2

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Studi Mandiri

Fungsi dan GrafikFungsi dan GrafikFungsi dan GrafikFungsi dan Grafik

7-1

BAB 7

Gabungan Fungsi Sinus

7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnya

gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan

listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi

waktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktu

sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik.

Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detik

disebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan satuan Hertz (1 Hz = 1

siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T0 maka

00

1

Tf = (7.1)

Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakan

jumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahan

sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi

siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut

(ω), dan juga dengan perioda (T0), adalah

00

22

Tf

π=π=ω (7.2)

Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) A

dituliskan sebagai

π=ω=

0

2coscos

T

tAtAy (7.3)

Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan

yang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsi

sinus )sin(xy = atau fungsi cosinus )cos(xy = dengan x sebagai

peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakan

fungsi cosinus ty ω= cos dengan t sebagai peubah bebas dengan

satuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadi radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik.

7-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik

Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita

geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi

sinus. Gb.7.2.

π=ω=

π−ω=

0

2sinsin

2cos

T

tAtAtAy (7.4)

Gb.7.1. Fungsi cosinus

π=ω=

0

2coscos

T

tAtAy

Gb.7.2. Fungsi sinus

π−ω=

π=ω=

2cos

2sinsin

0

tAT

tAtAy

Pergeseran fungsi cosinus sebesar Ts diperlihatkan pada Gb.7.3.

Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah

( )

π−

π=−ω=

00

22coscos

T

T

T

tATtAy s

s

T0

-A

0

A

0 t

y

T0

-A

0

A

0 t

y

7-3

Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser

Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan

pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran

adalah Ts . Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadi kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu

fungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentuk

cosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yang

ditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama.

Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidal

kita nyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggap

sebagai bentuk normal

Perhatikanlah bahwa Ts adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga

fungsi sinusoidal dengan pergeseran Ts kita tuliskan (Gb.7.3)

( )sTtAy −ω= cos

yang dapat pula kita tuliskan

( )sTtAy ω−ω= cos

Pada penulisan terakhir ini, ωTs mempunyai satuan radian, sama dengan

satuan ωt. Selanjutnya

0

2

T

TT s

sπ

=ω=ϕ (7.5)

disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak

pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita tuliskan

( )ϕ−ω= ty cos (7.6)

T0

-A

0

A

0 t

y

Ts

7-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik

Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita

menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus.

7.2. Kombinasi Fungsi Sinus.

Dalam tinjauan selanjutnya, jika disebut fungsi sinus, yang dimaksudkan

adalah fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk normal, yaitu cosinus.

Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yang

bukan sinus, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus.

Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi

jumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudut

fasa, dan frekuensi yang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu,

fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponen

searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi

dasar f0 , dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf0 .

Sebaliknya dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi

sinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yang

berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk

sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk

fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yang

menyusunnya.

Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan kelipatan

bulat n dari frekuensi dasar f0. Frekuensi f0 kita sebut sebagai frekuensi

dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T0 = 1/f0 .

Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2fo), harmonisa

ketiga (3f0), dan seterusnya, yang secara umum kita katakan harmonisa

ke-n mempunyai frekuensi nf0 .

7.3. Spektrum Dan Lebar Pita.

Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa

mempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya.

Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau

dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga

mempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponen-

komponen tersebut.

7-5

Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik.

Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi yang dinyatakan

dengan persamaan

( ) ( ) ( )tftftfy )4(2cos5,7)2(2sin152cos3010 000 π−π+π+=

Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga

komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen

berfrekuensi nol karena y(t) = A cos(2πft) = A jika f = 0. Komponen

sinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen

inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku

ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3

tidak ada.

Fungsi ini dinyatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk

melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku

dengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan

-4

1

-5 15

)4/)2(2cos(22cos31 00 πππ ++++−−−−++++==== tftfy

y

y = 1 + 3 cos 2f0t -4

0

4

-5 15 t

))2(2cos(22cos31 00 tftfy ππ −−−−++++====

y

t

- 4

0

4

- 5 15

y

y = 3 cos 2f0t -4

0

4

-5 15 t

7-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik

di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalah

menggunakan fungsi cosinus, yaitu )2cos( ϕ+π= ftAy .

Dengan menggunakan kesamaan

)2/2cos()2sin( π−π=π ftft dan )2cos()2cos( π+π=π− ftft

persamaan fungsi di atas dapat kita tulis

)42cos(5,7)2/22cos(15)2cos(3010 000 π+π+π−π+π+= tftftfy

Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam

bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap

komponen seperti dalam tabel berikut.

Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0

Amplitudo 10 30 15 7,5

Sudut fasa − 0 −π/2 π

Fungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataan

suatu sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkan

apa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatu

spektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo

maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari

frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu

: 0, f0 , 2f0 , dan 4f0. Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut

adalah 10, 30, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyal

tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f0 , 2f0 dan

4f0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian.

Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu

grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi

frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a)

dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b).

7-7

Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo

Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa.

Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat

dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syarat tertentu.

Fungsi persegi misalnya, yang juga periodik, dapat diuraikan menjadi

jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian

fungsi persegi ini adalah sebagai berikut :

....)2/72cos(7

)2/52cos(5

+

)2/32cos(3

)2/2cos(

00

00

+π−π+π−π

π−π+π−π=

tfA

tfA

tfA

tfAy

Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudut

fasa sama besar yaitu –π/2; amplitudonya menurun dengan meningkatnya frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada

harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut.

0

π/2

2π

0 1 2 3 4 5

Sudut Fasa

Frekuensi [×f0]

−π/2

−2π

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5

Frekuensi [×f0]

Amplitudo

7-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik

Frekuensi: 0 f0 2f0 3f0 4f0 5f0 .. nf0

Amplitudo: 0 A 0 A/3 0 A/5 .. A/n

Sudut Fasa: - -π/2 - -π/2 - -π/2 .. -π/2

Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun

dari harmonisa-harmonisanya.

a) b)

d)

c)

e)

Gb.7.10. Uraian fungsi persegi.

a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3.

c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.

d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 +

harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada

harmonisa ke-21.

Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan

menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan

makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan

terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsi

yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk

yang kita inginkan.

Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi

frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak

hanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum.

Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas

7-9

frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap

amplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi

tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita

tetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2%

dari amplitudo sinus dasar.

Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga

perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar

jika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan.

Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah

nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band

width).

7-10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik

Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum

1. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini

dalam format cosinus )cos( sxxAy −= :

a). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0, frekuensi

siklus 10 siklus/skala.

b). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0,02,

frekuensi siklus 10 siklus/skala.

c). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa 0o, frekuensi sudut 10

rad/skala.

d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30o, frekuensi sudut

10 rad/skala.

2. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan sinus berikut ini

80002sin2,0 40002cos220002sin54 ttty π+π−π+=

Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%,

tentukan lebar pita fungsi ini.

3. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.

8000cos2 20002sin2-)6010002cos(3o

ttty π+π−π=

4. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.

5000cos02,01500cos2.0

500cos300cos2100cos10

tt

ttty

++

++=

5. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.

20002cos2,0 15002cos2

10002cos35002cos1010

tt

tty

π+π+

π+π+=

7-11