11 Potenza in regime sinusoidale - Microwave...

Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 1

Potenza istantanea in regime sinusoidale

)( cos)( vtVtv θω +=

La potenza istantanea è:

+

–v

generatore sinusoidale

rete lineare passiva

i

)( cos)( itIti θω +=

)( cos)( cos)()()( iv ttIVtitvtp θωθω ++⋅=⋅=

)(2 cos2

1)( cos

2

1iviv tIVIV θθωθθ ++⋅+−⋅=



)(2 cos2

1)( cos

2

1)( iviv tIVIVtp θθωθθ ++⋅+−⋅=

Tê2 T t

p

)( cos21

ivIV θθ −⋅

IV ⋅21

0

La potenza istantanea è periodica con periodo T/2



)(2 cos2

1)( cos

2

1)( iviv tIVIVtp θθωθθ ++⋅+−⋅=

Tê2 T t

p

)( cos21

ivIV θθ −⋅

IV ⋅21

0

p < 0 potenza erogatap > 0 potenza assorbita

Potenza media


Nello studio di molti fenomeni (assorbimento della luce da parte dell’occhio umano, misura dell’energia assorbita da un utente, riscaldamento a microonde, ecc.) non conta il valore che la potenza assume istante per istante, ma piuttosto il valore medio della potenza nel tempo:

dttpT

PT

)(1

0∫=

Potenza media


)(2 cos2

1)( cos

2

110∫

++⋅+−⋅=

T

iviv dttIVIVT

P θθωθθ

si ha

)( cos2

1ivIVP θθ −⋅=

poiché )( cos

2

1 )( cos

2

110∫ −⋅=−⋅T

iviv IVdtIVT

θθθθ

0 )(2 cos211

0∫ =++⋅T

iv dttIVT

θθω

Potenza media


( ))(sin )( cos2

1

)(2

1

2

1 *

iviv

iv

jIV

IV

θθθθ

θθ

−+−⋅=

−∠⋅=⋅IV

Considerando i fasori di tensione (V = V∠θv) e corrente (I = I∠θi) si ha:

{ } )( cos2

1Re

2

1 *ivIVP θθ −⋅=⋅= IV

da cui

Potenza media


Se θv = θi (tensione e corrente in fase → carico resistivo) si ha:

0)( cos2

1 =−⋅= ivIVP θθ

22 ||2

1

2

1

2

1)( cos

2

1I⋅=⋅=⋅=−⋅= RIRIVIVP iv θθ

Se θv – θi = ± 90 (tensione e corrente in quadratura →carico reattivo) si ha:

Potenza media assorbita da un carico


VTh+–

+

–

ZTh

I

VZTh = RTh + j XTh

ZLZL = RL + j XL

La potenza media assorbita dal carico ZL è:

{ } { } { }

2LTh

2LTh

L2

Th

2

LTh

ThL

2L2L

*L

*

)()(2/||

2

||2

||Re21

Re21

Re21

XXRR

RR

RP

+++=

+=

==⋅⋅=⋅=

VZZ

V

IIZIIZIV

Massimo trasferimento di potenza media


Per quale valore di ZL si ha il massimo trasferimento di potenza media?

2LTh

2LTh

L2

Th

)()(2/||

XXRR

RP

+++= V

[ ] 0)()(

)(||22

LTh2

LTh

LThL2

Th

L

=+++

+−=∂∂

XXRR

XXR

X

P V

[ ][ ] 0

)()(2

)(2)()(||22

LTh2

LTh

LThLLTh2

LTh2

Th

L

=+++

+−+++=∂∂

XXRR

RRRXXRR

R

P V

RL = RTh XL = –XTh

Massimo trasferimento di potenza media


In regime sinusoidale, il massimo trasferimento di potenza media si ha quando

RL = RTh, XL = –XTh ⇒ ZL = Z*Th

e la potenza media fornita al carico è

Th

2Th

max 8

||

RP

V=

Quando ZL = Z*Th si dice che il

carico è adattato al generatore

Valori efficaci


Il valore efficace di una corrente (tensione) periodica è la corrente (tensione) costante in grado di fornire ad un resistore la stessa potenza della corrente (tensione) periodica

I cos (ωt+θi)

R

Ieff

V cos (ωt+θv)

+

–

R Veff

+

–

Valore efficace della corrente


)(cos1

)(1

0

22

0

2 ∫∫ +⋅=⋅=T

i

TdttIR

TdttiR

TP θω

2

0

2

21

2

)2cos(211 IRdt

tIR

T

Ti ⋅=++⋅= ∫

θω

2effIRP ⋅=

Si ha:

ma anche:

e quindi:

2eff

II =

Valore efficace della tensione


)(cos1

)(1

0

22

0

2

∫∫ +==T

v

Tdtt

R

V

Tdt

R

tv

TP θω

R

Vdt

t

R

V

T

Tv

2

0

2

21

2

)2cos(211 =++= ∫

θω

R

VP

2eff=

Si ha:

ma anche:

e quindi:

2eff

VV =

Potenza media e valori efficaci


)cos(21

ivIVP θθ −⋅=

)cos(effeff ivIV θθ −⋅=

)cos(22

iv

IV θθ −⋅=

Potenza apparente e fattore di potenza


)cos( )cos(effeff iviv SIVP θθθθ −=−⋅=

S = Veff·Ieff è detta potenza apparente e si misura in VA (voltampere)

pf = P/S = cos(θv–θi) è il fattore di potenza

Fasori efficaci


Definendo i fasori efficaci:

vV θ∠== effeff2

VV iI θ∠== effeff

2

II

si ha:

)(eff

eff

eff

effivI

V θθ −∠===IV

IV

Z

Fattore di potenza


Il fattore di potenza è il coseno dello sfasamento tra la tensione e la corrente e coincide con il coseno dell’argomento dell’impedenza:

)( ivi

v

I

V

I

V θθθθ −∠=

∠∠==

IV

Z

• carico resistivo ⇒ θv–θi = 0 ⇒ pf = 1La potenza media coincide con la potenza apparente

• carico reattivo ⇒ θv–θi = ±90° ⇒ pf = 0La potenza media è nulla

Potenza complessa


La potenza complessa è:

+

–

I

V Z

( )

( ))(sin )( cos

)(sin )( cos2

1

2

1

effeff*effeff

*

iviv

iviv

jIV

jIV

θθθθ

θθθθ

−+−⋅=⋅=

−+−⋅=⋅=

IV

IVS

*

2eff

*

22

eff2 ||||

2

1||||

2

1

ZV

ZV

IZIZS ==⋅=⋅=

Poiché V = Z·I e Veff = Z·Ieff si ha:

Potenza complessa


( ))(sin )( coseffeff iviv jIV θθθθ −+−⋅=S

jQPjXR +=⋅+= 2eff ||)( IS

Poiché Z = R +j X si ha:

Vale anche:

e quindi:

)(sin

)( cos

effeff

effeff

iv

iv

IVQ

IVP

θθθθ

−⋅=−⋅= potenza reale o attiva

potenza reattiva

Potenza complessa


P = Veff·Ieff cos(θv–θi) è la potenza media fornita al carico. Questa è l’unica potenza utile ed è anche la potenza che il carico realmente dissipa. Si misura in Watt (W).

Q = Veff·Ieff sin(θv–θi) misura lo scambio di energia fra il generatore e la parte reattiva del carico. Si misura in volt-ampere reattivi (VAR).

Q = 0 per carichi resistiviQ < 0 per carichi capacitivi (θv < θi)Q > 0 per carichi induttivi (θv > θi)

Potenza complessa: riassunto


)( cos ivS

P θθ −=

)( 2

1effeff

*ivIVjQP θθ −∠⋅=+=⋅= IVS potenza

complessa

22effeff|| QPIVS +=⋅== S

)( cos }Re{ ivSP θθ −== S

)(sin }Im{ ivSQ θθ −== S

potenza apparente

potenza reale o attiva

potenza reattiva

fattore di potenza

Triangolo delle potenze


ZX

R

SQ

P

θv–θi

Im

Re

θv–θi

Im

Re

Triangolo delle potenze


S Q

P

SQ

P

θv–θi

Im

Re θv–θi

Im

Re

Carico induttivo Q > 0 Carico capacitivo Q < 0

Conservazione della potenza complessa


01

=∑=

N

nnS

In un circuito, la potenza complessa, la potenza reale e la potenza reattiva si conservano

Se il circuito include N elementi, con la convenzione degli utilizzatori si ha:

In generale, la legge di conservazione non vale per le potenze apparenti:

01

=∑=

N

nnP 0

1

=∑=

N

nnQ

0||11

≠=∑∑==

N

nn

N

nnS S

Rifasamento


Molti carichi domestici e industriali sono di tipo induttivo. Essi hanno quindi un fattore di potenza pf > 0.

L

V

+

–

R

IL

S1Q1

P

θ1

Im

Re

θ1 V

IL

carico

induttivo

Rifasamento


Il fattore di potenza può essere massimizzato introducendo una capacità in parallelo al carico.

L

V

+

–

R

IL

S1Q1

P

θ1

Im

Re

θ1 V

IL

I

C

IC

IC QC

θ2

IC

S2

θ2

Q2

I

Rifasamento


Per il carico induttivo originale si ha:

P = S1cosθ1 Q1 = S1sinθ1 = P tgθ1

Per aumentare il fattore di potenza da cosθ1 a cosθ2 senza alterare la potenza reale (P = S2cosθ2) si deve avere

Q2 = S2sinθ2 = P tgθ2 da cui

QC = Q1 – Q2 = P (tgθ1 – tgθ2)

Ricordando che QC = V2eff/XC = ωCV2

eff si ottieneS1

Q1

P

θ1

Im

Re

QC

S2

θ2

Q22

eff

212

eff

)tgtg(

V

P

V

QC C

ωθθ

ω−==

Rifasamento


Il rifasamento riduce l’ampiezza della corrente in ingresso al carico (|I| < |IL|) a parità di potenza reale assorbita.

L

V

+

–

R

IL

θ1 V

IL

I

C

IC

IC

θ2

IC

I

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