Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses...

71
Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6 6.1 Rappel (fonctions trigonométriques) Nous aborderons maintenant une autre classe de fonctions dites élémentaires, les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont indispensables à l’étude des phénomènes périodiques. mesure d’angles θ figure 6.1.1 θ figure 6.1.2 360° figure 6.1.3 La variable indépendante de toute fonction trigonométrique est un angle. On construit un angle en effectuant dans un plan la rotation d’un segment de droite autour d’une de ses extrémités. Un angle dont le côté initial est sur l’axe des abscisses et dont le sommet est le point d’origine est dit en position standard ou canonique. L’angle est positif lorsque la rotation est faite dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (figure 6.1.1) et négatif si la rotation est faite dans le sens des aiguilles d’une montre (figure 6.1.2). Depuis l’antiquité, on mesure les angles en degrés. L’angle de 360° est associé à une rotation complète du segment de droite. Dans ce cas le segment de droite revient à sa position initiale après avoir fait une rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (figure 6.1.3). Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi le nombre 360; ils croyaient alors que la terre faisait un tour sur elle- même en 360 jours. Lorsqu’on fait intervenir le calcul différentiel, il est essentiel d’utiliser une autre mesure, le radian. L’emploi du radian comme mesure d’angles simplifie la dérivée des fonctions trigonomé- triques, de la même façon que la base e simplifie la dérivée des fonctions exponentielles et logarithmiques. définition 6.1.1 le radian lorsque r = 1, la mesure en radians de l’angle AOB correspond à la longueur de l’arc AB On mesure un angle θ en radians en traçant d’abord un cercle centré sur le sommet de l’angle puis, on établit le rapport entre l’arc de cercle s qu’il sous-tend et le rayon r du cercle. L’unité «radian» est habituellement omise. θ s r A B O θ = s r A θ s r A secteur angulaire une révolution = longueur de l’arc circonférence = aire du secteur aire du cercle θ 2π = s 2πr = A πr 2 s = rθ et A = 1 2 r 2 θ

Transcript of Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses...

Page 1: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

Fonctions trigonométriques ettrigonométriques inverses 66.1 Rappel (fonctions trigonométriques)

Nous aborderons maintenant une autre classe de fonctions ditesélémentaires, les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sontindispensables à l’étude des phénomènes périodiques.

mesure d’angles

’θ

figure 6.1.1

θ ’

figure 6.1.2

360°

figure 6.1.3

La variable indépendante de toute fonction trigonométrique est unangle. On construit un angle en effectuant dans un plan la rotationd’un segment de droite autour d’une de ses extrémités. Un angle dontle côté initial est sur l’axe des abscisses et dont le sommet est le pointd’origine est dit en position standard ou canonique. L’angle estpositif lorsque la rotation est faite dans le sens inverse des aiguillesd’une montre (figure 6.1.1) et négatif si la rotation est faite dans lesens des aiguilles d’une montre (figure 6.1.2).

Depuis l’antiquité, on mesure les angles en degrés. L’angle de 360° estassocié à une rotation complète du segment de droite. Dans ce cas lesegment de droite revient à sa position initiale après avoir fait unerotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre(figure 6.1.3). Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi lenombre 360; ils croyaient alors que la terre faisait un tour sur elle-même en 360 jours. Lorsqu’on fait intervenir le calcul différentiel, ilest essentiel d’utiliser une autre mesure, le radian. L’emploi du radiancomme mesure d’angles simplifie la dérivée des fonctions trigonomé-triques, de la même façon que la base e simplifie la dérivée desfonctions exponentielles et logarithmiques.

définition 6.1.1

le radian

lorsque r = 1, la mesureen radians de l’angleAOB correspond à lalongueur de l’arc AB

On mesure un angle θ en radians en traçantd’abord un cercle centré sur le sommet del’angle puis, on établit le rapport entre l’arcde cercle s qu’il sous-tend et le rayon r ducercle. L’unité «radian» est habituellementomise.

θs

r A

B

O

θ = sr

Aθs

rA

secteur angulaireune révolution =

longueur de l’arc circonférence =

aire du secteuraire du cercle

θ

2π = s

2πr = A

πr2

⇒ s = rθ et A = 12

r2θ

Page 2: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-2

relation entredegrés et radians

Comme la circonférence d’un demi-cercle de rayon r est πr et que θ= s/r, un angle de 180° correspond à un angle en radians de

θ = sr =

πrr = π

Par conséquent 180° = π radians .

exemple 6.1.1

pour convertir desdegrés en radians, onmultiplie la mesure en

degrés par π

180

Convertir 30° en radians.____________

Une simple règle de trois permet d’effectuer la conversion. Si θ est laquantité cherchée,

180° = π

30° = θ

⇒ θ = 30°× π180° =

π6

exemple 6.1.2

pour convertir desradians en degrés, onmultiplie la mesure en

radians par 180π

Convertir π/4 radians en degrés____________

Si θ est la quantité cherchée,

180° = π

θ = π/4

⇒ θ = π/4× 180°

π = 45°

exemple 6.1.3

π/3

r = 6

s = ?

figure 6.1.4

Calculer la longueur de l’arc de cercle de la figure 6.1.4.____________

On a S = rθ (où θ est un angle en radians)

= 6(π/3)

= 2π (6,28)

définition 6.1.2

les six rapportstrigonométriques

(x, y)

θr

x

y

P

O

hypo

ténu

se

côté adjacent

côté

o

pp

osé

θ

Soit θ un angle en position standard et P(x, y) un point situé à unedistance r de l’origine O sur le côté terminal de l’angle.

sinus: sin θ = yr ; cosécante: cosec θ =

ry

cosinus: cos θ = xr ; sécante: sec θ =

rx

tangente: tg θ = yx ; cotangente: cotg θ =

xy

Si le point P(x, y) est dans le premier quadrant alors θ est un angleaigu d’un triangle rectangle. Dans un tel cas, on peut définir les sixrapports trigonométriques de la manière suivante.

sin θ = côté opposéhypoténuse ; cosec θ =

hypoténusecôté opposé

cos θ = côté adjacenthypoténuse ; sec θ =

hypoténusecôté adjacent

tg θ = côté opposécôté adjacent ; cotg θ =

côté adjacentcôté opposé

Page 3: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-3

les six fonctionstrigonométriques

Les six rapports trigonométriques permettent de définir six nouvellesfonctions: sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg), cotangente (cotg),sécante (sec) et cosécante (cosec). L’étude de ces fonctions est grande-ment simplifiée lorsqu’elle est faite à partir d’un cercle de rayon 1.

le cercletrigonométrique

On considère d’abord un cercle de rayon 1centré à l’origine d’un plan cartésien que l’onnomme cercle trigonométrique. On trace unangle de θ radians ayant pour sommet le point(0, 0) et dont l’un des côtés repose sur l’axepositif des x. L’autre côté rencontre le cercle enun point (x, y). On appelle

r = 1

(0, 0)θ

(cos θ, sin θ)

• sin θ la valeur de y, • cosec θ la valeur de 1/y,

• cos θ la valeur de x, • sec θ la valeur de 1/x,

• tg θ la valeur de y/x, • cotg θ la valeur de x/y.

exemple 6.1.4

π/2

(0, 1)

Trouver sin (π/2) , cos(π/2) , tg(π/2) , cotg(π/2) , sec(π/2) et cosec(π/2).__________________________________

L’angle de π/2 est associé au couple (x, y) = (0, 1) ;

⇒ sin(π/2) = 1 ; tg(π/2) = 1/0 ( ∃/ ) ; sec(π/2) = 1/0 ( ∃/ )

cos(π/2) = 0 ; cotg(π/2) = 0/1 = 0 ; cosec(π/2) = 1/1 = 1

exemple 6.1.5

θ

45

52 - 42 = 3

Si sin θ = 4/5 (0< θ<π/2), trouver cos θ , tg θ , cotg θ , sec θ , cosec θ__________________________________

sin θ = côté opposéhypoténuse =

45 , par la relation de Pythagore on a

côté adjacent = √52 - 42 = 3

⇒ cos θ = côté adjacenthypoténuse =

35 ; sec θ =

hypoténusecôté adjacent =

53

tg θ = côté opposécôté adjacent =

43 ; cosec θ =

hypoténusecôté opposé =

54

cotg θ = côté adjacentcôté opposé =

34

angles remarquables Il est possible à l’aide de la géométrie élémentaire d’obtenir la valeurexacte de sin θ et de cos θ lorsque θ = π/6, θ = π/4 ou θ = π/3.

sin(π/6) = 1/2

cos(π/6) = √ 3/2

sin(π/4) = √ 2/2

cos(π/4) = √ 2/2

sin(π/3) = √ 3/2cos(π/3) = 1/2

1/21

π/6

π/3

( 3/2,1/2)

3/2

1

π/4

π/4

( 2/2, 2/2)

2/2

2/2

1

π/3

π/ 6

(1/2, 3/2)

3/2

1/2

Page 4: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-4

exemple 6.1.6

Trouver sin(π/6) , cos(π/6) , tg(π/6) ,cosec(π/6). ____________

L’angle de π/6 est associé au couple(x, y) = (√ 3/2, 1/2) ;

⇒ sin(π/6) = 1/2

cos(π/6) = √ 3/2

cotg(π/6) , sec(π/6) et

π/6

( 3/2, 1/2)

tg(π/6) = 1/2

√ 3/2 =

1

√ 3 =

1

√ 3 √ 3

√ 3 = √ 3

3

cotg(π/6) = √ 3/21/2 = √ 3

sec(π/6) = 1

√ 3/2 =

2

√ 3 =

2

√ 3 √ 3

√ 3 =

2√ 33

cosec(π/6) = 21 = 2

II en est de même pour les angles associés à des couples symétriques surle cercle trigonométrique.

π (180°) → (−1, 0) 0 (0°) → (1, 0)

3π/2 (270°) → (0, -1)

π/3 (60°) → (1/2, 3/2)

π/4 (45°) → ( 2/2, 2/2)

π/6 (30°) → ( 3/2, 1/2)

11π/6 (330°) → ( 3/2, -1/2)

7π/4 (315°) → ( 2/2, - 2/2)

5π/3 (300°) → (1/2, - 3/2)4π/3 (240°) → (-1/2, - 3/2)

5π/4 (225°) → (- 2/2, - 2/2)

7π/6 (210°) → (- 3/2, -1/2)

5π/6 (150°) → (- 3/2, 1/2)

3π/4 (135°) → (- 2/2, 2/2)

2π/3 (120°) → (-1/2, 3/2)

(+,+)(-,+)

(-,-) (+,-)

π/2 (90°) → (0, 1)

Page 5: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-5

identitéstrigonométriques

une fonction ƒ(x) estpériodique de période

p > 0 si ƒ(x + p) = ƒ(x)pour toute valeur de x

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.

(k est un nombre entier)1. sin(θ ± 2kπ) = sin θ2. cos(θ ± 2kπ) = cos θ

(cos θ, -sin θ)

(cos θ, sin θ)

θ−θ

La fonction sinus est une fonction impaire tandis que la fonction cosinusest une fonction paire.

3. sin(-θ) = -sin θ4. cos(-θ) = cos θ

Deux identités fort utiles, sont les identités d’angles complémentaires etcelles permettant les translations horizontales.

5. sin θ = cos( )π2 - θ = cos( )θ - π2

6. cos θ = sin( )π2 - θ = sin( )θ + π2

Plusieurs identités découlent directement de la définition 6.1.2.

7. sec θ = 1

cos θ 10. tg θ = sin θcos θ

8. cosec θ = 1

sin θ 11. cotg θ = cos θsin θ

9. tg θ = 1

cotg θ

cos θ

r = 1

θ

(cos θ, sin θ)

sin θ

En utilisant la relation de Pythagore sur la figure de gauche, on a

12. sin2 θ + cos2 θ = 1

Si on divise chaque membre de l’identité 12 par cos2 θ on obtientl’identité 13 et si on on divise chaque membre de l’identité 12 parsin2 θ on obtient l’identité 14,

13. tg2 θ + 1 = sec2 θ14. 1 + cotg2 θ = cosec2 θ

mais attention!

sin(θ1+θ2) ≠ sinθ1 + sinθ2sin(θ1 -θ2) ≠ sinθ1 - sinθ2

cos(θ1+θ2) ≠ cosθ1 + cosθ2cos(θ1 -θ2) ≠ cosθ1 - cosθ2

Les identités d’addition pour le sinus et le cosinus sont:

15. sin(θ1+θ2) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1

16. sin(θ1–θ2) = sin θ1 cos θ2 – sin θ2 cos θ1

17. cos(θ1+θ2) = cos θ1 cos θ2 – sin θ1 sin θ2

18. cos(θ1–θ2) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2

Page 6: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-6

À partir des identités 15 et 17, on peut en déduire deux autres sur lesinus et le cosinus d’angles doubles.

19. sin 2θ = 2 sinθ cosθ20. cos 2θ = cos2 θ - sin2 θ

En utilisant l’identité 12 dans la dernière, on obtient

21. sin2 θ = 1 - cos 2θ

2

22. cos2 θ = 1 + cos 2θ

2

résolution d’équationstrigonométriques

On résout une équation contenant une ou plusieurs fonctions trigono-métriques de la même façon que l’on résout les équations algébriques.

exemple 6.1.7

on s’assure d’abord que lesarguments des fonctions

trigonométriques sont lesmêmes puis, si c’est

possible, on transforme touten sinus ou en cosinus

Résoudre l’équation sin 2x = sin x pour x ∈ [0, 2π[ . ____________

sin 2x = sin x

2 sin x cos x = sin x (identité 19)

2 sin x cos x - sinx = 0

(sin x)(2 cos x - 1) = 0

⇒ sin x = 0 ou cos x = 12

Lorsque l’angle x ∈ [0, 2π[, on a

sin x = 0 ⇒ x → (1, 0) ⇒ x = 0

x → (-1, 0) ⇒ x = π

cos x = 12 ⇒

x → (1/2, √ 3/2) ⇒ x = π

3

x → (1/2, -√ 3/2) ⇒ x = 5π3

Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont { } 0 , π3

, π , 5π3

.

Page 7: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-7

exemple 6.1.8

Résoudre l’équation sin2 x - cos2 x + sin x = 0 pour x ∈ [0, 2π[ . ____________

sin2 x - cos2 x + sin x = 0

sin2 x - (1 - sin2 x) + sin x = 0 (identité 12)

sin2 x - 1 + sin2 x + sin x = 0

2 sin2 x + sin x - 1 = 0

(2 sin x - 1)(sin x + 1) = 0

⇒ sin x = 12 ou sin x = -1

Lorsque l’angle x ∈ [0, 2π[, on a

sin x = 12 ⇒

x → (√ 3/2, 1/2) ⇒ x = π

6

x → (-√ 3/2, 1/2) ⇒ x = 5π6

sin x = -1 ⇒ x → (0, -1) ⇒ x = 3π2

Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont { } π6 ,

3π2

, 5π6

.

exemple 6.1.9

il n’est pas toujoursnécessaire de tout

exprimer en sinus ou encosinus

Résoudre l’équation cos2 x = sin2 x pour x ∈ [0, 2π[ . ____________

rép: { } π4

, 3π4

, 5π4

, 7π4

Page 8: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-8

graphiquesdes fonctions

trigonométriques

la fonction sinus est unefonction impaire de

période 2π

la fonction cosinus estune fonction paire de

période 2π

y

xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2

1

−1−1

ƒ(x) = sin x

y

xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2

1

−1−1

ƒ(x) = cos xdom sin: R ima sin: [-1, 1] dom cos: R ima cos: [-1, 1]

la fonction tangente estune fonction impaire de

période π

la fonction cotangenteest une fonction impaire

de période π

y

xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2−3π/2

ƒ(x) = tg x

y

xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2−3π/2

ƒ(x) = cotg x

dom tg: R \ { ±π/2 , ±3π/2…} ima tg: R dom cotg: R \ { 0 , ±π , ±2π ...} ima cotg: R

la fonction sécante estune fonction paire de

période 2π

la fonction cosécante estune fonction impaire de

période 2π

y

xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2

1

−1−1

ƒ(x) = sec x

y

xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2

1

−1−1

ƒ(x) = cosec x

dom sec: R \ { ±π/2 , ±3π/2…}ima sec: ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

dom cosec: R \ { 0 , ±π , ±2π …}ima cosec: ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

Page 9: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-9

L’importance des fonctions trigonométriques tient au fait qu’unegrande majorité des phénomènes étudiés en sciences sont périodiques.Les ondes cérébrales ou les battements du coeur sont périodiques. Lecourant électrique, le champ électromagnétique produit par un micro-onde, les mouvements des planètes, les saisons ou encore latempérature sont autant de phénomènes périodiques. On n’a qu’àpenser à un phénomène et on a de fortes chances qu’il soit périodique. Même si tous ces phénomènes semblent totalement différents, ils ontun point en commun leur périodicité. Il a été démontré que

« tout phénomène périodique quel qu’il soit peut êtrereprésenté comme une combinaison algébrique defonctions sinus ou cosinus ».

Par conséquent, une bonne compréhension des fonctions sinus etcosinus, permet de créer des modèles mathématiques pour tout phé-nomène à caractère périodique.

caractérisques dugraphique du sinus

lorsqu’on multipliel’argument par une

quantité supérieure à 1ou inférieure à -1, lacourbe se contracte

1Si l’on multiplie l’argument desin x par une quantité

B > 1 ou B < -1

la période de cette fonctiondiminue; elle devient

2πB

y

x

y = sin x y = sin(2x)

π/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2

1

−1−1

lorsqu’on multipliel’argument par unefraction, la courbe

s’allonge

2Si l’on multiplie l’argument desin x par une quantité

-1 < B < 1

la période de cette fonctionaugmente; elle devient

2πB

y

x

y = sin x y = sin(x/2)

π/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2

1

−1−1

l’amplitude correspondà la moitié de la

différence entre lemaximum et le minimum

de la fonction

3Si l’on multiplie sin x par unequantité

A ≠ 0

l’amplitude de cette fonctiondevient |A|.

y

x

y = sin x

y = 2 sin x

π/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2

1

2

−1

−2−2

Page 10: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-10

le déplacementhorizontal (vers la droiteou vers la gauche) de la

courbe du sinusdétermine le déphasage

de cette courbe

4Si on soustrait une quantité Cpositive à l’argument du sinus,le graphique subit une transla-tion horizontale de C unités versla droite tandis que si onsoustrait une quantité C négativeà l’argument du sinus le gra-phique subit une translationhorizontale de C unités vers lagauche.

y

x

y = sin x

y = sin(x+ /2)π−1

1

π/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2−3π/2

5Si on ajoute une quantité Dpositive à la fonction sin x, legraphique subit une translationverticale de D unités vers lehaut tandis que si on ajoute unequantité D négative à lafonction sin x, le graphiquesubit une translation verticalede D unités vers le bas.

y

x

y = sin x

y = sin x + 1

π/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2

1

−1

2

−2−2

en physique, tous lesmouvements vibratoiressimples, telles les ondes

électromagnétiques et lescordes vibrantes, peuvent

être représentés par dessinusoïdes; on les utilise

aussi pour représenter lesmouvements oscillatoires

d’un pendule ou d’unressort

En résumé

ƒ(x) = A sin B(x - C) + D

correspond à une fonctionsinusoïdale

la période est2π|B|

l’amplitude est |A|

le déphasage est C

déplacement vertical de D

D + |A|

D - |A|

D

C

(C > 0 et D > 0)

y = A sin B (x - C) + D

y

xx|B|

C + 2π

exemple 6.1.10

Tracer le graphique de ƒ(x) = 2 sin 3x.____________________

période: 2π|3|

= 2π3

amplitude: |2| = 2

déphasage: aucun

déplacement vert.: aucun

y

xπ/3 2π/3

2

−2−2

Page 11: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-11

exemple 6.1.11 Tracer le graphique de ƒ(x) = 1

3 sin( )x - π

2 .

____________________

période:

amplitude:

déphasage:

déplacement vert.:

exemple 6.1.12

Tracer le graphique de ƒ(x) = cos(4x + π) + 1 .____________________

les mêmesconsidérations

s’appliquent à lafonction cosinus

période:

amplitude:

déphasage:

déplacement vert.:

exemple 6.1.13 Déterminer à l’aide de la fonction sinus, une équation qui définit la

courbe ci-dessous.____________________

période:

amplitude:

déphasage:

déplacement vert.:

équation:

y

xπ 2π

3

−3−3

Page 12: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-12

la variable x représente lenombre de jours écoulés

depuis le début de l’année

ainsi le 31 janvier latempérature moyenne à

Fairbanks en Alaska est

37 sin[ ]2π365 (31 - 101) + 25

= -9,6 °F

L’exemple qui suit nous montre comment on peut utiliser la fonctionsinus comme modèle pour approximer un phénomène concret.

À partir de données expérimentales recueillies entre 1941 et 1970 surla température moyenne de l’air (en degrés Fahrenheit) à Fairbanks enAlaska,

Te

mp

éra

ture

F)

janfév

marsavril

maijuin

juilletaoût

sept novdécoct

janfév

marsavril

-20

-10

10

20

30

40

50

60

70

on a utilisé la fonction

ƒ(x) = 37 sin

365 (x - 101) + 25

pour approximer le phénomène étudié.

Page 13: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-13

Exercices 6.1

1. Convertir en radians la mesure d’angle donnée.

a) 135° d) -240°

b) 15° e) 540°

c) -150° f) 1°

2. Evaluer si possible sans l’aide de votre calculatrice.

a) sin(π/3) h) tg(π/2) o) sec(-3π/4) v) tg(3π/2)

b) cos(3π/2) i) cotg π p) cotg(-5π/4) w) cotg(5π)

c) tg(5π/6) j) cotg(π/2) q) cosec(7π/6) x) sec(9π/4)

d) sin(4π/3) k) sec(5π/2) r) cotg(-2π/3) y) cosec(23π/6)

e) sec(5π/4) l) cosec π s) sin (5π) z) tg(-25π/4)

f) tg(3π/4) m) cosec(-π/4) t) sin(-3π)

g) cosec(π/3) n) sin(-2π/3) u) tg(5π/4)

3. Soit un triangle rectangle en C. Les angles A, B et C sontopposés respectivement aux côtés a, b et c. Trouver

a) c si a = 3 et b = 4,

b) b si a = 1 et c = 3,

c) sin A , cos B , tg A , sec B si a = 6 et b = 8,

d) sin A , sin B , cotg A , cosec B si a = 2 et b = 2,

e) a et b si c = 1 et A = π/6.

A

B

C

a

b

c

4. A l’aide des identités trigonométriques montrer que

a) cos4 x - sin4 x = 1 - 2sin2 x d) (cos x + sin x)2 = 1 + sin 2x

b) sec θ - cos θ = sin θ . tg θ e) cos 2x . cos x + sin 2x . sin x = cos x

c)1

1 + sin u + 1

1 - sin u = 2 sec2 u f) sec(π - x) = -sec x

5. Résoudre pour x ∈ [0, 2π[ .

a) 2 sin x - 1 = 0 f) sin2 x - cos2 x + 3 sin x = 1

b) sin x cos x = 0 g) sin 2x + sin x = 0

c) sin2 x + sin x - 2 = 0 h) tg x = 2 sin x

d) 4 cos x = 3

cos x i) 2 cos2 x = sin 2x

e) 2 cos2 x + sin x = 1 j) sin2 x - 3 cos2 x = 0

Page 14: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-14

6. Tracer le graphique des fonctions suivantes sur une période.

a) y = sin 14

x c) y = 14 cos( )2x - π

2

b) y = 4 sin(3x + 2π) d) y = 3 sin( )13 x + π

5

7. Déterminer à l’aide de la fonction sinus, une équation qui définit les courbes suivantes.

a)y

x2π

5

−5−5

d)

y

x4π/3

22

b)y

x3π/4

1

−1−1

e)y

xπ/3

1/2

−1/2−1/2

c)y

x

2

−−2

π/4 5π/45π/4

Page 15: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-15

Réponses aux exercices 6.1

1. a) 3π/4 d) -4π/3b) π/12 e) 3π

c) -5π/6 f) π/180

2. a) √ 3/2 h) ∃/ o) -√ 2 v) ∃/b) 0 i) ∃/ p) -1 w) ∃/

c) -√ 3/3 j) 0 q) -2 x) √ 2d) -√ 3/2 k) ∃/ r) √ 3/3 y) -2

e) -√ 2 l) ∃/ s) 0 z) -1f) -1 m) -√ 2 t) 0g) 2√ 3/3 n) -√ 3/2 u) 1

3. a) 5 b) 2√ 2 c) 35

, 35

, 34

, 53

d) √ 22

, √ 22

, 1 , √ 2 e) 12

, √ 32

5. a) { π/6 , 5π/6 } f) { π/6 , 5π/6 }b) { 0 , π , π/2 , 3π/2 } g) { 0 , π , 2π/3 , 4π/3 }c) { π/2 } h) { 0 , π/3 , π , 5π/3 }d) { π/6 , 5π/6 , 7π/6 , 11π/6 } i) { π/4 , π/2 , 5π/4 , 3π/2 }e) { π/2 , 7π/6 , 11π/6 } j) { π/3 , 2π/3, 4π/3, 5π/3 }

6. a)y

x4π 8π

1

−1−1

c)y

xπ/4 3π/4 5π/4

1/4

−1/4−1/4

b)

y

x−2π/3 −π/3

4

−4−4

d)y

x−3π/5 12π/5 27π/5

3

−3−3

7. a) y = 5 sin(x - π) d) y = sin( )32

x - π2

+ 1

b) y = sin( )43 x e) y =

12 sin(3x - π)

c) y = 2sin( )2x - π2

Page 16: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-16

6.2 Limites et continuité (fonctions trigonométriques)

proposition 6.2.1

Si limx→ a

ƒ(x) = b ( a ∈R_

et b ∈R )

alors a) limx→ a

sin ƒ(x) = sin

lim

x→ a ƒ(x) = sin b,

b) limx→ a

cos ƒ(x) = cos

lim

x→ a ƒ(x) = cos b.

exemple 6.2.1

prop. 6.2.1 et prop. 1.2.3

Évaluer chacune des limites si elles existent dans R_

.____________

a) limx→ 0

sin x = sin

lim

x→ 0 x = sin 0 = 0,

b) limx→ 0

cos x

c) limx→ 0

cos(x + π)

d) limx→ 3π/4

( )12 cos2 x

e) limr→ -π

sec(3r)

f) limx→ π/2+

tg x

g) limu→ π +

cosec u

h) limx→ - ∞

sec( )1x

i) limθ→ 0

√1 - cos θ

rép: b) 1 ; c) -1 ; d) 14 ; e) -1 ; f) -∞ ; g) -∞ ; h) 1 ; i) 0

Page 17: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-17

les formes

sin(±∞∞∞∞) et cos(±∞∞∞∞)

Si limx→ a

ƒ(x) = ∞ ou limx→ a

ƒ(x) = -∞ ( a ∈R_

)

alors limx→ a

sin ƒ(x) ∃/ et limx→ a

cos ƒ(x) ∃/ .

Dans chacun des cas les fonctions ne s’approchent d’aucune valeurprécise, ils oscillent indéfiniment entre -1 et 1.

exemple 6.2.2

cos(∞) ne s’approched’aucune valeur précise

Évaluer chacune des limites si elles existent dans R_

.____________

a) limx→ ∞

cos x = cos

lim

x→ ∞ x = cos ∞ ∃/ ,

b) limx→ - ∞

sin x

x

rép: b) 0

Pour obtenir la dérivée de y = sin x ou de y = cos x nous aurons àutiliser les deux limites suivantes:

limx→ 0

sin x

x et limx→ 0

cos x - 1

x

Penchons-nous d’abord sur le premier problème.

on doit s’assurer que lacalculatrice est en mode

radian

limx→ 0

sin x

x = 00 IND.

Pour lever l’indétermination, on doit transformer l’expression. Il n’estpas possible présentement de procéder de cette façon étant donné lanature de la fonction. Contentons-nous seulement d’estimer la limiteen question en utilisant une calculatrice.

En examinant les tableaux du bas,

x 1 0,5 0,1 0,05 0,001

0,84147 0,95885 0,99833 0,99958 0,99999sin xx

x -1 -0,5 -0,1 -0,05 -0,001

0,84147 0,95885 0,99833 0,99958 0,99999sin xx

Page 18: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-18

limx→→→→ 0

sin x

x

on obtient

lim

x→ 0+ sin x

x = 1

limx→ 0-

sin xx = 1

⇒ limx→ 0

sin x

x = 1

Si le tableau avait été complété en mode degré, on aurait obtenu unevaleur limite de 0,01745... On verra à la section 3 que les dérivées desfonctions trigonométriques ont une forme beaucoup plus simplelorsque la limite précédente vaut 1 plutôt que 0,01745... Pour cetteraison, le radian sera préféré au degré comme mesure d’angle dans lecalcul différentiel.

exemple 6.2.3

Sachant que limx→ 0

sin x

x = 1 évaluer dans R_

limx→ 0

sin2x4x2 .

____________

limx→ 0

sin2x4x2 =

14

lim

x→ 0 sin x

x .sin xx

= 14

lim

x→ 0 sin x

x

lim

x→ 0 sin x

x

= 14 (1) (1) =

14

exemple 6.2.4

limθ→ 0

3sin θ - 5θ2θ + sin θ =

limθ→ 0

3

sin θθ - 5

2 + sin θ

θ

Sachant que limθ→ 0

sin θ

θ = 1 évaluer dans R

_

limθ→ 0

3sin θ - 5θ2θ + sin θ

____________

rép: - 23

Page 19: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-19

exemple 6.2.5

on multiplie lenumérateur et le

dénominateur par leconjugué de (cos x - 1)

sin2x + cos2x = 1 ⇒cos2x - 1 = -sin2x

la limite d’un produit estégale au produit des

limites si chacune deslimites existe

limx→ 0

[ ]sin xx

= 1

Sachant que limx→ 0

sin x

x = 1 évaluer dans R_

limx→ 0

cos x - 1x

____________

limx→ 0

cos x - 1x = lim

x→ 0 cos x - 1

x . (cos x + 1)(cos x + 1)

= limx→ 0

cos2x - 1x (cos x + 1)

= limx→ 0

-sin2xx (cos x + 1)

= limx→ 0

sin x

x

-sin x

cos x + 1

= limx→ 0

sin x

x . limx→ 0

-sin x

cos x + 1

= 1 . 02

= 0

exemple 6.2.6

Sachant que limx→ 0

sin x

x = 1 évaluer dans R_

limx→ 0

x sin x1 - cos x .

____________

rép: 2

Page 20: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-20

proposition 6.2.2

sin x et cos x sont deuxfonctions continues sur R

Si g(x) est continue sur l’intervalle ouvert I alors la fonction

a) ƒ(x) = sin g(x) est continue sur I,b) ƒ(x) = cos g(x) est continue sur I.

exemple 6.2.7 Étudier la continuité de ƒ(x) = cos√1 - x sur ]0, 2π[.____________

ƒ(x) = cos 1 - x

678

continue sur ] -∞, 1[ (forme irrationnelle)

14444244443

la fonction ƒ(x) est donccontinue sur ]-∞, 1[

(prop. 6.2.2)

ƒ(x) = cos 1 - x

La fonction n’est donc pas continue sur ]0, 2π[.

exemple 6.2.8 Étudier la continuité de ƒ(x) = tg x sur ]0, 2π[.____________

ƒ(x) = tan x = sin xcos x123

678

la fonction cosinus estcontinue sur

14444444244444443R (prop. 6.2.2)

la fonction ƒ(x) est donc continue sur (l'intersection des deux réponses du haut)

sauf pour les valeurs qui annulent le dénominateur c'est-à-dire sauf pour

{ ±π/2, ±3π/2, ... } (prop.2.2.3)

R

(prop. 6.2.2)la fonction sinus est continue sur R

La fonction n’est donc pas continue sur ]0, 2π[.

exemple 6.2.9

Étudier la continuité de ƒ(x) = 1

sin x - cos x sur ]0, 2π[.

____________

rép: la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[(elle présente deux discontinuités une en x = π/4 et une en x = 5π/4)

Page 21: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-21

exemple 6.2.10 Étudier la continuité de ƒ(x) = √2 sin x + 3 sur ]0, 2π[.____________

rép: la fonction est continue sur ]0, 2π[

Page 22: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-22

Exercices 6.2

1. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R_

.

a) limx→ 1

(3x + 2) cos πx n) limx→ 0

cos x - 2

1 - cos x

b) limx→ π/3

sec 2x o) limx→ 0

3 sin x

4x

c) limx→ -π

sin2( )x - π8

p) limx→ 0

tg2 x

x2

d) limx→ π

(tg x - sec x) q) limx→ 0

sin 2x

x

e) limx→ 0

cosec2 x r) limx→ 0

cos2 x - 1

x sin x

f) limx→ π/2-sec x s) lim

x→ 0

x - sin x

x

g) limx→ π- cotg x t) lim

x→ ∞

x - sin x

x

h) limx→ π+

cosec x u) limx→ 0

x + tg x

sin x

i) limx→ ∞

cotg( )1x

v) limx→ 0

sin x

x2 + 3x

j) limx→ ∞

( )1x + sin x w) lim

x→ 0

cos x - 1

5x sin x

k) limx→ ∞

x

sin x x) limx→ 0

sin2 x

1 - cos x

l) limx→ - ∞

sin x

x y) limx→ 0

(1 + cos x) sin2 x

3x2

m) limx→ π/2

√sin x - 1 z) limx→ 0

(cosec x - cotg x)

Page 23: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-23

2. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur ]0, 2π[.

a) ƒ(x) = x + sin x d) h(x) = cotg x

1 + 2 sin x

b) g(x) = 1 - cos x

sin x e) ƒ(x) = √cos x

c) ƒ(x) = sec x + tg x f) ƒ(x) = √1 - sin xcos x + 2

Page 24: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-24

Réponses aux exercices 6.2

1. a) -5 n) -∞b) -2 o) 3/4

c) 1/2 p) 1

d) 1 q) 2

e) ∞ r) -1

f) ∞ s) 0

g) -∞ t) 1

h) -∞ u) 2

i) ∞ v) 1/3

j) ∃/ w) -1/10

k) ∃/ x) 2

l) 0 y) 2/3

m) ∃/ z) 0

2. a) la fonction est continue sur ]0, 2π[.

b) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π).

c) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π/2 et x = 3π/2).

d) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π , x = 7π/6 et x = 11π/6).

e) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est continue sur ]0, π/2[ ∪ ]3π/2, 2π[ ).

f) la fonction est continue sur ]0, 2π[.

Page 25: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-25

6.3 Dérivée (fonctions trigonométriques)

proposition 6.3.1

d

dx sin x = cos x

par définition

sin(x + ∆x) =

sin x cos ∆x + sin ∆x cosx

la limite d’une somme estégale à la somme des

limites et la limite d’unproduit est égale au

produit des limites

* les deux limites ont étéévaluées à la section

précédente

ddx sin x = lim

∆x→ 0 sin(x + ∆x) - sin x

∆x

= 00 IND.

= lim∆x→ 0

(sin x cos ∆x + sin ∆x cos x) - sin x

∆x

= lim∆x→ 0

(sin x cos ∆x - sin x) + sin ∆x cos x

∆x

= lim∆x→ 0

sin x (cos ∆x - 1) + sin ∆x cos x

∆x

= lim∆x→ 0

sin x

cos ∆x - 1

∆x +

sin ∆x

∆x cos x

= lim∆x→ 0

sin x . lim∆x→ 0

cos ∆x - 1

∆x + lim∆x→ 0

sin ∆x

∆x . lim∆x→ 0

cos x

= sin x . (0)* + (1)* . cos x

= cos x

La dérivée de la fonctionsinus en x = c correspond àl’image de la fonctioncosinus en x = c.

Si ƒ(x) = sin x alors

ƒ’(-π) = cos(-π) = -1,ƒ’(-π/2) = cos(-π/2) = 0,ƒ’(0) = cos 0 = 1,ƒ’(π) = cos π = -1, etc.

ƒ(x) = sin x

π/2 π 3π/2-π/2-π-3π/2

-

π/2 π 3π/2-π/2-π-3π/2

ƒ'(x) = cos x

Page 26: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-26

proposition 6.3.2

d

dx cos x = -sin x

démonstration

exemple 6.3.1

toutes les formules dedérivation déjà vues

s’appliquent ainsi queles deux nouvelles

règles:

ddx

sin x = cos x

ddx

cos x = -sin x

Trouver d

dx

sin x

1 - cos x .

____________cos x sin x678 64748

d

dx

sin x

1 - cos x = (1 - cos x)

ddx sin x - sin x

ddx (1 - cos x)

(1 - cos x)2

= (1 - cos x) cos x - sin x sin x

(1 - cos x)2

= cos x - cos2 x - sin2 x

(1 - cos x)2

= cos x - 1

(1 - cos x)2

= - (1 - cos x)

(1 - cos x)2

= -1

(1 - cos x) ou 1

cos x - 1

Page 27: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-27

proposition 6.3.3

d

dx tg x = sec2 x

démonstration

sin2 x + cos2 x = 1

1cos x

= sec x

d

dx tg x = d

dx

sin x

cos x

cos x -sin x678 678

= cos x .

ddx sin x - sin x .

ddx cos x

cos2 x

= cos2 x + sin2 x

cos2 x

= 1

cos2 x ou sec2 x

proposition 6.3.4

d

dx cotg x = - cosec2 x

démonstration

proposition 6.3.5

d

dx sec x = sec x tg x

démonstration

Page 28: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-28

proposition 6.3.6

d

dx cosec x = - cosec x cotg x

démonstration

exemple 6.3.2

Trouver d

tg2 θ

2 .

____________sec2 θ678

2 (tg θ) ddθ tg θ

64748

d

tg2 θ

2 = 12

d

dθ (tg θ )2

= 12 (2 tg θ sec2 θ)

= tg θ sec2 θ

Lorsque l’argument est composé on aura recours à la règle dedérivation en chaîne.

exemple 6.3.3

puisque u = 2x

Trouver d

dx sin 2x

____________

y = sin 2x est le résultat de la composition de y = sin u

u = 2x

Par la règle de dérivation en chaîne, dydx =

dydu .

dudx

⇒ ddx sin 2x =

ddu sin u .

ddx 2x

= cos u . (2)

= 2 cos 2x

Page 29: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-29

De la même façon on obtient les formules générales des 6 fonctionstrigonométriques.

règle 14d

dx sin ƒ(x) = cos ƒ(x) . ddx ƒ(x)

règle 15d

dx cos ƒ(x) = - sin ƒ(x) . ddx ƒ(x)

règle 16d

dx tg ƒ(x) = sec2 ƒ(x) . ddx ƒ(x)

règle 17d

dx cotg ƒ(x) = - cosec2 ƒ(x) . ddx ƒ(x)

règle 18d

dx sec ƒ(x) = sec ƒ(x) tg ƒ(x) . ddx ƒ(x)

règle 19d

dx cosec ƒ(x) = - cosec ƒ(x) cotg ƒ(x) . ddx ƒ(x)

exemple 6.3.4

par la règle 14

Trouver d

dx sin (3x2 + 5) .

____________6x

6447448

d

dx sin (3x2 + 5) = cos(3x2 + 5) . d

dx (3x2 + 5)

= 6x cos(3x2 + 5)

exemple 6.3.5

par la règle 16

Trouver d

dx tg (5 - 2x)3 .

____________-2

678

3(5 - 2x)2 ddx

(5 - 2x)

6447448

ddx tg (5 - 2x)3 = sec2(5 - 2x)3 .

ddx (5 - 2x)3

= - 6 (5 - 2x)2 sec2(5 - 2x)3

exemple 6.3.6

Trouver ddt sec4 (5 - 2t) .

____________

rép: -8 sec4(5 - 2t) tg(5 - 2t)

Page 30: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-30

exemple 6.3.7

Trouver d

dv cos4 (5 - 2v)3 .

____________

rép: 24(5 - 2v)2 sin(5 - 2v)3 cos3(5 - 2v)3

exemple 6.3.8

Trouver d39

dx39 sin x .

____________

rép: - cos x

exemple 6.3.9

on trouve y’implicitement

Trouver dydx si sin2 y = y - cos x.

____________

sin2 y = y - cos x

(sin y)2 = y - cos x

cos y dydx

678

2 sin y d

dx sin y = dydx - (- sin x)

2 sin y cos y dydx =

dydx + sin x

2 sin y cos y dydx -

dydx = sin x

dydx (2 sin y cos y - 1) = sin x

dydx =

sin x2sin y cos y - 1 ou

sin xsin 2y - 1

Page 31: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-31

Exercices 6.3

1. Trouver dydx .

a) y = sin 3x n) y = cotg √3x2 + 1

b) y = cos(1 - 2x) o) y = √cosec x2

c) y = 3 sin x2 p) y = sec3(2x - 1)2

d) y = cos3(4x - 1) q) y = sec x

cosec x

e) y = sin2(1 - 3x)3

18 r) y = sec7 x

7 - sec5 x

5

f) y = 4√sin √ x s) y = 2x sin x + 2 cos x - x2 cos x

g) y = sin2(cos 2x) t) y = 2 sin 2x cos x - cos 2x sin x

h) y = sin x - x cos x u) y = cos x

1 + sin x

i) y = (cos x + 2x sin x)3 v) y = cos2 x

1 + sin2 x

j) y = sec 3x w) y = √ 1 + sin x1 - sin x

k) y = 2 tg √ x x) y = cotg4 x - cosec4 x

l) y = cosec2 5x y) y = x cos2 x sin3 x

m) y = sec3 2x

3 z) y = sin x - x cos xcos x + x sin x

2. Trouver y’.

a) y = e2 sin 5x d) y = ln|cosec 2x - cotg 2x|

b) y = sec e3x e) y = ln(cos2 e3x)

c) y = ln|sec x|

Page 32: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-32

3. Trouver d2ydx2 .

a) y = (1 + cos x) sin x c) y = 3x2 sin x - 6 sin x - x3 cos x + 6x cos x

b) y = cos2 2x - sin2 2x

4. Trouver

a)d36

dx36 sin x b)d61

dx61 cos x

5. Trouver dydx implicitement.

a) x sin x + y cos y = 0 c) x cos y = sin(x + y)

b) cos 3y = tg 2x

6. Trouver dydx en utilisant le procédé de dérivation logarithmique.

a) y = x sin3 x

√1 + sec2 xb) y = (sin x)x (sin x > 0)

Page 33: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-33

Réponses aux exercices 6.3

1. a) 3 cos 3x n) - 3x cosec2 √3x2 + 1

√3x2 + 1

b) 2 sin(1 - 2x) o) - x cotg x2 √cosec x2

c) 6x cos x2 p) 12(2x - 1) sec3(2x - 1)2 tg(2x - 1)2

d) -12 sin(4x - 1) cos2(4x - 1) q) sec2 x

e) - (1 - 3x)2 sin(1 - 3x)3 cos(1 - 3x)3 r) sec5 x tg3 x

f) cos √ x

√x sin √ xs) x2 sin x

g) -4 sin 2x sin(cos 2x) cos(cos 2x) t) 3 cos x cos 2x

h) x sin x u) -1

1 + sin x

i) 3(sin x + 2x cos x) (cos x + 2x sin x)2 v) - 4 sin x cos x

(1 + sin2 x)2

j) 3 sec 3x tg 3x w) √ 1 - sin x1 + sin x

cos x

(1 - sin x)2

k) sec2 √ x

√ xx) 4 cotg x cosec2 x

l) -10 cotg 5x cosec2 5x y) sin2 x cos x (sin x cos x - 2x sin2 x + 3x cos2 x )

m) 2 sec3 2x tg 2x z) x2

(cos x + x sin x)2

2. a) 10 e2 sin 5x cos 5x d) 2 cosec 2x

b) 3 e3x sec(e3x) tg(e3x) e) -6 e3x tg(e3x)

c) tg x

3. a) - (4 cos x + 1) sin x c) x2(3 sin x + x cos x)

b) -16 cos 4x ou -16(cos2 2x - sin2 2x)

4. a) sin x b) - sin x

Page 34: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-34

5. a)sin x + x cos xy sin y - cos y c)

cos y - cos(x + y)x sin y + cos(x + y)

b) - 2 sec2 2x3 sin 3y

6. a)x sin3 x

√1 + sec2 x

1x + 3 cotg x -

sec2 x tg x1 + sec2 x

b) (sin x)x [ln(sin x) + x cotg x]

Page 35: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.4 applications (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-35

6.4 Applications (fonctions trigonométriques)

exemple 6.4.1

la fonctionest continue sur R

les asymptoteshorizontales et obliquessont sans intérêt lorsquel’étude porte sur [0,2π]

Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = 3x - 4 sin x + sin 2x surl’intervalle [0, 2π].____________

a) dom ƒ = [0, 2π],

b) ƒ est continue sur [0, 2π],

c) sans intérêt puisque l’étude porte seulement sur [0, 2π],

d) asymptote verticale: aucune puisque la fonction ne possède pas de point de discontinuité sur [0, 2π],

e) ƒ’(x) = (2 cos x - 1)2 = 0 si x = π/3, 5π/3

∃/ aucune valeur

⇒ n.c.: { π/3, 5π/3 }

ƒ’’(x) = 4 sin x (1 - 2 cos x) = 0 si x = 0, π/3, π, 5π/3, 2π ∃/ aucune valeur

⇒ n.t.: { 0, π/3, π, 5π/3, 2π }

f) tableau de variation de la fonction.

x 0 π/3 π 5π/3 2π ƒ ’(x) + 0 + + + 0 +

ƒ ’’(x) - 0 + 0 - 0 +

ƒ(x) 0 PI: (0,54) PI: (9,42) PI: (18,31) 18,85

Graphique de la fonctiony

xπ/3 2π/3 π 4π/3 5π/3

2

4

6

8

10

12

14

16

18

(π/3; 0,54)

(5π/3; 18,31)

(π; 9,42)(π; 9,42)

Page 36: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.4 applications (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-36

exemple 6.4.2 Un triangle a deux côtés de 4 cm de longueur.

a) Quelle doit être la mesure de l’angle θ déterminé par ces deux côtés pour que l’aire du triangle soit maximale?

b) Quelle est l’aire maximale?____________

• Représentation graphique et identification des variables.

h

4 cm

4 cm

θ

Soit

θ : l’angle (en radians) déterminé par les deux côtés de 4 cm,

h: la hauteur du triangle (en cm)

dans un triangle toutangle est compris entre

0° et 180°

• Quantité à optimiser.

Soit A l’aire du triangle: A = 4h2 = 2h.

Étant donné que sin θ = h4

alors h = 4 sin θ

et par conséquent A = 2(4 sin θ)

⇒ A = 8 sin θ

• Domaine et étude de continuité.

• dom A = ]0, π[ ,• A est continue sur ]0, π[ (sin θ est continue sur R).

• Extremums absolus.

A’ = 8 cos θ = 0 si θ = π/2

∃/ aucune valeur

⇒ n.c.: { π/2 }

θ 0 π/2 π

A’ + 0 -

A MAX ABSOLU (8)

0 0

• Réponse du problème.

L’aire maximale est 8 cm2 lorsque l’angle θ est 90°.

Page 37: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.4 applications (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-37

Exercices 6.4

1. Calculer la pente de la tangente à chacune des fonctions pour les valeurs suivantes:

x = 0 ; x = π2 ; x = -π

a) ƒ(x) = sin 3x

b) g(x) = cos

x

2

c) h(x) = cos 3x - 3 sin x.

2. Trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extremums relatifs de chacunedes fonctions sur l’intervalle indiqué.

a) ƒ(x) = - (sin x + cos x) sur ]0, 2π[

b) g(x) = sin2 x - cos x sur ]0, 2π[

c) h(x) = sin3 x + cos3 x

3 sur ]0, π[ .

3. Pour chacune des fonctions, déterminer sur l’intervalle indiqué:

• pour quelles valeurs la fonction est continue,• les asymptotes verticales de la fonction,• ƒ’(x) et les nombres critiques de la fonction,• ƒ’’(x) et les nombres de transition de la fonction,• le tableau de variation de la fonction,• le graphique de la fonction.

a) ƒ(x) = sin x - x2 sur [0, 2π]

b) g(x) = x + cos x sur [0, 2π]

c) h(x) = 4 sin2 x sur [0, π]

4. L’équation s(t) = 10 sin( )5t - π4 décrit la position (en cm) d’une particule après t secondes

par rapport à un point fixe O.

a) Représenter graphiquement ce mouvement sur une période.

b) Déterminer la vitesse et l’accélération de la particule au temps t.

c) Quelle est la position, la vitesse et l’accélération initiale de la particule.

d) Est-ce que la particule se rapproche ou s’éloigne du point O au temps t = 0 ?

e) La particule accélère-t-elle ou décélère-t-elle au temps t = 0 ?

Page 38: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.4 applications (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-38

5. Après t secondes, la hauteur atteinte par un objet en mouvement oscillatoire est donnée parl’équation

y = a cos t + b sin t + 5 centimètres

Si au temps t = 0 s, la hauteur de l’objet est y = 6 cm et sa vitesse est v = 3 cm/s alors trouver

a) a et b,b) l’accélération initiale de l’objet.

6. Un golfeur frappe une balle avec une vitesse initialeVo = 30 m/s. En négligeant la résistance de l’air, la

portée R en mètres de la balle frappée à un angle θdu plan horizontal est donnée par

R = Vo

2 sin 2θ g où g = 9,8 m/s2

a) Calculer la portée pour θ = 30° puis pour θ = 40°.

b) Déterminer l’angle θ pour lequel la portée R sera maximale.c) Si la balle est frappée par le golfeur avec l’angle obtenu en b), calculer la distance

horizontale R parcourue par celle-ci.

7. Soit un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 5 cm.

a) Déterminer la valeur de l’angle θ qui maximise l’aire du triangle.

b) Quelle est cette aire maximale?

θ

5 cm

8. Trouver la valeur de l’angle θ pour que l’aire du trapèze dela figure de droite soit maximale. Trouver cette airemaximale.

aire du trapèze = (grande base + petite base) hauteur

2

θθ

1 m

1 m1 m

9. Un poids suspendu à l’extrémité d’un ressort décritun mouvement de va-et-vient de telle façon que saposition y (en cm) par rapport à un point fixe Oaprès t secondes est représentée par le graphique ci-contre.

Au temps t = 5π18

secondes,

a) quelle est la position du poids ?b) quelle est la vitesse du poids ?c) quelle est l’accélération du poids ?d) le poids accélère ou décélère ?

y

t2π3

2

-2

Page 39: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.4 applications (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-39

Réponses aux exercices 6.4

1. a) 3 0 -3 b) 0 - √ 24

12

c) -3 3 3

2. a) croissante sur ]π/4, 5π/4[ c) croissante sur ]π/4, π/2[décroissante sur ]0, π/4[ ∪ ]5π/4, 2π[ décroissante sur ]0, π/4[ ∪ ]π/2, π[

minimum relatif (π/4, -√ 2) minimum relatif (π/4, √ 2/6)maximum relatif (5π/4, √ 2) maximum relatif (π/2, 1/3)

b) croissante sur ]0, 2π/3[ ∪ ]π, 4π/3[

décroissante sur ]2π/3, π[ ∪ ]4π/3, 2π[

minimum relatif (π, 1)maximums relatifs (2π/3, 5/4) , (4π/3, 5/4)

3. a) ƒ’(x) = cos x - 1/2 ; ƒ’’(x) = - sin x

y

xπ/3 π 5π/3

−1

−2

−3

(π/3; 0,34)

(π; −1,57)

(5π/3; −3,48)(5π/3; −3,48)

b)

(2π, -π)

ƒ’(x) = 1 - sin x ; ƒ’’(x) = - cos x

y

xπ/2 π 3π/2

1

3

5

7

(π/2; 1,57)

(3π/2; 4,71)

(2π; 7,28)

(0; 1)(0; 1)

c) ƒ’(x) = 8 sin x cos x ou 4 sin 2x ;ƒ’’(x) = 8(cos2 x - sin2 x) ou 8 cos 2x

y

xπ/4 π/2 3π/4

1

2

3

4(π/2; 4)

(π/4; 2) (3π/4; 2)(3π/4; 2)

Page 40: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.4 applications (fonctions trigonométriques)

André Lévesque 6-40

4 a)

π/20 π/4 9π/20

10

-10

b) s(t) = 10 sin(5t - π/4) ; v(t) = 50 cos(5t - π/4) ; a(t) = -250 sin(5t - π/4)c) position initiale: -5√ 2 cm ; vitesse initiale: 25√ 2 cm/s ; accélération initiale: 125√ 2 cm/s2

d) se rapproche du point fixe O (car la position et la vitesse sont de signe contraire) e) accélère (car la vitesse et l’accélération initiale sont du même signe)

5. a) a = 1 et b = 3b) -1 cm/s2 (à ce moment la vitesse diminue et la hauteur augmente)

6. a) Lorsque l’angle est de 30°, la portée est 79,5 m,lorsque l’angle est de 40°, la portée est 90,4 m,

b) 45°c) 91,8 m

7. a) 45°b) 6,25 cm2

8. a) 60°

b) 3√ 34

m2

9. a) 1 cmb) -3√ 3 cm/sc) -9 cm/s2

d) il accélère puisque v et a sont de même signe

Page 41: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-41

6.5 Rappel (fonctions trigonométriques inverses)

l’ensembledes solutions

de sin x = 1/2correspond à

{ π/6 + 2πn 5π/6 + 2πn

où n ∈ Z

la courbe en traitcontinu correspond au

graphique de la fonctionSin tandis que la courbe

en pointillés fait partiedu graphique de la

fonction sin

* une relation estbiunivoque si tout

élément du domaine estassocié à un et un seulélément de l’image etréciproquement tout

élément de l’image estassocié à un et un seul

élément du domaine

Il arrive souvent que l’on doive trouver la mesure d’un angle à partird’une équation trigonométrique. Par exemple sin x = 1/2 possèdeplusieurs solutions.

sin x = 1/2 ⇒ x → (√ 3/2, 1/2) ⇒ x = π/6

x → (-√ 3/2, 1/2) ⇒ x = 5π/6

Cette fonction étant périodique de période de 2π, les angles 13π/6,17π/6, ... ou -7π/6, -11π/6, ... sont autant de solutions possibles.

y

x−11π/6 −7π/6 π/6 5π/6

1/21/2

figure 6.5.1

En principe, ces fonctions ne peuvent pas avoir de réciproque qui soitfonctionnelle. En pratique toutefois on peut remédier à cet inconvénienten limitant leur domaine.

Soit Sin la fonction définie par l’équation.

y = sin x, -π/2 ≤ x ≤ π/2

y

xπ/2−π/2−π/2

figure 6.5.2

Ainsi définie cette fonction est biunivoque*. Par conséquent ellepossède une réciproque fonctionnelle que l’on appelle

Arc Sin ou Sin-1

Pour éviter toute confusion avec (sin x)-1 (l’inverse multiplicatif desin x), on utilisera la notation Arc Sin plutôt que Sin-1. Il en sera demême pour les autres fonctions trigonométriques.

Page 42: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-42

définition 6.5.1

Arc Sin

La fonction Arc Sin est définie par l’équation

y = arcsin x ⇔ sin y = x

-π/2 ≤ y ≤ π/2

pourquoi utilise-t-on lenom Arc Sin ?

Quand on cherche à évaluer arcsin 1/2, on cherche à trouver lalongueur de l’arc d’un cercle de rayon unitaire dont le sinus vaut1/2. Puisque par définition la réponse doit se situer dans l’intervalle[-π/2, π/2], on obtient arcsin 1/2 = π/6. La longueur de l’arc de cercledemandée est donc π/6 ou 0,52.

On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis,les comparer avec les points du graphique de la fonction Arc Sin.

on retient que la fonctionArc Sin

a pour domainel’intervalle [-1, 1]

et pour image,l’intervalle [-π/2, π/2](un angle de la région

hachurée)

x

1 π/2

3/2 (0.87) π/3

2/2 (0,71) π/4

1/2 π/6

0 0

-1/2 -π/6

- 2/2 (-0,71) -π/4

- 3/2 (-0,87) -π/3

-1 -π/2

arc sin x

y

x1−1

π/2

−π/2−π/2

• dom Arc Sin = [-1, 1]• ima Arc Sin = [-π/2, π/2]

exemple 6.5.1

Évaluer

a) sin(arcsin √ 2/2),b) arcsin(sin (-π/3)).

____________

a) sin(arcsin √ 2/2) = sin(π/4) = √ 2/2,b) arcsin(sin (-π/3)) = arcsin(-√ 3/2) = -π/3.

D’une façon générale

sin(arcsin x) = x si x ∈ [-1, 1] arcsin(sin y) = y si y ∈ [-π/2, π/2]

Page 43: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-43

En procédant de la même façon définissons maintenant la fonctionArc Cos. Restreignons d’abord le domaine de la fonction cosinus defaçon à obtenir une fonction biunivoque. Soit Cos la fonctiondéfinie par l’équation y = cos x, 0 ≤ x ≤ π.

y

xππ/2

figure 6.5.3

La fonction Cos possède une réciproque fonctionnelle que l’onappelle

Arc Cos ou Cos-1

définition 6.5.2

Arc Cos

La fonction Arc Cos est définie par l’équation

y = arccos x ⇔ cos y = x

0 ≤ y ≤ π

On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis, lescomparer avec les points du graphique de la fonction Arc Cos.

on retient que la fonctionArc Cos

a pour domainel’intervalle [-1, 1]

et pour image,l’intervalle [0, π]

(un angle de la régionhachurée)

x arccos x

1 0

3/2 (0.87) π/6

2/2 (0,71) π/4

1/2 π/3

0 π/2

-1/2 2π/3

- 2/2 (-0,71) 3π/4

- 3/2 (-0,87) 5π/6

-1 π

y

x

π/2

π

1−1−1

• dom Arc Cos = [-1, 1]• ima Arc Cos = [0, π]

De plus on a

cos(arccos x) = x si x ∈ [-1, 1] arccos(cos y) = y si y ∈ [0, π]

Page 44: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-44

La fonction Arc Tg est la réciproque de la fonction Tangente définiepar l’équation y = tg x, -π/2 < x < π/2 .

y

xπ/2−π/2−π/2

figure 6.5.4

La fonction Tg possède une réciproque fonctionnelle que l’onappelle

Arc Tg ou Tg-1

définition 6.5.3

Arc Tg

La fonction Arc Tg est définie par l’équation

y = arctg x ⇔ tg y = x

-π/2 < y < π/2

On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis, lescomparer avec les points du graphique de la fonction Arc Tg.

on retient que la fonctionArc Tg

a pour domaine R

et pour image,l’intervalle ]-π/2, π/2[(un angle de la région

hachurée)

x arctg x

3 (1,73) π/3

1 π/4

1/ 3 (0,57) π/6

0 0

-1/ 3 (0,57) -π/6

-1 -π/4

- 3 (-1,73) -π/3

y

x

π/2

−π/2−π/2

• dom Arc Tg = R• ima Arc Tg = ]-π/2, π/2[

De plus on a

tg(arctg x) = x si x ∈ R arctg(tg y) = y si y ∈ ]-π/2, π/2[

Les trois dernières fonctions trigonométriques inverses sont définiesd’une façon analogue.

Page 45: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-45

définition 6.5.4

Arc Cotg

La fonction Arc Cotg est définie par l’équation

y = arccotg x ⇔ cotg y = x

0 < y < π

on retient que la fonctionArc Cotg

a pour domaine R

et pour image,l’intervalle ]0, π[

(un angle de la régionhachurée)

y

x

π

π/2π/2

• dom Arc Cotg = R• ima Arc Cotg = ]0, π[

De plus on a

cotg(arccotg x) = x si x ∈ R arccotg(cotg y) = y si y ∈ ]0, π[

définition 6.5.5

Arc Sec

La fonction Arc Sec est définie par l’équation

y = arcsec x ⇔ sec y = x

-π ≤ y < -π/2 ou 0 ≤ y < π/2

on retient que lafonction Arc Seca pour domaine

]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

et pour image,

[-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[(un angle de la région

hachurée)

y

x1−1

π/2

−π/2

−π−π

• dom Arc Sec = ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

• ima Arc Sec = [-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[

De plus on a

sec(arcsec x) = x si x ∈ ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

arcsec(sec y) = y si y ∈ [-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[

Page 46: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-46

définition 6.5.6

Arc Cosec

La fonction Arc Cosec est définie par l’équation

y = arccosec x ⇔ cosec y = x

-π < y ≤ -π/2 ou 0 < y ≤ π/2

on retient que la fonctionArc Cosec

a pour domaine

]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

et pour image, l’intervalle

]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2](un angle de la région

hachurée)

y

x1−1

−π/2

π/2

−π−π

• dom Arc Cosec = ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[

• ima Arc Cosec = ]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2]

De plus on a

cosec(arccosec x) = x si x ∈ ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[ arccosec(cosec y) = y si y ∈ ]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2]

exemple 6.5.2

Évaluer (sans l’aide de votre calculatrice)

a) arccotg 1,

b) arccotg (-1),

c) arcsec √ 2,

d) arcsec (-√ 2),

e) arccosec 2,

f) arccosec (-2),

g) sin(arcsec (-1)),

h) cotg(arccotg 3),

Page 47: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-47

L’évaluation des fonctions trigonométriques inverses s’effectuerapidement pour certaines valeurs de l’argument mais en général, ondoit utiliser une calculatrice. Les calculatrices scientifiques permettentl’évaluation des fonctions Arcsin, Arccos et Arctg. Pour les troisdernières fonctions on utilise les identités suivantes.

1) arccotg x = π2 - arctg x ∨– x ∈ R,

l’identité 2 est de loin laplus utile 2) arcsec x =

-arccos( )1

x si x ≤ -1

arccos( )1x

si x ≥ 1

3) arccosec x =

-arcsin( )1

x - π si x ≤ -1

arcsin( )1x

si x ≥ 1

exemple 6.5.3

À l’aide d’une calculatrice (en mode radians) vérifier les évaluationssuivantes.

a) arctg 3 = 1,25

b) arcsin 0,2 = 0,20

c) arcsec 1,5 = 0,84

d) arcsec (-4) = -1,82

e) Qu’arrive-t-il lorsqu’on tente d’évaluer arcsin 2 à l’aide d’une calculatrice? Pourquoi?

exemple 6.5.4 Résoudre les équations suivantes (utiliser une calculatrice)

a) 5 arcsin x = π

b) cos(3x - 1) = 0,25 (0 < 3x - 1 < π/2)

c) sin x - 2 cos x = 0 (0 < x < π/2)

Page 48: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-48

exemple 6.5.5 Soit y ∈]0, π/2[ tel que y = arcsin(3/5), trouver sans l’aide d’unecalculatrice

a) sin y b) cos y c) tg y.____________

proposition 6.5.1

limite

Si limx→ a

ƒ(x) = b (a, b ∈ R_

) alors

a) limx→ a

arcsin ƒ(x) = arcsin[ ]limx→ a

ƒ(x) = arcsin b (-1 < b < 1)

b) limx→ a

arccos ƒ(x) = arccos[ ]limx→ a

ƒ(x) = arccos b (-1 < b < 1)

c) limx→ a

arctg ƒ(x) = arctg[ ]limx→ a

ƒ(x) = arctg b

d) limx→ a

arccotg ƒ(x) = arccotg[ ]limx→ a

ƒ(x) = arccotg b

e) limx→ a

arcsec ƒ(x) = arcsec[ ]limx→ a

ƒ(x) = arcsec b (b < -1, b > 1)

f) limx→ a

arccosec ƒ(x) = arccosec[ ]limx→ a

ƒ(x) = arccosec b (b < -1, b > 1)

exemple 6.5.6

prop. 6.5.1 b)

Évaluer chacune des limites si elles existent dans R_

.____________

a) limx→ 0

arccos x = arccos

lim

x→ 0 x = arccos 0 =

π2

b) limx→ 1

arctg(3x2 - 4) =

c) limx→ 2π/3

arcsin(cos x) =

d) limx→ ∞

arccotg

1

x =

e) limx→ -2

arcsec

3x2 + 4x - 4

x2 + 8x + 12

Page 49: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-49

cas d’exception

arcsin(±1), arccos(±1),arcsec(±1), arccosec(±1)

Si à la suite de l’évaluation d’une limite on obtient arcsin(±1),arccos(±1), arcsec(±1) ou arccosec(±1) on est alors confronté à unnouveau cas d’exception. Chacune de ces limites peut exister etcorrespondre à son image lorsque la fonction est définie près de lavaleur de l’argument. Autrement, elles n’existent pas.

• arcsin 1 = arcsin 1+ ∃/

arcsin 1- = π/2

• arccos 1 = arccos 1+ ∃/

arccos 1- = 0

• arcsec 1 = arcsec 1+ = 0

arcsec 1- ∃/

• arccosec 1 = arccosec 1+ = π/2

arccosec 1- ∃/

• arcsin -1 = arcsin -1+ = -π/2

arcsin -1- = ∃/

• arccos -1 = arccos -1+ = π

arccos -1- = ∃/

• arcsec -1 = arcsec -1+ ∃/

arcsec -1- = -π

• arccosec -1 = arccosec -1+ ∃/

arccosec -1- = -π/2

exemple 6.5.7 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R

_.

____________

a) limx→ π/2

arccos(sin x) = arccos

lim

x→ π/2 sin x

= arccos 1- (car sin x ≤ 1 ∨– x)

= arccos 1 = 0 (puisque -1 < 1-< 1)

b) limx→ 1-

arcsin x

1 - x =

c) limx→ 0

arccos(x2 - 1) =

d) limx→ -1

arcsec 2x =

les formes

arcsin(±∞), arccos(±∞),arctg(±∞), arccotg(±∞),

arcsec(±∞), arccosec(±∞)

À l’aide des graphiques des fonctions trigonométriques inverses onadmet sans peine que

• arcsin ∞ ∃/ • arccos ∞ ∃/ • arctg ∞ = π/2

• arcsin(-∞ ) ∃/ • arccos(-∞) ∃/ • arctg(-∞) = -π/2

• arccotg ∞ = 0 • arcsec ∞ = π/2 • arccosec ∞ = 0

• arccotg(-∞) = π • arcsec(-∞) = -π/2 • arccosec(-∞) = -π

Page 50: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-50

exemple 6.5.8 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R

_.

____________

a) limx→ ∞

1

arcsec(1 - x3) =

b) limx→ - ∞

arctg x

arccotg x =

proposition 6.5.2

continuité

Si g(x) est une fonction continue sur l’intervalle ouvert I alors

a) ƒ(x) = arcsin g(x) et ƒ(x) = arccos g(x) sont continues sur I pourvu que -1 < g(x) < 1 ∨– ∈ I,

b) ƒ(x) = arctg g(x) et ƒ(x) = arccotg g(x) sont continues sur I,

c) ƒ(x) = arcsec g(x) et ƒ(x) = arccosec g(x) sont continues sur I pourvu que g(x) > 1 ou g(x) < -1 ∨– ∈ I.

exemple 6.5.9 Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R.

____________

a) ƒ(x) = arccos x

x

b) g(x) = arctg x

arcsin x - arccos x

Page 51: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-51

Exercices 6.5

1. Évaluer sans l’aide d’une calculatrice.

a) arcsin 0 i) arcsec(2√ 3/3)

b) arcsin(-1/2) j) arccosec(1/2)

c) arccos √ 3 k) arcsec(-2)

d) arccos(-√ 3/2) l) arccosec(-2√ 3/3)

e) arctg(√ 3/3) m) cotg(arcsec(-1))

f) arctg(-√ 3) n) sec(arctg 1)

g) arccos(-√ 2/2) o) sin(arcsin 1 - arccos(√ 3/2))

h) arccotg(-√ 3) p) arcsin(2 cos(2π/3))

2. Évaluer à l’aide d’une calculatrice.

a) arcsin(-0,6) d) arcsec(4/3)

b) arctg 5 e) arcsec(-π)

c) arccos √ 2 f) arccos(√ 5/2)

3. Soit 0 < θ < π2

a) Si θ = arcsin(1/3) alors trouver cos θ et tg θ.

b) Si θ = arcsec(√ 5/2) alors trouver sin θ et cotg θ.

c) Si θ = arccos 3x alors trouver sin θ et tg θ.

d) Si θ = arctg x2 alors trouver sec θ et sin θ.

(compléter ce numéro sans l’aide d’une calculatrice)

4. Résoudre sans l’aide d’une calculatrice.

a) 3 arcsin x = π/2 c) 2 sin(arcsin x) = 1/3

b) arctg(x - 1) = π/3 d) arctg(tg x2) = π/9

5. Résoudre à l’aide d’une calculatrice.

a) arccos 2x = 1/4 b) 3 tg x = √10 (0 < x < π/2)

Page 52: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-52

6. Une échelle de 8 mètres est appuyée contre un mur. Si le piedde l’échelle est à 5 mètres du mur, trouver l’angle θ (en degrés)que fait le pied de l’échelle avec le sol.

8

7. Soit a et b des nombres positifs. Montrer que si arcsin a = arccos b alors a2 + b2 = 1.

8. Trouver la valeur de l’angle α

9. Évaluer les expressions suivantes provenant du calcul d’une limite.

a) arctg ∞ d) arctg (-1) g) arccos ∞ j) arcsec 1+

b) arccos 1+ e) arccotg(- ∞) h) 1/arccos 1-

c) arcsin 0 f) arcsec 1- i) arctg(- ∞)

10. Évaluer chacune des limites si elles existent dans R_

a) limx→ √ 3

arcsin(x/2) i) limx→ 1

arcsin(1/x)

b) limx→ 0+

arcsin x

ln x j) limx→ 1

arctg(ln x)

c) limx→ 1-

arccos x2 k) lim

x→ 2 arcsec(x - 1)

d) limx→ 2

arcsec x

π l) limx→ 3

x arcsin(x - 4)

e) limx→ 0

arctg(1/x) m) limx→ 0-

1arctg x

f) limx→ ∞

arcsec xarctg x n) lim

x→ -√ 3/2 arctg 2x

g) limx→ 1

x arctg(x - 2) o) limx→ -1/2

(arcsin x + arccos x)

h) limx→ - ∞

earccotg x p) limx→ ∞

arccos

x2 + 1

x3

Page 53: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-53

11. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R.

a) ƒ(x) = (arctg x)3 - 1

b) ƒ(x) = arcsin x - √2x - 1

c) ƒ(x) = 1

arcsin x

d) ƒ(x) = ln(arccotg x)

e) ƒ(x) = √arctg x1 - arccos x

Page 54: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-54

Réponses aux exercices 6.5

1. a) 0 i) π/6

b) -π/6 j) ∃/c) ∃/ k) -2π/3

d) 5π/6 l) -2π/3

e) π/6 m) ∃/f) -π/3 n) √ 2

g) 3π/4 o) √ 3/2

h) 5π/6 p) -π/2

2. a) -0,64 d) 0,72

b) 1,37 e) -1,89

c) ∃/ f) ∃/

3. a) cos θ = 2√ 2

3 et tg θ = √ 24

b) sin θ = √ 55 et cotg θ = 2

c) sin θ = √1 - 9x2 et tg θ = √1 - 9x2

3x

d) sec θ = √1 + x4 et sin θ = x2

√1 + x4

4. a)12 c)

16

b) 1 + √ 3 d) ± √ π3

5. a) 0,48 b) 0,81

6. 51,3°

7.

8. 42,22°

Page 55: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-55

9. a) π/2 f) ∃/

b) ∃/ g) ∃/c) 0 h) ∞d) -π/4 i) -π/2

e) π j) 0

10. a) π/3 i) ∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: π/2)

b) 0 j) 0

c) 0 k) ∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: 0)

d) 1/3 l) ∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: -3π/2)

e) ∃/ (à gauche: -π/2 ; à droite: π/2) m) - ∞f) 1 n) -π/3

g) -π/4 o) π/2

h) eπ p) π/2

11. a) continue sur Rb) continue sur ]1/2, 1[

c) continue sur ]-1, 1[ \ { 0 }

d) continue sur Re) continue sur ]0, 1[ \ { 0,5403 }

Page 56: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-56

6.6 Dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

proposition 6.6.1 ddx arcsin x =

1

√1 - x2

démonstration

puisquesin2 y + cos2 y = 1

alors

cos y = ± √1 - sin2 ymais cos y ≥ 0

lorsque y ∈ [-π/2, π/2],par conséquent

cos y = √1 - sin2 y

Par définition

y = arcsin x ⇔ sin y = x (-π/2 ≤ y ≤ π/2)

En dérivant implicitement l’équation de droite on obtient,

ddx sin y =

ddx x

cos y dydx = 1

dydx =

1cos y (-π/2 ≤ y ≤ π/2)

= 1

√1 - sin2 y

= 1

√1 - x2(car sin y = x)

proposition 6.6.2 ddx arccos x =

-1

√1 - x2

démonstration

Page 57: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-57

proposition 6.6.3 ddx arctg x =

11 + x2

démonstration

proposition 6.6.4 ddx arccotg x =

-11 + x2

démonstration

Page 58: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-58

proposition 6.6.5 ddx arcsec x =

1

x √x2 - 1

démonstration

proposition 6.6.6 ddx arccosec x =

-1

x √x2 - 1

démonstration

Page 59: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-59

exemple 6.6.1Trouver

ddx

arcsin x

arccos x

____________

ddx

arcsin x

arccos x = arccos x

ddx arcsin x - arcsin x

ddx arccos x

(arccos x)2

=

arccos x

1

√1 - x2 - arcsin x

-1

√1 - x2

(arccos x)2

= arccos x + arcsin x

√1 - x2 (arccos x)2

exemple 6.6.2 Trouver d

dx x(arctg x)2

____________

rép: arctg x ( )arctg x + 2x

1 + x2

exemple 6.6.3 Trouver d

dx arcsin 5x

____________

rép: 5

√1 - 25x2

Page 60: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-60

Pour obtenir la dérivée de y = arcsin ƒ(x) on décompose la fonction dela façon suivante.

y = arcsin u et u = ƒ(x)

Puis par la règle de dérivation en chaîne on obtient

dydx =

dydu . du

dx

= 1

√1 - u2 . d

dx ƒ(x)

= 1

√1 - ƒ(x)2 . d

dx ƒ(x)

On obtient de la même façon les formules générales des autresfonctions trigonométriques inverses.

règle 20d

dx arcsin ƒ(x) = 1

√1 - ƒ(x)2 . d

dx ƒ(x)

règle 21d

dx arccos ƒ(x) = -1

√1 - ƒ(x)2 . d

dx ƒ(x)

règle 22d

dx arctg ƒ(x) = 1

1 + ƒ(x)2 . ddx ƒ(x)

règle 23d

dx arccotg ƒ(x) = -1

1 + ƒ(x)2 . ddx ƒ(x)

règle 24d

dx arcsec ƒ(x) = 1

ƒ(x) √ƒ(x)2 - 1 . d

dx ƒ(x)

règle 25d

dx arccosec ƒ(x) = -1

ƒ(x) √ƒ(x)2 - 1 . d

dx ƒ(x)

exemple 6.6.4 Trouver d

dx arcsin √ x

____________

ddx arcsin √ x =

1

√1 - (√ x)2 . d

dx √ x

= 1

√1 - x . 1

2√ x

= 1

2√x(1 - x)

Page 61: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-61

exemple 6.6.5 Trouver d

dx arcsec(e2x)

____________

rép: 2

√e4x - 1

exemple 6.6.6 Trouver ddt arccos( )1

3t (t < 0)

____________

rép: - 1

t√9t2 - 1

exemple 6.6.7 Trouver y’ si y = 2x(arccos 2x) - √1 - 4x2

____________

rép: 2 arccos 2x

exemple 6.6.8 Calculer la pente de la droite tangente à la fonction

ƒ(x) = (arcsin x)(arccos x)

lorsque x = -1/2.____________

rép: 5√ 3π

9

Page 62: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-62

exemple 6.6.9

arcsin(-x) = -arcsin x

les asymptoteshorizontales et obliquessont sans intérêt car le

dom ƒ = [-1, 1]

seules les valeurs de xdans l’intervalle [0, 1]

sont considérées dans letableau de variation car

la fonction estsymétrique par rapport à

l’axe des y

Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = x(arcsin x) + √1 - x2 .____________

a) dom ƒ = [-1, 1]

b) ƒ est continue sur ]-1, 1[

c) ƒ(-x) = (-x)(arcsin(-x) + √1 - (-x)2

= x(arcsin x) + √1 - x2

= ƒ(x) (ƒ est symétrique par rapport à l’axe des y)

d) asymptote verticale: aucune car pour les deux points de discontinuité x = -1 et x = 1 on a

limx→ 1- x(arcsin x) + √1 - x2 =

π2 ; lim

x→ -1+ x(arcsin x) + √1 - x2 =

π2

e) ƒ’(x) = arcsin x + x

√1 - x2 -

2x

2√1 - x2

= arcsin x = 0 si x = 0

∃/ si x ≥ 1 ou x ≤ -1

⇒ n.c.: { -1, 0, 1}

ƒ’’(x) = 1

√1 - x2 =

0 aucune valeur

∃/ x ≥ 1 ou x ≤ -1

⇒ n.t.: { -1, 1 }

f) Tableau de variation de la fonction.x 0 1

ƒ ’(x) + ƒ ’’(x) +

ƒ(x)

1 π/2

Graphique de la fonction

y

x−1 1

2(1; π/2)(−1; π/2)

(0; 1)(0; 1)

Page 63: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-63

exemple 6.6.10

Un ballon lâché au niveau d’un observateurs’élève à la vitesse de 5 m/s. Si l’observateurest placé à 50 m du ballon, trouver le taux devariation de l’angle d’élévation du ballon parrapport au temps lorsque celui-ci est à 30 m dusol.____________

θ

x

50 m

rép: 4,2°/s

Page 64: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-64

Exercices 6.6

1. Trouver dydx

a) y = arcsin 3x l) y = a [ ]arcsec( )xa

(a < 0)

b) y = 2(arcsin √ x) m) y = arccotg(sin x)

c) y = arccos x2 n) y = arcsec 2x

arccosec 2x

d) y = arccos( )x2

o) y = arctg(tg x)

e) y = arctg 3x2 p) y = ln(arcsin 5x)2

f) y = arctg( )3x

q) y = x2 arccos( )2x

(x < 0)

g) y = arccosec √ x r) y = x(arccotg x) + ln√1 + x2

h) y = arccotg( )1 + x1 - x

s) y = x√4 - x2 + 4[ ]arcsin( )x2

i) y = (arcsec 2x)2 t) y = √x2 - 4x2 + 1

2 arcsec( )x

2

j) y = ( )arcsin √1 - x4

u) y = 1ab

arctg( )b tg xa

k) y = 1

arccosec x v) y = x[ ]arccosec( )1x

+ √1 - x2 (x > 0)

2. Trouver la pente de la droite tangente à chacune des fonctions au point indiqué.

a) ƒ(x) = arcsin x ; x = 0

b) g(x) = (arctg x)2 ; x = -1

c) h(x) = x(arccos x) ; x = 1/2

3. Trouver dydx implicitement si ln(x2 + y2) = arctg( )x

y .

Page 65: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-65

4. Trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extremums relatifs dechacune des fonctions.

a) ƒ(x) = arctg(x3 - 12x) b) g(x) = arccotg x2

5. Trouver x qui maximise θ si

θ = arctg( )2x

- arctg( )1x

(x > 0)

6. Soit ƒ(x) = x + 3 cos x. Trouver le maximum absolu et le minimum absolu de cette fonctionsur [0, π/2]. (Utiliser une calculatrice pour résoudre ce problème.)

7. Le sommet d’une échelle de 15 m glisse vers le bas d’un mur àraison de 3 m/s. Calculer le taux de variation par rapport autemps de l’angle que fait l’échelle avec le mur lorsque celle-ci està une hauteur de 9 m.

x 15 m

θ

8. Un observateur regarde un oiseau à 8 m d’altitude. L’oiseaus’éloigne à une vitesse de 1 m/s. Quel est le taux de variation parrapport au temps de l’angle que fait le segment qui reliel’observateur à l’oiseau et le sol lorsque la distance qui séparel’observateur à l’oiseau est de 10 m.

x8 m

θ

9. Tracer le graphique de chacune des fonctions en indiquant

• pour quelles valeurs la fonction est continue,• si la fonction est paire, impaire ou ni paire, ni impaire,• les asymptotes verticales de la fonction,• ƒ’(x) et les nombres critiques de la fonction,• ƒ’’(x) et les nombres de transition de la fonction,• le tableau de variation de la fonction,• le graphique de la fonction.

a) ƒ(x) = arcsin x - 3(arccos x) b) g(x) = arctg x - x2

Page 66: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-66

Réponses aux exercices 6.6

1. a)3

√1 - 9x2l)

-a2

x √x2 - a2

b)1

√ x √1 - xm)

-cos x1 + sin2 x

c)-2x

√1 - x4n)

arccosec 2x + arcsec 2x

x √4x2 - 1 (arccosec 2x)2

d)-1

√4 - x2o) 1

e)6x

1 + 9x4 p)10

√1 - 25x2 arcsin 5x

f)-3

x2 + 9q)

-2x

√x2 - 4 + 2x[ ]arccos( )2

x

g)-1

2x√x - 1r) arccotg x

h)-1

1 + x2 s) 2 √4 - x2

i)2(arcsec 2x)

x √4x2 - 1t)

8

x3 √x2 - 4

j)-2( )arcsin√1 - x 3

√ x √1 - xu)

sec2 xa2 + b2 tg2 x

k)1

x √x2 - 1 (arccosec x)2v) arccosec( )1

x

2. a) 1 c)π3 -

1

√ 3 =

π - √ 33

b) - π4

3.y - 2x2y + x

Page 67: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-67

4. a) croissante sur ]-∞, -2[ ∪ ]2, ∞[décroissante sur ]-2, 2[min. rel. au point: (2; arctg -16)max. rel. au point: (-2; arctg 16)

b) croissante sur ]-∞, 0[décroissante sur ]0, ∞[min. rel. au point: aucunmax. rel. au point: (0; π/2)

5. √ 2

6. max. abs. au point: (0,34; 3,17)min. abs. au point: (1,57; 1,57)

7. 14,3°/s (l’angle augmente de 14,3° par seconde)

8. -7,6°/s (l’angle diminue de 7,6° par seconde)

9. a)ƒ’(x) =

4

√1 - x2 ; ƒ’’(x) =

4x

√(1 - x2)3

y

x−1 1

−π

−2π

−3π

(0; −3π/2)

(1; π/2)

(−1; −7π/2)(−1; −7π/2)

b)ƒ’(x) =

(1 - x)(1 + x)2(1 + x2)

; ƒ’’(x) = -2x

(1 + x2)2

y

x

(1; (−2+π)/4)

(−1; (2−π)/4)

(0; 0)(0; 0)

Page 68: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-68

Exercices de révision

1. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R_

.

a) limx→ 0- cosec x d) lim

x→ 0

1 - cos xx2

b) limx→ 0

sec x

1 - cos2 xe) lim

x→ 0

3x2 - 4x(sin x)(cos x)

c) limx→ 0

x + 2 sin x

x f) limx→ ∞

2x - sin xcos x - 3x

2. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur ]0, 2π[.

a) ƒ(x) = tg x - cotg x b) g(x) = 1

√sin x + 2

3. Trouver la dérivée de chacune des fonctions.

a) y = sin x

2 + cos x e) y = x√cotg x2

b) y = 2 cosec3 √ x f) y = ln3(sin2 x)

c) y = sin5 x

5 - 2 sin3 x

3 + sin x g) y = tg2 3x

6 + ln(cos 3x)

3

d) y = sec3 2x - 3 sec 2x h) y = ex (sin 2x - 2 cos 2x)

4. Trouver d2ydx2 si y = cosec 3x.

5. Trouver dy

dx x = π/6

si y = tg3 2x

6. Utiliser la dérivée logarithmique pour obtenir dydx

a) y = sin x √1 + cos2 x

tg3 xb) y = (sin x)sin x (sin x > 0)

Page 69: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-69

7. Trouver les extremums relatifs de

y = 2 sin x - cos 2x sur ]0, 2π[.

8. Tracer le graphique de la fonction

ƒ(x) = 8 cos x - 2 cos 2x sur [0, 2π]

si ƒ’(x) = 8(sin x)(cos x - 1)

ƒ’’(x) = 8(2 cos x + 1)(cos x - 1)

9. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R_

.

a) limx→ 0

√arctg(cos x) c) limx→ 1- arcsin( )1 + √1 - x2

b) limx→ 1- (arcsin x - arccos x) d) lim

x→ - ∞

arctg xarccotg x

10. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R.

a) ƒ(x) = arccos xarcsin x b) g(x) =

arctg x6 arccotg x - π

11. Trouver la dérivée de chacune des fonctions.

a) y = (arcsin x)(arccos x) d) y = arcsec√x2 + 1 (x < 0)

b) y = (arctg 2x)3 e) y = earcsin 3x

c) y = arcsin( )t - 1t + 1

(t > 0) f) y = x(arccotg x) + ln√1 + x2

12. La base d’un triangle rectangle est de 20 cm. Si la hauteur dutriangle augmente à raison de 5 cm par minute, à quelle vitesseaugmente l’angle opposé à la hauteur lorsque le triangle est isocèle.

20 cmθ

13. Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = arccotg(sin x) sur [0, 2π]

si ƒ’(x) = -cos x

1 + sin2 x

ƒ’’(x) = (sin x)(2 + cos2 x)

(1 + sin2 x)2

Page 70: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-70

Réponses aux exercices de révision

1. a) -∞ d) 1/2

b) ∞ e) -4

c) 3 f) -2/3

2. a) continue sur ]0, 2π[ \ { π/2, π, 3π/2 }b) continue sur ]0, 2π[

3. a)2 cos x + 1

(2 + cos x)2 e)cotg x2 - x2(cosec2 x2)

√cotg x2

b)-3( )cosec3 √ x ( )cotg √ x

√ xf) 6 cotg x ln2(sin2 x)

c) cos5 x g) tg3 3x

d) 6(tg3 2x)(sec 2x) h) 5 ex sin 2x

4. 9(cosec 3x)(cotg2 3x + cosec2 3x)

5. 72

6. a)sin x √1 + cos2 x

tg3 x

ctg x -

(sin x)(cos x)1 + cos2 x

- 3 sec2 x

tg x

b) (sin x)sin x cos x (ln(sin x) + 1)

7. MIN REL: (7π/6, -3/2), (11π/6, -3/2)MAX REL: (π/2, 3), (3π/2, -1)

8. y

x

(4π/3; −3)

(π; −10)

(2π/3; −3)

ππ

(2π; 6)

Page 71: Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/doc/trigo.pdf · rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre

6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)

André Lévesque 6-71

9. a) √ π2 c) ∃/

b)π2 d) -

12

10. a) continue sur ]-1, 1[ sauf { 0 } b) continue sur R sauf { √ 3 }

11. a)arccos x - arcsin x

√1 - x2d)

-1x2 + 1

b)6(arctg 2x)2

1 + 4x2 e)3 earcsin 3x

√1 - 9x2

c)1

(t + 1)√ tf) arccotg x

12. 7,16°/min (l’angle augmente de 7,16° par minute)

13. y

xπ/2 π 3π/2

π/4

π/2

3π/4

(π/2; π/4)

(3π/2; 3π/4)

(π; π/2)(0; π/2)(2π; π/2)(2π; π/2)