Grandezze scalari e vettoriali

v θ=35°

E

N

Distanza, massa, temperatura ecc. sono completamente definite da 1 numero (+ un. misura).

Sono grandezze scalari

Un vettore “A” si indica con A oppure

il suo modulo so indica

A

AA =

Velocità, forza, spostamento ecc. sono caratterizzati da

♦  intensità o modulo (es. aereo viaggia a velocità di 700 km/h) ♦ direzione (la traiettoria forma un’angolo di 35o con direzione E) ♦ verso (nord-est)

Sono grandezze vettoriali

per esse si utilizza l’ente matematico vettore

Rappresentazione di un vettore

Ad es. Il vettore posizione OP in un piano (2D)

•  lunghezza OP ( a=|a| ) •  angolo orientato rispetto

ad una retta data

(rappresentazione in coordinate polari)

•  Componenti X e Y rispetto ad un sistema di assi cartesiani (coordinate cartesiane)

!"

!#$

=

+=

!"

!#$

=

=

XY

YX

Y

X

aa

aaaaa

aa

θθ

θ

tan

)(

sin

cos 22

direzione e verso

$

Relazione fra le 2 rappresentazioni

Graficamente: segmento orientato (freccia)

modulo

a θ O

a P

In alternativa:

a

x

y

aX

aY

O

P

$

$

aX, aY sono le “componenti cartesiane” di a

€

AX = Asinφ cosθAY = Asinφ sinθAZ = Acosφ

$

% &

' &

A = (AX2 + AY

2 + AZ2 )

cosφ = AZ Atanθ = AY AX

$

% & &

' & &

Trasformazione coordinate cartesiane / coordinate polari

In 3D, servono 3 componenti:

3 componenti cartesiane: Ax, Ay, Az oppure

modulo + 2 angoli: A, θ, φ

θ

φ

caso 3D!

x

y

z

Ax Ay

Az

A

Axy

Vettori

Terna cartesiana destrorsa.

Due vettori sono uguali •  sono uguali modulo, direzione e verso •  sono uguali le componenti X, Y, Z

Dati i vettori AB e BC

A

B C

ab

c

Il vettore AC si dice somma di AB e BC

ACBCAB =+

cba =+

A

B C

ab

c Regola del parallelogramma

Operazioni con i vettori

Somma

somma (differenza) prodotto scalare

prodotto per uno scalare prodotto vettore

Questa regola riproduce anche la somma di due forze, due velocità ecc.

bacba +≤≤−Disuguaglianza triangolare:

cba

=+

!!"

!!#

$

+=

+=

+=

ZZZ

YYY

XXX

bac

bac

bac

A1

A2 A3

A4 A5

A6

S

€

S =

A K

K=1

6

∑

Somma di vettori

Spesso conviene usare le componenti cartesiane:

€

SX = AKXK=1

6

∑

SY = AKYK=1

6

∑

SZ = AKZK=1

6

∑

Somma di più vettori:

Rappresentazione grafica

A

B C

ab

c

$$Xa

€

bX

ABBA

+=+

)CB(AC)BA(

++=++

proprietà commutativa

proprietà associativa

A

B

C

B A

A

B C

A

B C

Somma di vettori. Proprietà

Scalare (k) per Vettore (A):

A2

A A

A

−

ZZ

YY

XX

kAC

kAC

kAC

=

=

=

ACk=

Versore : vettore di modulo unitario

k=2: vettore doppio

k = -1: vettore opposto

1ˆ 222 =++= zyx uuuu

versori degli assi:

!!

"

!!

#

$

==

==

==

kz

jy

ix

ˆ)1,0,0(ˆ

ˆ)0,1,0(ˆ

ˆ)0,0,1(ˆ

zyxA z ˆˆˆ AAA yx ++=

( )

BABA

AAA

kkk

kkkk

+=+

+=+

)(

2121 Proprietà distributive. Si può operare come con i numeri reali

AkC =

♦  stessa direzione ♦  stesso verso se k>0 ♦  verso opposto se k

Differenza di vettori.

( ) CBACBA

=−+

=−A

B -B

C

BACCBA

=−⇒=+

si opera come sui numeri reali.

A

B

C

-A è il vettore opposto di A

€

A − A = 0

bacba +≤≤−Anche qui vale la disuguaglianza triangolare:

Scomposizione di un vettore!

jaiaaaa yxyx

+=+=

a

b

c

r

r’

Scomposizione lungo due direzioni date. Inversione della regola del parallelogramma:

aX e aY sono i vettori componenti di a

c = a+b

Ci interesserà solo la scomposizione lungo direzioni ortogonali fra loro (assi cartesiani)

Esempio: scomposizione della forza peso su un piano inclinato.

x

y

θ

Xa

Ya

a

î

ĵ

P NP TP

aX e aY sono le componenti (cartesiane) di a

Prodotto scalare!

ABBA⋅=⋅

c=⋅BA

Associa a 2 vettori uno scalare

ZZYYXX BABABA

AB

++=⋅

=⋅

BA

BA

θcos

( ) CABACBA ⋅+⋅=+⋅Proprietà commutativa:

Proprietà distributiva:

⇔=⋅ 0BA

A e B ortogonali

⇔>⋅ 0BA

0 < θ < 90°

⇔

Prodotto vettoriale!

è un vettore (pseudovettore)

θsinAB=×BA

Modulo: area del parallelogramma Direzione: ortogonale ad A e B Verso: mano destra o vite destrorsa

BAAB

×−=×

( ) CABACBA ×+×=+×

Proprietà anticommutativa:

Proprietà distributiva:

A

B C

A

B

-C

A

B

C

ABC

C

C

=⇒°=

=⇒°=

=⇒°=

90

0180

00

θ

θ

θ

Area del parallelogramma CBA

=×

A

B

C

minore dei due angoli

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Torque_animation.gif

Esempi di prodotto vettoriale in Fisica

Prodotto vettoriale!

( )( )( ) XYYXZ

ZXXZY

YZZYX

BABA

BABA

BABA

BAABAB

−=×

−=×

−=×

===× ⊥⊥

BA

BA

BA

BA

θsin

zyx

zyx

BBBAAAzyx ˆˆˆ

Formalmente

!!"

!!#

$

=×

=×

=×

yxz

xzy

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

componente di B ortogonale ad A

componente di A ortogonale a B

BAAB

×−=× ( ) CABACBA ×+×=+×Proprietà anticommutativa: Proprietà distributiva:

l’ordine dei fattori è importante

da cui

permutazione ciclica

Derivata di un vettore:

dtdAC

=

A(t) A(t+dt)

dA z

dtdA

ydtdA

xdtdA

dtd ZYX ˆˆˆ ++=AInterpretazione geometrica.

Caso di vettore di modulo costante ( ) AAAAAA

⊥⇒=⋅=⋅

dtd

dtd

dtd 02

Ciò vale in particolare per i versori (ad es. versori degli assi).

xx ˆˆ ⊥dtd Esiste un vettore ω tale che:

€

dˆ x dt

= ω × ˆ x

ω ha il significato di velocità angolare: un vettore di modulo costante può solo ruotare.

( )

( )dtAdkA

dtdkAk

dtd

dtBd

dtAdBA

dtd

+=

+=+ ( )

( )dtBdAB

dtAdBA

dtd

dtBdAB

dtAdBA

dtd

×+×=×

⋅+⋅=⋅

Proprietà