−α =±arccos( 3√17

)+2kπ ; les solutions sont donc les arccos4√17±arccos 3√

17+2kπ,

k ∈ Z. x ≃ 1 (et pourtant,x est différent de 1 ! ! !).

(h) On transforme l’équation en5√26

cosx + 1√26

sin x = 6√26

. Mais on remarque alors que le

membre de gauche est de la forme cos(x− β) (cf.le cours, et l’équation précédente), alorsque le membre de droite est strictement supérieur à 1 : il n’y apas de solution.

(i) 35 cosx− 4

5 sinx = 1, donc siγ = arccos35, sinγ = 4

5, et cos(x+γ) = 1. Ainsi,x+γ = 2kπ, doncles solutions sont les−arccos3

5 +2kπ. x ≃ 5.36.

4. C’est plus simple que les équations avec les fonctions directes !

(a) La fonction arcsin prend ses valeurs dans[−π/2;π/2] : l’équation n’a donc pas de solution...

(b) arcsin est à valeurs dans[−π/2;π/2] et arccos dans[0;π], donc en fait la valeur commune estdans[0;π/2]. Doncx est dans[0;1].

L’équation est alors équivalente àx = sinarccosx =√

1− x2, d’où x =√

2/2 (carx > 0 !).

(c) arcsin25 + π

2 = arccosx, d’où x = cos(arcsin25 + π

2) = −sin(arcsin25) = −2

5.

2

P Exercices pratiques :

1. Un petit croquis représente la situation :

b O

b S

b A

7◦

Les rayons du soleil étant parallèles entre eux (le soleil est à l’infini), l’angle SOA vaut aussi 7◦.Un angle de 360◦ correspond au périmètre du cercle, 2πR, et un angle de 7◦ à la distanceAS lelong du cercle. On a donc par proportionnalité la relation :

R×7× π180

= 800000.

Ainsi, R ≃ 6548000, soit 6548km.L’erreur relative vaut alors|6548−6378|/6378= 0.0267 soit seulement de 2.67% de la valeurmesurée aujourd’hui !

2. Tunnel : R désignant le rayon de la terre,O son centre, etd la distance terrestre entreC et F,l’angleCOF estα = d

R (radians).– distance en ligne droite entreC′ et F ′ : appelonsM le milieu de [C′F ′]. Alors OMC′ est

rectangle enM, et l’angle enO vaut α/2, d’où la relationC′F ′ = 2C′M = 2C′Osin(α/2) =2(R−0.2)sin(α/2) ≃ 79.99697km.

– La distance deC′ à F ′ à une profondeur constante de 200m vaut :(R−0.2)dR = (R− 0.2)α ≃

79.99749km.La différence entre les distances est donc de(R−0.2)|α−2sin(α/2)| ≃ 0.52m.La profondeur maximale atteinte dans le premier cas vautR− (R−0.2)cos(α/2) ≃ 325.4m.

3. Tension électrique :

(a) T = 2πω , f = ω

2π .

(b) u2(t) = A2

2 (1+cos(2ωt +2ϕ)) à l’aide de la formule 2cos2 x = 1+cos2x....

Mais intégrer un cosinus sur une période donne 0 (faites-le !), et on obtient donc :U2e f f = A2

2 ,

doncUe f f = A√2≃ 0.707A. On remarque queUe f f ne dépend pas deω !

(c) f = 50 doncω ≃ 314. A = 230√

2≃ 325V .

(d)

(e) La dérivée deu estdudt (t) =−Aωsin(ωt +ϕ), donc la dérivée seconde vautd2u

dt2 (t) =−Aω2cos(ωt +ϕ) = −ω2u(t), d’où le résultat.

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