Soluzioni di reti elettriche lineari PAS4 • La soluzione di una rete in regime consiste nella...

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• Domanda: Cosa sono le reti elettriche lineari in regime Periodico Alternato Sinusoidali (PAS)?

• Risposta: Sono reti lineari in cui i generatori hanno dipendenza dal tempo di tipo sinusoidale ed isofrequenziale

• NB per noi sinusoidi (sin ωt) e cosinusoidi (cos ωt) sono la stessa cosa !!!

Soluzioni di reti elettriche lineari PASIntroduzione

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• In un circuito lineare, in regime PAS tutte le variabili sono PAS ed isofrequenziali

• Conseguentemente in un circuito lineare, alimentato da generatori PAS, isofrequenziali è noto a priori che:– tutte le grandezze (tensioni, correnti) hanno un dipendenza

dal tempo di tipo sinusoidale– tutte le grandezze (tensioni, correnti) hanno pulsazione

uguale a quella dei generatori


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• La soluzione di una rete in regime consiste nella ricerca delle grandezze a regime (tensioni, correnti) … (fin qui niente di nuovo)

• … e nelle specifico nella ricerca di quei parametri che definiscono univocamente la grandezza sinusoidale di ciascun corrente e ciascuna tensione della rete … (è qui qualcosa di nuovo c’è!!!) …


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• … e supponiamo di voler determinare la corrente (non essendo più il regime stazionario, devo trovare una funzione del tempo i.e. come varia la corrente nel tempo o, alternativamente, qual è la dipendenza della corrente dal tempo)

• Comunque siete scettici …

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• Le leggi di Kirchoff continuano a valere …

vR(t) vL(t)

M

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vR(t) vL(t)

M

0)()()(@ =−−→ tvtvteMLKT LR

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vR(t) vL(t)

M

dttdiLtv

tiRtv

L

R

)()(

)()(

×=

×=• … Le caratteristiche tensione corrente per ciascun tipo di bipolo pure …

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vR(t) vL(t)

M)()()( tetRi

dttdiL =+

• 1 equazione, nell’incognita di interesse i(t)• La ricavo risolvendo 1 equazione differenziale, lineare, a

coefficienti costanti, del 1° ordine

0)()()( =−−dttdiLtRite

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• Consideriamo ora il circuito seguente … ed anche in questo caso supponiamo di voler determinare (risolvere) l’incognita i(t)

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0)()()()(@ =−−−→ tvtvtvteMLKT CLR

vR(t)

M

vL(t)

vC(t)


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0)(1)(

)()(

)()(

CC

L

R

VdttiC

tv

dttdiLtv

tiRtv

+=

×=

×=

∫

vR(t)

M

vL(t)

vC(t)

0)(1)()()(@ 0 =−−−−→ ∫ CVdttiCdttdiLtRiteMLKT

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dttdeti

CdttdiR

dttidLMLKT )()(1)()(@ 2

2

=++→

• 1 equazione, nell’incognita di interesse i(t)• La ricavo risolvendo 1 equazione differenziale, lineare, a

coefficienti costanti, del 2° ordine

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Introduzione

• Quindi per risolvere un circuito lineare, in regime PAS devo risolvere sistemi di equazioni differenziali del 1° e del 2° ordine?

• La risposta è negativa perché, fortunatamente, esiste una relazione biunivoca tra grandezze sinusoidali isofrequenziali e numeri complessi …

• … in altri termini data una grandezza sinusoidale esiste un solo numero complesso che la rappresenta e viceversa dato un numero complesso esiste una sola grandezza sinusoidale da esso rappresentata.

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Introduzione

• Questo numero complesso è definito FASORE!

• Rappresentando le grandezze sinusoidali con i rispettivi fasori la soluzione della rete non passa più attraverso la soluzione di equazioni differenziali bensì attraverso la soluzione di equazioni algebriche …

• … MA le tensioni e le correnti saranno sempre grandezze sinusoidali!!!

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Introduzione

• Riprendiamo …. in un circuito lineare, in regime PAS tutte le variabili sono PAS ed isofrequenziali

• Conseguentemente in un circuito lineare, alimentato da generatori PAS, isofrequenziali è noto a priori che:– tutte le grandezze (tensioni, correnti) hanno un dipendenza

dal tempo di tipo sinusoidale– tutte le grandezze (tensioni, correnti) hanno pulsazione

uguale a quella dei generatori

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Introduzione - Esempio

e(t) = 400 cos (100t + 45) V

i1(t)

i2(t) i3(t)

i1(t) = I1 cos (100t + φ1) Ai2(t) = I2 cos (100t + φ2) Ai3(t) = I3 cos (100t + φ3) Av1(t) = V1 cos (100t + φ4) Vv3(t) = V3 cos (100t + φ5) V

v3(t)v1(t)

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• Conseguentemente NON è incognita la dipendenza dal tempo ma alcuni suoi parametri, nella fattispecie:– valor massimo– fase

e(t) = 400 cos (100t + 45) Vi1(t) = I1 cos (100t + φ1) Ai2(t) = I2 cos (100t + φ2) A

i3(t) = I3 cos (100t + φ3) Av1(t) = V1 cos (100t + φ4) Vv3(t) = V3 cos (100t + φ5) V

Introduzione - Esempio

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Procedimento generale di soluzione1. “Disegno” il circuito nel “dominio dei fasori”

• 1a - sostituisco ogni generatore con il fasore corrispondente• 1b - sostituisco ogni bipolo passivo con l’impedenza

corrispondente • 1c - sostituisco ogni incognita (variabile) con il fasore

corrispondente2. Fisso i versi convenzionali di tutte nel grandezze 3. Scrivo le caratteristiche tensione-corrente dei bipoli

appartenenti a ciascun lato della rete4. Analizzo la rete con le regole usuali (i.e. scrivo un

sistema di L equazioni in L incognite)5. …

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Procedimento generale

5. … risolvo le incognite (fasori)6. Ricavo le grandezze sinusoidali “antitrasformando” i

fasori corrispondenti

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“Trasformazione” di una grandezza sinusoidale “elettrica” nel fasore corrispondente

f(t) = FMAX cos (ωt + φ)

F = (FMAX/√2) e jφ (rappr. polare)

F = (FMAX/√2) cosφ + j (FMAX/√2) sinφ (rappr. cartesiana)

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“Trasformazione” di una grandezza sinusoidale “elettrica” nel fasore corrispondente - Esempio

i(t) = 100 cos (314t + π)

I = (100/√2) e jπ = 70,71 e jπ (rappr. polare)

I = (100/√2) cosπ + j (100/√2) sinπ (rappr. cartesiana)I = - 70,71

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“AntiTrasformazione” di un fasore nella grandezza sinusoidale corrispondente

f(t) = (√2 FEFF) cos (ωt + φ)

F = FEFF e jφ (rappr. polare)

F = FEFF (cosφ + j sinφ) (rappr. cartesiana)

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“Trasformazione ed AntiTrasformazione” in sintesi

φ = φ

FMAX = √2 FEFF

FEFF = (FMAX/ √2)

DOMINIO DEL TEMPOf(t) = FMAX cos (ωt + φ)

DOMINIO DEI FASORIF = FEFF e jφ (rappr. polare)

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Metodo simbolico in sintesi

Leggi di Kirchoff → equazioni differenziali

Leggi di Kirchoff → equazioni simboliche (algebra dei complessi)

Fasori rappresentativi delle tensioni e delle correnti (V, I)

Grandezze sinusoidali → v(t), i(t)

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Bipoli passivi – Caratteristiche tensione-corrente

V = (jωL) Iv(t) = L di(t)/dtInduttore

I = (jωC) Vi(t) = C dv(t)/dtCondensatore

V = RIv(t) = R i(t)Resistore

Dominio dei fasoriDominio del tempoBipolo

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Bipoli passivi – Impedenza, Ammettenza

1/jωLjωLInduttore

jωC1/jωC = - j 1/ωCCondensatore

1/RRResistore

Ammettenza (Y)Impedenza (Z)Bipolo

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Importante!

• I fasori sono STRUMENTI (la rappresentazione fasoriale è uno strumento)

• La determinazione diretta delle i(t) e delle v(t) non è una questione di possibilità ma di OPPORTUNITÀ

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